Critères de Divisibilité en Arithmétique Modulaire
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Questions and Answers

Quel est un critère classique de divisibilité mentionné dans le contenu ?

  • Divisibilité par 6
  • Divisibilité par 7 (correct)
  • Divisibilité par 4
  • Divisibilité par 10

    • Quel mathématicien a proposé un test de divisibilité général par D ?

  • Georg Wolfgang Krafft
  • Pierre Forcadel
  • Fontés
  • Blaise Pascal (correct)

    • Selon la méthode de Georg Wolfgang Krafft, quel test de divisibilité est effectué ?

  • Tester si le reste de la division par 10 est nul
  • Additionner les chiffres et vérifier si le total est pair
  • Vérifier si $a + m - c$ est divisible par 7 (correct)
  • Multiplier le chiffre le plus à gauche par 2

    • Quelle méthode de réduction a été présentée par Pierre Forcadel ?

    <p>Méthode de réduction par la gauche</p> Signup and view all the answers

    Quel était l'objectif principal des critères de divisibilité ?

    <p>Déterminer la divisibilité d'un nombre par un autre</p> Signup and view all the answers

    Quelle propriété relative à la divisibilité par 9 était connue des mathématiciens arabes ?

    <p>Utilisation dans la preuve par neuf</p> Signup and view all the answers

    Quelle période historique mentionnée concerne l'utilisation des critères de divisibilité ?

    <p>Antiquité</p> Signup and view all the answers

    Quelle est une méthode pour obtenir le reste d'un nombre dans la division par 7 selon Pierre Forcadel ?

    <p>Multiplier le chiffre le plus à gauche par 3</p> Signup and view all the answers

    Quelle est la condition pour qu'un nombre soit divisible par 2 ?

    <p>Son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.</p> Signup and view all the answers

    Comment déterminer si un nombre est divisible par 3 ?

    <p>La somme de ses chiffres est divisible par 3.</p> Signup and view all the answers

    Quelle méthode est utilisée pour vérifier la divisibilité par 11 ?

    <p>On calcule la différence entre la somme des chiffres de rang pair et impair.</p> Signup and view all the answers

    Dans quelle condition un nombre est-il divisible par 5 ?

    <p>Son chiffre des unités est 0 ou 5.</p> Signup and view all the answers

    Comment peut-on déterminer la divisibilité par 9 ?

    <p>La somme de ses chiffres doit être divisible par 9.</p> Signup and view all the answers

    Quelle est la première étape pour appliquer la méthode du ruban de Pascal ?

    <p>Chercher le plus petit entier r &gt; 0 tel que $10^r ≡ ±1 ext{ mod } D$.</p> Signup and view all the answers

    Pour quelle classe de diviseurs les méthodes de divisibilité décrites sont-elles applicables ?

    <p>Les diviseurs premiers avec 10.</p> Signup and view all the answers

    Quel est le critère pour qu'un nombre soit divisible par 7 ?

    <p>Le nombre obtenu par une somme-produit doit être divisible par 7.</p> Signup and view all the answers

    Un nombre qui se termine par quel chiffre n'est pas pair ?

    <p>5</p> Signup and view all the answers

    Comment peut-on exprimer un nombre A dans la base $10^r$ ?

    <p>En le représentant par une somme de ses chiffres multipliés par des puissances de 10.</p> Signup and view all the answers

    Quel critère Lagrange a-t-il élargi en 1795?

    <p>Le critère de Pascal</p> Signup and view all the answers

    En quelle année Carl Johan Hill a-t-il présenté des critères de divisibilité?

    <p>1834</p> Signup and view all the answers

    Quel type de divisibilité Hill a-t-il référencé?

    <p>Divisibilité par 13 et 17</p> Signup and view all the answers

    Quel résultat a publié August Leopold Crelle en 1844?

    <p>Un critère général de divisibilité dans une base A</p> Signup and view all the answers

    Quel est le lien entre les entiers n et r dans le critère de divisibilité?

    <p>nA = r + ks</p> Signup and view all the answers

    Que permet le critère général proposé par Crelle?

