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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICO–MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS ELEMENTALES PUEBLA, PUE., OTOÑO DE 2010 (rev. 2 de julio de 2016) A esa de quien olvidé sus generales pero recuerdo sus particulares PROLEGÓMENO El verano de 1991 vio nacer un libro escrito por un grupo de profe- sores de la Facultad de Ciencias Fı́sico–Matemáticas —“La Comisión” (Celestino Soriano Soriano, Juan Angoa Amador, Jaime Arroyo Garcı́a David Herrera Carrasco, Agustı́n Contreras Carreto, Fernando Velázquez Castillo y Raúl Linares Garcı́a) — y que lleva el mismo nombre que la materia para la que serv ı́a de texto: “Matemáticas Básicas”. En vista de la “renovación” de los planes de estudio realizadas en la B.U.A.P. desde 1992, fue necesaria la adaptación de dicha obra, introduciendo algunos temas, reduciendo otros y transformando otros más, hasta dar a luz a un un hijo bastardo del “Matemáticas Básicas” en la misma facultad, pero cuatro veranos después que su padre, y con una finalidad análoga: servir de texto para el curso que le dá nombre: “Matemáticas Elementales”. Los parteros —“Una subcomisión” de la “La Comisión– esperan con fervor que, en este nene, los genes heredados y las mutaciones operadas, sean las adecuadas ya que, de resultar contrahecho, tendrá que ser aban- donado en “la Peña”de los espartanos y los únicos responsables de ello —“Una subcomisión– serán merecedores de una “actuación” en el circo romano. El trabajo de transcribir nuestro manuscrito a LATEX, fue realmente ciclópeo. Agradecemos infinitamente a Luis Alberto Torres Ramı́rez el que se hubiera animado a realizarlo. ATENTAMENTE “Una subcomisión” J. Juan Angoa Amador Agustı́n Contreras Carreto Manuel Ibarra Contreras Raúl Linares Gracia Armando Martı́nez Garcı́a Índice general 1. Lógica 1 1.1. Introducción.......................... 1 1.2. Proposiciones lógicas y conectivos.............. 2 1.3. Tablas de verdad y equivalencias.............. 5 1.4. Cuantificadores........................ 14 1.5. Razonamiento......................... 24 1.6. Métodos de Demostración.................. 32 1.6.1. Demostraciones directas................ 34 1.6.2. Demostraciones indirectas............... 37 1.6.3. Ejemplos y contraejemplos.............. 40 1.7. Apéndice 1........................... 43 1.8. Apéndice 2........................... 47 2. Conjuntos 48 2.1. Introducción.......................... 48 2.2. Conjunto Universal...................... 55 2.3. Subconjuntos......................... 56 2.4. Igualdad de conjuntos.................... 59 2.5. Construcción de nuevos conjuntos a partir de otros.... 63 3. Números reales 73 3.1. Introducción.......................... 73 3.2. Consecuencias de los Axiomas de Campo.......... 76 3.3. Consecuencias de los Axiomas de Orden.......... 90 3.4. El Axioma del Supremo................... 121 3.5. Los números Naturales.................... 133 3.6. Números Enteros, Racionales e Irracionales......... 146 iii iv ÍNDICE GENERAL 3.7. Representación a-naria................... 168 3.8. Apéndice 1........................... 203 4. Funciones 206 4.1. Introducción.......................... 206 4.2. Formas de definir una función................ 215 4.3. Igualdad de funciones..................... 227 4.4. Gráfica de una función.................... 229 4.5. Composición de funciones.................. 239 4.6. Funcion inyectivas....................... 243 4.7. Funciones suprayectivas................... 248 4.8. Funcion biyectivas...................... 253 4.9. Función inversa........................ 254 4.10. Algebra de funciones reales.................. 260 4.11. Algunas funciones especiales................. 268 Capı́tulo 1 LÓGICA §1 1.1. Introducción En el lenguaje cotidiano las expresiones adolecen de poder tener dis- tintos significados, cosa que hace interesante a la literatura, pero en ma- temáticas no podemos darnos ese lujo: no es posible que cada quien le de un significado distinto a expresiones como “si x es mayor que 3, entonces x es mayor que 2”. Con la intención de, en la medida de lo posible, darle exactitud al dis- curso, el estudio de los procesos lógicos cobra interés. También es necesa- rio distinguir entre argumentos correctos, Recordar que en matemáticas ası́ como en la ciencia, la actividad demostrativa juega un papel impor- tante. En este curso no pretendemos estudiar a fondo la lógica formal, sino reafirmar algunas actividades centrales como: analizar la estructura lógica del discurso matemático, ası́ como decidir si los pasos que se siguen en una demostración son válidos o no. 1 2 CAPÍTULO 1. LÓGICA §2 1.2. Proposiciones lógicas y conectivos Para nuestros propósitos una frase que tenga la propiedad de ser falsa o verdadera y sólo una de estas posibilidades se llamará Proposición Lógica. Si una proposición es verdadera diremos que su valor de verdad es V , y si es falsa diremos que su valor de verdad es F. La frase ¡Viva México!, al interrogarse de si es verdadera o falsa, uno encontrará que no es ninguna de las dos cosas. Podemos concluir que dicha frase no es proposición lógica. Ahora veamos las siguientes proposiciones lógicas: a) 1 + 1 = 2 b) La suma de números enteros es un número entero. c) 3 es mayor que 2. d) 4 es un número negativo. e) Está lloviendo ahora en la Plaza Roja de Moscú. Es claro que todas ellas sı́ tienen un valor de verdad; es más, podemos afirmar que las tres primeras son verdaderas y la penúltima es falsa. Re- sumiendo: a), b) y c) tienen valor de verdad V y d) tiene valor de verdad F. ¡Atención!: La proposición e) es proposición lógica a pesar de no poder decidir su valor de verdad (desde C.U. y sin la magia de la comunicación). Analicemos las siguientes proposiciones lógicas: 1.2. PROPOSICIONES LÓGICAS Y CONECTIVOS 3 a) 3 y 2 son números enteros. b) México y Guatemala son paı́ses centroamericanos. c) 3 + 1 = 4 y 2 + 2 = 4. Notemos que tienen una forma común: (...... ) y (...... ), donde los paréntesis (...... ) representan proposiciones lógicas. Las pro- posiciones lógicas a), b) y c) escritas en esta forma quedan: a) 3 es número entero y 2 es número entero. b) México es paı́s centroamericano y Guatemala es paı́s centroamericano. c) 3 + 1 = 4 y 2 + 2 = 4 Esto nos lleva a la definición: Definición 1.2.1 Si una proposición lógica se puede llevar a la forma: (Proposición) y (proposición), a tal proposición se le llama conjunción. En seguida enunciaremos formas clásicas de proposiciones lógicas que nos permitan una clasificación inicial de éstas. Definición 1.2.2 Cuando una proposición se puede llevar a la forma: (proposición) o (proposición), a dicha proposición se le llamará disyunción. Definición 1.2.3 si una proposición lógica se puede escribir en la forma: Si (proposición) entonces (proposición), 4 CAPÍTULO 1. LÓGICA a tal proposición se le llamará implicación o condicional. Es conveniente saber que la proposición condicional si p entonces q, también se puede escribir como: q si p, p implica q, p sólo si q, p es suficiente para q, q es necesaria para p y q siempre que p. Definición 1.2.4 Llamaremos negación a la proposición que tenga la forma: Es falso que (proposición). Ejemplos: 1. Si está lloviendo me mojaré. (condicional) 2. Juan es electrónico y Pedro también. (conjunción) 3. El dı́a de mañana será lluvioso o caluroso. (disyunción) 4. 3 o 2 son mayores que 1. (disyunción) 5. No es posible que exista transporte barato y cómodo. (negación) 6. Sólo estudiando aprobaré el curso. (implicación) En las proposiciones del tipo disyunción, conjunción e implicación, participan dos proposiciones. En las disyunciones y conjunciones es indis- tinto donde se coloquen tales proposiciones; sin embargo, en la implicación no. Ası́: “si llueve me mojo” cambia radicalmente si se transforma en “si me mojo entonces llueve”. 1.3. TABLAS DE VERDAD Y EQUIVALENCIAS 5 Para distinguir el diferente papel que juegan las dos proposiciones que forman la implicación, tenemos: Definición 1.2.5 En una impicación llamaremos antecedente a la pro- posición colocada entre “si” y “entonces” y llamaremos consecuente a la proposición colocada después de “entonces”. Veamos las proposiciones: 1. Es condición suficiente para que Avelino vuele, ser poeta. 2. Jaime podrá adelgazar si deja de comer. 1 y 2 son condicionales ya que se pueden escribir de la forma: 1. Si Avelino es poeta, Avelino vuela. 