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 HEC Montréal École affiliée à l’Université de Montréal Trois essais sur l’évaluation d’options exotiques : options américaines, fonds distincts, et options sur l’électricité par...

 HEC Montréal École affiliée à l’Université de Montréal Trois essais sur l’évaluation d’options exotiques : options américaines, fonds distincts, et options sur l’électricité par Ali Boudhina Service de l’enseignement des méthodes quantitatives de gestion Thèse présentée à la faculté des études supérieures en vue de l’obtention du grade de Philosophiæ Doctor (Ph.D.) en Administration Juin 2014 Copyright, Ali Boudhina, 2014  HEC Montréal École affiliée à l’Université de Montréal Cette thèse intitulée : Trois essais sur l’évaluation d’options exotiques : options américaines, fonds distincts, et options sur l’électricité présentée par : Ali Boudhina a été évaluée par un jury composé des personnes suivantes : Geneviève Gauthier HEC Montréal Présidente-rapporteuse Michèle Breton HEC Montréal Directrice de recherche Komlan T. Sedzro Université du Québec à Montréal Membre du jury Olivier Scaillet HEC Genève Examinateur externe Pascal François HEC Montréal Représentant du directeur de HEC Montréal  Résumé On trouve aujourd’hui sur le marché financier des produits dérivés dont la complexité dépasse de loin les options européennes de vente ou d’achat. Les agents économiques qui transigent ces produits ont besoin de pouvoir les évaluer, les couvrir, et d’en mesurer la sensibilité. Même sous des hypothèses simples sur la dynamique du prix de l’actif sous-jacent au contrat, il est rare que l’on puisse obtenir des solutions analytiques sous forme fermée pour ces produits complexes, et on doit avoir recours à des méthodes numériques. Cette thèse utilise l’une des méthodes d’approximation de la programmation dynamique, c’est-à-dire l’interpolation de la valeur du contrat par des splines cubiques. Cette technique est appliquée à l’évaluation de différents produits dérivés et contrats financiers, sous diverses hypothèses quant à la dynamique du prix de l’actif sous-jacent. Le chapitre introductif présente brièvement une revue des méthodes numériques de base et donne les détails de l’algorithme d’approximation par splines cubiques pour le cas des options bermudiennes. Les méthodes proposées par la suite sont des généralisations de cet algorithme de base. Le deuxième chapitre propose une nouvelle méthode d’évaluation des options de vente américaines de longue échéance. Alors que la majorité des approches existantes se basent sur une approximation de la stratégie optimale en temps discret, cette nouvelle approche permet l’exercice en temps continu en optimisant une stratégie représentée par une frontière d’exercice constante entre deux dates de discrétisation du temps. L’optimisation de cette stratégie à barrière couplée à l’approximation par splines cubiques permet d’accélérer la convergence du prix de l’option. Les tests numériques montrent que cette approche est plus efficace que l’approche par les options bermudiennes, notamment dans le cas des options de longue échéance et de haute volatilité. Le troisième chapitre utilise l’approximation par splines cubiques pour calculer la valeur de contrats de fonds distincts sous l’hypothèse conservatrice d’une stratégie d’exercice optimale du détenteur. L’algorithme d’évaluation permet de tenir compte d’une volatilité stochastique représentée par un modèle log normal avec changements de régime. Des exemples illustratifs montrent que l’algorithme peut être adapté à l’évaluation d’un grand nombre de garanties offertes par les fonds distincts. Le quatrième chapitre s’intéresse au prix de l’électricité comme sous-jacent de contrats finan- ciers, en supposant que ce prix est représenté par un modèle de retour à la moyenne à deux facteurs. Après avoir proposé une procédure pour estimer ce modèle, ce chapitre exploite la technique d’approximation par les splines cubiques pour évaluer aussi bien des options vanilles que des options exotiques, telles que les options swing. L’approche numérique proposée dans cette thèse représente une alternative précise, efficace et simple pour l’évaluation de produits dérivés financiers. Le point fort de la méthode réside dans sa flexibilité, tel qu’on peut le constater par les diverses applications proposées. Cette flexibilité se manifeste aussi bien au niveau de la dynamique du sous-jacent (modèle avec changements de régime) que du nombre de facteurs stochastiques (prix de l’électricité) ou du nombre de variables d’état discrètes (garanties des fonds distincts). Mots clés : Évaluation de produits dérivés, programmation dynamique, interpo- lation, option américaine, fonds distincts, dérivés de l’électricité. iv  Abstract The financial derivatives market now includes products whose complexity far exceeds Euro- pean call or put options. Economic agents trading these products need to be able to evaluate and hedge them, as well as to assess their sensitivity to model parameters. Even under simple assumptions about the dynamics of contracts’ underlying assets, one can rarely obtain ana- lytical solutions in closed-form for these complex products, and must resort to numerical methods. This technique is applied to the evaluation of various derivatives and financial contracts, under different assumptions about the dynamics of the underlying asset price. The introductory chapter presents a brief review of basic numerical methods and details the cubic splines approximation algorithm in the case of Bermudan options. The methods proposed in the sequel are generalizations of this basic algorithm. The second chapter proposes a new evaluation method for long-maturity American put options. While most existing approaches are based on an approximation of the optimal stra- tegy in discrete time, this new approach allows for continuous-time exercise opportunities by optimizing a constant exercise barrier strategy between two discretized dates. The opti- mization of this barrier strategy, coupled with cubic spline approximation, provides faster convergence of the option price. Numerical tests show that this method is more efficient than the approach using Bermudian options, particularly in the case of long-maturity and high-volatility options. The third chapter uses cubic spline approximation to evaluate segregated fund contracts under the conservative assumption of an optimal exercise strategy of the holder. The algo- rithm accounts for stochastic volatility by using a regime-switching log-normal assumption. Illustrative examples show that the algorithm can be adapted to the evaluation of a large number of guarantees offered by segregated funds. The fourth chapter focuses on electricity prices as the underlying asset of financial contracts, assuming that this price is represented by a two-factor mean reversion model. After proposing a model calibration procedure, this chapter uses the cubic spline approximation approach to evaluate both vanilla and exotic (e.g. swing) options. The numerical approach proposed in this thesis is an accurate, efficient and simple alternative for the evaluation of financial derivatives products. The strong point of the method lies in its flexibility, as can be seen by the various applications proposed. This flexibility is reflected in terms of the underlying asset price dynamics (regime switching model), the number of v stochastic factors (electricity prices), or the number of discrete state variables (segregated fund guarantees). Keywords : Derivative valuation, dynamic programming, interpolation, Ameri- can option, segregated funds, electricity derivatives. vi Table des matières Résumé......................................... iii Abstract......................................... v Table des matières................................... vii Liste des tableaux.................................... x Liste des figures..................................... xii Liste des symboles................................... xvii Remerciements..................................... xxii 1 Introduction 1 1.1 Généralités.................................... 1 1.2 Le modèle Black-Merton-Scholes......................... 2 1.3 Approches numériques classiques........................ 4 1.3.1 Arbre binomial.............................. 