ระบบจำนวนเชิงซ้อน บทที่ ๑๐

Questions and Answers

จํานวนเชิงซ้อนสามารถเขียนในรูปใด?

a + bi โดย a เป็นส่วนจริง และ b เป็นส่วนจินตภาพ

จํานวนจินตภาพคืออะไร?

จํานวนที่มีรูปแบบ bi โดย b เป็นจํานวนจริง และ i คือรากที่สองของ -1

สมการ x² + 4 = 0 มีคําตอบอะไร?

x = ±2i

ระบบจํานวนที่ใหญ่ที่สุดคือระบบใด?

ระบบจํานวนเชิงซ้อน (Complex Number; C) Signup and view all the answers

อะไรคือเหตุผลที่จํานวนจินตภาพถูกสร้างขึ้น?

เพื่อให้ทุกสมการมีคําตอบเสมอ เมื่อต้องเผชิญกับค่าติดลบในรากที่สอง Signup and view all the answers

ในระบบจํานวนเชิงซ้อน อักษรใดใช้แทนตัวแปรที่เป็นจํานวนเชิงซ้อน?

z Signup and view all the answers

ในสมการ x² + x + 2 = 0 คําตอบอยู่ที่ไหน?

x = -1/2 ± i√7/2 Signup and view all the answers

ส่วนที่เป็นจริงของจํานวนเชิงซ้อนในรูป a + bi คืออะไร?

a Signup and view all the answers

การใช้งานจํานวนเชิงซ้อนในสาขาไหนสำคัญที่สุด?

การคํานวณทางวิศวกรรม เช่น วงจรไฟฟ้ากระแสสลับ Signup and view all the answers

ผลบวกของจำนวนเชิงซ้อน $z1 = 3 - 2i$ และ $z2 = 1 + i$ คืออะไร?

ผลบวกคือ $4 - i$ Signup and view all the answers

เมื่อทำการลบ $z1 = 3 - 2i$ และ $z3 = -2 + i$ จะได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเชิงซ้อนอะไร?

ผลลัพธ์คือ $5 - 3i$ Signup and view all the answers

ผลคูณของ $z1 = 3 - 2i$ และ $z2 = 1 + i$ มีค่าเท่าไร?

ผลคูณคือ $5 + i$ Signup and view all the answers

อินเวอร์สการบวกของ $z1 = (2, -3)$ คืออะไร?

อินเวอร์สการบวกคือ $(-2, 3)$ Signup and view all the answers

เมื่อกำหนด $z1 = (2, -3)$ และ $z2 = (-4, -1)$ แล้วหาค่าของ $2z1 + 3z2$ จะได้ผลลัพธ์เป็นอะไร?

ผลลัพธ์คือ $(-6, -9)$ Signup and view all the answers

จำนวนนับเชิงซ้อน $z = a + bi$ กับค่าจริง $a = Re(z)$ และค่าจินตภาพ $b = Im(z)$ มีความหมายอย่างไร?

a หมายถึงส่วนจริงของจำนวนนับเชิงซ้อน ส่วน b หมายถึงส่วนจินตภาพของจำนวนนั้น Signup and view all the answers

หาอินเวอร์สการคูณของ $z2 = (-4, -1)$?

อินเวอร์สการคูณคือ $(-rac{1}{4}, rac{1}{4})$ Signup and view all the answers

ในการคำนวณค่าของ i มีค่าหลังจากยกกำลังแล้วเป็นอย่างไร?

i มีค่าหลังจากยกกำลังจะหมุนเวียนระหว่าง 4 ค่าคือ $i, -1, -i, 1$ Signup and view all the answers

ถ้าต้องการหาค่าของ $(3, -2) imes (5, 4)$ จะได้ผลลัพธ์เป็นเท่าไร?

ผลลัพธ์คือ $(-8, 22)$ Signup and view all the answers

หาค่าของ $i^{29}$ จะได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนใด?

ผลลัพธ์คือ $i$ Signup and view all the answers

จำนวนนับเชิงซ้อนสามารถแสดงในรูปของเวกเตอร์ได้อย่างไร?

สามารถแสดงได้ในรูปคู่ค่า $(a, b)$ ในระนาบเชิงซ้อน Signup and view all the answers

ทำไมบางตําราใช้ j แทน i ในวงการกระแสไฟฟ้า?

เพื่อป้องกันการสับสนระหว่างตัวแปร i กับ j ในสาขาอื่น Signup and view all the answers

ผลของ $i^{135} + i^{136} + i^{137} + i^{138}$ จะมีค่าเป็นใด?

ผลลัพธ์คือ $2i$ Signup and view all the answers

การคำนวณบวก ลบ คูณ และหารจำนวนนับเชิงซ้อนมีวิธีการอย่างไร?

ต้องปฏิบัติเสมือนว่า i เป็นตัวแปรหนึ่ง และเมื่อ i^2 จะต้องเท่ากับ -1 Signup and view all the answers

หาค่าของ $(x, y)$ เมื่อ $(x, y) + (-2, 4) = (-4, -1)$ จะได้อะไร?

