ket noi tri thuc toan 6.pdf
Document Details
2022
Tags
Full Transcript
Tailieumontoan.com Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 CHUYÊN ĐỀ KNTT TOÁN LỚP 6 (Liệu hệ tài liệu word môn toán SĐT (zalo) : 039.373.2038 Tài liệu sưu tầm, ngày 27 tháng 5 năm 2022 ...
Tailieumontoan.com Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 CHUYÊN ĐỀ KNTT TOÁN LỚP 6 (Liệu hệ tài liệu word môn toán SĐT (zalo) : 039.373.2038 Tài liệu sưu tầm, ngày 27 tháng 5 năm 2022 Website: tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỀ 1: TẬP HỢP A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT I. Các kiến thức cơ bản 1. Một tập hợp (gọi tắt là tập) bao gồm những đối tượng nhất định. Các đối tượng ấy được gọi là những phần tử của tập hợp. 2. Các kí hiệu Người ta thường dùng các chữ cái in hoa để đặt tên cho tập hợp ví dụ: A , B, C ,... Các phần tử của một tập hợp được viết trong hai dấu ngoặc { } , cách nhau bởi dấu chấm phẩy “;”. Mỗi phần tử được liệt kê một lần, thứ tự liệt kê tùy ý x là một phần tử của tập A , kí hiệu x ∈ A ( đọc là x thuộc A ) y không là phần tử của tập A , kí hiệu y ∉ A ( đọc là y không thuộc A ) 3. Cách viết một tập hợp. Người ta thường dùng hai cách mô tả một tập hợp. Cách 1. Liệt kê các phần tử của tập hợp, tức là viết các phần tử của tập hợp trong dấu { } theo thứ tự tùy ý nhưng mỗi phần tử chỉ được viết một lần. Cách 2. Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp. 4. Giao của hai tập hợp. Cho hai tập hợp A và B. Tập hợp gồm các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B gọi là giao của A và B kí hiệu là: A ∩ B A∩ B = { x | x ∈ A; x ∈ B} 5. Tập hợp số tự nhiên. Các số 0;1; 2;3; 4;5;... là các số tự nhiên. Tập hợp các số tự nhiên được kí hiệu là , tức là = {0;1; 2;3; 4;5;...} Tập hợp các số tự nhiên khác 0 được kí hiệu là ∗ , tức là = {1; 2;3; 4;5;...} ∗ Trên tia số, điểm biểu diễn số tự nhiên a là điểm a. Với hai số tự nhiên khác nhau chắc chắn có một số nhỏ hơn số kia. Điểm biểu diễn số nhỏ ở bên trái điểm biểu diễn số lớn. Kí hiệu a < b là a nhỏ hơn b hoặc b lớn hơn a. Nếu a < b và b < c thì a < c ∗ Trong tập hợp số nhỏ nhất là 0, trong tập hợp số số nhỏ nhất là số 1. Không có số tự nhiên lớn nhất. Các số tự nhiên liên tiếp nhau hơn kém nhau 1 đơn vị. Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 1 Website: tailieumontoan.com 6. Ghi số tự nhiên Trong hệ thập phân, mỗi cố tự nhiên được viết dưới dnagj một dãy những chữ số lấy trong 10 chữ số 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 vị trí của các chữ số trong dãy gọi là hàng. Cứ 10 đơn vị ở một hàng thì bằng 1 đơn vị ở hàng liền trước nó. Chẳng hạn, 10 chục thì bằng 1 trăm; 10 trăm thi bằng 1 nghìn;.... Mỗi số tự nhiên viết trong hệ thập phân đều biểu diễn được thành tổng giá trị các chữ số của nó. Ngoài cách ghi số trong hệ thập phân gồm các chữ số từ 0 đến 9 và các hàng (đơn vị, chục, trăm, nghìn,...) như trên, còn có cách ghi số La mã như sau: Chữ số I giá trị tương ứng trong hệ thập phân là 1 Chữ số V giá trị tương ứng trong hệ thập phân là 5 Chữ số X giá trị tương ứng trong hệ thập phân là 10 Ghép các chữ số I, V, X với nhau ta có thể được số mới. 2. Các dạng toán thường gặp. Dạng 1. Rèn kĩ năng viết tập hợp. Phương pháp: Dùng một chữ cái in hoa và dấu ngoặc nhọn ta có thể viết một tập hợp theo hai cách: Liệt kê các phần tử của tập hợp Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó Dạng 2: Sử dụng các kí hiệu ∈ và ∉ Phương pháp: Nắm vững ý nghĩa các kí hiệu ∈ và ∉. Kí hiệu ∈ đọc “là phần tử của” hoặc “thuộc” Kí hiệu ∉ đọc là “không phải là phần tử của” hoặc “không thuộc” Dạng 3: Viết tất cả các số có n chữ số từ n chữ số cho trước. Phương pháp: Giả sử từ ba chữ số a, b, c khác 0, ta viết các số có ba chữ số như sau: Chọn a là chữ số hàng trăm ta có: abc, acb; Chọn b là chữ số hàng trăm ta có: bac, bca; Chọn c là chữ số hàng trăm ta có: cab, cba. Vậy có tất cả 