Ondas Electromagnéticas Semana 2 PDF

Ondas Electromagnéticas Loureiro (ECla) Ch. 1.3, Griffiths Ch. 9.1, 9.2 Nesta secção, estudaremos as propriedades básicas das ondas electromagnéticas e a sua propagação no vácuo. Secção 5: Propagação de Ondas Electromagnéticas - 17 de Setembro de 2024.....................................................

Ondas Electromagnéticas Loureiro (ECla) Ch. 1.3, Griffiths Ch. 9.1, 9.2 Nesta secção, estudaremos as propriedades básicas das ondas electromagnéticas e a sua propagação no vácuo. Secção 5: Propagação de Ondas Electromagnéticas - 17 de Setembro de 2024................................................................................................................................ Subsecção 5.1: A equação de onda e a sua solução Uma onda pode ser vista como uma perturbação que transporta informação e se propaga num dado meio a uma dada velocidade e com uma dada forma. Por agora, consideraremos perturbações que viajam com uma forma fixa e a uma velocidade constante, de forma que possam ser descritas por uma função do tipo f (z, t) = g(z vt), onde f representa o deslo- camento da onda movendo-se com velocidade v no ponto z e no tempo t. A equação clássica da onda, que admite como soluções todas as funções da forma acima, numa dimensão, é @ 2f 1 @ 2f =. (5.1) @z 2 v 2 @t2 Tal como a equação do oscilador harmónico simples, a equação de onda é muito comum na física. De todas as formas de onda possíveis, a onda sinusoidal é a mais comum e útil f = A cos[k(z vt) + ], (5.2) onde A é a amplitude da onda, k é o número de onda e é uma constante de fase. O número de onda está relacionado com o comprimento de onda pela equação = 2⇡/k. O período da onda é dado por T = 1/f , com f = v/ = kv/(2⇡) a frequência da onda. A sua frequência angular é ! = 2⇡f = kv. Assim, a solução pode também ser escrita como f = A cos(kz !t + ). Usando a fórmula de Euler ei✓ = cos ✓ + i sin ✓, podemos escrever a função complexa f˜ = Ãei(kz !t) , (5.3) com à = ei e a solução escrita como f = Re[f˜]. (5.4) Muitas vezes, a notação complexa é muito mais fácil de manipular devido à função exponen- cial em vez de senos e cossenos. Embora possa parecer que uma função sinusoidal é uma forma de onda muito específica e simples, o facto é que qualquer onda pode ser expressa como uma combinação linear de ondas sinusoidais ˆ +1 f˜ = Ã(k)ei(kz !t) dk, (5.5) 1 tornando-a numa ferramenta muito poderosa. Em mais de uma dimensão, podemos definir o vector perturbação como f̃ = Ãei(kz !t) n, (5.6) 26 onde n é o vector polarização. Quando as ondas são transversais, n é perpendicular à direcção de propagação z e n · z = 0. A polarização da onda pode ser caracterizada pela direcção de n em relação a x, y e z. Para uma onda transversal movendo-se ao longo de z, pode ser escrita em termos do ângulo de polarização ✓, n = cos ✓x + sin ✓y. (5.7) Assim, tal onda pode também ser considerada como uma sobreposição de duas ondas, uma polarizada ao longo de x e outra ao longo de y f̃ = Ãcos✓ei(kz !t) x + Ãsin✓ei(kz !t) y. (5.8)................................................................................................................................ Subsecção 5.2: Equação de onda para ondas electromagnéticas num meio homogéneo Na ausência de fontes (cargas e correntes), as equações de Maxwell num dieléctrico são @B @D r⇥E= , r⇥H= , r · D = 0, r · B = 0. (5.9) @t @t Num meio não dispersivo, os vectores de campo estão relacionados por D = ✏E, B = µH, onde ✏ é a permitividade eléctrica e µ a permeabilidade magnética. No caso de meios homogéneos, onde ✏ e µ são constantes, a Eq. (5.9) pode ser combinada nas seguintes equações de segunda ordem 1 @ 2E r2 E = 2 2 (5.10) v @t 1 @ 2B r2 B = 2 2 , (5.11) v @t p onde v = 1/ ✏µ é a velocidade de fase da onda. No vácuo, v = c = 3 ⇥ 108 m/s. Portanto, cada componente do campo eléctrico e magnético satisfaz a equação de onda 1 @ 2f r2 f =. (5.12) v 2 @t2 É a interdependência espaço-temporal das equações de Maxwell que garante a propagação das ondas electromagnéticas à velocidade v, não permitindo a propagação independente de apenas um dos campos................................................................................................................................. Subsecção 5.3: Ondas Planas Monocromáticas Como vimos anteriormente, podemos focar a nossa atenção em ondas sinusoidais de frequência !, que são ondas planas monocromáticas, significando que possuem uma única frequência e os campos são uniformes sobre um plano perpendicular à direcção de propagação z. Estamos assim interessados em campos da forma E = E0 ei(k·r !t) (5.13) 27 onde a amplitude da onda E0 é, em geral, um vector complexo e k = 2⇡/ é o vector de onda, sendo o comprimento de onda. Devido ao facto de r · E = 0 no vácuo, as ondas são transversais e E0 é perpendicular à direcção de propagação k. Uma onda com amplitude E0 = E0 n diz-se linearmente polarizada com vector de polari- zação n. Dependendo da magnitude e direcção das partes real e imaginária de E0 , as ondas podem ser planas, circularmente ou elipticamente polarizadas. Isto pode ser observado pela combinação de duas ondas linearmente polarizadas com amplitudes E1 n1 e E2 n2. Se E1 e E2 tiverem a mesma fase, a sua sobreposição representa uma onda