Continuité d'une fonction 2BAC SP-SVT PDF 2024/2025

Série de soutien 2BAC SP-SVT Continuité d'une fonction Année : 2024/2025 Exercice 1 Exercice 5 Étudier la continuité de la fonction f en x0 dans chacun des c...

Série de soutien 2BAC SP-SVT Continuité d'une fonction Année : 2024/2025 Exercice 1 Exercice 5 Étudier la continuité de la fonction f en x0 dans chacun des cas Étudier la continuité de la fonction f sur l'intervalle I dans cha- suivants  : √ cun des cas suivants : x + 1 − 1 1. f (x) = (2x − 1) + sin(x) ; I = R  f (x) = , x ̸= 0  1. x ; x0 = 0 x2 + 4  f (0) = 1  2. f (x) = ; I = R \ {2} 2 2x − 4 1 √  sin(x − 2)  f (x)  = 2 , x ̸= 0 et x ̸= 2 3. f (x) = + x ; I = R∗+ 2. 1 x − 2x ; x0 = 2 x f (2) = cos(x) 4. f (x) = 2  ; I = R \ {−3, 3}  2 x −9 √  sin(x) 5. f (x) = x2 − 4 + 1 + cos(x); I =] − ∞, −2] ∪ [2, +∞[ p f (x) = √ , x ̸= 0  3. x+1−1 ; x0 = 0 f (0) = 2 Exercice 6   f (x) = x 2 ,x ⩽ 0 Étudier la continuité de la fonction f sur Df dans chacun des 4. ; x0 = 0 cas suivants : f (x) = x + 2 ,x > 0   x3 − 8 = 3 − x2 , x ̸= 2   f (x) ,x ⩽ 0 1. f (x) = 5. ; x0 = 0 x−2 x2 − 3  f (2) = 12  f (x) = ,x > 0 2x − 1 ( 1 2. f (x) = x5 − 6x2 + 3x + 7 f (x) = 2 + x2 sin( ) , x ̸= 0 3. f (x) = 2 sin(x) + 3 cos(x) 6. x ; x0 = 0 f (0) = 2 √ 4. f (x) = x2 − 1 2 √   f (x) = x − 5x + 6 , x ̸= 2 x 5. f (x) =  7. x2 − x − 2 ; x0 = 2 x2 + 1  f (2) = − 1 6. f (x) = x2 − 3x + 4 cos(x)   3  f (x) = x2 + 2x + 3 , x ⩾ −2 Exercice 7 8. x2 + x − 2 ; x0 = −2 Soit g la fonction dénie sur R par :  f (x) = , x < −2 x+2  x2 − 1 x2 + x − 1 p 2  f (x) = , x ̸= 1 g(x) = + x −x+4 9. |x − 1| ; x0 = 1 x2 + 1 f (1) = 2  Étudier la continuité de g sur R. Exercice 2 On considère la fonction f dénie par : Exercice 8 x2 On considère la fonction f dénie par : f (x) =  sin(3x)  f (x)  =2 +1 ,x > 0 x−1 x 1. Déterminer Df. 1  f (x) = x + m −  ,x ⩽ 0 2. Calculer les limites de f aux bords de Df. 2 3. Déterminer la valeur du paramètre m pour que la fonction f x2 − 2x a) Vérier que f ′ (x) = pour tout x de Df. soit continue en 0. (x − 1)2 b) Donner le tableau des variations de la fonction f. Exercice 3 4. Déterminer l'image, par la fonction f , de chacun des intervalles On considère la fonction f dénie par : suivants : ]1; 3] ; [0; 1[ ; ]2; +∞[ et  sin(πx) [−3; −2] f (x) = , x ̸= 1  x−1  f (1) =m Exercice 9 Monter que l'équation f (x) = 0 admet au moins une solution sur Déterminer la valeur du paramètre m pour que la fonction f l'intervalle I dans chacun des cas suivants : soit continue en 1. 1. f (x) = 7x3 − x − 1 ; I = [0; 1] π Exercice 4 2. f (x) = cos(x) − x ; I =]0; [ On considère la fonction f dénie par : 2 x2 + x − 1  f (x) = ax + 5b − a ,x > 0 3. f (x) = ; I =] − ∞; 0[  x−1 sin(ax)  f (x) = ,x < 0 Exercice 10   bx On considère la fonction f dénie par : f (0) = 4 où a et b sont deux nombres réels non nuls. f (x) = x5 − x3 + x − 2 Déterminer la valeur de a et b sachant que la fonction f est continue en 0. 1. Montrer que l'équation f (x) = 0 admet une solution unique α dans l'intervalle ]1, 2[. 2. Déterminer le signe de f (x) pour tout x de R. Exercice 11 Exercice 17 Soit f la fonction dénie sur ]1, +∞[ par : On considère la fonction f dénie sur I =]1, +∞[ par : √ √ 2x + 3 1− x3 + x f (x) = f (x) = x−1 x−1 1. Montrer que f est continue et strictement monotone sur 1. Vérier que pour tout x de ]1, +∞[ : I =]1, +∞[. √ 1 2. Déduire que f admet une fonction réciproque sur un inter- f (x) = − x + x−1 valle J à déterminer. 