Continuité des Fonctions et Équations

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Questions and Answers

Tudier la continuit de la fonction f en x₀ dans chacun des cas suivants :

f(x) = x+1-1 / x, x 0 f(0) = 1/2

f(x) = sin(x - 2) / x - 2x, x 0 et x 2 f(2) = 1 / 2

f(x) = sin(x) / x+1-1, x 0 f(0) = 2

La fonction f est continue en x₀ si et seulement si la limite de f(x) quand x tend vers x₀ est gale f(x₀).

Tudier la continuit de la fonction f en x₀ dans chacun des cas suivants :

f(x) = x, x 0 f(x) = x + 2, x > 0; x₀ = 0

f(x) = 3 - x, x 0 f(x) = x - 3, x > 0; x₀ = 0

f(x) = x - 8 / x - 2, x 2 f(2) = 12

Pour tudier la continuit, il faut vrifier si la limite gauche de f(x) en x₀ est gale la limite droite de f(x) en x₀ et si cette limite est gale f(x₀).

Tudier la continuit de la fonction f en x₀ dans chacun des cas suivants :

f(x) = x - 5x + 6 / x - x - 2, x 2 f(2) = 1 / 3

f(x) = x + 2x + 3, x -2 f(x) = x + x - 2 / x + 2, x < -2; x₀ = -2

f(x) = x - 1 / x - 1, x 1 f(1) = 2; x₀ = 1

Il faut analyser la fonction f autour de x₀ et dterminer si les limites gauche et droite de f(x) en x₀ existent et sont finies. Si elles sont gales et gales f(x₀), la fonction est continue en x₀. Sinon, elle n'est pas continue.

Tudier la continuit de la fonction f sur l'intervalle I dans chacun des cas suivants :

f(x) = (2x - 1) + sin(x); I = R

f(x) = x + 4 / 2x - 4; I = R \ {2}

f(x) = 1/2 + x; I = R

Pour tudier la continuit sur un intervalle I, il faut s'assurer que la fonction f est continue en tout point de I. Cela implique de vrifier la continuit en chaque point de I et de s'assurer que f n'a pas de points de discontinuit dans I. Signup and view all the answers

Tudier la continuit de la fonction f sur l'intervalle I dans chacun des cas suivants :

f(x) = cos(x) / x - 9; I = R \ {-3, 3}

f(x) = x - 4 + 1 + cos(x); I = ]-, -2] U [2, +[

Il faut dterminer si la fonction est continue en chaque point de l'intervalle I. Cela implique aussi de vrifier si la fonction est dfinie en chaque point de I et si elle n'a pas de points de discontinuit. Signup and view all the answers

Tudier la continuit de la fonction f sur Df dans chacun des cas suivants :

f(x) = 2x - 1 / x + 4x, x 0 et x -4 f(0) = 1/2

f(x) = x5 - 6x + 3x + 7

f(x) = 2sin(x) + 3cos(x)

f(x) = x - 1

Il faut dterminer le domaine de dfinition de la fonction, Df, et vrifier si la fonction est continue chaque point de Df. Signup and view all the answers

Tudier la continuit de la fonction f sur Df dans chacun des cas suivants :

f(x) = x / x + 1

f(x) = x - 3x + 4cos(x)

Il faut dterminer le domaine de dfinition de la fonction, Df, et vrifier si la fonction est continue chaque point de Df. Il est possible que la fonction prsente des points de discontinuit aux bornes du domaine de dfinition. Signup and view all the answers

Soit g la fonction dfinie sur R par : g(x) = x + x - 1 / x + 1 + x - x + 4

tudier la continuit de g sur R.

Pour tudier la continuit de g sur R, on doit s'assurer que g est dfinie et continue sur R. On doit examiner la fonction g et vrifier si elle n'a pas des points de discontinuit. Signup and view all the answers

On considre la fonction f dfinie par : f(x) = sin(3x) / x + 1, x > 0 f(x) = x + m / 2, x 0

Dterminer la valeur du paramtre m pour que la fonction f soit continue en 0.

Pour que f soit continue en 0, la limite droite de f(x) en 0 doit tre gale la limite gauche de f(x) en 0. Signup and view all the answers

On considre la fonction f dfinie par : f(x) = sin(x) / x, x 1 f(1) = m

Dterminer la valeur du paramtre m pour que la fonction f soit continue en 1.

Pour que la fonction f soit continue en 1, la limite de f(x) quand x tend vers 1 doit tre gale f(1). Signup and view all the answers

On considre la fonction f dfinie par : f(x) = ax + 5b - a, x > 0 f(x) = sin(ax) / bx, x < 0 f(0) = 4

O a et b sont deux nombres rels non nuls. Dterminer la valeur de a et b sachant que la fonction f est continue en 0.

Pour que f soit continue en 0, la limite droite de f(x) en 0 doit tre gale la limite gauche de f(x) en 0 et f(0). Signup and view all the answers

On considre la fonction f dfinie par : f(x) = x / x - 1

Dterminer Df.

