Linearna algebra i geometrija - Predavanje IV - Dio III
45 Questions
0 Views

Choose a study mode

Play Quiz
Study Flashcards
Spaced Repetition
Chat to lesson

Podcast

Play an AI-generated podcast conversation about this lesson

Questions and Answers

Koji je uzrok da matrica A i matrica R imaju isti nulprostor?

  • Matrica A nema slobodnih varijabli.
  • Dimenzionalnost nulprostora matrice A je veća.
  • Koraci eliminacije ne mijenjaju rješenja. (correct)
  • Matrica R ima veći broj redova od matrice A.

    • Kolika je dimenzionalnost lijevog nulprostora matrice A?

  • m + n - r
  • r
  • n - r
  • m - r (correct)

    • Što vrijedi za dimenzionalnosti prostora kolona i prostora redova matrice A?

  • Obje dimenzionalnosti su jednake r. (correct)
  • Dimenzionalnosti se miješaju u višim dimenzijama.
  • Dimenzionalnost prostora redova je manja od prostora kolona.
  • Dimenzionalnost prostora kolona je uvijek veća.

    • Koji su slobodni varijable povezani s dimenzionalnošću nulprostora?

    <p>Jednaki su n - r.</p> Signup and view all the answers

    Koja je ključna činjenica u Velikoj teoremi linearne algebre?

    <p>Dimenzionalnost prostora kolona i prostora redova je r.</p> Signup and view all the answers

    Što označava pojam 'standardna baza' u R2?

    <p>Skup jediničnih kolona 2 × 2 matrice.</p> Signup and view all the answers

    Kada su kolone matrice A važne za definiranje baze prostora kolona?

    <p>Kada je matrica A invertibilna.</p> Signup and view all the answers

    Što se događa kada su kolone matrice zavisne?

    <p>Završavamo sa samo pivot kolonama.</p> Signup and view all the answers

    Koje posljedice ima nedostatak invertibilnosti u matrici?

    <p>Kolone matrice ne čine bazu nijednog prostora.</p> Signup and view all the answers

    Kako se predstavljaju pivot kolone matrice A?

    <p>Kao nezavisne kolone koje obuhvaćaju cijeli prostor Rn.</p> Signup and view all the answers

    Što se može reći o maticama koje sadrže jednu pivot kolonu?

    <p>Nisu dovoljno za definiranje baze prostora.</p> Signup and view all the answers

    Kako možemo riješiti sustav Ax = b?

    <p>Kao $x = A^{-1}b$ kada je A invertibilna.</p> Signup and view all the answers

    Koje karakteristike imaju kolone n × n jediničnih matrica?

    <p>One tvore standardnu bazu za Rn.</p> Signup and view all the answers

    Koja od sljedećih kolona može biti odabrana kao pivot kolona u matrici A?

    <p>Prva kolona matrice R</p> Signup and view all the answers

    Koji vektor predstavlja bazu prostora redova matrice R?

    <p>(1, 2)</p> Signup and view all the answers

    Što je istina o prostoru kolona matrice A i R?

    <p>Prostor kolona R ne sadrži vektore iz prostora kolona A</p> Signup and view all the answers

    Kako se može opisati prostor kolona matrice R?

    <p>Ravan unutar R3 prostora</p> Signup and view all the answers

    Koje kolone nemaju svojstvo baze prostora kolona?

    <p>Kolone 2 i 4</p> Signup and view all the answers

    Kako izgleda forma vektora u prostoru kolona matrice R?

    <p>(x, y, 0)</p> Signup and view all the answers

    Koja od sljedećih izjava o matrici A sa rangom r = 1 nije točna?

    <p>Ima više od jednog vektora u bazi</p> Signup and view all the answers

    Što opisuje prostor kolona matrice A?

    <p>Obuhvaća dvjema kolonama matrice A.</p> Signup and view all the answers

    Koliko kolona može činiti bazu prostora redova za matricu R?

    <p>Dvije kolone</p> Signup and view all the answers

    Koje su osobine baznog vektorskog prostora?

    <p>Bazni vektori su linearno nezavisni i obuhvaćaju prostor.</p> Signup and view all the answers

    Zašto dva vektora ne mogu obuhvatiti cijeli R3?

    <p>Dva vektora mogu biti nezavisna, ali ne mogu obuhvatiti cijeli prostor.</p> Signup and view all the answers

    Što se događa kada oduzmemo dva izraza za vektor v u baznom vektorskom prostoru?

    <p>Dobivamo nulti vektor uz uvjet nezavisnosti.</p> Signup and view all the answers

    Kako se definira prostor redova matrice A?

