Mechanica Basisconcepten Cursus - Kinematica (2024-2025) PDF

Faculteit Ingenieurswetenschappen MECHANICA: Basisconcepten Greet Van de Perre Academiejaar 2024 – 2025  1 Inhoud Deel 1: Kinematica van het punt Hoofdstuk 1: Inleiding...

Faculteit Ingenieurswetenschappen MECHANICA: Basisconcepten Greet Van de Perre Academiejaar 2024 – 2025  1 Inhoud Deel 1: Kinematica van het punt Hoofdstuk 1: Inleiding 3 1.1 Dynamica 3 1.2 Basisbegrippen en concepten 3 1.3 Vectoriële grootheden 4 Hoofdstuk 2: Algemene kromlijnige beweging 13 2.1 Inleiding 13 2.2 Positie 13 2.3 Snelheid 14 2.4 versnelling 16 Hoofdstuk 3: Kromlijnige beweging in Cartesische assen 18 3.1 Inleiding 18 3.2 Positie 18 3.3 Snelheid 19 3.4 Versnelling 23 Hoofdstuk 4: Rechtlijnige beweging in Cartesische assen 26 4.1 Inleiding 26 4.2 Rechtlijnige beweging van het punt 26 4.3 Eenparige rechtlijnige beweging 27 4.4 Eenparige rechtlijnige versnelde beweging 28 4.5 Uitbreiding naar 2- of 3- dimensionale beweging 31 Hoofdstuk 5:Kromlijnige beweging in Frenet assen 33 5.1 Inleiding 33 5.2 Het normaalvlak 33 5.3 Het osculatievlak 34 4.4 Coördinatenstelsel van Frenet 36 5.5 Kromtestraal en torsiestraal 37 5.6 Formules van Frenet 43 5.7 Beweging in Frenet assen 49 Hoofdstuk 6:Beweging in pool-, cilinder en bolcoördinaten 54 6.1 Inleiding 54 6.2 Opstellen van de transformatiematrix voor orthogonale assenstelsels (2D) 54 6.3 Algemene transformatiematrix op basis van de Jacobiaan 56 6.4 Poolcoördinaten 57 6.5 Cilindercoördinaten 64 6.6 Bolcoördinaten 67 Hoofdstuk 7: Relatieve beweging 73 7.1 Inleiding 73 7.2 Translerende assen 73 7.3 Roterende assen 73 7.4 Algemeen bewegende assen 78  2 Deel 1 Kinematica van het punt  3 Hoofdstuk 1 Inleiding 1.1 Dynamica Mechanica is het onderdeel van de natuurkunde dat de toestand van rust of beweging van lichamen, onderhevig aan krachten, bestudeert. Naargelang de karakteristieken van het beschouwde lichaam maken we onderscheid tussen de mechanica van een puntmassa, star lichaam, vervormbaar lichaam of de vloeistofmechanica. In deze cursus beperken we ons tot de mechanica van het punt. De mechanica van het punt kan worden onderverdeeld in twee gebieden; statica en dynamica. Statica bestudeert het evenwicht van lichamen die in rust zijn of met een constante snelheid bewegen, terwijl de dynamica lichamen in een versnelde beweging bestudeert. Dynamica kan dan verder nog worden opgesplitst in de kinematica en kinetica. In de studie van de kinematica van een punt worden de verbanden bestudeerd tussen de baan, de snelheid en de versnelling van een punt, zonder daarbij rekening te houden met de specifieke oorzaak van de beweging. Er wordt dus gefocust op de geometrische aspecten van de beweging, terwijl in de kinetica de beweging wordt geanalyseerd in relatie tot de krachten die de beweging veroorzaken. 1.2 Basisbegrippen en concepten Een puntmassa heeft een massa, maar een omvang die kan worden verwaarloosd in de beschouwde context. Wanneer bijvoorbeeld de baan van de aarde om de zon wordt beschouwd, is de omvang van de aarde zeer klein in vergelijking met de grootte van de baan. In dat geval kan de aarde als puntmassa worden beschouwd. Wanneer een lichaam wordt geïdealiseerd tot puntmassa wordt de mechanica teruggebracht tot een vereenvoudigde vorm aangezien de afmetingen van het lichaam geen rol spelen in de analyse. Een star lichaam is een grote verzameling puntmassa’s, waarbij alle puntmassa’s op een vaste onderlinge afstand van elkaar blijven voor en na belasting van het lichaam. Er treed dus geen vervorming op en de materiaaleigenschappen worden dus niet in rekening genomen wanneer de krachten op het lichaam worden geanalyseerd, in tegenstelling tot de mechanica van vervormbare materialen.  4 Een kracht is de invloed die een lichaam uitoefent op een ander lichaam. Deze interactie kan gebeuren wanneer er direct contact is tussen de lichamen. In dat geval spreken we van contactkrachten, zoals bijvoorbeeld duw- en trekkrachten. Anderzijds kan een lichaam ook een kracht uitoefenen op een ander lichaam wanneer de lichamen fysisch van elkaar gescheiden zijn. Voorbeelden hiervan zijn gravitationele, elektrische en magnetische krachten. 1.3 Vectoriële grootheden 1.3.1 Scalaire en vectoriële grootheden Een grootheid die gekarakteriseerd wordt door een positief of negatief getal, wordt een scalaire grootheid genoemd. Scalaire grootheden worden aangegeven met gewone letters. Voorbeelden zijn massa m, volume V en lengte l. Een vector daarentegen, is een grootheid die wordt gekarakteriseerd door 1. een grootte (de lengte, de modulus) 2. een dragende rechte (de richting, de drager) 3. een zin op de rechte 4. aangrijpings- en eindpunt Een vectoriële grootheid wordt grafische voorgesteld door een pijl en wordt doorgaans genoteerd door een letter met een pijl of streepje erboven; 𝑣 of 𝑣̅. In sommige boeken gebruikt men als notatie een vetgedrukte letter; 𝒗. In deze cursus gebruiken we standaard een de notatie met streepje. Voorbeelden van vectoriële grootheden zijn plaats 𝑟̅ , snelheid 𝑣̅ en kracht 𝐹̅. De grootte of modulus van de vector 𝑣̅ wordt aangeduid door |𝑣̅ | of kortweg 𝑣. Er wordt een onderscheid gemaakt tussen gebonden, glijdende en vrije vectoren. Een gebonden vector heeft, zoals hierboven opgelijst, een vast aangrijpingspunt, richting, zin en lengte. Het aangrijpingspunt is eenduidig bepaald. Een glijdende vector daarentegen heeft een vaste richting, zin en lengte, maar kan vrij over zijn drager of dragende rechte glijden. Een glijdende vector kan dus overal op de rechte getekend worden: het blijft dezelfde vector. Bij een vrije vector is het aangrijpingspunt volledig willekeurig; een vrije vector kan overal op het vlak of in de ruimte geplaatst worden. 1.3.2 Vectorbewerkingen en notatie 1.3.2.1 Vermenigvuldigen met een scalair Het product van een vector 𝑣̅ en een scalair 𝑎 is de vector 𝑎𝑣̅ met grootte |𝑎𝑣|. Indien 𝑎 positief is, is de zin van 𝑎𝑣̅ dezelfde als 𝑣̅. Indien 𝑎 negatief is, is de zin tegengesteld. De  5 vermenigvuldiging van een vector met een scalair resulteert in een evenredige vector; een vector met evenwijdige drager; Figuur 1: Vermenigvuldigen en delen met een scalair. 