Chapitre 4 : Dynamique des solides indéformables PDF

Cours mécanique du solide Chapitre 4 : Dynamique des solides indéformables GIAP3404 1 Pr. HAJAJI Anas  Chapitre 4 : Dynamique des solides indéformables 1...

Cours mécanique du solide Chapitre 4 : Dynamique des solides indéformables GIAP3404 1 Pr. HAJAJI Anas  Chapitre 4 : Dynamique des solides indéformables 1. Représentation mathématique d’une action mécanique 1.1. Définition d’une action mécanique 2 Pr. HAJAJI Anas  Chapitre 4 : Dynamique des solides indéformables 1. Représentation mathématique d’une action mécanique 1.1. Définition d’une action mécanique On appelle action mécanique toute cause susceptible de maintenir un corps au repos, ou de créer un mouvement, ou de déformer un corps. 3 Pr. HAJAJI Anas  Chapitre 4 : Dynamique des solides indéformables 1. Représentation mathématique d’une action mécanique 1.2. Classification des actions mécaniques Les actions mécaniques sont de divisés en deux catégories : Actions mécaniques à distance  champ de pesanteur, champ électromagnétiques,….  Actions mécaniques de contact 4 Pr. HAJAJI Anas  Chapitre 4 : Dynamique des solides indéformables 1. Représentation mathématique d’une action mécanique 1.2. Classification des actions mécaniques On peut classer les actions mécaniques en : Actions mécaniques extérieures qu’exerce le milieu extérieur à un solide  S . Actions mécaniques intérieures qu’exerce toute partie de  S  sur une autre partie de  S . 5 Pr. HAJAJI Anas  Chapitre 4 : Dynamique des solides indéformables 1. Représentation mathématique d’une action mécanique 1.2. Classification des actions mécaniques Exemple : (S ) (B) (A) (E ) Figure 1 : Le solide  S  est formé de deux corps  A  et  B . 6 Pr. HAJAJI Anas  Chapitre 4 : Dynamique des solides indéformables 1. Représentation mathématique d’une action mécanique 1.2. Classification des actions mécaniques Exemple : (B) (S ) (A) (E ) Figure 2 : Le solide  S  est formé d'un seul corps  A . 7 Pr. HAJAJI Anas  Chapitre 4 : Dynamique des solides indéformables 1. Représentation mathématique d’une action mécanique 1.3. Torseur des actions mécaniques extérieures Le torseur représentant l’action mécanique extérieure d’un système  E  sur  S  s’écrit :   R (E S )  F  (E S )      M A (E S )  AP  F  P est le point d’application de la force F. 8 Pr. HAJAJI Anas  Chapitre 4 : Dynamique des solides indéformables 1. Représentation mathématique d’une action mécanique 1.3. Torseur des actions mécaniques extérieures Dans le cas général, si le corps  S  subit de la part du système  E  une action mécanique représentée  par un système de n forces ( Pi , Fi ), on caractérise cette action par le torseur suivant : n   R (E S )   Fi   (E S )    i n   M (E S )  AP  F  A i i i 9 Pr. HAJAJI Anas  Chapitre 4 : Dynamique des solides indéformables 1. Représentation mathématique d’une action mécanique 1.3. Torseur des actions mécaniques extérieures Dans le cas général, si le corps  S  subit de la part du système  E  une action mécanique à densité  volumique, surfacique ou linéique  de force, on caractérise cette action par le torseur suivant :   R (E S )  dF    (E S )      M A (E S )   AP  dF 10 Pr. HAJAJI Anas  Chapitre 4 : Dynamique des solides indéformables 1. Représentation mathématique d’une action mécanique 1.3. Torseur des actions mécaniques extérieures Application : On considère un système  S  de masse m, de densité volumique  soumis à l’action du champ de pesanteur uniforme g.  z  g Soit dF la force élémentaire appliquée à l’élément de volume dV.  1) Donner l’expression de la force dF. dV y 2) Donner le torseur associé à l’action du champ de pesanteur sur le système  S .  