2. Si Jaime deja de comer entonces Jaime podrá adelgazar. Ya escritas ası́ uno podrá distinguir claramente el antecedente y el consecuente. Finalmente, a las siguientes partı́culas: y, o, si... entonces... , es falso que, se les agrupa con el nombre de conectivos lógicos. También a partir de ahora, escribiremos simplemente proposición en vez de proposición lógica. §3 1.3. Tablas de verdad y equivalencias Planteamos las siguientes preguntas: ¿Es posible que una conjunción sea verdadera si alguna de las propo- siciones que la forman es falsa? 6 CAPÍTULO 1. LÓGICA ¿Bajo qué condiciones de las proposiciones inmersas en una conjun- ción, ésta podrá ser falsa? Para dar luz acerca de estas preguntas, va la: Definición 1.3.1 Una conjunción es verdadera cuando y sólo cuando las dos proposiciones que la forman son verdaderas. Análogas preguntas podrı́an plantearse respecto de las disyunción y de la negación. Para esto: Definición 1.3.2 Una disyunción es verdadera cuando y sólo cuando alguna de las proposiciones que la forman es verdadera. Definición 1.3.3 Una negación es verdadera si y sólo si la proposición negada es falsa. Ahora bien, ¿pasa con la implicación? Veamos las siguientes proposiciones: “si dos es par, entonces 3 + 2 es impar ”. “siempre que dos es par, 3 + 2 es impar ”. “No ocurre que dos sea par y 3 + 2 no sea impar ”. Intuitivamente podemos aceptar que las tres proposiciones dicen lo mismo, es decir, estamos aceptando que: “Una implicación es la negación de una conjunción”. Ası́ que una implicación es verdadera si la conjunción es falsa; pero la tal conjunción está constituı́da por el antecedente y la negación del conse- cuente de la implicación; ası́ que la conjunción será falsa si el antecedente es falso o el consecuente es verdadero. Resumiendo: Definición 1.3.4 Una implicación es verdadera en cualquiera de los dos casos siguientes: a) El consecuente es verdadero. 1.3. TABLAS DE VERDAD Y EQUIVALENCIAS 7 b) El antecedente es falso. Observando estas condiciones, vemos que la única posibilidad que no se incluye es cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. Una manera de recordar esta conclusión es usando la siguiente afirmación: “Nunca una verdad implica una falsedad”. En lo que sigue adoptaremos formas simbólicas para las proposiciones. Ası́ las letras p, q, r, s, t,... , simbolizarán proposiciones, y nuestros tipos de proposiciones se simbolizarán: 1) p ∧ q conjunción de las proposiciones p y q. 2) p ∨ q disyunción de la proposiciones p y q. 3) ¬q negación de la proposición q. 4) p ⇒ q implicación con antecedente p y consecuente q. Ahora, si tenemos una proposición en forma simbólica, trataremos de sacar información acerca del comportamiento de su valor de verdad; para ésto, listaremos todas las combinaciones posibles en que aparezcan los valores de verdad de las proposiciones que forman tal proposición. Por ejemplo: ¬(¬p ∧ q) tiene 4 posibles combinaciones, a saber: 1) p verdadera y q verdadera. 2) p falsa y q verdadera. 3) p verdadera y q falsa. 4) p falsa y q falsa. 8 CAPÍTULO 1. LÓGICA En cada uno de estos casos, cada combinación determina un valor de verdad para ¬(¬p ∧ q) (¡claro!, uno de los dos posibles, F o V ). Enseguida ilustraremos una forma de listar las combinaciones de va- lores de verdad, ası́ como sus consecuencias en el valor de verdad de la porposición total. p q ¬p ∧ q ¬(¬p ∧ q) V V F V F V F F V F F V F F F V A tal lista se le llama Tabla de verdad de la proposición. Ahora observaremos la siguiente proposición: “Pedro es carpintero o no lo es” Tiene la forma simbólica p ∨ ¬p, donde p simboliza la proposición “Pedro es carpintero”. Su tabla de verdad es: p ¬p p ∨ ¬p V F V F V V es decir, p ∨ ¬p, sea como sea p, siempre es verdadera; su verdad no depende de quién sea p, sino de la forma que tiene la proposición. Una técnica con la que podremos saber cuándo una proposición es verdadera por su forma, seı́a: “Escribamos la proposición en la forma simbólica; construyamos su tabla de verdad y si siempre es verdadera, entonces tal proposición es verdadera por su forma”. Definición 1.3.5 Las proposiciones lógicas que son verdaderas por su forma son llamadas Tautologı́as. 1.3. TABLAS DE VERDAD Y EQUIVALENCIAS 9 Es importante tener en mente las principales formas simbólicas que dan lugar a tautologı́as. algunas de éstas se podrán hallar en los ejercicios o explı́citamente en los siguientes temas. Observemos las siguientes parejas de proposiciones: 1) Ni Pedro ni Juan son matemáticos. 2) Es falso que Pedro o Juan sean matemáticos. Notamos que dicen lo mismo; sin embargo quisieramos tener un méto- do, más seguro que la intuición, para asegurarnos que dos proposiciones dicen lo mismo. Para esto notemos que si dos proposiciones tinen igual contenido, no puede suceder que una de ellas sea falsa y la otra verdadera, asi que deben cumplir que ambas son verdaderas o ambas son falsas. Para continuar con esto analicemos la siguiente forma: (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) El estudiante comprobará sin lugar a dudas que esta proposición es falsa si p y q no coinciden en sus valores de verdad. Con esto justificamos la siguiente: Definición 1.3.6 Dos proposiciones p y q son equivalentes (tienen el mismo contenido) si (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) es tautologı́a. Simbolizaremos que p y q son equivalentes escribiendo: p ≡ q Nota 1 (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) se simboliza como: (p ⇔ q) y se lee: “p si y sólo si q” A este tipo de proposiciones se les llama bicondicionales. 10 CAPÍTULO 1. LÓGICA Nota 2 2 = 1 ⇔ “Salinas fue un presidente muy honrado”. es una bicondicional verdadera, evidentemente, aunque no es tau- tologı́a. ¿Por qué? Nota 3 La proposición: “Si don Próspero Torres es dueño de una parcela, entonces voto por el tricolor”. es de la forma p ⇒ q, donde p: ”Don Próspero Torres es dueño de una parcela” y q: “Don Próspero Torres voto por el tricolor” y es equivalente a su contrarecı́proca (¬q ⇒ ¬p, ver ejercicio 7,b) de Ejercicios 2), es decir: “Si Don Próspero Torres no vota por el tricolor entonces no será dueño de una parcela” La misma proposición se puede escribir como: “Es necesario que Don Próspero Torres vote por el tricolor para que sea dueño de una parcela” Por otro lado, hemos sabido que Don Próspero Torres sigue gri- tando: “Yo soy campesino y no tengo tierra” (ver “Matemáticas Básicas” UAP 1991 La Comisión), y eso que ha votado por el tricolor, es decir q es condición necesaria pero no suficiente para que ocurra p. Ası́ que, en general una bicondicional, q ⇔ p, suele leerse “p es condición necesaria y suficiente para q” o “q es condición necesaria y suficiente para p” (al fin y al cabo son equivalentes p ⇒ q y q ⇒ p. Ejercicios 1. 1. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son proposiciones lógicas? 1.3. TABLAS DE VERDAD Y EQUIVALENCIAS 11 a) ¿Come o fuma? b) ¡Come o fuma! c) 3 es mayor que 4. d ) Todos los triángulos son equilateros. 2. Clasifique las siguientes proposiciones de acuerdo a nuestras defini- ciones. En las negaciones, aclare cuáles son las proposiciones nega- das. a) El carro de Pedro es tan bueno como el de Juan. b) No es posible que exista Transporte barato y cómodo. c) Aunque 3 no es par, sı́ es primo. d ) Si los precios aumentan, los salarios aumentan. e) Es falso que la natalidad disminuya en los paı́ses pobres. f ) Es falso tanto que México es una potencia como que es un paı́s pobre. g) Sólo si David trabaja podrá dejar el vicio. h) Alguno de los dos casos sucede: si 3 es par entonces 3 + 2 es impar o si 3 es par entonces 3 + 2 es par. i ) es falso que todo triángulo es equilátero y es escaleno, pero es verdad que algunos triángulos son equiláteros y otros no. j ) Sólo cuando estemos organizados será posible cambiar el Esta- do. 3. En las siguientes condicionales diga cuál es el antecedente y cuál el consecuente. a) Queda claro que siempre que Pedro ha resuelto los problemas, Luis se los ha copiado. b) Si fuera 3 no primo, tendrı́a otros divisores distintos de 1 y 3. c) Resulta que si usas automóvil, inmediatamente tienes proble- mas cardı́acos. d ) Al menos cada vez que tu maestro me ha explicado el tema de funciones, a mı́ no me ha quedado claro. 12 CAPÍTULO 1. LÓGICA ¿No se ha cansado todavı́a? Aúpe su existencia con estos otros. Ejercicios 2. 1. Denote con s la proposición “yo estudio”, y con p la proposición “yo pasaré el curso”. Exprese simbólicamente las siguientes propo- siciones: a) No estudio. b) Si estudio pasaré el curso. c) Pasaré el curso solamente si estudio. d ) Pararé el curso si estudio. e) Estudio o no pasaré el curso. f ) Si estudio no pasaré el curso. g) Ni estudio ni pasaré el curso. h) Pasaré el curso si y solamente si estudio. 