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Chapitre III: les équations de Maxwell dans le vide Dans ce chapitre, nous allons nous intéresser aux lois qui constituent la base de l’électromagnétisme à savoir les équations de Maxwell. Celles-ci contiennent l’essence même de la nature et de la structure du champ électromagnétique ...

Chapitre III: les équations de Maxwell dans le vide Dans ce chapitre, nous allons nous intéresser aux lois qui constituent la base de l’électromagnétisme à savoir les équations de Maxwell. Celles-ci contiennent l’essence même de la nature et de la structure du champ électromagnétique  Grandeurs fondamentales électriques et magnétiques - Le champ électrique et la force électromotrice 𝐹𝑒 = 𝑞𝐸. - l’induction électrique 𝐷. - Le champ magnétique 𝐻. - L’induction magnétique 𝐵. Dans un milieu linéaire on a : 𝐷 = 𝜀𝐸 et 𝐵 = 𝜇𝐻. Avec 𝜀 la permittivité absolue du milieu et 𝜇 la perméabilité absolue du milieu. - On définit aussi d’autre grandeurs: la densité de courant: 𝑗 = 𝑗𝑐 + 𝑗𝐷 avec 𝑗𝑐 le courant de conduction et 𝑗𝐷 le courant de déplacement. I- Equations de Maxwell La théorie de l’électromagnétisme est régie par 4 équations appelées Equations de Maxwell. On distingue deux familles d’équations: 1- Equations de structure ( pas d’intervention des sources (ρ,𝑗)): Nom de Forme locale Forme intégrale l’équation Equation du flux 𝑑𝑖𝑣 𝐵 = 0 magnétique ou 𝐵. 𝑑𝑆 = 0 𝑆 𝑓𝑒𝑟𝑚é𝑒 équation de Conservation de flux Maxwell-Thomson Equation de 𝜕𝐵 𝑟𝑜𝑡 𝐸 = − 𝜕𝐵 Maxwell-Faraday 𝜕𝑡 𝐸. 𝑑𝑙 = −. 𝑑𝑠 𝜕𝑡 𝐶 𝑆  2- Equations reliant le champ (𝐸, 𝐵) 𝑎𝑢𝑥 𝑠𝑜𝑢𝑟𝑐𝑒𝑠 𝜌, 𝑗) : Nom de l’équation Forme locale Forme intégrale Théorème de 𝜌 𝑄𝑖𝑛𝑡 𝑑𝑖𝑣 E = E. 𝑑𝑆 = Gauss pour 𝐸 ou 𝜀0 𝜀0 𝑆 𝑓𝑒𝑟𝑚é𝑒 équation de Maxwell-Gauss Equation de 𝜕𝐸 𝜕𝐸 Maxwell-Ampère 𝑟𝑜𝑡 B = 𝜇0 𝑗 + 𝜇0 𝜀0 B. 𝑑𝑙 = 𝜇0 [𝑗 + 𝜀0 ]. 𝑑𝑠 𝜕𝑡 𝜕𝑡 𝐶 𝑆 Remarque: L’équation de Maxwell-Ampère, en régime stationnaire s’écrit : 𝑟𝑜𝑡 B = 𝜇0 𝑗 En régime variable le champ magnétique se crée par la variation du champ 𝜕𝐸 électrique d’où l’ajout de 𝜇0 𝜀0 dans le membre droite de l’équation de la 𝜕𝑡 forme locale 𝜀0 :Permittivité électrique du vide 𝜇0 :Perméabilité magnétique du vide  On trouve aussi souvent la notation suivante : 𝜕𝐵 𝛻∧𝐸 =− 𝐷 = 𝜀𝐸 𝜕𝑡 𝜕𝐸 𝐵 𝛻 ∧ 𝐻 = 𝑗 + 𝜀0 𝐻= 𝜕𝑡 𝜇 𝛻∙𝐷 =𝜌 Dans le vide 𝐷 = 𝜀0 𝐸 𝛻∙𝐵 =0 𝐵 𝐻= 𝜇0 II Contenu physique des équations de Maxwell Chacune de ces équations prises individuellement décrit un effet physique. La forme intégrale des équations de Maxwell permet de reconnaitre facilement cet effet. a- Equation Maxwell flux magnétique: 𝑑𝑖𝑣 𝐵 = 0 Cette équation est indépendante des sources. Sa forme intégrale, obtenue en écrivant : 𝐵. 𝑑𝑆 = 0 𝑆 𝑓𝑒𝑟𝑚é𝑒 Interprétation physique : Le flux de 𝐵 à travers toute surface fermée est nul, ce la veut dire qu’il y a conservation du flux, 𝐵 est un vecteur à flux conservatif. b- Equation de Maxwell Faraday: 𝜕𝐵 𝑟𝑜𝑡 𝐸 = − 𝜕𝑡 Cette équation est indépendante des sources. Sa forme intégrale est: 𝜕𝐵 𝐸. 𝑑𝑙 = −. 