linearmente polarizada com o vector de polarização fazendo um ângulo ✓ = tan 1 (E2 /E1 ) com n1 e tendo amplitude E = (E12 + E22 )1/2. Se E1 e E2 tiverem fases diferentes, a onda é elipticamente polarizada. No caso mais simples, quando E1 e E2 têm a mesma amplitude mas diferem na fase por 90 , a onda é circularmente polarizada. Como vimos anteriormente, embora tais formas de onda possam parecer uma idealização matemática, na realidade, qualquer onda pode ser descrita pela sobreposição de ondas planas monocromáticas com diferentes vectores de onda e frequências. Isto é frequentemente referido como um grupo de ondas ou pacote de ondas e é descrito por ˆ (r, t) = (k)ei(k·r !t) dk, (5.14) onde é uma componente cartesiana de E ou H. A função (k) é chamada função am- plitude. O máximo da amplitude de um pacote de ondas move-se através do espaço com a velocidade de grupo d! vg =. (5.15) dk Embora cada equação de onda seja independente das outras, as componentes dos campos eléctrico e magnético estão relacionadas entre si pelas equações de Maxwell. Como r · E = r · B = 0 (no vácuo), isso mostra que k · E = k · B = 0, de modo que os campos eléctrico e magnético são perpendiculares à direcção de propagação. Para ondas que viajam ao longo de z, temos que Ez = Bz = 0. Com a lei de Faraday r ⇥ E = @B/@t, para ondas que viajam ao longo de z, k = kz, descobrimos que k B0 = (z ⇥ E0 ). (5.16) ! Assim, E e B estão em fase e são mutuamente perpendiculares, com as amplitudes reais relacionadas por E0 = !B0 /k = cB0................................................................................................................................. Subsecção 5.4: Energia e Momento em Ondas Electromagnéticas Vimos em Eq. (4.24) que a densidade de energia electromagnética é dada por ✓ ◆ 1 B2 w= 2 ✏E +. (5.17) 2 µ No caso de uma onda plana monocromática no vácuo, B 2 = E 2 /c2 = µ0 ✏0 E 2 , de modo que as contribuições eléctrica e magnética para a energia são iguais w = ✏0 E 2 = ✏0 E02 cos2 (kz !t + ). (5.18) 28  Para encontrar a energia que uma onda electromagnética transporta consigo, usaremos o vector de Poynting 1 S = E ⇥ B. (5.19) µ Para uma onda plana monocromática propagando-se na direcção z no vácuo, descobrimos que S = c✏0 E02 cos2 (kz !t + )z = cwz. (5.20) Da mesma forma, o momento armazenado nos campos é dado por g = S/c2. Para ondas planas monocromáticas no vácuo, descobrimos que 1 1 g = ✏0 E02 cos2 (kz !t + )z = wz. (5.21) c c Podemos também calcular o valor médio de cada uma destas quantidades (notando que a média de cos2 é 1/2) como ✏0 E02 c✏0 E02 ✏0 E02 hui = , hSi = , hgi =. (5.22) 2 2 2c A intensidade da onda é a média da potência por unidade de área I = hSi = c✏0 E02 /2. Quando a luz incide (perpendicularmente) sobre uma dada superfície, transfere momento para a superfície. Numa superfície de área A, a transferência de momento num intervalo de tempo t é p = hgi Ac t. A pressão da radiação, que é a força média por unidade de área, é dada por 1 p 1 I P = = ✏0 E02 =. (5.23) A t 2 c 29 Ondas na Matéria Loureiro (ECla) Ch. 1.1, 2.1, 2.2, 2.6, Griffiths Ch. 7.3.6, 9.3, 9.4.1, 9.4.2, 9.4.3 Agora vamos examinar como a propagação das ondas é alterada num meio que não seja vácuo. Secção 6: Ondas Electromagnéticas na Matéria - 17 de Setembro de 2024................................................................................................................................ Subsecção 6.1: Propagação em meios não condutores Em meios lineares e não condutores, D = ✏E e H = B/µ. Estas são regiões onde não existem cargas ou correntes livres. Além disso, se o meio for homogéneo, de modo que ✏ e µ sejam constantes, as equações de Maxwell reduzem-se a @B r · E = 0, r⇥E= , (6.1) @t @E r · B = 0, r ⇥ B = µ✏. (6.2) @t As ondas que se propagam através de tais meios viajam à velocidade 1 c v=p = , (6.3) ✏µ n onde r ✏ µ p n= = ✏ r µr , (6.4) ✏ 0 µ0 com n o índice de refracção (que não deve ser confundido com a notação da direcção da pola- rização usada na secção anterior). Como, para a maioria dos materiais, µr ' 1, tipicamente usamos a aproximação p n ' ✏r. (6.5) Para mais informações sobre o papel desta relação na transparência dos materiais, aconse- lhamos que leiam sobre o teorema de extinção de Ewald-Oseen. Todos os resultados para a energia, potência, intensidade e pressão de ondas electromagnéticas que encontrámos no vácuo aplicam-se também a ondas em meios lineares substituindo-se ✏0 ! ✏, µ0 ! µ e c ! v. No entanto, as condições de fronteira para os campos que passam de um meio para outro são alteradas. Aqui, encontramos que k k ✏1 E1? = ✏2 E2? , E1 = E 2 , (6.6) k k B1 B2 B1? = B2? , =. (6.7) µ1 µ2................................................................................................................................ Subsecção 6.2: Reflexão e Refracção de Ondas Vamos então analisar a propagação de ondas em meios lineares e os fenómenos resultantes quando estas passam de um meio para outro. 30  Consideremos uma onda plana incidente que se propaga no meio 1 na direcção z EI = E0I ei(k1 z !t) x, BI = B0I ei(k1 z !t) y, (6.8) p onde B0I = E0I /v1 e v1 = c/n1 com n1 ' ✏r1 o índice de refracção no meio 1. Em seguida, p colocamos outro meio em z = 0 com índice de refracção n2 ' ✏r2 , de modo que as ondas que aí se propagam tenham velocidades diferentes v2 = c/n2 e números de onda diferentes k2. A interface entre os dois meios dá origem a uma onda reflectida de volta para o meio 1 ER = E0R ei( k1 z !t) x, BR = B0R ei( k1 z !t) y, (6.9) onde B0R = E0R /v1 , já que k mudou de direcção e B = k ⇥ E/! com v = !