6 số có ba chữ số lập được từ ba chữ số khác 0: a, b, c Dạng 4: Bài toán liên quan đến cấu tạo số Phương pháp: Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 2 Website: tailieumontoan.com Phân tích cấu tạo của một số tự nhiên: ab = 10 × a + b , với a ≠ 0 abc= 100 × a + 10 × b + c, với a ≠ 0 Trong đó: ab là kí hiệu số tự nhiên có hai chữ số, hàng chục là a , hàng đơn vị là b. abc là kí hiệu số tự nhiên có ba chữ số, hàng trăm là a , hàng chục là b , hàng đơn vị là c. B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM I – MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT Câu 1. Người ta thường đặt tên tập hợp bằng A. Chữ cái thường B. Chữ cái in hoa C. Chữ số D. Chữ số La Mã. Câu 2. Cho tập hợp M = {1;3;5; 7;9} ta có : A. 3 ∉ M B. 4 ∈ M C. 3 ∈ M D. 2 ∈ M Câu 3. Lựa chọn cách đọc đúng cho kí hiệu a ∉ A là A. a thuộc A B. a không thuộc A. C. A thuộc a D. A không thuộc a Câu 4. Cách thường sử dụng để viết hoặc minh họa tập hợp là? Hãy Chọn đáp án đúng nhất. A. Liệt kê các phần tử của tập hợp B. Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp đó C. Cả A , B đều đúng D. Cả A , B đều sai Câu 5. Các phần tử của một tập hợp được viết trong hai dấu ngoặc A. { } B. [ ] C. ( ) D. III. MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU Câu 6. Cách viết đúng tập hợp A gồm các số tự nhiên nhỏ hơn 5 là A. A = {1; 2;3; 4;5} B. A = {0;1; 2;3; 4;5} C. A = {1; 2;3; 4} D. A = {0;1; 2;3; 4} Câu 7. Cách viết đúng tập hợp M các số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 6 và nhỏ hơn 10 được viết là A. M = {5; 6; 7;8;9} B. M = {5; 6; 7;8;9;10} C. M = {6; 7;8;9} D. M = {6; 7;8;9;10} Câu 8. { } x ∗ | x ≤ 4 viết dưới dạng liệt kê các phần Tập hợp A =∈ A. A = {0;1; 2;3; 4} B. A = {0;1; 2;3} C. A = {1; 2;3; 4} D. A = {1; 2;3} Câu 9. Tập hợp các chữ số của số 5200 là. Chọn đáp án đúng nhất A. {5; 2; 0; 0} B. {2;5} C. {2;5; 0} D. {2; 0;5; 0} III. MỨC ĐỘ VẬN DỤNG. Câu 10. Cho tập hợp A = {9;10;11;12;13;14}. Viết tập hợp A bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng là A. A = { x ∈ | 9 ≤ x ≤ 14} B. A = {x ∈ ∗ } | 9 < x ≤ 14 C. A = { x ∈ | 9 ≤ x < 14} D. A = { x ∈ | 8 < x ≤ 15} Câu 11. Tập hợp các chữ cái trong cụm từ “TOÁN HỌC” là A. {T ; O; A; N ; H ; O; C} B. {T ; O; A; N ; C} C. {T ; O; A; N ; H ; C} D. {T ; O; N ; H ; O; C} Câu 12. Cho các tập hợp : A = {2; 4; 6;10;12} , B = {0; 2; 4; 6;10;12}. C là tập hợp các số tự nhiên thuộc B mà không thuộc A. Hãy tìm phần tử thuộc tập hợp C. Chọn đáp án đúng trong các phương án sau. Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 3 Website: tailieumontoan.com A. 12 B. 0 C. 6 D. 10 Câu 13. Tìm x , biết x ∈ và x là số chẵn sao cho 12 < x ≤ 20 A. x ∈ {12;14;16;18} B. x ∈ {14;16;18;19} C. x ∈ {14;16;18; 20} D. x ∈ {14;16;18} Câu 14. Tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số mà tổng các chữ số bằng 6 là A. {15; 24;33; 42;51; 60} B. {15; 24;33; 42;51; 60; 65} C. {15;33; 42;51; 60} D. {15; 24; 42;51; 60} Câu 15. Gọi A là tập hợp các số tự nhiên khác 0, nhỏ hơn 30, chia hết cho 3. B là tập hợp các số tự nhiên khác 0, nhỏ hơn 30, chia hết cho 9. Hãy xác định tập hợp A ∩ B A. A ∩ B = {3;9;18} B. A ∩ B = {9;18; 21} {3;9;18; 27} C. A ∩ B = {9;18; 27} D. A ∩ B = IV. MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO. Câu 16. Có bao nhiêu số tự nhiên lớn hơn 10 và nhỏ hơn 100, khi hoán vị hai chữ số thì giá trị của nó tăng lên 9? A. 0 B. 1 C. 8 D. 9 Câu 17. Cho ba chữ số a, b, c khác nhau và khác 0. Gọi A là tập hợp số tự nhiên có ba chữ số lập bởi cả ba chữ số trên. Tập hợp A có bao nhiêu phần tử A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 Câu 18. Trong các số tự nhiên từ 1 đến 100, có bao nhiêu số chia hết cho 2 mà không chia hết cho 3 A. 30 B. 31 C. 33 D. 34 Câu 19. Trong các số tự nhiên có ba chữ số, có bao nhiêu số chia hết cho 5, có chứa chữ số 5 A. 106 B. 107 C. 108 D. 109 Câu 20. Trong các số tự