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UNIVERSIDAD CENTRAL DE CHILE Cálculo Diferencial Preparando Solemne 1 1. Un peluquero atiende un promedio de 100 clientes a la semana y les cobre 3 dólares por corte por cada incremento de...

UNIVERSIDAD CENTRAL DE CHILE Cálculo Diferencial Preparando Solemne 1 1. Un peluquero atiende un promedio de 100 clientes a la semana y les cobre 3 dólares por corte por cada incremento de 0,5 dólares en la tarifa, el peluquero pierde 10 clientes.Lo anterior se puede modelar por la función: I(x) = (100 − 10x)(3 + 0, 5x) donde x son la cantidad de incremento e I(x) es el ingreso del peluquero. ¾Qué precio deberá jar de modo que los ingresos semanales sean máximos? Solución del problema 1. Al multiplicar tenemos que: I(x) = 300 + 20x − 5x2 Donde a = −5, b = 20 y c = 300. Usando Fórmula de Vértice, tenemos: −20 4 · −5 · 300 − (20)2   V , 2 · −5 4 · −5 V (2, 320) Este Vértice indica que debe realizar dos incremento para obtener un ingreso máximo de 320 dólares. Pero la pregunta dice que precio debe jar por lo que: 3 + 0, 5 · 2 = 4 dólares. 1 Segundo semestre 2024 UNIVERSIDAD CENTRAL DE CHILE Cálculo Diferencial 2. Juan posee una empresa de transporte de pasajeros. Por el arriendo de un bus para 45 personas el cobra una precio jo de 50000 pesos más 320 pesos por cada kilómetro recorrido. Construya la función lineal que modele la situación, a partir de ella calcule su inversa explicando su signicado en el contexto del problema. Solución del problema 2. Al ser función lineal, el modelo será: y = I(x) = 320x + 50000 Donde x son los Kilómetros recorridos e y = I(x) es el ingreso que obtiene Juan por el arriendo de su bus. Su función inversa es: x − 50000 f −1 = 320 donde x será el monto pagado, e y = f 1 son los kilómetros recorridos. 3. Una empresa de Hot-dog cobra 600 pesos por el hot-dog (salchicha y pan), más 300 pesos por cada ingrediente adicional. Construya la función lineal que modele la situación, a partir de esta construya la función inversa e interprete en el contexto del problema. Solución del problema 3. Al ser un modelo lineal tenemos: y = P (x) = 300x + 600 Donde x son la cantidad de ingredientes adicionales, P (x) es el precion en función de la cantidad de ingredientes adicionales. Su función inversa es: y − 600 x= 300 y nos indica cuántos ingredientes adicionales fueron elegidos en función de lo pagado. 2 Segundo semestre 2024 UNIVERSIDAD CENTRAL DE CHILE Cálculo Diferencial 4. Después de observar una fotocopiadora automática de trabajo continuo, el técnico descubre que por un defecto de funcionamiento, la producción disminuirá en un número constante de hojas impresas por hora, arrojando 4480 hojas impresas durante la primera hora con desperfectos. Si la hora 30 con desperfecto produjo 3900 hojas. a ) Determine un modelo lineal que sea capaz de predecir la cantidad de hojas arrojadas por la fotocopiadora con defecto N en función de la cantidad de horas t. b ) ¾Después de cuántas horas la cantidad de hojas arrojadas por la fotocopiadora alcanza las 4420? Solución del problema 4. Nuestro modelo lineal será de la forma N (t) = at + b, con la condición que pase por los puntos (1, 4480) y (30, 3900) a ) Con los datos anteriores tendremos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:   4480 = a + b ⇒ a = −20 y b = 4500  3900 = 30a + b Luego el modelo será de la forma: N (t) = −20t + 4500 b ) Existe un t ∈ Dom(f ) tal que N (t) = 4420 esto quieres decir: −20t + 4500 = 4420 ⇒ t = 4 ∴ Después de 4 horas de funcionamiento la máquina arroja 4420 hojas. 