2. Suponga que l es la proposición “la lógica es fácil” y que m es la proposición “las matemáticas son fáciles”. Exprese con palabras las siguientes proposiciones: a) l ∧ m b) ¬l c) ¬m ∧ ¬l c) l ⇒ m d) l ⇔ m e) ¬l ⇒ ¬m 3. Calcule el valor de verdad de las siguientes proposiciones, suponga que p es verdadera y q es falsa. a) p ∧ q b) p ∧ ¬q c) ¬(p ∨ q) d) p ∨ (¬p ∧ q) e) q ⇒ p f) ¬q ⇒ (p ∨ q) g) ¬(q ⇒ (p ∨ q)) h) ¬(p ⇔ q) i) p ⇒ (¬p ∧ q) 4. Calcule el valor de verdad de las siguientes proposiciones, usando los conocimientos matemáticos que hasta la fecha posea. 1.3. TABLAS DE VERDAD Y EQUIVALENCIAS 13 a) 3 es mayor que 2 o 3 es igual a 2. b) Si 2 fuera mayor que 4 entonces 3 serı́a mayor que 4. c) Si 2 fuera mayor que 4 entonces 3 serı́a igual a 2. d ) Ni 3 ni 7 son pares. e) Si 3 fuera par, 3 + 2 también lo serı́a. f ) 4 u 8 son pares. g) Es falso que: 8 y 2 son impares. h) 3 no es par o 7 es par. 5. ¿Cuáles de las siguientes formas dan lugar a tautologı́as: a) (p ∧ q) ⇒ p b) (p ∨ q) ⇒ q c) (p ∧ ¬p) ⇒ r d) p ⇒ ¬p e) [(p ∧ (q ⇒ q)) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ r f) (p ∧ ¬p ⇒ (r ∧ ¬r) g) [(p ⇒ q) ∧ (¬p ⇒ q)] ⇒ q h) [(p ∨ q) ∧ ((p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r))] ⇒ r i) (p ⇒ q) ⇔ [(p ∧ ¬q) ⇒ (r ∧ ¬r)] 6. ¿Cuáles de los siguientes pares de proposiciones son equivalentes?: a) Ni 3 ni 7 son pares. Es falso que: 3 o 7 son pares. b) 3 es par pero 7 es impar. Es falso que: 3 par implica que 7 es par. c) Si 3 es par entonces 5 es par. Si 5 es impar entonces 3 es impar. d ) Sólo si lavas los platos vas al cine. Si lavas los platos vas al cine. 7. Demuestre que las siguientes formas dan lugar a tautologı́as: a) (p ⇒ q) ⇔ [(p ∧ ¬q) ⇒ (r ∧ ¬r)] b) (¬q ⇒ ¬p) ⇔ (p ⇒ q) c) ¬(p ∨ q) ⇒ (¬p ∧ ¬q) d ) ¬(p ∧ q) ⇒ (¬p ∨ ¬q) e) ¬(¬p) ⇔ p 14 CAPÍTULO 1. LÓGICA f) p∨q ⇔q∨p g) [p ∨ (q ∨ r)] ⇔ [(p ∨ q) ∨ r] h) p ∧ q ⇔ q ∧ p i ) [p ∧ (q ∧ r)] ⇔ [(p ∧ q) ∧ r] j ) [p ∧ (q ∨ r)] ⇔ [(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)] k ) [p ∨ (q ∧ r)] ⇔ [(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)] l ) ¬(p ⇒ q) ⇔ p ∧ ¬q §4 1.4. Cuantificadores Analicemos las siguientes proposiciones: 1) Todos los automóviles son enfriados por agua. 2) Hay mujeres solteras. 3) Algún estudiante de la BUAP es millonario. Estas proposiciones tienen en común que son afirmaciones acerca de un conglomerado o conjunto de objetos. Ası́, la primera es una afirmación sobre el conjunto de automóviles, la segunda sobre el conjunto de las mujeres, etc... Ahora toca discutir algún método para calcular el valor de verdad de este tipo de proposiciones. Ası́ pues, para el primer ejemplo, concluir que es verdadera tal proposición, serı́a sólo cuando hubiéramos investigado todos y cada uno de los automóviles y además supiéramos que todos y cada uno de ellos son efectivamente enfriados por agua. Sabemos que existe un automóvil de conocida marca que no es enfriado por agua; entonces podemos concluir que la proposición 1) es falsa. Sin embargo, para la segunda proposición, para ser verdadera se necesitará sólo que, 1.4. CUANTIFICADORES 15 para algún elemento del conjunto, la afirmación sea verdadera, y ¡claro que es verdadera!: cualquier solterona puede servir como justificante. Si ahora convenimos en que: U denota la colección de todos los automóviles, ∀ denota las frases “cada uno”, “para cada”, “para todo”, “todo”, “cualquiera” o cualquier otra del mismo tipo. x ∈ U denota la frase “x pertenece a U”, nuestra proposición 1) quedarı́a simbólicamente como: ∀ x ∈ U : x es enfriado por agua. Es más, si p(x) simboliza: “x enfriado por agua”, nuestra proposición quedarı́a: ∀ x ∈ U : p(x) U se denomina conjunto universo. ∀ se denomina cuantificador universal. p(x) se denomina frase abierta en U Las proposiciones del tipo: ∀ x ∈ U : p(x) son verdaderas si la frase p(x) se convierte en una proposición verdadera cada vez que x sea reemplazada por cualquier elemento de U y falsa en caso contrario. Ahora, si ∃ denota las frases: “hay”, “algunos”, “algún”, “existe” o cualquiera otra del mismo jaez, U denota el conjunto de estudiantes de la BUAP y q(x) la frase abierta: “x es millonario”, la tercera proposición de los ejemplos quedarı́a simbolizada: ∃ x ∈ U : q(x) 16 CAPÍTULO 1. LÓGICA y proposiciones de este tipo son verdaderas siempre que se pueda encon- trar un elemento a de U que haga verdadera a p(x) es decir, que p(a) sea una proposición verdadera. ¡Atención! : Para que expresiones del tipo: ∀ x ∈ U : p(x) o ∃ x ∈ U : p(x) sean efectivamente proposiciones lógicas, p(x) debe ser una frase abierta tal que cada elemento a de U, p(a) sea una proposición lógica. Veamos algunos ejemplos: Ejemplos: 1) Todos los músicos son gente alegre. 2) Todas las personas que no son alegre no son músicos. 1) en forma simbólica queda: ∀ x ∈ U : p(x) ⇒ q(x), donde U denota el conjunto de los seres humanos y p(x) la frase : x es músico, y q(x) la frase : x es alegre. 2) en forma simbólica es: ∀ x ∈ U : ¬q(x) ⇒ ¬p(x) 3) Dos números primos diferentes son coprimos. Este ejemplo motiva la presentación de las proposiciones abiertas en mas de una variable. Observemos las siguientes proposiciones abiertas: p y q son coprimos. x es mayor que y. Si x + y = x + z, entonces y = z. 1.4. CUANTIFICADORES 17 Aquı́ las variables pueden tomar valores en diferentes conjuntos uni- versales o en el mismo, pero eso se entiende del contexto en que se dé la proposición en particular. Ası́, si Z es el conjunto de los enteros, nuestra proposición escrita en forma esquemática quedarı́a como sigue: ∀ p ∈ Z : ∀ q ∈ Z : p 6= q ⇒ p y q son coprimos 4) Si m y n son números enteros pares cualesquiera, entonces m + n también es un entero par. Si Z denota al conjunto de los números enteros, esta proposición se puede escribir ası́: ∀ m ∈ Z : ∀ n ∈ Z : si m y n son pares ⇒ m + n es un entero par. También se puede escribir ası́ ∀ m ∈ P : ∀ n ∈ P : m + n ∈ P, Si P representa al conjunto de los enteros pares. Algunos autores, en vez de usar dos cuantificadores universales hubie- ran preferido escribir la proposición ası́: ∀ m, n ∈ Z : si m y n son pares ⇒ m + n es un entero par o de este modo ∀ m, n ∈ P : m + n ∈ P 5) Dado cualquier número real, siempre existe un número entero mayor que él. Si R representa al conjunto de números reales y Z al de los enteros, podemos escribir esta proposición del modo siguiente: ∀ x ∈ R : ∃ n ∈ Z : n es mayor que x. 6) Todo número natural es mayor que cero. 18 CAPÍTULO 1. LÓGICA Esta proposición se puede escribir en forma simbólica de dos modos diferentes, según sea el conjunto universal seleccionado: ∀x ∈ R : x ∈ N ⇒ x > 0 O bien ∀x ∈ N : x > 0 Donde N es el conjunto de los números naturales y el sı́mbolo “>” significa “mayor que”. Como se vió, para negar una proposición, es suficiente anteponer la frase: “es falso que”. Lo mismo es válido para el tipo de proposiciones que estamos estudiando. Ası́ por ejemplo: Todo número natural es mayor que cero. Su negación Es falso que: Todo número natural es mayor que cero Sin embargo es útil tener formas equivalentes de estas proposiciones. Re- cordemos que siempre que ∀ x ∈ U : p(x) es verdadera, significará que p(a) es verdadera para cada elemento a de U, es decir, ¬p(a) es falsa para todo elemento a de U, o sea que es falsa la proposición: ∃ x ∈ U : ¬p(x) Ahora, si ∀ x ∈ U : p(x) es falsa, tenemos que para algún a en U, p(a) es falsa, es decir, para este a, ¬p(a) es verdadera, ası́ que la proposición ∃ x ∈ U : ¬p(x) es verdadera. Ejemplifiquemos lo anterior. Sea U = {11, 12, 13, 14} 1.4. CUANTIFICADORES 19 y consideremos la proposición ∀ x ∈ U : x es divisible por 2 Hagamos una lista de los valores de verdad de la frase abierta para cada uno de los elementos de U. 11 es divisible por 2 — F 12 es divisible por 2 — V 13 es divisible por 2 — F 14 es divisible por 2 — V Vemos que la proposición es falsa, ası́ que de antemano sabremos que la proposción ∃ x ∈ U : ¬(x es divisible por 2) es verdadera. Podemos entonces concluir en general que: ¬(∀ x ∈ U : p(x)) es equivalente a ∃ x ∈ U : ¬p(x) Ahora, si ∃ x ∈ U : ¬p(x) es falsa, significa que p(a) es falsa para cualquier a en U, de aquı́ que ¬p(a) es verdadera para cualquier a en U. Por lo tanto: ∀ x ∈ U : ¬p(x) es verdadera. Si sabemos que ∃ x ∈ U : ¬p(x) es verdadera, esto significa que para algún a en U, p(a) es verdadera, ası́ que ¬p(a) es falsa para este mismo a en U, y podemos concluir que ∀ x ∈ U : ¬p(x) es falsa. Entonces podemos asentar que: ¬(∃ x ∈ U : ¬p(x)) es equivalente a ∀ x ∈ U : ¬p(x). Ejemplos: En los siguientes ejemplos comentaremos algunos tipos de proposiciones en las que el cuantificador no esta explı́cito. 20 CAPÍTULO 1. LÓGICA 1. Ningún número al cuadrado es negativo Esta proposición se puede escribir de la siguiente forma: “No existe número que, elevado al cuadrado sea negativo”. O también: “Todo número cumple que, elevado al cuadrado, no es negativo”. De forma esquemática podemos decir que si una proposición tiene la forma: “Ningún x ∈ U cumple p(x)” ésta, en realidad, es la proposición universal “∀ x ∈ U : ¬p(x)”. Ası́, nuestro ejemplo se escribe en forma esquemática como: ∀ x ∈ R : ¬(x2 < 0), donde R es el conjunto de los números reales y “ x) es decir, ∃x ∈ R : ¬(∃n ∈ Z : n > x) simplificando más: ∃x ∈ R : ∀n ∈ Z : ¬(n > x) Ahora veamos otros ejemplos de negaciones: 22 CAPÍTULO 1. LÓGICA 6. “Es falso que exista algún funcionario que no es corrupto” es equivalente a “Todos los funcionarios son corruptos”. Invitamos al estudiante a hacer todos los cálculos con estas dos proposiciones: Pasarlas a sus formas simbólicas, calcular sus valores de verdad y convencerse de la equivalencia. 