จำนวนเชิงซ้อน PDF

(บทที่ ๕–๑๖ นํามาจาก R2.2.04 และจะทยอยปรับปรุงเนื้อหาทีละบท จนเป็น R2.9 ฉบับสมบูรณ์ครับ) ๑๐ บทที่ C mpx...

(บทที่ ๕–๑๖ นํามาจาก R2.2.04 และจะทยอยปรับปรุงเนื้อหาทีละบท จนเป็น R2.9 ฉบับสมบูรณ์ครับ) ๑๐ บทที่ C mpx จํานวนเชิงซ้อน ระบบจํานวนที่ศึกษาและใช้งานกันโดยทั่วไป คือ ระบบจํานวนจริง (Real Number; R ) ซึ่งเราอาจ พบว่าสมการบางสมการ ไม่มีคําตอบที่เป็นจํานวนจริง (เพราะภายในรากที่สองมีค่าติดลบ) เช่น x24  0 หรือ x2x 2  0 ฯลฯ จึงได้มีการสมมติจํานวนแบบ ใหม่ขึ้นมาใช้เพิ่มเติม เพื่อให้ทุกสมการมีคําตอบเสมอ และจํานวนแบบใหม่ นี้เรียกว่า จํานวนจินตภาพ (Imaginary Number; I m ) จํานวนจินตภาพ กับจํานวนจริง ประกอบกันเป็นระบบจํานวนที่ใหญ่ที่สดุ เรียกว่าระบบจํานวนเชิงซ้อน (Complex Number; C ) ซึ่งจํานวนประเภท นี้มีประโยชน์อย่างมากในการคํานวณทางวิศวกรรม เช่น วงจรไฟฟ้ากระแส สลับ ดังที่จะได้แสดงตัวอย่างไว้ในหน้าสุดท้ายของบทนี้ ลักษณะของ จํานวนจินตภาพ คือจํานวนทีอ่ ยู่ในรูป bi จํานวนเชิงซ้อน โดย b เป็นจํานวนจริง และ i  1 เช่น สมการ x2 4  0 จะได้คําตอบเป็น x   4 นั่นคือ x  2 i,  2 i 1  7 1 7 สมการ x2 x 2  0 ใช้สูตรหาคําตอบจะได้ x     i 2 2 2 ระบบจํานวนที่ใหญ่ที่สุด ซึ่งประกอบด้วยส่วนจริงและส่วนจินตภาพ ในรูป a  bi (โดย a, b  R ) เรียกว่า จํานวนเชิงซ้อน (Complex Number; C ) มี a เป็นส่วนจริง (Real Part) และ b เป็นส่วนจินตภาพ (Imaginary Part) และมักแทน ตัวแปรที่เป็นจํานวนเชิงซ้อนด้วย z หมายเหตุ 1. จาก z  a  bi บางทีเขียนว่า a  Re (z) และ b  Im (z) ก็ได้ เช่น ถ้า z1  3  2 i จะได้ Re (z1)  3 และ Im (z1)  2 2. บางตําราใช้ j  1 แทน i เพื่อป้องกันการสับสนกับตัวแปรอื่น เช่น กระแสไฟฟ้า š——µÃ ËÊ 356 Math E-Book Release 2.7pre2 ข้อสังเกต กําลังของ i มีคา่ เพียง 4 แบบหมุนเปลี่ยนกัน เริ่มจาก i 2  1 i3   i i4  1 i5  i i 6  1 i7   i i8  1 i9  i i 10  1 i 11   i i 12  1 แผนภาพของจํานวนเชิงซ้อน เปลี่ยนจากเส้นจํานวนในแกนนอน 1 มิติ กลายเป็นระนาบ 2 มิติ (คือมีแกนจริง; Real Axis กับ แกนจินตภาพ; Imaginary Axis ตั้งฉากกัน) เรียกว่า ระนาบเชิงซ้อน (Complex Plane) และใช้คู่อันดับ (a, b) หรือ Im เวกเตอร์ที่ชี้จาก (0, 0) มายัง (a, b) แทนจํานวนเชิงซ้อน z  a  bi ได้ 0 3 Re –2 (3,–2) ระวังอย่าสับสนกับการเขียนเวกเตอร์..