Linearna algebra i geometrija PDF

Linearna algebra i geometrija Predavanje IV - Dio III Novembar, 2023. Sadržaj Vektorski prostori i potprostori ▶ Prostori vektora ▶ Nulprostor matrice A: Rješavanje Ax = 0 i Rx = 0 ▶ Potpuno rješenje sistema Ax = b ▶ Linearna nezavisnost ▶ Baze i dimenzije...

Linearna algebra i geometrija Predavanje IV - Dio III Novembar, 2023. Sadržaj Vektorski prostori i potprostori ▶ Prostori vektora ▶ Nulprostor matrice A: Rješavanje Ax = 0 i Rx = 0 ▶ Potpuno rješenje sistema Ax = b ▶ Linearna nezavisnost ▶ Baze i dimenzije ▶ Dimenzije četiri potprostora 2/39 Vektori koji obuhvataju potprostor Prvi potprostor koji smo spominjali je prostor kolona. Počevši od kolona v1 ,..., vn , potprostor smo ispunili svim kombinacijama x1 v1 +... + xn xn. Prostor kolona se sastoji od svih kombinacija Ax kolona. Možemo reći da je prostor kolona matrice A obuhvaćen kolonama. DEFINICIJA Skup vektora obuhvata prostor ukoliko njihove kombinacije ispunjavaju cijeli prostor. Kolone matrice (mogu biti zavisne) obuhvataju prostor kolona. 3/39 Vektori koji obuhvataju potprostor Primjeri: [ ] [ ] 1 0 v1 = i v2 = obuhvataju cijeli prostor R2. 0 1 [ ] [ ] [ ] 1 0 4 v1 = , v2 = i v3 = obuhvataju cijeli prostor R2. 0 1 7 [ ] [ ] 1 −1 w1 = i w2 = obuhvataju pravu u R2. 1 −1 4/39 Vektori koji obuhvataju potprostor Dva vektora koja počinju u (0, 0, 0) u 3-dimenzionalnom prostoru će obuhvatati ravan (ravan će biti ispunjena svim linearnim kombinacijama ta dva vektora). Matematički, znamo i za druge mogućnosti: ▶ dva vektora mogu obuhvatati samo pravu ▶ tri vektora mogu obuhvatati cijeli R3 , ili samo ravan ▶ tri vektora obuhvataju samo pravu ▶ ili, deset vektora obuhvata samo ravan ▶... Takvi vektori očigledno nisu nezavisni. 5/39 Vektori koji obuhvataju potprostor Kolone matrice obuhvataju prostor kolona, a postoji i potprostor koji je obuhvaćen redovima matrice. Kombinacije redova matrice kreiraju “prostor redova”. DEFINICIJA Prostor redova matrice je potprostor Rn prostora, obuhvaćen redovima. Prostor redova matrice A je C(AT ), odnosno prostor kolona transponovane matrice AT. Redovi matrice veličine m × n imaju n komponenti, i predstavljaju vektore u Rn prostoru (samo ih moramo izraziti kao vektor kolone). Tako, ako transponujemo matricu, od redova ćemo dobiti vektor kolone. Sada umjesto da posmatramo redove matrice A posmatramo prostor kolona matrice AT , tj. C(AT ). Ovaj prostor redova matrice A je potprostor Rn prostora. 6/39 Vektori koji obuhvataju potprostor Primjer Opisati prostor kolona i prostor redova matrice A (m = 3, n = 2).   1 4 [ ] 1 2 3 A =  2 7 i A = T 4 7 5 3 5 1 Isti brojevi, različiti vektori, različiti prostori. 7/39 Vektori koji obuhvataju potprostor Primjer Opisati prostor kolona i prostor redova matrice A (m = 3, n = 2).   1 4 [ ] 1 2 3 A =  2 7 i A = T 4 7 5 3 5 Prostor kolona matrice A je ravan u R3 , koja je obuhvaćena dvjema kolonama matrice A. Prostor redova matrice A je obuhvaćen sa tri reda matrice (koji su kolone matrice AT ). Prostor redova je cijeli R2. Da sumiramo: Redovi su u Rn prostoru i definišu prostor redova. Kolone su u Rm prostoru i definišu prostor kolona1. 