4 1.3.2 Méthode des différences finies...................... 5 1.3.3 Simulation de Monte-Carlo........................ 7 1.4 Programmation dynamique............................ 8 1.4.1 Formulation générale........................... 8 vii  1.4.2 Évaluation d’une option de vente bermudienne............. 9 1.4.3 Interpolation par splines......................... 10 1.4.4 Calcul de la valeur de l’espérance conditionnelle............ 12 1.4.5 Algorithme................................ 14 1.5 Conclusion..................................... 15 2 Utilisation des options exotiques pour l’évaluation d’options américaines de longue échéance 17 2.1 Introduction.................................... 17 2.2 Approche par les options bermudiennes..................... 20 2.3 Approche par un portefeuille d’options à barrière............... 22 2.3.1 Les options................................ 22 2.3.2 Stratégie d’exercice constante...................... 23 2.3.3 Stratégie à deux barrières........................ 24 2.3.4 Stratégie à M barrières.......................... 25 2.4 Approche par les options Bermudiennes corrigées............... 28 2.5 Conclusion..................................... 34 2.6 Annexe : Calcul de la fonction Ψ........................ 36 3 Évaluation des garanties offertes par les fonds distincts 38 3.1 Introduction.................................... 38 3.2 Modèle lognormal avec changements de régime................. 41 3.2.1 Présentation................................ 41 viii  3.2.2 Estimation du modèle.......................... 43 3.2.3 Évaluation d’une garantie à l’échéance................. 44 3.3 Évaluation d’une garantie au décès et à l’échéance avec possibilité de sortie. 46 3.3.1 Modèle et algorithme........................... 46 3.3.2 Technique d’approximation........................ 48 3.3.3 Illustration numérique et analyse de sensibilité............. 50 3.4 Évaluation des contrats de garantie comportant des options de revalorisation 54 3.4.1 Rétablissement périodique........................ 54 3.4.2 Option verrou............................... 58 3.5 Garantie de retrait minimal........................... 60 3.5.1 Modèle................................... 62 3.5.2 Retrait minimal avec option de revalorisation............. 65 3.5.3 Illustrations numériques......................... 65 3.6 Conclusion..................................... 69 3.7 Annexes :..................................... 70 3.7.1 Algorithme de calcul de la distribution du temps de séjour g..... 70 3.7.2 Interpolation par spline linéaire/cubique................ 71 4 Évaluation de dérivés de l’électricité 72 4.1 Modélisation du prix au comptant de l’électricité............... 74 4.1.1 Revue de la littérature.......................... 74 4.1.2 Modèle à deux facteurs.......................... 76 ix  4.2 Estimation du modèle.............................. 77 4.2.1 La fonction de saisonnalité........................ 78 4.2.2 Les paramètres des composantes stochastiques............. 78 4.2.3 Filtration des facteurs.......................... 79 4.2.4 Estimation neutre au risque....................... 84 4.3 Algorithme d’évaluation............................. 87 4.3.1 Interpolation de la fonction valeur.................... 88 4.3.2 Calcul de l’espérance mathématique................... 90 4.3.3 Algorithme................................ 91 4.4 Illustrations numériques............................. 92 4.4.1 Options européennes........................... 92 4.4.2 Options américaines........................... 96 4.5 Évaluation de dérivés exotiques......................... 97 4.5.1 Approximation par un retour à la moyenne infini........... 101 4.5.2 Le cas des options swing......................... 103 4.6 Conclusion..................................... 104 4.7 Annexe :...................................... 105 Conclusion générale 107 Bibliographie 109 x Liste des tableaux 2.1 Valeur d’une option bermudienne en fonction du nombre d’opportunités d’exer- cice. Les paramètres sont K = 100, r = 4% , σ = 20%............. 21 2.2 Valeur d’une option bermudienne en fonction du nombre d’opportunités d’exer- cice, Les paramètres sont K = 100, r = 4% , σ = 40%............. 21 2.3 Évaluation d’une option de vente américaine par un portefeuille d’options à barrière, Les paramètres sont K = 100 , r = 4% , σ = 20%........... 29 2.4 Évaluation d’une option de vente américaine par un portefeuille d’options à barrière. Les paramètres sont K = 100 , r = 4% , σ = 40%........... 29 2.5 Évaluation d’une option de vente américaine à partir d’une option bermu- dienne corrigée. Les paramètres sont K = 100 , r = 4% , σ = 20%....... 32 2.6 Évaluation d’une option de vente américaine par une option bermudienne corrigée. Les paramètres sont K = 100 , r = 4% , σ = 40%........... 33 3.1 Estimation des régimes de volatilité....................... 43 3.2 Estimation des probabilités de transition.................... 44 3.3 Paramètres du cas de base............................. 50 4.1 Description de la série des prix journaliers du Mass Hub............ 82 4.2 Résultats de la première étape d’estimation................... 82 4.3 Application du filtre particulaire......................... 83 xi 4.4 Estimation de la prime de risque de marché................... 86 4.5 Option de vente européenne, prix d’exercice K = 36.............. 93 4.6 Option de vente européenne, prix d’exercice K = 40.............. 94 4.7 Option de vente européenne, prix d’exercice K = 44.............. 95 4.8 Comparaison entre les prix d’options européennes et américaines, prix d’exer- cice K = 36..................................... 98 4.9 Comparaison entre les prix d’options européennes et américaines, prix d’exer- cice K = 40..................................... 99 4.10 Comparaison entre les prix d’options européennes et américaines, prix d’exer- cice K = 44..................................... 100 xii Liste des figures 1.1 Convergence de l’interpolation par splines à la valeur exacte d’une option de vente européenne. Les paramètres sont σ = 20%, r = 4%, K = 100, T = 1 et M = 2........................................ 15 2.1 Convergence de l’erreur d’approximation selon le nombre de pas de temps, r = 4%, K = 100. Les valeurs rapportées sont les moyennes des résultats pour s = 90, 100 et 110................................. 33 2.2 Erreur d’approximation en fonction du temps de calcul, r = 4%, K = 100. Les valeurs rapportées sont les moyennes des résultats pour s = 90, 100 et 110. 34 3.1 Estimation des régimes.............................. 43 3.2 Valeur d’un contrat de garantie à la maturité et au décès selon la valeur relative du fonds pour différents niveaux de frais périodiques, T = 10, x = F. 51 3.3 Frontière de liquidation du contrat en fonction du temps écoulé pour différentes pénalités, T = 10, x = F.............................. 51 3.4 Impact de la pénalité sur la valeur du contrat, T = 10, x = F, q = 2%.... 52 3.5 Taux de frais concurrentiel selon le niveau de la pénalité, x = L , T = 10... 53 3.6 Sensibilité de la valeur du contrat au régime initial de volatilité et à l’âge du détenteur,.T = 10, q = 2%, θ = 5%........................ 53 3.7 Impact de la fréquence de revalorisation sur la valeur du contrat, T = 10, q = 2%, x = F, θ = 5%................................. 56 xiii 3.8 Niveau de frais concurrentiel en fonction du niveau de la garantie pour différents contrats. GM : garantie à l’échéance ; GD : garantie au décès.......... 57 3.9 Écarts de taux correspondant à chaque garantie................. 58 3.10 Valeur du contrat en fonction du niveau relatif du fond selon différentes valeurs pour le nombre maximal d’options verrou pour un homme de 60 ans, où q = 2%, θ = 5% et M = 10............................... 60 3.11 Valeur des options verrou pour un homme de 60 ans lorsque q = 2% et θ = 5%. 61 3.12 Valeur du contrat en fonction de la pénalité et du taux de frais en présence des options verrou................................. 61 3.13 Comparaison de la valeur des contrats de garantie avec options verrou.... 62 3.14 Valeur du contrat de retrait minimal en fonction de la garantie K et de la valeur s investie dans le fond pour un régime de volatilité F , q = 2, 5% et υ = 5%....................................... 66 3.15 Evolution de la valeur du contrat de retrait minimal pour 3 niveaux de K en fonction de la valeur s investie dans le fond pour un régime de volatilité F , q = 2, 5% et υ = 5%................................ 