ในเรือ่ งเวกเตอร์นั้นแกนนอนใช้ i แกนตั้งใช้ j S แต่สาํ หรับจํานวนเชิงซ้อน แกนนอนไม่มีสญ ั ลักษณ์อะไรเลย และแกนตัง้ มี i ๑๐.๑ การคํานวณเบื้องต้น ในการคํานวณบวกลบคูณและหาร ให้ปฏิบัติเสมือนว่า i เป็นตัวแปรหนึ่ง เท่านั้น ซึ่งเมื่อใดที่มีค่า i 2 จะต้องได้ค่าเป็น –1 นอกนั้นวิธีการคํานวณเหมือนกับ ระบบจํานวนจริงทุกประการ 1. การเท่ากัน a  bi  c  di ก็ต่อเมื่อ a  c และ b  d หรือเมื่อเขียนเป็นคู่อันดับ จะได้ (a, b)  (c, d) ก็ต่อเมื่อ a  c และ b  d 2. การบวก (a  bi)  (c  di)  (a  c)  (b  d) i หรือเมื่อเขียนเป็นคู่อันดับ จะได้ (a, b)  (c, d)  (a c, b  d) 3. การคูณ (a  bi)  (c  di)  (ac bd)  (adbc)i หรือเมื่อเขียนเป็นคู่อันดับ จะได้ (a, b)  (c, d)  (acbd, adbc) สมบัติของจํานวนเชิงซ้อนเหมือนกับสมบัติของจํานวนจริงทุกประการ (และ จํานวนจริงก็คือจํานวนเชิงซ้อนประเภทหนึ่ง) นั่นคือ สมบัติปิด, สมบัติการสลับที่การ บวกและคูณ, สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการบวกและคูณ, สมบัติการแจกแจง และสมบัติ การมีเอกลักษณ์กับอินเวอร์ส จึงสรุปได้ว่า ทุกกฎที่เคยใช้กับจํานวนจริงจะใช้ได้กับ จํานวนเชิงซ้อนด้วย „“´• ¡‡„¥ž´—±©pª¸‚ 357 ˆÈ²™§™»Š´‡‹m­™ kanuay.com เอกลักษณ์การบวกก็คือ 0 หรือ 0  0 i หรือ (0, 0) นั่นเอง และ เอกลักษณ์การคูณคือ 1 หรือ 1  0 i หรือ (1, 0) นั่นเอง ดังนั้นอินเวอร์สการบวกของ z  a  bi ก็คือ z  a  bi และอินเวอร์สการคูณของ z  a  bi คือ z1  1  1 z a  bi ซึ่งสามารถทําให้อยู่ในรูปปกติได้โดยนํา a  bi คูณทั้งเศษและส่วน จะได้ 1 a  bi  a   b     2 2   2 2i a  bi a2b2  a  b   a b  และมีทฤษฎีบทเกี่ยวกับอินเวอร์สการคูณว่า (z1z2)1  z11 z21 และ n 1 1 n n (z )  (z )  z หมายเหตุ 1. ในระบบจํานวนเชิงซ้อนจะไม่มีการเปรียบเทียบมากกว่า, น้อยกว่า 2. สมการ a  b  ab จะไม่เป็นจริง หากว่า a, b ติดลบทั้งสองจํานวน ตัวอย่าง 10.1 ให้หาผลบวก ลบ คูณ และหาร ของจํานวนเชิงซ้อน z1  3  2 i ด้วย z2  1  i ตอบ z1  z2  (3  2 i)  (1  i)  4–i z1  z2  (3  2 i)  (1  i)  2 – 3i z1z2  (3  2 i)  (1  i)  3  3 i  2 i  2 i 2  3  3 i  2 i  2  5+i z1 3 2i 3  2i  1 i 3  3 i  2 i  2 i2 1 5i         0.5 – 2.5i z2 1 i 1 i  1 i 1  i  i  i2 2 (1  i)12 ตัวอย่าง 10.2 ให้หาค่า (1  i)10 วิธีคิด1 เนื่องจาก (1  i)2  1  2 i  i 2  2 i และ (1  i)2  1  2 i  i 2  2 i (1  i)12 (2 i)6 64 i 6 ดังนัน้ 10  5   –2i (1  i) (2 i) 32 i 5  1 i  1 i 1 i 2i วิธีคิด2 เนื่องจาก        1  i    i  1 i  1 i   2 10 (1  i)12 1  i 2 10 11 3 ดังนัน้    (1  i)  (i) (2 i)  2 i  2i  –2i (1  i)10 1  i š——µÃ ËÊ 358 Math E-Book Release 2.7pre2 แบบฝึกหัด ๑๐.