Linearna algebra i geometrija - Predavanje IV - Dio III
45 Questions
0 Views

Choose a study mode

Play Quiz
Study Flashcards
Spaced Repetition
Chat to Lesson

Podcast

Play an AI-generated podcast conversation about this lesson

Questions and Answers

Koji je uzrok da matrica A i matrica R imaju isti nulprostor?

  • Matrica A nema slobodnih varijabli.
  • Dimenzionalnost nulprostora matrice A je veća.
  • Koraci eliminacije ne mijenjaju rješenja. (correct)
  • Matrica R ima veći broj redova od matrice A.

Kolika je dimenzionalnost lijevog nulprostora matrice A?

  • m + n - r
  • r
  • n - r
  • m - r (correct)

Što vrijedi za dimenzionalnosti prostora kolona i prostora redova matrice A?

  • Obje dimenzionalnosti su jednake r. (correct)
  • Dimenzionalnosti se miješaju u višim dimenzijama.
  • Dimenzionalnost prostora redova je manja od prostora kolona.
  • Dimenzionalnost prostora kolona je uvijek veća.

Koji su slobodni varijable povezani s dimenzionalnošću nulprostora?

<p>Jednaki su n - r. (C)</p> Signup and view all the answers

Koja je ključna činjenica u Velikoj teoremi linearne algebre?

<p>Dimenzionalnost prostora kolona i prostora redova je r. (A)</p> Signup and view all the answers

Što označava pojam 'standardna baza' u R2?

<p>Skup jediničnih kolona 2 × 2 matrice. (B)</p> Signup and view all the answers

Kada su kolone matrice A važne za definiranje baze prostora kolona?

<p>Kada je matrica A invertibilna. (C)</p> Signup and view all the answers

Što se događa kada su kolone matrice zavisne?

<p>Završavamo sa samo pivot kolonama. (B)</p> Signup and view all the answers

Koje posljedice ima nedostatak invertibilnosti u matrici?

<p>Kolone matrice ne čine bazu nijednog prostora. (C)</p> Signup and view all the answers

Kako se predstavljaju pivot kolone matrice A?

<p>Kao nezavisne kolone koje obuhvaćaju cijeli prostor Rn. (D)</p> Signup and view all the answers

Što se može reći o maticama koje sadrže jednu pivot kolonu?

<p>Nisu dovoljno za definiranje baze prostora. (B)</p> Signup and view all the answers

Kako možemo riješiti sustav Ax = b?

<p>Kao $x = A^{-1}b$ kada je A invertibilna. (D)</p> Signup and view all the answers

Koje karakteristike imaju kolone n × n jediničnih matrica?

<p>One tvore standardnu bazu za Rn. (A)</p> Signup and view all the answers

Koja od sljedećih kolona može biti odabrana kao pivot kolona u matrici A?

<p>Prva kolona matrice R (D)</p> Signup and view all the answers

Koji vektor predstavlja bazu prostora redova matrice R?

<p>(1, 2) (A)</p> Signup and view all the answers

Što je istina o prostoru kolona matrice A i R?

<p>Prostor kolona R ne sadrži vektore iz prostora kolona A (D)</p> Signup and view all the answers

Kako se može opisati prostor kolona matrice R?

<p>Ravan unutar R3 prostora (C)</p> Signup and view all the answers

Koje kolone nemaju svojstvo baze prostora kolona?

<p>Kolone 2 i 4 (A)</p> Signup and view all the answers

Kako izgleda forma vektora u prostoru kolona matrice R?

<p>(x, y, 0) (A)</p> Signup and view all the answers

Koja od sljedećih izjava o matrici A sa rangom r = 1 nije točna?

<p>Ima više od jednog vektora u bazi (A)</p> Signup and view all the answers

Što opisuje prostor kolona matrice A?

<p>Obuhvaća dvjema kolonama matrice A. (B)</p> Signup and view all the answers

Koliko kolona može činiti bazu prostora redova za matricu R?

<p>Dvije kolone (A)</p> Signup and view all the answers

Koje su osobine baznog vektorskog prostora?

<p>Bazni vektori su linearno nezavisni i obuhvaćaju prostor. (D)</p> Signup and view all the answers

Zašto dva vektora ne mogu obuhvatiti cijeli R3?

<p>Dva vektora mogu biti nezavisna, ali ne mogu obuhvatiti cijeli prostor. (A)</p> Signup and view all the answers

Što se događa kada oduzmemo dva izraza za vektor v u baznom vektorskom prostoru?

<p>Dobivamo nulti vektor uz uvjet nezavisnosti. (A)</p> Signup and view all the answers

Kako se definira prostor redova matrice A?