66 3.16 Évolution du prix du contrat en fonction du niveau de frais q, de la pénalité υ et du régime de volatilité............................ 68 3.17 Frontière de liquidation pour un régime de volatilité F, q = 2, 5%, m = 5... 68 4.1 Fonction de saisonnalité. Le prix moyen est plus élevé pour les mois très chauds et les mois très froids............................... 78 4.2 Procédure de calibrage du modèle : 1) estimation de la composante deter- minise, 2) filtration des sauts en utilisant le séparateur κ et estimation des cinq premiers paramètres, 3) optimisation de la fonction de vraissemblance du filtre particulaire pour l’estimation de β, x et y................. 80 xiv 4.3 Performance d’estimation d’un processus simulé avec le filtre particulaire. pour les paramètres suivants α = 23, 362, σ X = 1, 473, β = 230, σ J = 0, 062, µJ = 0, 280, ϑ = 0, 061............................... 81 4.4 Distribution de l’erreur d’estimation de X et de Y............... 81 4.5 Fonction de vraisemblance pour différents niveaux de retour à la moyenne β et différents seuils κ................................ 83 4.6 Résultat de la filtration du processus Zt pour κ=2,32.............. 84 4.7 Surface de prix d’une option européenne pour K = 40 et T = 40 jours.... 96 4.8 Prix d’une option de vente américaine pour T = 40 jours et K = 40...... 97 4.9 Variation du prix d’un contrat swing de maturité T = 30 jours, e = 3 et de prix d’exercice K = 40 en fonction de la pénalité θ et la valeur de x...... 103 4.10 Variation du prix du contrat swing en fonction du nombre d’exercices résiduels o pour un contrat de maturité T = 30 jours, e = 3 et de prix d’exercice K = 40, lorsque x = 0 et y = 0............................... 104 xv xvi Liste des symboles Notation générale max{x; y} : la fonction donnant le maximum entre deux réels x et y (x)+ : la fonction max {x; 0} ∂ ∂x : première dérivée partielle sur x ∂2 ∂x2 : deuxième dérivée partielle sur x 0 V : dérivée première de la fonction V V 00 : dérivée seconde de la fonction V V (s+ ) : limite à droite de V au point s V (s− ) : limite à gauche de V au point s Ex [·] : espérance mathématique, conditionnelle à l’information x Ix A : fonction indicatrice de x ∈ A IK : fonction indicatrice de l’événement K Rn : ensemble des vecteurs à variables réelles à n dimensions ∅: ensemble vide Φ(·) : fonction de distribution normale standard φ (·) : fonction de densité normale standard φ (·; µ, σ) : fonction de densité de la loi normale de moyenne µ et d’écart type σ N (0, 1) : loi normale centrée réduite : variable aléatoire normale centrée et réduite P : mesure de probabilité physique Q, Qe: mesure de probabilité risque neutre {Ft }t ≥0 : filtration t: temps τ: temps de premier passage xvii Marché Rm : rendement entre tm−1 et tm. St : processus de prix Wt , W ft , : mouvement brownien standard µ: moyenne physique des rendements de prix µ b: moyenne des rendements de prix en mesure neutre au risque σ: volatilité r: taux sans risque ρ: facteur d’actualisation Contrats T : ensemble de dates d’exercice Γ: ensemble des décisions admissibles γ: décision χ: fonction de paiement K: prix d’exercice T : échéance ζ(·) : fonction de flux monétaires Ht : vecteur des caractéristiques observables du sous-jacent à la date t om : vecteur des caractéristiques observables du contrat à la date tm Évaluation Vm , Vmx : fonction valeur de la programmation dynamique à l’étape m Vb : interpolation d’une fonction V Gn : grille de n points définie sur un espace d’état δ: pas de temps cmik : coefficients d’une fonction d’interpolation par splines, étape m, intervalle i et degré k Ω(·), Ψ (·) : matrices de transition pour l’approximation spline s: variable d’état représentant le prix xviii Notation spécifique au premier chapitre Sitj : prix de l’actif i à la date tj Smj : prix de l’actif au noeud (j, m) Vmj : valeur de l’option au noeud (m, j) δt : pas de discrétisation du temps δs : pas de discrétisation des prix u: multiplicateur à la hausse de l’arbre binomial q: probabilité de hausse v(·) : fonction de prix d’une option Notation spécifique au deuxième chapitre U(X) : ensemble des fonctions de X dans R+ V : ensemble des fonctions de R+ dans R+ B: barrière ou frontière d’exercice CBS (·) : prix d’une option d’achat européenne dans le modèle Black et Scholes D(·) : prix d’une option DO F (·) : prix d’une option FT P (·) : prix d’une option américaine k P (·) : prix d’une option de vente par l’approche à k barrières constantes Am (s) : fonction valeur par l’approche bermudienne corrigée s∗m : frontière d’exercice à la date tm xix Notation spécifique au troisième chapitre X ∈ {E, F } : régime de volatilité ∆: pas de discretisation pour l’approximation du changement de régime pxy : probabilité de passage du régime x au régime y ξ(·) : fonction de distribution des rendements sous changement de régime f (·) : fonction de transition g(·) : fonction de distribution du temps de séjour sous le régime E gb : discrétisation de d’une fonction de distribution g Pm : probabilité de décès entre les date tm et tm+1 θm : pénalité de liquidation à la date tm q: taux des frais périodiques ∗ q : niveau de frais concurrentiel Λ: retrait contractuel périodique υ: taux de pénalité pour un retrait supérieur au retrait contractuel U: nombre maximal de rétablissements par année u: variable d’état représentant le nombre de rétablissements disponibles xx Notation spécifique au quatrième chapitre Jt : saut à la date t Nt : processus de Poisson représentant le nombre de sauts Xt : facteur aléatoire de retour à la moyenne avec innovation gaussienne Yt : facteur aléatoire de retour à la moyenne avec sauts ft : fonction de saisonnalité ϑ: paramètre de la loi de Poisson α: constante de retour à la moyenne β: constante de retour à la moyenne Υ: ensemble discret des valeurs possible pour β κ: seuil de séparation des sauts λ: prime de risque σ X : volatilité du facteur de retour à la moyenne X µJ : moyenne des sauts σ J : volatilité des sauts v(·) : prix d’un contrat à terme e: nombre de droits exercices maximal l(·) : fonction de vraisemblance du filtre particulaire o: variable d’état représentant le nombre d’exercices résiduels xxi  Remerciements Je tiens à adresser mes plus grands remerciements et ma plus profonde reconnaissance à l’égard de mon professeur et directrice de recherche Michèle Breton, pour l’encadrement, la patience, la confiance et le soutien qu’elle n’a cessé de m’apporter non seulement pendant les années de thèse, mais aussi depuis mes débuts à HEC Montréal. Merci Michèle ! Je tiens aussi à témoigner ma gratitude à ma mère pour tous ses grands sacrifices qui m’ont permis d’avancer et de continuer mes études. Je remercie aussi ma conjointe qui a dû supporter mes longues nuits de travail et qui n’a arrêté de m’encourager dans les moments les plus difficiles. Je remercie également mon frère Adel et mes amis Saad, Faouzi, Marc, Oussama, Mahdi, Kais et pleins d’autres qui m’ont accompagné par leur support et leurs bonnes paroles dans cette traversée solitaire. Je remercie aussi mes collègues à Deloitte, avec qui le travail m’a été d’une grande inspiration, ainsi que l’IFM2 et le CRSNG pour le financement de cette recherche. Je dédie finalement ce travail à deux personnes chères et qui ne sont pas de notre monde : Mon père, décédé, qui aimait tant la science, et ma fille Malak qui devrait venir au monde dans quelques mois. xxii Chapitre 1 Introduction Les besoins de couvertures ou de spéculations amènent les institutions financières à dévelop- per et à proposer des produits de plus en plus exotiques. Même sous les hypothèses les plus simples, l’utilisation d’approches analytiques permet rarement d’évaluer de tels produits sous forme fermée et on doit généralement recourir à des approches numériques. On présente ici une brève revue des approches numériques classiques utilisées pour l’évaluation de produits financiers dérivés, et plus particulièrement pour l’évaluation d’options bermudiennes. On y introduit les méthodes de différences finies, l’arbre binomial et l’approche par simulation- régression. On présente ensuite l’approche générale d’approximation de la programmation dynamique qui sera utilisée tout au long de cette thèse. 