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Registro di Analisi Matematica 1 (titolare Christian Migliavacca), Ingegneria dell’Automazione, Elettrica, Elettronica, Informatica, gruppo Sto-Zzzz, a.a. 2024-2025 Data Argomenti (in blu le ore tenute dai proff. Bertini e Ciappetta)...

Registro di Analisi Matematica 1 (titolare Christian Migliavacca), Ingegneria dell’Automazione, Elettrica, Elettronica, Informatica, gruppo Sto-Zzzz, a.a. 2024-2025 Data Argomenti (in blu le ore tenute dai proff. Bertini e Ciappetta) Il simbolo * indica una dimostrazione o verifica che può essere richiesta nelle prove scritte e orali; il simbolo ** indica una dimostrazione o verifica che può essere richiesta solo nelle prove orali. Le dimostrazioni che non sono segnate con alcuno dei due simboli precedenti non saranno richieste né nelle prove scritte né in quelle orali, anche se sono state svolte. Si intende che, oltre alle dimostrazioni e verifiche con l’asterisco, tutto il resto (definizioni, proprietà, lemmi, teoremi, corollari, esempi…) può essere richiesto nelle prove scritte e orali, salvo diversa indicazione. SETTIMANA N. 1 lu 16 settembre Introduzione (programma, bibliografia, esami). Simboli logici: , , , ; negazione di un affermazione. Insiemi; simboli: appartenente, non appartenente, insieme vuoto, insieme contenuto. me 18 settembre Simbolo di contenuto ma distinto. Operazioni fra insiemi (unione, intersezione, differenza, prodotto cartesiano). Simboli corrispondenti a: “per ogni”, “esiste”, “esiste ed è unico”, “non esiste”, “tale che”. Numeri: N, Z, Q. Proprietà del campo dei razionali Q [vanno sapute utilizzare correttamente, ma non ne sarà richiesto l’elenco formale]; legge di annullamento del prodotto (con dim.). Ordinamento in Q. ve 20 settembre Compatibilità dell’ordinamento colle operazioni; Q è un “campo ordinato”; regole di semplificazione. Notazioni di sommatoria e produttoria. Potenze a esponente intero di numeri razionali. Principio d’induzione. In Q vale: q2 > q1  0  q2n > q1n n  1 (con dim.**). Radice kesima di un numero razionale positivo; disuguaglianza per le radici di due numeri razionali positivi distinti (con dim.**); radice di indice dispari di un razionale negativo. Necessità di ampliare Q. Cenni alla definizione dei numeri reali; anche R è un campo ordinato; densità. Completezza di R e non di Q. SETTIMANA N. 2 lu 23 settembre Sottinsiemi di R superiormente o inferiormente limitati; maggioranti e minoranti, 16:15-17:15 massimo e minimo, estremo superiore/inferiore. R (e non Q) ha la proprietà dell’estremo superiore. Relazione tra max/min e sup/inf. Notazioni: sup E  , inf E  . Insiemi limitati. Valore assoluto (o modulo) di un numero reale. 17:15-19:15 Verifica dell’irrazionalità di una radice. Somma dei primi n interi. Disuguaglianza n!2n-1 (verifica senza induzione). Applicazioni varie del principio d’induzione. me 25 settembre Potenze a esponente intero in R, radici; potenze a esponente reale di numeri reali 16:15-17:15 positivi: definizione e proprietà; casi delle potenze con base negativa. 17:15-19:15 Definizione del fattoriale e dei coefficienti binomiali; proprietà dei coefficienti binomiali, costruzione del triangolo di Tartaglia. Formula di Newton. Determinazione di estremi di sottinsiemi di R. ve 27 settembre Definizione di logaritmo e proprietà; log x  ln x  loge x. |A| ≤ B  B ≤ A ≤ B 8:15-10:15 (con dim.*). Distanza fra numeri reali. Definizione di somma e prodotto di coppie di numeri reali, in modo da ottenere un campo. Convenzione di indicare con “a” la coppia (a,0), calcolo delle coppie z  (x,y) tali che z2 1, unità immaginaria i  (0,1). Forma algebrica per denotare un numero complesso, parte reale e immaginaria. Campo complesso, differenza con R2, piano di Argand-Gauss (o piano complesso). Coniugato e modulo, proprietà varie (inclusa la disuguaglianza triangolare). Distanza fra numeri complessi; riformulazione della disuguaglianza triangolare e interpretazione in termini di distanze. 