1.3.2.2 Som van vectoren Twee vectoren 𝑣̅1 en 𝑣̅2 kunnen met behulp van de driehoeksconstructie worden opgeteld om een resulterende vector 𝑤 ̅ = 𝑣̅1 + 𝑣̅2 te vormen, door middel van de kop-staart verbinding (zie Figuur 2). Wanneer het eindpunt (kop) van vector 𝑣̅1 wordt verbonden met het aangrijpingspunt (staart) van vector 𝑣̅2 , kan de resultante 𝑤 ̅ worden getekend als de verbinding van het aangrijpingspunt van 𝑣̅1 naar het eindpunt van 𝑣̅2 ; 𝑣̅1 + 𝑣̅2 = ̅̅̅̅ 𝑂𝐴 + ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ = 𝑤 𝐴𝐵 = 𝑂𝐵 ̅ (1.1) Figuur 2: Optellen van vectoren via de driehoeksconstructie. Een alternatieve methode is het gebruik van de parallellogramregel. Hierbij worden de aangrijpingspunten van beide vectoren in hetzelfde punt aangelegd en evenwijdige lijnen aangebracht vanuit het eindpunt. De diagonaal van het parallellogram, vertrekkend vanuit het gemeenschappelijke aangrijpingspunt, is de som van beide vectoren. De som van meerdere vectoren 𝑣̅1 , 𝑣̅2 , 𝑣̅3 , … , 𝑣̅𝑛 wordt bekomen door achtereenvolgens de vectoren zo te plaatsen dat het aangrijpingspunt van elk van de vectoren samenvalt met het eindpunt van de voorgaande. De som is dan de vector 𝑤 bepaald door het beginpunt van de eerste vector en het eindpunt van de laatste (Figuur 3):  6 𝑤 ⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗ 𝑣1 + ⃗⃗⃗⃗ 𝑣2 + ⋯ + ⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑛 (1.2) Figuur 3: Uitbreiding van de vectoriële som naar meerdere vectoren. Het verschil van 𝑤̅ van twee vectoren 𝑣̅1 en 𝑣̅2 is de som van de vector 𝑣̅1 met de tegengestelde vector van 𝑣̅2 (Figuur 4): 𝑣̅1 − 𝑣̅2 = 𝑣̅1 + (−𝑣̅2 ) (1.3) Figuur 4: Verschil van vectoren. 1.3.2.3 Eenheidsvectoren De richting van een vector 𝑣̅ kan worden aangegeven met eenheidsvector 1̅𝑣. Een eenheidsvector is een vector met lengte gelijk aan 1. Indien 𝑣̅ een vector is met grootte |𝑣̅ | = 𝑣 ≠ 0, dan is de eenheidsvector 1̅𝑣 met dezelfde richting als A gegeven door: 𝑣̅ 1̅𝑣 = (1.4) 𝑣 Elke vector met drager evenwijdig aan deze van 𝑣̅ kan worden uitgedrukt in functie van de eenheidsvector 1̅𝑣 (Figuur 5): 𝑥 = 𝑥 ⃗1𝑣 (1.5)  7 Figuur 5: Eenheidvectoren. Voorbeeld 1.1 Een schroefoog is onderhevig aan twee krachten 𝐹̅1 en 𝐹̅2 , zoals aangeduid in Figuur 6 (a). Bepaal de grootte en richting van de resultante F̅𝑅. (a) (b) Figuur 6: Voorbeeld 1.1. Oplossing De resultante vector kan worden geschetst door toepassing van de parallellogramregel, zoals geïllustreerd in Figuur 6 (b). De grootte van vector F̅𝑅 kan worden bepaald door toepassing van de cosinusregel: 𝐹𝑟 = √(100 𝑁)2 + (150 𝑁)2 − 2(100 𝑁)(150 𝑁) cos(115°) = 216.6 𝑁  8 Om de richting van de resultante te bepalen wordt eerst de hoek 𝜃 bepaald met behulp van de sinusregel: 150𝑁 212.6 𝑁 = sin 𝜃 sin 115° 150 𝑁 sin 𝜃 = 0.9063 212.6 𝑁 𝜃 = 39.8° De richting 𝜙 van 𝐹𝑟 ten opzichte van de horizontale as is dus: 𝜙 = 𝜃 + 15° = 54.8° 1.3.2 Analytische vectorvoorstelling In praktische berekeningen wordt gebruikt gemaakt van een analytische vectorvoorstelling door de vectoren te gaan uitdrukken in een gekozen referentiestelsel. In tegenstelling tot de geometrische vectorvoorstelling is de algebraïsche voorstelling afhankelijk van het gekozen referentiestelsel. 1.3.2.1 Rechtshandig assenstelsel Over het algemeen wordt er gewerkt met orthogonale assen. Een cartesiaans assenstelsel bestaat uit drie orthogonale assen 𝑥 𝑦 𝑧 waarbij de eenheden op alle assen even groot zijn. Een rechthoekig of Cartesisch assenstelsel wordt rechtshandig genoemd wanneer de duim van de rechterhand in de richting van de positieve z-as wijst wanneer de wijsvinger en middenvinger respectievelijk de positieve richting van de x-as en y-as volgen, zoals weergegeven in Figuur 7(a). (a) (b) Figuur 7: Rechtshandig assenstelsel.  9 Aan elk van de assen kan een eenheidsvector worden toegekend om de richtingen van het assenstel aan te duiden Figuur 7(b). 1.3.2.2 Cartesische componenten Elke vector kan dan worden geschreven als functie van de Cartesische eenheidsvectoren. Om de corresponderende componenten te vinden wordt de vector achtereenvolgens geprojecteerd op de coördinaatsassen, dit door evenwijdige rechten met deze assen te trekken door het aangrijpingspunt en eindpunt van de vector (Figuur 8). Toepassing van de parallellogramregel toont aan dat de vector 𝑣 kan worden voorgesteld als de vectoriële som van de drie componenten: 𝑣 = ⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑥 + ⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑦 + ⃗⃗⃗ 𝑣𝑧 (1.6) Waarbij: 𝑣𝑥 = 𝑣𝑥 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 1𝑥 𝑣𝑦 = 𝑣𝑦 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 1𝑦 (1.7) 𝑣𝑧 = 𝑣𝑧 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ 1𝑧 En dus: 𝑣 = 𝑣𝑥 ⃗⃗⃗⃗ 1𝑥 + 𝑣𝑦 ⃗⃗⃗⃗ 1𝑦 + 𝑣𝑍 ⃗⃗⃗⃗ 1𝑍 (1.8) Figuur 8: Componenten van een vector in een Cartesisch assenstelsel.  10 𝑣𝑥 , 𝑣𝑦 en 𝑣𝑧 worden, respectievelijk, de 𝑥-, 𝑦- en 𝑧-componenten genoemd. De vector kan worden voorgesteld in matrixnotatie door de componenten in een kolomvector te groeperen: 1 0 0 𝑣 = 𝑣𝑥 (0)+ 𝑣𝑦 (1)+ 𝑣𝑧 (0) 0 0 1 (1.9) 𝑣𝑥 𝑣 𝑣 = ( 𝑦 ) = (𝑣𝑥 , 𝑣𝑦 , 𝑣𝑧 )𝑇 (1.10) 𝑣𝑧 Voorbeeld 1.2 Bepaal de x- en y-componenten van 𝐹̅1 en 𝐹 ̅̅̅2 zoals die op de staaf werken, gevisualiseerd in Figuur 10. Druk elke kracht uit als een cartesische vector. Bepaal de resultante. Figuur 9: Voorbeeld 1.2. Oplossing 𝐹̅1 kan worden ontbonden in x- en y-componenten met behulp van de parallellogramregel (Figuur 10 (a)). Gebruik makend van goniometrie kan de grootte van de componenten worden bepaald. Aangezien F̅1,𝑥 gericht is volgens de negatieve x-richting en F̅1,𝑦 volgens de positieve y-richting kunnen we schrijven: 𝐹1,𝑥 = −200 sin 30° 𝑁 = −100 𝑁 𝐹1,𝑦 = 200 co𝑠 30° 𝑁 = 173 𝑁 En dus:  11 𝐹̅1 = −100 1 ̅̅̅𝑥 + 173 ̅̅̅ 1𝑦 (a) (b) Figuur 10: Voorbeeld 1.2. De grootte van de componenten van ̅̅̅𝐹2 kunnen worden bepaald op grond van gelijkvormigheid van driehoeken (Figuur 10 (b)): 12 𝐹2,𝑥 = 260 𝑁 ( ) = 240 𝑁 13 5 𝐹2,𝑦 = −260 ( ) = −100 𝑁 13 En dus is: ̅̅̅𝑥 − 100 ̅̅̅ 𝐹2 = 240 1 1𝑦 De resultante kan worden bepaald door de respectievelijke componenten op te tellen: 𝐹̅𝑟 = 𝐹̅1 + ̅̅̅ 𝐹2 = −100 ̅̅̅ 1𝑥 + 173 ̅̅̅ 1𝑦 + 240 ̅̅̅ 1𝑥 − 100 ̅̅̅ 1𝑦 = 140 ̅̅̅ 1𝑥 + 73 ̅̅̅ 1𝑦  12 1.3.3 Vectoriële afgeleide De vectoriële afgeleide van een vectorfunctie r̅ is per definitie de limiet van de vectoriële verandering ∆ r̅ gedeeld door de aangroei van de parameter t, wanneer deze laatste aangroei naar 0 nadert: 𝑑𝑟̅ ∆𝑟̅ = lim 𝑑𝑡 ∆𝑡→0 ∆𝑡 (1.11) De eigenschappen van een scalaire afgeleide kunnen veralgemeend worden naar de vectoriële afgeleide: 𝑑 𝑑𝑎̅ 𝑑𝑏̅ (𝑎̅ + 𝑏̅) = + 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑 𝑑𝑎 𝑑𝑟̅ (𝑎 𝑟̅ ) = 𝑟̅ + 𝑎 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 (1.12) 𝑑 𝑑𝑎̅ 𝑑𝑏̅ (𝑎̅ × 𝑏̅) = × 𝑏̅ + 𝑎̅ × 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑 𝑑𝑎̅ 𝑑𝑏̅ (𝑎̅ ⋅ 𝑏̅) = ⋅ 𝑏̅ + 𝑎̅ 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡  13 Hoofdstuk 2 Algemene kromlijnige beweging 2.1 Inleiding In het algemene geval beschrijft een puntmassa een driedimensionale gekromde baan en spreken we van een kromlijnige beweging. De kinematica van een punt wordt gekarakteriseerd door het bepalen van de positie, snelheid en versnelling op een willekeurig tijdstip. In dit hoofdstuk worden de algemene aspecten van een kromlijnige beweging bestudeerd. 