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Questions and Answers
Qual è la forma indeterminata quando si considera il limite di $\lim_{x \to +\infty} (x^3 - 5x^2 + 1)$?
Qual è la forma indeterminata quando si considera il limite di $\lim_{x \to +\infty} (x^3 - 5x^2 + 1)$?
- 0
- ∞ (correct)
- ∞ − ∞
- −∞
Quale delle seguenti affermazioni è corretta riguardo ai punti di discontinuità di prima specie?
Quale delle seguenti affermazioni è corretta riguardo ai punti di discontinuità di prima specie?
- Il limite destro e sinistro sono uguali.
- Il denominatore della funzione si annulla.
- Almeno uno dei due limiti diverge o non esiste. (correct)
- Entrambi i limiti esistono e sono finiti.
Quando $x$ tende a +∞, quale comportamento hanno i termini di grado massimo in $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3 - 4x - 3}{2x^2 - 5}$?
Quando $x$ tende a +∞, quale comportamento hanno i termini di grado massimo in $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3 - 4x - 3}{2x^2 - 5}$?
- Il limite è indeterminato
- Il denominatore cresce più velocemente del numeratore
- Entrambi crescono alla stessa velocità
- Il numeratore cresce più velocemente del denominatore (correct)
Quale valore di limite si ottiene per $\lim_{x \to -\infty} \frac{x^3 - 4x}{5x^6 - 1}$?
Quale valore di limite si ottiene per $\lim_{x \to -\infty} \frac{x^3 - 4x}{5x^6 - 1}$?
Cosa accade quando sostituiamo 𝑥₀ a x e il denominatore non si annulla?
Cosa accade quando sostituiamo 𝑥₀ a x e il denominatore non si annulla?
Qual è la caratteristica delle funzioni sempre continue?
Qual è la caratteristica delle funzioni sempre continue?
Quale delle seguenti espressioni rappresenta una forma indeterminata?
Quale delle seguenti espressioni rappresenta una forma indeterminata?
Cosa si deve calcolare se il denominatore si annulla?
Cosa si deve calcolare se il denominatore si annulla?
In $\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 - x}{x^2 + 1}$, quali coefficienti sono rilevanti per determinare il limite?
In $\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 - x}{x^2 + 1}$, quali coefficienti sono rilevanti per determinare il limite?
In una funzione razionale, quale comportamento si osserva quando si esaminano i limiti a +∞?
In una funzione razionale, quale comportamento si osserva quando si esaminano i limiti a +∞?
Quale delle seguenti è una forma indeterminata quando ci si avvicina a ±∞?
Quale delle seguenti è una forma indeterminata quando ci si avvicina a ±∞?
Quale di queste affermazioni è vera riguardo a $\lim_{x \to +\infty} (x^3 - 4x - 3)$?
Quale di queste affermazioni è vera riguardo a $\lim_{x \to +\infty} (x^3 - 4x - 3)$?
Cosa succede se il limite calcolato dà una forma indeterminata?
Cosa succede se il limite calcolato dà una forma indeterminata?
Cosa succede al limite di una funzione quando il denominatore cresce più rapidamente del numeratore?
Cosa succede al limite di una funzione quando il denominatore cresce più rapidamente del numeratore?
In quale caso si parla di discontinuità di seconda specie?
In quale caso si parla di discontinuità di seconda specie?
Quale funzione non è considerata sempre continua?
Quale funzione non è considerata sempre continua?
Cosa rappresenta un intorno centrato in 𝑥𝑥0 di raggio σ?
Cosa rappresenta un intorno centrato in 𝑥𝑥0 di raggio σ?
Quale delle seguenti affermazioni è corretta riguardo ai limiti di funzioni tendenti a +∞?
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Quali delle seguenti condizioni devono essere vere affinché una funzione sia continua in 𝑥𝑥0?
Quali delle seguenti condizioni devono essere vere affinché una funzione sia continua in 𝑥𝑥0?
Che cosa si intende per intorno di -∞?
Che cosa si intende per intorno di -∞?
Qual è il significato di 'lim 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = +∞' quando 𝑥𝑥 tende a +∞?
Qual è il significato di 'lim 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = +∞' quando 𝑥𝑥 tende a +∞?
Cosa descrive un punto di discontinuità in una funzione?
Cosa descrive un punto di discontinuità in una funzione?
Quale dei seguenti enunciati descrive erroneamente un limite?
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Quando possiamo dire che il limite di una funzione è L?
Quando possiamo dire che il limite di una funzione è L?
Quale delle seguenti affermazioni è corretta riguardo ai limiti di esponenziali e potenze?
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Cosa indica il limite di una funzione composta h(x)=f(g(x))?
Cosa indica il limite di una funzione composta h(x)=f(g(x))?
Qual è la condizioni per applicare il Teorema dei Carabinieri?
Qual è la condizioni per applicare il Teorema dei Carabinieri?
Come si determina il coefficiente angolare m di una retta tangente in un punto?
Come si determina il coefficiente angolare m di una retta tangente in un punto?
Nel calcolo del limite lim x→+∞ (log2(x) − 2x), quale termine risulta preponderante?