1 Isti brojevi, različiti vektori, različiti prostori. 7/39 Baza vektorskog prostora Dva vektora ne mogu obuhvatati cijeli R3 , čak i kada su nezavisni. Četiri vektora ne mogu biti nezavisni, čak i kada obuhvataju R3. Želimo dovoljno nezavisnih vektora kojim ćemo obuhvatiti / definisati prostor (ne više). 8/39 Baza vektorskog prostora DEFINICIJA Baza vektorskog prostora je skup vektora koji imaju dvije osobine: (1) Bazni vektori su linearno nezavisni i obuhvataju prostor. Ovo znači da je svaki vektor v u prostoru kombinacija baznih vektora, budući da oni obuhvataju prostor. (2) Postoji jedan i samo jedan način da izrazimo v pomoću baznih vektora. Ovo znači da je kombinacija koja proizvodi vektor v jedinstvena, jer su bazni vektori v1 ,..., vn nezavisni. 9/39 Baza vektorskog prostora Dokaz: Pretpostavimo da je: v = a1 v1 +... + an vn v = b1 v1 +... + bn vn Nula vektor dobijamo oduzimanjem: 0 = v − v = (a1 − b1 )v1 +... + (an − bn )vn Budući da su bazni vektori nezavisni, svaki ai − bi = 0, pa je ai = bi i ne postoje dva načina da kreiramo vektor v. 10/39 Baza vektorskog prostora Primjeri ▶ Kolone 2 × 2 jedinične matrice kreiraju “standardnu bazu” R2 [ ] [ ] prostora: bazni vektori i = 1 0 i j = 0 1 su nezavisni i obuhvataju R2. ▶ Kolone 3 × 3 jedinične matrice su također standardna baza i, j i k. ▶ Kolone n × n jedinične matrice daju “standardnu bazu” za Rn. Možemo odrediti mnoge druge baze (beskonačno mnogo). Baze nisu jedinstvene! 11/39 Baza vektorskog prostora Primjer Kolone svake invertibilne matrice n × n daju bazu za Rn :     Invertibilna matrica 1 0 0 Singularna matrica 1 0 1 Nezavisne kolone A = 1 1 0 Zavisne kolone B = 1 1 2 Prostor kolona je R3 1 1 1 Prostor kolona ̸= R3 1 1 2 Jedino rješenje sistema Ax = 0 je x = A−1 0 = 0. kolone su nezavisne i obuhvataju cijeli prostor Rn , jer je svaki vektor b kombinacija kolona. Sistem Ax = b uvijek možemo riješiti sa x = A−1 b. 12/39 Baza vektorskog prostora Vektori v1 ,..., vn su baza Rn prostora tačno onda kada čine kolone n × n invertibilne matrice. Pa Rn prostor ima beskonačno mnogo baza. Kada su kolone zavisne, ostaju nam samo pivot kolone (u prethodnom primjeru prve dvije kolone matrice B). One su nezavisne i obuhvataju prostor kolona. Pivot kolone matrice A predstavljaju bazu za prostor kolona te matrice. Pivot redovi matrice A predstavljaju bazu za prostor redova te matrice. Isto vrijedi i za pivot redove njene echelon forme R. 13/39 Baza vektorskog prostora Primjer Matrica nije invertibilna. Njene kolone nisu baza nikakvog prostora! [ ] [ ] Jedna pivot kolona 2 4 1 2 A= se svodi na R = Jedan pivot red r = 1 3 6 0 0 14/39 Baza vektorskog prostora Primjer Matrica nije invertibilna. Njene kolone nisu baza nikakvog prostora! [ ] [ ] Jedna pivot kolona 2 4 1 2 A= se svodi na R = Jedan pivot red r = 1 3 6 0 0 Kolona1 matrice A je pivot kolona. Ta kolona je baza prostora kolona matrice A. Druga kolona matrice A bi bila različita baza, kao i bilo koji nenulti umnožak te kolone. Kao bazu možemo odabrati bilo koju kolonu, a jedan nedvosmislen izbor je pivot kolona. Pivot kolona (1, 0) matrice R završava sa nulom. Ta kolona je baza prostora kolona matrice R, ali ona ne pripada prostoru kolona matrice A. Tj. prostori kolona matrice R i A su različiti, pa su i njihove baze različite (dimenzionalnost je ista). 