dF x Figure 3 : Action mécanique extérieure. Pr. HAJAJI Anas 11  Chapitre 4 : Dynamique des solides indéformables 1. Représentation mathématique d’une action mécanique 1.3. Torseur des actions mécaniques extérieures Réponse :  1)dF   dV g    R ( P S )  dF  F  mg  (S ) 2) ( P S )      M A ( P S )   AM  dF Avec :  (S )         S    dmAM  g    S AM  dF ( )  ( ) (S ) dmAM  g  mAG  g  AG  F 12 Pr. HAJAJI Anas  Chapitre 4 : Dynamique des solides indéformables 1. Représentation mathématique d’une action mécanique 1.4. Torseur des actions mécaniques intérieures Lorsque le système matériel  S  est continu, il n’est pas toujours possible de représenter les effets des actions mécaniques intérieures à ce système par un torseur. 13 Pr. HAJAJI Anas  Chapitre 4 : Dynamique des solides indéformables 2. Lois de la dynamique dans un référentiel galiléen 2.1.Référentiel galiléen 14 Pr. HAJAJI Anas  Chapitre 4 : Dynamique des solides indéformables 2. Lois de la dynamique dans un référentiel galiléen 2.1.Référentiel galiléen Le repère associé au référentiel galiléen décrit un mouvement de translation rectiligne uniforme par rapport au repère absolu. 15 Pr. HAJAJI Anas  Chapitre 4 : Dynamique des solides indéformables 2. Lois de la dynamique dans un référentiel galiléen 2.2.Enoncé du principe fondamental de la dynamique Dans un référentiel galiléen T, le torseur dynamique D(S)(R)  d’un système matériel  S  est égal au torseur  (ext S ) des actions mécaniques extérieures qui agissent sur ce système. D    (ext S ) (R ) (S ) 16 Pr. HAJAJI Anas  Chapitre 4 : Dynamique des solides indéformables 2. Lois de la dynamique dans un référentiel galiléen 2.2.Enoncé du principe fondamental de la dynamique La loi précédente conduit à deux lois vectorielles indépendantes : Une loi relative à la résultante des deux torseurs : Théorème de la résultante dynamique. Une loi relative au moment des deux torseurs : Théorème du moment dynamique. 17 Pr. HAJAJI Anas  Chapitre 4 : Dynamique des solides indéformables 2. Lois de la dynamique dans un référentiel galiléen 2.2.Enoncé du principe fondamental de la dynamique 2.2.1 Théorème de la résultante dynamique : Ce théorème est encore appelé théorème de la résultante cinétique ou théorème du centre d’inertie ou théorème de la quantité de mouvement. Dans un référentiel galiléen T, la résultante dynamique d’un système matériel fermé  S  est égale à la résultante des actions mécaniques extérieures qui agissent sur  S .   R D    R (ext S ) (R ) (S )   Soit : ma (G / T )  Fext 18 Pr. HAJAJI Anas  Chapitre 4 : Dynamique des solides indéformables 2. Lois de la dynamique dans un référentiel galiléen 2.2.Enoncé du principe fondamental de la dynamique 2.2.2 Théorème du moment dynamique : Ce théorème est encore appelé théorème du moment cinétique.  Dans un référentiel galiléen T, le moment dynamique DA d’un système matériel  fermé  S  défini en A est égale au moment M A ,ext des actions mécaniques extérieures qui agissent sur  S .    M A DS  D (T ) A  M A ,ext 19 Pr. HAJAJI Anas  Chapitre 4 : Dynamique des solides indéformables 2. Lois de la dynamique dans un référentiel galiléen 2.2.Enoncé du principe fondamental de la dynamique a) Théorème de la résultante dynamique : Remarque : Il est à noter que les théorèmes de la résultante dynamique et du moment dynamique sont bien indépendant l'un par rapport à l'autre. Ce qui n'est pas le cas pour le point matériel. 