๑ (1) z1  (2, 3) , z2  (4, 1) , z3  (2, 1) ให้หาค่าของ (1.1) z1  z2 (1.4) z1z2 (1.2) z1  z3 (1.5) z1z3 (1.3) 2 z1  3 z2 (1.6) z1 (z2  z3) (2) ให้หาอินเวอร์สการบวก และอินเวอร์สการคูณของ (2.1) z1  (2, 3) (2.3) z3  (2, 1) (2.2) z2  (4, 1) (2.4) z4  (1, 0) (3) ให้หาค่าของ (3.1) (6, 4)  (3, 5) (3.4) (3, 2)  (5, 4) (3.2) (3, 2)  (4, 2) (3.5) (7, 2)  (0, 3) (3.3) (4, 3)  (5, 6) (3.6) (6, 3)  (3, 0) (4) ให้หาค่าจํานวนจริง x และ y เมื่อกําหนดให้ (4.1) (x, y)  (2, 4)  (4, 1) (4.2) (x, y)  (2, 3)  (5, 3) (4.3) (3, 1)  (x, y)  (1, 2) (4.4) x  2y i  1  i  2  i (ข้อสังเกต 1   i) i i i (5) x2  y2  2xy i  1  i  0 ให้หาค่า x และ y (6) ถ้า z1  (2, 3) ให้หาค่า 2 z12 (7) ให้หาค่าของ (7.1) 2  3 i (7.3) 14  23 i  16  12 i 4  2i 3  4i 4i 2  i 3  4i (7.2)  2 i 1  2i 3  3 4 i 3 4 i  (8) ให้หาค่าของ  3 4 i  3 4 i    (9) ให้หาค่าต่อไปนี้ (9.1) i 29 (9.3) i 451 (9.2) i 42 (9.4) i 4, 040 (10) ให้หาค่าของ i 135  i 136  i 137  i 138 และ i 135 i 136 i 137 i 138 „“´• ¡‡„¥ž´—±©pª¸‚ 359 ˆÈ²™§™»Š´‡‹m­™ kanuay.com (11) ถ้ากําหนดให้ z  i 9  i 10 ...  i 126 เมื่อ i2 1 แล้ว ให้หาค่า 2 z1 (1  i)4 (12) ให้หาอินเวอร์สของ 1i (13) ให้หาค่าของ (1  i)16 (13.1) (1  i)12 (13.3) (1  i)10 (1  i)2  (1  i)  1 (13.2) 1 i 5m m (14) ให้หาค่า m  I ที่น้อยที่สุด ที่ทําให้ 1  i   1  i    1  i 1  i ๑๐.๒ สังยุค และค่าสัมบูรณ์ ในเศษส่วนหนึ่ง ๆ เมื่อมีจํานวนเชิงซ้อน a  bi เป็นตัวส่วน จะนํา สังยุค (conjugate) ของ a  bi คือ a  bi มาคูณทั้งเศษและส่วน เพื่อให้ตัวส่วน กลายเป็นเลขจํานวนจริง ( a2b2 ) สัญลักษณ์ที่ใช้แทนสังยุคของ z  a  bi คือ z  a  bi ค่าสัมบูรณ์ (absolute value) ของจํานวนจริงและจํานวนเชิงซ้อนใด ๆ คือ ระยะห่างจากจุดนั้นไปถึงจุดกําเนิด (0, 0) ดังนั้น z  a  bi  a2b2 สมบัติของสังยุคและค่าสัมบูรณ์ 1. z  z ก็ต่อเมื่อ z เป็นจํานวนจริงเท่านั้น และ z  z เสมอ 2. (z1)  (z)1 และ z1  z 1 