3 Segundo semestre 2024 UNIVERSIDAD CENTRAL DE CHILE Cálculo Diferencial 5. Suponga que se espera que un objeto de arte adquirido por 50000 pesos aumente a su vez su valor a una razón constante de 5000 pesos por año durante los próximos cinco años. ¾Cuál será su valor tres años después de la fecha de adquisición? Solución del problema 5. Sea x el tiempo en años transcurridos desde la adquisición y sea y el valor del objeto en dólares. Entonces el modelo lineal será de la forma y = ax + b donde a es la razón y b es la constante, en este caso tendremos a = 5000 y b = 50000, por lo que el modelo para este caso es: y = 5000x + 50000 Tres años después de la fecha de adquisición el valor del objeto estará dado por: y = 5000 · 3 + 5000 ⇒ y = $65000 4 Segundo semestre 2024 UNIVERSIDAD CENTRAL DE CHILE Cálculo Diferencial 6. Los sismólogos miden la magnitud de los terremotos mediante la escala de Richter. Esta escala dena la magnitud R de un terremoto como:   I R(I) = log I0 en donde I es la intensidad media del terremoto e I0 es la intensidad de un terremoto de nivel cero. a ) Determine la medida en escala de Richter de un terremoto que es 1000 veces más intenso que un terremoto de nivel cero. b ) El gran terremoto de San Francisco de 1906 tuvo una medida aproximada en escala Richter de 8,3. Compare la intensidad de este terremoto con respecto de un terremoto de nivel cero. Solución del problema 6. a ) Tenemos que I = 1000I0 , por lo que reemplazando tenemos:   1000I0 R(I) = log =3 I0 b ) En este caso debemos encontrar la relación entre la intensidad de este terremoto con el de intensidad cero,   I 8, 3 = log I0 I 108,3 = I0 Luego: 108,3 I0 = I 5 Segundo semestre 2024 UNIVERSIDAD CENTRAL DE CHILE Cálculo Diferencial 7. Las estrellas se clasican en categorías de brillo llamadas magnitudes. A las estrellas más débiles (con lujo luminoso L0 ) se les asigna  magnitud  6. A las estrellas más brillantes se les asigna magnitud conforme a la L fórmula: m = 6 − 2, 5Log. En donde L es ujo luminoso de la estrella. L0 a ) Determine m si L = 100,4 L0 b ) Despeje L Solución del problema 7. a ) Reemplazando: 100,4 L0   m = 6 − 2, 5 log L0 m = 6 − 2, 5 log(100,4 ) ⇒ m = 5 b ) Despejando L , esto es:   L 2, 5 log =6−m L0   L 6−m log = L0 2, 5 Aplicando denición de logaritmo: L 6−m 6−m = 10 2,5 ⇒ L = L0 · 10 2,5 L0 6 Segundo semestre 2024 UNIVERSIDAD CENTRAL DE CHILE Cálculo Diferencial 8. Un lago formado por un dique contiene inicialmente 1000 peces. Se espera que su población aumente según: 30 N (t) = 1 + 29e−kt Donde N es el número de peces en unidades de mil, que se espera después de t años. Si se sabe que al cabo de 6 meses la población aumentó a 1900 peces y se plantea que el lago estará abierto para la pesca cuando el número de peces sea de 20000. ¾ Cuántos años pasarán para que se abra el lago a la pesca? Solución del problema 8. Se sabe de los datos que N (0, 5) = 1, 9 mil de peces por lo que: 30 N (0, 5) = = 1, 9 1 + 29e−0,5k 30 = 1 + 29e−0,5k 1, 9 30 − 1 = 29e−0,5k 1, 9 281 = 29e−0,5k 19 281 = 29e−0,5k 551   281 ln = −0, 5k 551   281 k = −2 ln 551 Se pide que N (t) = 20 miles, luego: 30 ln 58 20 = ⇒t= 1 + 29e−kt k Por lo que: ln 58 t=   281 −2 ln 551 de donde t ≈ 3, 01491 años. 7 Segundo semestre 2024 UNIVERSIDAD CENTRAL DE CHILE Cálculo Diferencial 9. Una huerta de manzanos tiene 40 árboles por hectárea y el promedio de producción son 500 manzanas por árbol por año. Si por cada árbol que se plante por hectárea, además de los 40, la producción promedio disminuye en 5 manzanas, determinar: a ) La función producción que modele la situación anterior, con variable independiente