14/39 Baza vektorskog prostora Prostor redova matrice A i matrice R je isti. Sadrži vektore (1, 2), (2, 4) i bilo koji umnožak tih vektora. Kao i uvijek, postoji beskonačno mnogo baza koje možemo izabrati, a jedan prirodan izbor je da uzmemo nenulte redove matrice R (pivot redovi). Možemo zaključiti da matrica A sa rangom r = 1 ima samo jedan vektor u bazi: [ ] [ ] 2 1 Baza prostora kolona:. Baza prostora redova: 3 2 15/39 Baza vektorskog prostora Primjer Odrediti bazu prostora kolona i prostora redova za matricu sa rangom 2:   1 2 0 3 R = 0 0 1 4 0 0 0 0 16/39 Baza vektorskog prostora Primjer Odrediti bazu prostora kolona i prostora redova za matricu sa rangom 2:   1 2 0 3 R = 0 0 1 4 0 0 0 0 Kolone 1 i 3 su pivot kolone, pa one predstavljaju bazu prostora kolona matrice R. Vektori u prostoru kolona svi imaju oblik b = (x, y, 0). Prostor kolona matrice R je ustvari xy ravan, unutar 3-dimenzionalnog xyz prostora. Ta ravan nije R2 prostor, nego je potprostor R3 prostora. Kolone 2 i 3 su također baze istog prostora kolona. Koji parovi kolona ne bi bili baza prostora kolona? 16/39 Baza vektorskog prostora Primjer Odrediti bazu prostora kolona i prostora redova za matricu sa rangom 2:   1 2 0 3 R = 0 0 1 4 0 0 0 0 Kolone 1 i 3 su pivot kolone, pa one predstavljaju bazu prostora kolona matrice R. Vektori u prostoru kolona svi imaju oblik b = (x, y, 0). Prostor kolona matrice R je ustvari xy ravan, unutar 3-dimenzionalnog xyz prostora. Ta ravan nije R2 prostor, nego je potprostor R3 prostora. Kolone 2 i 3 su također baze istog prostora kolona. Koji parovi kolona ne bi bili baza prostora kolona? Prostor redova matrice R je potprostor R4 prostora. Najjednostavnija baza prostora redova su dva nenulta reda matrice R. Treći red (nula vektor) je u prostoru redova, također, ali nije u bazi prostora redova, budući da vektori u bazi moraju biti nezavisni. 16/39 Baza vektorskog prostora Pitanje Neka je dato pet vektora u R7 prostoru, na koji način možemo pronaći bazu prostora koje oni obuhvataju? 17/39 Baza vektorskog prostora Pitanje Neka je dato pet vektora u R7 prostoru, na koji način možemo pronaći bazu prostora koje oni obuhvataju? Mogući odgovori: 1. Vektore postavimo u redove matrice A, izvršimo eliminaciju kako bismo pronašli nenulte redove redukovane matrice R. 2. Vektore postavimo u kolone matrice A. Izvršimo eliminaciju da pronađemo pivot kolone (matrice A, ne matrice R). Te pivot kolone su baza prostora kolona. Na koji god način da odredimo bazu vektorskog prostora, broj vektora u bazi će uvijek biti isti! Broj vektora u bilo kojoj i u svakoj bazi određuje “dimenzionalnost” prostora. 