Calculer les limites de f aux bords de Df.

a) Vrifier que f'(x) = x - 2x / (x - 1) pour tout x de Df.

b) Donner le tableau des variations de la fonction f.

Dterminer l'image, par la fonction f, de chacun des intervalles suivants : ]1; 3]; [0; 1[; ]2; +[ et [-3; -2]

Pour dterminer le domaine de dfinition, Df, il faut trouver les valeurs pour lesquelles la fonction est dfinie. Puis, on peut calculer les limites de f aux bords de Df. Pour trouver le tableau des variations de la fonction f, on peut calculer la drive de f et tudier son signe. Enfin, pour dterminer l'image de la fonction f sur un intervalle, on peut trouver les valeurs minimales et maximales de la fonction sur cet intervalle. Signup and view all the answers

Monter que l'quation f(x) = 0 admet au moins une solution sur l'intervalle I dans chacun des cas suivants :

f(x) = 7x - x - 1; I = [0; 1]

f(x) = cos(x) - x; I = ]0; /2]

f(x) = x + x - 1 / x - 1; *I = ]-; 0[

On peut utiliser le thorme des valeurs intermdiaires pour dterminer si l'quation f(x) = 0 admet au moins une solution sur un certain intervalle. Signup and view all the answers

On considre la fonction f dfinie par : f(x) = x5 - x + x - 2

Montrer que l'quation f(x) = 0 admet une solution unique a dans l'intervalle ]1, 2[.

Dterminer le signe de f(x) pour tout x de R.

On peut utiliser le thorme des valeurs intermdiaires pour montrer que l'quation f(x) = 0 admet une solution unique dans l'intervalle ]1, 2[. Pour dterminer le signe de f(x) pour tout x de R, on peut tudier les variations de la fonction f. Signup and view all the answers

Soit f la fonction dfinie sur ]1, +[ par : f(x) = 1 - x + x / x - 1

Vrifier que pour tout x de ]1, +[: f(x) = -x + 1/x - 1

Montrer que la fonction f est strictement dcroissante sur l'intervalle ]1, +[.

a) Monter que (Cf) coupe l'axe des abscisses en un seul point d'abscisse ** appartenant l'intervalle ]1, 2[.

b) Dduire que :

( - 2) = 1 - *

Dterminer le signe de f(x) sur l'intervalle ]1, +[.

Montrer qu'il existe un nombre unique ** de l'intervalle [1, 2] tel que f() = 1 / 2

Il faut utiliser les outils du calcul diffrentiel et intgral pour rpondre aux questions. Par exemple, pour montrer que f est strictement dcroissante sur l'intervalle ]1, +[, il faut calculer la drive de f et montrer qu'elle est ngative sur cet intervalle. Pour dterminer le signe de f(x), on peut tudier les variations de la fonction f. Signup and view all the answers

Soit f une fonction dfinie et continue sur [0, 1] telle que : f([0, 1]) = ]0, 1[

Montrer que l'quation f(x) = 0 admet au moins une solution dans l'intervalle ]0, 1[.

Dduire que l'quation sin(x) - x = 0 admet au moins une solution dans l'intervalle ]0, 1[.

Il faut utiliser le thorme des valeurs intermdiaires pour rpondre aux questions. Par exemple, pour montrer que l'quation f(x) = 0 admet au moins une solution dans l'intervalle ]0, 1[, il faut utiliser le thorme des valeurs intermdiaires et le fait que f([0, 1]) = ]0, 1[. En d'autres termes, f(x) prend toutes les valeurs entre 0 et 1 sur l'intervalle [0, 1], ce qui implique qu'il existe un point x dans cet intervalle tel que f(x) = 0. Signup and view all the answers

Monter que l'quation x + 2x - 4 = 0 admet une solution unique ** dans l'intervalle ]1, 3/2[.

On peut utiliser le thorme des valeurs intermdiaires pour montrer que l'quation x + 2x - 4 = 0 admet au moins une solution dans l'intervalle ]1, 3/2[. Puis, on peut montrer que la drive de x + 2x - 4 est positive dans cet intervalle, ce qui implique que la fonction est strictement croissante. Donc, il n'y a qu'une seule solution dans l'intervalle. Signup and view all the answers

Monter que l'quation 2x + 7x - 4 = 0 admet une solution unique ** dans R et que 1/3 < < 1.

On peut utiliser le thorme des valeurs intermdiaires pour montrer que l'quation 2x + 7x - 4 = 0 admet au moins une solution dans R. Puis, on peut calculer la valeur de f(x) aux points x = 1/3 et x = 1 et conclure qu'il existe une solution de l'quation f(x) = 0 entre ces deux points. En d'autres termes, 1/3 < < 1. Signup and view all the answers

On considre la fonction f dfinie sur R par : f(x) = x - 3x

a) Montrer que la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle ]2, +[.

b) Montrer que l'quation f(x) = 0 admet une solution unique o 2 < < 4.

Vrifier que 3 est le centre de l'intervalle [2, 4] puis calculer f(3) et dduire que 3 < ** < 4.