el número de árboles. b ) La producción máxima de manzanas Solución del problema 9. a ) Sea x el número de árboles nuevos plantados, por lo que (40+x) es el número de árboles plantados.La producción luego de plantar x árboles nuevos será: (500 − 5x), entonces la función producción dependiendo del número de árboles nuevos plantados será: P (x) = (40 + x)(500 − 5x) P (x) = 20000 + 300x − 5x2 b ) Al ser una función cuadrática, el máximo estará en el vértice, luego: −300 4 · −5 · 20000 − 3002   V = , 2 · −5 2 · −5 V = (30, 24500) Esto quiere decir, que con 30 árboles nuevos plantados la producción máxima de manzanas es 24500. 8 Segundo semestre 2024 UNIVERSIDAD CENTRAL DE CHILE Cálculo Diferencial 10. Una impresora tiene un valor original de 10000 pesos y se deprecia en forma lineal durante cinco años, con un valor de desecho de 3000 pesos. Determinar una expresión que dé el valor contable al nal del año t. ¾Cuál será el valor contable de la máquina al nal del segundo año? ¾Cuál es la tasa de depreciación de la impresora? Solución del problema 10. De los datos, tenemos que la fórmula de depreciación es lineal, por lo que tenemos: y = at + b Además, se tiene: (0, 10000) y (5, 3000), por lo que debemos resolver el sistema: 10000 = a · 0 + b 3000 = a · 5 + b De donde obtenemos que: a = −1400 y b = 10000, por lo que el modelo es y = −1400t + 10000. A los 2 años tenemos: y = −1400 · 2 + 10000 = 7200 La tasa o razón de cambio es −140 9 Segundo semestre 2024 UNIVERSIDAD CENTRAL DE CHILE Cálculo Diferencial 11. Un automóvil adquirido por una empresa para uso del gerente a un precio de 24000 dólares se deprecia linealmente durante cinco años. ¾Cuál será el valor contable del automóvil al nal de tres años? (suponga que el valor de desecho es 0 pesos) Solución del problema 11. De los datos, tenemos que la fórmula de depreciación es lineal, por lo que tenemos: y = at + b Además, se tiene:(0, 24000) y (5, 0), entones: 24000 = a · 0 + b 0=a·5+b Por lo que a = −4800 y b = 24000, entonces y = −4800t + 24000. Al nal de 3 años el valor contable es: y = −4800 · 3 + 24000 = 9600 10 Segundo semestre 2024 UNIVERSIDAD CENTRAL DE CHILE Cálculo Diferencial 12. Un fabricante tiene costos jos mensuales de 60000 pesos y un costo de producción unitario de 10 pesos. El pro- ducto se vende por 15 pesos la unidad. Calcule la ganancia o pérdida correspondiente a los niveles de producción de 10000 y 140000 unidades. Solución del problema 12. En este caso debemos determinar la función de Utilidad, para decir si existe pérdida o ganancia, para ello determinaremos las funciones ingreso y costo. Ingreso: I(x) = 15x Donde x son la cantidad de artículos Costo: En este caso tenemos costo jo de 60000 pesos y 10 como costo unitario, por lo que: C(x) = 10x + 6000 Utilidad: Es igual al ingreso menos el costo, en este caso: U (x) = 15x − (10x + 60000) = 5x − 60000 Para el nivel de producciíon de 10000, tenemos: U (10000) = −10000 Es decir pérdida. Para e nivel de producción de 140000, tenemos U (140000) = 640000 Ganancia. 11 Segundo semestre 2024 UNIVERSIDAD CENTRAL DE CHILE Cálculo Diferencial 13. La ganancia mensual estimada obtenida por la empresa Cannon al producir y vender x unidades de cámaras modelo M1 es P (x) = −0, 04x2 + 240x − 10000 dólares. ¾Cuántas cámaras debe producir cada mes para maximizar sus ganancias? Solución del problema 13. En este caso tenemos una función cuadrática, donde a = −0, 04, b = 240 y c = −10000, por lo que utilizando el vértice, tendremos el máximo: 4 · −0, 04 · −10000 − (240)2   −240 V , 2 · −0, 04 4 · −0, 04 V (3000, 350000) Deben producirse 3000 cámaras para obtener una ganancia máxima de 350000 dólares. 