/k. A interface dá também origem a uma onda transmitida no meio 2 ET = E0T ei(k2 z !t) x, BT = B0T ei(k2 z !t) y, (6.10) onde B0T = E0T /v2. A soma dos campos do lado esquerdo EI +ER e BI +BR e do lado direito ET e BT devem obedecer às condições de fronteira derivadas para meios lineares. Primeiro, observamos que não há componentes z da onda, de modo que as condições de fronteira perpendiculares não k k são necessárias. As condições de fronteira paralelas para o campo eléctrico E1 = E2 levam a E0I + E0R = E0T , (6.11) k k enquanto que as condições de fronteira paralelas para o campo magnético B1 /µ1 = B2 /µ2 levam a ✓ ◆ 1 E0I E0R 1 E0T =. (6.12) µ1 v 1 v1 µ2 v 2 ou E0I E0R = E0T com µ1 v 1 µ1 n 2 = =. (6.13) µ2 v 2 µ2 n 1 Resolvendo para as amplitudes, encontramos 1 v2 v1 2E0I 2v2 E0R = E0I ' E0I , E0T = ' E0I , (6.14) 1+ v2 + v1 1+ v2 + v1 onde aproximámos µ ' µ0. Neste caso particular, o rácio das intensidades I = ✏vE02 /2 para cada uma das ondas dá origem aos seguintes coeficientes de reflexão R e transmissão T ✓ ◆2 IR n1 n2 IT 4n1 n2 R= = , T = =. (6.15) II n1 + n2 II (n1 + n2 )2 Estes satisfazem R + T = 1, conforme exigido pela conservação de energia. Normalmente, a maior parte da luz é transmitida, isto é, T R em geral................................................................................................................................. Subsecção 6.3: Propagação em meios condutores 31  Na discussão acima, estipulámos que não havia cargas ou correntes livres. Esta restri- ção é razoável para a propagação de ondas através de materiais isolantes, como vidro ou água (pura). Contudo, em meios condutores, as cargas respondem aos campos eléctricos e magnéticos. Esses campos também criam um fluxo de corrente ao empurrar as cargas numa determinada direcção. Para a maioria das substâncias, a densidade de corrente J é proporcional à força por unidade de carga f = E + v ⇥ B. O factor de proporcionalidade, , é chamado de condutividade do material e é frequentemente obtido experimentalmente para cada material. O seu inverso é chamado de resistividade ⌘ = 1/. Materiais isolantes têm = 0 enquanto condutores perfeitos têm = 1. Na maioria dos materiais (mas não em plasmas, como veremos mais adiante), a corrente deve-se principalmente ao campo elétrico aplicado, de modo que J = E. (6.16) A equação (6.16) é chamada de Lei de Ohm. Neste caso, a equação de Maxwell para H deve ser substituída por @D r⇥H= E+. (6.17) @t E a conservação da carga? Usando a equação de continuidade para cargas livres @⇢ r·J= , (6.18) @t juntamente com a Lei de Ohm e r · E = ⇢/✏, encontramos @⇢ = (r · E) = ⇢, (6.19) @t ✏ com uma solução num meio linear homogéneo ⇢=e ( /✏)t ⇢0. (6.20) Isto significa que qualquer carga livre inicial ⇢0 se dissipa num tempo característico ⌧ = ✏/. Esta escala temporal permite-nos avaliar se um material é um bom condutor com base nos processos ou nas ondas que estamos interessados em estudar. Para um bom condutor, este tempo é muito mais curto que a escala de tempo dos outros processos relevantes: ⌧ ⌧ 1/!, onde ! é a frequência das ondas/oscilações que estamos interessados em estudar. Em tais casos, J pode ser finita, mas ⇢ ' 0. Como são modificadas as equações de onda em condutores, ou seja, para períodos de tempo superiores a ⌧ e ⇢ ' 0? Podemos escrever as equações de Maxwell como @B r · E = 0, r⇥E= , (6.21) @t @E r · B = 0, r ⇥ B = µ✏ + µ E. (6.22) @t Este sistema leva às equações de onda modificadas para E e B @ 2E @E @ 2B @B r2 E = µ✏ + µ , r 2 B = µ✏ + µ. (6.23) @t2 @t @t2 @t 32 Como anteriormente, estas equações ainda admitem soluções de ondas planas que viajam na direção z E = E0 ei(k̃z !t) , B = B0 ei(k̃z !t) , (6.24) com a diferença de que o número de onda k̃ é agora complexo k̃ 2 = µ✏! 2 + iµ !, (6.25) com soluções k̃ = kR + ikI , v ! v ! u r ⇣ ⌘2 u r ⇣ ⌘2 u ✏µ u ✏µ kR = ! t 1+ + 1 , kI = ! t 1+ 1. (6.26) 2 ✏! 2 ✏! A parte imaginária de k̃ leva a uma atenuação da onda, ou seja, uma diminuição da amplitude com o aumento de z, E = E0 e kI z i(kR z !t) e , B = B0 e kI z i(kR z !t) e. (6.27) A distância d = 1/kI é chamada de profundidade de penetração (skin dept) e é uma medida da distância que a onda consegue penetrar no condutor. A parte real determina, como anteriormente, a velocidade de fase e o índice de refração, = 2⇡/kR , v = !/kR e n = ckR /!. Como kR não varia linearmente com a frequência, como acontece em meios não condutores, temos que a velocidade de fase depende da frequência da onda v(!). Devido a esta propriedade muito importante, chamamos tais meios de dispersivos. Voltaremos a este assunto com mais detalhe abaixo. Também podemos escrever o número de onda em termos do seu módulo e fase como q q p i 2 2 k̃ = ke , k = kR + kI = ! ✏µ 1 + 2 /(✏2 ! 