1.1 Généralités Un produit dérivé est un instrument financier dont la valeur dépend de celle d’un autre actif, appelé actif sous-jacent. Une option est un produit dérivé qui donne à son détenteur le droit, et non l’obligation, de toucher un montant fixé par contrat (la fonction de paiement) dont la valeur dépend de celle de l’actif sous-jacent. Les options sont caractérisées par leur échéance, leur fonction de paiement, et leurs dates d’exercice. Ainsi, la fonction de paiement d’une option de vente est donnée par () = ( − )+ ≡ max { −  0}  alors que la fonction de paiement d’une option d’achat est donnée par () = ( − )+  où  est le prix de l’actif sous-jacent et  est appelé le prix d’exercice. Par ailleurs, une option européenne peut être exercée seulement à la date d’échéance, une option bermudienne peut être exercée à un nombre fini de dates définies dans le contrat, et une option américaine peut être exercée à n’importe quel moment jusqu’à la date d’échéance. L’évaluation d’un titre contingent consiste à déterminer la valeur du contrat décrivant l’ins- trument financier. Cette valeur dépend évidemment des caractéristiques du contrat, mais aussi de la valeur de l’actif sous-jacent et des anticipations des agents économiques quant à son évolution au cours de la vie du contrat. 1.2 Le modèle Black-Merton-Scholes Sous les hypothèses du modèle de Black et Scholes (1973), la dynamique du prix de l’actif sous-jacent peut être exprimée en temps continu sous la forme d’un mouvement brownien géométrique :  =  +   où  est processus de prix de l’actif sous-jacent,  et  sont deux constantes, et  est un mouvement brownien standard dont la filtration naturelle augmentée est notée {F } ≥0. On considère une option de vente européenne de prix d’exercice  et échéance  écrite sur cet actif sous-jacent. Sous une condition d’absence d’opportunité d’arbitrage, l’application du lemme d’Itô permet de montrer que le prix  de cette option vérifie l’équation aux dérivés partielle (EDP) suivante : ( ) ( ) 1  2 ( ) 2 2 +  +   = ( ) (1.1)   2 2 avec la condition aux bornes ( ) = ( − )+  où  est le taux d’intérêt sans risque. La solution de cette EDP permet de retrouver la formule 2 analytique de Black et Scholes : (0 ) = − Φ(−2 ) − Φ(−1 ) (1.2) où Φ est la distribution cumulative normale centrée et réduite, avec 2 ln(  ) + ( + 2 ) 1 = √   √ 2 = 1 −    Le même prix peut être obtenu en utilisant ce qu’on appelle l’approche martingale ; en effet, sous les hypothèses de Black et Scholes, le prix d’un produit dérivé est donné par l’espérance mathématique de ses flux futurs, évaluée sous la mesure de probabilité neutre au risque, c’est-à-dire : £ ¤ ( ) = E −( −) (  )| =  pour tout  ∈ [0  ]  (1.3) La mesure de probabilité neutre au risque  est une probabilité équivalente à la probabilité physique  , sous laquelle la dynamique de  s’écrit de la manière suivante :  =  +  (1.4)  dont la solution donne pour   0 : µµ ¶ ¶ 2 √  = 0 exp −  +   avec  ∼ (0 1) (1.5) 2 Dans la suite de cet ouvrage, on utilisera la notation E [·] = E [·|F = ] b représentera toujours la quantité et la constante  2 b≡−   2 On a donc en particulier £ ¤ (0 ) = E0 − ( −  )+ (1.6) En injectant l’expression (1.5) dans la forme martingale du prix (1.6), on retrouve le prix de 3 l’option de vente américaine donnée par (1.2). 1.3 Approches numériques classiques Lorsque le contrat prévoit la possibilité d’un exercice anticipé, il n’existe généralement plus de solution analytique permettant d’obtenir le prix d’une option sous forme fermée. Cette section présente brièvement les approches numériques les plus utilisées pour l’évaluation de produits dérivés financiers. Ces méthodes sont présentées dans le contexte particulier de l’évaluation d’une option de vente américaine ou bermudienne, toutefois il est facile de faire l’adaptation nécessaire pour l’évaluation d’autres types de produits dérivés. 1.3.1 Arbre binomial Cette approche a été proposée par Cox et al. (1979) dans le cadre d’un marché en temps discret, où on suppose que les trajectoires possibles du prix de l’actif sous-jacent sont repré-  sentées par un arbre. À chaque pas de temps de longueur  =   le prix de l’actif sous-jacent peut prendre deux valeurs possibles, soit à la hausse par un facteur   1 ou à la baisse par un facteur 1 La valeur de ce paramètre est obtenue par un ajustement des moments de la distribution du prix de l’actif sous-jacent, soit √  = exp( ) L’arbre binomial définit le prix de l’actif sous-jacent à chaque noeud ( ) où  représente le nombre de pas de temps écoulés et  le nombre de hausses du prix de l’actif, par  = 2−  0 ≤  ≤  0 ≤  ≤  où  est le prix de l’actif sous-jacent à la date d’évaluation. On utilise ensuite un argument d’absence d’opportunité d’arbitrage pour associer une probabilité risque neutre notée  à l’événement d’une hausse du prix, soit  − 1 =  2 − 1 4 La valeur  d’une option américaine au noeud ( ) est alors obtenue par récursion arrière par l’algorithme suivant :  = ( −  )+ pour  = 0   © ª  = max ( −  )+  +1+1 + (1 − ) +1  0 ≤  ≤  1 ≤  ≤  00 = 11 + (1 − ) 10  L’arbre binomial a été généralisé de plusieurs façons, dont les modèles d’arbres trinomiaux (Boyle et al. 1989) ou multinomiaux (Kamrad et Ritchken 1991), qui considèrent un plus grand nombre de possibilités de changement dans la valeur du prix à chaque pas de temps, ou les méthodes de treillis (Boyle 1988), qui considèrent plus qu’une valeur possible à l’ini- tialisation du contrat. Il est possible de l’utiliser pour évaluer des produits écrits sur des sous-jacents multidimensionnels, bien qu’on se heurte alors rapidement à la malédiction de la dimension. Cette approche est aussi à la base de nombreuses méthodes d’évaluation dites robustes ou indépendantes des distributions (voir par exemple Bernhard et al. 2010). 1.3.2 Méthode des différences finies De façon analogue à l’option européenne, on peut montrer que le prix ( ) d’une option de vente américaine en ( ) obéit à l’EDP suivante : µ ¶ ( ) ( ) 1  2 ( ) 2 2 ¡ ¢ +  + 2   − ( ) ( ) − ( − )+ = 0 (1.7)   2  ( ) ( ) 1  2 ( ) 2 2 +  +   − ( ) ≤ 0 (1.8)   2 2 ( ) − ( − )+ ≥ 0 (1.9) 5 avec les conditions aux bornes ( ) = ( − )+ lim ( ) = 0 →∞ ( 0) =  La méthode des différences finies Schwartz (1977) consiste à obtenir une solution numérique de l’EDP (1.7)-(1.9) en discrétisant l’espace des prix et du temps et en écrivant l’EDP sous une forme discrétisée. Plusieurs schémas de discrétisation sont possibles, l’un des plus connus est le schéma implicite d’Euler selon lequel la discrétisation de l’EDP est la suivante :  −−1  −  +   −1+12 −1−1  −2 +−1−1 + −1+1 −1 2 2 (  )2 = −1 où   et   représentent les pas de discrétisation respectifs du temps et du prix. Il est facile de voir qu’en posant 1  =  ( −  2  2 ) 2  = 1 +   ( +  2  2 ) 1  = −  ( +  2  2 ) 2 la résolution de l’EDP discrétisée se ramène à la solution de systèmes d’équations linéaires pour  = 0   :  =  −1−1 +  −1 +  −1+1  (1.10) pour  = 1  (1.11) D’autres schémas de discrétisation ont été proposés dans la littérature, tels que le schéma d’Euler explicite ou celui de Crank-Nicholson (1947) qui donnent de meilleurs résultats en termes de précision et stabilité numérique. L’avantage de l’approche par différences finies est sa formulation très générale puisque tous les produits dérivés obéissent à la même EDP, et ne sont caractérisés que par leurs conditions aux bornes. 