Nel calcolo del limite lim x→+∞ (log2(x) − 2x), quale termine risulta preponderante?
Quale tra le seguenti funzioni tende a infinito più rapidamente?
Quale tra le seguenti funzioni tende a infinito più rapidamente?
Nella formula y - f(x0) = m(x - x0), cosa rappresenta m?
Nella formula y - f(x0) = m(x - x0), cosa rappresenta m?
Cosa avviene al limite di una funzione che presenta una crescente crescita esponenziale rispetto a una funzione di potenza?
Cosa avviene al limite di una funzione che presenta una crescente crescita esponenziale rispetto a una funzione di potenza?
Cosa rappresenta il limite quando $h$ tende a $0$ nel calcolo della derivata?
Cosa rappresenta il limite quando $h$ tende a $0$ nel calcolo della derivata?
In quale condizione una funzione non è derivabile?
In quale condizione una funzione non è derivabile?
Quali sono i tipi di asintoti esistenti in una funzione?
Quali sono i tipi di asintoti esistenti in una funzione?
Quando si devono calcolare i limiti per $x→0$ in una funzione definita su degli intervalli aperti limitati?
Quando si devono calcolare i limiti per $x→0$ in una funzione definita su degli intervalli aperti limitati?
Cosa accade quando si derivano funzioni che diventano sempre 0 dopo un certo punto?
Cosa accade quando si derivano funzioni che diventano sempre 0 dopo un certo punto?
Cosa indica che esiste un asintoto verticale per una funzione?
Cosa indica che esiste un asintoto verticale per una funzione?
Cosa rappresenta il rapporto incrementale nel contesto delle derivate?
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In quale caso si deve calcolare il limite per $x→±∞$?
In quale caso si deve calcolare il limite per $x→±∞$?
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Study Notes
Limiti di Funzioni
- Gli intorni centrati in un punto ( x_0 ) con raggio ( \sigma ) sono definiti come l'intervallo aperto ( (x_0 - \sigma, x_0 + \sigma) ).
- Intorno di (-\infty): intervallo aperto ( (-\infty, M) ).
- Intorno di (+\infty): intervallo aperto ( (M, +\infty) ).
Definizione di Limite
- Sia ( f: Dom(f) \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} ) e ( x_0 \in \mathbb{R} ):
( \lim_{x \to x_0} f(x) = L \in \mathbb{R} ) se ogni intorno di ( L ) ha un corrispondente intorno di ( x_0 ) nel dominio.
Limiti per ( +\infty )
- Il limite di una funzione ( f ) per ( x \to +\infty ) è ( +\infty ) se per ogni ( M > 0 ), esiste ( x_0 > 0 ) tale che per ( x \in (x_0, +\infty) \cap Dom(f) ), ( f(x) > M ).
Continuità di una Funzione
- Una funzione è continua in ( x_0 ) se:
- ( x_0 ) appartiene al dominio.
- Limite destro e sinistro coincidono.
- ( \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) ).
Punti di Discontinuità
- Discontinuità di prima specie: limite destro e sinistro diversi.
- Discontinuità di seconda specie: il limite non esiste o è infinito.
Tipi di Funzioni Continue
- Funzioni sempre continue: polinomi, potenze, esponenziali, logaritmi e funzioni trigonometriche e le loro composizioni.
Calcolo dei Limiti
- Se sostituendo ( x_0 ) a ( x ), il denominatore non si annulla, il limite può essere facilmente calcolato.
- Se il denominatore si annulla:
- Considerare se si annulla solo il denominatore o entrambi numeratore e denominatore, analizzando i limiti destro e sinistro.
Forme Indeterminate
- Forme comuni: ( \frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, \infty - \infty ), ecc.
- Si osserva il comportamento dei termini di grado massimo della funzione per valutare il limite.
Logaritmi, Potenze ed Esponenziali
- L’esponenziale cresce più velocemente di qualsiasi potenza, e le potenze più velocemente dei logaritmi.
Funzioni Composte
- Per funzioni composte ( h(x) = f(g(x)) ):
- Calcolare il limite della funzione interna ( g(x) ) e poi il limite della funzione esterna ( f(y) ).
Teorema dei Carabinieri
- Se ( f(x) \leq h(x) \leq g(x) ) e ( \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} g(x) = L ), allora anche ( \lim_{x \to \infty} h(x) = L ).
Derivata di una Funzione
- La derivata in un punto è il coefficiente angolare della retta tangente alla curva nel punto considerato.
- La derivata si calcola come limite del rapporto incrementale.
Non Derivabilità
- Una funzione non è derivabile se i limiti destro e sinistro della derivata prima non coincidono.
Asintoti
- Esistono tre tipi di asintoti: verticali, orizzontali e obliqui.
- Calcolare i limiti agli estremi del dominio per identificare asintoti verticali.
- Per domini illimitati, calcolare limiti per ( x \to \pm \infty ) per asintoti orizzontali.
Esempi di Limiti
- ( \lim_{x \to 2} \frac{x + 1}{x - 1} ) e ( \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - x}{x + 2} ) sono due esempi di limiti calcolati.
Funzioni Irregolari
- Analizzare il comportamento alle forme indeterminate e i termini di grado massimo in situazioni complesse.
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