Campionamento e Quantizzazione dei Segnali Digitali

Onda Periodica

• Un’onda periodica è una funzione che si ripete nel tempo con intervalli regolari. Un’onda periodica può essere descritta come una funzione y(t) che soddisfa la condizione y(t + T) = y(t) per ogni valore di t, dove T è il periodo dell’onda. Un esempio comune di onda periodica è l’onda sinusoidale.

Frequenza, Periodo e Pulsazione

• La frequenza (f) di un’onda periodica è il numero di cicli completi che l’onda compie in un secondo. È misurata in Hertz (Hz).
• Il periodo (T) di un’onda periodica è il tempo che l’onda impiega per completare un ciclo completo. È misurato in secondi (s).
• La pulsazione (ω) di un’onda periodica è la velocità angolare dell’onda, ovvero la velocità con cui l’onda ruota attorno al suo asse. È misurata in radianti al secondo (rad/s).
• Queste grandezze sono legate dalla seguente relazione: f=1Tf=\frac{1}{T}f=T1​ ω=2πf=2πTω = 2πf = \frac{2π}{T}ω=2πf=T2π​

Frequenza, Lunghezza d’onda e Velocità

• La frequenza (f) di un’onda periodica è il numero di cicli completi che l’onda compie in un secondo. È misurata in Hertz (Hz).
• La lunghezza d’onda (λ) di un’onda periodica è la distanza tra due punti consecutivi che si trovano nella stessa fase dell’onda. È misurata in metri (m).
• La velocità (v) di un’onda periodica è la velocità con cui l’onda si propaga nello spazio. È misurata in metri al secondo (m/s).
• Queste grandezze sono collegate dalla seguente relazione: v=fλv=fλv=fλ

Fase e Ampiezza

• La fase (φ) di un’onda periodica è lo spostamento dell’onda rispetto all’origine. È misurata in radianti (rad).
• L’ampiezza (A) di un’onda periodica è la distanza massima che l’onda si sposta dalla posizione di equilibrio. È misurata nelle stesse unità della grandezza fisica che descrive l’onda.
• La fase e l’ampiezza sono indipendenti l’una dall’altra.

Funzione Matematica di un’Onda Sinusoidale

• L’equazione y(t) = A sin(2πft + φ₀ ) descrive un’onda sinusoidale.
• A rappresenta l’ampiezza dell’onda sinusoidale.
• 2πf rappresenta la pulsazione dell’onda sinusoidale.
• φ₀ rappresenta la fase iniziale dell’onda sinusoidale.

Analisi Armonica di Fourier

• L’analisi armonica di Fourier è una tecnica matematica che consente di scomporre un segnale periodico in una somma di onde sinusoidali di diverse frequenze.
• È utilizzata per analizzare e sintetizzare segnali periodici, come ad esempio i suoni musicali o i segnali elettrici.
• L’analisi armonica di Fourier si basa sul teorema di Fourier, che afferma che qualsiasi funzione periodica può essere rappresentata come una somma infinita di seni e coseni.

Serie di Fourier e Trasformata di Fourier

• La serie di Fourier rappresenta un segnale periodico come una somma infinita di seni e coseni con frequenze che sono multipli della frequenza fondamentale.
• La trasformata di Fourier rappresenta un segnale non periodico come una somma continua di seni e coseni con frequenze che variano con continuità.

Condizioni di Utilizzo della Serie di Fourier

• La serie di Fourier può essere utilizzata per descrivere segnali periodici che soddisfano alcune condizioni, tra cui:
  • La funzione è definita a tratti e continua a tratti.
  • La funzione è limitata e integrabile.
  • La funzione ha un numero finito di discontinuità di salto.

n-esima Armonica

• L’n-esima armonica di un’onda periodica è un’onda sinusoidale con frequenza n volte la frequenza fondamentale dell’onda. Può essere descritta matematicamente come: yn(t)=Ansin⁡(2πnft+φn)y_n(t)=A_n\sin(2πnft+φ_n)yn​(t)=An​sin(2πnft+φn​)
• L’ampiezza dell’n-esima armonica è data da: An=2T∫0Ty(t)sin⁡(2πnft)dtA_n = \frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(2πnft) dt An​=T2​∫0T​y(t)sin(2πnft)dt
• La frequenza dell’n-esima armonica è nfnfnf e il suo periodo è T/nT/nT/n.

Armonica Fondamentale

• L’armonica fondamentale è l’onda sinusoidale con la frequenza più bassa, che corrisponde alla frequenza fondamentale del segnale periodico. L’armonica fondamentale è il componente principale del segnale e determina il suo tono o la sua frequenza principale.
• Le altre armoniche, chiamate anche armoniche superiori, contribuiscono alla forma d’onda del segnale e influenzano la sua timbrica o il suo colore.