6 1.3.3 Simulation de Monte-Carlo En évaluation de produits dérivés, la simulation de Monte-Carlo (Boyle 1977) est utilisée comme une technique d’intégration numérique. En effet, selon l’approche martingale, le prix d’un dérivé financier est donné par l’espérance, sous la mesure neutre au risque, des paiements futurs qu’il produira. Ainsi, la valeur d’une option de vente européenne de prix d’exercice  et d’échéance  en (0 ) s’écrit £ ¤ (0 ) = E − ( −  )+  L’évaluation d’une telle option par simulation de Monte-Carlo consiste à générer aléatoire- ment un échantillon de réalisations possibles du paiement final à partir de la distribution de la variable aléatoire   Soit  la ème réalisation issue de la simulation, la loi des grand nombres est utilisée pour approximer la valeur de l’option par : 1X − (0 ) =  lim ( −  )+  →∞ =1 La simulation de Monte-Carlo permet d’évaluer facilement n’importe quelle option de type européen dès lors que l’on puisse simuler la distribution du prix du sous-jacent à l’échéance et calculer le paiement correspondant. La simulation de Monte-Carlo est particulièrement efficace pour l’évaluation d’options écrites sur plusieurs sous-jacents. Plusieurs techniques permettent d’améliorer la convergence du prix selon la taille de l’échantillon simulé, no- tamment l’utilisation de variables de contrôle, l’échantillonnage stratégique, ou la génération de séries à faible discrépance (Paskov 1994). Dans le cas des options avec possibilité d’exercice anticipé, la simulation de Monte-Carlo ne peut pas être utilisée à moins de connaître la stratégie d’exercice du détenteur. L’approche de simulation-régression proposée par Longstaff et Schwartz (2001) permet de déterminer la stratégie d’exercice optimale d’options bermudiennes à partir de trajectoires simulées par récursion arrière, comme dans le cas de l’arbre binomial. Ainsi, à chaque pas de temps, on choisit soit d’exercer l’option, soit de la conserver au moins jusqu’à la prochaine date de décision. La valeur de continuation est approximée par une régression des paiements futurs de l’option observés sur les trajectoires simulées. 7 1.4 Programmation dynamique La représentation de la valeur d’un produit dérivé par un programme dynamique est une approche très générale qui fait intervenir la détermination de la stratégie d’exercice optimale par récursion arrière. Dans cette section, on présente d’abord la formulation générale de la valeur d’un dérivé par programmation dynamique pour ensuite adapter cette formulation au cas d’une option de vente bermudienne. On montre que les méthodes de treillis (arbre binomial et treillis multinomiaux) ainsi que l’approche par simulation-régression qui ont été présentés plus haut sont en fait des cas particuliers de programmes dynamiques, corres- pondant à des choix spécifiques d’approches pour l’approximation de ces programmes. Une technique d’approximation par splines est ensuite développée pour l’évaluation d’une option de vente bermudienne. 1.4.1 Formulation générale Soit un produit dérivé d’échéance  écrit sur un sous-jacent (possiblement multidimension- nel). On note  ∈ R1 le vecteur des caractéristiques observables à la date  dont l’évolution est décrite par un processus stochastique connu. Soit {   = 0  } un ensemble de dates d’observation également espacées ;  ≡  − −1 représente l’intervalle de temps entre deux de ces dates, où 0 = 0 et  =  Le facteur d’actualisation correspondant à l’intervalle  au taux sans risque  supposé constant, est représenté par  = exp(−). Le contrat à évaluer est caractérisé par son échéance  , sa fonction de paiement  et par un ensemble T de dates où l’exercice est permis, qu’on suppose inclus dans {   = 0  } sans perte de généralité. Pour tenir compte de la possibilité d’autres clauses optionnelles du contrat, on représente par Γ l’ensemble des décisions qui peuvent être prises par le détenteur de l’option à la date  , et par  la fonction décrivant les flux monétaires occasionnés par de telles décisions. La fonction de paiement est une fonction de  et des caractéristiques observées en . Le paiement peut aussi dépendre d’un vecteur de 2 autres caractéristiques observables à  qu’on note  ∈ R2 et dont l’évolution est décrite par une fonction déterministe . Par exemple, la fonction de paiement à une date d’exercice quelconque  ∈ T peut dépendre uniquement des prix des actifs sous-jacents observés à  (options de vente), des trajectoires de ces prix (options barrière ou asiatiques), de réajustements du contrat (options verrou), 8 ou encore du nombre de droits d’exercice résiduels (options swing). Les autres flux moné- taires prévus au contrat et décrits par la fonction  peuvent également dépendre de  des caractéristiques  ou  et des décisions prises par le détenteur de l’option. La valeur  ( ) d’un produit dérivé en (   ) correspondant à une stratégie optimale du détenteur est décrite par le programme dynamique suivant :  ( ) =  ( ) ⎧ ⎫ ⎪ ⎨ (  ( ) ) ⎪ ⎬  ( ) = max   (  )  ⎪ ⎩ max∈Γ ⎪ ⎭ +E  [+1 (+1   ( ))] pour 1 ≤     ∈ T  ( ) = max {  (  ) + E  [+1 (+1   ( ))]}  ∈Γ pour 1 ≤     ∈ T 0 ( ) = E0 [1 (1  0 ( ))] 1.4.2 Évaluation d’une option de vente bermudienne La formulation générale présentée plus haut englobe un grand ensemble de produits dérivés. On peut se ramener au cas des options de vente bermudiennes portant sur un seul actif sous-jacent en posant 1 = 1 2 = 0  =   T = {   = 0  },  () = ( − )+  Γ = ∅ et   (·) = 0 Dans ce cas l’observation courante du prix de l’actif sous-jacent suffit pour déterminer les flux monétaires de l’option, et le programme dynamique s’écrit :  () = ( − )+ (1.12) © £ ¡ ¢¤ª  () = max ( − )+  E +1 +1  1≤ (1.13) 0 () = E [1 (1 )]  (1.14) De façon générale, la valeur d’une option de vente bermudienne ne peut pas être obtenue sous forme analytique. Comme l’espace d’état est continu, les méthodes numériques consistent gé- néralement à évaluer  () sur une grille de valeurs discrètes, et par conséquent l’évaluation de la valeur de continuation E [ ( )] est une approximation de l’espérance d’une fonc- tion qui n’est connue que sur une grille de points. Le schéma binomial décrit à la section 1.3.1 est l’un des plus simple pour résoudre ce pro- 9 gramme dynamique : la valeur de  n’est calculée que sur les noeuds de l’arbre et l’espérance est obtenue en réduisant les transitions possibles entre  et +1 à deux possibilités,   et  , approximant ainsi la dynamique du prix de l’actif sous-jacent par une distribution binomiale. Cette approximation impose des contraintes de taille sur le pas de temps  qui doit être assez petit pour que la réduction de l’espace des états possibles donne une bonne approximation numérique. L’approche de simulation-régression décrite à la section 1.3.3 consiste à évaluer  sur les points des trajectoires simulées du prix de l’actif sous-jacent. Les transitions sont réduites à la transition obtenue sur une seule trajectoire simulée, sauf pour l’état de départ où on considère les transitions sur toutes les trajectoires simulées. L’espérance mathématique est approximée par la moyenne des paiements réalisés sur chacune des trajectoires, et cette approximation nécessite un très grand nombre de tirages. Dans les deux cas, on discrétise à la fois l’espace d’état et la distribution du prix de l’actif sous-jacent, ce qui résulte en une perte d’information. Une approche alternative consiste à interpoler la fonction  par une fonction continue b , sans toutefois approximer la dyna- mique du prix de l’actif sous-jacent. Dans plusieursh cas, un ichoix judicieux de la fonction d’interpolation b permet d’obtenir l’espérance E b ( ) analytiquement. C’est le cas par exemple des fonctions d’interpolation polynômiales qui peuvent être intégrées analyti- quement sous plusieurs hypothèses quant à la distribution conditionnelle des transitions de prix de l’actif sous-jacent. 1.4.3 Interpolation par splines Cette section présente le détail de l’implantation d’un programme dynamique utilisant une interpolation de la fonction valeur par des splines cubiques pour l’évaluation d’une option de vente bermudienne. L’approche est facilement adaptable au cas général, et sera utilisée pour toutes les applications couvertes dans cette thèse. Les splines sont des fonctions polynômiales par morceaux qui sont lisses aux points de jonc- tion. Ainsi, une spline d’ordre est une fonction dont les − 1 premières dérivées sont continues. Les splines cubiques (d’ordre 3) sont donc deux fois continûment dérivables. Soit une grille de points G ≡ { }=1 où 0 = 0 ≤ 1  2      +1 = ∞ et une fonction  dont la valeur est connue sur G. L’interpolation de  par une spline cubique 10 est donnée par : X −1 X 3 b () =   I [  +1 ) (1.15) =1 =0 où I  est la fonction indicatrice ( 1 si  ∈  I  = 0 sinon et où les coefficients  sont déterminés de sorte que la fonction b soit deux fois continûment dérivables et coïncide avec  sur G Les conditions suivantes doivent être satisfaites : 1. b coïncide avec  sur les points de la grille : b ( ) =  ( ) pour  = 1  (1.16) 2. b est continue : b (− b +  ) =  ( ) pour  = 2  − 1 (1.17) 3. b est 2 fois dérivable  0 (+ 0 −  ) =  ( ) pour  = 2  − 1 (1.18)  00 (+ 00 −  ) =  ( ) pour  = 2  − 1 (1.19) 4. On ajoute la condition aux limites suivante :  000 (+ 000 − 1 ) =  (1 ) (1.20)  000 (+ 000 − ) =  ( ) (1.21) Les conditions (1.16)-(1.20) se traduisent par le système linéaire suivant des 4 ( − 1) coef- 11 ficients : X 3   =  ( )  = 1  − 1 =0 X 3  +1 =  (+1 )  = 1  − 1 =0 X 3 X 3 −1  +1 = +1 −1 +1   = 1  − 2 =1 =1 X 3 X 3 −2 ( − 1) +1 = ( − 1)+1 −2 +1   = 1  − 2 =2 =2 13 = 23  et −23 = −13  Les coefficients peuvent alors être obtenus facilement. La routine  de MATLAB calcule les coefficient de splines écrites sous la forme canonique 1 ; une simple manipulation permet de retrouver les coefficients sous la forme (1.15). Finalement, la fonction b est étendue au domaine [0 ∞) en posant 0 = 1 et  = −1; pour  = 0 32. On a alors : X X 3 b () =   I [  +1 ) (1.22) =0 =0 1.4.4 Calcul de la valeur de l’espérance conditionnelle Cette section présente le détail du calcul de l’espérance mathématique d’une fonction b définie par (1.22) lorsque l’évolution du prix de l’actif sous-jacent sous la mesure neutre au risque est décrite par (1.4), c’est-à-dire que le rendement de l’actif durant un intervalle de temps  est une variable aléatoire  telle que : √ ln  = b  +   1 La représentation P P canonique de la spline est donnée par :  () = =0 3=0  ( −  ) I [  +1 ) 2 Cette option est dictée par la forme du put américain qui est linéaire au voisinage de zéro et constante à zéro au voisinage de l’infini. 