12:15-13:15 (Bertini a squadre riunite) Numeri complessi in forma algebrica: calcoli vari e soluzioni di equazioni. SETTIMANA N. 3 lu 30 Esempio di soluzione di un’equazione in forma algebrica. Forma trigonometrica di un settembre numero complesso: modulo e argomenti. Calcolo di prodotti e rapporti colla forma trigonometrica (con dim.*), formula di De Moivre per le potenze. Distinzione fra radici in R e in C. Formula per le radici n-esime (con dim.*), disposizione delle n radici su una circonferenza; esempio. L’esponenziale di xR; formula (equivalente alla definizione) per l’esponenziale di zC, rappresentazione “esponenziale” di un numero complesso. me 2 ottobre Equazioni algebriche in C, formula per quelle di 2° grado. Molteplicità di una soluzione di un’equazione algebrica. Teorema fondamentale dell'algebra. w C è zero di un polinomio a coefficienti reali se e solo se w lo è e in tal caso le molteplicità di w e w coincidono (con dim.**); interpretazione geometrica. Teorema sulla fattorizzazione dei polinomi a coefficienti reali; esempio: fattorizzazione** di z41. ve 4 ottobre Funzioni (dominio, codominio e regola di corrispondenza); immagine di un elemento o un insieme tramite una funzione, immagine della funzione; grafico. Codominio e immagine non sempre coincidono. Dominio naturale. Intervalli (dei vari tipi). Restrizione e prolungamento di una funzione. Funzioni definite a tratti. Funzioni monotone (dei vari tipi). La funzione  x  (parte intera di x). Punti estremanti (dei vari tipi). Funzioni superiormente o inferiormente limitate, limitate; max, min, sup, inf di una funzione. Funzioni pari e dispari (anche rispetto a x00). Funzioni periodiche, periodo minimo; esempi di funzioni periodiche (e relativi grafici): mantissa, costante. Operazioni fra funzioni: somma, prodotto, rapporto, composizione. SETTIMANA N. 4 lu 7 ottobre Numeri complessi: esercizi di vario tipo (calcoli, equazioni, disuguaglianze, interpretazioni geometriche…). me 9 ottobre Un particolare tipo di funzioni: le successioni; notazioni specifiche. Una condizione equivalente alla monotonia crescente di una successione: an+1  an per ogni n (con dim.*); l’analoga condizione per le funzioni [ f ( x  1)  f ( x) x ] non è sufficiente per la monotonia. Suriettività, iniettività; aspetti grafici ed esempi. Non tutte le funzioni iniettive sono strettamente monotone (esempio). Funzione identica, invertibilità (parziale e totale), inversa f 1. Relazione geometrica fra il grafico di una funzione e quello della sua inversa; esempi ( f ( x)  x 3 e f 1 ( x)  3 x , g ( x)  e x e g 1 ( x)  log x ). Definizione delle funzioni arsenx, arcosx, artgx; grafico di arsenx. Funzioni iperboliche e loro inverse (argomento da approfondire nelle esercitazioni). ve 11 ottobre Introduzione ai limiti. Intorni sferici, intorni di +∞ e −∞; punti d'accumulazione (inclusi +∞ e −∞); insieme R : R  {}  {−∞}. Definizione generale topologica di limite (in termini di intorni); definizioni metriche (in termini di disuguaglianze) e significati grafici. Verifiche** di limiti colla definizione (solo per funzioni elementari). Funzioni convergenti, divergenti, oscillanti; proprietà che valgono definitivamente. Teorema di unicità del limite. Definizioni: limite che vale per eccesso o per difetto. Teorema su limiti e operazioni aritmetiche. SETTIMANA N. 5 lu 14 ottobre Verifica della monotonia e della limitatezza della successione an  (1+1/n)n. Dimostrazione (geometrica) delle disuguaglianze: sinx  x  tgx per x(0,/2). Grafici di cosx, arcosx, tgx