Spettro di un’Onda

• Lo spettro di un’onda è la rappresentazione grafica dell’ampiezza di ciascuna armonica in funzione della sua frequenza.
• Lo spettro può essere ottenuto tramite l’analisi armonica di Fourier o tramite la trasformata di Fourier.
• Lo spettro fornisce informazioni sulla composizione armonica di un segnale e può essere utilizzato per identificare le diverse frequenze presenti nel segnale.

Frequenza di Campionamento e Più Alta Frequenza del Segnale

• La frequenza di campionamento (fs) è il numero di campioni che vengono prelevati al secondo da un segnale analogico per convertirlo in un segnale digitale.
• La più alta frequenza del segnale (fmax) è la massima frequenza presente nel segnale analogico.
• La frequenza di campionamento deve essere almeno il doppio della più alta frequenza del segnale per evitare la perdita di informazioni e la distorsione del segnale durante la conversione da analogico a digitale.

Teorema del Campionamento di Nyquist-Shannon

• Il teorema del campionamento di Nyquist-Shannon afferma che un segnale analogico può essere ricostruito perfettamente da un segnale digitale se la frequenza di campionamento è almeno il doppio della massima frequenza del segnale.
• Se la frequenza di campionamento è inferiore a due volte la massima frequenza del segnale, si verifica l'aliasing, ovvero la sovrapposizione di frequenze che compromette la fedeltà del segnale.

Spettro di un Segnale Campionato

• Lo spettro di un segnale campionato è caratterizzato da una serie di repliche dello spettro del segnale originale.
• Le repliche sono spostate in frequenza di multipli della frequenza di campionamento.
• Per ricostruire il segnale originale, è necessario filtrare lo spettro del segnale campionato per eliminare gli elementi di frequenza che non si trovano nel segnale originale.

Aliasing

• L'aliasing è una forma di distorsione dei segnali digitali che si verifica quando la frequenza di campionamento è inferiore a due volte la massima frequenza del segnale.
• L'aliasing può essere evitato o, se presente, attenuato tramite l'utilizzo di un filtro passa-basso che elimina le frequenze superiori alla metà della frequenza di campionamento.

Sottocampionamento

• Il processo di sottocampionamento consiste nel ridurre la frequenza di campionamento di un segnale digitale.
• Il sottocampionamento può provocare l'aliasing se la frequenza di campionamento originale non è alta abbastanza per soddisfare il teorema di Nyquist-Shannon.

Precisione di Quantizzazione

• La precisione di quantizzazione è la risoluzione con cui i valori di un segnale vengono quantizzati, ovvero suddivisi in un numero finito di livelli discreti.
• La precisione è determinata dal numero di bit utilizzati per rappresentare ciascun campione del segnale.

Quantizzazione Uniforme e non Uniforme

• La quantizzazione uniforme suddivide l'intervallo di valori del segnale in intervalli di uguale ampiezza.
• La quantizzazione non uniforme suddivide l'intervallo di valori del segnale in intervalli di ampiezza variabile, in modo da concentrare un maggior numero di livelli in zone di interesse del segnale.

Errore massimo di Quantizzazione Uniforme

• L'errore massimo di quantizzazione uniforme è la metà dell'ampiezza del livello di quantizzazione.
• Il calcolo è semplice ed è dato dalla seguente formula: Errore massimo = (Max - Min) / (2^N)

Livelli di Quantizzazione

• I livelli di quantizzazione sono il numero di valori discreti che vengono utilizzati per rappresentare il segnale quantizzato.
• Quanti sono i livelli di quantizzazione dipende dal numero di bit utilizzati per rappresentare ciascun campione del segnale.
• Il numero di livelli è pari a 2 elevato al numero di bit utilizzati.

Distorsione da Campionamento e Quantizzazione

• La quantizzazione introduce distorsione nel segnale digitale, poiché i valori del segnale analogico vengono approssimati ai valori discreti che rappresentano i livelli di quantizzazione.
• Il campionamento introduce distorsione nel segnale digitale, poiché i valori del segnale analogico vengono misurati solo in determinati istanti di tempo.

Signal to Quantization Noise Ratio (SQNR)

• Lo SQNR è il rapporto tra la potenza del segnale e la potenza del rumore di quantizzazione.
• L'SQNR è una misura della qualità del segnale digitale e indica la quantità di distorsione introdotta dalla quantizzazione.
• Più alto è il valore dello SQNR, migliore è la qualità del segnale.

Formula di Whittaker-Shannon

• La formula di Whittaker-Shannon è la formula matematica che descrive il processo di ricostruzione di un segnale analogico a partire da un segnale digitale campionato.
• La formula sfrutta la funzione sinc per interpolare i valori dei campioni e ricostruire il segnale originale.