    <p>Obuhvaća tri reda matrice A.</p> Signup and view all the answers

    Koja od sljedećih tvrdnji nije točna o baznim vektorima?

    <p>Postoji više od jednog načina da se izrazi vektor v pomoću baznih vektora.</p> Signup and view all the answers

    Koja od sljedećih tvrdnji najbolje opisuje prostorno svojstvo redova i kolona matrice?

    <p>Kolone su u Rm prostoru i definiraju prostor kolona.</p> Signup and view all the answers

    Koliko nezavisnih vektora je potrebno za obuhvaćanje R3?

    <p>Tri vektora.</p> Signup and view all the answers

    Koje matrice čine bazu za prostor M s dimenzionalnošću 4?

    <p>A1, A2, A3, A4</p> Signup and view all the answers

    Dimenzionalnost potprostora gornjih trougaonih matrica iznosi:

    <p>12n^2 + 12n</p> Signup and view all the answers

    Koji od navedenih potprostorâ nije jedan od četiri fundamentalna potprostora matrice A?

    <p>Desni potprostor</p> Signup and view all the answers

    Koja kombinacija matrica predstavlja generalnu formu za matricu A?

    <p>c1A1 + c2A2 + c3A3 + c4A4</p> Signup and view all the answers

    Kako se definiše lijevi nulprostor matrice A?

    <p>Rješavanjem ATy = 0</p> Signup and view all the answers

    Koja je dimenzionalnost cijelog n × n matričnog prostora?

    <p>n^2</p> Signup and view all the answers

    Šta dokazuje nezavisnost matrica A1, A2, A3 i A4?

    <p>Da je matrica A nula kada su c konstante nula</p> Signup and view all the answers

    Koji skup čini bazu za potprostor dijagonalnih matrica?

    <p>A1, A4</p> Signup and view all the answers

    Koje kolone predstavljaju bazu prostora kolona za matricu R?

    <p>Kolone 1 i 3</p> Signup and view all the answers

    Koji je prostor kolona matrice R u primjeru koji je naveden?

    <p>xy ravan</p> Signup and view all the answers

    Koji od navedenih vektora ne može biti bazni vektor prostora redova?

    <p>Zadnji red u matrici</p> Signup and view all the answers

    Kako možemo pronaći bazu prostora obuhvaćenog pet vektora u R7 prostoru?

    <p>Postavimo vektore u kolone matrice A.</p> Signup and view all the answers

    Što se događa ako postoji više vektora w nego vektora v u bazi vektorskog prostora?

    <p>Doći će do kontradikcije.</p> Signup and view all the answers

    Koji od navedenih izraza najbolje opisuje dimenzionalnost vektorskog prostora?

    <p>Broj vektora u bazi se ne mijenja.</p> Signup and view all the answers

    Koji od sljedećih iskaza nije točan o bazama vektorskog prostora?

    <p>Dimenzionalnost može varirati s različitim bazama.</p> Signup and view all the answers

    Što je potrebno učiniti za određivanje baze pomoću redova matrice?

    <p>Izvršiti eliminaciju kako bi se sačuvala samo nenulta redukovana matrica.</p> Signup and view all the answers

    Study Notes

    Linearna algebra i geometrija - Predavanje IV - Dio III

    • Novembar, 2023.
    • Predavanje se bavi vektorskim prostorima i potprostorima.

    Sadržaj

    • Vektorski prostori i potprostori
      • Prostori vektora
      • Nulprostor matrice A: Rješavanje Ax = 0 i Rx = 0
      • Potpuno rješenje sistema Ax = b
      • Linearna nezavisnost
      • Baze i dimenzije
      • Dimenzije četiri potprostora

    Vektori koji obuhvataju potprostor

    • Definicija: Skup vektora obuhvata prostor ukoliko njihove kombinacije ispunjavaju cijeli prostor.
    • Kolone matrice obuhvataju prostor kolona.

    Primjeri

    • Vektori v₁ = [1, 0] i v₂ = [0, 1] obuhvataju cijeli prostor R².
    • Vektori v₁ = [1, 0], v₂ = [0, 1] i v₃ = [4, 0] obuhvataju cijeli prostor R².
    • Vektori w₁ = [1, 1] i w₂ = [-1, 1] obuhvataju pravu u R².

    Vektori koji obuhvataju potprostor (nastavak)

    • Dva vektora u 3-dimenzionalnom prostoru obuhvataju ravan.
    • Dva vektora mogu obuhvatiti samo pravu.
    • Tri vektora mogu obuhvatiti cijeli R³, ili samo ravan.
    • Tri vektora obuhvataju samo pravu, ili deset vektora obuhvata samo ravan.

