رياضيات نظري محاضرة 13 PDF

# محاضرة رياضيات نظری (13) ## الموضوع: مشتقات الدوال المثلثية - y = sin x → y' = cos x - y = cos x → y' = - sin x - y = tan x → y' = sec²x - y = cot x → y' = - csc²x - y = sec x → y' = sec x * tan x - y = csc x → y' = - csc x * cot ### أوجد د' ل كل الحالات التالية (ضرب وح...

# محاضرة رياضيات نظری (13) ## الموضوع: مشتقات الدوال المثلثية - y = sin x → y' = cos x - y = cos x → y' = - sin x - y = tan x → y' = sec²x - y = cot x → y' = - csc²x - y = sec x → y' = sec x * tan x - y = csc x → y' = - csc x * cot ### أوجد د' ل كل الحالات التالية (ضرب وحقين) **a)** y = x² * sin x. y' = x² * cos x + sin x * 2x **b)** y = (cos x) / (1 + sin x) y' = (1+sinx) * (-sinx) - (cosx * cosx) / (1 + sin x)² ### ضرب داليتون Sex * tanx **c)** y = sec x * tan x y' = sec x * sec x + tan x * (sec x * tan x) = sec²x + tan²x * sec x ## قاعدة التسلسل : **مثال:** إذا كانت : dy/dx = dy/du * du/dx **y = (2x² + 3x +1)⁵ **u = 2x² + 3x+1 **du/dx = 8x + 3 **dy/du = 5u⁴ **dy/dx = 5u⁴ * ( 8x + 3) = 5(2x² + 3x + 1)⁴ * ( 8x + 3) **مثال:** **y = 5⁴ + 3u **u = 10x² * sin x **du/dx = 10x² * cos x + sin x * 20x **dy/du = 35 u⁶ + 3 **dy/dx = (35 u⁶ + 3) * (10x² * cos x + sin x * 20x) = (35(10x² * sin x)⁶ + 3) * (10x² * cos x + sin x * 20x) ## أوجد مشتقات الدوال التالية بالحرف: **y = sin² (4x + 1) ** نشتقها كأسية ثم كنسبة ثم كزاوية: y' = 2sin(4x + 1) * cos(4x + 1) * 4 **y' = tan² (x² - 1)** y' = 3tan(x² - 1) * sec² (x² - 1) * 2x **y = (1 + x² * csc x )⁵** y' = -5( 1 + x² * csc x)⁴ * (x² * csc x * cot x + csc x * 2x) **y = sin (tan (4x))** y' = cos(tan (4x)) * 2 tan (4x) * sec² (4x) * 8x ## الإشتقاق الضمني: 1. نساوي المعادلة بالصفر (نشبت الدالة على أن x ثابت يساوي صفر) - بمعنى نشتق x ونثبت y وتساويها بالصفر 2. نشق أن x) اب اليسار صفر 3. بمعنى نشتق y ونثبت x ونساويها بالصفر **1) y²+ 3y + 4x² - 5x + 1 **أولاً نصفي المعادلة y² + 3y - 4x² - 5x -1 = 0 **y' = 1(0 + 0 - 12x - 5 - 0) = (-12x + 5) / (4y² +3 +3 **2) y³ + 4xy - x² * y + x² - 5x + sin(xy) + cos x = 0 **y' = (-4y - 2yx + 3x² - 5 + cos(x²y) * 2xy - sinx) / ( 12xy² - x² + 0 + cos(x²y * x² +0) **1 ** = (-4y - 2yx + 3x² - 5 + cos(x²y) * 2xy - sinx) / (12xy² - x² + cos(x²y) * x²) **3) 2y² + sin y = 4x² **توجد عند (ر) اذا كانت 2y² + sin y - 4x² = 0 **y' = (-8x) / (6y² + cos y) = (-8 (0)) / (6(0)² + cos(0)) = 0 / 1 = 0 # مشتقة الدوال اللوغاريثمية والأسية: ## طريقة إشتقاق اللوغاريثم: - أولا نحول لو (ln) إلى كسر ونكتب الدالة كما هي في المقام ونشتقها مهما كان شكلها في البسط - إذا كانت لو (ln) تحوي أساس فإننا نضعها بجانب الدالة: ((مشتقة ما بعد اللو على ما بعد اللو * مشتقة الدالة)) **1) y = ln (( x³ * sin x) / (2 + x)) ** ln ( x³ * sin x) - ln (2 + x) ln x³ + ln sin x - ln √ (2 + x) 3ln x + ln sin x - ln √ (2 + x) **y = x / cos x + sin x / √ (2 + x) = x / cos x + sin x / √ (2 + x) = 1/cos x + cot x - 1 / 2√ (2 + x) **2) y = ln (|cos x|) **y' = 2cosx / (cos x) **= -sinx / cos x = -tanx **3) y = ln (x + 1)** **y' = 2x / (x² + 1) ## مشتقة الدالة الجذرية: **y' = 2 √(س) / (س) ## مشتقة الدالة الأسية و الدالة نفسها: **y = e^sinx **y' = e^sinx * cos x * 2x **y' = sin x * cos x² * 2x **2) y = 3tan x **y' = 3 tan x * sec² x * ln(3) **3) y = x<sup>x ** In y = In x^x = x * In x **In y' = x * In x = 0 **ln y - x * In x = 0 **y' = / (x * In x) =(x * In x) / x **y = y(x1 + In x) **y' = x (1 + In x)