𝑑𝑠 𝜕𝑡 𝐶 𝑆 Cette équation décrit tous les phénomènes d'induction et montre qu'un champ magnétique variable peut créer un champ électrique à circulation non nulle C- Maxwell-Gauss: 𝜌 𝑑𝑖𝑣 E = 𝜀0 Cette équation relie le champ électrique à ses sources. Sa forme intégrale est : 𝑄𝑖𝑛𝑡 E. 𝑑𝑆 = 𝑆 𝑓𝑒𝑟𝑚é𝑒 𝜀0 Avec 𝑄𝑖𝑛𝑡 représente les charges qui se trouvent { l’intérieur de volume Cette équation montre que le champ électrique peut lui diverger à partir de points où se trouvent des charges électriques. Le « théorème de Gauss » est donc vrai en régime variable D- Maxwell-Ampère: 𝜕𝐸 𝑟𝑜𝑡 B = 𝜇0 𝑗 + 𝜇0 𝜀0 𝜕𝑡 Cette équation relie le champ magnétique à ses sources et au champ électrique. Sa forme intégrale est: 𝜕𝐸 B. 𝑑𝑙 = 𝜇0 [𝑗 + 𝜀0 ]. 𝑑𝑠 𝜕𝑡 𝐶 𝑆 Cette équation exprime la manière dont un courant électrique est à l’origine d’un champ magnétique. Et un champ électrique variable dans le temps crée lui aussi un champ magnétique. III- Théorème de superposition: Si une distribution (𝜌1 , 𝑗1 ) produit un champ électromagnétique ( 𝐸1, 𝐵1 ) et vérifie les équations de Maxwell Si une distribution (𝜌2 , 𝑗2 ) produit un champ électromagnétique (𝐸2 , 𝐵2 ) et vérifie les équations de Maxwell Alors une distribution (𝛼𝜌1 + 𝛽𝜌2 , 𝛼𝑗1 + 𝛽𝑗2 )produit un champ électromagnétique (𝛼𝐸1 + 𝛽𝐸2 ,𝛼𝐵1 + 𝛽𝐵2 ) et vérifie les équations de Maxwell  IV- Les équations de Maxwell et la conservation de la charge 𝜕𝐸 On a 𝑟𝑜𝑡 B = 𝜇0 𝑗 + 𝜇0 𝜀0 (Maxwell-Ampère ) 𝜕𝑡 Mathématiquement: 𝑑𝑖𝑣 𝑟𝑜𝑡 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟 =0 𝜕𝐸 𝜕𝐸 Alors 𝑑𝑖𝑣 𝑟𝑜𝑡 𝐵 = 0 = 𝑑𝑖𝑣(𝜇0 𝑗 + 𝜇0 𝜀0 )= 𝑑𝑖𝑣 𝜇0 𝑗 + div(𝜇0 𝜀0 ) 𝜕𝑡 𝜕𝑡 𝜕𝐸 𝜕𝑑𝑖𝑣𝐸 = 𝜇0 𝑑𝑖𝑣 𝑗 + 𝜇0 𝜀0 𝑑𝑖𝑣 =𝜇0 𝑑𝑖𝑣 𝑗 + 𝜇0 𝜀0 𝜕𝑡 𝜕𝑡 𝜌 D’autre pa𝑟𝑡 𝑑𝑖𝑣 𝐸 = (𝑀𝑎𝑥𝑤𝑒𝑙𝑙 − 𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠) 𝜀0 𝜌 𝜕𝜀 𝜕𝜌 0 Donc 0 = 𝜇0 𝑑𝑖𝑣 𝑗 + 𝜇0 𝜀0 = 𝜇0 𝑑𝑖𝑣 𝑗 + 𝜇0 𝜕𝑡 𝜕𝑡 𝜕𝜌 ⟹ 𝑑𝑖𝑣 𝑗 + =0 𝜕𝑡 𝜕𝜌 𝑑𝑖𝑣 𝑗 = − 𝜕𝑡 NB: il n’est pas nécessaire d’ajouter la conservation de la charge aux postulats de l’électromagnétisme dans la mesure où celle-ci découle des équations de Maxwell  V Résolution des équations de Maxwell Rappel mathématique: - Si un champ vectoriel 𝑭 à un rotationnel nul 𝒓𝒐𝒕 𝑭 = 𝟎 , il existe au moins un champ scalaire dont il est le gradient 𝑭 = 𝒈𝒓𝒂𝒅 𝑮 - Si un champ vectoriel 𝑭 a une divergence nulle 𝑑𝑖𝑣(𝑭) = 𝟎 il existe au moins un champ vectoriel dont il est le rotationnel 𝑭 = 𝒓𝒐𝒕 𝑯 Introduction des potentiels: D’après les équations de Maxwell 𝜕𝐵 𝑑𝑖𝑣 𝐵 = 𝛻 ∙ 𝐵 = 0 (M-T) et 𝑟𝑜𝑡 𝐸 = 𝛻 ∧ 𝐸 = − (M-F) 𝜕𝑡 Il existe au moins un champ vectoriel 𝑨 tel que: 𝑩 = 𝒓𝒐𝒕 𝑨 on dit que 𝑩 dérive donc d’un potentiel vecteur 𝑨 En introduisant cette relation dans l’équation de Maxwell –Faraday, on obtient: 𝜕𝒓𝒐𝒕 𝑨 𝜕𝑨 𝜕𝑨 𝑟𝑜𝑡 𝐸 = − = −𝑟𝑜𝑡 𝑟𝑜𝑡 𝐸 + 𝑟𝑜𝑡 =𝟎 𝜕𝑡 𝜕𝑡 𝜕𝑡 𝜕𝑨 𝑟𝑜𝑡(𝐸 + ) = 𝟎 𝜕𝑡 Rappel mathématique: - Si un champ vectoriel 𝑭 à un rotationnel nul 𝒓𝒐𝒕 𝑭 = 𝟎 , il existe au moins un champ scalaire dont il est le gradient 𝑭 = 𝒈𝒓𝒂𝒅 𝑮 𝜕𝑨 𝐸+ = 𝒈𝒓𝒂𝒅 𝑭 F: scalaire quelconque ???? 