17/39 Dimenzionalnost vektorskog prostora Moramo dokazati prethodnu tvrdnju. Postoji mnogo izbora za bazne vektore, ali broj baznih vektora se ne mijenja. Ukoliko skupovi vektora v1 ,..., vm i w1 ,..., wn predstavljaju baze za isti vektorski prostor, tada je m = n. Dokaz Pretpostavimo da postoji više vektora w nego vektora v. Počinjemo od n > m i želimo razviti kontradikciju. Vektori v su baza, pa vektor w1 mora biti kombinacija vektora v. Ako je w1 = a11 v1 +... + am1 vm , ovo predstavlja prvu kolonu proizvoda matrica V A:      a11 a1n  Svaki w je ..  kombinacija W = w1... w n  = v 1... vm  .... =VA vektora v am1 amn 18/39 Dimenzionalnost vektorskog prostora Elementi aij nam nisu poznati, ali znamo oblik matrice A (m × n). I drugi vektor w2 je također kombinacija vektora v. Koeficijenti te kombinacije se nalaze u drugoj koloni matrice A. Matrica A ima red za svaki vektor v i kolonu za svaki vektor w. A predstavlja kratku široku matricu, jer smo pretpostavili n > m. Samim tim, sistem Ax = 0 ima barem jedno rješenje različito od nule. Sistem Ax = 0 daje V Ax = 0, što onda postaje W x = 0. Kombinacija vektora w daje nulu! Tada vektori w ne mogu biti baza, tj. naša pretpostavka n > m za dvije baze nije moguća. Ako je m > n zamjenit ćemo vektore v i w i ponoviti iste korake. Jedini način da izbjegnemo kontradikciju je kada imamo n = m. 19/39 Dimenzionalnost vektorskog prostora Broj baznih vektora zavisi od prostora, ne od specifične baze. Broj vektora je isti za svaku bazu, i broji “stepene slobode” u prostoru. Dimenzionalnost prostora Rn je n, a sada ćemo definisati dimenzionalnost i za druge vektorske prostore. DEFINICIJA Dimenzionalnost prostora je broj vektora u svakoj bazi. 20/39 Dimenzionalnost vektorskog prostora Ova definicija je intuitivna: prava kroz vektor v = (1, 5, 2) ima dimenzionalnost jedan i predstavlja potprostor sa jednim vektorom v u svojoj bazi. Okomito na tu pravu je ravan x + 5y + 2z = 0. Ova ravan ima dimenzionalnost 2, a da dokažemo jednostavno odredimo bazu, (−5, 1, 0) i (−2, 0, 1). [ ] Ova ravan je nulprostor matrice A = 1 5 2 , koja ima dvije slobodne varijable. A bazni vektori su dva specijalna rješenja (−5, 1, 0) i (−2, 0, 1) sistema Ax = 0. 21/39 Dimenzionalnost vektorskog prostora Bitna napomena o terminologiji Nikada ne kažemo: ▶ “Rang prostora” ▶ “Dimenzionalnost baze” ▶ “Baza matrice” Ovi izrazi nemaju nikakvo značenje. Izrazi koje koristimo su dimenzionalnost prostora kolona što je isto što i rang matrice. 22/39 Matrični prostor Vektorski prostor M sadrži sve 2 × 2 matrice. Dimenzionalnost prostora M je 4: [ ] [ ] [ ] [ ] 1 0 0 1 0 0 0 0 Jedna baza je A1 , A 2 , A 3 , A 4 = , , , 0 0 0 0 1 0 0 1 Ove matrice su linearno nezavisne. Ne posmatramo njihove kolone, nego matrice u cjelini. Kombinacije ovih matrica mogu proizvesti bilo koju matricu u M , pa one obuhvataju prostor: Svaka matrica A [ ] c1 c2 je kombinacija c1 A1 + c2 A2 + c3 A3 + c4 A4 = =A c3 c4 baznih matrica A je nula samo kada su sve konstante c nula, što dokazuje nezavisntso matrica A1 , A2 , A3 , A4. 