7. ¬(∀ n ∈ P : ∀ m ∈ P : n + m ∈ P) es equivalente a: ∃ n ∈ P : ¬(∀ m ∈ P : n + m ∈ P) que a su vez es equivalente a: ∃n ∈ P : ∃m ∈ P : n + m ∈ /P Convénzase el lector de estas equivalencias, por favor. 8. ¬(∀ x ∈ R : ∃ n ∈ Z : n es mayor que x) es equivalente a: ∃ x ∈ R : ¬(∃ n ∈ Z : n es mayor que x) que a su vez es equivalente a : ∃ x ∈ R : ∀ n ∈ Z : ¬(n es mayor que x) ¿Verdad? Ejercicios 3. 1. Determine cuáles de las siguientes proposiciones son del tipo ∀ x ∈ U : p(x) o ∃ x ∈ U : p(x), precisando el conjunto universal y la proposición abierta p(x), y expréselas simbólicamente. a) Cualquier dı́a es bueno para estudiar. 1.4. CUANTIFICADORES 23 b) Cada comerciante pretende sacar ganancia de la crisis. c) Cualquier hombre, si trabaja, se agota. d ) Todo triángulo que tiene sus tres lados iguales es equilátero. e) Algún triángulo puede ser equilátero y no tener los 3 lados iguales. f ) Cada par de rectas, sin son paralelas, no se intersectan. g) Pueden haber dos rectas no paralelas que se corten en más de un punto. h) Ningún hombre vive más de 150 años. i ) Algunos números naturales son positivos. j ) Hay un punto en el plano tal que cualquier recta pasa por él. k ) Para cualquier número positivo, hay un natural que es mayor que él. l ) Todos los números reales cumplen que su cuadrado es positivo. m) Nunca sucede que el cuadrado de un entero sea 1/3. 2. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) Todo estudiante de esta facultad nació en Puebla. b) Cada vez que sumamos dos números impares se obtiene un número impar. c) Todo entero es par y primo. d ) Si un número es par entonces es igual a 1. e) Si un número es par, al sumarle uno “se vuelve” impar. f ) Si U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, ∀ x ∈ U : x es impar g) Si U es como en (f), ∀ x ∈ U : x es mayor que 0 pero menor que 11. h) si U es como en (g), ∃ x ∈ U : x es mayor que 11. i ) si U es como en (h), ∃ x ∈ U : x múltiplo de 2. 3. ¿Cuáles de los siguientes pares de proposiciones son equivalentes? 24 CAPÍTULO 1. LÓGICA a) Todas las personas oyen consejo, o no llegan a viejos. Cada persona que oye consejo llega a viejo. b) ∀ x ∈ Z : x2 6= 1 ⇒ x2 + 1 6= 2 ¬(∃ x ∈ Z : x2 = 1 ⇒ x2 + 1 = 2) c) ∃ x ∈ Z : x2 = 1 ∧ x2 + 1 6= 2 ¬(∀ x ∈ Z : x2 = 1 ⇒ x2 + 1 = 2) d ) ∀ x ∈ Z : x2 = 1 ∧ x2 6= 0 ∀ x ∈ Z : es falso que: x2 = 1 ⇒ x2 = 0 Nota: Recuerde que Z es el conjunto de los números enteros, o sea: Z = {... , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4,...} 4. Diga si en las siguientes parejas de proposiciones, son una la nega- ción de la otra. a) Todas las funciones contı́nuas son integrales. Todas las funciones contı́nuas no son integrales. b) Hay algún número primo que no es par. Hay algún número primo que es par. c) Todos los seres vivos están en peligro de morir. Algún ser vivo no tiene el peligro de morir. d ) Para cada número positivo, hay un número natural mayor que él. Hay un número positivo, tal que todo número natural es menor o igual que él. §5 1.5. Razonamiento En el lenguaje que cotidianamente empleamos, suele usarse la palabra Razonamiento para indicar una actividad o proceso del pensamiento en 1.5. RAZONAMIENTO 25 el que se exponen razones sobre las que se basa la veracidad o falsedad de una proposición. En un razonamiento, la conlusión es la proposición sobre la que se afirma su veracidad o falsedad, basándose en las otras proposiciones del razonamiento que son las premisas. Por ejemplo: Todos los animales son mortales Premisas Todos los hombres son animales Por lo tanto: Todos los hombres son mortales } conclusión Como hemos dicho, en un razonamiento se pretende que de las premi- sas se pueda concluir con seguridad algo. en este sentido puede hablarse de razonamientos mal hechos, si de las premisas no se puede seguir la conclusión. Antes de proseguir, notemos que un razonamiento adopta la forma de una implicación, ası́ que: Definición 1.5.1 Un razonamiento es una implicación en donde el an- tecedente es una conjunción de un número finito de proposiciones, llama- das premisas del razonamiento; el consecuente es llamado la conclu- sión del razonamiento. Lógicamente un razonamiento es una implica- ción de la forma: (P1 ∧ P2 ∧... ∧ Pn ) ⇒ r |{z} | {z } Premisas Conclusión que suele también escribirse del modo siguiente: P1 P2... Pn r Ejemplos: 1) Si Jaime deja de comer pan, adelgazará. Jaime no ha adelgazado Jaime no ha dejado de comer pan. 26 CAPÍTULO 1. LÓGICA 2) Alonso habló mal de Reagan. Reagan es anticomunista Alonso es comunista. 3) Toda Águila vuela. Guillermo no es águila. Guillermo no vuela. 4) Corro o como. Si corro me canso. Si como me canso. Me canso. Observemos los razonamientos 2) y 3). En 2), las premisas pueden ser verdaderas y sin embargo la cunclusión es falsa. En este caso, la veracidad de las premisas no asegura la veracidad de la conclusión. En 3), las premisas y la conclusión pueden ser verdaderas y sin em- bargo, la forma de razonamiento no es “correcta”, ya que podemos establecer un razonamiento de igual forma que puede tener premisas verdaderas y conclusión falsa, por ejemplo: 5) Todos los perros son mamı́feros Pedro no es perro. Pedro no es mamı́fero. 3) y 5) tienen la forma 6) ∀ x ∈ U : p(x) a no es elemento de U. ¬p(a) En 5) tenemos premisas verdaderas y conclusión falsa; además pode- mos asegurar que todos los razonamientos escritos en la forma 6) son incorrectos (que no es lo mismo que falsos). 1.5. RAZONAMIENTO 27 Ahora observemos 1) y 4). 1) acepta la siguiente forma simbólica: 7) p ⇒q p: Jaime dejó de comer. ¬q q: Jaime ha adelgazado. ¬p No importan cómo sean p y q, si las premisas son verdaderas, la conclu- sión es verdadera. No puede suceder que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa ¿por qué?. En todo razonamiento de la forma 7), si aseguramos la veracidad de las premisas, aseguramos la veracidad de la conclusión. Podemos decir que todo razonamiento de esta forma es “correcto”. 4) acepta la siguiente forma simbólica: 8) p ∨ q p: Yo corro. p ⇒ r p: Yo como. p ⇒ r p: Yo me canso. r Análogo al caso anterior verificamos que no importa como sean p, q y r, si las premisas son verdaderas, la conclusión es verdadera. Analicemos con más cuidado este ejemplo: Aceptemos que p∨q, p ⇒ r y q ⇒ r son verdaderas; puede suceder que p sea verdadera y q falsa. Como p ⇒ r es verdadera y p verdadera, aseguramos que r es verdadera. Si q es verdadera y p falsa, el razonamiento es el mismo, y es fácil convencerse de que r es verdadera cuando p y q son verdaderas. Notar que el caso en que p y q son falsas, no sucede. Ası́ que 8) es otra forma “correcta” de razonamiento. Después de esta presentación tenemos la siguiente: Definición 1.5.2 Sean P1 , P2 , · · · , Pn las premisas de un razonamiento y p su conclusión. El razonamiento es correcto o válido si (P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧... ∧ Pn ) ⇒ p es tautologı́a. Ejemplos: 28 CAPÍTULO 1. LÓGICA 1. Si un razonamiento es de la forma P1 : ∀x ∈ U : (p(x) ⇒ q(x)) P2 : ∀x ∈ U : (q(x) ⇒ r(x)) p : ∀x ∈ U : (p(x) ⇒ r(x)) El razonamiento es válido, ya que si P1 y P2 son verdaderas y p falsa, tendrı́amos a ∈ U tal que p(a) ⇒ r(a) es falsa, o sea p(a) verdadero y r(a) falso; pero q(a) ⇒ r(a) debe ser verdadera y como r(a) es falsa, esto sólo puede ser si q(a) es falsa, pero como p(a) ⇒ q(a) es verdadera, p(a) resulta falsa, que no es lo que tenı́amos antes, ası́ que resulta imposible que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. 