    <p>Effectuer des réductions par tranches</p> Signup and view all the answers

    Quel est l'objectif principal de la méthode de calcul des restes dans la divisibilité?

    <p>Évaluer les restes périodiques</p> Signup and view all the answers

    Qui a présenté le critère par réduction (soustractive) par la droite en 1860?

    <p>A. Zbikowski</p> Signup and view all the answers

    Quelle est la condition pour qu'un nombre Z soit divisible par s selon le critère générique?

    <p>z doit être divisible par s</p> Signup and view all the answers

    Comment sont calculés les restes à l'avance pour étudier la divisibilité par D?

    <p>En diminuant éventuellement de D</p> Signup and view all the answers

    Quelle relation existe entre A et D dans le contexte de la divisibilité?

    <p>A est étudié pour sa divisibilité par D</p> Signup and view all the answers

    Quel concept est associé aux restes dans la réduction par la droite?

    <p>Les restes sont périodiques</p> Signup and view all the answers

    Quelle méthode est utilisée pour chaque puissance de 10 quand on considère la divisibilité par D?

    <p>Elles sont remplacées par leurs restes</p> Signup and view all the answers

    Study Notes

    Critères de Divisibilité en Arithmétique Modulaire

    • Les critères de divisibilité permettent de déterminer si un nombre est divisible par un autre.
    • Ils reposent sur des démonstrations mathématiques et utilisent les congruences.
    • La recherche de ces critères est une activité ancienne.
    • Des critères de divisibilité par des nombres comme 2, 5, 7, 9, 11 et 13 ont été développés dans différentes cultures et époques.

    Exemples Historiques et Méthodes

    • Le Talmud de Babylone (e siècle) décrit certaines propriétés de divisibilité.
    • Les mathématiciens arabes connaissaient le critère de divisibilité par 9.
    • Pierre Forcadel (1556) a proposé une méthode de réduction par la gauche pour la divisibilité par 7.
    • Blaise Pascal (1654) a développé un critère de divisibilité général pour un diviseur D. Il remarque que ce critère est utilisable dans n'importe quelle base.
    • Georg Wolfgang Krafft (1738) proposa une méthode récursive pour la divisibilité par 7.
    • Joseph-Louis Lagrange (1795) améliora le critère de Pascal.
    • Carl Johan Hill (1834) publia des méthodes de réduction pour différents diviseurs.
    • August Leopold Crelle (1844) exposait la théorie mathématique des critères de divisibilité dans une base quelconque.
    • A. Zbikowski (1860) et M. Loir (1888) présentèrent et démontrèrent la méthode de réduction par la droite et fournit des coefficients.

    Critères Classiques de Divisibilité

    • Divisible par 2 : Le chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.
    • Divisible par 3 : La somme des chiffres est divisible par 3.
    • Divisible par 5 : Le chiffre des unités est 0 ou 5.
    • Divisible par 9 : La somme des chiffres est divisible par 9.
    • Divisible par 11 : La différence entre la somme des chiffres de rang pair et la somme des chiffres de rang impair est divisible par 11.
    • Divisible par 7 : Ce critère nécessite la suite de règles spécifiques exposées dans le texte.

    Méthode Générale (Ruban de Pascal)

    • Pour un diviseur D premier avec 10
    • Calculer à l'avance le reste de chaque puissance de 10 dans la division par D.
    • Remplacer chaque puissance de 10 dans le nombre par son reste correspondant par rapport au diviseur.
    • Le nouveau nombre obtenu aura le même reste que le nombre d'origine lorsqu'il est divisé par D.
    • La méthode de réduction se généralise à n'importe quelle base.
    • Cette méthode permet de connaître le reste de la division.
    • On réduit le nombre pour des diviseurs plus grands en trouvant une période dans la suite des restes (base 10 à la puissance r).
    • La méthode se décompose en blocs de r chiffres.

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    Quiz Team

    Description

    Découvrez les critères de divisibilité qui déterminent si un nombre peut être divisé par un autre en utilisant l'arithmétique modulaire. Ce quiz explore des méthodes développées à travers l'histoire par différentes cultures et mathématiciens célèbres. Testez vos connaissances sur les propriétés mathématiques et les congruences !

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