2.2 Positie De baan s van een bewegende puntmassa P is de meetkundige plaats van de opeenvolgende posities die door het punt worden ingenomen. s Figuur 11: Baan van een punt 𝑷. Voor elk tijdstip t, in een interval t0  t  te , kan de positie van het punt P op de baan worden vastgelegd ten opzichte van een vast punt O, door een gebonden vector ̅̅̅̅ 𝑂𝑃 (Figuur 11). Deze vector 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ wordt de plaatsvector genoemd en als volgt genoteerd: ̅̅̅̅(𝑡) = 𝑟̅ (𝑡) 𝑟̅ = 𝑂𝑃 (2.1)  14 De vector 𝑟̅ is een vectoriële functie, aangezien in het algemene geval, zowel de grootte als richting van de plaatsvector verandert wanneer het punt zich langst de baan beweegt. De richting van 𝑟̅ wordt aangeduid door de eenheidsvector 1𝑟̅ : 𝑟̅ (2.2) 1𝑟̅ = 𝑟 Wanneer t varieert in een interval t0  t  te beschrijft het uiteinde van de vector ̅̅̅̅ een ruimtelijke kromme s, die de hodograaf van de vectorfunctie 𝑟̅ wordt 𝑟̅ = 𝑂𝑃 genoemd en de baan van het punt P voorstelt. 2.3 Snelheid Een puntmassa P beweegt langs een baan 𝑠 in de ruimte (Figuur 12). Op een gegeven tijdstip t bevindt het punt zich op positie 𝑃𝑖 , die ten opzichte van een vast punt O kan worden geschreven als: 𝑟̅ (𝑡) = ̅̅̅̅ 𝑂𝑃𝑖 (2.3) Een tijdstip ∆t later is het punt P over een afstand ∆s verplaatst naar een nieuwe positie 𝑃𝑗 : 𝑟̅ (𝑡 + ∆𝑡) = ̅̅̅̅ 𝑂𝑃j (2.4) De verplaatsing ∆𝑟̅ geeft de plaatsverandering van het punt weer gedurende het tijdsinterval ∆t : ∆𝑟̅ = 𝑟̅ (𝑡 + ∆𝑡) – 𝑟̅ (𝑡) = ̅̅̅̅̅ 𝑂𝑃𝑗 – ̅̅̅̅̅ 𝑂𝑃𝑖 = ̅̅̅̅ 𝑃𝑖 𝑃𝑗 (2.5) s Figuur 12: Verplaatsing. De gemiddelde snelheid van de puntmassa tijdens het tijdsinterval ∆t wordt gedefinieerd als:  15 ∆𝑟̅ 𝑣̅𝑔𝑒𝑚 = (2.6) ∆𝑡 De ogenblikkelijke snelheid 𝑣̅ (snelheidsvector) wordt bepaald door de limietovergang te nemen voor ∆𝑡 → 0: ∆𝑟̅ 𝑑𝑟̅ 𝑣̅ = lim = (2.7) ∆𝑡→0 ∆𝑡 𝑑𝑡 De snelheidsvector 𝑣̅ is de vectoriële afgeleide van de plaatsvector 𝑟̅ naar de tijd t. De vectoriële afgeleide wordt ook als volgt genoteerd; 𝑑𝑟̅ 𝑟̅̇ (𝑡) = (2.8) 𝑑𝑡 Waarbij 𝑑 ̇= (2.9) 𝑑𝑡 De vectoriële afgeleide van een vectorfunctie is gericht volgens de raaklijn aan de kromme, in de zin van de stijgende parameterwaarden van t. De snelheidsvector van een punt is dus een gebonden vector gericht volgens de raaklijn aan de baan, in het beschouwde punt P (Figuur 13). Figuur 13: De snelheid van een punt is rakend aan de baan. De grootte van 𝑣̅ kan bepaald worden door: ∆𝑟 ∆𝑠 𝑑𝑠 𝑣 = |𝑣̅ | = lim = lim = (2.10) ∆𝑡→0 ∆𝑡 ∆𝑡→0 ∆𝑡 𝑑𝑡  16 De modulus van de snelheid kan dus worden bepaald door de functie van de baan 𝑠 af te leiden naar de tijd. Indien op elk tijdstip de modulus van snelheidsvector 𝑣̅ gekend is, kan de afgelegde weg gemeten langs de baan berekend worden door integratie: 𝑡 𝑠(𝑡) = 𝑠0 (𝑡0 ) + ∫ 𝑣(𝑡)𝑑𝑡 𝑡0 (2.11) 𝑡 𝑠(𝑡) = 𝑠0 (𝑡0 ) + ∫ √𝑥̇ 2 + 𝑦̇ 2 + 𝑧̇ 2 𝑑𝑡 𝑡0 Wanneer de baan in functie van de tijd gekend is, en het mogelijk is de inverse functie te bepalen t(𝑠), dan kan in de vectorfunctie 𝑟̅ (𝑡) de waarde van t als functie van s worden vervangen, zodat de baan als functie van 𝑠 kan worden uitgedrukt; 𝑟̅ (𝑠). In dat geval zegt men dat de baan gegeven is door de natuurlijke parametervoorstelling. De richting van 𝑣̅ kan worden bepaald door een eenheidsvector 1̅𝑣. Deze richting valt samen met de richting van de raaklaan, die wordt aangeduid door 1̅𝑡 , de eenheidsvector volgens de raaklijn, positief georiënteerd in de zin van de beweging van het bestudeerde punt: 𝑑𝑟̅ 𝑣̅ 𝑑𝑟̅ 1̅𝑣 = 1̅𝑡 = = 𝑑𝑡 = (2.12) 𝑣 𝑑𝑠 𝑑𝑠 𝑑𝑡 2.4 Versnelling In de vorige paragraaf werd de snelheidsvector als vectoriële afgeleide van de plaatsvector gedefinieerd. De vectoriële afgeleide is opnieuw een vectorfunctie, die op zijn beurt kan afgeleid worden. De beschouwde puntmassa bevindt zich op tijdstip t in punt 𝑃 met snelheid 𝑣̅𝑃 op tijdstip t. Op tijdstip 𝑡 + ∆𝑡 heeft het punt zich verplaatst naar positie 𝑃′ en heeft het snelheid 𝑣̅𝑃´ zoals geïllustreerd in Figuur 14 (a). De gemiddelde versnelling tijdens het tijdsinterval ∆t wordt gedefinieerd als: ∆𝑣̅ 𝑎̅𝑔𝑒𝑚 = (2.13) ∆𝑡  17 Om de ogenblikkelijke versnelling te bestuderen worden in een willekeurig punt 𝑂′ equipollente vectoren aan de snelheidsvectoren 𝑣̅𝑃 en 𝑣̅𝑃´ uitgezet. Het eindpunt van deze vectoren beschrijft een kromme, die de snelheidshodograaf wordt genoemd (Figuur 14 (b)), gelijkaardig aan hoe de eindpunten van de plaatsvector de baan beschrijft. De ogenblikkelijke versnelling (versnellingsvector) is per definitie de vectoriële snelheid waarmee de snelheidshodograaf doorlopen wordt. O” O’ O (a) (b) (c) Figuur 14: De versnelling van een punt Onder formulevorm wordt dit : 𝑑𝑣̅ 𝑑 2 𝑟̅ 𝑎̅ = = = 𝑟̅̈ (𝑡) (2.14) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 2 De versnellingsvector is dus de tweede vectoriële afgeleide van de plaatsvector naar de tijd. Indien in een bepaald punt 𝑂" vectoren equipollent met de versnellingsvector worden uitgezet, zal het eindpunt een baan beschrijven die de versnellingshodograaf genoemd wordt (Figuur 14 (c)). Als vectoriele afgeleide van de snelheid ligt de versnellingsvector 𝑎̅ rakend aan de snelheidshodograaf, en in het algemeen niet rakend aan de baan.  18 Hoofdstuk 3 Kromlijnige beweging in Cartesische assen 3.1 Inleiding In het vorige hoofdstuk werden de plaats-, snelheids-, en versnellingsvector geïntroduceerd. Zoals gezien in hoofdstuk 1 worden voor praktische toepassingen de analytische vectoruitdrukkingen gebruikt. In vele gevallen is een vast Cartesisch assenstelsel een goede keuze. In dit hoofdstuk worden de uitdrukkingen van de geïntroduceerde vectoriële grootheden in Cartesische componenten bestudeerd. 3.2 Positie De vectoriële functie ̅̅̅̅ 𝑂𝑃 = 𝑟̅ (𝑡) is gelijkwaardig met een aantal scalaire vergelijkingen die worden bekomen door de vector 𝑟̅ met oorsprong O op een assenstelsel te projecteren. Voor een Cartesisch assenstelsel (𝑥, 𝑦, 𝑧) is 𝑟̅ = 𝑟̅ (𝑡) gelijkwaardig met het stelsel scalaire vergelijkingen (Figuur 15): 𝑥 = 𝑥(𝑡) {𝑦 = 𝑦(𝑡) (3.1) 𝑧 = 𝑧(𝑡) Figuur 15: Projectie van 𝒓̅ op cartesische assen.  