2 ), (6.28) e = tan 1 (kI /kR ). Sem perda de generalidade, assumimos que as ondas estão a propagar- se ao longo de z e que E está polarizado ao longo de x, o que, usando a lei de Faraday, leva a k E = E0 e kI z ei(kR z !t) x, B = E0 e kI z ei(kR z !t) y. (6.29) ! Isto mostra que E e B já não estão em fase, mas têm uma diferença de fase de e que as suas amplitudes reais estão relacionadas por |B|/|E| = k/!................................................................................................................................. Subsecção 6.4: Condições de Fronteira em Eletromagnetismo As condições de fronteira são uma parte essencial do electromagnetismo e electrodinâ- mica. Isto porque a solução das equações de Maxwell para os campos eléctrico e magnético (ou os seus potenciais) requer apenas condições de fronteira. Isso deve-se ao facto destas se- rem equações diferenciais e, portanto, requerem apenas condições de fronteira para encontrar uma solução única. As condições de fronteira para o campo eléctrico podem ser deduzidas das duas equações de Maxwell r · E = ⇢/✏ e r ⇥ E = @B/@t. No caso de dieléctricos estáticos, r · D = ⇢ e r ⇥ E = 0. A primeira equação, em forma integral, leva a Qenc A ˆ D · ndS = = , (6.30) ✏0 ✏0 33 onde definimos a carga superficial = Q/A como a carga por unidade de área. Desenhando uma pequena caixa em torno de uma folha de corrente com área A e espessura infinitesimal ✏, encontramos que ? Dacima ? Dabaixo ? = ✏acima Eacima ? ✏abaixo Eabaixo = f, (6.31) onde D? = D · n é o campo perpendicular à folha de corrente. Dado que o rotacional do campo eléctrico é nulo, o seu integral de linha fechado também. Quando aplicado a um circuito fechado ao longo da folha de um condutor, isto leva à relação k k Eacima Eabaixo = 0, (6.32) onde Ek = n ⇥ E é o campo paralelo à folha de corrente. Tais equações mostram que o campo eléctrico sofre uma descontinuidade quando passa por uma densidade de carga superficial. Também é verdade que o campo magnético é descontínuo numa corrente superficial. Na matéria, a equação de Maxwell para o campo H = B/µ pode ser escrita como r ⇥ H = Jf com Jf sendo a corrente livre. Em forma integral, pode ser escrita como ˆ H · dl = If , (6.33) com If sendo a corrente livre total que passa pelo circuito. Escolhendo um circuito que atravessa uma superfície com densidade de corrente superficial Kf onde Kf = dIf /dl com l paralelo ao fluxo. Num circuito com comprimento l ao redor de uma carga superficial, encontramos que k k k k Hacima Habaixo Hacima Habaixo = = Kf ⇥ n. (6.34) µacima µabaixo As condições de ´fronteira para os componentes perpendiculares a B podem ser encontradas usando r · B = B · ndS = 0, que quando aplicada a uma pequena caixa em torno de uma corrente superficial, leva a ? Bacima ? Babaixo = 0. (6.35)................................................................................................................................ Subsecção 6.5: Reflexão numa Superfície Condutora Vamos agora aplicar as condições de fronteira para analisar a reflexão e refracção quando há cargas e correntes livres. Para recapitular, as equações em meios homogéneos lineares são k k ✏1 E1? ✏2 E2? = f, E1 E2 = 0, (6.36) k k B1 B2 B1? B2? = 0, = Kf ⇥ n, (6.37) µ1 µ2 onde f é a carga superficial livre, Kf é a corrente superficial livre e n é um vector unitário perpendicular à superfície apontando do meio 1 para o 2. Agora enviamos uma onda plana monocromática incidente ao longo da direcção z da esquerda e polarizada na direcção x EI i(k1 z EI = EI ei(k1 z !t) x, BI = e !t) y, (6.38) v1 34 dando origem a uma onda refletida propagando-se para a esquerda ER i( ER = ER ei( k1 z !t) x, BR = e k1 z !t) y, (6.39) v1 e uma onda transmitida k2 ET = ET ei(k2 z !t) x, BT = ET ei(k2 z !t) y, (6.40) ! que será atenuada à medida que penetra no condutor. Em z = 0, aplicamos as condições de fronteira que derivámos acima. Como E ? = 0 em ambos os lados, isso deve levar a f = 0. Como B ? = 0, a condição de fronteira perpendicular para B é automaticamente satisfeita. A condição para o campo eléctrico paralelo leva a EI + ER = ET , (6.41) enquanto a condição para o campo magnético paralelo a Kf leva a EI ER k2 E T = 0, (6.42) µ1 v 1 µ2 ! ou EI ER = E T , (6.43) onde µ1 v 1 = k2. (6.44) µ2 ! Encontramos assim que 1 2 ER = EI , ET = EI. (6.45) 1+ 1+ Embora estes resultados pareçam idênticos aos obtidos para não condutores, a principal diferença é o facto de agora ser um número complexo (pois k é um número complexo). Observamos que num condutor perfeito com = 1 e k2 = 1, = 1, o que leva a uma onda totalmente refletida com um desfasamento de ⇡. ER = EI , ET = 0. (6.46) É por isso que os excelentes condutores, como a prata, são bons espelhos. 35 Dispersão de frequências Loureiro (ECla) Ch. 