3. (zn)  (z)n และ zn  z n n  I 4. z1  z2  z1  z2 5. z1z2  z1z2 และ z1  z2  z1  z2 6. z1z2  z1 z2 และ z1  z2  z1  z2 7. z มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ 0 เสมอ และ z  z  z 2 8. z  z  z š——µÃ ËÊ 360 Math E-Book Release 2.7pre2 ตัวอย่าง 10.3 ถ้า z1  1  2 i และ z1z2  z2  i ให้หาค่า z21 i วิธีคิด จาก z1z2  z2  i  z2(z1  1)  i  z2  z1  1 i จากนั้นใส่สงั ยุคทัง้ สองข้างของสมการ เพือ่ ให้ทางซ้ายไม่ตดิ สังยุค จะได้ z2  z1  1 z1  1 2i และหาอินเวอร์สได้เป็น z21    –2 i i (2 2 3 i)(3  4 i)3 ตัวอย่าง 10.4 ให้หาค่าของ z เมื่อ z  (2  i)2(1  i) 1/ 2 3 (2 2 3 i)1/ 2(3  4 i)3 22 3 i 3 4 i (4)1/ 2(5)3 ตอบ    25 2 (2  i)2(1  i) 2i 2 1 i ( 5)2( 2) แบบฝึกหัด ๑๐.๒ (15) ถ้า z1  2  3 i , z2  3  4 i ให้หาค่าของ  z1  (15.1) z1  z2 (15.4) z   2 (15.2) z1  z2 (15.5) (z21) (15.3) z1z2 (16) ถ้า z1  3  4 i และ z1z2  z2  4  0 ให้หาค่า z21 (17) ให้หาค่า z ที่สอดคล้องกับสมการ z  i  3  2 z  1  2i (18) ให้หาค่าของ (18.1) 3  4 i (18.4) 4  0 i (18.2) 5  12 i (18.5) (0, 5) (18.3)  7 i „“´• ¡‡„¥ž´—±©pª¸‚ 361 ˆÈ²™§™»Š´‡‹m­™ kanuay.com (19) ให้หาค่าของ z เมื่อกําหนดให้ z คือ (1 3 i)2( 3  i)4 (3 4 i)4 (19.1) (19.3) (1 3 i)2 (1  i)16 2 i (1 3 i)5 (19.2) (19.4) ((1, 1)1)4 (1 2 i)6 3 (2i)(32 i)(4 3 i)(5 4 i) (20) ให้หาค่าของ (12 i)(2 3 i)(4 5 i) (21) ถ้า z  (1 3 i)( 3  i)(1  i) ให้หาค่า z 1 1 1 (22) ถ้า z1  z2  0 และ z1  z2  1 ให้หาค่า  z1 z2 (23) ให้แก้ระบบสมการต่อไปนี้ เพื่อหาค่า z (โดยสมมติ z  a bi) (23.1) z z 3 1 2 i  1 และ z  149 z  1 (23.2)  1 และ z z  29 z  (3  2 i) z  4 z  12 5 (23.3)  1 และ  z 8 z  8i 3 (24) ถ้า z  12  2 z  3 ให้หาค่าของ z 1  z (25) เมื่อ z  1 ให้หาค่า Re   1  z (26) ถ้า z เป็นจํานวนเชิงซ้อนซึ่ง (i 1)(z 1)  1 แล้ว ให้หาส่วนจริงของจํานวนเชิงซ้อน z (z  z)15 (27) ข้อใดไม่ใช่กราฟวงกลม 2 ก. z z  1 ค. z  z  z ข. z  z  z ง. 3z i  z  3 i (28) ให้เขียนกราฟของสมการต่อไปนี้ (28.1) z (23 i)  1 (28.2) z 2  3 z2 4 i (28.3) z 2 i  z 2 i  10 หมายเหตุ โจทย์ข้อนี้อาจเปลี่ยนเป็น “ให้หาค่า z ที่สอดคล้องกับสมการต่อไปนี้” ก็ได้ และคําตอบจะมีได้มากมาย (ทุก ๆ จุดในกราฟ) เพราะตัวแปร z นั้น สมการเดียวไม่เพียงพอ