23/39 Matrični prostor Tri matrice A1 , A2 , A3 su baza za potprostor, tj. za gornje trougaone matrice. Dimenzionalnost je 3. A1 i A4 su baza za dijagonalne matrice. Zamislimo prostor svih n × n matrica. Jedna moguća baza koristi matrice koje imaju po jedan element različit od nule (element je jednak 1). Postoji n2 pozicija na kojima element 1 može da bude, pa postoji n2 baznih matrica: Dimenzionalnost cijelog n × n matričnog prostora je n2 Dimenzionalnost potprostora gornjih trougaonih matrica je 12 n2 + 12 n. Dimenzionalnost potprostora diagonalnih matrica je n. 24/39 Dimenzionalnost četiri potprostora Četiri fundamentalna potprostora su: 1. Prostor redova matrice A je C(AT ), potprostor Rn prostora. 2. Prostor kolona matrice A je C(A), potprostor Rm prostora. 3. Nulprostor matrice A je N (A), potprostor Rn prostora. 4. Lijevi nulprostor matrice A je N (AT ), potprostor Rm prostora. Prostor kolona, nulprostor, i prostor redova su nam poznati, a novi prostor sa kojim ćemo se upoznati je lijevi nulprostor. Lijevi nulprostor ćemo dobiti ako riješimo sistem (n × m) AT y = 0, što predstavlja nulprostor transponovane matrice AT. Vektori y idu na lijevu stranu matrice A kada pišemo y T A = 0T. Matrice A i AT su najčešće različite, pa su i njihovi prostori kolona i nulprostori različiti. 25/39 Četiri potprostora matrice R Pretpostavimo da je matrica A redukovana u echelon formu R. Za tu specijalnu formu, četiri potprostora je jednostavno identifikovati. Odredit ćemo bazu svakog potprostora i provjeriti dimenzionalnost. Zatim ćemo posmatrati kako se potprostori mijenjaju (dva se neće promjeniti) kako budemo razmatrali matricu A. Poenta je da su dimenzionalnosti četiri potprostora isti za A i R. 26/39 Četiri potprostora matrice R Primjer Kao specifičan 3 × 5 primjer, razmotrimo četri potprostora matrice R:   m=3 1 3 5 0 7 pivot redovi 1 i 2 n=5 R =  0 0 0 1 2 pivot kolone 1 i 4 r=2 0 0 0 0 0 Rang matrice je r = 2 (dva pivota). Odredit ćemo četiri potprostora. 27/39 Četiri potprostora matrice R 1. Prostor redova ovakve matrice R ima dimenzionalnost 2, što odgovara rangu matrice. Razlog: Prva dva reda matrice predstavljaju bazu prostora redova. Prostor redova sadrži kombinacije sva tri reda, ali treći red (red nula) ne dodaje ništa novo u odnosu na prva dva reda. Zbog toga, redovi 1 i 2 obuhvataju prostor redova C(RT ). Pivot redovi 1 i 2 su nezavisni (uvijek istinito), što je očigledno u ovom primjeru. Ukoliko posmatramo pivot kolone, vidimo r × r jediničnu matricu. Ne postoji način da kombinujemo redove jedinične matrice da dobijemo red nula osim kombinacije u kojoj su koeficijenti nula. Pa možemo zaključiti da su r pivot redova baza prostora redova. Dimenzionalnost prostora redova je rang r. Nenulti redovi matrice R formiraju bazu prostora redova. 