nhiên có ba chữ số, có bao nhiêu số chia hết cho 3, không chứa chữ số 3 A. 215 B. 216 C. 217 D. 218 C. BÀI TẬP TỰ LUẬN. I - MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT. Bài 1. Viết tập A các số tự nhiên không vượt quá 6 bằng hai cách. Bài 2. Viết các tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử a) A = { x ∈ |12 < x < 16} b) B =∈ { x * | x < 5 } c) C = { x ∈ |13 ≤ x ≤ 16} Bài 3. Viết tập hợp M gồm các số tự nhiên lớn hơn 3 và nhỏ hơn 10 bằng 2 cách, sau đó điền ký hiệu ∈;∉ thích hợp vào ô trống: 4 M 10 M Bài 4. Gọi M là tập hợp các số tự nhiên lớn hơn 6 và nhỏ hơn 10. a) Thay thế “?” bằng dấu ∈ và ∉ : 5 ? M ; 9 ? M ; b) Mô tả tập hợp M bằng hai cách. Bài 5. { x ∈ | x ≥ 5} , số nào thuộc tập hợp Trong các số 3;5;8;9 , số nào thuộc tập hợp A = { x ∈ | x ≤ 5} B= II. MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU Bài 1. Cho A =∈ {x | 2x = 4}. Viết A = 2 có được không? Tại sao? Bài 2. Viết tập hợp các chữ cái trong cụm từ: a) “KHOA HỌC” b) “HỌC SINH GIỎI” Bài 3. Viết các tập hợp sau đây bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp. a) A = {1; 4; 7;10;13;16;19} Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 4 Website: tailieumontoan.com b) B = {1;8; 27; 64;125} Bài 4. Viết các số tự nhiên 4 chữ số được lập nên từ hai chữ số 0 và 1 mà trong đó mỗi chữ số xuất hiện 2 lần. Bài 5. Dùng ba chữ số 0;1; 2 hãy viết tất cả các số tự nhiên có ba chữ số mà các chữ số khác nhau. III - MỨC ĐỘ VẬN DỤNG. Bài 1. Cho tập hợp A = {3; 4;5; 6; 7;8;9;10}. Bằng cách liệt kê các phần tử hãy viết: a) Tập hợp B gồm các số là số liền trước mỗi số của tập hợp A. b) Tập hợp C gồm các số là số liền sau mỗi số của tập hợp A. Bài 2. Tìm các số tự nhiên a, b, c đồng thời thỏa mãn ba điều kiện a < b < c ,11 < a 82 Câu 11. Chọn đáp án Đúng? A. 52.53.54 = 510 B. 52.53 : 54 = 5 C. 53 : 5 = 5 D. 51 = 1 III – MỨC ĐỘ VẬN DỤNG Câu 12. Kết quả của phép nhân : 100.10.10.10 là A. 105 B. 106 C. 104 D. 107. Câu 13. (32 )6 có kết quả là A. 39 B. 318 C. 312 D. Kết quả khác. 5 Câu 14. 32 có kết quả là A. 310 B. 37 C. 332 D. 95 Câu 15. x 3 + 15 = 23 thì x có giá trị bằng A. 5 B. 3 C. 2 D. 8 Câu 16. 3n − 23 = 1 thì n bằng A. 3 B. 0 C. 2 D. 1 = Câu 17. Cho A 9= 15 ;B 329 kết quả so sánh nào là đúng? A. A > B B. A = B C. A < B D. Kết quả khác. Câu 18. Nếu 23x +1 = 16 thì giá trị của x là A. 1 B. 2 C. 3 D. 4. IV – MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO Câu 19. Viết tích 912.275 dưới dạng lũy thừa của 1 số. A. 24360 B. 360 C. 340 D. 339. Câu 20. Số tự nhiên x thỏa mãn điều kiện 100 < 52x −1 < 5 5 là A. x = 5 B. x = 4 C. x = 3 D. x = 2. Câu 21. Có bao nhiêu số tự nhiên x thỏa mãn 5 x < 90 ? A. 5 B. 3 C. 0 D. 1. Câu 22. Số tự nhiên x thỏa mãn (7.x − 11)3 = 52.25 + 200 là A. x = 0 B. x = 1 C. x = 3 D. x = 4. Câu 23. Tổng các số tự nhiên x thỏa mãn ( x − 4)5 =( x − 4) 4 bằng A. 9 B. 8 C. 7 D. 6. Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 40 Website: tailieumontoan.com C. BÀI TẬP TỰ LUẬN I – MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT Bài 1. Viết các tích sau dưới dạng lũy thừa của 1 số tự nhiên. a) 4. 4. 4. 4. 4 c) 2. 4. 8. 8. 8. 8 b) 10. 10. 10. 100 d) x. x. x. x Bài 2. Viết các tích sau dưới dạng lũy thừa của 1 số tự nhiên. a) a 4.a 6 b) (a 5 )7 c) (a 3 ) 4. a 9 d) (23 )5.(23 ) 4 Bài 3. Viết các tích sau dưới dạng một lũy thừa. a) 48.220 ; 912.275.814 ; 643.45.162 b) 2520.1254 ; x 7.x 4.x 3 ; 36.46 c) 84.23.162 ; 23.22.83 ; y.y 7 Bài 4. Tính giá trị các lũy thừa sau: a) 22 ; 23 ; 24 ; 25 ; 26 ; 27 ; 28 ; 29 ; 210. b) 32 ; 33 ; 34 ; 35 c) 42 ; 43 ; 44 d) 52 ; 53 ; 54. Bài 5. Viết các thương sau dưới dạng một lũy thừa. a) 49 : 44 ; 178 :175 ; 210 : 82 ; 1810 : 310 ; 275 : 813 b) 106 :100; 59 : 253 ; 410 : 643 ; 225 : 324 ; 184 : 94 II – MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU Bài 1. Viết các tổng sau thành một bình phương. a) 13 + 23 b) 13 + 23 + 33 c) 13 + 23 + 33 + 43 Bài 2. Tìm x ∈ , biết. a) 2 x = 16 b) 2 x.16 = 1024 c) 64.4 x = 168 d) 3x.3 = 243 Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 41 Website: tailieumontoan.com Bài 3. Thực hiện các phép tính sau bằng cách hợp lý. a) (217 + 17 2 ).