2. El razonamiento: P1 : Todos los tiburones son cuadrúpedos. P2 : Todos los cuadrúpedos tienen alas. p : Todos los tiburones tienen alas. El razonamiento es correcto aunque las premisas y la conclusión sean falsas. Es un razonamiento de la forma del ejemplo anterior. Para comprobarlo bastará tomar a: U = conjunto de animales. p(x) : x es tiburón. q(x) : x es cuadrúpedo. r(x) : x tiene alas. En general, si tenemos una forma de razonamiento correcto, por ejem- plo: p∨q p⇒r q⇒r r 1.5. RAZONAMIENTO 29 Podemos colocar cuantificadores universales de la siguiente manera: P1 : ∀x ∈ U : (p(x) ∨ q(x)) P2 : ∀x ∈ U : (p(x) ⇒ r(x)) P3 : ∀x ∈ U : (q(x) ⇒ r(x)) p : ∀x ∈ U : r(x) Y obtener otra forma de razonamiento correcto. El argumento que justifica la validez de esta forma de razonamiento es análogo al caso an- teriormente comentado. Veamos: si p es falsa y P1 , P2 y P3 verdaderas, entonces existe a ∈ U, tal que r(a) es falso, y como p(a) ⇒ r(a) es verdadera, podemos concluir que p(a) es falsa; de manera análoga , co- mo q(a) ⇒ r(a) es verdadera, entonces también q(a) es falsa, es decir, (p(a) ∨ q(a)) es falsa, contradiciendo el hecho de que P1 es verdadera. En este tipo de proceso, observemos que el cuantificador en cada una de las premisas y conclusión es el cuantificador universal; análogamente, el conjunto universo, en premisas y conclusión es el mismo, y las proposicio- nes abiertas que aparecen en las premisas y conclusión están relacionadas en tal forma que constituyen un razonamiento correcto. ¡Atención! Observemos la siguiente forma de razonamiento: P1 : ∀x ∈ U : (p(x) ∨ q(x)) P2 : ∀x ∈ U : (p(x) ⇒ r(x)) P3 : ∀x ∈ U : (q(x) ⇒ r(x)) p : ∃x ∈ V : r(x) Esta es una forma de razonamiento incorrecta, ya que permite cons- truir un razonamiento con esta forma pero con premisas verdaderas y conclusión falsa. Si tomamos: U = {2, 4}, V = {1} p(x) : x es par. q(x) : x0 para hacerlo directamente construı́mos el siguiente razonamiento válido: p : 1 6= 0 ∧ 12 = 1 ∧ [∀ x ∈ R, x2 ≥ 0] p ⇒ p1 : 1 6= 0 ∧ 12 = 1 ∧ [∀ x ∈ R, x2 ≥ 0] ⇒ 1 6= 0 ∧ 12 = 1 ∧ 12 ≥ 0 p1 ⇒ p2 : 1 6= 0 ∧ 12 = 1 ∧ 12 ≥ 0 ⇒ 1 6= 0 ∧ 1 ≥ 0 36 CAPÍTULO 1. LÓGICA p2 ⇒ t : 1 6= 0 ∧ 1 ≥ 0 ⇒ 1 > 0 t : 1>0 donde p1 es: 1 6= 0 ∧ 12 = 1 ∧ 12 ≥ 0, y p2 es: 1 6= 0 ∧ 1 ≥ 0. Este razonamiento es válido y como las premisas son verdaderas, podemos concluir que t es verdadera. Es conveniente advertir que en la literatura matemática suelen estar escritas las demostraciones de manera más concisa, sin explicar el o los razonamientos usados. Por ejemplo, el ejemplo 1 podrı́a estar escrito ası́: n0 es un entero par ⇒ n0 = 2m para algún entero m ⇒ n20 = (2m)2 para el entero m ⇒ n20 = 2(2m2 ) y 2m2 es entero ⇒ n20 es entero par. Con la práctica el alumno podrá reconocer los razonamientos involu- crados en las demostraciones, ası́ como proponer los razonamientos adecuados para la feliz realización de su demostración. 3. Demostremos: t: ∀ x ∈ R : x > 0 ⇒ x + 1 > 0. Para esto probaremos que para cada x0 ∈ R, x0 > 0 ⇒ x0 + 1 > 0 es verdadera. El siguiente razonamiento es válido p : x0 > 0 p ⇒ p1 : x0 > 0 ⇒ x0 + 1 > 1 ∧ 1 > 0 p1 ⇒ q : x0 + 1 > 1 ∧ 1 > 0 ⇒ x0 + 1 > 0 q : xo + 1 > 0 Obsérvese que la premisa p puede no ser verdadera, pero si se supone que es verdadera, como las restantes premisas, son verdaderas y el 1.6. MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN 37 razonamiento es válido, q resultarı́a verdadera. Si p es falsa, con este razonamiento no aseguramos que q sea verdadera pero p ⇒ q es verdadera. En general, para demostrar que una proposición del tipo p ⇒ q es verdadera, bastará construir un razonamiento del tipo p p ⇒ p1 p1 ⇒ p2... pn ⇒ q q donde todas las premisas, excepto quizá p, son verdaderas. 1.6.2. Demostraciones indirectas. Si se logra demostrar que una proposición equivalente a t es verdadera, se demuestra indirectamente que t es verdadera. Por ejemplo, puede demostrarse indirectamente que una proposición de la forma p ⇒ q, demostrando su contrarrecı́proca ¬q ⇒ ¬p. Este método se llama método de demostración por contraposición. Otra forma indirecta de demostrar es la siguiente: dada una proposi- ción t, si demostramos que ¬t es falsa, indirectamente demos- tramos que t es verdadera. Demostrar que ¬t es falsa se puede hacer de la siguiente forma: de- mostremos que una proposición de la forma ¬t ⇒ s es verdadera y s se asegura que es falsa (por ejemplo si s es una contra- dicción 1 ), esto justificará que t es verdadera. Esta manera de demostrar se conoce como reducción al absurdo o por contradicción”. Ejemplos: 1 Una contradicción es una proposición falsa por su forma lógica. 38 CAPÍTULO 1. LÓGICA 1. Demostremos por contradicción la proposición t: 1>0 Para ello demostremos una proposición de la forma: ¬(1 > 0) ⇒ s, donde s es falsa, es decir: (1 < 0 o 1 = 0) ⇒ s, donde s es falsa. He aquı́ el razonamiento construı́do en esta ocasión: ¬t ⇒ p1 : 1=0o10 a Sea a ∈ R. Demostremos por contradicción que: 1 p: a>0⇒ >0 a es verdadera. Para esto, demostremos que ¬p ⇒ s, donde s es falsa. He aquı́ la prueba: ¬p ⇒ p1 : a > 0 ∧ a−1 ≤ 0 ⇒ a−1 a ≤ 0.a p1 ⇒ p2 : a−1 a ≤ 0 · a ⇒1≤0 p2 ⇒ s : 1≤0 ⇒1≤0 ∧ 1>0 ¬p ⇒ s : a > 0 ∧ a−1 ≤ 0 ⇒ 1 ≤ 0 ∧ 1 > 0 Aquı́ s es la proposición falsa: 1 ≤ 0 ∧ 1 > 0 1.6. MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN 39 3. Demostraremos la proposición t: ∀ n ∈ Z : n2 es impar ⇒ n es impar. Sea n0 ∈ Z. Probemos por contraposición que la implicación: n20 es impar ⇒ n0 es impar es verdadera. Esta proposición es de la forma r ⇒ s, donde r es: “n20 es impar” y s es “n0 es impar”. La contrarrecı́proca es: n0 no es impar ⇒ n20 no es impar es decir: n0 es par ⇒ n20 es par La demostración de esta última proposición se hizo ya. (ver ejemplo 1 página 34). 4. Ahora demostraremos la proposición 1 t: ∀a ∈ R : a>0⇒ >0 a de forma distinta a la realizada en el ejemplo 2. 1 Sean a ∈ R. Demostraremos que a > 0 ⇒ a > 0 es verdadera. La contrarrecı́proca de esta proposición es: 1 ≤0⇒a≤0 a una demostración de dicha contrarrecı́proca es: a−1 ≤ 0 ⇒ a−1 < 0 y a2 ≥ 0 a−1 < 0 y a2 ≥ 0 ⇒ a2 a−1 < a2 · 0 a2 a−1 ≤ a2 · 0 ⇒ a≤0 a−1 ≤ 0 ⇒ a≤0 40 CAPÍTULO 1. LÓGICA Puede demostrarse indirectamente que una proposición de la for- ma (p ∨ q) ⇒ r es verdadera, demostrando que la conjunción [(p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r)] es verdadera ya que estas proposiciones son equi- valentes. Por ejemplo, demostraremos que: t: ∀x ∈ R : x > 0 ∨ x < 0 ⇒ x2 > 0 Sea a ∈ R. Probaremos que: a > 0 ∨ a < 0 ⇒ a2 > 0 es verdadera. Demostraremos que (a > 0 ⇒ a2 > 0) ∧ (a < 0 ⇒ a2 > 0) es verdadera. Los siguientes razonamientos demuestran que (a > 0 ⇒ a2 > 0) es verdadera y que (a < 0 ⇒ a2 > 0) es verda- dera y por tanto, que su conjunción también es verdadera. a0 a < 0 ⇒ −a > 0 a > 0 ⇒ a·a > a·0 −a > 0 ⇒ (−a)(−a) > (−a) · 0 a · a > a · 0 ⇒ a2 > 0 (−a)(−a) > (−a) · 0 ⇒ a2 > 0 a2 > 0 a2 > 0. 1.6.3. Ejemplos y contraejemplos A veces se requiere que una afirmación del tipo ∀x ∈ U : p(x) es falsa. Para hacerlo basta probar que su negación, ∃x ∈ U : ¬p(x) es verdadera. En otras palabras, para comprobar la falsedad de una pro- posición: ∀ x ∈ U : p(x), basta encontrar algún x0 , elemento de U, para el cual p(x0 ) es falsa. A este método se le denomina demostración por contraejemplo. Análogamente, si se requiere demostrar que una afirmación del tipo ∃x ∈ U : p(x) 1.6. MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN 41 es verdadera, bastará encontrar un elemento de x0 de U tal que p(x0 ) es verdadera. Es decir, x0 es un ejemplo que demuestra la proposición en cuestión. ¡Atención!: con un ejemplo solo se pueden demostrar proposi- ciones existenciales, esto no vale para una proposición universal, con un ejemplo solo se logra aumentar nuestra sospecha de la veracidad de una proposición universal pero no su demostración. Ejemplos: 1. Comprobaremos que la proposición ∀x ∈ R : a2 < 1 es falsa. Veamos que existe un real x0 tal que x2 < 1 es falso. Si x0 = 1, la proposición x20 < 1 es falsa. 2. Para darnos cuenta que la proposición ∀ x ∈ R : x + x = 3x es falsa, bastará observar que si x0 = 1, la proposición x0 + x0 = 3x0 es falsa. Ejercicios 5. 1. Demuestre directamente que: a) ∀ x ∈ R: si x > 5 entonces x > 3. b) Si a y b son reales entonces a = 0 o b = 0 ⇒ a · b = 0. (Use que ∀ x ∈ R, x · 0 = 0.) c) Si m y n son enteros impares, entonces m + n es entero par. d ) Si m y n son enteros impares, entonces mn es entero impar. 