𝜕𝑡 Régime statique : 𝑬 = −𝒈𝒓𝒂𝒅 𝑽 𝜕𝑨 𝐸+ = 𝒈𝒓𝒂𝒅 𝑭 𝜕𝑡 𝑬 = 𝒈𝒓𝒂𝒅 𝐅 = −𝒈𝒓𝒂𝒅 𝑽 F= -V à une constante près On peut conclure : 𝝏𝑨 𝑬 = −𝒈𝒓𝒂𝒅 𝑽 − 𝝏𝒕 Finalement, on obtiendra les expressions suivantes: 𝝏𝑨 𝑬 = −𝒈𝒓𝒂𝒅 𝑽 − 𝝏𝒕 𝑩 = 𝒓𝒐𝒕 𝑨 Donc, le champ électromagnétique [𝑬, 𝑩] dérive d’un couple [𝑽, 𝑨] de potentiels appelés Potentiel scalaire et Potentiel vecteur. Or , le choix du couple [𝑽, 𝑨] n’est pas unique. En effet, il peut s’écrire sous la forme suivante: 𝜕𝜙 𝑉 = 𝑉0 − 𝜕𝑡 𝐴 = 𝐴0 + 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝜙 𝜙 = 𝜙 𝑟, 𝑡 𝑑é𝑠𝑖𝑔𝑛𝑎𝑛𝑡 𝑢𝑛 𝑐𝑕𝑎𝑚𝑝 𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑎𝑟𝑏𝑖𝑡𝑟𝑎𝑖𝑟𝑒 1) Les potentiels et leurs sources, le choix des jauges : V=??? Et 𝐴 =? ? On va remplacer les champs 𝑬 𝑒𝑡 𝑩 par leurs expressions en fonction des potentiels dans les équations de Maxwell avec source, c’est-à-dire dans : 𝜌 On a 𝑑𝑖𝑣 E = (M-G) et 𝜕𝐸 𝜀0 𝑟𝑜𝑡 B = 𝜇0 𝑗 + 𝜇0 𝜀0 (𝑀 − 𝐴) 𝜕𝑡 Rappel mathématique: 𝑑𝑖𝑣 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝐹 = Δ𝐹: 𝐿𝐴𝑃𝐿𝐴𝐶𝐼𝐸𝑁 𝑆𝐶𝐴𝐿𝐴𝐼𝑅𝐸 𝑟𝑜𝑡 𝑟𝑜𝑡 𝐴 = 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑣 𝐴 − Δ𝐴 Δ𝐴: LAPLACIEN VECTEUR On sait que 𝐵 = 𝑟𝑜𝑡 𝐴 Alors 𝑟𝑜𝑡 𝐵 = 𝑟𝑜𝑡 𝑟𝑜𝑡 𝐴 = 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑣 𝐴 − Δ𝐴 𝜕𝐸 Donc 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑣 𝐴 − Δ𝐴 = 𝜇0 𝑗 + 𝜇0 𝜀0 𝜕𝑡  𝜕𝐸 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑣 𝐴 − Δ𝐴 = 𝜇0 𝑗 + 𝜇0 𝜀0 𝜕𝑡 𝜕𝐴 On sait que 𝐸 = −𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑉 − 𝜕𝑡 𝝏𝑨 𝜕(−𝒈𝒓𝒂𝒅 𝑽 − ) Alors 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑣 𝐴 − Δ𝐴 = 𝜇0 𝑗 + 𝜇0 𝜀0 𝝏𝒕 𝜕𝑡 𝜕𝑉 𝜕²𝐴 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑣 𝐴 − 𝛥𝐴 = 𝜇0 𝑗 − 𝜇0 𝜀0 𝑔𝑟𝑎𝑑 − 𝜇0 𝜀0 𝜕𝑡 𝜕𝑡² 𝜕𝑉 𝜕²𝐴 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑣 𝐴 + 𝜇0 𝜀0 𝑔𝑟𝑎𝑑 = 𝜇0 𝑗 + 𝛥𝐴 − 𝜇0 𝜀0 𝜕𝑡 𝜕𝑡² Donc 𝜕𝑉 𝜕²𝐴 𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑑𝑖𝑣 𝐴 + 𝜇0 𝜀0 ) = 𝜇0 𝑗 + 𝛥𝐴 − 𝜇0 𝜀0 𝜕𝑡 𝜕𝑡² Pour faciliter la résolution, en adoptant la condition de jauge de Lorentz, qui consiste à imposer: 𝜕𝑉 𝑑𝑖𝑣 𝐴 + 𝜇0 𝜀0 =0 𝜕𝑡 𝜕²𝐴 1 𝜕²𝐴 Avec: 𝑐 = 1 𝜇0 𝑗 + 𝛥𝐴 − 𝜇0 𝜀0 2 = 0 𝛥𝐴 − 2 + 𝜇0 𝑗 = 0 𝜀0 𝜇0 𝜕𝑡 𝑐² 𝜕𝑡 Equation de poisson en 𝑨 D’autre part 𝜕𝐴 𝜕𝐴 𝝏𝑨 𝐸 = −𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑉 − 𝑑𝑖𝑣 𝐸 = −𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑉 − 𝒅𝒊𝒗 𝑬 = −𝑑𝑖𝑣 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑉 − 𝑑𝑖𝑣( ) 𝜕𝑡 𝜕𝑡 𝝏𝒕 𝑑𝑖𝑣 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑉 = Δ𝑉: 𝐿𝐴𝑃𝐿𝐴𝐶𝐼𝐸𝑁 𝑆𝐶𝐴𝐿𝐴𝐼𝑅𝐸 𝜕𝐴 𝑑𝑖𝑣 𝐸 = −∆𝑉 − 𝑑𝑖𝑣( ) 𝜌 𝜕𝑑𝑖𝑣𝐴 𝜌 𝜕𝑑𝑖𝑣𝐴 𝜕𝑡 = −∆𝑉 − ∆𝑉 + = − 𝜌 𝜀0 𝜕𝑡 𝜀0 𝜕𝑡 𝑑𝑖𝑣 𝐸 = 𝜀0 𝜕𝑉 𝜕𝑉 𝑑𝑖𝑣 𝐴 = −𝜇0 𝜀0 𝜌 𝜕(−𝜇0 𝜀0 ) 𝜕𝑡 ∆𝑉 + =− 𝜕𝑡 jauge de Lorentz 𝜀0 𝜕𝑡 1 𝜕²𝑉 𝜌 ∆𝑉 − + =0 𝜕²𝑉 𝜌 𝑐² 𝜕𝑡² 𝜀0 ∆𝑉 − 𝜇0 𝜀0 + =0 𝜕𝑡² 𝜀0 Equation de poisson en V  La résolution de ces deux équations en termes 𝐴 et V 1 𝜕²𝐴 1 𝜕²𝑉 𝜌 𝛥𝐴 − + 𝜇0 𝑗 = 0 ∆𝑉 − + =0 𝑐² 𝜕𝑡 2 𝑐² 𝜕𝑡² 𝜀0 Equation de poisson en 𝐴 Equation de poisson en V Avec : P 𝑟 𝑡𝑝 = : 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑠 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑠𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑎𝑙𝑙𝑒𝑟 𝑑𝑒 𝑃 à 𝑀 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑙𝑎 𝑣𝑖𝑡𝑒𝑠𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑙𝑢𝑚𝑖è𝑟𝑒 𝑐 𝑐 2) Les équations pour 𝐸 =? ? ??? Et 𝐵 =? ? Pour établir l’équation relative au champ 𝐸 , il faut éliminer 𝐵 : 𝜕𝐵 On a 𝑟𝑜𝑡 𝐸 = 𝛻 ∧ 𝐸 = − 𝜕𝑡 𝜕𝐵 𝑟𝑜𝑡 𝑟𝑜𝑡 𝐸 = 𝑟𝑜𝑡(− ) = −𝜕𝑟𝑜𝑡 𝜕𝑡 𝐵 𝜕𝑡 Donc : 𝜕 𝜕𝐸 𝑟𝑜𝑡 𝑟𝑜𝑡 𝐸 = − (𝜇0 𝑗 + 𝜇0 𝜀0 ) 𝜕𝑡 𝜕𝑡 Rappel mathématique: 𝑟𝑜𝑡 𝑟𝑜𝑡 𝐸 = 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑣 𝐸 − Δ𝐸  𝜕 𝜕𝐸 𝑟𝑜𝑡 𝑟𝑜𝑡 𝐸 = − (𝜇0 𝑗 + 𝜇0 𝜀0 ) 𝜕𝑡 𝜕𝑡 𝜕𝑗 𝜕²𝐸 On a 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑣 𝐸 − 𝛥𝐸 = −𝜇0 − 𝜇0 𝜀0 𝜕𝑡 𝜕𝑡² 𝜌 𝜌 Comme 𝑑𝑖𝑣 𝐸 = 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑣 𝐸 = 𝑔𝑟𝑎𝑑 ( ) 𝜀0 𝜀0 𝜕²𝐸 𝜕𝑗 𝜌 Alors: 𝛥𝐸 − 𝜇0 𝜀0 2 = 𝜇0 + 𝑔𝑟𝑎𝑑 ( ) 𝜕𝑡 𝜕𝑡 𝜀0 En absence de charges et de courants électriques (ρ=0 et 𝑗 = 0) 𝜕²𝐸 1 𝜕²𝐸 𝛥𝐸 − 𝜇0 𝜀0 2 = 0 𝛥𝐸 − 2 =0 𝜕𝑡 𝑐² 𝜕𝑡 Equation de propagation Le même raisonnement pour 𝐵: 𝜕²𝐵 1 𝜕²𝐵 1 𝛥𝐵 − 𝜇0 𝜀0 2 = 0 𝛥𝐵 − 2 =0 Avec: 𝑐 = 𝜕𝑡 𝑐² 𝜕𝑡 𝜀0 𝜇0  La résolution des équations de propagation 𝜕²𝐸 𝜕𝑗 𝜌 𝛥𝐸 − 𝜇0 𝜀0 2 = 𝜇0 + 𝑔𝑟𝑎𝑑 ( ) 𝜕𝑡 𝜕𝑡 𝜀0 On se limite au cas où le champ électrique se propage dans un espace dépourvu de charges et de courants, c’est-à-dire : ρ=0 et 𝑗 = 0 L’équation de propagation s’écrit alors: 1 𝜕²𝐸 𝛥𝐸 − 2 =0 𝑐² 𝜕𝑡 La résolution générale de cette équation de propagation sort du cadre du programme et, on va se limiter au cas, observé, ou la propagation se fait suivant l’axe Oz d’un repère orthonormé Oxyz d’une part et, d’autre part, le champ électrique a une seule composante suivant l’axe Ox et ne dépend donc que du temps et de la variable z L’équation différentielle de propagation du champ électrique va se traduire comme suit: 1 𝜕²𝐸 𝛥𝐸 − 2 =0 𝑐² 𝜕𝑡 la propagation de champ électrique se fait suivant l’axe Oz Le champ électrique a une seule composante suivant Ox L’équation de propagation après l’élimination de certains termes:  On va chercher la solution de l’équation de propagation générale suivante: On pose : u = z - Ct et v = z + Ct On dérive par rapport à la variable z sans oublier que la variable z dépend des variables u et v: Relation de chall On fait la dérivée seconde on aura: On va dériver par rapport à la variable t sans oublier que la variable t dépend des variables u et v: Pour la dérivée seconde on aura: On aura au final : La question qui se pose , est comment on va résoudre cette équation!!!! On va résoudre l’équation suivante : On a: 𝜕𝐹 Ce qui signifie que ne dépend pas de u et donc dépend de v 𝜕𝑣 En effectuant une première intégration, sur u, on aura : En effectuant une deuxième intégration, sur v, on aura: 𝐹 𝑢, 𝑣 = 𝑓 𝑣 + 𝑔(𝑢) En remplace le u et v par leur expression, on aura: Interprétation physique de l’équation : 𝑓 𝑧 − 𝐶𝑡 : est une onde progressive qui se propage vers les z positifs 𝑓 𝑧 + 𝐶𝑡 : est une onde progressive qui se propage vers les z négatifs La méthode de