Analyse de la Durée de Vie: Séance 3

• Il s'agit des notes d'étude sur l'analyse de la durée de vie selon Youssef Bennani
• La séance est le 3, et la date est le 22 février 2025

Variance de l'estimateur de Kaplan-Meier

• Il est utile d'estimer la variance de S(t) afin d'évaluer avec précision l'estimation de S(t).
• La théorie de l'estimation par le maximum de vraisemblance sert de fondation.
• La variance asymptotique de est évaluée par une formule spécifique.
• Il est rappelé qu'une formule de logarithme est utilisée, impliquant des sommes de termes avec décès (d), effectifs (n), et probabilités (π).
• On déduit que δ²l/δπi² = (ni - di)/πi² - di/(1 - πi)², et δ²l/δπiδπj = 0 quand i est différent de j.
• La matrice de variance-covariance est diagonale.
• Cette matrice est évaluée en πi = 1 - di/ni pour i ≠ j, et Cov(πi, πj) = 0
• La méthode delta stipule que si g(.) est une fonction différentiable avec g'(θ) ≠ 0, alors V(g(θ)) = g'²(θ)V(θ).
• V(ln(πi)) = πi⁻²V(πi) = di / ((ni - di)ni).
• Il est rappelé que S(t) = ∏(1 - di/ni) = ∏πi pour tous les i tels que ti ≤ t.
• V(ln(Ŝ(t))) = Σ(di/((ni - di)ni)) pour tous les i tels que ti ≤ t.
• Un objectif est d'estimer V(Ŝ(t)), appliquant la méthode delta avec g(.) = exp(.).
• V(Ŝ(t)) = Ŝ(t)²V(ln(Ŝ(t))) = Ŝ(t)² × σ²lnSt
• La formule résultante est connue sous le nom de Greenwood.

Intervalles de confiance ponctuels sur la survie

• Le but est de trouver deux bornes bLt et bUt telles que ∀t > 0, P(bLt ≤ S(t) ≤ bUt) = 1 − α, où α est un seuil de risque fixé à l'avance.
• On admet que √n(Ŝ(t) − S(t))/S(t) converge vers une martingale gaussienne centrée.
• Une des conséquences est que la distribution asymptotique de Ŝ(t) est gaussienne, centrée sur S(t).
• L'écart-type estimé, noté σ̂St, est σ̂St = σ̂lnStŜ(t).
• Un intervalle de confiance de (1 − α) est donné par Ŝ(t) ± zα/2σ̂St, où zα/2 est le fractile de rang α/2 de la distribution normale standardisée.
• Un inconvénient de cette construction d'intervalle de confiance est que les bornes peuvent être extérieures à l'intervalle [0, 1].
• Une solution consiste à utiliser une transformée de S(t) via une fonction g(.) continue, dérivable et inversible, de sorte que g(S(t)) appartienne à un espace plus large non borné qui approxime mieux une v.a. gaussienne.
• La méthode delta permet d'estimer l'écart-type de l'objet créé, défini par σ̂g(St) = g'(Ŝt)σ̂St
• L'intervalle de confiance associé au seuil de risque α est construit comme g⁻¹(g(Ŝt) ±zα/2g'(Ŝt)σ̂St)
• La transformation la plus utilisée est g(St) = ln[-ln(St)].

Bandes de confiance

• Il s'agit de trouver une région du plan contenant la fonction de survie avec une probabilité de 1 − α, ou un ensemble de bornes bLt et bUt encadrant S(t) pour tout t ∈ [tL, tU] avec cette probabilité.
• Les solutions les plus couramment utilisées sont les bandes de Hall-Wellner et les bandes de Nair.
• L'obtention technique de ces bandes est complexe, reposant sur la convergence vers une martingale gaussienne centrée et la théorie des processus browniens.
• En pratique, il est conseillé d'utiliser une transformation avec les bandes de Nair, contrairement aux bandes de Hall-Wellner où une transformation serait moins utile.

Estimation de la fonction de risque cumulé

• Nelson et Aalen ont proposé un estimateur de la fonction de risque cumulé H(t) donné par Ĥ(t) = ∑ di/ni pour tous les i tels que ti ≤ t.
• Un autre estimateur, celui de Breslow ou de Peterson, est obtenu à partir de l'estimateur KM, soit Ĥ(t) = -ln Ŝ(t).
• Il est démontré que Ĥ(t) < Ĥ(t): l'estimateur de Nelson-Aalen est toujours inférieur à celui de Breslow.
• Cela découle de la concavité de la fonction ln, qui se situe sous sa tangente, ce qui, via un développement de Taylor à l'ordre 1, implique ln(1 - x+) < x+.
• Aucune raison ne privilégie l'un par rapport à l'autre.
• La variance de l'estimateur de Breslow est estimée par V(Ĥ(t)) = V(Ŝ(t))/Ŝ(t)².
• Pour celui de Nelson-Aalen, deux choix asymptotiquement équivalents sont proposés: V(Ĥ(t)) = ∑ di(ni - di)/ni³ ou V(Ĥ(t)) = ∑ di²/ni² pour tous les i tels que ti ≤ t.