<p>Obuhvaća tri reda matrice A. (D)</p> Signup and view all the answers

Koja od sljedećih tvrdnji nije točna o baznim vektorima?

<p>Postoji više od jednog načina da se izrazi vektor v pomoću baznih vektora. (B)</p> Signup and view all the answers

Koja od sljedećih tvrdnji najbolje opisuje prostorno svojstvo redova i kolona matrice?

<p>Kolone su u Rm prostoru i definiraju prostor kolona. (A)</p> Signup and view all the answers

Koliko nezavisnih vektora je potrebno za obuhvaćanje R3?

<p>Tri vektora. (C)</p> Signup and view all the answers

Koje matrice čine bazu za prostor M s dimenzionalnošću 4?

<p>A1, A2, A3, A4 (B)</p> Signup and view all the answers

Dimenzionalnost potprostora gornjih trougaonih matrica iznosi:

<p>12n^2 + 12n (D)</p> Signup and view all the answers

Koji od navedenih potprostorâ nije jedan od četiri fundamentalna potprostora matrice A?

<p>Desni potprostor (B)</p> Signup and view all the answers

Koja kombinacija matrica predstavlja generalnu formu za matricu A?

<p>c1A1 + c2A2 + c3A3 + c4A4 (A)</p> Signup and view all the answers

Kako se definiše lijevi nulprostor matrice A?

<p>Rješavanjem ATy = 0 (B)</p> Signup and view all the answers

Koja je dimenzionalnost cijelog n × n matričnog prostora?

<p>n^2 (D)</p> Signup and view all the answers

Šta dokazuje nezavisnost matrica A1, A2, A3 i A4?

<p>Da je matrica A nula kada su c konstante nula (C)</p> Signup and view all the answers

Koji skup čini bazu za potprostor dijagonalnih matrica?

<p>A1, A4 (B)</p> Signup and view all the answers

Koje kolone predstavljaju bazu prostora kolona za matricu R?

<p>Kolone 1 i 3 (B)</p> Signup and view all the answers

Koji je prostor kolona matrice R u primjeru koji je naveden?

<p>xy ravan (C)</p> Signup and view all the answers

Koji od navedenih vektora ne može biti bazni vektor prostora redova?

<p>Zadnji red u matrici (D)</p> Signup and view all the answers

Kako možemo pronaći bazu prostora obuhvaćenog pet vektora u R7 prostoru?

<p>Postavimo vektore u kolone matrice A. (A)</p> Signup and view all the answers

Što se događa ako postoji više vektora w nego vektora v u bazi vektorskog prostora?

<p>Doći će do kontradikcije. (A)</p> Signup and view all the answers

Koji od navedenih izraza najbolje opisuje dimenzionalnost vektorskog prostora?

<p>Broj vektora u bazi se ne mijenja. (A)</p> Signup and view all the answers

Koji od sljedećih iskaza nije točan o bazama vektorskog prostora?

<p>Dimenzionalnost može varirati s različitim bazama. (D)</p> Signup and view all the answers

Što je potrebno učiniti za određivanje baze pomoću redova matrice?

<p>Izvršiti eliminaciju kako bi se sačuvala samo nenulta redukovana matrica. (D)</p> Signup and view all the answers

Flashcards

Prostor kolona matrice

Potprostor u Rm koji obuhvaćaju kolone matrice.

Prostor redova matrice

Potprostor u Rn koji obuhvaćaju redove matrice.

Baza vektorskog prostora

Skup linearno nezavisnih vektora koji obuhvataju cijeli prostor.

Linearna nezavisnost

Vektori su linearno nezavisni ako nijedan vektor nije linearna kombinacija drugih vektora.

Signup and view all the flashcards

Obuhvat prostora

Svi vektori u prostoru mogu se predstaviti kao linearna kombinacija vektora u skupu.

Signup and view all the flashcards

Jedinstveno predstavljanje vektora

Svaki vektor u prostoru se može predstaviti na jedan i samo jedan način pomoću baznih vektora.

Signup and view all the flashcards

Linearna kombinacija

Kombinacija vektora množenjem sa skalarom i sabiranjem.

Signup and view all the flashcards

Potprostor

Skup vektora koji zadovoljavaju određene uvjete (npr. sadrži nula vektor, zatvoren je za zbrajanje i množenje skalarom).

Signup and view all the flashcards

Baza prostora kolona

Skup linearno nezavisnih vektora koji generiraju prostor kolona matrice.

Signup and view all the flashcards

Prostor kolona

Skup svih linearnih kombinacija kolona matrice.