résolution de l’équation de propagation du champ électrique peut être appliquée au champ magnétique, donnant lieu à la représentation générale suivante: Chapitre IV : onde électromagnétique dans le vide I- généralités sur les ondes dans le vide : 1- Définitions Onde: Une onde est une modification de l’état physique d’un milieu matériel ou immatériel , qui se propage { la suite d’une action locale avec une vitesse finie. Elle est représenté par un signal s(m,t) dépendant de l’espace et du temps et se propage avec une célérité (ou vitesse ) v. Exemple: si on applique une tension sur une corde ({ l’origine), on constate qu’il y a une déformation qui se propage le long de la corde avec une vitesse v. s(m,t) dans ce cas est l’élongation suivant l’axe des y. Propagation suivant les x croissants Onde plane: une onde , décrite par la fonction S(M,t), est dite plane s’il est possible de trouver un système de coordonnées cartésiennes telle que S(M,t) ne dépend que dune seule cordonnée d’espace et du temps. Onde plane progressive: une onde plane progressive est une onde plane qui se propage dans un sens bien déterminé. Surface d’onde : on appelle surface d’onde l’ensemble des points M telle que S(M,t) est constante Exemple: pour l’onde plane caractérisée par S(x,t) , la surface d’onde est telle que : S(x,t)= cte, donc c’est un plan perpendiculaire { l’axe Ox Onde shérique Onde plane Remarque: le concept d’onde plane est simple mais représente toujours une approximation car il n’est pas valable que dans un espace limité. Onde électromagnétique : est le résultat de la vibration couplée d’un champ électrique 𝐸 et d’un champ magnétique 𝐵 variable dans le temps. Elle représente tout déplacement de l’énergie électromagnétique sans déplacement de la matière Exemple : Voie montante Voie descendante Ondes électromagnétiques et satellites Transmission Radio  Ondes électromagnétiques et GSM La radiothérapie est un traitement locorégional des cancers  II Equation de propagation d’une onde électromagnétique dans le vide 1 Champs électromagnétiques les équations de Maxwell dans le vide( pas de charges ρ=0 et pas de courants 𝑗 = 0 : 𝝏𝑩 (𝐌 − 𝜱): 𝐝𝐢𝐯 𝑩 = 𝜵 ∙ 𝑩 = 𝟎 𝑴 − 𝑭 : 𝒓𝒐𝒕 𝑬 = 𝜵 ∧ 𝑬 = − 𝝏𝒕 𝟏 𝛛𝑬 𝑴 − 𝑮 : 𝒅𝒊𝒗 𝑬 = 𝜵 ∙ 𝑬 = 𝟎 𝑴 − 𝑨 : 𝒓𝒐𝒕 𝑩 = 𝜵 ∧ 𝑩 = 𝒄² 𝝏𝒕 On définit la vitesse de propagation de la lumière dans le vide c: 1 𝑐= 𝜀0 𝜇0 Les équations de (M-F) et (M-A) sont couplées spatio-temporellement, pour les découpler on Utilise: 𝑟𝑜𝑡 𝑟𝑜𝑡 𝐸 = 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑣 𝐸 − Δ𝐸 𝜕𝑟𝑜𝑡𝐵 1 𝜕²𝐸 𝑟𝑜𝑡 𝑟𝑜𝑡 𝐸 = − =− 𝜕𝑡 𝑐² 𝜕𝑡² 𝑟𝑜𝑡 𝑟𝑜𝑡 𝐸 = 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑣 𝐸 − Δ𝐸 Comme 𝑑𝑖𝑣 𝐸=0 1 𝜕²𝐸 Alors Δ𝐸 − 2 =0 𝑐 𝜕𝑡² De la même manière , on montre que 1 𝜕²𝐵 Δ𝐵 − 2 =0 1 𝜕 𝑐 𝜕𝑡² On note :Δ− :s’appelle opérateur d’Alembertien 𝑐 2 𝜕𝑡 Les équations de propagation deviennent Conclusion: L’onde électromagnétique satisfait dans le vide { l’équation de propagation d’Alembert: 1 𝜕²𝐸 1 