(915 − 315 ).(24 − 42 ) b) (82017 − 82015 ) : (82014.8) c) (13 + 23 + 34 + 45 ).(13 + 23 + 33 + 43 ).(38 − 812 ) d) (28 + 83 ) : (25.23 ) Bài 4. Viết các kết quả sau dưới dạng một lũy thừa. a) 1255 : 253 b) 27 6 : 93 c) 420 : 215 d) 24n : 22n e) 644. 165 : 420 g) 324 : 86 Bài 5. Tìm x, biết. a) 2 x.4 = 128 b) (2.x + 1)3 = 125 c) 2 x − 26 = 6 d) 64.4 x = 45 e) 27.3x = 243 g) 49.7 x = 2401 h) 3x + 25= 26.22 + 2.30 III – MỨC ĐỘ VẬN DỤNG Bài 1. So sánh a) 26 và 82 ; 53 và 35 ; 32 và 23 ; 26 và 62 b) A = 2009.2011 và B = 20102 c) A = 2015.2017 và B = 20162 d) 20210 và 12021 Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 42 Website: tailieumontoan.com = Bài 2. Cho A 1 + 2 + 2 + 2 + … + 2 1 2 3 2021 a) Tính 2A b) Chứng minh: A = 22022 – 1 Bài 3. Cho A =1 + 3 +32 +33 +34 +35 +36 +37 a) Tính 3.A b) Chứng minh = A (38 − 1) : 2 Bài 4. Cho B =1 + 3 + 32 +... + 32021 a) Tính 3.B b) Chứng minh: B =(32022 -1 ) : 2 Bài 5. Cho C = 1 + 4 + 42 +43 +45 +46 a) Tính 4.C b) Chứng minh: = C (47 − 1) : 3 Bài 6. Thực hiện phép tính: a ) 23 − 53 : 52 + 12.22 b) 2.[(7 − 33 : 32 ) : 22 + 99] − 100 c) 32.[(52 − 3) :11] − 24 + 2.103 Bài 7. Tìm x , biết: a) 5.22 + ( x + 3) = 52 b) 23 + ( x − 32 ) = 53 − 43 c) 4.( x − 5) – 23 = 24.3 d) 5.( x + 7) – 10 = 23.5 IV. MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO Bài 1. Tính tổng a) S = 1 + 2 + 22 + 23 + … + 22022 b) S = 3 + 32 + 33 + …. +32022 c) S= 4 + 42 + 43 + … + 42022 Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 43 Website: tailieumontoan.com d) S= 5 + 5 + 5 + … + 5 2 3 2022 Bài 2. Tính tổng A = 12 + 22 + 32 +.... + 202 Bài 3. Tìm số tự nhiên x , biết rằng: a) 2 x + 2 x + 3 = 144 b) (x − 5) 2022 = (x − 5) 2021 c) (2.x + 1)3 = 9.81 Bài 4. Tìm tập hợp các số tự nhiên x , biết rằng lũy thừa 52x – 1 thỏa mãn điều kiện 100 25 C. 43 = 26 D. 43 > 82 Lời giải Chọn D Có 43 = 64 82 = 64 Mà 64=64 nên 43 = 82 Câu 11. Chọn đáp án Đúng A. 52.53.54 = 510 B. 52.53 : 54 = 5 C. 53 : 5 = 5 D. 51 = 1 Lời giải Chọn B 52.5= 3 : 54 52 += 3 : 54 5= 5 : 54 5 III – MỨC ĐỘ VẬN DỤNG Câu 12. Kết quả của phép nhân : 100.10.10.10 là A. 105 B. 106 C. 104 D. 107. Lời giải Chọn A 2 +1 +1 +1 = 102.10.10.10 100.10.10.10 = 10 = 105 Câu 13. (32 )6 có kết quả là A. 39 B. 318 C. 312 D. Kết quả khác Lời giải Chọn B (33= )6 3= 3.6 318 25 Câu 14. 3 có kết quả là A. 310 B. 37 C. 332 D. 95 Lời giải Chọn C Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 46 Website: tailieumontoan.com = 3 3= 3 25 2.2.2.2.2 32 Câu 15. x 3 + 15 = 23 thì x có giá trị bằng A. 5 B. 3 C. 2 D. 8 Lời giải Chọn C x 3 + 15 = 23 x= 3 23 − 15 x 3 = 8 ⇒ x 3 = 23 ⇒ x = 2 Câu 16. 3n − 23 = 1 thì n bằng A. 3 B. 0 C. 2 D. 1 Lời giải Chọn C 3n − 23 = 1 3n = 1 + 23 3n = 9 ⇒ 3n = 32 ⇒ n = 2 = Câu 17. Cho A 9= 15 ;B 329 kết quả so sánh nào là đúng? A. A > B B. A = B C. A < B D. Cả ba kết quả đều sai. Lời giải Chọn A = A 9= 15 330 > 329 ⇒A>B Câu 18. Nếu 23x +1 = 16 thì giá trị của x là A. 1 B. 2 C. 3 D. 4. Lời giải Chọn A 24 ⇒ 3x + 1 = 23x +1 = 16 ⇒ 23x +1 = 4 ⇒ 3x =4 − 1 ⇒ 3x = 3⇒x= 1 Câu 19. Viết tích 912.275 dưới dạng lũy thừa của 1 số là A. 24360 B. 360 C. 340 D. 339. Lời giải Chọn D 912= =.275 (32 )12.