Analisi Matematica: Limiti e Intorni
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Questions and Answers

Qual è la forma indeterminata quando si considera il limite di $\lim_{x \to +\infty} (x^3 - 5x^2 + 1)$?

  • 0
  • (correct)
  • ∞ − ∞
  • −∞

Quale delle seguenti affermazioni è corretta riguardo ai punti di discontinuità di prima specie?

  • Il limite destro e sinistro sono uguali.
  • Il denominatore della funzione si annulla.
  • Almeno uno dei due limiti diverge o non esiste. (correct)
  • Entrambi i limiti esistono e sono finiti.

Quando $x$ tende a +∞, quale comportamento hanno i termini di grado massimo in $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3 - 4x - 3}{2x^2 - 5}$?

  • Il limite è indeterminato
  • Il denominatore cresce più velocemente del numeratore
  • Entrambi crescono alla stessa velocità
  • Il numeratore cresce più velocemente del denominatore (correct)

Quale valore di limite si ottiene per $\lim_{x \to -\infty} \frac{x^3 - 4x}{5x^6 - 1}$?

<p>0 (C)</p> Signup and view all the answers

Cosa accade quando sostituiamo 𝑥₀ a x e il denominatore non si annulla?

<p>Possiamo calcolare il limite normalmente. (C)</p> Signup and view all the answers

Qual è la caratteristica delle funzioni sempre continue?

<p>Non presentano punti di discontinuità. (C)</p> Signup and view all the answers

Quale delle seguenti espressioni rappresenta una forma indeterminata?

<p>$\frac{0}{0}$ (A), $\infty - ∞$ (C)</p> Signup and view all the answers

Cosa si deve calcolare se il denominatore si annulla?

<p>Entrambi i limiti, destro e sinistro. (D)</p> Signup and view all the answers

In $\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 - x}{x^2 + 1}$, quali coefficienti sono rilevanti per determinare il limite?

<p>2 e 1 (A)</p> Signup and view all the answers

In una funzione razionale, quale comportamento si osserva quando si esaminano i limiti a +∞?

<p>Il limite può essere infinito o zero a seconda dei gradi (D)</p> Signup and view all the answers

Quale delle seguenti è una forma indeterminata quando ci si avvicina a ±∞?

<p>$ rac{+ ext{∞}}{+ ext{∞}}$ (C)</p> Signup and view all the answers

Quale di queste affermazioni è vera riguardo a $\lim_{x \to +\infty} (x^3 - 4x - 3)$?

<p>Il limite tende a +∞ (B)</p> Signup and view all the answers

Cosa succede se il limite calcolato dà una forma indeterminata?

<p>È necessario scomporre il limite per risolvere. (A)</p> Signup and view all the answers

Cosa succede al limite di una funzione quando il denominatore cresce più rapidamente del numeratore?

<p>Il limite tende a 0 (B)</p> Signup and view all the answers

In quale caso si parla di discontinuità di seconda specie?

<p>Quando entrambi i limiti divergono. (B)</p> Signup and view all the answers

Quale funzione non è considerata sempre continua?

<p>Funzioni razionali con discontinuità. (B)</p> Signup and view all the answers

Cosa rappresenta un intorno centrato in 𝑥𝑥0 di raggio σ?

<p>L'intervallo aperto (𝑥𝑥0 - σ, 𝑥𝑥0 + σ) (D)</p> Signup and view all the answers

Quale delle seguenti affermazioni è corretta riguardo ai limiti di funzioni tendenti a +∞?

<p>Per ogni M&gt;0, esiste 𝑥𝑥0 &gt;0 tale che f(x) &gt; M. (D)</p> Signup and view all the answers

Quali delle seguenti condizioni devono essere vere affinché una funzione sia continua in 𝑥𝑥0?

<p>Il limite destro e il limite sinistro coincidono. (B)</p> Signup and view all the answers

Che cosa si intende per intorno di -∞?

<p>L'intervallo aperto (-∞, M) (A)</p> Signup and view all the answers

Qual è il significato di 'lim 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = +∞' quando 𝑥𝑥 tende a +∞?

<p>I valori di f(x) crescono oltre tutti i numeri reali positivi. (C)</p> Signup and view all the answers

Cosa descrive un punto di discontinuità in una funzione?

<p>Esiste un buco nel grafico della funzione. (B)</p> Signup and view all the answers

Quale dei seguenti enunciati descrive erroneamente un limite?

<p>Il limite ha sempre un valore numerico finito. (B)</p> Signup and view all the answers

Quando possiamo dire che il limite di una funzione è L?

<p>Se per ogni intorno di 𝑦𝑦0 esiste un intorno di 𝑥𝑥0 in cui f(x) è arbitrariamente vicino a L. (B)</p> Signup and view all the answers

Quale delle seguenti affermazioni è corretta riguardo ai limiti di esponenziali e potenze?

<p>Gli esponenziali crescono più velocemente delle potenze. (B)</p> Signup and view all the answers

Cosa indica il limite di una funzione composta h(x)=f(g(x))?

<p>Si deve prima calcolare il limite della funzione interna g(x). (C)</p> Signup and view all the answers

Qual è la condizioni per applicare il Teorema dei Carabinieri?

<p>f(x) deve essere minore di h(x) e g(x) deve essere minore di h(x). (C)</p> Signup and view all the answers

Come si determina il coefficiente angolare m di una retta tangente in un punto?

<p>Derivando la funzione in quel punto. (D)</p> Signup and view all the answers

Nel calcolo del limite lim x→+∞ (log2(x) − 2x), quale termine risulta preponderante?