ค่าที่ได้คือ $(-2, -5)$ Signup and view all the answers

อธิบายถึงระนาบเชิงซ้อนและแกนที่เกี่ยวข้องในนั้น?

ระนาบเชิงซ้อนมีแกนจริง (Real Axis) และแกนจินตภาพ (Imaginary Axis) ที่ตั้งฉากกัน Signup and view all the answers

ถ้าสมมติ z1 = 3 - 2i, ค่าของ Re(z1) และ Im(z1) จะเป็นอย่างไร?

Re(z1) = 3 และ Im(z1) = -2 Signup and view all the answers

ค่าของ i เท่ากับเท่าใดเมื่อยกกำลัง 4?

i^4 เท่ากับ 1 Signup and view all the answers

การเขียนเวกเตอร์ในจำนวนนับเชิงซ้อนแตกต่างจากการเขียนเวกเตอร์ในนามธรรมอย่างไร?

สำหรับจำนวนนับเชิงซ้อน ไม่มีสัญลักษณ์อะไรร่วมกับแกนจริงและมี i ในแกนจินตภาพ Signup and view all the answers

ในกรณีของ i^5 จะมีค่าเช่นไร?

i^5 เท่ากับ i Signup and view all the answers

อธิบายเงื่อนไขที่ทำให้จำนวนนิมิต a + bi เท่ากับ c + di?

จำนวนนิมิต a + bi จะเท่ากับ c + di เมื่อตรงตามเงื่อนไข a = c และ b = d. Signup and view all the answers

การบวกของจำนวนนิมิต (a + bi) และ (c + di) เป็นอย่างไร?

ผลบวกของจำนวนนิมิตคือ (a + c) + (b + d)i. Signup and view all the answers

แสดงผลคูณของจำนวนนิมิต (a + bi) และ (c + di)?

ผลคูณคือ (ac - bd) + (ad + bc)i. Signup and view all the answers

จำนวนนิมิตถือว่ามีสมบัติคล้ายสมบัติของจำนวนนับอย่างไร?

จำนวนนิมิตมีสมบัติการปิด, การสลับที่, และการแจกแจงเหมือนจำนวนนับ. Signup and view all the answers

เอกลักษณ์การบวกของจำนวนนิมิตคืออะไร?

เอกลักษณ์การบวกคือ 0 หรือ 0 + 0i หรือ (0, 0). Signup and view all the answers

อินเวอร์สการบวกของจำนวนนิมิต z = a + bi คืออะไร?

อินเวอร์สการบวกของ z คือ -z = -a - bi. Signup and view all the answers

อินเวอร์สการคูณของจำนวนนิมิต z = a + bi จะอยู่ในรูปใด?

อินเวอร์สการคูณคือ z^{-1} = 1/z = (a - bi) / (a^2 + b^2). Signup and view all the answers

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับอินเวอร์สการคูณคืออะไร?

ทฤษฎีบทระบุว่า (z1z2)^{-1} = z1^{-1} z2^{-1}. Signup and view all the answers

สมบัติที่เป็นเอกลักษณ์ในการคูณของจำนวนนิมิตคืออะไร?

เอกลักษณ์การคูณคือ 1 หรือ 1 + 0i หรือ (1, 0). Signup and view all the answers

จำนวนนิมิตเป็นส่วนหนึ่งของประเภทใดของจำนวน?

จำนวนนิมิตเป็นประเภทของจำนวนเชิงซ้อน. Signup and view all the answers

จงอธิบายว่าทำไมค่าของ $z$ ต้องเป็นจำนวนนับเท่านั้น?

เพราะถ้า $z$ เป็นจำนวนนับ มันจะต้องมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ 0 เสมอ. Signup and view all the answers

การหาค่าของ $z_2$ จากสมการ $z_1z_2 - z_2 = i$ มีวิธีการอย่างไร?

ใช้การจัดรูปสมการเป็น $z_2(z_1 - 1) = i$ และหาค่าของ $z_2$ ได้จาก $z_2 = rac{i}{z_1 - 1}$. Signup and view all the answers

ถ้า $z_1 = 1 + 2i$ และ $z_2$ ถูกกำหนดจาก $z_1 z_2 - z_2 = i$, จงหาค่าของ $z_2 - 1$.

$z_2 - 1 = -2$. Signup and view all the answers

ให้หาค่า $z$ เมื่อ $z = (2 - i)^2(1 + i)$.

ค่าของ $z$ คือ $25$. Signup and view all the answers

ในการหาค่าคงที่ $z$ จากสมการ $z + 12 = 2z + 3$ จะมีวิธีการอย่างไร?

ปรับสมการให้เป็น $z = 9$. Signup and view all the answers

ถ้า $z = (1 + 3i)(3 - i)(1 + i)$ ให้หาค่า $z^{-1}$.

ค่า $z^{-1} = rac{1}{z}$ จะต้องคำนวณเหนือตัวแปรทั้งหมด. Signup and view all the answers

ระบบสมการที่ให้ $z + z^3 - 1 + 2i = 1$ จงหาค่าของ $z$.

ค่า $z$ จะมีค่าเป็น $a + bi$ ที่สอดคล้องตามสมการนั้น. Signup and view all the answers

ถ้าสมการ $z + (3 - 2i) = 1$, หาค่า $z$.

$z = -2 + 2i$. Signup and view all the answers

ในการหาค่าของ $Re rac{1 + z}{1 - z}$ เมื่อ $z eq 1$ มีวิธีอย่างไร?

ทำการคูณโดยการสร้างเงื่อนไขใหม่ให้ทั้งสองข้างของสมการ. Signup and view all the answers

ข้อใดไม่ใช่กราฟวงกลม?

จะต้องดูที่สมการที่ไม่เกี่ยวข้องกับรูปวงกลม. Signup and view all the answers

Study Notes

ระบบจํานวนเชิงซ้อน

ระบบจํานวนที่ใช้กันทั่วไปคือจํานวนจริง (Real Number; R)
บางสมการไม่สามารถหา คําตอบที่เป็นจํานวนจริงได้ เช่น (x^2 + 4 = 0)
การสมมติจํานวนใหม่เรียกว่า จํานวนจินตภาพ (Imaginary Number; I m)
จํานวนจินตภาพและจํานวนจริงรวมกันเป็น ระบบจํานวนเชิงซ้อน (Complex Number; C)
มีประโยชน์ในการคํานวณทางวิศวกรรม เช่น วงจรไฟฟ้ากระแสสลับ

ลักษณะของจํานวนจินตภาพ

รูปแบบของจํานวนจินตภาพเป็น (bi) โดยที่ (b) เป็นจํานวนจริง และ (i = \sqrt{-1})
ตัวอย่างสมการ (x^2 + 4 = 0) จะได้คําตอบ (x = \pm 2i)

ลักษณะของจํานวนเชิงซ้อน

รูปแบบทั่วไปคือ (a + bi) โดย (a) เป็นส่วนจริง และ (b) เป็นส่วนจินตภาพ
มักแทนตัวแปรด้วย (z) และค่าส่วนจริงกับส่วนจินตภาพเขียนเป็น (Re(z)) และ (Im(z))

การคํานวณกับจํานวนเชิงซ้อน

ให้มอง (i) เป็นตัวแปรหนึ่ง โดยที่ (i^2 = -1)
การเท่ากัน: (a + bi = c + di) ต้องมี (a = c) และ (b = d)
การบวก: ((a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i)
การคูณ: ((a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i)

สมบัติของจํานวนเชิงซ้อน

มีสมบัติเดียวกับจํานวนจริง เช่น สมบัติปิด, สมบัติการสลับที่, และสมบัติการแจกแจง
เอกลักษณ์การบวกคือ (0) และเอกลักษณ์การคูณคือ (1)

การหารจํานวนเชิงซ้อน

อินเวอร์สการบวกของ (z = a + bi) คือ (-z = -a - bi)
อินเวอร์สการคูณคือ (z^{-1} = \frac{1}{z} = \frac{a - bi}{a^2 + b^2})

อินเวอร์สการคูณ

( (z_1 z_2)^{-1} = z_1^{-1} z_2^{-1} ) และ ((z^n)^{-1} = z^{-n})
ในระบบจํานวนเชิงซ้อนไม่มีการเปรียบเทียบมากกว่า-น้อยกว่า

ตัวอย่างการคํานวณ

ตัวอย่างที่แสดงการบวก ลบ คูณ และหารของจํานวนเชิงซ้อน เช่น (z_1 = 3 - 2i) และ (z_2 = 1 + i)

แบบฝึกหัด

มีแบบฝึกหัดให้หาผลบวก ลบ คูณ และหารของจํานวนเชิงซ้อน และหาค่าอินเวอร์สการบวกและคูณสำหรับจํานวนเชิงซ้อนต่าง ๆ

สรุป

ระบบจํานวนเชิงซ้อนมีส่วนประกอบที่สำคัญในการคํานวณในสาขาต่าง ๆ เช่น วิศวกรรมศาสตร์และฟิสิกส์
การเข้าใจและคำนวณจํานวนเชิงซ้อนเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับการศึกษาต่อในวิชาคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์

Studying That Suits You

Use AI to generate personalized quizzes and flashcards to suit your learning preferences.

Description

บทที่ ๑๐ นี้จะพูดถึงระบบจำนวนเชิงซ้อน ข้อความนี้เน้นการศึกษาและการใช้งานของระบบจำนวนจริง รวมถึงความสัมพันธ์กับสมการบางสมการในด้านต่าง ๆ. ร่วมสำรวจความเข้าใจในหัวข้อนี้กันได้เลย!