(3 ) 3= 3 5 24 15.3 339 Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 47 Website: tailieumontoan.com IV – MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO Câu 20. Số tự nhiên x thỏa mãn điều kiện 100 < 52x −1 < 5 5 là A. x = 5 B. x = 4 C. x = 3 D. x = 2. Lời giải Chọn D 100 < 52x −1 < 5 5 ⇒ 52 < 100 < 52x −1 < 55 ⇒ 2 < 2x − 1 < 5 ⇒ 3 < 2x < 6. Mà x ∈ nên x = 2 Câu 21. Có bao nhiêu số tự nhiên x thỏa mãn 5 x < 90 ? A. 5 B. 3 C. 0 D. 1. Lời giải Chọn B 5 x < 90 < 125 ⇒ 5 x < 53 ⇒ x < 3. Mà x ∈ nên x = 0;1;2 nên có 3 giá trị của x thỏa mãn Câu 22. Số tự nhiên x thỏa mãn (7.x − 11)3 = 52.25 + 200 là A. x = 0 B. x = 1 C. x = 3 D. x = 4. Lời giải Chọn C (7.x − 11)3 = 52.25 + 200 (7x − 11)3 = 1000 = 103 7x − 11 = 10 x=3 Câu 23. Tổng các số tự nhiên x thỏa mãn ( x − 4)5 =( x − 4) 4 bằng A. 9 B. 8 C. 7 D. 6. Lời giải Chọn C Do ( x − 4)5 =( x − 4) 4 nên x − 4 =0 hoặc x − 4 = 1 Vậy x = 4 hoặc x = 5. Suy ra tổng các giá trị của x là 5 + 4 =9 --------------- HẾT ----------------- C. ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUẬN I – MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT Bài 1. Viết các tích sau dưới dạng lũy thừa của 1 số tự nhiên. a) 4. 4. 4. 4. 4 c) 2. 4. 8. 8. 8. 8 b) 10. 10. 10. 100 d) x. x. x. x Lời giải Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 48 Website: tailieumontoan.com a) 4.4.4.4.4 = 4 5 b) 10.10.10.100 = 105 = 8.8.8.8.8 c) 2.4.8.8.8.8 = 8= 5 (23 )= 5 215 d) x.x.x.x = x 4 Bài 2. Viết các tích sau dưới dạng lũy thừa của 1 số tự nhiên. a) a 4.a 6 b) (a 5 )7 c) (a 3 ) 4. a 9 d) (23 )5.(23 ) 4 Lời giải a) a 4.a 6 = a10 b) (b5= )7 b= 5.7 b35 12 + 9 c) (a 3 ) 4 =. a 9 a 3.4=.a 9 a12=.a 9 a= a 21 15 +12 = d) (23 )5.(2 ) 23.5= 3 4.23.4 215=.212 2= 227 Bài 3. Viết các tích sau dưới dạng một lũy thừa. a) 48.220 ; 912.275.814 ; 643.45.162 b) 2520.1254 ; x 7.x 4.x 3 ; 36.46 c) 84.23.162 ; 23.22.83 ; y.y 7 Lời giải a) 4= 8 20.2 (22 = )8.220 2= 16 20.2 236 ; 24 +15 +16 = 912.27 5.814 (32 )12.(33 )5=.(34 ) 4 324=.315.316 3= 355 643=.45.162 (26 )3.(22= )5.(24 ) 2 2= 18 10 8.2.2 236 40 +12 = b) 2520.125 4 = (52 ) 20.(5 ) 540= 3 4.512 5= 552 7+ 4+3 = x 7.x.x x= 4 3 x14 = = 36.46 (3.4) 6 126 12 + 3 + 8 c) 84.2= 3 =.162 (23 ) 4.23.(2 ) 212= 4 2.23.28 2= 223 2=.2.8 2= 3 2 3 3 2 9.2.2 214 1+ 7 = y.y 7 y= y8 Bài 4. Tính giá trị các lũy thừa sau: a) 22 ; 23 ; 24 ; 25 ; 26 ; 27 ; 28 ; 29 ; 210. b) 32 ; 33 ; 34 ; 35 Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 49 Website: tailieumontoan.com 2 3 4 c) 4 ; 4 ; 4 d) 52 ; 53 ; 54. Lời giải a) = = 4. 22 2.2 23 =2.2.2=8 24 =2.2.2.2=16 25 =2.2.2.2.2=32 26 =2.2.2.2.2.2=64 27 =2.2.2.2.2.2.2=128 28 =2.2.2.2.2.2.2.2=256 29 =2.2.2.2.2.2.2.2.2=512 = = 1024 210 2.2.2.2.2.2.2.2.2.2 b) 32 =3.3=9 33 =3.3.3=27 34 =3.3.3.3=81 = = 243 35 3.3.3.3.3 c) = = 16 42 4.4 43 =4.4.4=64 = = 256 44 4.4.4.4 d) 52 =5.5=25. 53 =5.5.5=125 = = 625 54 5.5.5.5 Bài 5. Viết các thương sau dưới dạng một lũy thừa. a) 49 : 44 ; 178 :175 ; 210 : 82 ; 1810 : 310 ; 275 : 813 b) 106 :100; 59 : 253 ; 410 : 643 ; 225 : 324 ; 184 : 94 Lời giải a) 49 : 44 =49 − 4 =45 =210 178 :175 =178 − 5 =173 210 : 82 =210 :(23 ) 2 =210 :26 =210 − 6 =24 1810 : 310 =(18:3)10 =610 Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 50 Website: tailieumontoan.com 15 −12 27 := 5 3 = 81 (3 ) : (3 ) 3 = 3 5 :3 3= 3 4 3 15 12 3 b) 106 :100 = 106 :102 =106 − 2 =104 59 : 253 =59 :(52 )3 =59 :56 =59 − 6 =53 410 : 643 =410 :(43 )3 =410 :49 =410 − 9 =4=22 225 : 324 =225 :(25 ) 4 =225 :220 =225 − 20 =25 = 18 4 = : 94 (18 : 9) 4 24 II – MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU Bài 1. Viết các tổng sau thành một bình phương. a) 13 + 23 b) 13 + 23 + 33 c) 13 + 23 + 33 + 43 Lời giải a) 13 + 23 =1 + 8 = 9 = 32 b) 13 + 23 + 33 = 1 + 8 + 27 = 36 = 62 c) 13 + 23 + 33 + 43 = 1 + 8 + 27 + 64 = 100 = 102 Bài 2. Tìm x ∈ , biết. a) 2 x = 16 b) 2 x.16 = 1024 c) 64.4 x = 168 d) 3x.3 = 243 Lời giải a) 2 x = 16 2 x = 24 x=4 Vậy x = 4 b) 2 x.16 = 1024 2 x.24 = 210 2 x + 4 = 210 x+4= 10 = x 10 − 4 Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 51 Website: tailieumontoan.com x=6 Vậy x = 6 c) 64.4 x = 168 43.4 x = 42.8 ⇒ 43+ x = 416 ⇒ 3 + x = 16 x = 16 − 3 ⇒ x = 13 Vậy x = 13 d) 3x.3 = 243 3x +1 = 35 x +1 =5 x = 5 −1 ⇒ x = 4 Vậy x = 4 Bài 3. Thực hiện các phép tính sau bằng cách hợp lý. a) (217 + 17 2 ).(915 − 315 ).(24 − 42 ) b) (82017 − 82015 ) : (82014.8) c) (13 + 23 + 34 + 45 ).