Comparaison des courbes de survie estimées par Kaplan-Meier

• Après avoir estimé les courbes de survie sur deux groupes ou plus, l'intérêt se porte sur leur comparaison.
• L'exemple typique est celui de deux échantillons issus de la même population, dont l'un subit une intervention.
• Il est primordial de s'assurer que, hormis l'intervention, les groupes possèdent les mêmes caractéristiques.
• Sinon, toute divergence ne peut être attribuée à l'intervention seule.
• Les statistiques utilisées reposent sur des tableaux de contingence des temps d'événements.
• Ce sont des statistiques de rang, avec la statistique du LogRank comme la plus courante.

Statistique LogRank : comparaison de deux groupes

• L'hypothèse nulle est l'égalité des courbes de survie.
• Sous H0, la proportion attendue d'événements à un temps ti quelconque est donnée par di/ni.
• Le nombre espéré d'événements dans chaque groupe est obtenu en appliquant cette proportion à l'effectif observé de chaque groupe.
• e1i = n1i * di / ni et e2i = n2i * di / ni = di − e1i
• Les règles de construction des données nécessaires aux calculs sont celles utilisées dans les calculs de KM.
• Le nombre d'individus à risque au temps ti est égal au nombre d'individus risqués en ti-1, diminué de l'effectif des individus ayant subi l'événement en ti-1 et de ceux censurés entre ti-1 (inclus) et ti (exclu).
• Une fois ces tables construites, quatre quantités sont calculées: O1 et O2 (nombre total d'événements observés dans chaque groupe), et E1 et E2 (nombre total d'événements attendus sous H0 pour chaque groupe).
• Oj = Σi dji et Ej = Σi eji pour j = 1,2
• O1 + O2 = E1 + E2.
• La statistique O1 - E1 est la statistique de LogRank.
• Exemple : Action marketing effectuée auprès des individus du groupe 2, avec pour événement la rupture de la relation client.
• On s'attend à ce que l'action améliore favorablement la courbe de survie et la fidélisation du client.
• Une valeur positive indique que le groupe 1 a plus d'événements observés que prévu sous H0, par rapport au groupe 2.
• Sous l'hypothèse nulle d'égalité des courbes de survie, (O1 - E1)²/E1 + (O2 - E2)²/E2 suit asymptotiquement une loi du Chi² à un degré de liberté.

Comparaison de k fonctions de survie

• L'extension à k groupes, approchée par chi², est immédiate.
• Sous H0 d'égalité des k courbes, la statistique (O1 - E1)²/E1 + (O2 - E2)²/E2 + ··· + (Ok - Ek)²/Ek est distribuée selon une loi du chi² avec k - 1 degrés de liberté.
• Si l'hypothèse nulle est rejetée, les couples de fonctions responsables de ce rejet sont recherchés.
• H0 étant une hypothèse jointe comme S1(t) = S2(t) = ··· = Sk(t), il faut contrôler le risque global.
• Selon la méthode de Bonferroni, pour un seuil de risque α donné, si nH hypothèses simples doivent être considérées, H0: Si(t) = Sj(t) est rejetée si son seuil de significativité est inférieur à α/nH.

Test de Wilcoxon

• Pour deux groupes, le test du LogRank a pour expression Σ(d1ti - e1ti) où r est le nombre d'événements observés sur les groupes 1 et 2.
• En accordant implicitement un poids unitaire à chaque quantité (d1ti - e1ti).
• Il est possible de construire des statistiques pondérées de la forme Σ wi( d1ti - e1ti)
• Modifier les wi ajuste l'influence des événements selon la durée de leur réalisation.
• Gehan propose wi = ni; où les poids sont égaux aux nombre d'individus à risque au temps ti
• Puisque ni dimunue avec ti, cette statistique accorde plus de poids aux évènements observés de courte durée.

Tests stratifiés de comparaison des survies

• Une hétérogénéité des sous-populations est soupçonnée, constituant chacune des strates que l'on vise à comparer.
• Si cette hétérogénéité est présente, les tests précités peuvent être déficients et leurs conclusions sujettes à caution.
• Si nous voulons comparer, par exemple, la durée d'accès à l'emploi de deux filières de formation, alors que la répartition par sexe des sortants n'est pas égale
• Dans ces conditions, il serait possible d'attribuer aux filières des conditions d'accès à l'emploi inégales entre les hommes et les femmes.
• Les tests stratifiés visent à prendre en compte ce type d'hétérogénéité.
• X1 est variable définissant les strates d'intérêt, et X2 variable définissant les sous-populations ''hétérogènes" au sein des strates précédentes
• Les tests stratifiés construisent des tests d'égalité des survies sur chaque sous-population identifiée par X2, et combinent les valeurs de tels tests
• Ce afin de fournir un test global d'égalité des survies pour les strates.
• Plus généralement, s'il y M strates de sous-populations créant de l'hétérogénéité, M statistiques vs, sont récupérées à la première étape.
• vs ont chacune une variance-covariance estimée Vs et M degrés de liberté df.
• Les quantités sont construites à la deuxième étape, v = somme des vs de s=1 à m et V = somme des Vs pour s=1 à m.
• La statistique de test stratifiée est V-1 v. Sous H0, V-1 est distribuée de façon asymptotique en tant que Chi2(df)