14. Un edicio tiene 80 ocinas. Cuando la renta es de 60 dólares mensuales por ocina, todas están ocupadas. Por cada 2 dólares de aumento mensual en la renta por ocina, se desocupa una. ¾Qué renta producirá la máxima utilidad del propietario? Solución del problema 14. Sea x la cantidad de aumento que se realizan a la renta. Luego la utilidad estará dado por: U (x) = (80 − x)(60 + 2x) U (X) = 4800 + 100x − 2x2 Buscando el vértice. −100 4 · −2 · 4800 − (100)2   V , 2 · −2 4 · −2 V (25, 6050) Luego el valor de la renta será: 60 + 2 · 25 = 110 12 Segundo semestre 2024 UNIVERSIDAD CENTRAL DE CHILE Cálculo Diferencial 15. La demanda del mercado de cierto producto es de x unidades cuando precio jado al consumidor es de p dólares, en donde: 15p + 2x = 720 El costo en dólares de producir x unidades está dado por C(x) = 200 + 6x ¾Qué precio p por unidad deberá jarse al consumidor con objeto de que la utilidad sea máxima? Solución del problema 15. Debemos determinar la función ingreso dependiendo de la cantidad x, para ello tenemos: 720 − 2x p= 15 Luego la función ingreso es: 720 − 2x 720x − 2x2 I(x) = ·x= 15 15 Luego la función utilidad es: 720x − 2x2 U (x) = − (200 + 6x) 15 2 U (x) = − x2 + 42x − 200 15 Buscamos el vértice: 2 −42 4 · − 15 · −200 − (42)2   V 2 , 2 2 · − 15 2 · − 15 V (157, 5; 6215) Pero se consulta por el precio, entonces; 720 − 2 · 157, 5 p= = 27 15 dólares. 13 Segundo semestre 2024 UNIVERSIDAD CENTRAL DE CHILE Cálculo Diferencial 16. Una máquina se compra en 10000 dólares y se deprecia de manera continua desde la fecha de compra. Su valor después de t años está dado por la fórmula V (t) = 10000e−0,2t Determine el valor de la máquina después de 8 años. Solución del problema 16. En este caso tenemos que t = 8, entonces: V (8) = 10000e−0,2·8 = 2019 17. La población de Estados Unidos se aproxima mediante la función 616, 5 P (t) = 1 + 4e−0,5t donde P (t) se mide en millones de personas y t se mide en intervalos de 30 años, donde t = 0 corresponde a 1930. ¾Cuál es la población prevista para los Estados Unidos en 2020 (t = 3)? Solución del problema 17. En este caso debemos evaluar en t = 3, por lo que tenemos: 616, 5 P (3) = = 325, 7560244millones 1 + 4e−0,5·3 14 Segundo semestre 2024 UNIVERSIDAD CENTRAL DE CHILE Cálculo Diferencial 18. La compañia Universal ha visto que la demanda mensual de su nueva línea de computadoras domésticas Galaxy, después de t meses en el mercado está dado por: D(t) = 2000 − 1500e−0,05t con t > 0. Determine cuál será la demanda en 3 meses, podrá la demanda ser nula. Justique. Solución del problema 18. Para la demanda en 3 meses tenemos que t = 3, entonces: D(3) = 2000 − 1500e−0,05·3 = 708, 9380354 Para la demanda nula debemos resolver: 0 = 2000 − 1500e−0,05t 2000 = e−0,05t / ln() 1500   4 ln = −0, 05t 3   4 ln 3 =t −0, 05 De donde t = −5, 7 que es imposible. 15 Segundo semestre 2024 UNIVERSIDAD CENTRAL DE CHILE Cálculo Diferencial 19. Una compañia está ampliando sus instalaciones y tiene por opción para elegir entre dos modelos. Las funciones de costos son C1 (x) = 3, 5 + log(2x + 1) y C2 (x) = 2 + log(60x + 105) donde x es la tasa de producción. Encuentre la tasa x a la cual los dos modelos tienen los mismos costos. Solución del problema 19. Para que tenga la misma tasa x , debe ocurrir: 3, 5 + log(2x + 1) = 2 + log(60x + 105) 3, 5 − 2 = log(60x + 105) − log(2x + 1)   60x + 105 1, 5 = log 2x + 1   60x + 105 101,5 = 2x + 1 x = 22, 6 16 Segundo semestre 2024 UNIVERSIDAD CENTRAL DE CHILE Cálculo Diferencial 20. Una compañia