(13 + 23 + 33 + 43 ).(38 − 812 ) d) (28 + 83 ) : (25.23 ) Lời giải a) (217 + 17 2 ).(915 − 315 ).(24 − 42 ) =+ (217 17 2 ).(915 − 315 ).(16 − 16) =+ (217 17 2 ).(915 − 315 ).0 = 0 b) (82017 − 82015 ) : (82014.8) = 82015.(82 − 1) : 82015 = 64 − 1= 63 c) (13 + 23 + 34 + 45 ).(13 + 23 + 33 + 43 ).(38 − 812 ) = (13 + 23 + 34 + 45 ).(13 + 23 + 33 + 43 ).(38 − 34.2 ) = (13 + 23 + 34 + 45 ).(13 + 23 + 33 + 43 ).(38 − 38 ) = (13 + 23 + 34 + 45 ).(13 + 23 + 33 + 43 ).0 = 0 d) (28 + 83 ) : (25.23 ) =(28 + 29 ) : 28 = 28.(1 + 2) : 28 =1 + 2 =3 Bài 4. Viết các kết quả sau dưới dạng một lũy thừa. a) 1255 : 253 Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 52 Website: tailieumontoan.com 6 3 b) 27 : 9 c) 420 : 215 d) 24n : 22n e) 644. 165 : 420 g) 324 : 86 Lời giải 15 − 6 a ) 1255 : = 253 (53 )5 : (5=) 515 = 2 3 : 56 5= 59 b) 27 6= : 93 (33 )6 := (32 )3 3= 18 : 36 312 c) 420= : 215 (22 )= 20 : 215 2= 40 : 215 225 d) 24n= : 22n 24n = : (22 ) n 2= 4n : 4n (2= 4 : 4) n 6n e) 644. 16= 5 : 420 (26 ) 4.(24 )5 := (22 ) 20 224.2= 20 : 240 2= 44 : 240 24 g) 32= 4 : 86 (25 ) 4 = : (23 )6 2= 20 : 218 22 Bài 5. Tìm x , biết. a) 2 x.4 = 128 b) (2.x + 1)3 = 125 c) 2 x − 26 = 6 d) 64.4 x = 45 e) 27.3x = 243 g) 49.7 x = 2401 h) 3x + 25= 26.22 + 2.30 Lời giải a) 2 x.4 = 128 2 x = 128 : 4 2 x = 32 2 x = 25 ⇒ x = 5 Vậy x = 5 Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 53 Website: tailieumontoan.com b) (2.x + 1) = 125 3 (2.x + 1)3 = 53 2.x + 1 =5 2.x = 5 − 1 ⇒ 2.x = 4 x= 4 : 2 ⇒ x= 2 Vậy x = 2 c) 2 x − 26 = 6 2 x = 26 + 6 ⇒ 2 x = 32 2 x = 25 ⇒ x = 5 Vậy x = 5 d) 64.4 x = 45 4= x 45 : 64 ⇒ 4= x 45 : 43 4 x = 42 ⇒ x = 2 Vậy x = 2 e) 27.3x = 243 3x = 243 : 27 3x = 9 3x = 32 ⇒ x = 2 Vậy x = 2 g) 49.7 x = 2401 7 x = 2401: 49 7 x = 49 7x = 72 ⇒ x = 2 Vậy x = 2 h) 3x + 25= 26.22 + 2.30 3x + 25= 26.4 + 2.1 3x= 104 + 2 − 25 3x = 81 ⇒ 3x = 34 ⇒ x = 4 Vậy x = 4 Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 54 Website: tailieumontoan.com III – MỨC ĐỘ VẬN DỤNG Bài 1. So sánh a) 26 và 82 ; 53 và 35 ; 32 và 23 ; 26 và 62 b) A = 2009.2011 và B = 20102 c) A = 2015.2017 và B = 20162 d) 20210 và 12021 Lời giải a)= = 64 và 8= Ta có 26 2.2.2.2.2.2 2 = 64. Vậy 26 = 82 8.8 Ta có 53 = 125 và 35 = 243 , mà 125 < 243 nên 53 < 35 Ta có 32 = 9 và 23 = 8 , mà 9 > 8 nên 32 > 23 Ta có 26 = 64 và 62 = 36 mà 64 > 36 nên 26 > 62 b) Ta có B =20102 =2010.2010 =(2009 + 1).2010 =2009.2010 + 2010 = 2009.(2011 − 1) = + 2010 2009.2011 − 2009 + 2010 = 2009.2011 + 1 = A + 1 > A Vậy B > A c) Ta có B =20162 =2016.2016 =(2015 + 1).2016 =2015.2016 + 2016 = 2015(2017 − 1) = + 2016 2015.2017 − 2015 + 2016 = 2015.2017 + 1 = A + 1 > A Vậy B > A d) Ta có 20210 = 1 và 12021 = 1. Vậy 20210 = 12021 Bài 2. Cho A 1 + 21 + 22 + 23 + … + 22021 = a) Tính 2A b) Chứng minh: A = 22022 – 1 Lời giải a) Ta có =A 1 + 21 + 22 + 23 + … + 22021 ⇒ 2.A = 2.(1 + 21 + 22 + 23 + … + 22021 ) = 2 + 22 + 23 + 24 + … + 22022 Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 55 Website: tailieumontoan.com b) Ta có 2=.A − A 2 + 22 + 23 + 24 + … + 22022 − (1 + 21 + 22 + 23 + … + 22021 ) ⇒ A 2 + 22 + 23 + 24 + … + 22022 − 1 − 21 − 22 − 23 − … − 22021 = = 22022 − 1 Vậy A = 22022 – 1 Bài 3. Cho A =1 + 3 +32 +33 +34 +35 +36 +37 a) Tính 3.A b) Chứng minh = A (38 − 1) : 2 Lời giải a) Ta có A =1 + 3 +32 +33 +34 +35 +36 +37 ⇒ 3.A =3.(1 + 3 +32 +33 +34 +35 +36 +37 ) =3 + 32 + 33 +34 +35 +36 +37 + 38 b) Ta có 3.A − A = 3 + 32 + 33 +34 +35 +36 +37 + 38 − (1 + 3 + 32 + 33 +34 +35 +36 +37 ) ⇒ = 2.A 3 + 32 + 33 +34 +35 +36 +37 + 38 − 1 − 3 − 32 − 33 −34 −35 −36 −37 = 38 − 1 ⇒ A = (38 − 1) : 2 Vậy = A (38 − 1) : 2 Bài 4. Cho B =1 + 3 + 32 +... + 32021 a) Tính 3B b) Chứng minh: B =(32022 -1 ) : 2 Lời giải a) Ta có B =1 + 3 + 32 +... + 32021 ⇒ 3.B = 3.