19 Dergelijke voorstelling van de baan noemt men een parametrische voorstelling of parametervoorstelling van de baan. Ze laat toe voor elke toegelaten waarde van de parameter t de plaats van het bewegend punt 𝑃 op de baan vast te leggen. De plaatsvector kan dan worden geschreven in functie van de Cartesische eenheidsvectoren ⃗1𝑥 , ⃗1𝑦 en ⃗1𝑧 : 𝑟̅ = ̅̅̅̅ 𝑂𝑃(𝑡) (3.2) ⃗⃗⃗⃗𝑥 + 𝑂𝑃𝑦 (𝑡)1 = 𝑂𝑃𝑥 (𝑡)1 ⃗⃗⃗⃗𝑦 + 𝑂𝑃𝑧 (𝑡)1 ⃗⃗⃗⃗𝑧 (3.3) ⃗⃗⃗⃗𝑥 + 𝑦(𝑡)1 = 𝑥(𝑡)1 ⃗⃗⃗⃗𝑦 + 𝑧(𝑡)1 ⃗⃗⃗⃗𝑧 (3.4) De tijdsafhankelijkheid van de componenten wordt in veel gevallen vanzelfsprekend verondersteld en niet altijd expliciet geschreven: ⃗⃗⃗⃗𝑥 + 𝑦1 𝑟̅ = 𝑥1 ⃗⃗⃗⃗𝑦 + 𝑧1 ⃗⃗⃗⃗𝑧 (3.5) De grootte (norm) van 𝑟̅ kan worden bepaald als volgt: 𝑟 = √𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 (3.6) De richting van 𝑟̅ wordt aangeduid door de componenten van de eenheidsvector 1𝑟̅ : ⃗⃗⃗⃗𝑥 + 𝑦1 𝑟̅ 𝑥1 ⃗⃗⃗⃗𝑦 + 𝑧1 ⃗⃗⃗⃗𝑧 (3.7) 1𝑟̅ = = 𝑟 √𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 3.3 Snelheid 3.3.1 Cartesische componenten van de snelheidsvector. De snelheidsvector 𝑣̅ werd in Paragraaf 2.3 gedefinieerd als de vectoriële afgeleide van de plaatsvector: 𝑑𝑟̅ (3.8) 𝑣̅ = 𝑑𝑡 Substitutie van vergelijking 3.5 levert: 𝑑 = (𝑥 ̅̅̅ 1𝑥 + 𝑦̅̅̅̅ 1𝑦 + 𝑧 ̅̅̅ 1𝑧 ) (3.9) 𝑑𝑡  20 Uitwerking via de kettingregel geeft: 𝑑𝑥 𝑑1̅̅̅𝑥 𝑑𝑦 𝑑1̅̅̅ 𝑦 𝑑𝑧 ̅̅̅𝑧 𝑑1 𝑣̅ = ̅̅̅ 1𝑥 + 𝑥 + ̅̅̅ 1𝑦 + 𝑦 + ̅̅̅ 1𝑧 + 𝑧 (3.10) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Aangezien we een vast Cartesisch assenstelsel veronderstellen is zowel de richting als grootte van de eenheidsvectoren constant en geldt dus dat : 𝑑1̅𝑖 =0 (𝑖 = 1, 2, 3) (3.11) 𝑑𝑡 En dus wordt vergelijking 3.10: 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 𝑣̅ = ̅̅̅ 1𝑥 + ̅̅̅ 1𝑦 + ̅̅̅ 1 (3.12) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑧 ̅̅̅𝑥 + 𝑦̇ ̅̅̅ = 𝑥̇ 1 1𝑦 + 𝑧̇ ̅̅̅ 1𝑧 (3.13) 𝑣̅ = (𝑣𝑥 , 𝑣𝑦 , 𝑣𝑧 ) = (𝑥̇ , 𝑦̇ , 𝑧̇ ) (3.14) Figuur 16: Cartesische componenten van de snelheidsvector. De cartesische componenten van de snelheidsvector zijn dus de afgeleiden van de cartesische coördinaten naar de tijd. Zoals hierboven vermeld wordt de tijdsafhankelijk impliciet verondersteld in de notatie. Aangezien de componenten van de plaatsvector variëren wanneer het punt 𝑃 zich langst zijn baan begeeft, moeten de afgeleiden in vergelijking 3.14 uiteraard berekend worden in de parameterwaarde t die het punt 𝑃 bepaalt:  21 𝑑𝑥(𝑡) 𝑑𝑦(𝑡) 𝑑𝑧(𝑡) (3.15) 𝑣̅ (𝑡) = ̅̅̅ 1𝑥 + ̅̅̅ 1𝑦 + ̅̅̅ 1 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑧 3.3.2 De modulus van de snelheidsvector De grootte van de snelheidsvector kan worden berekend met behulp van het scalair product: 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 𝜏 (3.16) 𝑣̅ ⋅ 𝑣̅ = 𝑣 2 = ( , , ) ( , , ) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 2 𝑑𝑥 2 𝑑𝑦 2 𝑑𝑧 2 (3.17) 𝑣 =( ) +( ) +( ) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 3.3.3 De eenheidsvector volgens de raaklijn In paragraaf 2.2 werd de eenheidsvector volgens de raaklijn 1̅𝑡 gedefiniëerd; 𝑑𝑟̅ 𝑣̅ 𝑑𝑟̅ 1̅𝑡 = = 𝑑𝑡 = (3.18) 𝑣 𝑑𝑠 𝑑𝑠 𝑑𝑡 De cartesische componenten zijn : 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 1 (3.19) 1̅𝑡 = ( , , ) = (𝑥 ′ , 𝑦 ′ , 𝑧 ′ ) = (𝑥̇ , 𝑦̇ , 𝑧̇ ) 𝑑𝑠 𝑑𝑠 𝑑𝑠 √𝑥̇ 2 + 𝑦̇ 2 + 𝑧̇ 2 Met 𝑑 (3.20) ′= 𝑑𝑠 3.3.4 Raaklijn aan de baan van een punt Aangezien de snelheidsvector in P gelegen is volgens de raaklijn aan de baan, is het mogelijk om uitgaande van de projecties op de coördinaatsassen de richtingsgetallen van de raaklijn bepalen : ( 𝑥̇ (𝑡) , 𝑦̇ (𝑡) , 𝑧̇ (𝑡) ) (3.21)  22 Wanneer de Cartesische coördinaten van P op tijdstip 𝑡0 worden gegeven door: 𝑥𝑝 = 𝑥(𝑡0 ) 𝑦𝑝 = 𝑦(𝑡0 ) (3.22) 𝑧𝑝 = 𝑧(𝑡0 ) Dan volgt uit vergelijking 3.15 dat de componenten van de snelheidsvector op hetzelfde tijdstip worden bepaald door: 𝑑𝑥(𝑡) 𝑥̇ 𝑝 = 𝑑𝑡 𝑡=𝑡0 𝑑𝑦(𝑡) (3.23) 𝑦̇𝑝 = 𝑑𝑡 𝑡=𝑡0 𝑑𝑧(𝑡) 𝑧̇𝑝 = 𝑑𝑡 𝑡=𝑡0 Veronderstel dat Q een willekeurig punt is, gelegen op de raaklijn door 𝑃 aan de baan 𝑠. Figuur 17: Raaklijn aan de baan in een punt De vectoriële vergelijking van de raaklijn kan geschreven worden als volgt: ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅ 𝑂𝑄 𝑂𝑃(𝑡0 ) + ̅̅̅̅ 𝑃𝑄 (𝑡0 ) (3.24) ̅̅̅̅ = 𝑟̅ (𝑡 ∗ ) + 𝛼 ∙ 𝑣̅ (𝑡 ∗ ) 𝑂𝑄 (3.25) Deze vectoriële vergelijking is equivalent met een stelsel scalaire vergelijkingen: 𝑥 = 𝑥𝑝 + 𝑥̇ 𝑝 ∙ 𝛼 (3.26) { 𝑦 = 𝑦𝑝 + 𝑦̇𝑝 ∙ 𝛼 𝑧 = 𝑧𝑝 + 𝑧̇𝑝 ∙ 𝛼  23 En dus wordt de raaklijn volledig bepaald door : 𝑥 − 𝑥𝑝 𝑦 − 𝑦𝑝 𝑧 − 𝑧𝑝 (3.27) = = =𝛼 𝑥̇ 𝑝 𝑦̇𝑝 𝑧̇𝑝 3.4 Versnelling De versnellingsvector 𝑎̅ werd in paragraaf 2.4 gedefinieerd als de vectoriële afgeleide van de snelheidsvector: 𝑑𝑣̅ 𝑑 2 𝑟̅ (3.28) 𝑎̅ = = 𝑑𝑡 𝑑𝑡 2 De uitdrukkingen van de Cartesische componenten 𝑎̅ = (𝑎𝑥 , 𝑎𝑦 , 𝑎𝑧 ) kunnen op een gelijkaardige manier worden bepaald als deze van de snelheidsvector (paragraaf 3.3.1) 𝑑2𝑥 𝑑2 𝑦 𝑑2𝑧 𝑎̅ = ̅̅̅ 1 + ̅̅̅ 1 + ̅̅̅ 1 𝑑𝑡 2 𝑥 𝑑𝑡 2 𝑦 𝑑𝑡 2 𝑧 (3.29) ̅̅̅𝑥 + 𝑦̈ ̅̅̅ = 𝑥̈ 1 1𝑦 + 𝑧̈ ̅̅̅ 1𝑧 (3.30) En dus: 𝑎̅ = (𝑎𝑥 , 𝑎𝑦 , 𝑎𝑧 ) = (𝑥̈ , 𝑦̈ , 𝑧̈ ) (3.31) De cartesische componenten van de snelheidsvector zijn dus de dubbele afgeleiden van de cartesische coördinaten naar de tijd. Voorbeeld 3.1 De horizontale plaats van de weerballon, gevisualiseerd in Figuur 18 (a), is op elk moment bepaald door 𝑥 = (9𝑡) 𝑚, waarbij t de tijd is in seconden. De vergelijking van de baan is 𝑦 = 𝑥2/30. Bepaal de grootte en de richting van de snelheid op t = 2 s.  24 (a ) (b) Figuur 18: Voorbeeld 3.1. Oplossing We bepalen eerst de coordinaten van de plaatsvector als functie van de tijd: 𝑥(𝑡) = 9𝑡 { 𝑥² (9𝑡)² 𝑦(𝑡) = = 30 30 Deze uitdrukkingen afleiden naar de tijd levert de coördinaten van de snelheid (toepassen vergelijking (3.14)): 𝑑 𝑚 𝑣𝑥 (𝑡) = 𝑥̇ = (9𝑡) = 9 𝑑𝑡 𝑠 𝑑 𝑥² 2 ∙ (9)²𝑡 𝑚 𝑣𝑦 (𝑡) = 𝑦̇ = ( )= { 𝑑𝑡 30 30 𝑠 Evalueren voor 𝑡 = 2 levert: 𝑚 𝑣𝑥 (𝑡 = 2) = 9 𝑠 81 𝑚 {𝑣𝑦 (𝑡 = 2) = 42 ∙ 30 ∙ 2 = 10.8 𝑠  25 De modulus van de snelheidsvector kan worden bepaald via het scalair product: 𝑣 = √𝑣̅ ∙ 𝑣̅ = √𝑣𝑥 ² + 𝑣𝑦 ² = √92 + 10.82 = 14.1 𝑚/𝑠 De richting van de snelheidsvector kan worden bepaald via goniometrie (Figuur 18 (b)): 𝑣𝑦 𝜗 = 𝑡𝑎𝑛−1 = 50.2° 𝑣𝑥  26 Hoofdstuk 4 Rechtlijnige beweging in Cartesische assen 4.1 Inleiding In het vorige hoofdstuk bekeken we de cruciale concepten van de algemene kromlijnige beweging in een Cartesisch assenstelsel. In het algemene geval zal het punt P zich volgens een 3D kromme bewegen en kunnen de plaats-, snelheids- en versnellingsvector worden uitgedrukt in Cartesische assen door de componenten volgens de drie assen 𝑥, 𝑦 en 𝑧 te beschouwen. In dit hoofdstuk bekijken we het speciale geval waarbij de beweging volgens een rechte verloopt en gaan we dieper in op de verbanden tussen positie, snelheid en versnelling voor dit geval. Het bestuderen van deze eendimensionale beweging vormt een belangrijke basis voor de studie van complexere 2D of 3D bewegingen, aangezien deze kunnen worden beschouwd als de samenstelling van meerdere eendimensionale bewegingen. 