encuentra que la cantidad de dólares y que debe gastar semanalmente en publicidad para vender x unidades de su productoo está dado por   400 y = 200 ln 500 − x Calcule el gasto publicitario que se necesita para vender 100 y 490 unidades. Solución del problema 20. Para vender 100 unidades el gasto en publicidad será:   400 y = 200 ln = 200 ln(1) = 0 500 − 100 Para verder 490 unidades el gasto será:   400 y = 200 ln = 200 ln(40) = 738dólares 500 − 490 21. Un producto nuevo fue introducido al mercado en t = 0, y a partir de ese momento sus ventas mensuales crecieron de acuerdo a la fórmula S = 4000(1 − e−kt )3 Si S = 2000 cuando t = 10 (esto es, después de 10 meses), determine el valor k Solución del problema 21. Reemplazando t = 10 y s = 2000, tendremos: 2000 = 4000(1 − e−10k )3 1 = (1 − e−10k )3 2 r 3 1 = 1 − e−10k 2 r −10k 3 1 e =1− / ln 2 r ! 3 1 −10k = ln 1 − 2 r ! 1 ln 1 − 3 2 k= −10 17 Segundo semestre 2024 UNIVERSIDAD CENTRAL DE CHILE Cálculo Diferencial 22. Juan desea contratar un plan de cecular, por lo que cotiza entre dos compañías: Compañía A: 1000 pesos por 1000 minutos y 1,5 pesos por cada minuto adicional. Compañía B: 5000 pesos por 1000 minutos y 0,5 pesos por cada minuto adicional. Determine las funciones lineales de cada compañía. ¾Cuándo es más recomendable una compañía que la otra en función de los minutos adicionales utilizados? Solución del problema 22. Sea la variable x: número de minutos adicionales utilizados con x ≥ 0; y : el costo nal pagado por Juan, entonces, para cada compañía se tiene: Compañía A: y = 1000 + 1, 5x Compañía B: y = 5000 + 0, 5x Intersectando las funciones: 1000 + 1, 5x = 5000 + 0, 5x ⇒ x = 4000 ⇒ y = 7000 esto indica que para una cantidad de 4000 minutos adicionales el costo de cada compañía es el mismo 7000 pesos. Gracando: ·104 1 y Donde: Gráco color rojo: y = 5000 + 0, 5x 0.8 Gráco color azul: y = 1000 + 1, 5x 0.6 0.4 0.2 x 0.2 0.4 0.6 0.8 1 ·104 Se observa del gráco, que hasta los 4000 minutos es más conveniente la compañía B, desde 4000 minutos es más conveniente la compañía A. 18 Segundo semestre 2024 UNIVERSIDAD CENTRAL DE CHILE Cálculo Diferencial Problemas 1. Un empresa determina que al producir x número de artículos por mes, su costo total está dada por: y = 6x + 3000 dólares. Interprete los coecientes del modelo. Sol: a = 6, es la razón de cambio y en este caso representa el aumento por cada unidad de 6 dólares al costo. b = 3000, representa el costo mínimo que se alcanza. 2. El costo mensual en gasolina de un auto, depende de la distancia en (kms) recorrida, Se sabe que por 480 kiló- metros el costo fue de 380 dólares y que por 800 kilómetros es de 460 dólares. Suponga que existe una relación lineal entre el costo y la distancia recorrida. Determine el modelo lineal que representa el caso anterior. 3. Se sabe que por construir 100 mesas el costo es de 2200 euros y que por 300 mesas el costo es de 4800 euros. Suponiendo una relación lineal entre costo y el número de mesas, determine la función lineal, 4. Si el valor de una máquina de ultrasonido después de t años de uso, se deprecia de acuerdo a la función: (dólares) a ) ¾Cuál era el valor inicial de la máquina? b ) ¾En cuánto se depreció después de un año de uso? c ) ¾Cuál es el valor esperado de la máquina, después del quinto año de uso? d ) Gracar la función. 