Soit g la restriction de la fonction f sur l'intervalle I = [0, 2].

a) Montrer que g admet une fonction rciproque g dfinie sur un intervalle J dterminer.

b) Calculer g(1) et dduire g( 3).

Il faut utiliser les outils du calcul diffrentiel et intgral pour rpondre aux questions. Par exemple, pour montrer que f est strictement croissante sur l'intervalle ]2, +[, il faut calculer la drive de f et montrer qu'elle est positive sur cet intervalle. Pour dterminer le signe de f(x), on peut tudier les variations de la fonction f. Signup and view all the answers

On considre la fonction f dfinie sur I = [2, +[ par : f(x) = x - 2

Montrer que f est continue et strictement monotone sur I = [2, +[.

Dduire que f admet une fonction rciproque sur un intervalle J dterminer.

Dterminer f(x) pour tout x de J.

Pour rpondre ces questions, utilisez les outils du calcul diffrentiel et intgral : la drive et le thorme des valeurs intermdiaires. **Pour trouver la fonction rciproque f(x), il faut inverser les rles de x et y dans l'quation de f et rsoudre pour y. ** Signup and view all the answers

On considre la fonction f dfinie sur I = ]1, +[ par : f(x) = 2x + 3 / x - 1

Montrer que f est continue et strictement monotone sur I = ]1, +[.

Dduire que f admet une fonction rciproque sur un intervalle J dterminer.

Dterminer f(x) pour tout x de J.

Il faut utiliser les outils du calcul diffrentiel et intgral pour rpondre aux questions. Par exemple, pour montrer que f est strictement monotone sur l'intervalle ]1, +[, il faut calculer la drive de f et montrer qu'elle est positive ou ngative sur cet intervalle. Signup and view all the answers

On considre la fonction f dfinie sur I = [0, 1] par: f(x) = x / x - 1

Montrer que f est continue et strictement monotone sur I = [0, 1].

Dduire que f admet une fonction rciproque sur un intervalle J dterminer.

Dterminer f(x) pour tout x de J.

Reprsenter graphiquement (Cf) et (Cf) dans un repre orthonorm.

Pour rpondre ces questions, vous devez utiliser les outils du calcul diffrentiel et intgral : la drive et le thorme des valeurs intermdiaires. Pour trouver la fonction rciproque f(x), il faut inverser les rles de x et y dans l'quation de f et rsoudre pour y. Pour reprsenter graphiquement (Cf) et (Cf), il faut tracer les graphes des deux fonctions. Signup and view all the answers

Rsoudre dans R les quations suivantes :

(E1): 3x - 4 = 2

(E2): x + 1 + 1 - x = 2

(E3): x + 1 = x + 1

Pour rsoudre ces quations, on doit raliser les oprations ncessaires pour isoler x dans chaque quation. Il est important de vrifier les solutions trouves pour s'assurer qu'elles sont valides. Signup and view all the answers

Calculer les limites suivantes :

lim_{x0} (x + 8 - 2) / x

lim_{x2} (x + 6 - 2) / (x - 2)

lim_{x0} (3x + 2 - 2) / 3

lim_{x2} (x + x + 2 - 3x) / (x - 2)

lim_{x-} (x + 8x + 16 - x - 2x - 1) / 2

Pour calculer ces limites, il faut utiliser les techniques de calcul des limites. Par exemple, on peut utiliser la factorisation, l'utilisation des quivalents, la simplification, etc. Il faut galement analyser le comportement des fonctions quand x tend vers l'infini. Signup and view all the answers

On considre la fonction f dfinie sur [0, 4] par : f(x) = 4x - x

Montrer que f est continue sur [0, 4].

Monter que l'quation f(x) = x - 1 admet au moins une solution dans ]2, 3[.

Soit g la restriction de la fonction f sur l'intervalle I = [0, 2].

a) Montrer que g admet une fonction rciproque g dfinie sur un intervalle J dterminer.

b) Calculer g(1) et dduire g(3).

Il faut utiliser les outils du calcul diffrentiel et intgral pour rpondre aux questions. Par exemple, pour montrer que f est continue sur [0, 4], il faut montrer que f est dfinie et continue en chaque point de [0, 4]. Pour montrer que l'quation f(x) = x - 1 admet au moins une solution dans ]2, 3[, il faut utiliser le thorme des valeurs intermdiaires. Signup and view all the answers

On considre la fonction f dfinie sur [0, +[ par: f(x) = (x - 1)x

Montrer que f est continue sur [0, +[.

Soit h la restriction de la fonction f sur l'intervalle I = [1, +[.

a) Montrer que h admet une fonction rciproque h dfinie sur un intervalle J dterminer.

b) Quelle est la monotonie de h sur J?

c) Calculer h(0).

d) Vrifier que h(2) = 2*

Il faut utiliser les outils du calcul diffrentiel et intgral pour rpondre aux questions. Par exemple, pour montrer que f est continue sur [0, +[, il faut montrer que f est dfinie et continue en chaque point de [0, +[. Pour montrer que h admet une fonction rciproque, il faut montrer que h est strictement monotone sur I = [1, +[. Signup and view all the answers

Study Notes