12 où  ∼ (0 1)On peut alors écrire : h i h i b b E  (+ ) = E  ( ) " 3 # XX³  ´ = E  ( ) I [  +1 ) =0 =0 XX 3 h h  +1 ´i =   E ( ) I  =0 =0   X X 3 h ³ √ ´ i =   E exp b  +   I [  +1 ) =0 =0 X X 3 h ³ √ ´ i =   exp (b ) E exp   I [  +1 ) =0 =0 où ¡  ¢ log  b −  = √ et  ∼ (0 1)   Soit h ³ √ ´ i ) E exp   I (  +1 )   ∼ (0 1) Ω(  ) ≡ exp (b On a h ³ √ ´ i Z +1 µ ¶ ³ √ ´ 1 −2 E exp   I (  +1 ) = √ exp exp    2  2 Z +1 à √ ! 1 2 − 2  = √ exp −  2  2 ³ 2 2 ´ ⎛ ³ √ ´2 ⎞    Z  exp 2 +1 ⎜  −   ⎟ = √ exp ⎝− ⎠  2  2 ³ ´ exp Z +1 −√ 2  2  µ ¶ 2 2 = √ √ exp −  2  −  2 µ 2 2 ¶³ ³    √ ´ ³ √ ´´ = exp Φ +1 −   − Φ  −   2 13 où Φ est la fonction de répartition normale centrée et réduite. On obtient finalement : µ ¶ 1 ¡ 2 ¢ ³ ³ √ ´ ³ √ ´´ Ω(  ) ≡ exp  2b +  Φ +1 −   − Φ  −   2 ¡  ¢ ln  −  b  = √   = 1    et h i X X 3 b E  (+ ) =   Ω(  ) (1.23) =0 =0 1.4.5 Algorithme La solution numérique du programme dynamique (1.12)-(1.14) consiste àh calculer isur £ ¤ une grille discrète G de points en approximant E +1 (+1 ) par E b+1 (+1 ) où b+1 est l’interpolation par splines cubiques de +1. La procédure pour l’évaluation d’une option de vente bermudienne est détaillée dans l’algorithme suivant : Algorithme 1  1. Définir les paramètres     =       2. Discrétiser les espaces du temps :  =     = 0   et du prix de l’actif sous- jacent :  =     = 0 . 3. Calculer Ω(   ) pour  = 0  ,  = 0  et  = 0  3 4. Calculer les coefficients   pour  = 0  et  = 0  3 interpolant  définie par (1.12). 5. Pour  =  − 1 à  = 1 5.1 Calculer  ( ),  = 0  à partir de (1.13) et (1.23) 5.2 Calculer les coefficients   pour  = 0  et  = 0  3 interpolant   6. Calculer 0 ( ),  = 0  à partir de (1.14) et (1.23) et terminer. Le choix de la grille G doit dépendre de la volatilité et de l’échéance du contrat ; en effet, la borne  devrait être choisie de sorte que l’erreur due à l’extrapolation à l’extérieur de la grille d’évaluation soit négligeable. C’est le cas lorsque la probabilité d’atteindre  est très petite, ou lorsque la valeur du contrat est négligeable pour    (la valeur d’une 14 Fig. 1.1 — Convergence de l’interpolation par splines à la valeur exacte d’une option de vente européenne. Les paramètres sont  = 20%  = 4%  = 100  = 1 et  = 2 option de vente tend vers zéro lorsque le prix de l’actif sous-jacent est très élevé). Par ailleurs, l’intervalle [1   ] ne peut pas être choisi arbitrairement grand puisque dans ce cas un très grand nombre de noeuds d’interpolation est nécessaire pour réduire l’erreur d’interpolation. À moins d’indications contraire, on³ utilise dans´cette thèse des grilles de √ points également espacés et des bornes  =  exp  b + 4 . La figure 1.1 représente l’erreur d’interpolation relative en fonction du nombre de points de la grille, pour une option de vente européenne d’échéance un an, évaluée à (0 ) à l’aide de l’algorithme 1 avec deux pas de temps (sans possibilité d’exercice). Comme on peut le constater, lorsque le nombre de points d’interpolation atteint 200, l’erreur est d’environ 10−8. Davantage de points pourraient être nécessaires pour obtenir une précision semblable dans le cas d’une volatilité ou d’une échéance plus élevée. 1.5 Conclusion Ce chapitre introductif a permis de parcourir brièvement les méthodes numériques utilisées pour l’évaluations de produits dérivés. On y distingue deux grandes familles : les méthodes d’éléments finis appliquées à la résolution des équations aux dérivées partielles, et l’approxi- mation de la programmation dynamique qui englobe les méthodes de treillis et d’arbres, la simulation de Monte-Carlo, et les méthodes d’interpolation de la fonction valeur. L’approche 15 utilisée dans cette thèse est une interpolation à partir de fonctions splines cubiques. On a montré dans ce chapitre comment on pouvait calculer à l’aide de cette approche simple- ment la valeur d’une option de vente bermudienne dans le modèle de Black et Scholes. Les méthodes utilisées dans les chapitres suivants sont des ajustements de cette approche. 16 Chapitre 2 Utilisation des options exotiques pour l’évaluation d’options américaines de longue échéance On propose ici une nouvelle méthode d’évaluation des options de vente américaines de longue échéance. La majorité des approches existantes s’appuie sur une construction de la stratégie optimale en temps discret, alors que la convergence d’une telle stratégie vers l’exercice en temps continu est très lente. La méthode d’évaluation proposée dans ce chapitre permet au détenteur d’exercer en temps continu en optimisant une stratégie représentée par une frontière d’exercice constante entre deux dates de discrétisation du temps. L’optimisation de cette stratégie à barrière couplée à l’approximation par splines cubiques permet d’accélérer la convergence du prix de l’option, ce qui rend cette méthode particulièrement appropriée aux options de longue échéance. 2.1 Introduction Une option américaine procure à son détenteur le droit d’exercer un contrat (par exemple, acheter ou vendre un actif sous-jacent) à une date antérieure à son échéance. Ce droit d’exer- cice prématuré pose une difficulté dans l’évaluation de ces options, même dans le cas de l’option de vente la plus simple (le put américain). Les approches que propose la littérature supposent que le détenteur de l’option se donne une frontière d’exercice qui définit sa stra- tégie optimale. En l’absence d’une solution analytique, la littérature propose une multitude d’approches numériques et de formules d’approximation pour la frontière d’exercice et le prix du put américain. On a présenté dans le chapitre introductif les premières approches numériques proposées pour l’évaluation du put américain, soit l’approximation par différences finies de la solution de l’équation aux dérivées partielles caractérisant l’option introduite par Merton, Brennan et Schwartz (1977) et la méthode de l’arbre binomial de Cox, Ross et Rubinstein (1979). Malgré leur inefficacité relative au point de vue du temps de calcul, ces deux approches demeurent les plus utilisées en pratique du fait de leur simplicité et de leur flexibilité. Plusieurs approches ont été proposées dans la littérature s’appliquant spécifiquement à l’éva- luation du put américain. Johnson (1983) et Broadie et Detemple (1996) exploitent un enca- drement du put américain par deux options de vente européennes. Le prix recherché est alors une moyenne pondérée des bornes de cet encadrement ; les auteurs proposent une procédure d’optimisation des pondérations pour améliorer la précision de la méthode. Geske et Johnson (1984) considèrent que l’exercice de l’option américaine est possible en un nombre fini de dates, ce qui permet d’assimiler l’option américaine à une option composée. La formule d’évaluation de l’option composée fait intervenir la solution d’une équation implicite et une loi normale multivariée dont la complexité augmente rapidement avec le nombre de dates d’exercice. Bunch et Johnson (1992) proposent des méthodes d’extrapolation et d’optimisation dans le choix des dates pour améliorer la précision de l’approximation par option composée. Omberg (1987) et Chesney et Lefoll (1996) s’intéressent plutôt à la frontière d’exercice, qu’ils représentent