Algebra Chapter 7: Properties of Real Numbers

Properties of Real Numbers

Commutative Property

• The commutative property states that the order of real numbers does not change the result of an operation.
• For addition: a + b = b + a
• For multiplication: a × b = b × a

Associative Property

• The associative property states that the order in which real numbers are grouped does not change the result of an operation.
• For addition: (a + b) + c = a + (b + c)
• For multiplication: (a × b) × c = a × (b × c)

Distributive Property

• The distributive property states that multiplication can be distributed over addition.
• a × (b + c) = a × b + a × c

Additive Identity

• The additive identity is 0, which means that when 0 is added to any real number, the result is the same number.
• a + 0 = a

Multiplicative Identity

• The multiplicative identity is 1, which means that when 1 is multiplied by any real number, the result is the same number.
• a × 1 = a

Additive Inverse

• The additive inverse of a real number is the number that, when added to the original number, results in 0.
• a + (-a) = 0

Multiplicative Inverse

• The multiplicative inverse of a real number is the number that, when multiplied by the original number, results in 1.
• a × (1/a) = 1 (except for 0, which has no multiplicative inverse)

Propriétés des Nombres Réels

Propriété Commutative

• La propriété commutative indique que l'ordre des nombres réels ne change pas le résultat d'une opération.
• Pour l'addition : a + b = b + a
• Pour la multiplication : a × b = b × a

Propriété Associative

• La propriété associative indique que l'ordre dans lequel les nombres réels sont regroupés ne change pas le résultat d'une opération.
• Pour l'addition : (a + b) + c = a + (b + c)
• Pour la multiplication : (a × b) × c = a × (b × c)

Propriété Distributive

• La propriété distributive indique que la multiplication peut être distribuée sur l'addition.
• a × (b + c) = a × b + a × c

Identité Additive

• L'identité additive est 0, ce qui signifie que lorsque 0 est ajouté à tout nombre réel, le résultat est le même nombre.
• a + 0 = a

Identité Multiplicative

• L'identité multiplicative est 1, ce qui signifie que lorsque 1 est multiplié par tout nombre réel, le résultat est le même nombre.
• a × 1 = a

Inverse Additif

• L'inverse additif d'un nombre réel est le nombre qui, lorsqu'il est ajouté au nombre d'origine, donnera 0.
• a + (-a) = 0

Inverse Multiplicatif

• L'inverse multiplicatif d'un nombre réel est le nombre qui, lorsqu'il est multiplié par le nombre d'origine, donnera 1.
• a × (1/a) = 1 (sauf pour 0, qui n'a pas d'inverse multiplicatif)

Les fractions

• Une fraction est une représentation d'une partie d'un tout sous forme de rapport de deux entiers : a/b où a est le numérateur et b est le dénominateur.
• Le numérateur indique combien de parties égales nous avons, tandis que le dénominateur indique combien de parties le tout est divisé.
• Les fractions peuvent être simplifiées en divisant à la fois le numérateur et le dénominateur par leur plus grand diviseur commun (PGCD).
• Les fractions équivalentes ont la même valeur mais des formes différentes, par exemple, 1/2 et 2/4.

La notation décimale

• La notation décimale est une représentation d'une fraction sous forme d'une séquence finie ou infinie de chiffres.
• Un décimal est une fraction avec un dénominateur qui est une puissance de 10 (par exemple, 10, 100, 1000).
• Les fractions peuvent être converties en décimaux en divisant le numérateur par le dénominateur.
• Les décimaux peuvent être terminant (fini) ou non-terminant (infini), par exemple, 1/2 = 0,5 (terminant) et 1/3 = 0,333... (non-terminant).

Ordre croissant

• Les nombres réels peuvent être ordonnés du plus petit au plus grand en utilisant la ligne des nombres.
• La ligne des nombres est une ligne avec un point zéro (origine) et une direction positive (droite) et une direction négative (gauche).
• Deux nombres réels peuvent être comparés en déterminant lequel est à droite de l'autre sur la ligne des nombres.

Comparaison

• Deux nombres réels peuvent être comparés en utilisant les symboles suivants :
  • > (supérieur à)
  • < (inférieur à)
  • = (égal à)