20 Pr. HAJAJI Anas  Chapitre 4 : Dynamique des solides indéformables 2. Lois de la dynamique dans un référentiel galiléen 2.3.Théorème du moment dynamique en un point fixe A dans R Déterminons l’expression entre le moment dynamique et le moment cinétique en un point A. 21 Pr. HAJAJI Anas  Chapitre 4 : Dynamique des solides indéformables 2. Lois de la dynamique dans un référentiel galiléen 2.3.Théorème du moment cinétique en un point fixe A dans R Réponse : Nous avons :   dLA  d   (T )       AM  v (M , t )dm(M )   dt (T ) dt  ( S )    d   (T )    (T )      AM   v (M , t )dm(M )     AM  a (M , t )dm(M )   ( S )  dt (T )   (S )  22 Pr. HAJAJI Anas  Chapitre 4 : Dynamique des solides indéformables 2. Lois de la dynamique dans un référentiel galiléen 2.3.Théorème du moment cinétique en un point fixe A dans R Réponse :   dLA   (T ) (T ) (T )    (T )    dt   v ( M , t )  v ( A , t   v ( M , t )dm ( M )    AM  a ( M , t )dm ( M )   (T )  ( S )   ( S )  (T ) (T )   mv ( A , t )  v (G , t )  DA 23 Pr. HAJAJI Anas  Chapitre 4 : Dynamique des solides indéformables 2. Lois de la dynamique dans un référentiel galiléen 2.3.Théorème du moment cinétique en un point fixe A dans R Réponse : Soit :    dLA  (T ) (T ) DA     mv ( A , t )  v (G ,t )  dt (T ) 24 Pr. HAJAJI Anas  Chapitre 4 : Dynamique des solides indéformables 2. Lois de la dynamique dans un référentiel galiléen 2.3.Théorème du moment dynamique en un point fixe A dans R  Dans un référentiel galiléen T, la dérivée par rapport au temps du moment cinétique LA  d’un système matériel fermé (S), en un point A fixe de T, est égale au moment M A ,ext en A des actions mécaniques extérieures qui agissent sur  S :   dLA       DA  M A ,ext  dt (T ) A est un point fixe de T. 25 Pr. HAJAJI Anas  Chapitre 4 : Dynamique des solides indéformables 2. Lois de la dynamique dans un référentiel galiléen 2.4.Théorème du moment dynamique par rapport à un axe ∆ dans R Soit A un point fixe dans T, considérons un axe D passant par A, de vecteur unitaire e fixe dans R en projetant le théorème du moment cinétique sur cet axe, nous obtenons le théorème du momentcinétique par rapport à l’axe D:  dL     M ,ext  dt (T ) En désignant par :   L  LA  e   M  ,ext  M A ,ext  e 26 Pr. HAJAJI Anas  Chapitre 4 : Dynamique des solides indéformables 2. Lois de la dynamique dans un référentiel galiléen 2.5.Théorème du moment dynamique en un point quelconque Nous avons :   dLA   DA   v ( A / T )  mv (G / T ) dt Le théorème du moment cinétique en un point quelconque devient :  dLA     v ( A / T )  mv (G / T )  M A ,ext dt 27 Pr. HAJAJI Anas  Chapitre 4 : Dynamique des solides indéformables 2. Lois de la dynamique dans un référentiel galiléen 2.5.Théorème du moment dynamique en un point quelconque L’expression précédente se simplifie si le point A se trouve au centre d’inertie G. Nous obtenons alors :  dLG   MG ,ext dt 28 Pr. HAJAJI Anas  Chapitre 4 : Dynamique des solides indéformables 4. Lois de la dynamique dans un référentiel Barycentrique 4.1.Théorème du moment dynamique D’après le théorème de Koenig :  *   LA  LG  mAG  v (G / T )  *  DA  DG  mAG  a(G / T ) Donc :  *  * LG  LG et DG  DG 29 Pr. HAJAJI Anas  Chapitre 4 : Dynamique des solides indéformables 4. Lois de la dynamique dans un référentiel Barycentrique 4.1.Théorème du moment dynamique D'autre part , nous avons :    d  d   d    MG ,ext  DG   LG    LG *    LG *   DG *  dt  /T  dt  /T  dt  /T * 30 Pr. HAJAJI Anas  Chapitre 4 : Dynamique des solides indéformables 4. Lois de la dynamique dans un référentiel Barycentrique 4.1.Théorème du moment dynamique Enoncé : Dans le référentiel barycentrique T*, le théorème du moment cinétique s’applique au point G du système  S  comme en un point fixe d’un référentiel galiléen. d      LG *   DG *  MG ,ext  dt T * Remarque : Le référentiel barycentrique T* n'est pas forcément un référentiel galiléen. 31 Pr. HAJAJI Anas  Chapitre 4 : Dynamique des solides indéformables 5. Lois de la dynamique dans un référentiel non galiléen T’ 5.1.Théorème de la résultante dynamique Enoncé : Dans un référentiel non galiléen T', la résultante dynamique dans T' d’un système matériel fermé  S  est égale à la résultante des actions mécaniques extérieures qui agissent sur  S .     ma (G / T ')  Fext  Fie  FiC  Avec : Fie  mae (G ) La force d’inertie d’entrainement  FiC  maC (G ) La force d’inertie de Coriolis 32 Pr. HAJAJI Anas  Chapitre 4 : Dynamique des solides indéformables 5. Lois de la dynamique dans un référentiel non galiléen T’ 5.1.Théorème de la résultante dynamique Avec :        ae (G )  a (O '/ T )  (T '/ T )  O 'G  (T '/ T )  ( (T '/ T )  O 'G )    aC (G )  2(T '/ T )  v (G / T ') 33 Pr. HAJAJI Anas  Chapitre 4 : Dynamique des solides indéformables 5. Lois de la dynamique dans un référentiel non galiléen T’ 5.2.Théorème du moment dynamique en A’ Enoncé :  Dans un référentiel non galiléen T', le moment dynamique D 'A ' d’un système matériel fermé  S   défini en A' est égale au moment M A ',ext des actions mécaniques extérieures,le moment des forces d'enrainement en A' et le moment des forces de Coriolis en A'.       D 'A '  S ( ) A ' M  a (M / T ')dm  M A ',ext  M A ',ie  M A ',iC 34 Pr. HAJAJI Anas  Chapitre 4 : Dynamique des solides indéformables 5. Lois de la dynamique dans un référentiel non galiléen T’ 5.2.Théorème du moment dynamique Avec :    M A ',ie    A ' M  ae (M )dm : Moment des forces d’entrainement en A’ (S )    M A ',iC    A ' M  aC (M )dm : Moment des forces de Coriolis en A’ (S ) 35 Pr. HAJAJI Anas  Chapitre 4 : Dynamique des solides indéformables 5. Lois de la dynamique dans un référentiel non galiléen T’ 5.2.Théorème du moment dynamique Si A' est un point fixe de T', alors :    dLA '     D 'A '     MA ',ext  MA ',ie  MA ',iC  dt /T ' 36 Pr. HAJAJI Anas  Chapitre 4 : Dynamique des solides indéformables 6. Etude énergétique des systèmes matériels Objectifs : Extension du théorème de l’énergie cinétique dans le cas d’un système matériel. Energie mécanique d’un système matériel. 37 Pr. HAJAJI Anas  Chapitre 4 : Dynamique des solides indéformables 6. Etude énergétique des systèmes matériels 6.1.Théorème de l’énergie cinétique Enoncé : Dans le cas où un solide en mouvement dans un référentiel galiléen T, la dérivée par rapport au temps de l'énergie cinétique d'un solide (S) est égale à la puissance des actions mécaniques extérieures qui s'exercent sur ce solide.  