par une fonction exponentielle du temps. L’extraction de la distribution jointe du sous-jacent et du temps de premier passage par la frontière permet alors d’obtenir une forme fermée pour la valeur de l’option. L’approximation du prix du put américain s’obtient alors en optimisant la forme de la frontière d’exercice. Barone-Adesi et Whaley (1987) proposent une approximation analytique sous forme fermée à partir de l’équation aux dérivées partielles caractérisant une option américaine. L’expression simple qu’ils obtiennent pour le prix du put américain est utile pour les très courtes et les très longues échéances, mais sa précision se détériore pour les échéances moyennes. Longstaff et Schwartz (2001) proposent une méthode récursive d’évaluation du put américain assimilé à une option bermudienne ; la valeur de détention de l’option est évaluée sur une 18 grille par simulation de Monte Carlo et interpolée par moindres carrés ordinaires. La méthode présente l’avantage d’être facilement applicable dans le cas où la valeur de l’option dépend de plusieurs facteurs aléatoires ou de plusieurs sous-jacents. Dans la même famille d’approche, Ben Ameur et al. (2009) proposent un programme dynamique utilisant une interpolation polynômiale par morceaux de la valeur de l’option pour l’évaluation d’options bermudiennes sous un processus GARCH et Cosma et al. (2012) une approximation par un programme dynamique à états discrets s’adaptant à un grand nombre de modèles de marché. Ces trois dernières méthodes, basées sur un modèle de programmation dynamique en temps discret, font l’hypothèse qu’une option américaine est assimilable à une option bermudienne ayant un grand nombre de possibilités d’exercice. Cette équivalence est également utilisée par les approches par option composée, arbre binomial et différences finies. On justifie cette hypothèse par le fait que le détenteur de l’option n’observe pas le sous-jacent en temps continu, mais plutôt de façon discrète. Cependant un nombre grandissant de transactions sont actuellement réalisées par des algorithmes de transaction à haute fréquence. Une étude menée par le groupe Aite et commentée dans The Economist (février 2012) montre qu’en 2012, 65% des transactions sur les actions et plus de 30% des transactions sur les options étaient réalisées par des algorithmes de transaction à haute fréquence, et prévoit une forte tendance à la hausse pour les transactions sur les options. Les automates transigeant sur les marchés financiers se rapprochent davantage de l’hypothèse du temps continu que de celle du temps discret. Ce chapitre propose un algorithme d’évaluation par programmation dynamique qui permet d’approcher efficacement le prix des options américaines, tout en faisant l’hypothèse que le sous-jacent est observé en temps continu. La section 2.2 analyse la convergence du prix des options bermudiennes selon la discrétisation du temps à partir de l’évaluation du put américain par le modèle général présenté au chapitre 1. On constate que la convergence d’une telle méthode quand le nombre de possibilités d’exer- cice devient infiniment grand est lente, la rendant insatisfaisante pour les options de longue échéance. La section 2.3 introduit une technique basée sur des optimisations successives d’un portefeuille d’options à barrière, qui permet une meilleure convergence en termes de pas de temps, quoique le temps de calcul consacré aux optimisations successives soit important. Une troisième approche est présentée à la section 2.4 ; cette approche permet de réduire considérablement le temps de calcul et s’avère plus efficace que les précédentes notamment pour l’évaluation d’options de longues échéances. La section 2.5 est une conclusion. 19 2.2 Approche par les options bermudiennes La plupart des méthodes numériques existantes pour l’évaluation des options américaines sont basées sur une approximation par des options bermudiennes à haute fréquence d’exer- cice. En effet, le prix d’une option bermudienne converge vers celui d’une option américaine ayant les même caractéristiques lorsque le délai entre deux dates d’exercice tend vers 0. Cette section présente des essais numériques montrant que la convergence de l’approxima- tion bermudienne est relativement lente, ce qui rend de telles approches coûteuses en temps de calcul, surtout pour les options de longue échéance. On considère une option de vente bermudienne d’échéance  donnant à son détenteur un droit d’exercice en un nombre fini  de dates également espacées, appelées dates d’exercice   et représentées par  =     = 1  , où 0 = 0 On note  =  l’intervalle de temps entre deux dates d’exercice. À une date d’exercice donnée, lorsque le prix de l’actif sous-jacent est , la valeur d’exercice de l’option est donnée par ( − )+  où  est le prix d’exercice. À chaque date d’exercice, le détenteur peut choisir d’exercer l’option, ou de la conserver au moins jusqu’à la prochaine date d’exercice. Il s’agit de l’option qui est décrite au chapitre 1, et dont la valeur est définie par le programme dynamique (1.14)-(1.12). Sous les hypothèses du modèle de Black et Scholes, cette option bermudienne peut être évaluée par l’algorithme 1. Dans nos essais numériques, le nombre de points d’interpolation est choisi de sorte que l’erreur d’interpolation soit plus petite que la précision des résultats, étant donné le nombre de pas de temps au cours desquels cette erreur peut être accumulée. On suppose alors que la différence entre la valeur d’une option américaine et d’une option bermudienne peut être expliquée par le nombre d’opportunités d’exercice. Les approches d’approximation d’options américaines par des options bermudiennes arrêtent généralement la discrétisation du temps au nombre de jours de l’horizon de l’option ; on suppose dans ce cas que le détenteur n’observe le sous-jacent qu’à des dates discrètes et qu’une observation par jour représente une approximation raisonnable de la stratégie d’exercice du détenteur. On évalue ici la qualité de cette approximation en examinant la convergence de l’option bermudienne lorsqu’on augmente la fréquence des opportunités d’exercice. Des résultats représentatifs sont présentés aux tableaux 2.1 et 2.2. À l’examen de ces résultats, on constate que la convergence lorsqu’on augmente la fréquence des opportunités d’exercice est lente, notamment dans le cas des options de long terme ou lorsque la volatilité est élevée. Dans ces deux cas il faut multiplier les dates d’exercices pour 20   = 1 an, = 200  = 5 an, = 300   = 90  = 100  = 110  = 90  = 100  = 110 1 10,8414 6,0040 3,0476 11,4751 8,5766 6,3926 2 11,3951 6,2020 3,1018 13,4674 9,8514 7,1863 4 11,6227 6,2937 3,1457 14,4277 10,4229 7,5420 8 11,7173 6,3464 3,1739 14,8472 10,6843 7,7294 16 11,7614 6,3746 3,1894 15,0285 10,8168 7,8308 32 11,7839 6,3891 3,1977 15,1186 10,8873 7,8843 64 11,7953 6,3966 3,2021 15,1654 10,9221 7,9109 128 11,8009 6,4004 3,2043 15,1901 10,9406 7,9247 512 11,8052 6,4032 3,2060 15,2059 10,9541 7,9353 1024 11,8061 6,4038 3,2063 15,2084 10,9561 7,9370 1500 11,8065 6,4040 3,2064 15,2093 10,9567 7,9375 2000 11,8067 6,4041 3,2065 15,2098 10,9571 7,9378 Tab. 2.1 — Valeur d’une option bermudienne en fonction du nombre d’opportunités d’exer- cice. Les paramètres sont  = 100,  = 4% ,  = 20%  = 1 an, = 300  = 5 an, = 500   = 90  = 100  = 110  = 90  = 100  = 110 1 17,9818 13,6572 10,2849 25,7637 23,0630 20,7195 2 18,2946 13,8303 10,3772 27,7787 24,6866 22,0320 4 18,4325 13,9313 10,4523 28,5908 25,3507 22,5907 8 18,5082 13,9915 10,4985 28,9455 25,6678 22,8788 16 18,5479 14,0234 10,5236 29,1390 25,8429 23,0369 32 18,5683 14,0401 10,5369 29,2338 25,9312 23,1187 64 18,5786 14,0486 10,5438 29,2793 25,9731 23,1575 128 18,5837 14,0528 10,5472 29,3033 25,9943 23,1766 512 18,5876 14,0561 10,5499 29,3243 26,0126 23,1929 1024 18,5883 14,0567 10,5504 29,3284 26,0161 23,1960 1500 18,5886 14,0569 10,5505 29,3296 26,0171 23,1968 2000 18,5888 14,0571 10,5507 29,3301 26,0175 23,1971 Tab. 2.2 — Valeur d’une option bermudienne en fonction du nombre d’opportunités d’exer- cice, Les paramètres sont  = 100,  = 4% ,  = 40% 21 se rapprocher du cas continu. Il convient de rappeler que l’algorithme d’évaluation utilise une interpolation de la fonction valeur à chaque date d’exercice, et qu’on risque de voir les erreurs d’interpolation se cumuler lorsque le nombre de pas de temps devient élevé. De plus, le domaine d’évaluation [0  ] s’élargit avec la croissance de l’échéance ou de la volatilité. Pour des options de longue échéance ou à haute volatilité, une discrétisation fine du temps peut donner lieu à des temps de calcul très importants. 