𝜕²𝐵 Δ𝐸 − 2 =0 Δ𝐵 − 2 =0 𝑐 𝜕𝑡² 𝑐 𝜕𝑡² Solution de l’équation d’Alembert Considérons une onde plane S(x,t) qui se propage suivant Ox, S(x,t) satisfait { l’équation de propagation d’Alembert 𝜕²𝑆 1 𝜕 2 𝑆 − 2 2 =0 𝜕𝑥² 𝑐 𝜕𝑡 Alembert a montré que la solution générale de cette équation d’onde est de la forme : 𝑥 𝑥 𝑆 𝑥, 𝑡 = 𝑓+ 𝑡− + 𝑓− 𝑡 + 𝑐 𝑐 𝑥 𝑓+ 𝑡 − représente une onde plane progressive (OPP) se propageant 𝑐 avec la célérité c le long de l’axe Ox dans le sens des x croissants 𝑥 𝑓− 𝑡 + représente une onde plane progressive (OPP) se propageant 𝑐 avec la célérité c le long de l’axe Ox dans le sens des x décroissants  𝑥 On va vérifie que 𝑓 𝑡 − est solution de la fonction d’Alembert: 𝑐 𝒙 𝒙 𝒙 𝝏𝒇(𝒕 − ) 𝝏𝒇(𝒕 − ) 𝝏(𝒕 − ) −𝟏 𝝏𝒇 𝝏𝒕 −𝟏 𝝏𝒇 𝒄 = 𝒄 𝒄 = 𝝏𝒙 𝒙 𝝏𝒙 𝒄 𝒙 𝝏𝒕 = 𝒄 𝝏𝒕 𝝏(𝒕 − ) 𝝏(𝒕 − ) 𝒄 𝒄 𝝏𝒇 𝒙 𝝏²𝒇 𝟏 𝝏 𝟏 𝟐 𝝏 𝒇 𝝏 𝒕 − 𝟏 𝝏𝟐 𝒇 𝝏𝒕 𝟏 𝝏𝟐 𝒇 𝝏𝒕 𝒄 =− =− 𝒙 = 𝟐 𝒙 = 𝝏𝒙² 𝒄 𝝏𝒙 𝒄 𝝏𝒕 𝝏 𝒕 − 𝝏𝒙 𝒄 𝝏𝒕𝝏 𝒕 − 𝝏𝒕 𝒄² 𝝏𝒕² 𝒄 𝒄 𝝏²𝒇 𝟏 𝝏𝟐 𝒇 = 𝝏𝒙² 𝒄² 𝝏𝒕² L’équation de d’Alembert étant invariante par changement de x en –x, 𝑥 une fonction quelconque de 𝑡 + est donc aussi solution de cette 𝑐 équation  Cas d’une direction quelconque Dans le cas de la propagation d’une onde plane dans une direction quelconque suivant 𝑢 𝑂𝑀. 𝑢 𝑂𝑀. 𝑢 𝑆 𝑀, 𝑡 = 𝑓+ 𝑡− + 𝑓− 𝑓+ 𝑡 + 𝑐 𝑐  III Structure de l’onde électromagnétique plane progressive (OEMPP) Soit une OEMPP dépendant de z et de t 𝐸 𝑀, 𝑡 = 𝐸 𝑧, 𝑡 𝑒𝑡 𝐵 𝑀, 𝑡 = 𝐵(𝑧, 𝑡) Les équations de propagation: 𝜕²𝐸 1 𝜕²𝐸 𝜕²𝐵 1 𝜕²𝐵 − =0 et − =0 𝜕𝑧² 𝑐 2 𝜕𝑡² 𝜕𝑧² 𝑐 2 𝜕𝑡² Les solutions 𝑧 𝑧 𝑧 𝑧 𝐸 𝑀, 𝑡 = 𝐸+ 𝑡 − + 𝐸− 𝑡 + et 𝐵 𝑀, 𝑡 = 𝐵+ 𝑡 − + 𝐵− 𝑡 + 𝑐 𝑐 𝑐 𝑐 On s’intéresse dans la suite de ce paragraphe { l’OEMPP suivant Oz dans le sens des z croissants 𝑧 𝑧 𝐸 𝑀, 𝑡 = 𝐸+ 𝑡 − et 𝐵 𝑀, 𝑡 = 𝐵+ 𝑡 − 𝑐 𝑐  Si le champ électrique 𝐸 est perpendiculaire à la direction de propagation, on dit que le champ électrique 𝐸 est transversal 𝐸. 𝑒𝑧 = 0 Si le champ magnétique 𝐵 est perpendiculaire à la direction de propagation, on dit que le champ magnétique 𝐵 est transversal 𝐵. 𝑒𝑧 = 0 Relation entre le champ électrique 𝑬 et le champ magnétique 𝑩 𝒛  Calculons 𝜵𝒇(𝒕 − 𝒄) 𝒛 𝒛 𝒛 𝒛 𝝏𝒇(𝒕 − 𝒄) 𝝏𝒇(𝒕 − 𝒄) 𝝏(𝒕 − 𝒄) −𝟏 𝝏𝒇 𝝏𝒕 −𝟏 𝝏𝒇 𝜵𝒇 𝒕 − = 𝒆𝒛 = 𝒛 𝒆𝒛 = 𝒛 𝝏𝒕 𝒆𝒛 = 𝒄 𝝏𝒕 𝒆𝒛 𝒄 𝝏𝒛 𝝏(𝒕 − 𝒄) 𝝏𝒛 𝒄 𝝏(𝒕 − 𝒄) On peut écrire: −𝟏 𝝏 𝛻 = − 𝒆 𝒄 𝝏𝒕 𝒛  𝜕𝐵 1 𝜕 𝜕𝐵 𝑀 − 𝐹 : 𝑟𝑜𝑡 𝐸 = 𝛻 ∧ 𝐸 = − − 𝑒𝑧 ∧ 𝐸 = − 𝜕𝑡 𝑐 𝜕𝑡 𝜕𝑡 𝜕 𝐸 𝜕𝐵 𝑒𝑧 ∧ 𝐸 (𝑒 ∧ ) = 𝐵= 𝜕𝑡 𝑧 𝑐 𝜕𝑡 𝑐 1 𝜕𝐸 1 𝜕 1 𝜕𝐸 𝑀 − 𝐴 : 𝑟𝑜𝑡 𝐵 = 𝛻 ∧ 𝐵 = − 𝑒𝑧 ∧ 𝐵 = 𝑐² 𝜕𝑡 𝑐 𝜕𝑡 𝑐² 𝜕𝑡 𝜕 1 𝜕𝐸 𝐵 ∧ 𝑒𝑧 = 𝐸 = 𝑐𝐵 ∧ 𝑒𝑧 𝜕𝑡 𝑐 𝜕𝑡 Généralisation: pour une OEMPP se propageant suivant la direction 𝑢 𝑜𝑛 𝑎: 𝑒𝑧 ∧ 𝐸 𝐵= et 𝐸 = 𝑐𝐵 ∧ 𝑒𝑧 𝑐 Donc 𝐸, 𝐵, 𝑢 est un trièdre direct IV Onde électromagnétiques planes progressives harmoniques (OPPH) ou monochromatiques (OPPM) 1- Définition: Une onde plane progressive S( M, t) est dite monochromatique (harmonique) s’elle s’écrit sous la forme: 𝑆 𝑀, 𝑡 = 𝑆0 cos(𝑤𝑡 − 𝑘. 