dE C     Pext  dt (T ) 38 Pr. HAJAJI Anas  Chapitre 4 : Dynamique des solides indéformables 6. Etude énergétique des systèmes matériels 6.1.Théorème de l’énergie cinétique En intégrant la relation précédente entre deux instants t 1 et t 2 , nous obtenons l'expression suivante qui traduit le fait que la variation de l'énergie cinétique entre deux instants t 1 et t 2 est égale au travail des actions mécaniques extérieures entre les instants t 1 et t 2. E C (t 2 )  E C (t 1 )  Wext (t 1 ,t 2 ) 39 Pr. HAJAJI Anas  Chapitre 4 : Dynamique des solides indéformables 6. Etude énergétique des systèmes matériels 6.2.Définition de la puissance La puissance d’un système  S  soumis à l’action mécanique représentée par le torseur  (ext S ) est donné par le scalaire :   Pext (T )(S )  S(T )   (ext S ) Si M est un point appartenant au solide  S , alors, on peut écrire :     (T ) Pext (S )  R  (ext S )  v (M ,t )  MM  (ext S )  S (T ) 40 Pr. HAJAJI Anas  Chapitre 4 : Dynamique des solides indéformables 6. Etude énergétique des systèmes matériels 6.2.Définition de la puissance Exemple : Solide (S) Moteur   Considérons un solide soumis aux actions mécaniques extérieures suivantes :   G son poids qui est une force passant par G, donc, cette force est P  mg  représentée par un glisseur défini par la résultante m g et son I   Support (E)  moment résultant en G, MG ,poids  0.   Actions de contact (RC , MI ) Un couple de moment  exercé par un moteur (On supposera que la   Figure 4 : Puissance des actions mécaniq ues extérieures. résultante de l'action du moteur est nulle : R = 0) Des actions mécaniques de contact exercées par un support (E) est   défini par la résultante RC et le moment MI en I. Le torseur des actions mécaniques extérieures est défini en G par : 41 Pr. HAJAJI Anas  Chapitre 4 : Dynamique des solides indéformables 6. Etude énergétique des systèmes matériels 6.2.Définition de la puissance Exemple : Solide (S) Moteur   Le torseur des actions mécaniques extérieures est défini en G par :   G       P  mg sa résultante : Fext  mg  R  Rc  mg  Rc     I son moment en G : MG ,ext  MG ,poids    MG ,c Support (E)   Actions de contact (RC , MI ) Figure 4 : Puissance des actions mécaniques extérieures. Le torseur cinématique du solide (S) est défini en G par :  sa résultante :   son moment en G : v (G / R ) 42 Pr. HAJAJI Anas  Chapitre 4 : Dynamique des solides indéformables 6. Etude énergétique des systèmes matériels 6.2.Définition de la puissance Exemple : Solide (S) Moteur   La puissance des actions mécaniques extérieures est le produit   G des deux torseurs définis précédement : P  mg     I Pext  Fext  v (G / R )  MG ,ext   Support (E)   Actions de contact (RC , MI ) Soit : Figure 4 : Puissance des actions mécaniq ues extérieures.         Pext  mg  v (G / R )  RC  v (G / R )  MG ,C       Soit encore :          Pext  mg  v (G / R )      RC  v (G / R )  MG ,C    43 Pr. HAJAJI Anas  Chapitre 4 : Dynamique des solides indéformables 6. Etude énergétique des systèmes matériels 6.2.Définition de la puissance Exemple : Solide (S) Moteur   Les deux derniers termes qui représentent la puissance des actions mécanique   G de contact peuvent s'exprimer en I. En effet, le produit de deux torseurs P  mg est indépendant du point choisi : I         Support (E)     RC  v (G / R )  MG ,C    RC  v ( I  (S ) / R )  MI ,C     Actions de contact (RC , MI ) Figure 4 : Puissance des actions mécaniq ues extérieures. La puissance des actions mécaniques extérieures peut s'exprimer également sous la forme suivante :          Pext  mg  v (G / R )      RC  v ( I  (S ) / R )  MI ,C    44 Pr. HAJAJI Anas  Chapitre 4 : Dynamique des solides indéformables 6. Etude énergétique des systèmes matériels 6.3.Théorème de l’énergie cinétique dans un référentiel non galiléen T’ Enoncé : Dans le cas où un solide en mouvement dans un référentiel non galiléen