3. Déterminer f −1 (x) pour tout x de J. 2. Montrer que la fonction f est strictement décroissante sur Exercice 18 l'intervalle ]1, +∞[. On considère la fonction f dénie sur I = [0, 1] par : 3. a) Monter que (Cf ) coupe l'axe des abscisses en un seul point d'abscisse α appartenant à l'intervalle ]1, 2[. f (x) = x4 − x b) Déduire que : 1. Montrer que f est continue et strictement monotone sur α2 (α − 2) = 1 − α 1 I = [ , 0]. 4 4. Déterminer le signe de f (x) sur l'intervalle ]1, +∞[. 2. Déduire que f admet une fonction réciproque sur un inter- 5. Monter qu'il existe un nombre unique β de l'intervalle ]1, 2] valle J à déterminer. 1 3. Déterminer f −1 (x) pour tout x de J. tel que f (β) =. 2 4. Représenter graphiquement (Cf ) et (Cf−1 ) dans un repère Exercice 12 orthonormé. Soit f une fonction dénie et continue sur [0, 1] telle que : Exercice 19 Résoudre dans R les équations suivantes : f ([0, 1]) ⊂]0; 1[ √ (E1 ) : 5 3x − 4 = 2 1. Monter que l'équation f (x) = 0 admet au moins une solu- √ √ √ tion dans l'intervalle ]0, 1[. 3 (E2 ) : 3 x + 1 + 3 1 − x = 2 π √ √ 2. Déduire que l'équation sin( x) − x = 0 admet au moins (E3 ) : x + 1 = 3 x + 1 2 une solution dans l'intervalle ]0, 1[. Exercice 20 Exercice 13 Calculer les limites suivantes : √ √ √ Monter que l'équation x3 + 2x − 4 = 0 admet une solution 3 x+1−1 3 x+6−2 3 x+8−2 3 lim , lim , lim unique α dans l'intervalle ]1, [. x→0 x x→2 x−2 x→0 x 2 √3 3x + 2 − 2 p3 Exercice 14 lim , lim x3 + x2 + 2 − 3x Monter que l'équation 2x3 + 7x − 4 = 0 admet une solution x→2 x−2 x→+∞ p p 1 lim 3 3 −8x3 − 8x + 16 − −2x3 − 1 unique α dans R et que < α < 1. x→−∞ 2 Exercice 15 Exercice 21 On considère la fonction f dénie sur R par : On considère la fonction f dénie sur [0, 4] par : p 3 f (x) = x − 3x − 5 2 f (x) = 4x − x2 1. Montrer que f est continue sur [0, 4]. 1. a) Montrer que la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle ]2, +∞[. 2. Monter que l'équation f (x) = x − 1 admet au moins une b) Montrer que l'équation f (x) = 0 admet une solution solution dans ]2, 3[. unique α où 2 < α < 4. 3. Soit g la restriction de la fonction f sur l'intervalle I = [0, 2]. 2. Vérier que 3 est le centre de l'intervalle [2, 4] puis calculer f (3) et déduire que 3 < α < 4. a) Montrer que g admet une fonction réciproque g −1 dé- nie sur un intervalle J à déterminer. 3. Calculer f (3, 5) et déduire un encadrement de α. √ b) Calculer g(1) et déduire g −1 ( 3). 4. En suivant la même procédure donner un encadrement de Exercice 22 α d'amplitude 25.10−2. On considère la fonction f dénie sur [0, +∞[ par : Exercice 16 √ On considère la fonction f dénie sur I = [2, +∞[ par : f (x) = (x − 1) x √ 1. Montrer que f est continue sur [0, +∞[. f (x) = x−2 2. Soit h la restriction de la fonction f sur l'intervalle 1. Montrer que f est continue et strictement monotone sur I = [1, +∞[. I = [2, +∞[. a) Montrer que h admet une fonction réciproque h−1 dé- 2. Déduire que f admet une fonction réciproque sur un inter- nie sur un intervalle J à déterminer. valle J à déterminer. b) Quelle est la monotonie de h−1 sur J ? 3. Déterminer f −1 (x) pour tout x de J. c) Calculer h−1 (0). √ d) Vérier que h−1 ( 2) = 2