𝑟 + 𝜑0 ) 𝑆0 : 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 𝑤 ∶ 𝑝𝑢𝑙𝑠𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑜𝑢 𝑓𝑟é𝑞𝑢𝑒𝑛𝑐𝑒 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑘 = 𝑘 𝑢 ∶ 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟 𝑑 ′ 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑢 ∶ vecteur unitaire suivant la direction de propagation de l′ onde 𝜑0 ∶ 𝑝𝑕𝑎𝑠𝑒 à 𝑙 ′ 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑒  La grandeur Φ 𝑀, 𝑡 = 𝑤𝑡 − 𝑘. 𝑟 + 𝜑0 représente la phase de l’onde { l’instant t au point M  Pour l’onde électromagnétique: 𝐸 = 𝐸0 cos(𝑤𝑡 − 𝑘. 𝑟 + 𝜑0 ) et 𝐵 = 𝐵0 cos(𝑤𝑡 − 𝑘. 𝑟 + 𝜑0 ) 2- Représentation complexe  En notation complexe: 𝑆 𝑀, 𝑡 = 𝑆0 𝑒 𝑗(𝑤𝑡 −𝑘.𝑟) = 𝑆0 𝑒 𝑗(𝑤𝑡−𝑘.𝑟+𝜑0 ) 𝑆0 = 𝑆0 𝑒 𝑗𝜑0 ∶ 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑥𝑒  S 𝑀, 𝑡 = 𝑅𝑒( 𝑆 𝑀, 𝑡) L’onde électromagnétique 𝐸 = 𝐸0 𝑒 𝑗(𝑤𝑡−𝑘.𝑟) 𝑒𝑡 𝐵 = 𝐵0 𝑒 𝑗(𝑤𝑡−𝑘.𝑟)  En notation complexe on a : 𝜕𝐸 = 𝑗𝑤𝐸 𝑑𝑖𝑣𝐸 = −j 𝑘 𝐸 𝑟𝑜𝑡𝐸 = −j𝑘 ∧ 𝐸 Δ𝐸 = −𝑘²𝐸 𝜕𝑡 3 Cas particulier : si la propagation est suivant Oz, le champ 𝐸 s'exprime de la façon suivante : 𝐸 = 𝐸 cos 𝑤𝑡 − 𝑘𝑧 + 𝜑 𝑥 𝑜𝑥 1 𝐸 𝑧, 𝑡 : 𝐸𝑦 = 𝐸𝑜𝑦 cos 𝑤𝑡 − 𝑘𝑧 + 𝜑2 𝐸𝑧 = 0 4 intérêt des ondes planes monochromatiques: Guide d’onde (par superposition d’OPPM, on aboutit { des solutions physiques réalistes Le champ de rayonnement d’une source sinusoïdale { grande distance est assimilable à une OPMM 5- relation de dispersion L’équation de propagation : 1 𝜕²𝑆 Δ𝑆 − 2 =0 𝑐 𝜕𝑡² Si l’onde électromagnétique se propage suivant 𝑂𝑥: 𝑘 = 𝑘𝑒𝑥 et 𝑆 𝑀, 𝑡 = 𝑆0 𝑒 (𝑤𝑡−𝑘𝑥) 𝜕 2 Alors: = 𝑗𝑤 𝑒𝑡 ∆= 𝑗𝑘 = −𝑘² 𝜕𝑡 L’équation de propagation s’écrit: 𝑤² −𝑘²𝑆 + 2 𝑆 = 0 𝑐 La relation de dispersion: 𝑤 𝑘= 𝑐  Définition: Un milieu est dit dispersif, si la relation de dispersion 𝑤 = 𝑓 𝑘 n’est pas linéaire. 𝑤 Dans le vide 𝑘 = est une relation linéaire, donc le vide est un milieu non 𝑐 dispersif  relation de structure des OPPM 𝜕𝐵 𝑀 − 𝐹 : 𝑟𝑜𝑡 𝐸 = − 𝜕𝑡 𝑟𝑜𝑡𝐸 = −j𝑘 ∧ 𝐸 −j𝑘 ∧ 𝐸 = −𝑗𝑤𝐵 𝜕𝐵 = 𝑗𝑤𝐵 𝑘∧𝐸 𝜕𝑡 𝐵= 𝑤 1 𝜕𝐸 𝑀 − 𝐴 : 𝑟𝑜𝑡 𝐵 = 𝑐² 𝜕𝑡 𝑟𝑜𝑡𝐵 = −j𝑘 ∧ 𝐵 −j𝑘 ∧ 𝐵 = −𝑗𝑤𝐸 𝜕𝐸 𝑘∧𝐵 = 𝑗𝑤𝐸 𝐸= 𝜕𝑡 𝑤  V polarisation des OPP Monochromatiques 1 Définition La polarisation d’une O.E.M est l’évolution de direction du champ 𝐸 attaché à cette onde au cours de la propagation Considérons une onde plane monochromatique se propageant suivant Oz: 𝐸𝑥 = 𝐸𝑚𝑥 cos 𝑤𝑡 − 𝑘𝑧 − 𝜑1 𝐸 𝑧, 𝑡 : 𝐸𝑦 = 𝐸𝑚𝑦 cos 𝑤𝑡 − 𝑘𝑧 − 𝜑2 𝐸𝑧 = 0 2 Différents états de polarisation dans le plan d’onde Par commodité on se place dans le plan z=0: 𝐸𝑥 = 𝐸𝑚𝑥 cos 𝑤𝑡 − 𝜑1 𝐸𝑦 = 𝐸𝑚𝑦 cos 𝑤𝑡 − 𝜑2 Dans le plan Oxy, l'extrémité du champ 𝐸 décrit une courbe inscrite dans un rectangle de côtés 2𝐸𝑚𝑎𝑥 𝑒𝑡 2𝐸𝑚𝑖𝑛 Différents cas se présentent : a) 𝟏𝒆𝒓 𝒄𝒂𝒔 ∶ 𝝋𝟐 − 𝝋𝟏 = 𝟎 𝒐𝒖 𝝅 Les composantes oscillent en phase 𝐸𝑥 𝐸𝑚𝑥 = 𝐸𝑦 𝐸𝑚𝑦 Le champ garde une direction fixe Polarisation rectiligne b) 𝟐𝒆𝒎𝒆 𝒄𝒂𝒔 ∶ 𝝋𝟐 − 𝝋𝟏 ≠ 𝒏. 𝝅 Posons 𝜑 = 𝝋𝟐 − 𝝋𝟏 , on peut écrire : 𝐸𝑥 = 𝐸𝑚𝑥 cos 𝑤𝑡 𝐸𝑦 = 𝐸𝑚𝑦 cos 𝑤𝑡 − 𝜑 𝐸𝑥 𝐸𝑦 = cos(𝑤𝑡) = cos 𝑤𝑡 cos 𝜑 + sin wt sin(𝜑) 𝐸𝑚𝑥 𝐸𝑚𝑦 𝐸𝑦 𝐸𝑥 sin 𝑤𝑡 sin 𝜑 = − cos(𝜑) 𝐸𝑚𝑦 𝐸𝑚𝑥 𝐸𝑥 cos 𝑤𝑡 sin 𝜑 = 𝑠𝑖𝑛(𝜑) 𝐸𝑚𝑥 On élève au carré les 2 expressions et on les ajoute: 2 2 𝐸𝑥 𝐸𝑦 𝐸𝑥 𝐸𝑦 + −2 cos 𝜑 = 𝑠𝑖𝑛²(𝜑) 𝐸𝑚𝑥 𝐸𝑚𝑦 𝐸𝑚𝑥 𝐸𝑚𝑦 Il s'agit de l'équation d'une ellipse → polarisation elliptique Remarques: 𝒄𝒂𝒔 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒄𝒖𝒍𝒊𝒆𝒓 ∶ 𝝋𝟐 − 𝝋𝟏 = 2n + 1. 