Appunti di Analisi Matematica 1

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Questions and Answers

Quale delle seguenti affermazioni riguardo al criterio di Leibnitz per le serie a termini di segno alterno è corretta?

Il criterio di Leibnitz non fornisce informazioni sulla velocità di convergenza della serie.
Il criterio di Leibnitz richiede che la successione dei termini della serie sia monotona decrescente e tenda a zero. (correct)
Il criterio di Leibnitz garantisce la convergenza assoluta della serie.
Il criterio di Leibnitz è applicabile solo a serie a termini positivi.

Quale delle seguenti funzioni ha un asintoto verticale bilatero in $x = 0$?

$\frac{1}{x}$
$\frac{x}{x^2 + 1}$
$\frac{1}{x^3}$ (correct)
$\frac{1}{x^2}$ (correct)

Quale delle seguenti affermazioni riguardo al simbolo di Landau "o-piccolo" è corretta?

Se $f(x) = o(g(x))$ per $x \rightarrow 0$, allora $lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$.
Se $f(x) = o(g(x))$ per $x \rightarrow 0$, allora $lim_{x \rightarrow 0} \frac{g(x)}{f(x)} = 0$.
Se $f(x) = o(g(x))$ per $x \rightarrow 0$, allora $lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$. (correct)
Se $f(x) = o(g(x))$ per $x \rightarrow 0$, allora $f(x)$ e $g(x)$ sono funzioni equivalenti per $x \rightarrow 0$.

Quale delle seguenti serie converge assolutamente?

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}$ (A) Signup and view all the answers

Se una funzione $f(x)$ ha un asintoto orizzontale $y = L$ per $x \rightarrow +\infty$, quale delle seguenti affermazioni è corretta?

Il limite di $f(x)$ per $x \rightarrow +\infty$ è $L$. (D) Signup and view all the answers

Quale delle seguenti serie converge?

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ (B) Signup and view all the answers

Quale dei seguenti criteri può essere utilizzato per determinare la convergenza di una serie a termini positivi?

Criterio della radice (A), Criterio del rapporto (C) Signup and view all the answers

Quale delle seguenti funzioni ha un asintoto obliquo per $x \rightarrow +\infty$?

$\frac{x^3 + 1}{x^2}$ (A), $\frac{x^2 + 1}{x}$ (C) Signup and view all the answers

Quale delle seguenti affermazioni riguardo alla stima asintotica di una funzione è corretta?

La stima asintotica di una funzione è utile per studiare il comportamento della funzione per valori grandi di $x$. (A) Signup and view all the answers

Data una funzione $f(x)$ e la sua inversa $f^{-1}(x)$, quale delle seguenti affermazioni è sempre vera?

Il grafico di $f(x)$ è simmetrico rispetto alla retta $y = x$ rispetto al grafico di $f^{-1}(x)$ (A), Il dominio di $f(x)$ è uguale al codominio di $f^{-1}(x)$ (B) Signup and view all the answers

Sia $w$ uno zero di un polinomio a coefficienti reali. Quale delle seguenti affermazioni è sempre vera?

Il coniugato di $w$, $\overline{w}$, è uno zero del polinomio con la stessa molteplicità di $w$ (D) Signup and view all the answers

Quale delle seguenti condizioni è necessaria e sufficiente per garantire che una successione $a_n$ sia monotona crescente?

$a_{n+1} > a_n$ per ogni $n$ (A) Signup and view all the answers

Quale delle seguenti affermazioni è falsa riguardo alle equazioni algebriche in $\mathbb{C}$?

La molteplicità di una soluzione complessa di un'equazione algebrica a coefficienti reali è sempre pari (B) Signup and view all the answers

Quale delle seguenti funzioni non è invertibile?

$sin(x)$ (A), $\lfloor x \rfloor$ (parte intera di $x$) (C) Signup and view all the answers

Considera due funzioni f(x) e g(x) tali che f(x) ~ g(x) per x → +∞. Quale delle seguenti affermazioni è sempre vera?

f(x)/g(x) ~ 1 per x → +∞ (D) Signup and view all the answers

Quale delle seguenti affermazioni è falsa riguardo alla condizione necessaria alla convergenza di una serie?

Se il termine generale tende a zero, allora la serie converge. (D) Signup and view all the answers

Data una serie numerica ∑an, qual è la condizione necessaria affinché la serie ∑can, dove c è una costante diversa da zero, converga?

La serie ∑an deve essere convergente. (B) Signup and view all the answers

Qual è il carattere della serie armonica ∑(1/n)?

Divergente (D) Signup and view all the answers

Quale delle seguenti serie è una serie telescopica?

∑(1/n(n+1)) (D) Signup and view all the answers

Considera la serie di Mengoli ∑(1/n(n+1)). Quale delle seguenti affermazioni è vera?

La serie converge a 1. (A) Signup and view all the answers

Considera la serie ∑(log(1 + 1/n)). Quale delle seguenti affermazioni è vera?

La serie diverge. (B) Signup and view all the answers

Quale delle seguenti affermazioni è vera riguardo al teorema di regolarità per le serie a termini di segno definitivamente costante?

Se la serie converge, allora il termine generale tende a zero. (A) Signup and view all the answers

Qual è il criterio del rapporto per le successioni e come viene applicato al limite di na/(en)b per a,b > 0?

Il criterio del rapporto afferma che se lim(n->∞) |an+1/an| < 1 allora la successione converge. Applicato a na/(en)b, si ottiene che il limite è 0 se a < b, 1 se a = b, e ∞ se a > b. (C) Signup and view all the answers

Quali sono le forme indeterminate di tipo esponenziale e come si comportano i limiti di funzioni tipo [f(x)]g(x) in questi casi?

Le forme indeterminate di tipo esponenziale sono 1^∞, 0^0 e ∞^0. In questi casi, il limite può essere calcolato usando la regola di L'Hôpital o altre tecniche, ottenendo diversi risultati possibili. (C) Signup and view all the answers

Qual è la definizione di funzioni equivalenti o asintotiche e quali sono le loro proprietà?

Due funzioni f(x) e g(x) sono equivalenti se lim(x->∞) f(x)/g(x) = 1, e asintotiche se lim(x->∞) [f(x) - g(x)] = 0. Le loro proprietà sono la riflessiva, la simmetrica e la transitiva. (D) Signup and view all the answers

Cosa si intende per 'principio del trasporto' in relazione all'asintoticità e perché non è applicabile in generale?

Il principio del trasporto afferma che se f(x) ~ g(x) per x->+∞, allora f'(x) ~ g'(x) per x->+∞. Non è applicabile a tutte le relazioni di asintoticità, perché la convergenza di due funzioni a +∞ non implica la convergenza delle loro derivate e viceversa. (C) Signup and view all the answers

Quali sono le differenze tra 'limite di una successione' e 'limite di una funzione'? Come si dimostrano?

Il limite di una successione è il valore a cui tendono i termini della successione al crescere di n. Il limite di una funzione è il valore a cui tendono i valori della funzione quando x si avvicina a un certo punto. Le dimostrazioni si basano su definizioni diverse, ma entrambe utilizzano il concetto di ε-δ. (C) Signup and view all the answers

Flashcards

Funzione

Relazione che associa ogni elemento di un insieme a uno e un solo elemento di un altro insieme.

Numeri complessi

Numeri della forma a + bi, dove a e b sono reali e i è l'unità immaginaria.

Monotonia di una successione

Una successione è monotona crescente se ogni termine successivo è maggiore del precedente.

Suriettività

Una funzione è suriettiva se ogni elemento del codominio è l'immagine di almeno un elemento del dominio.