2. Demuestre por contraposición que: a) a · b 6= 0 ⇒ a 6= 0 y b 6= 0, (a, b ∈ R). b) x2 < 0 ⇒ x ∈ / R. c) Si mn es par entonces m es par o n es par (m, n enteros). 42 CAPÍTULO 1. LÓGICA 3. Demuestre por contradicción: a) Si x es racional y y es irracional, entonces x + y es un número irracional. b) Si x es racional y y es irracional, entonces x − y es un número irracional. (Para estos ejercicios use que la suma y resta de racionales es racional). 4. Demuestre por contraejemplo la falsedad de las siguientes proposi- ciones: a) Para cualesquiera enteros a, b, c, d con b 6= 0 y d 6= 0, a c a+c + =. b d b+d √ √ √ b) Para cualesquiera a, b reales positivos, a+b= a+ b. √ c) Para cualquier a ∈ R, a2 = a. 5. Demuestre las siguientes proposiciones: a) (∀ x ∈ R : x2 + 6 = 10) es falsa. b) (∀ x ∈ {−2, 2}, x2 + 6 = 10) es verdadera. c) (∃ x ∈ R : x2 + 6 = 0) es verdadera. d ) (∀ x ∈ R : x > 2 ⇒ x2 + 6 = 0) es falsa. e) (∀ x ∈ R : x2 < 0 ⇒ x2 + 6 = 10) es verdadera. 1.7. APÉNDICE 1 43 1.7. Apéndice 1 1. Consideremos el conectivo lógico “o”. Se puede interpretar la pro- posición compuesta “p o q” de dos maneras: (a) “p o q o ambas”. (b) “p o q, pero no ambas” La interpretación (a) la estudiamos suficientemente en el texto. Es el “o” inclusivo que denotamos con ∨. La interpretación de (b) es el “o” exclusivo denotado por ∨. Apa- rece mucho en la vida cotidiana, como en la siguiente frase: “El sábado a las 6 de la tarde tengo dos opciones: o voy al partido de fútbol, o voy a la fiesta” Se entiende que no se pueden realizar las dos actividades. La tabla de verdad del “o” exclusivo serı́a, por supuesto, p q p∨q V V F F V V V F V F F F Una razón plausible para estudiar el “o” exclusivo es su uso en pro- posiciones como el axioma de tricotomı́a (Definición O1, del capı́tulo 3, página 75), aunque en dicho axioma se componen 3 proposiciones y no solamente 2. Quizá tendrı́amos que definir: Definición 1.7.1 Sea n ∈ N. Si p1 , p2 ,... , pn son n proposiciones lógicas, p1 ⊔ p2 ⊔... ⊔ pn es la proposición que es verdadera si y solo si exactamente una de las proposiciones p1 , p2 ,... , pn es verdadera. 44 CAPÍTULO 1. LÓGICA Tres ejercicios inmediatos serı́an: a) Demuestre que p ⊔ q ≡ p∨ q b) Pruebe que p ⊔ q ⊔ r 6= p∨ (q∨ r) c) Demuestre que p ∨ q ≡ (p∨ q)∨ (p ∧ q) Dadas las proposiciones p, q y r, demostrar que: d ) p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q)∨ r e) p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q)∨ (p ∧ r) f ) (q ∨ r) ∧ p ≡ (q ∧ p)∨ (r ∧ p) g) p ∨ (q ∧ r) 6= (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) 2. Entre los razonamientos válidos que podrı́amos estudiar, está el si- guiente: P ⊔Q⊔R p⊔q⊔r P ⇒p Q⇒q R⇒r (P ⇒ p) ∧ (Q ⇒ q) ∧ (R ⇒ r) Es un bonito ejemplo de un razonamiento en el que la demostración de su validez por medio de tablas de verdad es poco menos que im- posible (¡26 renglones!), mientras que la demostración de su validez “razonando”, como solemos hacer en matemáticas, es muy fácil. 3. El razonamiento válido anterior lo usó De Morgan en su “Lógica Forma” (1847), para deducir las proposiciones I.6 e I.19 de Euclides, a partir de las proposiciones I.5 e I.18, mucho más fácilmente que Euclides (Notación I.6, I.5, I.18 e I.19 son las proposiciones 6, 5, 18 y 19 del libro primero de los “Elementos” de Euclides). Ahi les va: Antes un poco de notación. En un triángulo △ABC, denotaremos por a al lado que se opone al ángulo interior con vértice en A, por b 1.7. APÉNDICE 1 45 al lado que se opone al ángulo con vértice en B y por c al lado que se opone al ángulo con vértice en C. Las proposiciones de Euclides aludidas antes son: I.5 “En todo triángulo isósceles, los ángulos que se oponen a los lados iguales son todos iguales” Es decir, en todo triángulo △ABC, a = b ⇒ ∠A = ∠B C a b B c A I.6 “Si en un triángulo dos ángulos son iguales, los lados que se oponen a dichos ángulos, son también iguales” Es decir, en todo triángulo △ABC, ∠A = ∠B ⇒ a = b I.18 “ En todo triángulo, el lado más grande se opone al ángulo más grande” Ası́, en todo triángulo △ABC a > b ⇒ ∠A > ∠B y b > a ⇒ ∠B > ∠A I.19 “En todo triángulo, el ángulo más grande es subtendido por el lado más grande” Es decir, en todo triángulo △ABC ∠A > ∠B ⇒ a > b y ∠B > ∠A ⇒ b > a Vamos a demostrar, como De Morgan, las proposiciones I.6 y I.19, suponiendo que I.5 e I.18 son verdaderas. Sea △ABC un triángulo cualquiera con lados a, b y c opuestos, respectivamente, a los ángulos interiores con vértices en A, B y C. Entonces, el siguiente razonamiento es válido y sus premisas son verdaderas, ası́ que la conclusión es verdadera. 46 CAPÍTULO 1. LÓGICA Tricotomı́a a= b⊔a>b⊔a< b Tricotomı́a ∠A = ∠B ⊔ ∠A > ∠B ⊔ ∠A < ∠B I.5 a = b ⇒ ∠A < ∠B I.18 a > b ⇒ ∠A > ∠B I.18 a < b ⇒ ∠A < ∠B I.6 e I.19 (∠A = ∠B ⇒ a = b) ∧ (∠A > ∠B ⇒ a > b) ∧ (∠A < ∠B ⇒ a < b) 1.8. APÉNDICE 2 47 1.8. Apéndice 2 No está de más que el lector tenga presente la siguiente lista de tauto- logı́as pues, si duda, le serán útiles en la construcción de demostraciones. 1. (p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p) 2. (p ⇔ q) ⇔ [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)] 3. (p ⇔ q) ⇔ [(p ⇒ q) ∧ (¬p ⇒ ¬q)] 4. p ∨ ¬p 5. [p ∧ (p ⇒ q)] ⇒ q 6. [¬q ∧ (p ⇒ q)] ⇒ ¬p 7. [¬p ∧ (p ∨ q)] ⇒ q 8. [p ∧ q] ⇒ p 9. [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p ⇒ r) 10. [(p ∨ q) ⇒ r] ⇔ [(p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r)] 11. [(p ∧ q) ⇒ r] ⇔ [p ⇒ (q ⇒ r)] 12. [(p ⇒ q) ∧ (r ⇒ s) ∧ (p ⇒ r)] ⇒ (q ∨ s) 13. [p ⇒ (q ∨ r)] ⇔ [(p ∧ ¬q) ⇒ r] y si t es una contradicción, es decir, una proposición falsa por su forma, también son tautologı́as: 14. (p ∧ ¬p) ⇔ t 15. (¬p ⇒ t) ⇔ p 16. (p ⇒ q) ⇔ [(p ∧ ¬q) ⇒ t] Capı́tulo 2 CONJUNTOS §1 2.1. Introducción Comenzaremos a hablar de conjuntos, tratando de ponernos de acuer- do acerca de lo que vamos a entender por conjunto. Esto no es nada simple, ya que conjunto es un concepto bastante primitivo, análogo al concepto de punto o de la recta. De un punto se dice que es aquello que no tiene parte o dimensión; de una recta se dice que es una longitud sin anchura que tiene todos sus puntos en la misma dirección; finalmente, de un conjunto suele decirse que es una colección o reunión de objetos. Las “definiciones” de estos tres conceptos hacen uso de otras palabras que tendı́amos que haber definido antes: ¿qué es una dimensión?, ¿qué es una longitud?, ¿qué es una colección?, ¿qué es una reunión?. Las palabras colección y reunión no son más que sinónimos de la palabra conjunto. Al decir que conjunto no es más que una reunión de objetos, no estamos caracterizando los conjuntos sino sólo dando una idea: la idea de que un conjunto es algo que tiene objetos, algo que tiene elementos. Podemos hablar por ejemplo del conjunto de los árboles de C.U., del conjunto de los coches estacionados en el patio de la escuela, del conjunto de las montañas de Puebla, del conjunto formado por los números 2, 4, 6, 48 2.1. INTRODUCCIÓN 49 8 y 10; del conjunto de nuestros parientes, del conjunto de los libros de una biblioteca, del conjunto de las bibliotecas de Puebla, del conjunto de rectas en un plano que pasan por un punto dado, del conjunto de factores que influyen en un problema, del conjunto de métodos que permiten resolver ese problema. En la mayorı́a de estos conjuntos hay una relación clara (definida explı́citamente) entre sus elementos, en el sentido de que existe una pro- piedad común que los define. Por ejemplo, todos los elementos del con- junto de montañas de Puebla, tienen esa propiedad común, la de ser montañas de Puebla. Cada vez que decimos “el conjunto de objetos con cierta propiedad”, a parte de hacer mención de alguna caracterı́stica particular de los ele- mentos del conjunto, parece que estamos hablando de un conjunto bien definido en el sentido de que se pueden conocer cuáles son sus elementos y cuáles no lo son. Si decimos “el conjunto de todos los borregos gordos”, cabe preguntar ¿qué tan gordo es gordo?. Si nos muestran algún borrego, ¿cómo podemos saber si es gordo o no?, ¿podemos considerar al conjunto de todos los borregos gordos como un conjunto bien definido?. Otro ejemplo de un conjunto del que no podemos conocer sus elemen- tos es el siguiente “El conjunto de los diez mejores músicos del mundo”; son los mejores ¿según quien?. El problema que se presenta con este tipo de “conjuntos” puede subsanarse facı́lmente si nos ponemos