(1 + 3 + 32 +... + 32021 ) ⇒ 3.B = 3 + 32 + 33 +... + 32022 b) Ta có 3.B − B = 3 + 32 + 33 +... + 32022 − (1 + 3 + 32 +... + 32021 ) ⇒ 2.B = 3 + 32 + 33 +... + 32022 − 1 − 3 − 32 −... − 32021 = 32022 − 1 ⇒B = (32022 − 1) : 2 Vậy B =(32022 -1 ) : 2 Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 56 Website: tailieumontoan.com Bài 5. Cho C =1 + 4 + 4 +4 + 4 + 4 +4 2 3 4 5 6 a) Tính 4.C b) Chứng minh: = C (47 − 1) : 3 Lời giải a) Ta có C= 1 +4 + 42 +43 +44 + 45 +46 ⇒ 4.C = 4.(1 + 4 + 42 +43 +44 + 45 +46 ) 4 + 42 +43 +44 + 45 +46 + 47 b) Ta có 4.C − C = 4 + 42 +43 +44 + 45 +46 + 47 − 1 − 4 − 42 − 43 −44 − 45 −46 ⇒ 3.C =47 − 1 ⇒ C = (47 − 1) : 3 Vây = C (47 − 1) : 3 Bài 6. Thực hiện phép tính: a ) 23 − 53 : 52 + 12.22 b) 2.[(7 − 33 : 32 ) : 22 + 99] − 100 c) 32.[(52 − 3) :11] − 24 + 2.103 Lời giải a ) 23 − 53 : 52 + 12.22 = 8 − 5 + 12.4 = 8 − 5 + 48 =3+48=51 b) 2.[(7 − 33 : 32 ) : 22 + 99] − 100 = 2.[(7 − 3) : 4 + 99] − 100 = 2.[4 : 4 + 99] − 100 = 2.100 − 100 = 200 − 100 = 100 c) 32.[(52 − 3) :11] − 24 + 2.103 = 9.[(25 − 3) :11] − 16 + 2.1000 = 9.[22 :11] − 16 + 2000 = 9.2 − 16 + 2000 = 18 − 16 + 2000 = 2002 Bài 7. Tìm x , biết: a) 5.22 + ( x + 3) = 52 b) 23 + ( x − 32 ) = 53 − 43 c) 4.( x − 5) – 23 = 24.3 d) 5.( x + 7) – 10 = 23.5 Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 57 Website: tailieumontoan.com Lời giải a) 5.22 + ( x + 3) = 52 5.4 + ( x + 3) = 25 20 + ( x + 3) = 25 x + 3 = 25 − 20 x+3=5 x= 5 − 3 x=2 Vậy x = 2 b) 23 + ( x − 32 ) = 53 − 43 8 + ( x − 9) = 125 − 64 8 + ( x − 9) = 61 x − 9 = 61 − 8 x−9 =53 = x 53 + 9 x = 62 Vậy x = 62 c) 4.( x − 5) – 23 = 24.3 4.( x − 5) – 8 = 48 4.( x − 5) = 48 + 8 4.( x − 5) = 56 x−5=56 : 4 = x 14 + 5 x = 19 Vậy x = 19 d) 5.( x + 7) – 10 = 23.5 Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 58 Website: tailieumontoan.com 5.( x + 7) – 10 = 40 5.( x + 7) = 40 + 10 5.( x + 7) = 50 x+7=50 : 5 x+7= 10 = x 10 − 7 x=3 Vậy x = 3 IV. MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO Bài 1. Tính tổng a) S = 1 + 2 + 22 + 23 + … + 22022 b) S = 3 + 32 + 33 + …. +32022 c) S= 4 + 42 + 43 + … + 42022 d) S= 5 + 52 + 53 + … + 52022 Lời giải a) Ta có S = 1 + 2 + 22 + 23 + … + 22022 =⇒ 2.S 2 + 22 + 23 + … + 22022 + 22023 ⇒ 2.S − S 2 + 22 + 23 + … + 22022 + 22023 − (1 + 2 + 22 + 23 + … + 22022 ) = =⇒ S 2 + 22 + 23 + … + 22022 + 22023 − 1 − 2 −= 22 − 23 −… − 22022 22023 − 1 = Vậy S 22023 − 1 b) Ta có S = 3 + 32 + 33 + …. +32022 =.(3 + 32 + 33 + …. +32022 ) 32 + 33 + …. +32022 + 32023 ⇒ 3.S 3= ⇒ 3.S − S 32 + 33 + …. +32022 + 32023 − (3 + 32 + 33 + …. +32022 ) = ⇒ 2.S 32 + 33 + …. +32022 + 32023 − 3 − 32 − 33 − …. −32022 = 32023 − 3 ⇒= S (32023 − 3) : 2 = Vậy S (32023 − 3) : 2 Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 59 Website: tailieumontoan.com c) Ta có S= 4 + 42 + 43 + … + 42022 =⇒ 4.S 42 + 43 + … + 42022 + 42023 ⇒ 4.S − S =42 + 43 + … + 42022 + 42023 − (4 + 42 + 43 + … + 42022 ) 3.S 42 + 43 + … + 42022 + 42023 − 4 − 42 − 43 − … − 42022 = ⇒= 42023 − 4 ⇒= S (42023 − 4) : 3 = Vậy S (42023 − 4) : 3 d) Ta có S= 5 + 52 + 53 + … + 52022 =⇒ 5.S 52 + 53 + … + 52022 + 52023 ⇒ 5.S − S =52 + 53 + … + 52022 + 52023 − (5 + 52 + 53 + … + 52022 ) ⇒ 4.S = 52023 − 5 ⇒= S (52023 − 5) : 4 = Vậy S (52023 − 5) : 4 Bài 2. Tính tổng A = 12 + 22 + 32 +.... + 202 Lời giải Ta có A = 1 + 1.2 + 2 + 2.3 + 3 + … + ( 20 – 1).20 + 20 A= [1.2 + 2.3 + 3.4 +... + (20 − 1).20] + (1 + 2 + 3 +... + 20) = (20 − 1).20.(20 + 1) : 3 + (20 + 1).20 : 2 ⇒A= 2870 Bài 3. Tìm số tự nhiên x, biết rằng: a) 2 x + 2 x + 3 = 144 b) (x − 5) 2022 = (x − 5) 2021 c) (2.x + 1)3 = 9.81 Lời giải a) Ta có 2x + 2x + 3 = 144 2 x + 2 x.23 = 144 2 x.