Complexe getallen PDF

T. Van Hecke Wiskunde 1 Complexe getallen Hoofdstuk 1: Complexe Getallen 1 T. Van Hecke Wiskunde 1 Complexe getallen Definitie...

T. Van Hecke Wiskunde 1 Complexe getallen Hoofdstuk 1: Complexe Getallen 1 T. Van Hecke Wiskunde 1 Complexe getallen Definitie Een complex getal is een getal van de vorm: z = a + bj met a ∈ R, b ∈ R en j 2 = −1 a = het reëel deel Re(z) b = het imaginair deel Im(z) C = de verzameling van alle complexe getallen j = de imaginaire eenheid 2 T. Van Hecke Wiskunde 1 Complexe getallen Bewerkingen Gelijkheid: a + bj = c + dj ⇔ a = c en b = d Som: (a + b j) + (c + d j) = a + c + (b + d)j Product: (a + b j) · (c + d j) = ac − bd + (ad + bc)j z = a − b j = het complex toegevoegde z van z = a + b j (a + b j) · (a − b j) = a2 + b2 ∈ R 3 T. Van Hecke Wiskunde 1 Complexe getallen Cartesische en goniometrische vorm Cartesische vorm a + b j: de cartesische vorm van het complex getal. Met elk complex getal z = a + bj correspondeert een koppel cartesische coördinaten (a, b) van het vlak. Goniometrische vorm Zijn (r, ϑ) de poolcoördinaten van het punt (a, b) dan is z = a + b j = r(cos ϑ + j sin ϑ) √ de modulus van z = r = a2 + b2 = |z| het argument van z (arg z) = de hoek tussen de voerstraal en de poolas =ϑ 4 T. Van Hecke Wiskunde 1 Complexe getallen Exponentiële vorm de formule van Euler: cos ϑ + j sin ϑ = ejϑ Hierop is de exponentiële vorm gebaseerd: z = a + bj = r(cos ϑ + j sin ϑ) = r ej ϑ Merk op: 1. Uit ejπ = cos π + j sin π = −1 volgt ej π + 1 = 0 2. cos ϑ = 1 2 (ej ϑ + e−j ϑ ) en sin ϑ = 1 2j (ej ϑ − e−j ϑ ) = j 2 (e−j ϑ − ej ϑ ) 5 T. Van Hecke Wiskunde 1 Complexe getallen Omzettingsformules z = x + y j = r ej θ    x = r cos θ  tgθ = y Zie Ca.Co. ↔ Po.Co., namelijk en √x  y = r sin θ  r = x2 + y 2 waarbij men de hoek θ kiest in het interval [0, 2 π[ of ] − π, π]. Grafische voorstelling het vlak van Gauss = het vlak waarin we de complexe getallen als koppel voorstelllen 6 T. Van Hecke Wiskunde 1 Complexe getallen Eigenschappen modulus z1 |z1 | |z| = |z| z z = |z|2 |z1 z2 | = |z1 | |z2 | | |= z2 |z2 | Bewijs:... 7 T. Van Hecke Wiskunde 1 Complexe getallen Bewerkingen in C Optellen en aftrekken eenvoudigst in cartesische vorm Vermenigvuldigen en delen eenvoudigst in goniometrische of exponentiële vorm Is z1 = r ejθ en z2 = s ejϕ , dan is: z1 z2 = r ejθ · s ejϕ = r s ej(θ+ϕ) = r s (cos(θ + ϕ) + j sin(θ + ϕ)) z1 r ejθ r r = jϕ = ej(θ−ϕ) = (cos(θ − ϕ) + j sin(θ − ϕ)) z2 se s s https://www.geogebra.org/m/zb42fhdz 8 T. Van Hecke Wiskunde 1 Complexe getallen Harmonische trillingen mechanische trillingen, wisselstroom, wisselspanning,... y = A sin(ω t + φ) = Im(A ej (ω t+φ) ) Andere mogelijkheid: y = A cos(ω t + φ) = Re(A ej (ω t+φ) ) Samenstellen van trillingen met rekenregels van complexe getallen 9 T. Van Hecke Wiskunde 1 Complexe getallen Coördinatentransformaties / rotatie   x = x′ cos φ − y ′ sin φ  y = x′ sin φ + y ′ cos φ      x cos φ − sin φ x′  = ·  y sin φ cos φ y′      x′ cos φ sin φ x  = ·  y′ − sin φ cos φ y 10 T. Van Hecke Wiskunde 1 Complexe getallen Machtsverheffing De nde macht van z = r ejϑ is: ( jϑ )n n z = re = rn ej nϑ = rn (cos nϑ + j sin nϑ) met n ∈ Z Het bijzonder geval r = 1 geeft de formule van de Moivre: (cos ϑ + j sin ϑ)n = cos nϑ + j sin nϑ 11 T. Van Hecke Wiskunde 1 Complexe getallen nde machtswortels Het complex getal w = ρ ejφ is een nde machtswortel uit z = r(cos ϑ + j sin ϑ) = r ej ϑ als: (ρ ej φ )n = r ej ϑ   √  ρn = r ρ = nr waaruit: ⇒   nφ = ϑ + 2kπ φ = n1 (ϑ + 2kπ) Een complex getal z bezit n verschillende nde machtswortels w0 , w1 ,... , wn−1 : √n j n1 (ϑ+2kπ) √ n ( 1 1 ) wk = r e = r cos n (ϑ + 2kπ) + j sin n (ϑ + 2kπ) met k ∈ {0, 1,... , n − 1}. 12 T. Van Hecke Wiskunde 1 Complexe getallen nde machtswortels In het complex vlak van Gauss zijn de beeldpunten de hoekpunten van √ een regelmatige n-hoek ingeschreven in een cirkel met straal n r. Voorbeeld: zoek zi (i ∈ {0, 1,... , 4}) als oplossing van z 5 = 2 ej 5 π/6 13 T. Van Hecke Wiskunde 1 Complexe getallen Complexe nulpunten van veeltermen in C Stelling 1 Een veelterm van de nde graad met complexe coëfficiënten heeft juist n complexe nulpunten in C. Opmerking Bij het aantal nulpunten moet rekening gehouden worden met de multipliciteit. Voorbeeld (z − 1)3 heeft nulpunt z = 1 met multipliciteit 3. z 3 − 1 heeft drie verschillende nulpunten. 14 T. Van Hecke Wiskunde 1 Complexe getallen Complexe nulpunten van veeltermen in C Stelling 2 Heeft een veelterm met reële coëfficiënten een niet reëel nulpunt z, dan is zijn complex toegevoegde z ook een nulpunt. Gevolg Een veelterm van oneven graad met reële coëfficiënten heeft ten minste één reëel nulpunt.. 3de graad 15