4.2 Rechtlijnige beweging van het punt Indien een massapunt zich langst een rechte beweegt, kunnen we het coördinatenstelsel altijd zo kiezen dat één van de assen samenvalt met deze rechte, zodat de beweging kan worden beschreven met een enkele coördinatenas. Aangezien de baan rechtlijnig is zal de dragende rechte van de positie, snelheid en versnelling nooit van richting veranderen. Figuur 19: Rechtlijnige beweging. Indien we de 𝑥 -as kiezen volgens de rechtlijnige baan (Figuur 19) zullen de plaats-, snelheids-, en versnellingsvector volgens deze richting gelegen zijn: ̅̅̅̅ = 𝑟̅ (𝑡) = 𝑥(𝑡)1̅𝑥 𝑂𝑃 (4.1)  27 𝑑𝑟̅ 𝑑𝑥 𝑣̅ = = 1̅ (4.2) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑥 𝑑2 𝑟̅ 𝑑 2 𝑥 𝑎̅ = 2 = 2 1̅𝑥 (4.3) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Bijgevolg worden de drie overeenkomstige stelsels scalaire vergelijkingen (zie bijvoorbeeld vergelijking 3.1) die de beweging van het punt 𝑃 beschrijven gereduceerd tot drie enkele vergelijkingen: 𝑂𝑃 = 𝑥(𝑡) (4.4) 𝑑𝑥 𝑣= (4.5) 𝑑𝑡 𝑑2𝑥 (4.6) 𝑎= 2 𝑑𝑡 De grootheden 𝑥, 𝑣, 𝑎, 𝑡 zijn onderling verbonden en uit te drukken als functie van elkaar. Een set van 6 functies en hun inverse kunnen worden onderscheiden: 𝑥(𝑡), 𝑣(𝑡), 𝑎(𝑡), 𝑥(𝑎), 𝑣(𝑎), 𝑥(𝑣) (4.7) 𝑡(𝑥), 𝑡(𝑣), 𝑡(𝑎), 𝑎(𝑥), 𝑎(𝑣), 𝑣(𝑥) Indien een van deze functies en een set van beginvoorwaarden is gekend, is de volledige beweging bepaald en kunnen de andere functies worden terug gevonden via integratie of afleiding. In de rest van dit hoofdstuk bekijken we twee voorbeelden van rechtlijnige bewegingen meer in detail. 4.3 Eenparige rechtlijnige beweging Indien de snelheid gedurende de beweging constant blijft spreken we van een eenparige rechtlijnige beweging en kunnen we schrijven: 𝑣 = 𝑣0 (4.8) Via afleiden en integratie kunnen respectievelijk de versnelling en positie worden bepaald: 𝑑𝑣(𝑡) 𝑎(𝑡) = =0 (4.9) 𝑑𝑡  28 𝑥(𝑡) = ∫ 𝑣0 𝑑𝑡 + 𝑥0 = 𝑣0 𝑡 + 𝑥0 (4.10) Aangezien 𝑣̅0 een constante is, is de snelheidshodograaf (zie paragraaf 2.4) tot een punt herleid. De positie is een lineaire functie in de tijd waarvan het exacte verloop wordt bepaald door de beginvoorwaarden 𝑥0 en 𝑣0 zoals geïllustreerd in Figuur 20. Figuur 20: Eenparige rechtlijnige beweging 4.4 Eenparige rechtlijnige versnelde beweging Indien de versnelling gedurende de beweging constant blijft spreken we van een eenparige rechtlijnige versnelde beweging. 𝑎 = 𝑎0 (4.11) De snelheid en positie kunnen vervolgens via integratie worden bekomen: 𝑣(𝑡) = 𝑎0 𝑡 + 𝑣0 (4.12) 𝑎0 𝑡 2 𝑥(𝑡) = + 𝑣0 𝑡 + 𝑥0 (4.13) 2 Aangezien de versnelling een constante grootte en richting heeft, is de versnellingshodograaf in dit geval een punt. De grootte snelheid is een lineaire functie van de tijd, terwijl de richting constant is. De snelheidshodograaf is bijgevolg een met de baan evenwijdige rechte. Het verloop van de snelheid en positie in de tijd wordt bepaald door de beginvoorwaarden. Afhankelijk van de combinatie van het teken van 𝑣 en 𝑎 zal het massapunt een versnelde of vertragende beweging ondergaan.  29 Figuur 21 (a) toont het verloop van de positie als functie van de tijd voor 𝑎0 < 0 en 𝑣0 < 0. Op het tijdstip 𝑡 = 0 bevindt het punt zich op positie 𝑥0 en heeft het snelheid 𝑣0 < 0. Bijgevolg zal de raaklijn aan de (𝑡, 𝑥)-curve in dat punt een dalende helling hebben. Gezien 𝑎 = 𝑎0 < 0 zal de snelheid meer en meer negatief worden en zal het punt een versnelde beweging ondergaan. De raaklijnen aan de curve zullen dus voor stijgende waarde van 𝑡 steeds een meer dalende helling vertonen. Figuur 21 (b) toont het verloop van de positie als functie van de tijd voor 𝑎0 < 0 en 𝑣0 > 0. Gezien de beginsnelheid deze keer positief is, zal de raaklijn aan de (𝑡, 𝑥)-curve in het punt (0, 𝑥0 ) een stijgende helling vertonen. Gezien 𝑎 = 𝑎0 < 0 is er initieel een vertraagde beweging; de snelheid zal afnemen waardoor de curve steeds vlakker wordt, tot het moment dat 𝑣 = 0 en de (𝑡, 𝑥)-curve een maximum bereikt. Vervolgens zal 𝑣 negatief worden en zal het punt een versnelde beweging ondergaan waardoor de raaklijnen aan de curve vanaf dat punt voor stijgende waarde van 𝑡 een steeds meer dalende helling vertonen. (a) (b) Figuur 21: eenparige versnelde beweging. (a) 𝒂𝟎 < 𝟎 en 𝒗𝟎 < 𝟎. (b) 𝒂𝟎 < 𝟎 en 𝒗𝟎 > 𝟎. Voorbeeld 4.1 Rechtlijnige bewegingen met constante versnelling komen in de praktijk veelvuldig voor. Voorbeelden hiervan zijn de valbeweging, de beweging op een hellend vlak en de verticale worp. Als voorbeeld bekijken we deze laatste in detail. Zolang een punt in een beperkt gebied in de omgeving van de aarde beweegt, is het 𝑚 inderdaad aan een verticale constante versnelling 𝑔 = 9.81 𝑠² onderworpen. Indien we de 𝑥 -as kiezen volgens de verticale, naar boven gericht, en de oorsprong gehecht aan de grond, zal de versnelling volgens de negatieve 𝑥 -richting gericht zijn (Figuur 22). We kunnen dus schrijven:  30 𝑚 𝑎 = −𝑔 = −9,81 𝑠2 𝑣(𝑡) = −𝑔𝑡 + 𝑣0 𝑡² 𝑥(𝑡) = −𝑔 + 𝑣0 𝑡 + 𝑥0 2 Figuur 22: Verticale worp. Figuur 23: Verticale worp: 𝒕, 𝒙-vlak De stijgtijd 𝑡 ∗ is de tijd die het massapunt nodig heeft om zijn maximale hoogte te bereiken. Deze kan worden gevonden door uit te drukken dat op dat moment, de snelheid gelijk zal zijn aan 0: 𝑣(𝑡 ∗ ) = 0 = −𝑔𝑡 ∗ + 𝑣0 𝑣0 ⇔ 𝑡∗ = 𝑔 De corresponderende maximale hoogte die wordt bereikt kan worden gevonden door de 𝑣0 algemene oplossing 𝑥(𝑡) te evalueren in 𝑡 ∗ = : 𝑔 𝑡 ∗2 𝑔 𝑣02 𝑣0 𝑥(𝑡 ∗ ) = −𝑔 + 𝑣0 𝑡 ∗ + 𝑥0 = − ∙ 2 + 𝑣0 + 𝑥0 2 2 𝑔 𝑔 De stijghoogte is vervolgens: ∗ ∗) 𝑣02 𝑥 = 𝑥(𝑡 − 𝑥0 = 2𝑔  31 Na deze hoogte bereikt te hebben valt het massapunt met een steeds negatiever wordende snelheid. Figuur 23 visualiseert de beweging als functie van de tijd. 4.5 Uitbreiding naar 2- of 3- dimensionale beweging Twee- en driedimensionale bewegingen kunnen worden bekeken als de som van, respectievelijk, twee en drie eendimensionale bewegingen die op gelijkaardige manier kunnen worden bestudeerd. We bekijken als illustratief voorbeeld de schuine worp. Voorbeeld 4.2 We veronderstellen het geval van een schuine worp. Op tijdstip 𝑡 = 0 bevindt de puntmassa zich in positie 𝑟̅0 met beginsnelheid 𝑣̅0. We kiezen een Cartesisch assenstelsel (𝑥, 𝑦), met de 𝑥-as volgens de horizontale en de 𝑥-as verticaal naar boven gericht. De componenten van 𝑟̅0 en 𝑣̅0 zijn respectievelijk (𝑥0 , 𝑦0 ) = (0, 𝑦0 ) en (𝑣0,𝑥 , 𝑣0,𝑦 ). 𝑚 De puntmassa ondervindt een constante verticale versnelling 𝑔 = 9.81 𝑠² ten gevolge van de zwaartekracht, maar geen versnelling in de horizontale richting: 𝑥̈ = 0 { 𝑦̈ = −𝑔 Door integratie vinden we de uitdrukkingen voor de snelheid en positie: 𝑥̇ = 𝑣0,𝑥 { 𝑦̇ = −𝑔𝑡 + 𝑣0,𝑦 𝑥 = 𝑣0,𝑥 𝑡 + 𝑥0 = 𝑣0,𝑥 𝑡 2 { 𝑔𝑡 𝑔𝑡 2 𝑦=− + 𝑣0,𝑦 𝑡 + 𝑦0 = − + 𝑣0,𝑦 𝑡 + 𝑦0 2 2 Volgens de 𝑥 -richting ondergaat de puntmassa bijgevolg een eenparige rechtlijnige beweging, terwijl volgens de 𝑦-richting een eenparige versnelde beweging plaatsvindt. De resulterende beweging, voor 𝑣0,𝑥 , 𝑣0,𝑦 > 0 is gevisualiseerd in Figuur 24 (a) en toont hoe de snelheidsvector en zijn Cartesische componenten variëren wanneer het massapunt zijn baan doorloopt. De component van snelheid volgens de 𝑥-as blijft constant (𝑥̇ = 𝑣0,𝑥 ). De 𝑦-component is bij 𝑡 = 0 positief (𝑣0,𝑦 > 0). Gezien de constante negatieve versnelling volgens de 𝑦-richting (𝑦̈ = −𝑔) neemt de snelheid af, tot deze uiteindelijk gelijk wordt aan 0. Daarna wordt 𝑦̇ steeds negatiever wanneer het massapunt valt.  32 Figuur 24: Schuine worp.  33 Hoofdstuk 5 Kromlijnige beweging in Frenet assen 5.1 Inleiding Wanneer de baan waarop de puntmassa zich begeeft gekend is, is het vaak praktisch om de beweging te beschrijven aan de hand van een lokaal assenstelsel gehecht aan de huidige positie van het beschouwde massapunt. In dit hoofdstuk introduceren we het assenstelsel van Frenet en bekijken we hoe de beweging kan worden beschreven in deze assen. 