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, Griffiths Ch. 9.4.3 Vimos que a propagação de ondas eletromagnéticas na matéria é governada pelas seguintes propriedades do material: a permitividade ✏, a permeabilidade µ e a condutividade. No entanto, essas componentes podem, elas próprias, depender das propriedades da onda em questão. Um fenómeno bem conhecido que ilustra isso é a curvatura da luz azul em relação à luz vermelha num prisma ou gota de chuva. A isto chamamos dispersão e decorre do facto p de que o índice de refração ✏ ' ✏r ser, em geral, uma função do comprimento de onda da onda. A velocidade de propagação da onda c/n é, portanto, uma função de sua frequência. Um meio dispersivo é então definido como um meio onde n = n(!) com ! a frequência da onda. Secção 7: Modelo Atómico de Dispersão - 19 de Setembro de 2024................................................................................................................................ Subsecção 7.1: Dispersão de Frequências Como diferentes frequências viajam a diferentes velocidades, uma onda com várias frequên- cias será deformada à medida que atravessa o meio. Enquanto cada componente da onda tem o que se chama velocidade de fase ! v= , (7.1) k o pacote da onda como um todo viaja com a velocidade de grupo d! , vg = (7.2) dk que é a velocidade à qual a energia transportada pela onda viaja. Quase toda a física da dispersão pode ser ilustrada por um modelo simples de cargas ligadas (electrões e iões). Neste modelo, as cargas estão ligadas em x = 0 por uma força restauradora m!02 x, com m sendo a massa da carga e !0 a frequência de oscilação, e existe um campo eléctrico E que desloca a carga do seu equilíbrio. Também introduzimos uma força de amortecimento ẋ, que pode ser causada por mecanismos como a emissão de radiação que levam a perdas de energia da partícula. A equação de movimento da partícula é então dada por m(ẍ + ẋ + !02 x) = eE. (7.3) Para um campo E que varia harmonicamente no tempo, espera-se que o movimento seja periódico com algum amortecimento. Com a suposição x = x0 e i!t , encontramos que o momento de dipolo contribuído por um electrão é e2 E p= ex =. (7.4) m !02 !2 i! Consideramos agora N moléculas por unidade de volume, cada uma com fj electrões com frequência !j e amortecimento j. A polarização total P é então dada por N e2 X fj P= E. (7.5) m j !j2 ! 2 i! j 36 Note que na Eq. (7.5) a constante de proporcionalidade entre P e E é complexa. A permiti- vidade ✏ e a susceptibilidade podem ser encontradas usando as relações D = ✏E = ✏0 E+P, levando a ✏ N e2 X fj ✏r = =1+ e =1+ 2. (7.6) ✏0 ✏0 m j !j ! 2 i! j A permitividade e a susceptibilidade são, portanto, também complexas. A equação de onda em meios dispersivos r2 E = ✏µ0 @ 2 E/@t2 também admite soluções de ondas planas E = E0 ei(k̃z !) , mas onde, como vimos antes, k̃ é um número complexo p k̃ = ✏µ0 ! = kR + ikI , (7.7) levando a uma onda atenuada E = E0 e kI z i(kR z !t) e. (7.8) Como visto anteriormente, a intensidade da onda é proporcional a E 2 , logo e 2kI z , a quan- tidade ↵ = 2kI , (7.9) é chamada de coeficiente de absorção. p Usando a expressão para p a permitividade na Eq. (7.6), e sabendo que k̃ = ✏r !/c, expandindo a primeira ordem 1 + ✏ ' 1 + ✏/2, encontramos o seguinte índice de refracção ckR N e2 X fj (!j2 ! 2 ) n= '1+ , (7.10) ! 2m✏0 j (!j2 ! 2 )2 + j ! 2 e coeficiente de absorção ne2 ! 2 X fj j ↵ = 2kI '. (7.11) m✏0 c j (!j2 ! 2 )2 + j! 2 Tais expressões têm algumas propriedades interessantes. O índice de refracção aumenta para frequências menores que !j e diminui acentuadamente em ! ' !j. Isto é chamado de disper- são anómala e leva a um material que é praticamente opaco nessa gama de frequências. Esta é a região de ressonância, onde estamos a excitar os electrões na sua frequência intrínseca. Curiosamente, existem regiões onde n < 1, levando a uma velocidade de fase superior a c. Como vimos, isso não significa que a onda viajará a essa velocidade. A velocidade da informação (transporte de energia) é dada pela velocidade de grupo que é, de facto, igual ou inferior à velocidade da luz................................................................................................................................. Subsecção 7.2: Comportamento em baixa frequência e condutividade elétrica Vamos encontrar uma fórmula aproximada, simples, mas ainda assim esclarecedora para o índice de refracção num meio dispersivo a baixas frequências (! ⌧ !j ). Para tal, ignoramos o amortecimento j ⌧ ! e usamos o facto de que, para materiais transparentes, as ressonâncias situam-se tipicamente no regime ultravioleta ! ⌧ !j. Expandindo em série de Taylor de primeira ordem em !/!j , obtemos ✓ ◆ B n=1+A 1+ 2 , (7.12) 37  P P onde = 2⇡c/!, A = (N e2 /2m✏0 ) j fj /! 2 e B = (N e2 /2m✏0 ) j fj /! 4. A fórmula em Eq. (7.12) é chamada fórmula de Cauchy, A é chamado coeficiente de refracção e B é chamado coeficiente de dispersão. A fórmula para ✏ também nos permite encontrar um modelo clássico para a conductivi- dade eléctrica , chamado modelo de Drude. Se uma fracção de electrões f0 por molécula for livre, tendo !0 = 0, ao igualar a lei de Ohm J = E à fórmula para a densidade de corrente para este conjunto de electrões J = ef0 N v e v a derivada da posição previa- mente encontrada x = p/e com respeito ao tempo, obtemos o seguinte modelo para a conductividade f0 N e 2 = , (7.13) m( 0 i!) com f0 N o número de electrões livres por unidade de volume no meio. A constante de amortecimento 0 /f0 pode ser determinada a partir de experiências sobre a conductividade. Para o cobre, N ' 8 ⇥ 1028 átomos/m3 e a temperaturas normais a condutividade a baixa frequência é ' 5.9 ⇥ 107 (⌦ m) 1 , o que dá 0 /f0 ' 4 ⇥ 1013 s 1. Para f0 ⇠ 1, isto indica que até frequências muito além das micro-ondas (!. 