𝜋 2 𝑒𝑡 𝐸𝑚𝑥 = 𝐸𝑚𝑦 Dans ce cas la polarisation est circulaire Sens de rotation: 𝜕𝐸𝑦 à 𝑡=0 𝐸𝑦 𝑒𝑠𝑡 𝑚𝑎𝑥 𝑒𝑡 = 𝐸𝑚𝑦 sin 𝜑 𝜕𝑡 le sens de rotation est donc donné par le signe de sin 𝜑  VI Energie électromagnétique Les ondes électromagnétiques transportent de l’énergie. La propagation de cette énergie se ressent dans de nombreuses situations de la vie quotidienne, comme par exemple, lors d’une exposition aux rayons solaires ou au rayonnement d’une source chaude, lorsqu’on fait chauffer un aliment dans un four a micro-ondes, ou lorsqu’on capte les émissions d’une station de radio ou de télévision. On peut donc dire qu’en tout point ou règne un champ électromagnétique, il existe une certaine densité d'énergie électromagnétique. Nous allons essayer de relier localement cette énergie qui se propage, au champ électromagnétique qui la transporte. Nous supposerons le milieu de propagation parfait, c’est { dire homogène, isotrope et linéaire  1 Onde de forme spatiale et temporelle quelconques Nous admettrons que les densités d’énergie électrique et magnétique calculées en régime stationnaire sont toujours valables en régime variable ; la densité d’énergie électromagnétique 𝓌 en un point quelconque du milieu parcouru par une onde électromagnétique est donc à chaque instant: 𝓌: densité d’énergie électrique + densité d’énergie magnétique Considérons dans le milieu, un volume τ limité par une surface (S). L’énergie électromagnétique qu’il contient est { chaque instant : Pendant un temps dt l’accroissement d’énergie dans (τ ) sera dW et la puissance instantanée p’ acquise par ce volume sera  Soit 𝜕𝑤 𝜕𝐸 1 𝜕𝐵 = ℇ0 𝐸 + 𝐵 𝜕𝑡 𝜕𝑡 𝜇0 𝜕𝑡 𝜕𝐵 𝐵 𝜕𝐸 On a : 𝑀 − 𝐹 : 𝑟𝑜𝑡 𝐸 = − Et 𝑀 − 𝐴 : 𝑟𝑜𝑡 = 𝜀0 𝜕𝑡 𝜇0 𝜕𝑡 𝜕𝑤 𝐵 𝐵 Donc = 𝐸 𝑟𝑜𝑡 − 𝑟𝑜𝑡 𝐸 𝜕𝑡 𝜇0 𝜇0 D’après la relation de transformation, on a : 𝐵 𝐵 𝐵 𝑑𝑖𝑣 𝐸 ∧ = 𝑟𝑜𝑡 𝐸 − 𝐸 𝑟𝑜𝑡 𝜇0 𝜇0 𝜇0 𝜕𝑤 𝐵 Alors: = −𝑑𝑖𝑣 𝐸 ∧ 𝜕𝑡 𝜇0 La puissance électromagnétique instantanée perdue par le volume (τ ) est : Elle représente la puissance électromagnétique qui sort du volume (τ ), c’est à dire la puissance moyenne p rayonnée par ce volume. D’après la formule d’Ostrogradsky, on peut écrire : = ∬ Π 𝑑𝑆 2 Vecteur de Poynting 1 Π= 𝐸 ∧ 𝐵 𝜇0 Π est appelé le vecteur de Poynting. Sa direction donne en chaque point, la direction d’écoulement de l’énergie et son flux à travers une surface est égal à la puissance électromagnétique instantanée rayonnée par cette surface. Les courbes tangentes en chaque point au vecteur de Poynting peuvent être considérées comme des trajectoires de l’énergie ; on les appelle les ‘’rayons électromagnétiques”. La puissance P transportée par un champ électromagnétique à travers une surface S est le flux du vecteur de Poynting : Exemple : OPPM Avec: Déterminons maintenant l’expression du vecteur de Poynting La moyenne temporelle est égale à: Ou encore: