UE 106 - Investissements et Marchés Financiers - Partie 2 2022-2023 PDF

UE 106 - INVESTISSEMENTS ET MARCHÉS FINANCIERS Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena PARTIE 2 : RISQUE ET RENTABILITÉ 3 Objectifs Comprendre le mode de calcul et l'utilité des indices boursiers Savoir calculer un taux de rentabilité sur des cours et dividendes corrigés Maîtri...

UE 106 - INVESTISSEMENTS ET MARCHÉS FINANCIERS Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena PARTIE 2 : RISQUE ET RENTABILITÉ 3 Objectifs Comprendre le mode de calcul et l'utilité des indices boursiers Savoir calculer un taux de rentabilité sur des cours et dividendes corrigés Maîtriser le concept de taux continu Comprendre le caractère aléatoire des taux de rentabilité et savoir caractériser leur distribution de probabilité Savoir calculer le risque d'un actif à partir de sa volatilité et de sa Value at Risk (VaR) Savoir décomposer le risque d'un actif à partir du modèle de marché Comprendre le concept de portefeuille Savoir calculer la rentabilité et le risque d'un portefeuille Maîtriser le concept et les techniques de diversification Savoir caractériser un portefeuille de variance minimale et savoir calculer ses caractéristiques Maîtriser le concept de frontière efficiente Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 4 Plan de la partie Chapitre 1 : Les indices d'actions 1. Utilité 2. Méthodologie 3. Les ETF (Exchange Traded Funds) ou FIC (Fonds Indiciels Cotés) Chapitre 2 : Le taux de rentabilité 1. Définition 2. Correction des cours 3. Taux discret et taux continu Chapitre 3 : Distribution des taux de rentabilité 1. Rappels de probabilités 2. Taux de rentabilité et loi normale 3. Mesures du risque 1. Ecart-type et volatilité 2. Value at Risk (VaR) Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 5 Plan de la partie (suite) Chapitre 4 : Rentabilité et risque d'un portefeuille 1. Rappels de probabilités 2. La notion de portefeuille 3. Le cas de 2 actifs 4. Diversification naïve 1. Effet de la diversification 2. Modèle de marché et décomposition du risque Chapitre 5 : Théorie du portefeuille 1. Caractérisation des portefeuilles de variance minimale 2. Caractérisation des portefeuilles efficients 3. Le portefeuille de variance minimale globale 4. VaR d'un portefeuille Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 6 LES INDICES D'ACTIONS Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 7 Utilité des indices Représenter les évolutions boursières Servir de référence (benchmark) à une gestion de portefeuille : – Indices d’actions : classiques : CAC 40, S&P 500, DJIA plus récemment smart beta : low volatility, high dividend Servir de support à d’autres titres : – Options (sur indice) – Futures (sur indices) – ETF (Exchange Traded Fund) : fonds indiciel coté Servir de référence à certaines mesures réglementaires Rule 80B (NYSE) : jusqu'à avril 2013, une baisse du DJIA de 10%, 20% ou 30% entraînait une interruption des cotations (trading halt) de 30 minutes, 1 heure, 2 heures, voire une suspension des cotations jusqu'à la fin de la journée. [La règle a été supprimée depuis au profit de coupe-circuits individuels] Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 8 Différents indices pour différents objectifs Indices généralistes – Mondiaux : Global Titan, MSCI EAFE – Par zone : STOXX 600, EURO STOXX 50 – Par pays : S&P 500, CAC 40 – Par secteur d'activité : EURO STOXX Banks, STOXX Europe 600 Media Indices profilés (suivant une caractéristique d’entreprise) – Suivant la taille : Small Cap 600 – Suivant la qualité des entreprises : indices RAFI – Suivant la maturité des entreprises : Russell 3000 value – La structure du capital, German Entrepreneurial Index (GEX, dirigeants et actionnaires > 25%) – Événement distribution : S&P500 Buyback Index Indices liés à un style de gestion – Indices de volatilité (VIX) – DJ sustainability index; indice chrétien (MSCI USA Catholic Values Index) Indices Smart Beta (pour une exposition à certains facteurs) – iSTOXX Europe Size factor, iSTOXX Europe Multi-Factor – S&P 500 Momentum Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 9 Méthodologie Combien d'actions ? – La plupart du temps le nombre de titres est stable (e.g. CAC 40) Quels critères de sélection (et de radiation) des actions? – Géographiques – Liquidité (flottant, taux de rotation), représentativité (sectorielle) – Profilés (indices de styles) ou degré d'exposition à un facteur en Smart Beta Avec ou sans les dividendes ? – Price return index vs. Total return index. Dans un indice Total return, les dividendes sont réinvestis au taux de l’indice nu – Exemple : S&P 500 (price return index) vs. SPTR (S&P Total Return) Comment calculer l'indice en l'absence des cours ? – Les indices sont calculés et non négociés – Calculé ‘au dernier cours disponible, Plus rarement, calcul à partir du prix milieu de la fourchette Quel type de pondération? – Pondération par la capitalisation flottante (CAC 40 depuis 2003, S&P 500 depuis 2005) – Avec limitation (plafonnement) du poids le plus souvent Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 10 Capitalisation flottante Capitalisation boursière (en €) – produit du cours à un instant donné par le nombre total de titres en circulation Flottant (en €) – mesure la part de la capitalisation susceptible d'être échangée en bourse. Sa définition est forcément subjective. Exemple : le 28 juin 2017 (source Boursorama) Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena  11 Calcul de l'indice pondéré nu (I) La valeur de l'indice à la date 𝑡 est calculée comme : Où 𝐶𝐵!,# est la capitalisation (flottante) du titre 𝑖 à la date 𝑡, 𝑛 est le nombre de titres, 𝐶𝐵𝐴# est la capitalisation (flottante) en base ajustée à la date 𝑡 et 𝐵𝑎𝑠𝑒 est la valeur de l'indice à sa création (généralement 1 ou 1000) A la date d'origine de l'indice (date 0) : L'indice doit uniquement refléter les variations de valeur des titres : – Avec 𝐶𝐵!,# , la capitalisation flottante, jouent un effet prix et un effet volume – Il convient donc de neutraliser l'effet volume pour ne refléter que les variations de valeur – L'effet volume se produit lors d'accidents de capitalisation : Entrée et sortie simultanée de titres ayant des capitalisations (flottantes) différentes Augmentation de capital en numéraire Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 12 Calcul de l'indice pondéré nu (II) Gestion des accidents de capitalisation – On suppose 2 instants infiniment proches (𝑡 − 1) et 𝑡 de sorte que la seule source de variation de l'indice est un accident de capitalisation – La valeur de l'indice devant rester inchangée, la neutralisation de l'accident de capitalisation s'obtient en ajustant la valeur de la capitalisation en base ajustée : Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 13 Exemple Le conseil scientifique de l’indice CAC40 a décidé lors de sa dernière réunion que l’action Alstom serait remplacée à compter du mardi 2 avril 2002 par l’action Vinci. Le vendredi 29 mars 2002 (précédant le week- end pascal) en clôture de séance : – la capitalisation de l’indice est de 884.286.873.003€, la valeur de l’indice de 4462,99, la capitalisation d’Alstom de 2.978.808.588€ et celle de Vinci de 5.948.409.441€. – Quel est le sens et la valeur de l’accident de capitalisation ? – Quelle est la valeur de la capitalisation boursière de base ajustée de l’indice à l’ouverture de la séance du mardi 2 (après le week- end pascal) ? Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 15 Les ETF (Fonds Indiciel Cotés) Un indice est calculé mais n'est pas négociable Depuis 1993 aux USA et 2001 en France, les indices peuvent cependant être négociés via un ETF Un ETF est un produit coté en continu à la manière d'une action et qui permet, à travers un titre unique, d'obtenir une exposition aux variations d'un panier de titres Exemple : Lyxor ETF CAC 40 Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 16 Structure d'un ETF (I) Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 17 Structure d'un ETF (II) Les investisseurs en ETF n'interviennent que sur le marché secondaire où ils peuvent passer des ordres à cours limité, au marché, effectuer des ventes à découvert, etc. Sous l'effet des offres/demandes sur le marché secondaire, le cours de l'ETF peut être amené à monter/baisser, sans relation avec les variations de l'indice ou du panier de titres qu'il réplique Le rôle des PA est de rétablir le lien entre la valeur de l'ETF et l'indice sous-jacent Le rétablissement du lien est opéré par les PA en recourant à des transactions d'arbitrage sur l'ETF et en utilisant le mécanisme de création/rédemption avec le sponsor (gérant de fonds) de l'ETF Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena  18 Structure d'un ETF (III) Exemple : le cours de l'ETF décale à la hausse par rapport au cours de l'indice (tracking difference positive) – Le PA achète les actions du panier (les 40 actions du CAC) et vend à découvert l'ETF sur le marché secondaire. Il réalise ainsi un profit d'arbitrage égal à la tracking difference. – Les ventes du PA ont pour effet de ramener le cours de l'ETF vers la valeur de l'indice sur le marché secondaire – Le PA remet au sponsor le panier de titres achetés et reçoit en échange des unités d'ETF qui seront remises aux investisseurs à qui le PA a vendu l'ETF à découvert – Il y a ici création de nouvelles parts d'ETF. En cas de tracking différence négative, l'opération inverse aurait été réalisée (rédemption de parts d'ETF) – Le fonds géré par le sponsor voit donc sa taille croître (décroître) en fonction des créations (rédemptions). AuM Lyxor CAC 40 = 3 762 M€ au 24/03/2021 – Ce mécanisme permet de garantir une tracking difference faible, une tracking error (écart-type de la tracking difference) faible et une forte corrélation entre les variations de l'ETF et celles de l'indice (quasiment 100%) Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 19 Evolution des indices sur longue période Small caps Etats-Unis Large caps Obligs corporate US Inflation Questions : 1. Pourquoi de telles différences dans les valeurs terminales ? 2. Pourquoi les actifs connaissent-ils des évolutions plus ou moins heurtées ? Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 20 TAUX DE RENTABILITÉ Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 21 Définition Le taux de rentabilité (rate of return ou return) correspond à l'accroissement relatif de richesse Ne pas confondre avec le taux de rendement (dividend yield) qui correspond au rapport dividende/cours Le taux de rentabilité (ou rentabilité) se calcule comme : Avec 𝑃+,- cours ajusté de l'action 𝑖 à la date 𝑡 et 𝐷+,- le dividende (éventuel) détaché par l'action 𝑖 à la date 𝑡 Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena  22 Pourquoi ajuster les cours (et dividendes) ? Le 7/07/2008 Alstom Alstom autour du 7 juillet 2008 procède à une division de nominal à raison de 2 actions nouvelles pour 1 ancienne. Du fait de cette opération sur titres (OST), le cours brut est mécaniquement divisé par 2 Le taux de rentabilité brut de -50% (environ) est sans rapport avec un changement de la valeur intrinsèque de l'entreprise perçue par les investisseurs Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 23 Comment corriger (I) La correction passe par le calcul et l'application d'un coefficient d'ajustement Le coefficient se calcule comme : Deux possibilités de correction : – En amont : multiplication des cours et dividendes strictement antérieurs à l'opération par le coefficient correcteur – En aval : division des cours et des dividendes du jour et postérieurs par le coefficient correcteur – Note : la correction en amont présente l'avantage d'aligner le cours corrigé avec le dernier cours brut connu Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 24 Comment corriger (II) Exemple Alstom autour du 7 juillet 2008 Date Brut Ajust. Amont Ajust. Aval 19/06/2008 161.92 80.96 161.92 20/06/2008 157.85 78.925 157.85 23/06/2008 156.16 78.08 156.16 24/06/2008 150.9 75.45 150.9 25/06/2008 148.94 74.47 148.94 26/06/2008 145.21 72.605 145.21 27/06/2008 146.3 73.15 146.3 30/06/2008 146.67 73.335 146.67 01/07/2008 147.89 73.945 147.89 02/07/2008 147.34 73.67 147.34 03/07/2008 152.34 76.17 152.34 04/07/2008 148.33 74.165 148.33 07/07/2008 76.05 76.05 152.1 08/07/2008 70.86 70.86 141.72 09/07/2008 72.12 72.12 144.24 10/07/2008 67 67 134 11/07/2008 63.78 63.78 127.56 14/07/2008 66.07 66.07 132.14 15/07/2008 66.1 66.1 132.2 16/07/2008 71.71 71.71 143.42 17/07/2008 73.56 73.56 147.12 18/07/2008 71.63 71.63 143.26 21/07/2008 73.67 73.67 147.34 22/07/2008 75.84 75.84 151.68 23/07/2008 76.33 76.33 152.66 Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 25 Taux de rentabilité continu (I) Investissement d'une somme 𝑆 au taux annuel 𝑟 pendant 𝑇 années. L'objectif est de la calculer la valeur future 𝑉 – Capitalisation annuelle des intérêts : – Capitalisation semestrielle au taux proportionnel 𝑟/2 : – Capitalisation k fois par an au taux proportionnel 𝑟/𝑘 : – On cherche l'expression de la valeur acquise lorsque 𝑘 ⟶ +∞ – On notera au passage que l'opérateur de composition en taux continu est la fonction exponentielle Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 26 Taux de rentabilité continu (II) L'utilisation d'un taux proportionnel entraîne des différences entre les valeurs futures selon la fréquence de composition (𝑉! ≠ 𝑉" ≠ ⋯ ≠ 𝑉#) On cherche le taux 𝑟 $ tel que 𝑉! est égal à 𝑉# : 𝑟 $ est appelé le taux continu équivalent au taux discret 𝑟 Le passage inverse de 𝑟 $ à 𝑟 est immédiat : 𝑟 $ = ln 1 + r ⇒ $ 𝑟 = 𝑒% − 1 Remarque : pour des taux faibles, ou sur des intervalles de temps courts (𝑟 ≃ 0), le taux discret et le taux équivalent sont identiques. Preuve : en utilisant un développement de Taylor d'ordre 1, Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 27 Intérêt des taux continu (I) Composition des intérêts périodiques – L'investissement sur T années se fait aux annuels successifs 𝑟! , 𝑟" , ⋯ , 𝑟# en taux discrets et 𝑟!$ , 𝑟"$ , ⋯ , 𝑟#$ en taux continus équivalents – Valeur future si l'on utilise les taux discrets : – Valeur future si l'on utilise les taux continus : – Conclusion : le taux global en continu correspond à la somme des taux périodiques (propriété d'additivité). La composition des taux discret est beaucoup plus complexe. Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 28 Intérêt des taux continu (II) Implication pour le calcul du taux moyen périodique de placement – On cherche le taux annuel moyen de placement sachant que le placement sur chaque année s'est fait à un taux périodique différent – En taux discret : le taux moyen est donné par la moyenne géométrique des taux périodiques – En taux continu : le taux moyen est donné par la moyenne arithmétique des taux périodiques Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 29 Intérêt des taux continus (III) Les taux continus présentent d'autres intérêts : – Le taux discret appartient à l'intervalle [−100% ; +∞[ là où le taux continu appartient à l'intervalle [−∞; +∞[ car ln(1 − 100%) = −∞. Le caractère asymétrique des taux discrets complexifie la modélisation – En supposant que les taux soient normalement distribués (cf. infra) : Des taux discrets normalement distribués peuvent entraîner des prix négatifs (taux de rentabilité inférieur à – 100%. Cf. infra) Des taux continus normalement distribués ne peuvent pas produire de prix négatifs (taux continus normaux ⇒ distribution log-normale des prix et donc des prix toujours positifs. Cf. infra) Les taux continus présentent cependant un inconvénient lorsqu'il s'agit d'agréger les taux de rentabilité de différents actifs dans un portefeuille (cf. infra). Ce problème ne concerne pas les taux discrets. Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 30 Annualisation d'un taux de rentabilité Les taux sont de rentabilité sont normalement exprimés en base annuelle Sur un trimestre le cours passe de 90 à 100. La rentabilité trimestrielle est égale à : &'' – Taux discret : 𝑟% = − 1 = +11,11% (' – Taux continu : 𝑟%) = ln 1 + 11,11% = +10,53% Quel est le taux annuel équivalent ? – Taux discret : 𝑟* = (1 + 𝑟% )+ −1 = 52,42% – Taux continu : 𝑟*) = 4×𝑟%) = 42,14% Cours espéré dans un an : – Taux discret : 90× 1 + 52,42% = 137,17 – Taux continu : 90× 𝑒 +,,&+% = 137,17 Attention : il s'agit d'une extrapolation et il y a donc de fortes chances que le cours soit différent Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 31 DISTRIBUTION DES TAUX DE RENTABILITÉ Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena RAPPELS DE PROBABILITÉS - I Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 33 Variables aléatoires et moments Considérons une variable aléatoire réelle 𝑋, i.e. prenant des valeurs dans ℝ ou une partie de ℝ. C’est ensemble s’appelle le support de 𝑋, noté Ω 𝑋. Alors, on associe une probabilité à tout évènement A (une valeur ou ensemble de valeurs que peut prendre 𝑋). Une probabilité vérifie les trois axiomes de Kolmogorov: Pour tout A, 0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1, 𝑃 Ω = 1, Pour toute famille dénombrable d’évènements deux à deux disjoints, 𝑃(𝐴! ∪ 𝐴" ∪ ⋯ ) = ∑% 𝑃(𝐴% ). Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 34 Variables aléatoires et moments X possède une distribution cumulée 𝐹(𝑥) – Pour toute valeur 𝑥 dans Ω 𝑋 , 𝐹 𝑥 = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥), et 𝑃 𝑋 > 𝑥 = 1 − 𝐹 𝑥 – Pour toutes valeurs 𝑥$ < 𝑥% dans Ω 𝑋 , 𝐹 𝑥$ ≤ 𝐹 𝑥% , – 𝑃 𝑥$ < 𝑋 ≤ 𝑥% = 𝐹 𝑥% − 𝐹(𝑥$ ). Si 𝑋 est une variable aléatoire discrète (i.e., X = {𝑥! , … , 𝑥& }) – On note 𝐸(𝑋) l'espérance de 𝑋 𝐸 𝑋 = ∑&∈((*) 𝑥𝑝 𝑥 = ∑-!,$ 𝑥! 𝑃(𝑋 = 𝑥! ), – On note Var 𝑋 , 𝜎 % 𝑋 , ou 𝜎*% la variance de 𝑋 % 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = < 𝑝 𝑥 𝑥 − 𝐸(𝑋) &∈( * Si 𝑋 est une variable aléatoire continue, elle possède une densité de probabilité 𝑓 qui vérifie 𝑃 𝑋 ∈ 𝐴 = ∫. 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ; ∫( 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1 Alors, on a 𝐸 𝑋 = ∫( * 𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥 et 𝜎*% = ∫( * 𝑥−𝐸 𝑋 % 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 35 Quantiles Quantiles d'une distribution – Si 𝑋 est une variable aléatoire continue de fonction de répartition 𝐹* 𝑥 = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥), alors le quantile 𝛼 × 100% de 𝐹* , où 𝛼 ∈ 0 ; 1 est la valeur 𝑞/ telle que : – Autrement dit, la partie de l'aire sous la densité située à gauche de 𝑞/ doit être égale à 𝛼. 0.4 𝛼 0.3 Density 0.2 0.1 0.0 -4 -2 0 2 4 X – Si la fonction inverse de la fonction de répartition existe : – La fonction 𝐹*0$ est parfois appelée la fonction quantile Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 36 TAUX DE RENTABILITÉ ET LOI NORMALE Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 37 Série temporelle des taux de rentabilité (I) Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 38 Série temporelle des taux de rentabilité (II) D'après le graphique précédent : – Les taux de rentabilité des trois titres connaissent des variations erratiques, plus ou moins importantes selon les titres (en apparence moindres sur Accor) – Ce caractère erratique induit un risque pour l'investisseur dans la mesure où le taux de rentabilité évolue dans le temps Question : comment quantifier ce risque ? On considèrera le taux de rentabilité d'une action un jour donné comme la réalisation d'une variable aléatoire, i.e. un tirage dans une loi de probabilité Dans le cadre de ce cours, on considèrera que les paramètres de la loi de probabilité sous-jacente sont stables dans le temps : hypothèse de stationnarité Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 39 Quelle loi de probabilité ? (I) Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 40 Quelle loi de probabilité ? (II) D’après le graphique précédent : – La distribution des taux de rentabilité (ici mensuels) d’une action peut être approximée par une loi normale – Cette approximation permet de simplifier de nombreux problèmes : La loi normale est entièrement caractérisée par ses deux premiers moments (espérance et écart-type/variance) La loi normale est stable par addition, i.e. la somme de plusieurs lois normales est une loi normale (cf. portefeuilles) – Elle a cependant ses limites si l’on compare aux distributions effectives. Dans la réalité : Skewness positive : distribution asymétrique avec queue de distribution plus longue à droite (médiane < moyenne) Kurtosis excessive : sur-représentation des observations extrêmes Ces deux aspects entraînent des différences entre risque effectif et risque tel qu’appréhendé par la distribution normale Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 41 RAPPELS DE PROBABILITÉS - II Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 42 La loi normale (I) Densité (probability density function) de la loi normale : Dans le cas de la loi normale standard : Fonction de répartition (cumulative density function) : Dans le cas de la loi normale standard : Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 43 La loi normale (II) 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.00 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359 0.10 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753 0.20 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141 0.30 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517 0.40 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879 0.50 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224 0.60 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549 0.70 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852 0.80 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133 0.90 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389 1.00 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621 1.10 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830 1.20 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015 1.30 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 1.40 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319 1.50 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441 1.60 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545 1.70 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633 1.80 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706 1.90 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767 2.00 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817 2.10 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857 2.20 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890 2.30 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916 2.40 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936 2.50 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952 2.60 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964 2.70 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974 2.80 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981 2.90 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986 3.00 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990 Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 44 La loi normale (III) B Calcul de 𝑃 𝑋 ≤ 𝑎 = 𝐹 𝑎 = ∫@A 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 – Pas de formule analytique mais Excel dispose de la fonction LOI.NORMALE.N(a ; µ ; σ ; vrai|faux). Exemple : 𝑃 𝑋 ≤ 0,2 , 𝑋 ∼ 𝒩(0,1; 0,25) → LOI.NORMALE.N(0,2 ; 0,1 ; 0,25 ; vrai) = 0.655 Note : LOI.NORMALE.N(0,2 ; 0,1 ; 0,25 ; faux) retourne 𝑓 0,2 = 1,473 C Calcul de 𝑃 𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏 = F b − F a = ∫B 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 – Exemple : 𝑃 −0,1 ≤ 𝑋 ≤ 0,2 , 𝑋 ∼ 𝒩(0,1; 0,25) → LOI.NORMALE.N(0,2 ; 0,1 ; 0,25 ; vrai) - LOI.NORMALE.N(-0,1 ; 0,1 ; 0,25 ; vrai) = 0,444 Il est également possible de passer par la loi normale standard et d'utiliser les valeurs tabulées de cette loi Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 45 La loi normale (IV) '() +() +() – Si 𝑋 ∼ 𝒩(𝜇; 𝜎), 𝑃 𝑋 ≤ 𝑎 = 𝑃 ≤ =P 𝑍≤ * * * – Par symétrie de la loi normale standard par rapport à 0, 𝑃 𝑍 ≤ −𝑎 = 𝑃 𝑍 ≥ 𝑎 -, – Puisque ∫(, 𝜙 𝑥 𝑑𝑥 = 1 , 𝑃 𝑍 ≥ 𝑎 = 1 − 𝑃(𝑍 ≤ 𝑎) ',,.',& Exemple 1 : 𝑋 ∼ 𝒩(0,1; 0,25), 𝑃 𝑋 ≤ 0,2 = P 𝑍 ≤ = ',,/ 𝑃 𝑍 ≤ 0,4 = 0,6554. Exemple 2 : 𝑋 ∼ 𝒩(0,1; 0,25), 𝑃 𝑋 ≤ −0,28 = 𝑃(𝑍 ≤ −1,52). Par symétrie de la loi normale standard par rapport à 0, 𝑃 𝑍 ≤ −1,52 = 𝑃 𝑍 ≥ 1,52 = 1 − 𝑃 𝑍 ≤ 1,52 = 1 − 0,9357 = 0,0643. – Vérification 1 : LOI.NORMALE.N(-0,28 ; 0,1 ; 0,25; VRAI) = 0,06425 – Vérification 2 : LOI.NORMALE.STANDARD.N(-1,52 ; VRAI) = 0,06425 Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 46 MESURES DU RISQUE Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 47 Ecart-type et volatilité (I) Rappel : on considère les taux de rentabilité successifs comme des tirages dans une loi normale de paramètres constants µ et 𝜎 → 𝑟. = 𝜇 + 𝜀. , 𝜀. ~𝒩(0, 𝜎) Plus 𝜎 est élevé, plus l'incertitude sur le taux de rentabilité qui sera réalisé est importante et plus le risque est élevé Exemple : En supposant µ = 0, quelle est la probabilité que le prochain taux de rentabilité soit compris entre -1% et +1% si l'écart-type est de 1%, 5%, 10% ? LOI.NORMALE.N(1%;0;1%;VRAI)-LOI.NORMALE.N(-1%;0;1%;VRAI) = 68,27% LOI.NORMALE.N(1%;0;5%;VRAI)-LOI.NORMALE.N(-1%;0;5%;VRAI) = 15,85% LOI.NORMALE.N(1%;0;10%;VRAI)-LOI.NORMALE.N(-1%;0;10%;VRAI) = 7,97% Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 48 Ecart-type et volatilité (II) En finance, l'écart-type porte le nom de volatilité et est assimilé au risque d'une action La volatilité est toujours exprimée en base annuelle sur les marchés → des conversions sont parfois nécessaires On suppose que l'écart-type du taux de rentabilité mensuel est 𝜎0. Quelle est la volatilité annuelle ? – 𝑟* = 𝑟0,& + 𝑟0,, + ⋯ + 𝑟0,&, (en taux continus uniquement) – – En supposant les taux de rentabilité i.i.d., 𝑉𝑎𝑟 𝑟* = ∑&, #1& 𝑉𝑎𝑟(𝑟0,# ) et comme la distribution est stationnaire, 𝑉𝑎𝑟 𝑟* = 12×𝑉𝑎𝑟 𝑟0. Par conséquent : Attention, même si les v.a. 𝑟0,2 , ∀𝑗 sont identiquement distribuées, 𝑟0,! + 𝑟0,2 ≠ 2𝑟0 , et donc 𝑉𝑎𝑟 𝑟0,! + 𝑟0,2 ≠ 4𝑉𝑎𝑟 𝑟0. Conclusion : la variance est proportionnelle à l'intervalle de temps tandis que la volatilité est proportionnelle à la racine carrée de l'intervalle de temps Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 49 Risques comparés Le graphique ci-contre présente la distribution des taux de rentabilité de 4 actifs : actions de petite capitalisation, obligations AAA, obligations du Trésor Américain et indice S&P 500. A quel graphe correspondent les différents actifs ? Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 50 Taux discrets et taux continus Pourquoi les taux continus sont-ils préférables ? – Slide précédent : propriété intéressante d'additivité pour annualiser la volatilité (possible en taux discret si 𝑟 ≃ 0) – Les taux discrets peuvent générer des prix négatifs : – D'où, si 𝑟. < −1 et 𝑃._! > 0, alors 𝑃. < 0. – En taux continu : – Du fait que 𝑒 0 > 0 ∀𝑥, impossibilité de prix négatif – Rappel : si les taux continus sont normalement distribués, les prix possèdent une distribution log-normale Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 51 Estimation de la volatilité (I) La façon la plus simple d'estimer la volatilité d'un titre 𝑖 est de calculer l'écart-type de ses taux de rentabilité sur un historique de données. On a alors : avec Cette approche est valable si la volatilité est stable. Dans la réalité, la distribution des taux de rentabilité n'est pas stationnaire. Ici, évolution de la volatilité calculée chaque mois à partir de l'écart-type des taux de rentabilité sur les 20 mois qui précèdent Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 52 Estimation de la volatilité (II) Les problèmes posés par la volatilité historique : – L'utilisation d'historiques de données fait que l'estimation obtenue est en déphasage avec la réalité du marché à un instant donné en raison de la prise en compte d'informations éloignées dans le temps. Il s'ensuit d'autre part un lissage artificiel (de type moyenne mobile) de la volatilité – Dans le même temps il est nécessaire d'utiliser un nombre suffisant de données pour disposer d'une estimation raisonnablement précise – Une solution pourrait consister à utiliser des données haute fréquence (accroissement du nombre d'observations sans avoir à recourir à un passé lointain) mais les phénomènes de microstructure entraînent une importante surestimation de la volatilité réelle du fait de la présence de bruit (e.g. fourchette, impact de marché) sans lien avec l'information – Une alternative intéressante consiste à utiliser la volatilité implicite inférée à partir des prix d'options en inversant la formule de Black-Scholes. La volatilité est ici traitée comme une inconnue à déterminer (tous les autres paramètres étant eux observables) de façon à faire coïncider le prix théorique de l'option avec son prix de marché → Indice VIX (S&P 500) ou VSTOXX (Euro Stoxx 50) Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 53 Estimation de la volatilité (III) Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 54 Value at Risk – VaR (I) Mesure du risque : – Volatilité : indicateur symétrique -> considère gains comme les pertes potentielles, – Comment se focaliser sur pertes potentielles? VaR! La VaR vise à répondre à la question suivante : Quelle est la perte potentielle à un seuil de probabilité 𝜶 pour un horizon de temps 𝑻 ? Hypothèses: – Taux de rentabilité ~𝒩 𝜇, 𝜎 , avec 𝜇 et 𝜎 constants (conditions normales de marché) – Par convention, VaR toujours reportée avec un signe positif. Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 55 Value at Risk – VaR (I) Calcul VaR ⇔ Calcul de quantile. Considérons un seuil 𝜶, un horizon T et un investissement initial 𝑰𝟎 : 1. Déterminer 𝒒𝜶 tel qu’il y ait une probabilité 𝛼 que le taux de rentabilité à l’horizon T soit inférieur à 𝑞 3 5" 2. Convertir en taux discret : = 𝑒 − 1 𝑟#∗ 3. Alors, la valeur de l’investissement à T sera inférieure à 𝑰𝟎 × (1 + 𝑟#∗ ) avec proba 𝜶, donc la VaR (la perte entre 0 et T) vaut: 𝐼6 − I6 ×(1 + 𝑟#∗ ) = −𝑰𝟎 ×𝒓∗𝑻 Valeur à 0 Valeur à T 4. Interprétation du résultat : Il y a donc (1- 𝛼 )% de probabilité que la perte sur l'investissement soit inférieure à la VaR sur un horizon de T mois. Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena  56 Value at Risk – VaR (II) Exemple 1 : quelle est la VaR pour un investissement de 100 000€ dans l'action Accor au seuil de 5% sur un horizon de 1 mois sachant que le taux de rentabilité mensuel suit une loi normale de paramètres 𝜇 = 1% et 𝜎 = 8,63% ? 1. Déterminer 𝑞 1% tel que 𝑃 𝑟3 ≤ 𝑞 1% = 5%, avec 𝑟3 ~𝒩(1% ; 8,63%) !!"# Méthode 1 : Utiliser que $ ~𝒩 0, 1 et lecture dans la table de probabilité (cf. slide suivant) Méthode 2 : Fonction quantile de la loi normale est disponible sous Excel via LOI.NORMALE.INVERSE. q1% = − 13,195% le taux de rentabilité mensuel d'Accor sera inférieur à − 13,195% avec 5% de probabilité. ! 2. r4∗ = 𝑒 6 − 1 = −12,362%, 3. La VaR s'établit donc à −100 000 × −12,362% = 12 362€. Interprétation : Il y a donc une probabilité de 95% que la perte sur l'investissement soit inférieure à 12 362€ sur un horizon de 1 mois. Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena  57 Méthode 1 : Lecture dans la table et conversion 8( () Soit X = ~𝒩 0, 1 * Par convention, on écrit 𝚽 𝒒 = 𝜶 lorsque 𝑃 𝑋 < 𝑞 = 𝛼 avec X~𝒩 0, 1 1. La table ne contient que les valeur 𝛼 ≥ 50%, on utilise donc que: 607 – Si 𝑃 𝑟3 < 𝑞 = 𝛼, alors Φ 8 = 𝛼, – Comme 𝑃 𝑋 < 𝑎 = 𝑃(𝑋 ≥ −𝑎), et P 𝑋 ≥ −𝑎 + 𝑃 𝑋 < −𝑎 = 1 , alors 𝑃 𝑋 < 𝑎 = 1 − 𝑃(𝑋 < −𝑎) Donc, 𝒒.𝝁 𝚽 − = 𝟏 − 𝜶. 𝝈 2. Par lecture de la table, et on trouve Φ (! (95%)=1.645. 5() 3. * = −1.645 → 𝒒 = −𝟏𝟑, 𝟐𝟎%. Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 58 Value at Risk – VaR (III) Exemple 2 : Avec quelle probabilité la perte potentielle d’un investissement de 100 000€ dans l'action Accor sur un horizon de 1 mois dépassera 15 400€? On supposera que le taux de rentabilité mensuel suit une loi normale de paramètres 𝜇 = 1% et 𝜎 = 8,63%. – Ici, on sait que −𝐼9 ×𝑟3∗ = 15 400, donc 𝑟3∗ = −15,40%. – On en déduit que 𝑞 / = ln 1 + 𝑟3∗ , donc 𝑞 / = −16,72%. – Méthode 1 : !% "# − = 2,05. $ Par lecture dans la table, on trouve Φ 2,05 = 0.98, soit 𝛼 = 2%. – Méthode 2 : =LOI.NORMALE(-16,72%;1%;8,63%;VRAI) renvoie le résultat 2% Interprétation : La perte sur l'investissement sera supérieure à 15 400 € sur un horizon de 1 mois avec 2% de probabilité. Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 59 Value at Risk – VaR (III) Exemple 3 : quelle est la VaR pour un investissement de 100 000€ dans l'action Accor au seuil de 1% sur un horizon de 1 jour sachant que le taux de rentabilité mensuel continu suit une loi normale de paramètres 𝜇 = 1.65% et 𝜎 = 8,63% ? Note : 12 mois dans 1 année et 254 jours de bourse dans 1 année. &, 1. Taux de rentabilité journalier équivalent : 𝜇× = 0,0779% ,/+ &, 2. Volatilité journalière équivalente : 𝜎× = 1,88% ,/+ 3. On en déduit que VaR = 4204, 68€. Interprétation : Il y a donc une probabilité de 99% que la perte sur l'investissement soit inférieure à 4204 € sur un horizon de 1 jour. Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 60 Intérêts / limites de la VaR Permet de donner une vision concrète du risque en termes de pertes potentielles Quand imposé à certaines institutions, stimule une prise de conscience et un management des risques Calculée dans des conditions normales de marché → doit être complétée par des stress tests Fiabilité ? – Utilisation de données passées : en quoi les conditions à venir seront-elles comparables ? – En situation de crise, perturbation des paramètres des lois qui gouvernent la dynamique des taux de rentabilité, problème de re-corrélation des actifs (cf. infra), etc. Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 61 RENTABILITÉ ET RISQUE D'UN PORTEFEUILLE Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena RAPPELS DE CALCUL MATRICIEL Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 63 Si 𝐴 = 𝑎%E est une matrice de type (𝑚, 𝑛) et 𝐵 = (𝑏%E ) est une matrice de type 𝑛, 𝑝 , alors le produit des 2 matrices, noté 𝐴𝐵 = 𝑐%E , est une matrice de type (𝑚, 𝑝) donnée par : Associativité : 𝐴𝐵 𝐶 = 𝐴(𝐵𝐶) Distributivité : 𝐴 𝐵 + 𝐶 = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 Transposée d'un produit : 𝐴𝐵 F = 𝐵 F 𝐴′ Inverse : 𝐴(! 𝐴 = 𝐼 (𝐴(! ) (! = 𝐴 𝐴(! F = (𝐴F )(! Si 𝐴 est symétrique, alors 𝐴(! est symétrique (𝐴𝐵)(! = 𝐵 (! 𝐴(! Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 64 Dérivées dans le cadre du calcul matriciel: 𝜕𝐴[ 𝑋 =𝐴 𝜕𝑋 𝜕𝑋 [ 𝑋 = 2𝑋 𝜕𝑋 𝜕𝑋 [ 𝐴𝑋 = 2𝐴𝑋 𝜕𝑋 𝜕𝑋 [ 𝐴𝑌 = 𝐴𝑌 𝜕𝑋 Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena RAPPELS DE PROBABILITÉS - III Fabrice Riva - Juan Raposo - Vincent Tena 66 Distribution jointe On considère 2 variables aléatoires discrètes 𝑋 et 𝑌 dont la distribution jointe est présentée dans la table ci-après. On s'intéresse à la relation entre ces 2 variables et à leur combinaison 𝑌 La loi jointe de 𝑋 et 𝑌 est donnée par 𝑝 𝑥, 𝑦 = , % 0 1 𝑃(𝑋) 𝑃(𝑋 = 𝑥, 𝑌 = 𝑦). Exemple : 𝑝 2,1 = 6 0 1/8 0 1/8 La loi marginale de 𝑋 est donnée par 𝑝7 𝑥 = 1 2/8 1/8 3/8 > 𝑋 𝑃 𝑋 = 𝑥 = ∑8 ∈ :(