1011 ) s 1 , a conductividade dos metais é real e independente da frequência. A frequências mais altas, a condutividade torna-se complexa e varia com a frequência da forma descrita por Eq. (7.13). Na realidade, a conductividade eléctrica é um fenómeno mecânico-quântico que leva em consideração o princípio de Pauli. Os electrões livres são na verdade electrões de valência dos átomos isolados que se movem através da rede dos sólidos. O amortecimento vem de colisões entre os electrões e as vibrações da rede, imperfeições da rede e impurezas. Notem que a distinção entre dielétricos e condutores é, em certa medida, artificial, pelo menos longe de ! = 0. Podemos dizer que se o meio tem electrões livres, é um conductor a baixas frequências, caso contrário é um isolante. Mas a contribuição da conductividade para a permitividade do meio a frequências não nulas surge simplesmente como uma amplitude ressonante como o resto. As propriedades dispersivas do meio podem, assim, ser vistas como originárias de uma constante dieléctrica complexa (como vimos acima) ou de uma conducti- vidade dependente da frequência e de uma constante dieléctrica regular. Para ilustrar isso, separemos a contribuição da resposta do meio dada pela lei de Ohm da constante dieléctrica regular de todos os outros dipolos eléctricos, a que chamaremos ✏regular. Neste caso, e com base em Eq. (7.6), podemos escrever N e2 ✏(!) = ✏regular (!) + i. (7.14) m!( 0 i!) Se agora examinarmos a equação de Ampère r ⇥ H = J + dD/dt e tivermos em conta que a densidade de corrente é dada pela lei de Ohm e a dependência harmónica no tempo das diferentes quantidades, temos ⇣ ⌘ r ⇥ H = i! ✏regular + i E. (7.15) ! Da comparação com Eq. (7.14) resulta imediatamente a mesma expressão para a conduti- vidade encontrada em Eq. (7.13), o que destaca a sua contribuição para as propriedades dispersivas do meio................................................................................................................................. 38  Subsecção 7.3: Limite de alta frequência e dispersão em plasmas Num meio altamente ionizado, temos um plasma—isto é, o meio é composto principal- mente por electrões e iões livres com densidades quase iguais, de modo que permanece quase neutro. Os plasmas são caracterizados por um comportamento colectivo devido à força do- minante entre as partículas carregadas serem as forças de Coulomb de longo alcance, em vez de colisões binárias de curto alcance entre as partículas carregadas ou entre estas e os áto- mos. O plasma é o quarto estado da matéria e constitui a maior parte da matéria visível no universo. A propagação de ondas no plasma é, assim, muito importante para compreender como os sinais eletromagnéticos produzidos em diferentes ambientes espaciais e astrofísicos são produzidos e modificados à medida que viajam através do espaço interestelar (também um plasma) antes de chegarem aos nossos detetores. É também importante por exemplo na comunicação com naves espaciais. Por fim, a interação entre a luz e o plasma está também no centro de desenvolvimentos de várias aplicações, que vão desde reactores de fusão nuclear a aceleradores de partículas compactos movidos a laser. Na ausência de qualquer perturbação, a densidade numérica de electrões e iões no plasma é a mesma, ne = ni. Contudo, devido à grande diferença de massa entre as duas espécies, uma perturbação do plasma em torno do seu equilíbrio causará uma oscilação dos electrões com uma frequência muito superior à dos iões. Assim, a propagação de uma onda elec- tromagnética causará pequenos desvios à neutralidade localmente, induzindo uma pequena perturbação ne na densidade dos electrões, tal que a densidade local de electrões torna-se ne + ne , com ne ⌧ ne. Para os iões, devido à sua maior massa, temos ni ' 0. As densida- des de carga e corrente locais tornam-se então ⇢ ' e ne e J ' Je = e(ne + ne )v ' ene v, com v a velocidade dos electrões. Vamos agora considerar o movimento dos electrões sob tal perturbação. Se, localmente, os electrões forem deslocados por uma distância x, haverá um excesso de carga negativa de um lado e um excesso de carga positiva do outro. O plasma comporta-se assim de forma semelhante a um condensador plano, desenvolvendo um campo eléctrico |E| = , (7.16) ✏0 onde = ene x é a densidade superficial de carga (não a conductividade aqui), e podemos considerar uma permitividade próxima da do vácuo na região neutra com cargas livres entre as placas. A equação de movimento dos electrões é d2 x m = e|E|, (7.17) dt2 que pode ser escrita como d 2 x e 2 ne + x = 0. (7.18) dt2 ✏0 m Evidentemente, o plasma comporta-se como um oscilador harmónico, com frequência própria s e 2 ne !p = , (7.19) ✏0 m 39 que é conhecida como frequência eletrónica do plasma ou simplesmente frequência do plasma. Esta frequência é proporcional à densidade dos electrões. (Pode ser escrita de forma útil como p !p ' 5, 64 ⇥ 104 ne , onde !p está em unidades de s 1 e ne em cm 3.) No meio interestelar, ne = 1 cm 3 e a frequência do plasma fp = !p /(2⇡) ' 10 kHz. Na ionosfera, a uma altitude > 50 km, a fotoionização pela radiação UV solar produz ne = 105 cm 3 com fp ' 3 MHz. Num plasma de fusão, com ne = 1014 cm 3 temos fp ' 100 GHz. Num plasma, onde a densidade numérica de electrões livres é N f0 = ne , podemos usar Eq. (7.13) para expressar a conductividade como função da frequência do plasma ✏0 !p2 = , (7.20) ⌫ i! onde a atenuação aqui é a frequência de colisão dos electrões no plasma. Se agora tomarmos o limite de alta frequência da Eq. (7.6), onde estamos interessados em frequências bem acima da frequência ressonante mais alta e o plasma é fracamente colisional (! ⌫ como apropriado para a maioria dos plasmas espaciais e astrofísicos e muitos plasmas de laboratório) temos ✏(!) !p2 =1 (7.21) ✏0 !2 e um número de onda r ! !p2 k̃ = kR = 1. (7.22) c !2 Esta última equação é frequentemente escrita na forma ! 