5. Una fábrica de prótesis ortopédicas puede vender 2.000 prótesis al mes a un precio de U.S $ 500 c/u; en cambio, si reduce su precio a U.S $ 450 c/u, se venden 2.400 prótesis mensuales. a ) Determinar la ecuación de la demanda, suponiendo que se rige por un modelo lineal. b ) ¾Cuántas unidades se podrán vender al mes si el precio es de US$480 c/u? 6. Una fábrica de pelotas de Fútbol vendió 570.000 de ellas en 1994, y 1.200.000 en 2002. Suponiendo que las ventas se aproximan a una función lineal respecto al tiempo. (recuerde función lineal, suponga 1985 tiempo t=0) a ) Exprese las ventas de la empresa como una función del tiempo (en años). b ) Realice la gráca de las ventas, si la empresa fue creada en 1962. 19 Segundo semestre 2024 UNIVERSIDAD CENTRAL DE CHILE Cálculo Diferencial 7. Si una bicicleta estática se deprecia con el tiempo en la función D(t) = 104.000 − 7.000t. con t en años. a ) ¾En cuánto se deprecia al nal del primer año? b ) ¾Cual era su valor inicial? c ) En cuanto se podrá vender al cabo de 5 años. 8. Los ingresos diarios de un Centro Médico están dados por la función: I(x) = 750x − 5x2 dólares Donde x representa el número de pacientes atendidos. a ) ¾Cuántos pacientes se deben atender diariamente con el objeto de obtener el máximo ingreso? b ) Hallar el máximo ingreso diario esperado. c ) Gracar la función. 9. Las utilidades mensuales por fabricar y vender x artículos electrónicos están dadas por la función: U (x) = −2000 + 35x − 0, 01x2 dólares a ) ¾Cuántas unidades se deben producir y vender al mes con el n de lograr la máxima ganancia? b ) Hallar la máxima ganancia mensual esperada. 10. Si las utilidades de una empresa especialista en tornillos quirúrgicos esta dada por: U (x) = 48x − 3x2 − (6x + 120) donde x corresponde al número de tornillos producidos, determine: a ) ¾Cuántos tornillos debe producir para obtener la máxima utilidad. b ) ¾Cuál es la máxima ganancia? c ) ¾Para cuántos tornillos la utilidad es nula? d ) Graque la función. 20 Segundo semestre 2024 UNIVERSIDAD CENTRAL DE CHILE Cálculo Diferencial 11. El número de estadounidenses (en miles) que tienen o se espera que tengan más de 100 años en el año x puede ser aproximado por la función: h(x) = 0, 4018x2 + 2, 039x + 50 donde x = 0 corresponde al año 1994. a ) ¾Cuántos Estadounidenses tenían más de 100 años el año 1994?. ¾Cuántos en 1996? b ) Prediga el número de Estadounidenses que tendrían más de 100 años en el año 2008. 12. Las donaciones a un movimiento de conservación del medio ambiente han ido creciendo de manera exponencial con el tiempo desde $2.50 millones en 1984 a $3.92 millones en 1990. a ) Exprese las donaciones como una función exponencial del tiempo D(t) = D0 ert b ) Halle la tasa de crecimiento. 13. Un capital P = 2000 dólares es colocado a una tasa de interés r = 6 % durante un tiempo t = 5 años, determine el moto compuesto si: a ) Se toma el interés compuesto anual. b ) Se toma el interés compuesto semestral. c ) Se toma el interés compuesto trimestral HELP: El Monto compuesto se determina por : M = Ci (1 + j)tp J= tasa de interés en el periodo de tiempo. P=número de periodos capitalizables. 14. El porcentaje en el nivel de alfabetismo de un país en el desarrollo de un tiempo está dada por la función √ f (t) = 600000e−4 t ¾En qué tiempo se logra un 7 % de alfabetismo? 15. Una empresa compró maquinaria nueva por 15000 dólares. Si se deprecia linealmente en 750 dólares por año y tiene un valor de desecho de 2250 dólares ¾por cuánto tiempo estará la maquinaria en uso? ¾Cuál será el valor V de la maquinaria después de t años y después de 6 años de uso? 16. Un fabricante de radios averigua que puede vender x radios  por semana a p pesos cada uno, siendo 5x = 345 − p. x2  El costo de la producción es C(x) = 500 + 15x + pesos. Demostrar que se obtiene la máxima ganancia 2 cuando la producción y venta es alrededor de 30 radios por semana. 