5.2 Het normaalvlak s Figuur 25: Het normaalvlak. Het normaalvlak is het vlak door het raakpunt P, loodrecht op 1̅𝑡. Indien Q een willekeurig punt is van het normaalvlak (Figuur 25), met coördinaten (𝑥, 𝑦, 𝑧), dan kan de vergelijking van dit vlak worden gevonden door uit te drukken dat ̅̅̅̅ loodrecht staat op 1̅𝑡 : 𝑄𝑃 ̅̅̅̅ 𝑄𝑃 ⋅ 1̅𝑡 = 0 (5.1)  34 Waaruit 𝜏 (5.2) ( 𝑥 − 𝑥𝑃 , 𝑦 − 𝑦𝑃 , 𝑧 − 𝑧𝑃 ) ⋅ ( 𝑥̇ 𝑝 , 𝑦̇𝑝 , 𝑧̇𝑝 ) = 0 Of 𝑥̇ 𝑝 ( 𝑥 − 𝑥𝑃 ) + 𝑦̇𝑝 ( 𝑦 − 𝑦𝑃 ) + 𝑧̇𝑝 ( 𝑧 − 𝑧𝑃 ) = 0 (5.3) 5.3 Het osculatievlak Het osculatievlak in P wordt gedefinieerd als het vlak bepaald door de snelheidsvector 𝑟̅̇ = 𝑑𝑟̅ 2 𝑑 𝑟̅ en de versnellingsvector 𝑟̅̈ = 𝑑𝑡 2 in het punt P (Figuur 26 (a)). 𝑑𝑡 s (a) (b) Figuur 26: Het osculatievlak. Het osculatievlak in P bevat bijgevolg de raaklijn in P. Het osculatievlak kan eveneens gedefinieerd worden als het vlak bepaald door 2 oneindig naburige raaklijnen. Om dit te staven beschouwen we in 𝑃(𝑡) de snelheidsvector 𝑣̅𝑃 (𝑡), gelegen volgens de raaklijn in 𝑃 en in een naburig punt 𝑃’(𝑡 + ∆𝑡) de snelheidsvector 𝑣̅𝑃′ (𝑡 + ∆𝑡), gelegen volgens de raaklijn in 𝑃’. Indien in 𝑃 een equipollente vector 𝑣̅ (𝑡 + ∆𝑡) wordt aanbracht (Figuur 26 (b)) dan bepalen 𝑣̅ (𝑡) en 𝑣̅ (𝑡 + ∆𝑡) in P een vlak. De vectoriële verandering van 𝑣̅ gedurende het tijdsinterval ∆t is: ∆𝑣̅ = 𝑣̅ (𝑡 + ∆𝑡) – 𝑣̅ (𝑡) (5.4)  35 ∆𝑣̅ ligt in het vlak bepaald door 𝑣̅ (𝑡 + ∆𝑡) en 𝑣̅ (𝑡) in 𝑃. Delen door de tijdsvariatie ∆𝑡 en limietovergang naar 0 levert de versnellingsvector op: ∆𝑣̅ 𝑑𝑣̅̅̅𝑝 lim = = 𝑎̅𝑃 ∆𝑡→0 ∆𝑡 𝑑𝑡 (5.5) En dus bevat het vlak bepaald door 2 oneindig naburige raaklijnen in 𝑃 zowel de snelheidsvector 𝑣̅𝑃 en de versnellingsvector 𝑎̅𝑃 , waardoor we kunnen concluderen dat dit samenvalt met het oscullatievlak. De richtingsgetallen van de normaalvector op het osculatievlak in 𝑃 worden gegeven door: 𝑣̅𝑃 × 𝑎̅𝑃 = 𝑟̅̇ × 𝑟̅̈ (5.6) Deze vector wordt de binormale genoemd. De vectoriële vergelijking van het osculatievlak in 𝑃 wordt bekomen door de verzameling van de vectoren ̅̅̅̅ 𝑃𝑄 loodrecht op de normale aan het osculatievlak in 𝑃: (𝑣̅𝑃 × 𝑎̅𝑃 ) ̅̅̅̅ 𝑃𝑄 = 0 (5.7) Indien de Cartesische coordinaten van punt 𝑃 en punt 𝑄 gegeven worden door: 𝑃 ∶ ( 𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡)) (5.8) 𝑄 ∶ ( 𝑋, 𝑌, 𝑍 ) En aangezien de Cartesische componenten van componenten van de snelheids- en versnellingsvector in het punt 𝑃 worden gegeven door: 𝑣̅𝑃 = ( 𝑥̇ (𝑡) , 𝑦̇ (𝑡) , 𝑧̇ (𝑡) ) (5.9) 𝑎̅𝑃 = (𝑥̈ (𝑡), 𝑦̈ (𝑡), 𝑧̈ (𝑡)) is de analytische vergelijking van het osculatievlak in 𝑃 op te stellen door uitwerking van de determinant: 𝑋−𝑥 𝑌−𝑦 𝑍−𝑧 | 𝑥̇ 𝑦̇ 𝑧̇ | = 0 (5.10) 𝑥̈ 𝑦̈ 𝑧̈  36 5.4 Coördinatenstelsel van Frenet s Figuur 27: Coördinatenstelsel van Frenet. In het voorgaande werd de raaklijn, het normaalvlak en het osculatievlak in een punt 𝑃 gedefinieerd (Figuur 27). Het normaalvlak en het osculatievlak in 𝑃 snijden zich volgens een rechte, loodrecht op de raaklijn in 𝑃. Deze recht wordt de hoofdnormale in 𝑃 genoemd. Met deze richting wordt de eenheidsvector 1̅𝑛 geassocieerd; de eenheidsvector gelegen volgens de hoofdnormale in 𝑃, positief gericht naar de concaviteit van de projectie van de kromme 𝑠 op het osculatievlak. Aangezien 1̅𝑡 en 1̅𝑛 altijd loodrecht op elkaar staan en in het osculatievlak liggen, is er een derde eenheidsvector 1̅𝑏 , gelegen volgens de binormale richting, die de set eenheidsvectoren vervolledigd tot een rechtshandig assenstelsel: 1̅𝑡 × 1̅𝑛 = 1̅𝑏 (5.11) Dit coördinatenstelsel (1̅𝑡 , 1̅𝑛 , 1̅𝑏 ) wordt het coördinatenstelsel van Frenet genoemd. Aangezien de richtingen van deze eenheidsvectoren variëren wanneer het punt 𝑃 zijn baan 𝑠 doorloopt verandert uiteraard ook de oriëntatie van het coördinatenstelsel van Frenet. Zoals gezien in paragraaf 5.3 staat de binormale loodrecht op het osculatievlak en heeft deze als richtingsgetallen: 𝑟̅̇ × 𝑟̅̈ (5.12)  37 1̅𝑏 kan dus worden bepaald door deze vector te normaliseren: 𝑟̅̇ × 𝑟̅̈ 1̅𝑏 = (5.13) |𝑟̅̇ × 𝑟̅̈ | Rekening houdend met : 𝑟̅̇ 1̅𝑡 = (5.14) |𝑟̅̇ | Kan 1̅𝑛 bekomen worden uit : 1̅𝑛 = 1̅𝑏 × 1̅𝑡 (5.15) In het geval van een vlakke kromme valt het osculatievlak samen met het bewegingsvlak en staat de binormale steeds loodrecht op het bewegingsvlak. 5.5 Kromtestraal en torsiestraal 5.5.1 Definitie van de kromtestraal en kromtecirkel Om het begrip kromtestraal te definiëren veronderstellen we dat het massapunt P zich volgens een vlakke kromme 𝑠 beweegt. We beschouwen 2 oneindig naburige punten 𝑃(𝑡) en 𝑃’(𝑡 + ∆𝑡). We noemen 𝛼 en 𝛼 + ∆𝛼 de hoeken die de raaklijnen in, respectievelijk, 𝑃 en 𝑃′ maken met de horizontale (Figuur 28). Figuur 28: Definitie van de kromtestraal. De hoek tussen beide raaklijnen is bijgevolg ∆𝜶. 𝚫𝜶 is, per definitie, positief indien eenheidsvector volgens de raaklijn roteert volgens ⃗𝟏𝒏. Deze conventie volgt de rechterhandregel/kurkentrekker regel: indien de duim van de rechterhand wordt geplaatst  38 volgens de zin van ⃗𝟏𝒃 (in figuur hier uit het blad) beschrijven de vingers de richting van ⃗ 𝒕 naar 𝟏 de rotatie van 𝟏 ⃗ 𝒕 ′. Aangezien de hoofdnormale per conventie steeds gericht is naar het krommingsmiddelpunt toe, zal in Frenet assen 𝚫𝜶 steeds positief zijn. Deze hoek ∆𝛼 is ook gelijk aan de hoek gevormd tussen de beide normalen in 𝑃 en 𝑃’. Indien de boog 𝑃𝑃′ een cirkelboog is, geldt dat: 𝑃𝑃′ 𝑅 = 𝑀𝑃 = 𝑀𝑃’ = (5.16) Δ𝛼 Voor een willekeurige boog 𝑃𝑃′ wordt de kromtestraal als volgt gedefinieerd: ∆𝑠 ∆𝑠 𝑑𝑠 𝜌𝑃 = ± lim = ± 𝑙𝑖𝑚 =± (5.17) ′ 𝑃 →𝑃 ∆𝛼 ∆𝛼→0 ∆𝛼 𝑑𝛼 Het teken wordt per definitie zodanig gekozen dat de kromtestraal positief is. Figuur 29: Intuïtieve bepaling van de kromtestraal. De kromtestraal 𝜌𝑃 in een punt is een maat voor de kromming in dat beschouwde punt. De cirkel met straal 𝜌𝑃 wordt de kromtecirkel genoemd en zal de kromming van de baan in het beschouwde punt het beste benaderen. Dit wordt geïllustreerd in Figuur 29. Hier beschouwen we opnieuw een vlakke kromme 𝑠, een punt 𝑃 van deze kromme, de raaklijn𝑡̅ en de normale 𝑛̅ aan 𝑠 in 𝑃. We tekenen cirkels met middelpunt 𝑂𝑖 , gelegen op de normale, en straal 𝑂𝑖 𝑃. Deze cirkels raken aan de raaklijn t en hebben dus minstens 2 gemeenschappelijke punten met 𝑠 in P. De cirkel met straal 𝑂3 𝑃 snijdt 𝑠 niet meer buiten deze samenvallende snijpunten. Daarentegen snijden de cirkels met straal 𝑂1 𝑃 en straal 𝑂2 𝑃 de kromme 𝑠 in (minstens) één bijkomend punt, respectievelijk 𝑄1 en 𝑄2. Naarmate de straal 𝑂𝑖 𝑃 nadert tot 𝜌𝑃 zal het punt 𝑄𝑖 naderen tot 𝑃. De kromtecirkel is dus de cirkel die in 𝑃 drie samenvallende punten met de kromme 𝑠 heeft.  