Équations et Théorèmes de l'Analyse

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Quelle affirmation concernant le théorème des valeurs intermédiaires est vraie ?

Il n'est pas nécessaire que la fonction soit continue sur l'intervalle [a, b].
La fonction peut être constante sur l'intervalle pour que le théorème s'applique.
Il existe au moins un c pour chaque k dans f(a) et f(b). (correct)
La solution c n'est pas nécessairement unique si f est monotone.

Quelles conditions sont nécessaires pour prouver qu'une équation f(x) = 0 a une solution unique sur l'intervalle [a, b] ?

f est continue et f(a) = f(b).
f change de signe sur [a, b] et f est strictement monotone. (correct)
f est une fonction quadratique sur [a, b].
f(a) et f(b) sont tous deux positifs.

Pour la fonction f(x) = x³ - 3x² + 2, quel énoncé est vrai concernant son comportement dans l'intervalle [2.5, 5] ?

f est décroissante sur cet intervalle.
f est strictement croissante dans cet intervalle. (correct)
f a exactement deux solutions dans cet intervalle.
f est constante dans cet intervalle.

Quelle est la valeur approximative de la solution de f(x) = 0 dans l'intervalle [2.5, 5] ?

2.73 (D) Signup and view all the answers

Quelle est la dérivée de la fonction f(x) = x³ - 3x² + 2 ?

3x² - 6 (C) Signup and view all the answers

Quelle est la continuité de la fonction $f(x) = x^3 - 4x^2 + 6$ sur l'intervalle $[-1, 4]$?

Elle est continue sur tout l'intervalle $[-1, 4]$. (D) Signup and view all the answers

Quel est le résultat de $f(-1)$ pour la fonction $f(x) = x^3 - 4x^2 + 6$?

1 (C) Signup and view all the answers

Selon le théorème de la valeur intermédiaire, que peut-on dire sur l'équation $f(x) = 2$ dans l'intervalle $[-1, 4]$?

Elle a au moins une solution dans cet intervalle. (D) Signup and view all the answers

Si $(u_n)$ est une séquence définie par récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$ et converge vers $L$, que peut-on conclure?

$f(L) = L$. (B) Signup and view all the answers

Quelle est la valeur de $f(4)$ pour la fonction $f(x) = x^3 - 4x^2 + 6$?

6 (C) Signup and view all the answers

Qu'est-ce qui définit qu'une fonction $f$ est continue à un point $a$ ?

$ ext{lim}_{x o a} f(x) = f(a)$ (B) Signup and view all the answers

Quelle fonction est continue sur $ ext{R}$ ?

$ ext{sin}(x)$ (B) Signup and view all the answers

Quel énoncé est correct concernant la continuité sur un intervalle ?

Une fonction continue à chaque point d'un intervalle est continue sur tout l'intervalle. (C) Signup and view all the answers

Pour quel intervalle la fonction $rac{1}{x}$ est-elle continue ?

$(- ext{infini}, 0) igcup (0, + ext{infini})$ (C) Signup and view all the answers

Quel est le point de discontinuité pour la fonction définie par $f(x) = \begin{cases} -x + 2, & ext{si } x < 3 \ -x - 4, & ext{si } 3 \leq x < 5 \ -2x + 13, & ext{si } x \geq 5 \end{cases}$ ?

x = 5 (D) Signup and view all the answers

Continuité d'une fonction

Une fonction est continue en un point si la limite de la fonction à ce point est égale à la valeur de la fonction en ce point. Une fonction est continue sur un intervalle si elle est continue en chaque point de l'intervalle.

Discontinuité d'une fonction

Une fonction est discontinue en un point si la limite de la fonction à ce point n'existe pas ou si la limite de la fonction à ce point n'est pas égale à la valeur de la fonction en ce point.