2 = !p2 + c2 k 2 e chamada de relação de dispersão. Observamos que para ! !p , as ondas electromagnéticas propagam-se no plasma sem atenuação (k tem apenas parte real) e a constante dieléctrica é próxima de, mas sempre inferior a um. A frequência do plasma constitui o limite mínimo para a frequência das ondas electro- magnéticas que podem propagar-se no plasma. Quando ! = !p , k = 0 e as ondas são completamente refletidas pelo plasma. Quando ! < !p , o número de onda torna-se imagi- nário r ! !p2 k̃ = ikI = i 1. (7.23) c !2 e, como vimos anteriormente, ocorre a atenuação da onda E = E0 e kI z e i!t , B = B0 e kI z e i!t (7.24) a uma distância de = 1/kI. Esta distância é chamada profundidade de penetração do plasma (skin depth), e para !p ! é de = c/!p. Assim, quando !  !p , na ausência de outras perdas, a onda electromagnética será refletida pelo plasma. Este facto está na origem do bloqueio de comunicações na reentrada dos vaivéns espaciais na atmosfera. A fricção causada pelo vaivém na atmosfera leva à ionização e à formação de um plasma de alta densidade com ne ⇠ 1020 1023 m 3 , correspondendo a uma frequência de corte de plasma fp ⇠ 100 400 GHz, que é muito superior à frequência das comunicações por rádio (300 MHz a 40 GHz) que podem ser estabelecidas com o vaivém. Este facto é também explorado na interacção de lasers de alta potência com a matéria, onde neste caso, para altas 40 intensidades (tipicamente acima de 1015 W/cm2 ), a interacção na camada de penetração é ainda suficiente para levar a um aquecimento significativo dos electrões, seja via mecanismos de absorpção colisionais ou não colisionais, tal que uma grande fracção da energia da onda electromagnética é absorvida no plasma e a restante é refletida. Isto foi utilizado, por exemplo, para aquecer e comprimir o combustível de fusão denso (composto por deutério e trítio) que levou ao resultado transformador obtido na National Ignition Facility em 2022, onde pela primeira vez foi obtida mais energia a partir de reacções de fusão controladas do que a usada pelos lasers para gerar as condições de fusão. Num metal, a reflectividade da luz a frequências ópticas e superiores (! 0 ) é causada essencialmente pelo mesmo comportamento discutido aqui para plasmas. A constante die- léctrica num metal a altas frequências tem a forma ✏(!) = ✏regular (!) ✏0 !p2 /! 2 , mas onde a frequência do plasma apenas considera a densidade de carga dos electrões de condução e a massa efectiva leva em conta os efeitos de ligação. Para ! ⌧ !p , de modo semelhante ao caso de um plasma, a luz incidente no metal é quase totalmente refletida. Quando a frequência é aumentada de modo que ✏(!) > 0, a luz pode ser subitamente transmitida e a reflectividade do metal altera-se abruptamente, o que ocorre tipicamente no ultravioleta. Este efeito é utilizado para caracterizar experimentalmente a massa efectiva dos electrões de condução num metal................................................................................................................................. Subsecção 7.4: Modelo dispersivo com campo magnético - propagação na ionosfera e magnetosfera Vamos agora incluir um campo magnético no nosso modelo de movimento electrónico como mẍ eB0 ⇥ ẋ = eEe i!t , (7.25) onde B0 é um campo magnético estático, forte e uniforme, que pode ser visto como o campo magnético da Terra. Vamos considerar ondas transversais circularmente polarizadas E = (✏1 ± i✏2 )E0 , (7.26) e uma expressão semelhante para x. O campo magnético é perpendicular a E, logo perpen- dicular a ✏1 e ✏2. A solução de estado estacionário de Eq. (7.25) é dada por e x= E, (7.27) m!(! ⌥ !c ) onde !c = eB0 /m é a frequência ciclotrónica, isto é, a frequência de precessão de uma partí- cula carregada num campo magnético. A amplitude de oscilação dá origem a um momento dipolar para cada electrão, levando à constante dieléctrica de uma amostra macroscópica ✏⌥ !p2 =1. (7.28) ✏0 !(! ⌥ !c ) O sinal superior corresponde a uma onda com helicidade positiva (polarização circular es- querda), enquanto o inferior refere-se à helicidade negativa (polarização circular direita). Esta é a extensão da Eq. (7.21) para a propagação de ondas paralelas a um campo magné- tico. É muito interessante notar que as ondas com polarização circular direita e esquerda propagam-se de forma diferente. Isto significa que a ionosfera é birrefringente. 