Signup and view all the flashcards

Standardna baza R2

Baza čine vektori [1, 0] i [0, 1].

Signup and view all the flashcards

Pivot kolona

Kolona u reducirajućoj obliku (R) matrice koja ima 1 u prvom redu kolone i 0 u ostalim.

Signup and view all the flashcards

Baza prostora redova

Skup linearno nezavisnih redova koji generiraju prostor redova matrice.

Signup and view all the flashcards

Standardna baza Rn

Baza čine kolone n×n jedinične matrice.

Signup and view all the flashcards

Prostor redova

Skup svih linearnih kombinacija redova matrice.

Signup and view all the flashcards

Linearna nezavisnost vektora

Vektori su linearno nezavisni ako nijedan vektor nije kombinacija drugih vektora.

Signup and view all the flashcards

Invertibilna matrica

Matrica koja ima inverznu matricu. Njene kolone formiraju bazu.

Signup and view all the flashcards

Rang matrice

Broj linearno nezavisnih redova ili kolona u matrici.

Signup and view all the flashcards

Prostor kolona

Skup svih linearnih kombinacija kolona matrice.

Signup and view all the flashcards

Redukcijska matrica

Matrica u obliku gdje su pivot kolone (i redovi) identificirane.

Signup and view all the flashcards

Pivot kolone (i redovi)

Linearno nezavisne kolone (redovi) matrice u reduciranoj reducirajoj formi koja obuhvaća prostor kolona (redova).

Signup and view all the flashcards

Singularna matrica

Matrica koja nije invertibilna. Njene kolone nisu baza.

Signup and view all the flashcards

Dimenzionalnost vektorskog prostora

Broj vektora u bilo kojoj bazi tog prostora.

Signup and view all the flashcards

Linearno nezavisne vektore

Vektori koji se ne mogu predstaviti kao linearna kombinacija drugih vektora.

Signup and view all the flashcards

Pronalaženje baze iz skupa vektora

Postupak za pronalaženje baze generisane skupom vektora.

Signup and view all the flashcards

Nulprostor matrice

Skup svih vektora x koji zadovoljavaju jednadžbu Ax = 0.

Signup and view all the flashcards

Dimenzionalnost nulprostora

Broj linearno nezavisnih vektora u bazu nulprostora matrice.

Signup and view all the flashcards

Lijevi nulprostor matrice

Skup svih vektora y koji zadovoljavaju jednadžbu yTA = 0.

Signup and view all the flashcards

Velika teorema linearne algebre (dio I)

Prostor kolona i prostor redova matrice imaju istu dimenzionalnost, 'rang' matrice. Dimenzionalnost nulprostora i lijevog nulprostora su određeni rangom matrice.

Signup and view all the flashcards

Ortogonalnost potprostora

Dva potprostora su ortogonalna ako je svaki vektor u jednom potprostoru okomit na svaki vektor u drugom potprostoru.

Signup and view all the flashcards

Linearno nezavisne matrice

Matrice koje se ne mogu dobiti linearne kombinacije jedne od drugih.

Signup and view all the flashcards

Gornje trougaone matrice

Matrice kod kojih su elementi ispod glavne dijagonale jednaki nuli.

Signup and view all the flashcards

Dijagonalne matrice

Matrice kod kojih su elementi izvan glavne dijagonale jednaki nuli.

Signup and view all the flashcards

Dimenzionalnost n × n matričnog prostora

Jednaka je n2, jer postoji n2 baznih matrica.

Signup and view all the flashcards

Study Notes

Linearna algebra i geometrija - Predavanje IV - Dio III

  • Novembar, 2023.
  • Predavanje se bavi vektorskim prostorima i potprostorima.

Sadržaj

  • Vektorski prostori i potprostori
    • Prostori vektora
    • Nulprostor matrice A: Rješavanje Ax = 0 i Rx = 0
    • Potpuno rješenje sistema Ax = b
    • Linearna nezavisnost
    • Baze i dimenzije
    • Dimenzije četiri potprostora

Vektori koji obuhvataju potprostor

  • Definicija: Skup vektora obuhvata prostor ukoliko njihove kombinacije ispunjavaju cijeli prostor.
  • Kolone matrice obuhvataju prostor kolona.

Primjeri

  • Vektori v₁ = [1, 0] i v₂ = [0, 1] obuhvataju cijeli prostor R².
  • Vektori v₁ = [1, 0], v₂ = [0, 1] i v₃ = [4, 0] obuhvataju cijeli prostor R².
  • Vektori w₁ = [1, 1] i w₂ = [-1, 1] obuhvataju pravu u R².