e artgx. Grafici di esponenziali e logaritmi al variare della base. Funzioni iperboliche: alcune proprietà e grafici. Calcolo** di settcoshx (definita come inversa della restrizione di coshx a [0,∞)); espressioni di settsenhx e setttanhx (lasciate da calcolare** per esercizio). Trasformazioni geometriche sui grafici di funzioni, costruzione di grafici partendo da quelli di funzioni elementari. me 16 ottobre Aritmetizzazione parziale di ∞; forme indeterminate aritmetiche. Teorema del confronto (per limiti finiti e infiniti, con esempi). I 3 limiti notevoli trigonometrici (con dim.*): sin x 1  cos x tan x lim , lim 2 , lim. Teorema sul limite di funzione composta (o “cambio x 0 x x 0 x x 0 x di variabile”). Teorema sui limiti delle restrizioni. Limiti laterali (destro e sinistro); esempio di limite destro e sinistro: la funzione sgn (segno). Relazione fra esistenza del limite e limiti laterali. Teorema di permanenza del segno (versione generalizzata). Teoremi sui limiti di funzioni monotone. ve 18 ottobre Dimostrazione* del teorema sul limite di funzione monotona (caso dell’estremo destro dell’intervallo, per una funzione crescente e limitata). Limiti di successioni: riformulazione delle definizioni. Convergenza della successione 1 1 / n  (con dim.*); n definizione del numero di Nepero “e” e suo valore approssimato. Alcuni limiti notevoli: x log(1  x)  c lim 1  1 x   e , lim1  x   e , lim x 1/ x  1. lim 1    e c (quest’ultimo con x x 0 x 0 x x   x dim.*). Forme indeterminate di tipo esponenziale (1 , 0 , ∞0) e limiti di funzioni tipo ∞ 0 [f(x)]g(x). Criterio del rapporto per le successioni, applicazione al limite di na/(en)b (per a,b > 0). Limiti a ∞ delle funzioni: xa/(ex)b e (log x)a/xb per a,b > 0 (entrambi con dim.*); esempi di altri limiti collegati ai precedenti. Definizione di funzioni equivalenti o asintotiche; proprietà (con dim.*): riflessiva, simmetrica, transitiva. SETTIMANA N. 6 lu 21 ottobre Verifica di qualche limite colla definizione (solo casi elementari, per funzioni e successioni). Dimostrazioni** dei limiti notevoli: lim 1  1 x   e , lim 1  1 x   e , x x x x log(1  x) lim1  x  1/ x  e , lim  1. Calcolo di limiti di vario tipo. x 0 x 0 x me 23 ottobre Identità del limite per funzioni asintotiche (con dim.*). L’uguaglianza del limite non è sufficiente all’asintoticità, tranne nel caso di limite reale non nullo. In una relazione di asintotico non vale il “principio del trasporto”. Stime asintotiche di funzioni composte del tipo f hx  ~ g h x  (con dim.). Alcune stime asintotiche notevoli. Teorema (con dim.*) sulle stime asintotiche di prodotti, rapporti, potenze, logaritmi. Applicazione di stime asintotiche al calcolo di limiti. Il problema della stima asintotica della somma di funzioni. Alcune proprietà dell'asintotico che in generale non valgono. ve 25 ottobre Infiniti/infinitesimi: dello stesso ordine, di ordine superiore/inferiore, non confrontabili. Stima asintotica di somme di infiniti o infinitesimi (con dim.*). Introduzione alle serie numeriche: il paradosso di Zenone (Achille e la tartaruga) e sua soluzione. Generalità sulle serie di numeri reali (termine generale, successione delle somme parziali, carattere,   1 somma). Carattere della serie di Mengoli e di  log1   (entrambe con dim.*, da n 1  n svolgere usando solo la definizione e non i teoremi sulle serie). Condizione necessaria alla convergenza di una serie (con dim.*); la condizione non è sufficiente (esempio). Serie geometrica, suo carattere e somma (tutto con dim.*). Relazione tra i caratteri di an e can   ; relazione tra i caratteri di  an e n  n1 a n  n2 n per n2 > n1. (anbn) (serie somma), relazione tra il suo carattere ed i caratteri di an e bn.  