39 De definitie in vergelijking 5.17 wordt eveneens gebruikt voor ruimtelijke krommen. In dit geval snijden algemeen gezien de raaklijnen in 𝑃 en 𝑃′ zich niet. De hoek ∆𝛼 wordt dan geconstrueerd door in een willekeurig punt Q evenwijdigen te trekken aan de raaklijnen in 𝑃 en 𝑃′. Gezien we, volgens de definitie in vergelijking5.17, om de kromtestraal te bepalen de limietovergang nemen voor 𝑃′ → 𝑃 , en dus met andere woorden een infinitesimaal klein tijdsinterval ∆𝑡 beschouwen, is het vlak waarin deze twee oneindig nabije raaklijnen zijn gelegen, en bijgevolg ook 𝑑𝛼, het osculatievlak. 5.5.2 Analytische uitdrukkingen voor de kromtestraal (2D) Afhankelijk van de gekozen parametervoorstelling kunnen verschillende uitdrukkingen voor de kromtestraal worden opgesteld. Gebruik makend van de definitie van de kromtestraal (vergelijking 5.17) bekomen we dat, 𝑑𝑠 𝑑𝛼 voor een vlakke beweging, de kromtestraal 𝜌 kan bepaald worden door en als functie 𝑑𝑡 𝑑𝑡 van 𝑥 en 𝑦 uit te drukken: 𝑑𝑠 𝑑𝑠 𝜌=± = ± 𝑑𝑡 (5.18) 𝑑𝛼 𝑑𝛼 𝑑𝑡 Formule voor de kromtestraal, indien 𝒔 gegeven wordt door 𝒙(𝒕) en 𝒚(𝒕). Indien de Cartesische componenten als functie van de tijd gekend zijn, kan de uitwerking van de analytische uitdrukking voor de kromtestraal als volgt worden afgeleid. Op basis van de definitie van 1̅𝑡 vinden we: 𝑟̅̇ 𝑑𝑟̅ 𝑑𝑥 𝑑𝑦 1̅𝑡 = = = ̅̅̅ 1𝑥 + ̅̅̅ 1 (5.19) 𝑣 𝑑𝑠 𝑑𝑠 𝑑𝑠 𝑦 Uit Figuur 30 kan ook eenvoudig worden opgemerkt dat de Cartesische componenten van de eenheidsvector volgens de raaklijn gegeven worden door: 1̅𝑡 = cos 𝛼1 ̅̅̅𝑥 + sin 𝛼1 ̅̅̅ (5.20) 𝑦 Combinatie van vergelijkingen 5.19 en 5.20 levert een uitdrukking voor tan 𝛼: 𝑑𝑦 sin𝛼 tan 𝛼 = = 𝑑𝑠 (5.21) cos 𝛼 𝑑𝑥 𝑑𝑠  40 Figuur 30: Analytische bepaling van de kromtestraal. Uitwerking via de kettingregel geeft: 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑠 𝑑𝑠 = 𝑑𝑠 𝑑𝑡 = 𝑦̇ 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑠 𝑥̇ (5.22) 𝑑𝑠 𝑑𝑠 𝑑𝑡 Waarbij zoals gewoonlijk: 𝑑 ̇= 𝑑𝑡 Combineren van vergelijkingen 5.21 en 5.22 en herleiden naar 𝛼 levert: 𝑦̇ (5.23) 𝛼 = bgtan 𝑥̇ Afleiden naar de tijd levert: 𝑑𝛼 𝑑 𝑦̇ 1 𝑑 𝑦̇ 𝑦̈ 𝑥̇ − 𝑥̈ 𝑦̇ = (𝑏𝑔𝑡𝑔 ) = 2 ⋅ ( )= 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑥̇ 𝑦̇ 𝑑𝑡 𝑥̇ 𝑥̇ + 𝑦̇ 2 (5.24) 1 + (𝑥̇ ) Verder weten we, uit paragraaf 2.3, dat de modulus van de snelheidsvector als volgt kan worden uitgedrukt in cartesische coördinaten: 1 𝑑𝑠 (5.25) 𝑣= = (𝑥̇ 2 + 𝑦 2̇ )2 𝑑𝑡  41 Substitutie van vergelijkingen 5.24 en 5.25 in vergelijking 5.18 levert uiteindelijk de formule voor de kromtestraal in Cartesische coördinaten: 3 (𝑥̇ 2 + 𝑦̇ 2 )2 𝜌= (4.26) 𝑦̈ 𝑥̇ − 𝑥̈ 𝑦̇ Formule voor de kromtestraal, indien 𝒔 gegeven wordt door 𝒙(𝒔) en 𝒚(𝒔) In het geval dat de baan gegeven is door de natuurlijke parametervoorstelling 𝑥(𝑠) en 𝑦(𝑠), kan de uitdrukking van de kromtestraal ook op basis van deze informatie worden bepaald. Uit vergelijking 5.24 volgt de uitdrukking van 𝛼 als functie van de natuurlijke parametervoorstelling: 𝑑𝑦 𝑑𝑠 𝑦′ (5.27) 𝑡𝑔 𝛼 = = 𝑑𝑥 𝑥 ′ 𝑑𝑠 Waarbij in dit geval: 𝑑 ′= (5.28) 𝑑𝑠 Hieruit volgt: 𝑑𝛼 𝑑 𝑦′ 𝑥′𝑦" − 𝑦′𝑥" = (𝑏𝑔𝑡𝑔 ′ ) = ′2 (5.29) 𝑑𝑠 𝑑𝑠 𝑥 𝑥 + 𝑦 ′2 Vermits ′2 ′2 𝑑𝑥 2 𝑑𝑦 2 𝑥 +𝑦 =( ) +( ) =1 (5.30) 𝑑𝑠 𝑑𝑠 wordt de formule voor de kromtestraal : 1 𝜌=± (5.31) 𝑥′𝑦" − 𝑦′𝑥" Formule voor de kromtestraal, indien 𝒔 gegeven wordt door 𝒚 = 𝒚(𝒙) In het geval dat de baan wordt gegeven door zijn cartesische vergelijking 𝑦 = 𝑦(𝑥) vertrekken we opnieuw van vergelijking 5.24:  42 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑡𝑔 𝛼 = 𝑑𝑠 = = 𝑦′ (5.32) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑠 Waarbij in dit geval: 𝑑 (5.33) ′= 𝑑𝑥 Toepassen van de kettingregel levert: 𝑑𝛼 𝑑𝛼 𝑑𝑥 (5.34) = ⋅ 𝑑𝑠 𝑑𝑥 𝑑𝑠 Substitutie van vergelijking 5.32 geeft vervolgens: 𝑑𝛼 𝑑 1 𝑦" 1 𝑦" = (𝑏𝑔𝑡𝑔 𝑦 ′ ) ⋅ = ⋅ = 3 𝑑𝑠 𝑑𝑥 𝑑𝑠 1 + 𝑦 ′2 √𝑑𝑥 2 + 𝑑𝑦 2 (5.35) 𝑑𝑥 (1 + 𝑦 ′2 )2 𝑑𝑥 Waaruit volgt: 3 (1 + 𝑦 ′2 )2 𝜌=± (5.36) 𝑦" 5.5.3 Torsiestraal De kromtestraal op een bepaald punt beschrijft de mate waarin de curve buigt binnen het osculatievlak op dat punt. Op een gelijkaardige manier kan de torsiestraal worden gedefinieerd, die een maat is voor hoe sterk de curve uit het osculatievlak draait in een bepaald punt. De kromtestraal werd gedefinieerd als de verandering van de baan ten opzichte van de helling van de raaklijn 𝛼: 𝑑𝑠 𝜌𝑃 = ± (5.37) 𝑑𝛼 Gelijkaardig als ∆𝛼 de hoek tussen twee oneindig naburige raaklijnen voorstelt, wordt de hoek 𝛽 geïntroduceerd zodat ∆ 𝛽 de hoek vormt tussen de binormale 1̅𝑏 in 𝑃 en de ̅ 𝑏 in 𝑃′ (Figuur 31). Δ𝛽 is, per definitie, positief indien de richting van de binormale 1′ rotatie overeenkomt met deze van het rechtshandig assenstelsel bepaald door ⃗1𝑡 , ⃗1𝑛 en ⃗1𝑏 (zie Figuur 31). De torsiestraal 𝜏𝑃 in een punt P wordt dan gedefinieerd als:  43 ∆𝑠 ∆𝑠 𝑑𝑠 𝜏𝑃 = lim = 𝑙𝑖𝑚 = (5.38) ′ 𝑃 →𝑃 ∆𝛽 ∆𝛽→0 ∆𝛽 𝑑𝛽 Figuur 31: Introductie van de hoek 𝜷. 𝚫𝜷 is in dit geval > 𝟎 aangezien de rotatie de zin ⃗ 𝒕 volgt: indien de duim van de rechterhand wordt geplaatst volgens de zin van 𝟏 van 𝟏 ⃗𝒕 ⃗ 𝒃 naar 𝟏 volgen de vingers de richting van de rotatie van 𝟏 ⃗ 𝒃 ′. 5.6 Formules van Frenet 5.6.1 Introductie van de formules van Frenet Zoals geïntroduceerd in paragraaf 5.4 is het coördinatenstelsel van Frenet een lokaal coördinatenstelsel, waarvan de oriëntatie zal variëren wanneer het punt 𝑃 langst de baan beweegt. De Frenet assen zijn gedefinieerd in een punt 𝑃 van de ruimtelijke kromme 𝑠 volgens de normale en tangentiële richting aan de curve. Wanneer het punt 𝑃 zich langsheen de kromme naar een oneindig naburig punt 𝑃’ verplaatst, zullen deze richtingen en dus ook de drie eenheidsvectoren 1̅𝑡 , 1̅𝑛 en 1̅𝑏 veranderen (Figuur 32). s Figuur 32: Variatie van het assenstelsel van Frenet. Deze drie eenheidsvectoren zijn vectoriële functies van de parameter die 𝑃 bepaalt op de kromme 𝑠. Indien de coördinaten gegeven zijn als functie van de natuurlijke parametervoorstelling s, kan de wijze waarop de drie eenheidsvectoren veranderen als 𝑃 de kromme 𝑠 doorloopt worden beschreven door de formules van Frenet :  44 𝑑1̅𝑡 1 = 1̅𝑛 (5.39) 𝑑𝑠 𝜌 𝑑1̅𝑏 1 = − 1̅𝑛 (5.40) 𝑑𝑠 𝜏 𝑑1̅𝑛 1 1 (5.41) = − 1̅𝑡 + 1̅𝑏 𝑑𝑠 𝜌 𝜏 Wanneer de wijze waarop de eenheidsvectoren veranderen gegeven is, kunnen deze formules o.a. gebruikt worden om de torsiestaal 𝜏 en kromtestraal 𝜌 te berekenen. 5.6.2 Bewijs van de eerste formule van Frenet In wat volgt bewijzen we de eerste formule van Frenet (vergelijking 5.39): 𝑑1̅𝑡 1 = 1̅𝑛 𝑑𝑠 𝜌 Vermits 1̅𝑡 een eenheidsvector is, is de modulus van 1̅𝑡 constant. Aangezien de afgeleide van een vector met constante modulus loodrecht staat op deze vector geldt: 𝑑1̅𝑡 (5.42) ⊥ 1̅𝑡 𝑑𝑠 ̅𝑡 𝑑1 Dit wil zeggen dat in het normaalvlak ligt. 