17. Un fabricante puede producir cierto artículo a un costo de U$10 cada uno y estima que si se venden a x dólares cada uno, los consumidores comprarán 30 − x artículoes por día. ¾A qué precio debe el fabricante vender los artículos para maximizar la utilidad? 21 Segundo semestre 2024 UNIVERSIDAD CENTRAL DE CHILE Cálculo Diferencial 18. Desde el comienzo del mes una represa local pierde agua a un razón constante. El día 12 del mes la represa contenía 200 millones de galones de agua y el día 21 contenía sólo 164 millones de galones de agua. Determine la función lineal que describa la situación. 19. José tiene una torre de 48 departamentos, los cuales arrienda en 60000 pesos mensuales cada uno.Al aumentar el alquiler muchos arrendatarios dejan sus departamentes. Por cada 5000 pesos de aumento se desocupa uno de ellos. a ) Plantee una Función cuadrática que permita modelar la utilidad de José. b ) ¾Cuánto debe cobrar por el arriendo de cada departamento para obtener una máxima utilidad? c ) ¾Cuál es la máxima utilidad de José? 20. En un estudio de sobre enfermedades a la espalda en una empresa minera se detecto que después de 4 años el 17 % padecia alguún problema y que después de 7 años 33 % lo padecía. a ) Encuentre una función lineal que modele la relación entre el intervalo de tiempo y el porcentaje con pro- blemas b ) Pronostique el número de años hasta que la mitad de los trabajadores tenga problemas. 21. Se sabe que las utilidades Y en miles de pesos, dependen de las ventas (x) de cierto artículo si se conoce su función y = x2 − 199x − 200 a ) Determine cuál es la utilidad si se venden 250 artículos. b ) Determine cuántos artículos se deben vender para obtener 19800 pesos de utilidad. c ) Determine de qué cantidad de ventas se empieza a obtener utilidad. d ) Graque e interprete la función de utilidad. 22. Para cierto producto,si el precio unitario es de 4 pesos, los consumidores comprarán 10.000 unidades mensuales. Si el precio unitario es de 5 pesos, los consumidores comprarán 9000 unidades al mes. a ) Suponiendo que la ecuación de la demanda es una función lineal, determine su función. b ) Si la ecuación de la oferta para este producto es:  x  3, 2 + , 0 ≤ x ≤ 6000 2000    p=  5+ x    , x > 6000 5000 determine el punto de equilibrio y la cantidad total gastada por los consumidores en este producto, en el precio de equilibrio. 22 Segundo semestre 2024 UNIVERSIDAD CENTRAL DE CHILE Cálculo Diferencial 23. Una compañía ha analizado sus ventas y ha encontrado que sus clientes compran 20 % más de sus productos por cada 20 dólares de reducción en el precio unitario. Además se sabe que cuando el precio es de 120 dólares, la compañía vende 500 unidades ¾Cuál es la función de demanda del producto? Muestre la gráca de la función obtenida. 24. Las ganancias anuales P en dólares de una compañía debida a las ventas de cierto artículo después de x años de ser lanzado al mercado es:  x 1 P (x) = 100000 − 60000 2 a ) ¾Cuál es la ganancia después de 5 años? b ) ¾Cuál es la ganancia después de 10 años? c ) ¾Cuántos años lleva el producto en el mercado si tiene una ganancia de 92500? 25. Un restaurante especializado en carnes determina que al precio de 4 dólares por platillo de carne tendrán en promedio 200 clientes por noche, mientras que si lo venden a 7 dólares el número promedio de clientes bajará a 100. Determine la relación de demanda suponiendo que es lineal. Encuente el precio que maximiza el ingreso. 