SETTIMANA N. 7 lu 28 ottobre Serie telescopiche. Serie a termini di segno definitivamente costante; teorema di regolarità per le serie a termini di segno definitivamente costante (con dim.*). Criterio del confronto per le serie (con dim.*); applicazione al carattere della serie armonica (con dim.*). Criterio del confronto asintotico (con dim.*); applicazione al carattere di  1  n 1 n 2 (con dim.*). Criterio del rapporto per le serie e le successioni (con dim.*, tranne per il caso “ l1 ”). Criterio della radice per le serie e le successioni. lu 28 + ma 29 Calcolo** delle stime asintotiche nell’origine di: Shx, Chx1, Thx, settShx, settThx. (Ciappetta) Stime asintotiche di polinomi (nei vari casi). Calcoli di stime asintotiche e limiti vari oppure (di funzioni e successioni, anche per confronto e anche con forme indeterminate di ma 29 ottobre tipo esponenziale). (Bertini) me 30 ottobre Serie a termini di segno variabile. Criterio di Leibnitz. Serie a termini di segno alterno. Serie assolutamente convergenti, criterio di convergenza assoluta; relazione fra  1 convergenza (semplice) e convergenza assoluta. Carattere di:   . n 2 n (log n) INIZIO lezioni 2a PARTE (Quanto segue non è richiesto per la prova del 9/11.) Teorema ponte fra limiti di funzioni e successioni; uso per dimostrare la non esistenza di un limite. Asintoti verticali (destri, sinistri, bilateri). Asintoti y = mx  q per x : definizione e significato geometrico, asintoti orizzontali e obliqui. ve 1° novembre Festivo. SETTIMANA N. 8 lu 4 novembre Studio del carattere di serie numeriche di vari tipi (anche dipendenti da parametri). me 6 novembre Osservazioni su alcuni possibili errori ed esercizio (serie dipendente da parametro). Proposizioni utili per la ricerca degli asintoti per x (con dim.); esercizio. Stime asintotiche e grafici locali. Definizione del simbolo di Landau "o-piccolo"; come interpretare le uguaglianze con o-piccolo. ve 8 novembre Libero sa 9 novembre Prova in itinere. SETTIMANA N. 9 lu 11 novembre Didattica sospesa per prove in itinere. me 13 novembre Didattica sospesa per prove in itinere. ve 15 novembre Esempi su o-piccolo. o f ( x)   o f ( x)   o f ( x)  , o f ( x)   o f ( x)   0 , altre proprietà di o-piccolo. Relazione fra o-piccolo e asintotico (con dim.*); esercizio. Definizione di funzione continua in x0; relazione col limite nel caso x0 sia punto d’accumulazione del dominio (con dim.). Definizione di funzione continua su un insieme B, notazione f  C (B ). Teorema sulla continuità di: somma, prodotto, rapporto. Teoremi di continuità della funzione composta e dell’inversa (di una funzione che sia definita su un intervallo). Continuità delle funzioni dette “elementari”: c (costante), x, |x|, xα, ax, loga x, sen x, cos x, tan x, cotan x, arsen x, arcos x, arctg x, arccotg x. Punti di discontinuità. Prolungamento per continuità. Insieme chiusi. Teorema di Weierstrass. Teorema degli zeri (con dim.*).  SETTIMANA N. 10 lu 18 novembre Uso del teorema ponte per dimostrare che un limite non esiste. Studi di funzioni senza derivate. Studio dei punti di discontinuità e della prolungabilità per continuità. me 20 novembre Esempio di applicazione del teorema degli zeri. Teorema dei valori intermedi (con dim.*). Teorema sull’immagine di un intervallo (con dim.*) e corollario (con dim.*). Monotonia, su un intervallo, delle funzioni iniettive e continue (non sarà richiesto nelle prove scritte). Introduzione alle derivate: pendenza e velocità. Punto interno ad un insieme. Funzione derivabile, derivabile da destra/sinistra, derivata, derivata destra/sinistra. Funzione derivata. Derivate delle funzioni: ex, log|x|, 1/x (tutt’e 3 con dim.