28/39 Četiri potprostora matrice R 2. Prostor kolona matrice R također ima dimenzionalnost r = 2. Razlog: Pivot kolone 1 i 4 formiraju bazu prostora kolona matrice R, tj. C(R). Pivot kolone su nezavisne budući da predstavljaju r × r jediničnu matricu. Ni jedna kombinacija pivot kolona ne može dati nula kolonu osim kombinacije sa koeficijentima nula. Pa pivot kolone obuhvataju prostor kolona. Svaka slobodna kolona je kombinacija pivot kolona, a konkretne kombinacije dobijamo iz tri specijalna rješenja! Kolona2 = 3(kolona1). S. rješenje (−3, 1, 0, 0, 0) Kolona3 = 5(kolona1). S. rješenje (−5, 0, 1, 0, 0) Kolona5 = 7(kolona1)+2(kolona4) S. rješenje (−7, 0, 0, −2, 1) Pivot kolone su nezavisne i obuhvataju prostor kolona, pa predstavljaju bazu prostora kolona C(R). Dimenzionalnost prostora kolona je rang r. Pivot kolone formiraju bazu prostora kolona. 29/39 Četiri potprostora matrice R 3. Nulprostor matrice R ima dimenzionalnost n − r = 5 − 2. Postoje n − r = 3 slobodne varijable, x2 , x3 , x5 (jer u ovim kolonama nemamo pivote), koje čine tri specijalna rješenja sistema Rx = 0. Svakoj slobodnoj varijabli naizmjenično dodjeljujemo vrijednost 1, ostalim 0, pa rješavamo za pivot varijable x1 i x4.       −3 −5 −7  1   0   0  Rx = 0 ima rješenje       s2 =   0   s3 =   1   s5 =    0  x = x 2 s2 + x 3 s3 + x 5 s5  0   0  −2 Nulprostor je 3-dimenzionalan 0 0 1 Razlog: Postoji specijalno rješenje za svaku slobodnu varijablu. Sa n varijabli i r pivota, ostaje n − r slobodnih varijabli i specijalnih rješenja, koja su nezavisna, jer sadrže jediničnu matricu u redovima 2, 3, 5. Pa nulprostor N (R) ima dimenzionalnost n − r. Dimenzionalnost nulprostora je n − r, a specijalna rješenja čine bazu nulprostora. 30/39 Četiri potprostora matrice R 4. Nulprostor transponovane RT (lijevi nulprostor matrice R) ima dimenzionalnost m − r = 3 − 2. Razlog: Jednačina RT y = 0 pronalazi kombinacije kolona transponovane matrice RT (redovi matrice R) koja daje nulu na desnoj strani. Ova jednačina RT y = 0 ili y T R = 0T je: [ ] +y1 1, 3, 5, 0, 7 Lijevi nulprostor [ ] +y2 0, 0, 0, 1, 2 Kombinacije redova [ ] +y3 0, 0, 0, 0, 0 jednaka nuli [ ] +y2 0, 0, 0, 0, 0 Rješenja y1 , y2 , y3 su jasna. Potrebno nam je y1 = 0, y2 = 0, dok je varijabla y3 slobodna, te može imati bilo koju vrijednost. Nulprostor transponovane RT sadrži sve vektore oblika y = (0, 0, y3 ). 31/39 Četiri potprostora matrice R 4. Nulprostor transponovane RT (lijevi nulprostor matrice R) ima dimenzionalnost m − r = 3 − 2. U svakom slučaju, matrica R će završavati sa m − r redova nula. Svaka kombinacija tih m − r redova daje nulu. A rješenje y = (0, 0, y3 ) predstavlja jedinu kombinaciju redova matrice R koje daju nulu, jer su pivot redovi linearno nezavisni. Pa vektor y u lijevom nulprostoru ima komponente y1 = 0,..., yr = 0. Ako je matrica A veličine m × n sa rangom r, njen lijevi nulprostor će imati dimenzionalnost m − r. Zašto ovo nazivamo “lijevim nulprostorom”? Razlog je jer sistem RT y = 0 može biti transponovan u y T R = 0T. Sada je y T vektor red2 sa lijeve strane matrice R. 2 Komponente y u prethodnoj jednačini množe redove! 