41  Para a ionosfera, uma densidade máxima típica de electrões livres é de 1010 1012 electrões/m3 , correspondendo a uma frequência de plasma de !p ' 6 ⇥ 106 - 6 ⇥ 107 s 1. Usando o valor de 30µT para o campo magnético da Terra, a frequência ciclotrónica é !c ' 6 ⇥ 106 s 1. Para uma onda que se propaga na ionosfera, quando a frequência da onda leva a uma permitividade nula (e, portanto, a um vector de onda nulo), a onda reflete-se. Considerando !c ' !p , isto acontece para ✏+ quando ! ' !p , levando à densidade de corte ✏0 m 2 nc = !. (7.29) e2 Assim, as ondas electromagnéticas sofrem uma reflexão total nesses pontos, excepto se a frequência da onda for suficientemente alta para que a frequência de corte nunca seja atin- gida. Curiosamente, descobrimos que há grandes intervalos de frequência onde apenas uma das helicidades pode propagar-se no plasma e a outra é reflectida. Portanto, quando uma onda linearmente polarizada incide num plasma deste tipo, a onda reflectida será polarizada elipticamente................................................................................................................................. Subsecção 7.5: Propagação de ondas num meio dispersivo: velocidade de grupo vs velocidade de fase Até agora, discutimos apenas soluções das equações de Maxwell que são ondas planas monocromáticas—isto é, têm uma única frequência e número de onda. Na realidade, lida-se com uma distribuição finita de frequências ou comprimentos de onda, mesmo que essa dis- tribuição seja pequena. Dado que as equações básicas são lineares, em princípio, poderíamos fazer uma superposição linear de soluções para encontrar soluções mais gerais. No entanto, a relação entre os campos D, E, P, B, H e M pode não ser linear em muitos materiais. De facto, em meios dispersivos, onde a constante dieléctrica é uma função da frequência dos campos, a velocidade de fase depende da frequência, assim, diferentes componentes da onda viajam a diferentes velocidades. Além disso, num meio dispersivo, a velocidade do fluxo de energia pode diferir da velocidade de fase, e em meios dissipativos, pode haver atenuação da radiação. Anteriormente, vimos que para uma onda plana que viaja num meio com velocidade ao longo da direção z, temos 1 c v=p = , (7.30) ✏µ n onde r ✏ µ p n= = ✏ r µr , (7.31) ✏ 0 µ0 com n(!) sendo o índice de refracção, que em geral é uma função da frequência da onda. A solução de onda em uma dimensão é u(z, t) = aeikz i!t + be ikz i!t. (7.32) Para permitir a possibilidade de dispersão, devemos agora considerar ! como uma função de k ! = !(k). (7.33) 42 Além disso, como as propriedades dispersivas não podem depender de a onda estar a viajar para a esquerda ou para a direita, devemos ter !(k) = !( k). A partir da solução básica em Eq. (7.32), podemos construir uma solução geral de uma onda em uma dimensão na forma ˆ 1 1 u(z, t) = p A(k)eikz i!(k)dt dk (7.34) 2⇡ 1 p onde o factor 1/ 2⇡ foi inserido para estar de acordo com a notação do integral de Fourier. A função u(z, t) pode ser considerada como uma das componentes de E ou B e a relação p entre o vector de onda e a frequência é k/! = ✏µ. Usando transformadas de Fourier, podemos obter a amplitude de Fourier A a partir da amplitude cartesiana u em t = 0 ˆ 1 1 A(k) = p u(z, 0)e ikz dz. (7.35) 2⇡ 1 p No caso de uma onda harmónica u(z, 0) = eik0 z , obtemos A(k) = 2⇡ (k k0 ), levando a uma onda monocromática que se propaga u(z, t) = eik0 z i!(k0 )t. Contudo, se em t = 0, u(z, 0) corresponder a um pulso de onda (conjunto de ondas) finito com um comprimento z, então A(k) não será uma função delta, mas sim uma função com um pico centrado em k0 e com uma largura k. Para z e k definidos como os desvios quadráticos médios dos valores médios de z e k da intensidade da onda, podemos obter a conclusão geral de que 1 z k. (7.36) 2 Como é que tal pulso se propaga no tempo? Assumindo que A(k) está concentrado em torno de algum valor central k0 , a frequência pode ser expandida em torno de k0 como d! !(k) ' !0 + (k k0 ), (7.37) dk 0 levando a 1 ✓ ◆ ei(k0 d!/dk !0 )t d! ˆ u(z, t) ' p A(k)e i(z (d!/dk)t)k dk = u z t , 0 ei(k0 d!/dk !0 )t. (7.38) 2⇡ 1 dk Isto é, à parte do factor de fase, o pulso propaga-se sem distorção na sua forma, com uma velocidade vg chamada de velocidade de grupo d! vg =. (7.39) dk 0 Para ondas de luz com !(k) = ck/n(k), a velocidade de fase é !(k) c vp = = (7.40) k n(k) e a velocidade de grupo é c vg =. (7.41) n(!) + !n0 (!) 43  Para ilustrar estas ideias e a propagação de um pulso num meio dispersivo, consideremos o seguinte modelo, que permite um cálculo exacto e ilustra os efeitos dispersivos essenciais ✓ ◆ a2 k 2 !(k) = ⌫ 1 + , (7.42) 2 onde ⌫ é uma frequência constante e a é um comprimento de onda típico onde os efeitos dispersivos se tornam importantes. Notem que este modelo é uma aproximação útil para a equação de dispersão num plasma vista em Eq. (7.22). Considerando uma oscilação como uma modulação típica Gaussiana z 2 /2L2 u(z, 0) = e cos(k0 z), (7.43) a amplitude de Fourier é Lh i ˆ 1 1 z 2 /2L2 (L2 /2)(k k0 )2 (L2 /2)(k+k0 )2 A(k) = p e ikze cos(k0 z)dz = e +e. (7.44) 2⇡ 1 2 A velocidade de grupo é então d! vg = (k0 ) = ⌫a2 k0. (7.45) dk A amplitude u(z, t) pode ser calculada analiticamente e resulta em dois pulsos que viajam em direções opostas 2 (z ⌫a2 k0 t)2 3 2 (1+ia2 ⌫t/L2 1 e 2L 2 2 u(z, t) = Re 4 q eik0 z i⌫(1+a k0 /2)t + k0 ! k0 5. (7.46) 2 1+ ia2 ⌫t L2 A amplitude de pico propaga-se com a velocidade de grupo, enquanto a envolvente de mo- dulação (envelope) permanece com forma Gaussiana. No entanto, a largura deste envelope s ✓ 2 ◆2 a ⌫t L(t) = L +2 (7.47) L aumenta no tempo, o que é uma consequência directa dos efeitos dispersivos. 44