*). f è derivabile in x0 se e solo se f(x)f(x0) è infinitesimo di ordine uguale o superiore a xx0. ve 22 novembre Continuità in x0 di una funzione derivabile in x0 (con dim*.); esistenza di funzioni continue ma non derivabili in un punto (verifica* che |x| non è derivabile nell’origine). Derivate di alcune funzioni. Derivata di somma, prodotto e rapporto di funzioni (con dim.* nel caso di somma e prodotto). Teorema sulla derivata di funzione composta. Punti di non derivabilità: punti di discontinuità, punti a tangente verticale, punti di minimo/massimo a cuspide, punti angolosi, semicuspidi. Definizione di punto stazionario o critico, teorema di Fermat (con dim.*); possibilità che un punto stazionario non sia di estremo, casi in cui un punto di estremo non è stazionario. Teorema di Rolle (con dim.*). Teorema di Lagrange (con dim.*) e suo significato geometrico. Condizione sufficiente alla stretta monotonia e condizione sufficiente affinché una funzione sia costante (con dim.*). SETTIMANA N. 11 lu 25 novembre Derivabilità, studi di funzioni senza derivata seconda. me 27 novembre Esempio di punto di non derivabilità che non è dei tipi classificati la volta precedente. Condizione necessaria e sufficiente alla monotonia in senso lato (da dim.** per esercizio). Possibilità che una funzione derivabile sia strettamente monotona ma con la derivata nulla in qualche punto. Differenziabilità di una funzione e retta tangente, equivalenza della differenziabilità colla derivabilità (con dim.). Teorema sulla derivata della funzione inversa e sua giustificazione** geometrica; applicazione** alle derivate delle inverse delle funzioni trigonometriche e iperboliche. Le funzioni arsenx e arcosx non sono derivabili per x1. Definizione di funzione derivabile n volte (n2) e di derivata nesima; funzioni di classe Dern(A), Cn(A) e C∞(A). ve 29 novembre Convessità e concavità per funzioni derivabili; punti di flesso (inclusi i punti di flesso a tangente verticale). Funzioni convesse/concave e strettamente convesse/concave [definizioni date solo per funzioni derivabili su (a,b)]; punti di flesso. Funzioni derivabili due volte: teoremi relativi a convessità, concavità, flessi. Calcolo* dell’unico polinomio (di grado  2) T2(x)  a0 a1(xx0)  a2(xx0)2 tale che: T2(x0)  f (x0), T2(x0)  f (x0) , T2(x0)  f (x0), dove f è una funzione derivabile 2 volte in x0; generalizzazione: polinomio di Taylor di ordine n centrato in x0 [polinomio Tn(x) che ha in comune con f i valori delle derivate fino all’n-esima in x0]. Teorema relativo alla formula di Taylor con resto di Peano. L’ordine e il grado del polinomio di Taylor non sempre coincidono. Applicazione della formula di Taylor per determinare grafici locali, stime asintotiche e limiti. Teorema sulla formula di Taylor con resto di Lagrange. SETTIMANA N. 12 lu 2 dicembre Applicazione della derivata allo studio di serie di Leibnitz. Studi di funzione completi. Formula di Taylor. me 4 dicembre Su un intervallo, due funzioni hanno la stessa derivata se e solo se differiscono per una costante (con dim.). Primitive (o antiderivate) di una funzione su un insieme; integrale indefinito. Linearità dell’integrale indefinito; esempi di regole d’integrazione deducibili da regole di derivazione; regola d’integrazione per parti (con dim.). Esempio di funzione senza primitive. Problema del calcolo dell’area sottesa dal grafico di una funzione, su un intervallo [a,b]; somme integrali inferiori e superiori, funzioni b integrabili, a f ( x)dx (integrale di f su un intervallo [a,b], con a  b ). La funzione di Dirichlet è un esempio di funzione non integrabile (con dim.