2.3 Approche par un portefeuille d’options à barrière La méthode présentée dans cette section s’inspire d’Ingersoll (1998), où l’option américaine est assimilée à un portefeuille comportant une option de vente européenne à barrière désac- tivante de type “down-and-out” (DO) et une option digitale de type “first-touch” (FT) où les deux options ont la même barrière. En assimilant l’option américaine à ce portefeuille, l’auteur suppose que le détenteur utilise une stratégie d’exercice à barrière constante. En optimisant la valeur de l’option selon la barrière d’exercice, il détermine alors la meilleure stratégie d’exercice à barrière constante, et montre numériquement que la valeur d’une option américaine peut être approximée par la valeur de ce portefeuille lorsque la barrière d’exercice constante est optimale. 2.3.1 Les options Une option DO est une option qui est désactivée si le prix de l’actif, initialement supérieur, atteint une barrière  avant l’échéance  Soit   le temps du premier passage de  sous la barrière  :   = inf [ ≥  :  ≤ ]  Le prix d’une option DO en ( ) est donné par l’espérance risque neutre suivante: £ ¤ (;  ) = − E ( −  )+ I ( ∞)  En utilisant le principe de réflexion on peut calculer ce prix sous une forme fermée sous les hypothèses de Black et Scholes : ³ ³´ ³  ´´ ³ ³´ ³  ´´ − (;  ) =  2 − 2 −  1 − 1     22  µ ¶ 22 µ µ µ 2¶ µ ¶¶   −   −  2 − 2    µ µ 2¶ µ ¶¶¶   + 2 1 − 1   où les fonctions 1 et 2 sont définies par : µ ¶ ln () +  √ 1 () = Φ − √ −  µ   ¶ ln () +  2 () = Φ − √   et où Φ est la fonction de répartition d’une variable aléatoire normale centrée et réduite. Le détenteur d’une option digitale FT reçoit le prix d’exercice à la date du premier passage du prix de l’actif sous la barrière  La valeur de cette option en ( ) est donc donnée par l’espérance : £ ¤  (;  ) = ( − ) E − I [0 ]  qui peut aussi être calculée analytiquement dans le modèle de Black et Scholes par : µ³ ´ − ¶  2  ¡ + ¢ ³  ´ + 2 ¡ − ¢  (;  ) = ( − ) Φ − − Φ − (2.1)   p  = 2 + 2 2 ¡ ¢ ¡ ¢ + ln  +  − ln  −   = √ ; = √      2.3.2 Stratégie d’exercice constante Pour une barrière fixée , la valeur du portefeuille composé des deux options d’échéance  est donc en ( ) égale à (;   − ) +  (;   − ). L’approximation du put américain proposée par Ingersoll (1998) correspond déterminer la barrière constante maximisant la valeur de ce portefeuille, c’est-à-dire : 1 () = max {(;   − ) +  (;   − )}  (2.2) 0≤≤ En réalité, la valeur exacte de l’option américaine en ( ) est la solution du problème 23 d’optimisation suivant : £ ¤  ( ) = max E − ( −  )+ (2.3)  ∈U([ ]) s.à  = inf [ ≥  :  ≤ ( )]  où U() représente l’ensemble des fonctions  :  → R+. Ainsi, pour évaluer une option américaine en ( ), , il suffit d’identifier la frontière d’exercice optimale parmi les fonctions  : [  ] → R+ , c’est-à-dire que la frontière optimale est une fonction du temps. Le pro- gramme (2.2), qui se restreint aux frontières constantes dans le temps, fournit donc une borne inférieure pour la valeur de l’option américaine. Pour s’approcher davantage de l’optimum, il faut élargir l’espace des solutions considérées. Une alternative simple consiste à considérer l’ensemble des stratégies à barrière constantes par morceaux. Ainsi, on suppose que le détenteur modifie son portefeuille d’options exotiques à plusieurs moments avant l’échéance, ce qui donne une meilleure approximation du prix de l’option américaine. 2.3.3 Stratégie à deux barrières On suppose d’abord que le détenteur peut modifier son portefeuille à la date  2; le problème d’optimisation des 2 barrières s’écrit alors en (0 ) : ½ ∙ µ ¶¸ 2 −   () = max  E ( −  ) I 2 ( ∞) I 1 ∞ 1 2 ∈V 2 ∙ ∙ ¸¸ − 2   + ( − 2 ) E  I 2  2 ∙ ∙ ¸¸¾ − 1  + ( − 1 ) E  I 1 0 (2.4) 2 s.à  1 = inf { ≥ 0 :  ≤ 1 } ½ ¾   2 = inf  ≥ :  ≤ 2 2 24 où V représente l’ensemble des fonctions  : R+ → R+ , c’est-à-dire que les frontières d’exer- cice 1 (·) et 2 (·) ne sont pas des constantes, mais des stratégies en rétroaction. Ainsi, le détenteur choisit la meilleure barrière 2 à la date 2 en fonction du prix de l’actif   Il 2 maximise alors la valeur de son portefeuille selon l’information qui lui est disponible à cette date. De la même façon, à la date 0, la valeur optimale de 1 dépend de . Il convient de noter que les second et troisième termes de (2.4) sont égaux à la valeur d’options FT d’échéance 2. La formulation récursive équivalente du problème (2.4) est plus utile pour la caractérisation de stratégies en rétroaction et sera généralisée plus tard : ½ ∙ µ ¶¸ µ ¶¾ 2 − 2 1    () = max  E  2 ( 2 )I 1  ∞ +  ; 1  (2.5) 1 2 2 s.à  1 = inf { ≥ 0 :  ≤ 1 }  où 12 satisfait (2.2). L’implantation de cette méthode révèle effectivement que les barrières optimales 1 et 2 dépendent du niveau du sous-jacent. Il s’agit d’une conséquence directe du choix de la forme constante par morceaux pour la barrière. En effet la barrière constante optimale à un niveau donné fait intervenir la probabilité que le sous-jacent touche éventuellement la barrière, qui dépend naturellement de la valeur observée du sous-jacent. Il convient de remarquer que le problème d’optimisation (2.4) est différent de celui d’une approximation a priori de la frontière d’exercice par une fonction constante par morceaux. En effet, la détermination d’une barrière d’exercice à la date 0 indique des niveaux successifs qui sont indépendants de l’évolution du sous-jacent, alors que la stratégie en rétroaction obtenue par la solution de (2.4) donnera nécessairement une valeur plus élevée à l’option. 2.3.4 Stratégie à  barrières On généralise maintenant l’approche présentée au paragraphe précédent en se basant sur le principe récursif suivant : une stratégie à  barrières constantes est un sous-ensemble des stratégies à  + 1 barrières constantes. Ainsi, en augmentant le nombre fois où le détenteur peut ajuster son portefeuille en changeant les barrières des deux options, la valeur du porte- feuille croît nécessairement, pour atteindre le prix de l’option américaine à la limite lorsque 25 la frontière d’exercice devient une fonction continue du temps : 01 () ≤  2 () ≤   () ≤  ∞ () =  (0 ) On remarque également que lorsque leurs dates de décision    = 1   coïncident, une stratégie d’exercice à  barrières donne au détenteur les droits de l’option bermudienne en  et lui permet en plus d’exercer à l’intérieur des intervalles (  +1 ) pour  = 1   −1 ce qui permet d’écrire : 0 () ≤   () ≤  (0 ) Ces deux relations d’ordre permettent de construire un algorithme d’approximation de l’op- tion américaine. Ainsi, l’introduction de l’option FT permet de tenir compte d’un exercice de l’option américaine en temps continu, ce qui permet une meilleure convergence par rapport au pas de temps que dans le cas de l’approximation par une option bermudienne. Soit à nouveau un nombre fini  de dates également espacées notées  =   = 1  ,  =   On note  () la valeur d’un portefeuille d’options exotiques en (  ) quand le détenteur utilise une stratégie d’exercice à  −  barrières constantes. Le problème d’optimisation du détenteur peut s’écrire sous une forme récursive définissant le programme dynamique :  () = ( − )+ (2.6) −1 () = max {(;   ) +  (;   )} (2.7) 0≤ ≤ © − −1 () = max  E [ ( )I  (  ∞)] (2.8)  ;  =inf{ ≥0: ≤ } +  (;   )}   = 1   − 1 La solution numérique du programme dynamique (2.6)-(2.8) consiste à calculer  sur une grille G  et à l’interpoler par une spline cubique b  En −1 , puisque le détenteur utilise une stratégie à barrière constante, la valeur de −1 () est donnée par Ingersoll (1998), comme dans (2.2). Pour  = 1   − 1 le premier terme de l’expression (2.8) fait intervenir le calcul de 26 l’espérance mathématique d’une fonction qui n’est connue que sur G. Selon (1.22), h i b E [ ( )I  (  ∞)] ' E  ( )I  (  ∞) X X 3 £ ¤ =    E ( ) I (  +1 )I  (  ∞) =0 =0 où  = exp ( +  )  En appliquant le changement de mesure suivant : b f =    +    f est aussi un mouvement brownien, et  ³ ´ f  = exp    On obtient en appliquant le théorème de Girsanov : £ ¤ E ( ) I (  +1 )I  (  ∞) ⎡ ⎛ ³ ´2 ⎞⎤   ⎢ ⎜  b f ⎟⎥  = E ⎣( ) I (  +1 )I  (  ∞) exp ⎝− +  ⎠⎦ 2  ∙ ³ ´ µ 2 ¶¸    f I (  +1 )I  (  ∞) exp − b