de acuerdo en los criterios de calificación de los objetos, por ejemplo, si nos ponemos de acuerdo en que un borrego gordo es aq˘’el que pesa más de 100 kg. o en que un buen músico es el que ha vendido más de dos millones de discos y que los diez mejores músicos son los diez primeros que lo logren, entonces se desvanece el problema en estos ejemplos particulares. Sin em- bargo, el determinar los elementos de un conjunto sabiendo que son los que satisfacen cierta propiedad, sigue siendo complicado. Para ilustrar esta afirmación, construiremos “un conjunto” en el que será más difı́cil ponerse de acuerdo en un criterio que permita definir bien el conjunto: Se cuenta que en un lejano poblado de un antiguo emirato, habı́a un 50 CAPÍTULO 2. CONJUNTOS barbero llamado As-Samet, “ducho en afeitar cabezas y barbas, maestro en escamondar pies y piernas, y en poner ventosas y sanguijuelas”. Un dı́a el Emir, dándose cuenta de la escacez de barberos del emirato, dió ordenes de que todos lo barberos del emirato sólo afeitaran a aquellas personas que no pudieran hacerlo por sı́ mismas (todas las personas del pueblo tienen que ser afeitadas, ya sea por el barbero o por ellas mismas). Un cierto dı́a el barbero fue llamado a afeitar al Emir y le contó a éste sus congojas. — En mi pueblo soy el único barbero. Si me afeito, entonces puedo afei- tarme por mı́ mismo y por lo tanto no deberı́a afeitarme el barbero de mi pueblo ¡que soy yo!. Pero si no me afeito, lo debe hacer un barbero por mı́ ¡pero no hay allı́ más barbero que yo!. El Emir pensó que tales razonamientos eran muy profundos, a tal grado que premió al barbero con la mano de la más virtuosa de sus hijas y el barbero vivió eternamente feliz. Llamemos B al conjunto de personas del pueblo que no se afeitan a sı́ mismas (y por tanto son afeitadas por el barbero). Sea b el barbero. ¿b es un elemento de B. Si b es un elemento de B, entonces b no se afeita a sı́ mismo y es afeitado por el barbero. Pero b es el barbero, ası́ que b se afeita a sı́ mismo. Esto significa que b no es elemento de B. Si b no es elemento de B entonces b se afeita a sı́ mismo, por lo que no es afeitado por el barbero. Como b es el barbero, entonces b no se afeita a sı́ mismo, ası́ que b es elemento de B. No sabemos si b es elemento de B o no. En este sentido, B no está bien definido. De ahora en adelante convendremos en que para que a algo le podamos llamar Conjunto, debemos ser capaces de decir, acerca de cualquier objeto b, si es elemento o no del conjunto en cuestión. Dicho de otra forma, si B es un conjunto, entonces la afirmación “b es un elemento de B” es una proposición lógica. En general, un “conjunto” no está bien definido (no es conjunto) si hay ambigüedad en relación a los elementos que lo componen. En nuestro intento por ponernos de acuerdo en lo que vamos a enten- der por conjunto, comenzamos con la idea de que un conjunto es “algo que 2.1. INTRODUCCIÓN 51 tiene elementos”. Después hemos restringido nuestra atención a aquellos conjuntos “bien definidos”, es decir, con la propiedad de que sı́ para un objeto cualquiera nos preguntáramos ¿pertenece al conjunto?, se puede dar una respuesta clara y segura: sı́ o no. Sin embargo, aunque parezca extraño, resulta conveniente hablar acerca de conjuntos sin elementos, de “conjuntos vacı́os”. Por ejemplo, del “conjunto de los perros que hablan”, del “conjunto de los dinosaurios vivos que existen en Africam”, del “con- junto de las personas de más de doscientos años de edad”, el “conjunto de los números menores que 6 y mayores que 7”. A pesar de no tener elementos, estos “conjuntos vacı́os” satisfacen la propiedad mencionada arriba, porque dado cualquier objeto, a la pre- gunta ¿pertenece al conjunto? podemos responder diciendo no. Dichos “conjuntos” están bien definidos en este sentido y de hecho son distintas descripciones de un mismo conjunto sin elementos el conjunto vacı́o (esto se entenderá mejor cuando se precise el concepto de igualdad de conjuntos). Vamos a aceptar a este “conjunto” como un conjunto y lo denotaremos por el sı́mbolo ∅, o con el sı́mbolo {}. Con este ejemplo observamos que el no poseer elementos no anula la calidad de ser conjunto. A los objetos (si los hay) que forman un conjunto, les llamaremos elementos de dicho conjunto. Ahora bien, si A es un conjunto, la proposición “x es elemento de A” se denotará por x ∈ A. La nega- ción de esta proposición, es decir, la proposición “x no es elemento de A” se denotará por x ∈ / A. (x ∈ A suele leerse también “x pertenece a A”). Por ejemplo, si A es el conjunto de los primeros tres números naturales pares, entonces 2 ∈ A, 4 ∈ A, 6 ∈ A, 24 ∈ / A, 9 ∈ / A, son proposiciones verdaderas. Note que “pertenencia” es una relación que vincula cada elemento con un conjunto; no es una relación entre elementos de un conjunto. Podemos representar a un conjunto de dos maneras: diciendo explı́ci- tamente cuáles son sus elementos, o enunciando alguna propiedad que caracteriza a esos elementos, es decir, alguna propiedad que cumplan los 52 CAPÍTULO 2. CONJUNTOS elementos del conjunto, pero que sólo ellos la cumplan. En el ejemplo de arriba se puede definir: los elementos de A son 2, 4, 6, o bien A es el conjunto cuyos elementos son los tres primeros números naturales pares. Si B es el conjunto cuyos elementos son: Oaxaca, Tlaxcala, Morelos, Estado de México, Guerrero, Hidalgo y Veracruz, B se puede describir diciendo: B es el conjunto de todos aquellos estados que colindan con el Estado de Puebla. Si enumeramos todos los elementos de un conjunto, decimos que lo hemos representado por extensión, mientras que si enunciamos una propiedad definitoria de los elementos del conjunto, se dice que está re- presentado por comprensión. Convendremos en escribir entre llaves a los elementos de un conjunto cuando esté representado por extensión. Ası́, nuestro conjunto B queda representado por extensión de la siguiente manera: B = {Guerrero, Morelos, Oaxaca, Tlaxcala, Edo. de México, Hidalgo, Veracruz} La representación por extensión es sumamente sencilla y no da lugar a ambigüedades. Sin embargo, no todos los conjuntos se pueden representar enumerando sus elementos. Por ejemplo, si A es el conjunto de los números naturales, lo más cercano a una representación de A por extensión es: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,...}, representación que no es precisa, aunque en este caso da una idea de a qué conjunto nos estamos refiriendo. Más patético es el caso del conjunto de los numeros reales que, a parte de ser infinito, no lo podemos escribir “ordenadamente”. Para este tipo de conjuntos, se prefiere la representa- ción por comprensión, que además proporciona un criterio práctico para determinar si un elemento arbitrario pertenece o no a un conjunto de- terminado: los objetos que poseen la propiedad y sólo ellos, pertenecen al conjunto. A su vez, esto nos obliga a precisar con toda claridad la propiedad definitoria, para evitar ambigüedad e incertidumbre. Si H es un conjunto, p una propiedad que define a los elementos de 2.1. INTRODUCCIÓN 53 H, suele escribirse: H = {x | x tiene la propiedad p}, para indicar que “H es el conjunto de todos los objetos x tales que x tiene la propiedad p” (la barra vertical | se lee: “tal que”). Hay que advertir que el sı́mbolo x que hemos adoptado para denotar los elementos de un conjunto, es enteramente arbitrario y que podemos emplear y, z, w, etc. Por ejemplo, Si A es el conjunto de los números naturales, se puede escribir A = {y | y es un número natural}, o si B = {a, e, i, o, u}, entonces B se puede escribir por comprensión ası́: B = {w | w es una vocal del alfabeto español}. Observemos que puede ocurrir que algún elemento de un conjunto también sea un conjunto. Por ejemplo, el conjunto {1, {2, 3}, 4, {5, 6}} tiene 4 elementos, dos de los cuales son conjuntos: {2, 3} y {5, 6}. Los siguientes ejemplos muestran al menos una de las caracterı́sticas mencionadas antes: Ejemplos: 1. El conjunto de números naturales positivos que tienen la propiedad de que al elevarlos al cubo nos dan un número menor que 100, también se puede escribir como: {1, 2, 3, 4, }. 2. Al conjunto {n | n es un número entero y n3 = n} también lo podemos escribir como {−1, 0, 1} ¿o no? 54 CAPÍTULO 2. CONJUNTOS 3. ¿Se podrán construir conjuntos A, B y C que tengan las propieda- des: A ∈ B, B ∈ C y a ∈ / C ? Un análisis sencillo muestra que los conjuntos A = {1}, B = {{1}, 2} y C = {−1, {{1}, 2}, 3} satisfacen las propiedades solicitadas. Ejercicios 1. 