*). Teorema sull’integrabilità delle funzioni continue. Calcolo* colla definizione dell’integrale su [a,b] di f (x)  c. gio 5 dicembre Seguito argomenti esercitazione precedente. (17:15-19:15) ve 6 dicembre Calcolo colla definizione dell’integrale su [0,1] della funzione f (x)  x. Definizione del (solo 9:15-11:15) b simbolo a f ( x)dx nel caso b  a. Proprietà dell'integrale: linearità, additività rispetto all'intervallo d'integrazione, monotonia rispetto all’integranda. Area compresa fra i grafici di due funzioni su [a,b] e fra il grafico di una funzione e l’asse. Definizione di media integrale, teorema della media (con dim.*) e interpretazione geometrica. Teorema di Torricelli (con dim.*); corollario (esistenza di primitive di funzioni continue su intervalli). Teorema di valutazione (con dim.). SETTIMANA N. 13 lu 9 dicembre Calcolo di integrali indefiniti e definiti, con regole d’integrazione immediata (dopo eventuale riscrittura della funzione integranda) e per parti. Integrali di funzioni razionali e di potenze di seno e coseno. me 11 dicembre Proposizioni sulle sostituzioni negli integrali indefiniti (diretta e inversa, entrambe On line con dim.). Sostituzioni negli integrali definiti (con dim.*). Integrali impropri (o (lauree magistrali) generalizzati) nel caso di funzioni continue su un intervallo chiuso da una parte e aperto dall’altra: definizioni (integrale convergente, divergente, indeterminato, funzione integrabile in senso improprio), interpretazione come area; criterio del confronto. ve 13 dicembre (Ciappetta a squadre riunite) Studio* dell'integrale improprio di 1/xa al variare del parametro reale a, sia su (0,1] che su [1,+∞). Studio* dell’integrale su [e,+∞) di 1/(xa(logx)b al variare dei parametri a e b. Invarianza del carattere per spostamento di un estremo (con dim.). Osservazione sul criterio del confronto. Integrabilità delle funzioni prolungabili per continuità (con dim.). Regolarità degli integrali impropri di funzioni continue e a segno definitivamente costante (con dim.). Criterio dell'asintotico; esempio e osservazione (in un integrale improprio le costanti moltiplicative non nulle non influiscono sul carattere). Teorema riguardante la convergenza assoluta e la maggiorazione del modulo dell’integrale, nel caso a < b; definizione di parte positiva e negativa di un numero reale; dimostrazione* del teorema. La maggiorazione indicata dal teorema vale anche per gli integrali propri. Funzioni “assolutamente integrabili”; relazione fra convergenza assoluta e semplice. Teorema sul cambio di variabile per integrali impropri di una funzione continua sull’intervallo fra a e b, chiuso dalla parte di a (con dim.). SETTIMANA N. 14 lu 16 dicembre Calcolo di integrali con varie sostituzioni, fra cui anche (ma non solo): ax  b  t q , x  a sen t , x  a sinh t , x  a cosh t. Area dell’ellisse. Integrali su intervalli simmetrici di funzioni pari o dispari. Studio del carattere o/e calcolo di integrali impropri. me 18 dicembre Integrali impropri di funzioni continue all’interno di un intervallo, ma non definite o discontinue in entrambi gli estremi dell’intervallo: definizioni, analogo del teorema di valutazione (con dim.*). Definizioni di integrabilità e di integrale improprio, per funzioni che non sono definite, o sono discontinue, in numero finito di punti; esempio. Teorema di de l’Hôpital: caso 0/0 (con dim.* solo per x0R; sono accettabili anche dimostrazioni diverse da quella presentata in aula, purché vengano svolte dettagliatamente, dimostrando anche eventuali teoremi che vengono applicati, se essi non sono stati trattati nel corso). Dim.* del teorema detto “tappabuchi”. Teorema di de l’Hôpital nel caso k/∞. Osservazioni: i teoremi di de l’Hôpital valgono in modo analogo per i limiti laterali; inoltre l’esistenza del limite di f ’/g’ non è necessaria all’esistenza del limite di f ’/g’ ve 20 dicembre Se l’integrale di f in un intorno di ∞ converge, per x∞ o f ha limite 0 o non ammette limite. Studio del carattere o/e calcolo di integrali impropri. Funzioni integrali.