<p>−2x (B)</p> Signup and view all the answers

Quale tra le seguenti funzioni tende a infinito più rapidamente?

<p>e^x (B)</p> Signup and view all the answers

Nella formula y - f(x0) = m(x - x0), cosa rappresenta m?

<p>Il coefficiente angolare della retta tangente. (D)</p> Signup and view all the answers

Cosa avviene al limite di una funzione che presenta una crescente crescita esponenziale rispetto a una funzione di potenza?

<p>Il limite tende a infinito. (A)</p> Signup and view all the answers

Cosa rappresenta il limite quando $h$ tende a $0$ nel calcolo della derivata?

<p>Il tasso di variazione istantaneo della funzione (A)</p> Signup and view all the answers

In quale condizione una funzione non è derivabile?

<p>Quando i limiti destro e sinistro non coincidono (C)</p> Signup and view all the answers

Quali sono i tipi di asintoti esistenti in una funzione?

<p>Verticali, orizzontali e obliqui (B)</p> Signup and view all the answers

Quando si devono calcolare i limiti per $x→0$ in una funzione definita su degli intervalli aperti limitati?

<p>In tutti gli estremi degli intervalli di definizione (C)</p> Signup and view all the answers

Cosa accade quando si derivano funzioni che diventano sempre 0 dopo un certo punto?

<p>Diventano infinitamente derivabili (C)</p> Signup and view all the answers

Cosa indica che esiste un asintoto verticale per una funzione?

<p>Il limite per $x→0$ è $±∞$ (A)</p> Signup and view all the answers

Cosa rappresenta il rapporto incrementale nel contesto delle derivate?

<p>La variazione della funzione rispetto a due punti (A)</p> Signup and view all the answers

In quale caso si deve calcolare il limite per $x→±∞$?

<p>Quando il dominio è illimitato inferiormente o superiormente (A)</p> Signup and view all the answers

Study Notes

Limiti di Funzioni

  • Gli intorni centrati in un punto ( x_0 ) con raggio ( \sigma ) sono definiti come l'intervallo aperto ( (x_0 - \sigma, x_0 + \sigma) ).
  • Intorno di (-\infty): intervallo aperto ( (-\infty, M) ).
  • Intorno di (+\infty): intervallo aperto ( (M, +\infty) ).

Definizione di Limite

  • Sia ( f: Dom(f) \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} ) e ( x_0 \in \mathbb{R} ):
    ( \lim_{x \to x_0} f(x) = L \in \mathbb{R} ) se ogni intorno di ( L ) ha un corrispondente intorno di ( x_0 ) nel dominio.

Limiti per ( +\infty )

  • Il limite di una funzione ( f ) per ( x \to +\infty ) è ( +\infty ) se per ogni ( M > 0 ), esiste ( x_0 > 0 ) tale che per ( x \in (x_0, +\infty) \cap Dom(f) ), ( f(x) > M ).

Continuità di una Funzione

  • Una funzione è continua in ( x_0 ) se:
    • ( x_0 ) appartiene al dominio.
    • Limite destro e sinistro coincidono.
    • ( \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) ).

Punti di Discontinuità

  • Discontinuità di prima specie: limite destro e sinistro diversi.
  • Discontinuità di seconda specie: il limite non esiste o è infinito.

Tipi di Funzioni Continue

  • Funzioni sempre continue: polinomi, potenze, esponenziali, logaritmi e funzioni trigonometriche e le loro composizioni.

Calcolo dei Limiti

  • Se sostituendo ( x_0 ) a ( x ), il denominatore non si annulla, il limite può essere facilmente calcolato.
  • Se il denominatore si annulla:
    • Considerare se si annulla solo il denominatore o entrambi numeratore e denominatore, analizzando i limiti destro e sinistro.

Forme Indeterminate

  • Forme comuni: ( \frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, \infty - \infty ), ecc.
  • Si osserva il comportamento dei termini di grado massimo della funzione per valutare il limite.

Logaritmi, Potenze ed Esponenziali

  • L’esponenziale cresce più velocemente di qualsiasi potenza, e le potenze più velocemente dei logaritmi.

Funzioni Composte

  • Per funzioni composte ( h(x) = f(g(x)) ):
    • Calcolare il limite della funzione interna ( g(x) ) e poi il limite della funzione esterna ( f(y) ).

Teorema dei Carabinieri

  • Se ( f(x) \leq h(x) \leq g(x) ) e ( \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} g(x) = L ), allora anche ( \lim_{x \to \infty} h(x) = L ).

Derivata di una Funzione

  • La derivata in un punto è il coefficiente angolare della retta tangente alla curva nel punto considerato.
  • La derivata si calcola come limite del rapporto incrementale.

Non Derivabilità

  • Una funzione non è derivabile se i limiti destro e sinistro della derivata prima non coincidono.

Asintoti

  • Esistono tre tipi di asintoti: verticali, orizzontali e obliqui.
  • Calcolare i limiti agli estremi del dominio per identificare asintoti verticali.
  • Per domini illimitati, calcolare limiti per ( x \to \pm \infty ) per asintoti orizzontali.

Esempi di Limiti

  • ( \lim_{x \to 2} \frac{x + 1}{x - 1} ) e ( \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - x}{x + 2} ) sono due esempi di limiti calcolati.

Funzioni Irregolari

  • Analizzare il comportamento alle forme indeterminate e i termini di grado massimo in situazioni complesse.

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Questo quiz esplora i concetti di limiti di funzioni quando tendono a -∞ e i vari intorni associati. Approfondisce la definizione ufficiale del limite e i punti di accumulazione nel dominio. Testa le tue conoscenze in analisi matematica con domande pratiche.

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