26. Un almacén vende bicicletas a 40 dólares por unidad. A este precio las personas han comprado 50 bicicletas al mes. El propietario desea aumentar el precio y estima que por cada incremento de 1 dólar en el precio, se venderán 2 bicicletas menos cada mes. Si cada bicicleta tiene un costo de 25 dólares para el almacén. ¾A qué precio debería vender las bicicleras para maximizar las utilidades? 27. Para un fabricante de camisas, el costo de mano de obra y de materiales por camisa es de $35000 y los costos jos son de $300000 al día. Si se vende cada camisa a $50000 ¾Cuántas camisas deberá vender para que el ingreso y el costo se equilibren? 28. Un minorista puede obtener artículos a un costo de 50 pesos por unidad. El minorista los vende a un precio de 80 pesos cada una, y a este precio, los consumidores han comprado 40 artículos al mes. El minorista planea bajar el precio para estimular las ventas y estima que por cada 5 pesos de reducción en el precio se venderán 10 artículos más cada mes. ¾A qué precio debería el minorista vender los artículos para maximizar el rendimiento total? 29. Un automóvil adquirido por una empresa para uso del gerente a un precio de 24000 dólares se deprecia linealmente durante cinco años. ¾Cuál será el valor contable del automóvil al nal de tres años? (suponga que el valor de desecho es 0 pesos) 23 Segundo semestre 2024 UNIVERSIDAD CENTRAL DE CHILE Cálculo Diferencial 30. Un fabricante tiene costos jos mensuales de 60000 pesos y un costo de producción unitario de 10 pesos. El pro- ducto se vende por 15 pesos la unidad. Calcule la ganancia o pérdida correspondiente a los niveles de producción de 10000 y 140000 unidades. 31. La ganancia mensual estimada obtenida por la empresa Cannon al producir y vender x unidades de cámaras modelo M1 es P (x) = −0, 04x2 + 240x − 10000 dólares. ¾Cuántas cámaras debe producir cada mes para maximizar sus ganancias? 32. La demanda del mercado de cierto producto es de x unidades cuando precio jado al consumidor es de p dólares, en donde: 15p + 2x = 720 El costo en dólares de producir x unidades está dado por C(x) = 200 + 6x ¾Qué precio p por unidad deberá jarse al consumidor con objeto de que la utilidad sea máxima? 33. Una máquina se compra en 10000 dólares y se deprecia de manera continua desde la fecha de compra. Su valor después de t años está dado por la fórmula V (t) = 10000e−0,2t Determine el valor de la máquina después de 8 años. 34. La población de Estados Unidos se aproxima mediante la función 616, 5 P (t) = 1 + 4e−0,5t donde P (t) se mide en millones de personas y t se mide en intervalos de 30 años, donde t = 0 corresponde a 1930. ¾Cuál es la población prevista para los Estados Unidos en 2020 (t = 3)? 35. La compañia Universal ha visto que la demanda mensual de su nueva línea de computadoras domésticas Galaxy, después de t meses en el mercado está dado por: D(t) = 2000 − 1500e−0,05t con t > 0. Determine cuál será la demanda en 3 meses, podrá la demanda ser nula. Justique. 36. Una compañia encuentra que la cantidad de dólares y que debe gastar semanalmente en publicidad para vender x unidades de su producto está dado por   400 y = 200 ln 500 − x Calcule el gasto publicitario que se necesita para vender 100 y 490 unidades. ¾Cuántas unidades se vendieron, aproximadamente, para que el gasto en publicidad sea de 57 dólares? 24 Segundo semestre 2024 UNIVERSIDAD CENTRAL DE CHILE Cálculo Diferencial 37. Un producto nuevo fue introducido al mercado en t = 0, y a partir de ese momento sus ventas mensuales crecieron de acuerdo a la fórmula S = 4000(1 − e−kt )3 Si S = 2000 cuando t = 10 (esto es, después de 10 meses), determine el valor k 25 Segundo semestre 2024