𝑑𝑠 Verder is: 𝑑1̅𝑡 𝑑 𝑑𝑟̅ 𝑑 𝑑𝑟̅ 𝑑𝑡 𝑑 2 𝑡 𝑑𝑟̅ 𝑑𝑡 2 𝑑 2 𝑟̅ (5.43) = ( )= ( ) = ( 2) +( ) 𝑑𝑠 𝑑𝑠 𝑑𝑠 𝑑𝑠 𝑑𝑡 𝑑𝑠 𝑑𝑠 𝑑𝑡 𝑑𝑠 𝑑𝑡 2 ̅̅̅𝑡 𝑑1 𝑑𝑟̅ 𝑑2 𝑟̅ Hieruit volgt dat gelegen is in het vlak bepaald door en , met andere woorden, 𝑑𝑠 𝑑𝑡 𝑑𝑡 2 het osculatievlak. ̅̅̅𝑡 𝑑1 Aangezien zowel in normaalvlak als in het osculatievlak ligt, zal deze vector volgens 𝑑𝑠 ̅̅̅𝑡 𝑑1 de snijlijn van beide vlakken liggen, en dus is volgens de hoofdnormale ̅̅̅ 1𝑛 gericht. 𝑑𝑠 ̅̅̅𝑡 𝑑1 Hieruit volgt dat een evenredige vector is met ̅̅̅ 1𝑛 zodat we kunnen schrijven: 𝑑𝑠 𝑑1̅𝑡 (5.44) ̅̅̅ = ±𝑘1 𝑛 𝑑𝑠 met 𝑘 een evenredigheidsfactor.  45 Figuur 33 visualiseert de bolindicatrix van 1̅𝑡. We noemen ∆σ de booglengte op deze bolindicatrix en zoals eerder gedefinieerd is ∆α de hoek tussen 1̅𝑡 en ̅̅̅̅ 1𝑡′. Vanuit vergelijking 5.44 kunnen we schrijven: Δ1̅𝑡 (5.45) |𝑘| = lim | | ∆𝑠→0 Δ𝑠 Figuur 33: Bolindicatrix van 𝟏̅𝒕. Δ1̅𝑡 Δ𝜎 Δ𝛼 = lim (| | | | | |) (5.46) ∆𝑠→0 Δ𝜎 Δ𝛼 Δ𝑠 Δ1̅𝑡 Δ𝜎 Δ𝛼 = lim | | lim | | lim | | ∆𝑠→0 Δ𝜎 ∆𝑠→0 Δ𝛼 ∆𝑠→0 Δ𝑠 (5.47) Wegens de limietovergang van boog naar koorde geldt dat: Δ1̅𝑡 (5.48) lim | |=1 ∆𝑠→0 Δ𝜎 En wegens de limietovergang van boog naar middelpuntshoek bij een straal = 1: Δ𝜎 (5.49) lim | | = 1 ∆𝑠→0 Δ𝛼 Tenslotte volgt uit de definitie van de kromtestraal dat: Δ𝛼 1 (5.50) lim | | = ∆𝑠→0 Δ𝑠 𝜌 Substitutie van vergelijkingen 5.48, 5.49 en 5.50 in 5.47 levert: 1 (4.51) 𝑘= 𝜌  46 Om het teken te bepalen bekijken we Figuur 34, waarop de eenheidsvectoren van Frenet voor twee opeenvolgende punten van een baan zijn afgebeeld. Zoals geïntroduceerd in paragraaf 5.5.1 is Δ𝛼 is positief indien de richting van rotatie deze van het rechtshandig assenstelsel ⃗1𝑡 , ⃗1𝑛 en ⃗1𝑏 volgt, wat steeds het geval is gezien de conventie voor ⃗1𝑛. We zien, vanuit Figuur 34, dat in dit geval, Δ1̅𝑡 dezelfde zin heeft als ̅̅̅1𝑛 , waardoor we dus het plusteken moeten kiezen in vergelijking 5.44. Figuur 34: Variatie van de eenheidsvectoren van Frenet. Vergelijking 5.44 wordt dus: 𝑑1̅𝑡 1 (5.52) = ̅̅̅ 1 𝑑𝑠 𝜌 𝑛 Wat de eerste formule van Frenet bewijst. 5.6.3 Bewijs van de tweede formule van Frenet In wat volgt bewijzen we de tweede formule van Frenet (vergelijking 5.39): 𝑑1̅𝑏 1 = − 1̅𝑛 𝑑𝑠 𝜏 Vermits ̅̅̅ 1𝑏 een vector met constante modulus is, geldt: 𝑑1̅𝑏 (5.53) ⊥ 1̅𝑏 𝑑𝑠 ̅𝑏 𝑑1 Zodat evenwijdig is aan het osculatievlak. 𝑑𝑠 Uit vergelijking 5.11 weten we dat: ̅̅̅ 1𝑏 = ̅̅̅ 1𝑡 × ̅̅̅ 1𝑛 (5.54)  47 En dus kunnen we schrijven: 𝑑1̅𝑏 𝑑1̅𝑡 𝑑1̅𝑛 (5.55) = × 1̅𝑛 + 1̅𝑡 × 𝑑𝑠 𝑑𝑠 𝑑𝑠 ̅𝑡 𝑑1 Vermits uit de 1ste formule volgt dat en 1̅𝑛 evenredige vectoren zijn geldt: 𝑑𝑠 𝑑1̅𝑡 × 1̅𝑛 = 0 (5.56) 𝑑𝑠 Uit vergelijking 5.55 kunnen we dus afleiden dat: 𝑑1̅𝑏 ⊥ 1̅𝑡 (5.57) 𝑑𝑠 ̅𝑏 𝑑1 En dus dat evenwijdig is met het normaalvlak. 𝑑𝑠 ̅𝑏 𝑑1 Uit de conclusies dat evenwijdig is aan het osculatievlak en het normaalvlak volgt dat: 𝑑𝑠 𝑑1̅𝑏 = ±𝑘′1̅𝑛 (5.58) 𝑑𝑠 Om de waarde van de evenredigheidscoëfficiënt k’ te bepalen, beschouwen we de bolindicatrix van ̅̅̅ 1𝑏 (Figuur 35). We noemen ∆σ’ de booglengte op deze bolindicatrix en ∆β de hoek tussen ̅̅̅ 1𝑏 en ̅̅̅̅ 1𝑏′. Dan kunnen we schrijven: ̅̅̅𝑏 Δ1 ̅̅̅𝑏 Δ𝜎′ Δ𝛽 Δ1 |𝑘′| = lim | | = lim (| | | | | |) (5.59) ∆𝑠→0 Δ𝑠 ∆𝑠→0 Δ𝜎′ Δ𝛽 Δ𝑠 ‘ Figuur 35: Bolindicatrix van ̅̅̅ 𝟏𝒃.  48 Analoog als in het 1ste bewijs is ̅̅̅𝑏 Δ1 lim | |=1 (5.60) ∆𝑠→0 Δ𝜎′ en Δ𝜎′ (5.61) lim | |=1 ∆𝑠→0 Δ𝛽 Zodat, gebruikmakend van de definitie van de torsiestraal (vergelijking 5.38), de uitdrukking voor 𝑘 ′ kan worden vereenvoudigd tot: 1 (5.62) |𝑘′| = 𝜏 Om het teken in vergelijking 5.58 te bepalen bekijken we opnieuw Figuur 31, waarop de eenheidsvectoren van Frenet voor twee opeenvolgende punten van een baan zijn afgebeeld, op tijdstip t en t’, waarbij ⃗1𝑡 zijn richting blijft behouden (dus ⃗1𝑡 = ⃗1′𝑡 ). Zoals geïntroduceerd in paragraaf 5.5.3 is Δ𝛽 per definitie positief indien de richting van de rotatie overeenkomt met de positieve richting van het rechtshandige assenstelsel. Vanuit ⃗ 𝑏 in de omgekeerde zin ligt van ⃗1𝑛 , en Figuur 31 is het duidelijk dat, voor Δ𝛽 > 0, dat Δ1 ⃗ 𝑏 = 𝑘1 dus dat Δ1 ⃗ 𝑛 met k een negatieve constante. Op een gelijkaardige manier kan via een eenvoudige schets worden bekomen dat ook voor Δ𝛽 < 0 geldt dat k een negatieve constante moet zijn. Dus bekomen we: 𝑑1̅𝑏 1 = − 1̅𝑛 (5.63) 𝑑𝑠 𝜏 5.6.4 Bewijs van de 3de formule van Frenet Het bewijs van de derde formule van Frenet: 𝑑1̅𝑛 1 1 = − 1̅𝑡 + 1̅𝑏 𝑑𝑠 𝜌 𝜏 wordt onmiddellijk gevonden door combinatie van de 2 voorgaande formules. Gezien: ̅̅̅ 1𝑛 = ̅̅̅ 1𝑏 × ̅̅̅ 1𝑡 (5.64) Kunnen we, gebruikmakend van de kettingregel, schrijven: 𝑑1̅𝑛 𝑑1̅𝑏 𝑑1̅𝑡 = × 1̅𝑡 + 1̅𝑏 × (5.65) 𝑑𝑠 𝑑𝑠 𝑑𝑠 Substitutie van formules 5.52 en 5.63 levert het bewijs van de derde formule.  49 5.7 Beweging in Frenet assen Gelijkaardig als in hoofdstuk 3, waarin de beweging werd bekeken in een Cartesisch assenstelsel, en dus de plaats-, snelheids-, en versnellingsvector werd ontbonden in Cartesische coördinaten, kunnen we een kromlijnige beweging bestuderen in Frenet assen. 5.7.1 Snelheid in Frenet assen De snelheidsvector kan eenvoudig worden uitgedrukt in Frenet assen, aangezien deze gelegen is volgens de raaklijn: 𝑣̅ = 𝑣1̅𝑡 (5.66) 5.7.2 Versnelling in Frenet assen De versnelling kan als volgt worden uitgeschreven in Frenet assen: 𝑑𝑣̅ 𝑑 𝑑𝑣 𝑑1̅𝑡 𝑎̅ = = (𝑣 1̅𝑡 ) = 1̅𝑡 + 𝑣 (5.67) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 De tweede term kan met behulp van de 1ste formule van Frenet (vergelijking 5.39) als volgt worden geschreven: 𝑑1̅𝑡 𝑑1̅𝑡 𝑑𝑠 𝑣 = = 1̅ (5.68) 𝑑𝑡 𝑑𝑠 𝑑𝑡 𝜌 𝑛 Substitutie in vergelijking 5.67 levert de uitdrukking van de versnellingsvector in Frenet componenten: 𝑑𝑣 𝑣2 𝑎̅ = 1̅𝑡 + 1̅𝑛 (5.69) 𝑑𝑡 𝜌 Bovenstaande formule wordt de ontbinding van Huygens genoemd. Zoals reeds vroeger werd opgemerkt ligt de versnellingsvector in het osculatievlak, waardoor er logischerwijs geen componente is volgens de binormale ̅̅̅ 1𝑏. De versnelling kan dus ontbonden worden volgens een tangentiële component:  50 𝑑𝑣 𝑑2 𝑠 (5.70) 𝑎𝑡 = = 𝑑𝑡 𝑑𝑡 2 En een normale component (Figuur 36): 𝑣2 𝑎𝑛 = 𝜌 (5.71) s ̅𝒕 en 𝟏 Figuur 36: Ontbinding van de versnelling volgens 𝟏 ̅𝒏. Aangezien 𝑎𝑛 ≥ 0 is de versnellingscomponente volgens de hoofdnormale steeds naar het krommingsmiddelpunt gericht. Bij een eenparige beweging geldt dat 𝑣 = 𝑣0 , waardoor de tangentiele component in vergelijking 5.69 gelijk is aan 0. De versnellingsvector is dus in dat geval gericht volgens de hoofdnormale: 𝑣0 2 𝑎̅ = 1̅ (5.72) 𝜌 𝑛 In een buigpunt of bij een rechtlijnige beweging geldt dat 𝜌 = ∞. In dit geval is de versnelling zuiver tangentieel: 𝑑𝑣 𝑑2𝑠 𝑎̅ = 1̅𝑡 = 2 1̅𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 (5.73) 5.7.3 Modulus van de versnellingsvector De modulus van de versnellingsvector kan eenvoudig worden bepaald uit de kennis van de componenten. In paragraaf 3.4 zagen we dat de Cartesische componenten van de versnellingsvector de dubbele tijdsafgeleiden zijn van de componenten van de plaatsvector:  51 𝑎̅ = 𝑥̈ ̅̅̅ 1𝑥 + 𝑦̈ ̅̅̅ 1𝑦 + ?