    Kombinacije redova matrice

    • Definicija: Prostor redova matrice je potprostor Rn prostora, obuhvaćen redovima.
    • Redovi matrice A određuju prostor kolona transponovane matrice AT.
    • Kolone transponovane matrice AT predstavljaju vektore u Rn.

    Primjer

    • Opisati prostor kolona i prostor redova matrice A (m = 3, n = 2).
    • Matrica A = [1 4] i Aᵀ = [1 2 3] , [2 7] i [4 7 5], [3 5]

    Baza vektorskog prostora

    • Definicija: Baza vektorskog prostora je skup vektora koji su linearno nezavisni i obuhvataju prostor.
    • Svaki vektor u prostoru može se zapisati kao linearna kombinacija baznih vektora.
    • Postoji jedan i samo jedan način da se vektor izrazi pomoću baznih vektora.
    • Primjeri: Kolone 2 × 2 jedinične matrice kreiraju "standardnu bazu" R².

    Baza vektorskog prostora (nastavak)

    • Kolone invertibilne matrice n × n daju bazu za Rn.
    • Primjer: Matrica koja nije invertibilna, njene kolone nisu baza nikakvog prostora.

    Dimenzionalnost vektorskog prostora

    • Broj baznih vektora zavisi od prostora. Broj vektora je isti za svaku bazu, i broji "stepene slobode" u prostoru.
    • Dimenzionalnost prostora Rn je n.

    Dimenzionalnost vektorskog prostora (nastavak)

    • Intuitivno: Prava kroz vektor v ima dimenzionalnost jedan i predstavlja potprostor sa jednim vektorom.
    • Okomito na tu pravu je ravan.
    • Primjer: Opisati nulprostor matrice.

    Bitna terminologija

    • Rang prostora
    • Dimenzionalnost baze
    • Baza matrice
    • Ovi izrazi nemaju nikakvo značenje. Istu informaciju označava dimenzionalnost prostora kolona, odnosno rang matrice.

    Matrični prostor

    • Vektorski prostor M sadrži sve 2 × 2 matrice. Dimenzionalnost prostora ima 4.
    • Svaka matrica A je kombinacija baznih matrica.
    • Primjeri baza: gornje trougaone matrice, dijagonalne matrice.

    Dimenzionalnost četiri potprostora

    • Četiri fundamentalna potprostora: prostor redova, prostor kolona, nulprostor, lijevi nulprostor.
    • Prostor kolona i lijevi nulprostor imaju dimenzionalnost r i m - r (u zbiru su m).

    Četiri potprostora matrice R

    • Primjer: 3x5 primjer matrice R.
    • Prostor redova: ima dimenzionalnost 2.
    • Prostor kolona: ima dimenzionalnost 2.
    • Nulprostor: dimenzionalnost n - r = 3.
    • Lijevi nulprostor: dimenzionalnost m - r = 1.

    Četiri potprostora matrice A

    • Dimenzionalnosti potprostora matrice A su iste kao za matricu R.
    • Razlog: Svaki red matrice A je kombinacija redova matrice R.
    • Isto važi za kolone.

    Studying That Suits You

    Use AI to generate personalized quizzes and flashcards to suit your learning preferences.

    Quiz Team

    Related Documents

    Linearna algebra i geometrija PDF

    Description

    Ova lekcija istražuje vektorske prostore i potprostore, uključujući rješavanje sustava Ax = 0 i Ax = b. Također pokriva teme linearne nezavisnosti, baza, dimenzije i primjere vektora koji obuhvataju potprostor. Ove informacije su ključne za razumijevanje linearne algebre i njene primjene u geometriji.

    More Like This

    Exploring Vector Spaces in Linear Algebra
    10 questions

    Exploring Vector Spaces in Linear Algebra

    CostSavingCalcium avatar
    CostSavingCalcium
    Linear Algebra - Subspaces Quiz
    15 questions

    Linear Algebra - Subspaces Quiz

    UnparalleledEcoArt avatar
    UnparalleledEcoArt
    Linear Algebra: Permutations and Subspaces
    5 questions

    Linear Algebra: Permutations and Subspaces

    ThrilledGold4946 avatar
    ThrilledGold4946
    Linear Algebra: Subspaces and Independence
    5 questions

    Linear Algebra: Subspaces and Independence

    ThrilledGold4946 avatar
    ThrilledGold4946
    Use Quizgecko on...
    Browser
    Open
    Browser
    Browser