T', la dérivée par rapport au temps de l'énergie cinétique d'un solide (S) est égale à la puissance des actions mécaniques extérieures qui s'exercent sur ce solide et la puissance des forces d'inertie d'entrainement :  dE 'C     P 'ext  P 'fie  dt (T ') 45 Pr. HAJAJI Anas  Chapitre 4 : Dynamique des solides indéformables 6. Etude énergétique des systèmes matériels 6.3.Théorème de l’énergie cinétique dans un référentiel non galiléen R’ En intégrant la relation précédente entre deux instants t 1 et t 2 , nous obtenons l'expression suivante qui traduit le fait que la variation de l'énergie cinétique entre deux instants t 1 et t 2 est égale au travail des actions mécaniques extérieures et des forces d'inertie d'entraînement entre les instants t 1 et t 2. E 'C (t 2 )  E 'C (t 1 )  W 'ext (t 1 , t 2 )  W 'fie (t 1 , t 2 ) 46 Pr. HAJAJI Anas  Chapitre 4 : Dynamique des solides indéformables 6. Etude énergétique des systèmes matériels 6.4.Energie potentielle, Energie mécanique d’un système a) Energie potentielle associée à une action mécanique : Une action mécanique dérive d’une énergie potentielle si le travail de cette action entre deux positions ne dépend pas des positions intermédiaires. Nous pouvons écrire : WAB  E P ( A )  E P ( B ) Ou encore, entre deux positions infiniment voisines :  W  dE P 47 Pr. HAJAJI Anas  Chapitre 4 : Dynamique des solides indéformables 6. Etude énergétique des systèmes matériels 6.4.Energie potentielle, Energie mécanique d’un système a) Energie potentielle associée à une action mécanique : Exemple: Considérons un couple de rappel élastique =-C( -0 ) appliquée à un solide en rotation autour de l'axe autour ( ). La puissance de cette action est : d Pext     C(  0 )  dt Figure 5 : Le ressort spirale excerce sur la tige en Entre deux positions repérés par A et B , le travail de cette action est donc : rotation un couple de rappel élastique. B B C W   Pext dt  C  (  0 )d   A B ( A   0 )2  ( B   0 )2  A A 2 48 Pr. HAJAJI Anas  Chapitre 4 : Dynamique des solides indéformables 6. Etude énergétique des systèmes matériels 6.4.Energie potentielle, Energie mécanique d’un système a) Energie potentielle associée à une action mécanique : Exemple: Nous pouvons remarquer que le travail de cette action ne dépend pas des positions intérmédiaires, ainsi, l'action représenté par le couple de rappel élastique dérive d'une énergie potentielle donnée par :  C E P ( )  (  0 )2  Cte 2 Figure 5 : Le ressort spirale excerce su r la tige en rotation un couple de rappel élastique. 49 Pr. HAJAJI Anas  Chapitre 4 : Dynamique des solides indéformables 6. Etude énergétique des systèmes matériels 6.4.Energie potentielle, Energie mécanique d’un système b) Energie mécanique : L’énergie mécanique d’un système  S  est la somme de son énergie cinétique EC et de son énergie potentielle E P : E M  EC  E P Le théorème de l’énergie cinétique conduit pour un système  S  à : dE M   WNC  WNC représente le travail élémentaire de toutes les actions mécaniques non conservatives (intérieures et extérieures) : 50 Pr. HAJAJI Anas  Chapitre 4 : Dynamique des solides indéformables 6. Etude énergétique des systèmes matériels 6.4.Energie potentielle, Energie mécanique d’un système c) Conservation de l’énergie mécanique : Si toutes les actions mécaniques dérivent d’une énergie potentielle , alors l’énergie mécanique du système se conserve au cours du mouvement. Le système  S  est dit conservatif : E M  E C  E P  Cte 51 Pr. HAJAJI Anas