RMS (Root Mean Square)

• L'RMS è il valore quadratico medio di un segnale.
• L'RMS misura l'ampiezza media di un segnale e può essere utilizzato per valutare la potenza del segnale.
• L'RMS è legato all'SQNR, in quanto un valore RMS più alto implica una maggiore potenza del segnale e, di conseguenza, un SQNR più alto.

Riduzione dell'Errore di Quantizzazione

• L'errore di quantizzazione percepito può essere ridotto senza modificare la tipologia o il numero di livelli di quantizzazione mediante tecniche di dithering, che consistono nell'aggiungere al segnale un rumore casuale.
• Il dithering consente di distribuire l'errore di quantizzazione in modo più uniforme, riducendo la distorsione percepita dall'utente.

Dithering

• Il dithering è una tecnica che aggiunge rumore casuale al segnale prima della quantizzazione, al fine di ridurre la distorsione percepita dall'utente.
• Il dithering risolve due problemi legati alla quantizzazione:
  • La distorsione percepita dall'utente.
  • L'introduzione di un bias nel segnale quando la quantizzazione è non uniforme.

Matrice di Bayer

• La matrice di Bayer è una struttura di disposizione dei sensori di colore utilizzata nelle fotocamere digitali per catturare l'informazione di colore in un singolo sensore.
• La matrice di Bayer è costituita da una serie di sensori per ogni colore (rosso, verde e blu) che vengono disposti in una struttura regolare.

Dithering Ordinato

• Il dithering ordinato utilizza un pattern di rumore pre-definito per aggiungere al segnale un rumore casuale, in modo da distribuire in modo più uniforme l'errore di quantizzazione.

Dithering basato sulla Diffusione dell'Errore

• Il dithering basato sulla diffusione dell'errore è un algoritmo di dithering che utilizza i valori di errore di quantizzazione dei campioni precedenti per modificare il rumore aggiunto al campione attuale.
• Questo approccio consente di ridistribuire l'errore di quantizzazione in modo più uniforme, riducendo la distorsione percepita dall'utente.

Dithering di Floyd-Steinberg

• Il dithering di Floyd-Steinberg è un algoritmo di dithering basato sulla diffusione dell'errore che è molto efficace nel ridurre la distorsione percepita dall'utente.
• L'algoritmo funziona aggiungendo al campione corrente una parte dell'errore di quantizzazione del campione precedente, e distribuendo la restante parte ai campioni adiacenti (per ogni nuovo campione si distribuisce un quarto dell’errore ai 3 campioni adiacenti in direzione orizzontale e diagonale).

Trasformata Discreta

• Una trasformata discreta è una trasformazione matematica che opera su un segnale digitale per convertirlo in un altro segnale digitale.
• Le trasformate discrete sono utilizzate in diverse applicazioni, come la compressione dei dati, la elaborazione delle immagini e del suono.

Proprietà della Trasformata di Haar

• La trasformata di Haar è una trasformata discreta che è particolarmente efficiente per l'elaborazione di segnali a tempo discreto.
• Le principali proprietà della trasformata di Haar sono:
  • La trasformata è ortogonale, ovvero la sua matrice di trasformazione è ortogonale.
  • La trasformata è lineare, ovvero la trasformata di una somma di segnali è uguale alla somma delle trasformate dei singoli segnali.
  • La trasformata è invariante alla traslazione, ovvero la trasformata di un segnale traslato è uguale alla trasformata del segnale originale traslata della stessa quantità.

Costruzione della Matrice di Trasformazione

• La matrice di trasformazione di una trasformata discreta può essere costruita partendo da uno spazio di funzioni che caratterizzano la trasformata.
• Gli elementi della matrice di trasformazione sono i coefficienti che legano le funzioni di base dell'input all'output della trasformata.

Matrice Orgonale

• È vantaggioso per una matrice di trasformazione essere ortogonale poiché le trasformazioni ortogonali preservano l'energia del segnale.
• In altre parole, la somma dei quadrati degli elementi del segnale originale è uguale alla somma dei quadrati degli elementi del segnale trasformato.

Matrice di Hadamard

• La matrice di Hadamard è una matrice ortogonale che è utilizzata nella trasformata di Hadamard.
• La matrice di Hadamard è costruita ricorsivamente, a partire da una matrice 2x2 che ha tutti gli elementi uguali a 1.
• La matrice di Hadamard è una trasformata discreta che è particolarmente efficiente per l'elaborazione di segnali a tempo discreto, al pari della Trasformata di Haar.

Questo quiz esplora le cause del sottocampionamento nei segnali digitali e le differenze tra quantizzazione uniforme e non uniforme. Scopri come queste tecniche influenzano la qualità e l'integrità dei dati nel processamento del segnale.