32/39 Četiri potprostora matrice R Da sumiramo: U Rn , prostor redova i nulprostor matrice R imaju dimenzionalnost r i n − r (u zbiru n). U Rm , prostor kolona i lijevi nulprostor imaju dimenzionalnost r i m − r (u zbiru m). 33/39 Četiri potprostora matrice A Dimenzionalnosti potprostora matrice A su iste kao za matricu R. (Ali moramo objasniti i zašto!) A je matrica koju smo redukovali u R = rref (A):   1 3 5 0 7 A = 0 0 0 1 2 Primjetimo C(A) ̸= C(R) 1 3 5 1 9 34/39 Četiri potprostora matrice A 1. A ima isti prostor redova kao R. Ista dimenzionalnost r i ista baza. Razlog: Svaki red matrice A je kombinacija redova matrice R. Također, svaki red matrice R je kombinacija redova matrice A. Eliminacija mijenja izgled redova, ali ne i prostor redova. Budući da A ima isti prostor redova kao R, možemo odabrati prvih r redova matrice R kao bazu, ili možemo odabrati r odgovarajućih redova originalne matrice3 A. Pogodni r redovi u A su oni koji postaju pivot redovi u R. 3 Ne mora značiti da će to biti prvih r redova matrice A, jer među njima možemo imati zavisne redove. 35/39 Četiri potprostora matrice A 2. Prostor kolona matrice A ima dimenzionalnost r. Rang kolona je jednak rangu redova. Teorema ranga: Broj nezavisnih kolona = broj nezavisnih redova. Pogrešan razlog: “A i R imaju isti prostor kolona.” Ovo je pogrešno. Kolone matrice R se često završavaju nulama. Kolone matrice A se ne završavaju nulama tako često. Samim tim C(A) ̸= C(R). Ispravan razlog: Iste kombinacije kolona su nula (ili različite od nule) za matrice A i R. Zavisne kolone u A ⇔ zavisne kolone u R. Drugim riječima, Ax = 0 tačno kada je Rx = 0. Prostori kolona su različiti, ali njihova dimenzionalnost je ista, jednaka r. Zaključak r pivot kolona matrice A su baza prostora kolona C(A). 36/39 Četiri potprostora matrice A 3. Matrica A ima isti nulprostor kao matrica R. Istu dimenzionalnost n − r, i istu bazu. Razlog: Koraci eliminacije ne mijenjaju rješenja. Specijalna rješenja su baza nulprostora. Postoji n − r slobodnih varijabli i specijalnih rješenja, pa je to ujedno i dimenzionalnost nulprostora. (dimenzionalnost prostora kolona) + (dimenzionalnost nulprostora) = dimenzionalnost Rn 37/39 Četiri potprostora matrice A 4. Lijevi nulprostor matrice A (nulprostor transponovane matrice AT ) ima dimenzionalnost m − r. Razlog: Kada znamo dimenzionalnost matrice A, znamo i dimenzionalnost matrice AT , za čiji prostor kolona znamo da ima dimenzionalnost r. Budući da je matrica AT veličine n × m, “cijeli prostor” je sada Rm. Pravilo prebrojavanja za A je bilo r + (n − r) = n, a pravilo prebrojavanja za AT je r + (m − r) = m. Sada imamo sve detalje za “veliku” teoremu: Velika teorema linearne algebre (dio I) Prostor kolona i prostor redova imaju dimenzionalnost r. Nulprostori imaju dimenzionalnost n − r i m − r. 38/39 Ortogonalnost četiri potprostora Vizualizacija četiri potprostora Figure 1: Dva para ortogonalnih potprostora. Dimenzionalnosti se sumiraju u n i u m. Dva potprostora u Rn i dva potprostora u Rm 39/39