1. Determinar cuáles de los siguientes conjuntos están representados por extensión y cuáles por comprensión. a) A es el conjunto de todos los habitantes de Puebla. b) B = {10, x, 3x}. c) C es el conjunto de los números naturales. d ) D es el conjunto de todos los números naturales x tales que x > 5, x < 9 y x 6= 7. e) E = {x | x ∈ C, x es par, x > 5, y x < 9}. f ) F = {6, 8} g) G = {x | x es una recta del plano} h) H es el conjunto de las bibliotecas de Puebla. i ) I es el conjunto de todos los libros de todas las bibliotecas de Puebla. j ) J = {{x | x ∈ C}, {x | x ∈ E}}. k ) K = {{x | x ∈ E}, 6}. l ) L = {0, {1, 2}, 3, 4}. 2. Siguiendo con la notación del ejercicio 1, responda las siguientes preguntas. a) Si x es un libro, ¿es cierto que x ∈ H? b) ¿La biblioteca Nicolás Copérnico es elemento de H? c) ¿Es cierto que 2 ∈ J? d ) ¿Es cierto que 6 ∈ K? e) ¿Es cierto que 2 ∈ C? 2.2. CONJUNTO UNIVERSAL 55 3. Representar por extensión los conjuntos siguientes. a) A = {x | x es natural y x2 < 20}. b) B = {x | x es natural x > 1, x ≤ 21 y x es impar}. c) C = {x | x es entero y x2 + 1 ≤ 20}. d ) D = {x | x es natural y x = 4 o bien x = 6}. e) E = {x | x es real y x2 = −1}. §2 2.2. Conjunto Universal Cuando hablamos de una propiedad que caracteriza a los elementos de un conjunto dado, generalmente esta propiedad se refiere a un con- glomerado de objetos de cierto tipo. Por ejemplo, si p es la propiedad de ser vocal del abecedario, esta es una propiedad que se refiere a las letras del alfabeto y no por ejemplo a seres humanos o a materiales para cons- trucción de casas o a estrellas del firmamento. En la teorı́a de Conjuntos que estamos desarrollando, trabajaremos a veces con varios conjuntos cu- yos elementos son todos del mismo tipo, es decir, pertenecen todos a un mismo conglomerado de cosas, al que podemos llamar conjunto univer- sal. Por ejemplo, en el siguiente capı́tulo de este curso, trabajaremos con números reales, racionales, irracionales, enteros, naturales; pero todos es- tos son números reales. El conjunto de los números reales juega el papel de conjunto universal, pues no se hará mención de otro tipo de objetos. En el análisis de una situación particular, dicho conjunto universal U, consta de todos los elementos a los que se pueda referir esa situación. Es algo ası́ como la fuente de todos los elementos que forman parte de los conjuntos sobre los que vamos a trabajar en esa situación particular; el conjunto en donde tendrán sentido las propiedades que caracterizan a los elementos de esos conjuntos. No es difı́cil convencerse de que el conjunto universal no es único; depende del problema que se esté considerando y puede cambiar según 56 CAPÍTULO 2. CONJUNTOS la situación de que se trate. Podemos elegirlo a nuestra conveniencia a relativa libertad. Por ejemplo, si los conjuntos a considerar son: Los fut- bolistas, los beisbolistas, los tenistas, los esquiadores y los nadadores, el universo más adecuado es el de los deportistas, aunque también servirı́a el de los seres humanos y el de los animales (biológicamente hablando). Debemos subrayar que esta libertad de elección es relativa: al analizar una situación determinada, una vez que se ha decidido cuál es el conjunto universal U, este conjunto permanece fijo y todos los demás conjuntos mencionados en la misma situación se forman con elementos de U. Es común usar diagramas para representar al conjunto universal U y a los conjuntos formados con elementos de U. Al conjunto universal se le puede representar con un cı́rculo grande o con un rectángulo o alguna otra figura dentro de la cual se dibujen otras figuras que representen a los demás conjuntos, como indicando con ello que todos los elementos de estos conjuntos están en U A B C U Figura 2.1: A, B y C son subconjuntos cuyos elementos están en U A un diagrama de este tipo se le llama comúnmente diagrama de Venn §3 2.3. Subconjuntos Dentro de un conjunto universal U, pueden existir dos conjuntos A y B con la propiedad de que todo elemento de A es un elemento de B, es decir, con la propiedad de que ∀x ∈ U : a∈A⇒x∈B 2.3. SUBCONJUNTOS 57 es una proposición verdadera. Tal situación la representarı́amos mediante un diagrama de Venn, por ejemplo ası́: U B U B A A Ejemplos: 1. Sea U el conjunto de letras del alfabeto español y sean A = {a, e, i, o, u} y B el conjunto de letras de la palabra murciélago. Escrito por extensión: B = {m, u, r, c, i, e, l, a, g, o} Los elementos de A son también elementos de B. 2. Sea U el conjunto de los seres vivos y sean A el conjunto de las personas mayores de 18 años y B el conjunto de los organismos pluricelulares. Cada elemento de A es elemento de B ¿o no? Definición 2.3.1 Supongamos que A y B son conjuntos cuyos elementos están en un conjunto universal U. Diremos que el conjunto A es subcon- junto del conjunto B si todo elemento de A es también elemento de B, es decir, si la proposición ∀x ∈ U : x∈A⇒x∈B es verdadera. 58 CAPÍTULO 2. CONJUNTOS Denotaremos a la proposición “A es subconjunto de B” como A ⊆ B. Algunas consecuencias sencillas de esta definición son las siguientes. Sea U un conjunto universal cualquiera y A, B y C conjuntos cuyos elementos están en U. Entonces son verdaderas: a) A ⊆ U, b) A ⊆ A, c) Si A ⊆ B y B ⊆ C entonces A ⊆ C d) ∅ ⊆ A Demostración: a) Por hipótesis, los elementos de A son elementos de U. b) Es claro que la proposición ∀ x ∈ U : (x ∈ A ⇒ x ∈ A) es verdadera y entonces A ⊆ A es verdadera. c) Supongamos que A ⊆ B y B ⊆ C son verdaderas. Esto significa que las dos proposiciones siguientes son verdaderas ∀x ∈ U : x∈A⇒x∈B y ∀x ∈ U : x∈B⇒x∈C De esto se concluye que la proposición ∀x ∈ U : x∈A⇒x∈C es verdadera (Decir por qué) d) Si x ∈ U, la proposición x ∈ ∅ es falsa y por lo tanto la implicación x ∈ ∅ ⇒ x ∈ A es verdadera. Como esto es cierto para cualquier elemento x de U, la proposición ∀ x ∈ U : x ∈ ∅ ⇒ x ∈ A es verdadera. 2.4. IGUALDAD DE CONJUNTOS 59 La proposición “A no es subconjunto de B”, se acostumbra escribir ası́: A * B. A * B es la negación de A ⊆ B, es decir, es equivalente a la proposi- ción. ∃ x ∈ U : x ∈ A y x 6= B. Ejemplos: 1. Supongamos que A = {1, 2} y B = {1, 2, 5}. Como (2 ∈ A y 2∈/ B) es verdadera, A * B es verdadera. 2. Supongamos que A = {∅}. Como (∅ ∈ A y ∅ ∈ / ∅) es verdadera, A * ∅ es verdadera. 3. Consideremos los conjuntos: A = {2, 3, 4, 5}, B = {n | n es un número natural par} y C = {x | x es un número natural menor que 6}. entonces, las proposicio- nes {2, 3} ⊆ A, A ⊆ C, {10, 8, 6} ⊆ B y C * A son verdaderas, mientras que C ⊆ B, {3} ∈ A, 5 ∈ B y C ⊆ A son proposiciones falsas. Compruebe el lector estas afirmaciones. §4 2.4. Igualdad de conjuntos Dados dos conjuntos A y B, subconjuntos de U (¡ya podemos poner “subconjuntos de U”!), se podrı́an tener verdaderas A ⊆ B y B ⊆ A. En tal caso los elementos de A son elementos de B y los elementos de B son elementos de A, es decir, A y B tienen los mismos elementos. Diremos entonces que A y B son iguales. Definición 2.4.1 Sean A y B subconjuntos de un conjunto universo U. Diremos que A y B son iguales si es verdadera la proposición A⊆B ∧ B ⊆ A. 60 CAPÍTULO 2. CONJUNTOS En caso contrario diremos que A no es igual a B. Denotaremos la proposición “A es igual a B” por A = B y “A no es igual a B” por A 6= B. Observemos que las proposiciones (A ⊆ B ∧ B ⊆ A) y (∀ x ∈ U : x ∈ A ⇔ x ∈ B) son equivalentes. De esta forma, podemos decir que dos conjuntos A y B son iguales si la proposición ∀x ∈ U : x∈A⇔a∈B es verdadera y que A 6= B si y solo si [∃ x ∈ U : x ∈ A y x ∈ / B] o [∃ y ∈ U : y ∈ B y y ∈/ A]. También observemos que si A = {x | p(x)}, B = {x | q(x)} y la proposición (∀ x ∈ U | p(x) ⇔ q(x)) es verdadera, entonces A = B. Ejemplos: 1. Si ∅1 y ∅2 son conjuntos vacı́os (o sea, sin elementos) y si x es un elemento cualquiera del universo, son falsas las proposiciones x ∈ ∅1 y x ∈ ∅2 , o sea, es verdadera x ∈ ∅1 ⇔ x ∈ ∅2 y por lo tanto es verdadera: ∅1 = ∅2 Esto aclara la afirmación de que sólo hay un conjunto vacı́o. 2. Sea U el conjunto de las letras del alfabeto español. Sean A el con- junto de las letras de la palabra “alumno” y B el conjunto de letras de la frase “no mula”. Entonces A = B es verdadera. 3. A = {4, 8, 23 , 3}, B = {(−2)2 , 8, 3}. Entonces A = B es verdadera. ¿Por qué? 4. Es verdadera: ∅ 6= {∅}, pues ya habı́amos visto que {∅} no es subconjunto de ∅. 5. En el último ejemplo de la sección anterior son verdaderas las pro- posiciones A 6= B, B 6= C y A 6= C.

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