Vektori koji obuhvataju potprostor (nastavak)

  • Dva vektora u 3-dimenzionalnom prostoru obuhvataju ravan.
  • Dva vektora mogu obuhvatiti samo pravu.
  • Tri vektora mogu obuhvatiti cijeli R³, ili samo ravan.
  • Tri vektora obuhvataju samo pravu, ili deset vektora obuhvata samo ravan.

Kombinacije redova matrice

  • Definicija: Prostor redova matrice je potprostor Rn prostora, obuhvaćen redovima.
  • Redovi matrice A određuju prostor kolona transponovane matrice AT.
  • Kolone transponovane matrice AT predstavljaju vektore u Rn.

Primjer

  • Opisati prostor kolona i prostor redova matrice A (m = 3, n = 2).
  • Matrica A = [1 4] i Aᵀ = [1 2 3] , [2 7] i [4 7 5], [3 5]

Baza vektorskog prostora

  • Definicija: Baza vektorskog prostora je skup vektora koji su linearno nezavisni i obuhvataju prostor.
  • Svaki vektor u prostoru može se zapisati kao linearna kombinacija baznih vektora.
  • Postoji jedan i samo jedan način da se vektor izrazi pomoću baznih vektora.
  • Primjeri: Kolone 2 × 2 jedinične matrice kreiraju "standardnu bazu" R².

Baza vektorskog prostora (nastavak)

  • Kolone invertibilne matrice n × n daju bazu za Rn.
  • Primjer: Matrica koja nije invertibilna, njene kolone nisu baza nikakvog prostora.

Dimenzionalnost vektorskog prostora

  • Broj baznih vektora zavisi od prostora. Broj vektora je isti za svaku bazu, i broji "stepene slobode" u prostoru.
  • Dimenzionalnost prostora Rn je n.

Dimenzionalnost vektorskog prostora (nastavak)

  • Intuitivno: Prava kroz vektor v ima dimenzionalnost jedan i predstavlja potprostor sa jednim vektorom.
  • Okomito na tu pravu je ravan.
  • Primjer: Opisati nulprostor matrice.

Bitna terminologija

  • Rang prostora
  • Dimenzionalnost baze
  • Baza matrice
  • Ovi izrazi nemaju nikakvo značenje. Istu informaciju označava dimenzionalnost prostora kolona, odnosno rang matrice.

Matrični prostor

  • Vektorski prostor M sadrži sve 2 × 2 matrice. Dimenzionalnost prostora ima 4.
  • Svaka matrica A je kombinacija baznih matrica.
  • Primjeri baza: gornje trougaone matrice, dijagonalne matrice.

Dimenzionalnost četiri potprostora

  • Četiri fundamentalna potprostora: prostor redova, prostor kolona, nulprostor, lijevi nulprostor.
  • Prostor kolona i lijevi nulprostor imaju dimenzionalnost r i m - r (u zbiru su m).

Četiri potprostora matrice R

  • Primjer: 3x5 primjer matrice R.
  • Prostor redova: ima dimenzionalnost 2.
  • Prostor kolona: ima dimenzionalnost 2.
  • Nulprostor: dimenzionalnost n - r = 3.
  • Lijevi nulprostor: dimenzionalnost m - r = 1.

Četiri potprostora matrice A

  • Dimenzionalnosti potprostora matrice A su iste kao za matricu R.
  • Razlog: Svaki red matrice A je kombinacija redova matrice R.
  • Isto važi za kolone.

Studying That Suits You

Use AI to generate personalized quizzes and flashcards to suit your learning preferences.

Quiz Team

Related Documents

Linearna algebra i geometrija PDF

Description

Ova lekcija istražuje vektorske prostore i potprostore, uključujući rješavanje sustava Ax = 0 i Ax = b. Također pokriva teme linearne nezavisnosti, baza, dimenzije i primjere vektora koji obuhvataju potprostor. Ove informacije su ključne za razumijevanje linearne algebre i njene primjene u geometriji.

More Like This

Exploring Vector Spaces in Linear Algebra
10 questions

Exploring Vector Spaces in Linear Algebra

CostSavingCalcium avatar
CostSavingCalcium
Vector Spaces Overview
12 questions

Vector Spaces Overview

WellRegardedCliché avatar
WellRegardedCliché
Linear Algebra - Subspaces Quiz
15 questions

Linear Algebra - Subspaces Quiz

UnparalleledEcoArt avatar
UnparalleledEcoArt
Linear Algebra: Subspaces and Independence
5 questions

Linear Algebra: Subspaces and Independence

ThrilledGold4946 avatar
ThrilledGold4946
Use Quizgecko on...
Browser
Open
Browser
Browser