(1 + 23 ) = 144 2 x = 144 : 9 Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 60 Website: tailieumontoan.com 2 = 16 x 2 x = 24 ⇒ x = 4 Vậy x = 4 b) Ta có (x − 5) 2022 = (x − 5) 2021 (x − 5) 2022 − (x − 5) 2021 = 0 (x − 5) 2021 (x − 5 − 1) =0 (x − 5) 2021 = 0 ⇒ x − 5 − 1 = 0 x − 5 =0 ⇒ x − 6 =0 x = 5 ⇒ x = 6 Vậy x = 5 hoặc x = 6 c) Ta có (2.x + 1)3 = 9.81 (2.x + 1)3 = 93 2.x + 1 =9 2.x= 9 − 1 2.x = 8 ⇒ x = 4 Vậy x = 4 Bài 4. Tìm tập hợp các số tự nhiên x, biết rằng lũy thừa 52x – 1 thỏa mãn điều kiện 100 200015 = (24.53 )15 = 260.545 Mà 260.540 < 260.545. Vậy 200315 > 19920 c) Ta có 1121 < 27 21 =(33 ) 21 =363 < 399 Vậy 1121 < 399 Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 62 Website: tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỀ 4: TÍNH CHẤT CHIA HẾT VÀ DẤU HIỆU CHIA HẾT A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Tính chất chia hết của một tổng (hiệu). * Tính chất 1: Nếu a m và b m thì ( a + b ) m , ( a − b ) m;(a ≥ b) * Tính chất 2: Nếu a m và b / m thì ( a + b ) / m , ( a − b ) / m;(a ≥ b) * Tính chất 3: Nếu a m thì k.a m(k ∈ N ) * Tính chất 4: Nếu a m và b m thì a.b m.n Đặc biệt: Nếu a m thì a n m n (n ∈ N * ) Mở rộng: * Nếu a m và b m thì ( k.a + l.b ) m(k , l ∈ N ) * Nếu a m và ( a + b ) m thì b m * Nếu a m và ( a + b ) / m thì b / m 2. Dấu hiệu chia hết cho 2; 3; 5; 9 * a 2 khi và chỉ khi a có chữ số tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8. * a 5 khi và chỉ khi a có chữ số tận cùng là 0; 5. * a 3 khi và chỉ khi tổng các chữ số của a chia hết cho 3. * a 9 khi và chỉ khi tổng các chữ số của a chia hết cho 9. Mở rộng: * Nếu a 4 hoặc a 25 khi và chỉ khi hai chữ số tận cùng của tạo thành một số chia hết cho 4 hoặc 25 * Nếu a8 hoặc a125 khi và chỉ khi ba chữ số tận cùng của tạo thành một số chia hết cho 8 hoặc 125 * Nếu a11 khi và chỉ khi tổng các chữ số hàng lẻ của a trừ đi tổng các chữ số hàng chẵn của a ( hoặc ngược lại ) chia hết cho 11. Ví dụ: Số 908347 11 vì ( 9 + 8 + 4 ) − ( 0 + 3 + 7 ) =1111 3. Các dạng toán thường gặp. Dạng 1: Nhận biết một số chia hết cho 2; 3; 5; 9 Phương pháp: * Dấu hiệu chia hết cho 2; 3; 5; 9 * Tính chất chia hết của một tổng, tích, hiệu. * Lưu ý: Một số chia hết cho 9 thì chia hết cho 3 nhưng một số chia hết cho 3 chưa chắc đã chia hết cho 9. Dạng 2: Tìm điều kiện cho quan hệ chia hết, chia có dư Phương pháp: Áp dụng các dấu hiệu chia hết cho 2; 3; 5; 9 Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 63 Website: tailieumontoan.com Dạng 3: Chứng minh quan hệ chia hết Phương pháp: -Áp dụng các dấu hiệu chia hết cho 2; 3; 5; 9 - Dấu hiệu chia hết cho cả 2 và 5 ; chia hết cho cả 3 và 9 B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM I – MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT Câu 1. Chọn câu trả lời đúng. Trong các số 2055; 6430; 5041; 2341; 2305 A. Các số chia hết cho 5 là 2055; 6430; 2341 B. Các số chia hết cho 3 là 2055 và 6430. C. Các số chia hết cho 5 là 2055; 6430; 2305. D. Không có số nào chia hết cho 3. Câu 2. Chọn khẳng định Đúng trong các khẳng định sau: A. 4 + 16 chia hết cho 4; B. 16 + 17 chia hết cho 8 C. 36 + 34 chia hết cho 6; D. 30 + 1 chia hết cho 3 Câu 3. Xét xem tổng B = 25 + 35 + 10 - 5 chia hết cho số nào? A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 Câu 4. Cho tổng C = 16 + 20 + 28 không chia hết cho số nào? A. 4 B. 6 C. 8 D.2 Câu 5. Trong các tổng sau, tổng nào chia hết cho 7 A. 14 + 35 B. 21 + 15 C. 17 + 49 D. 70 + 27 II – MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU Câu 6. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây: A. Những số chia hết cho 9 thì chia hết cho 3 B. Những số chia hết cho 3 thì chia hết cho 9 C. Những số có chữ số tận cùng là 3 thì chia hết cho 3 D. Những số có chữ số tận cùng là 3 hoặc 9 thì chia hết cho 9 Câu 7. Hãy chọn câu sai A. Một số chia hết cho 9 thì số đó chia hết cho 3 B. Một số chia hết cho 3 thì số đó chia hết cho 9. C. Một số chia hết cho 10 thì số đó chia hết cho 5 D. Một số chia hết cho 45 thì số đó chia hết cho 9 Câu 8. Tổng chia hết cho 5 là A. 10 + 25 + 34 + 2000 B. 5 + 10 + 70 + 1995 C. 25 + 15 + 33 + 45 D. 12 + 25 + 2000 + 1997 Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 64 Website: tailieumontoan.com Câu 9. Từ 3 trong 4 sô 5; 6; 3; 0, hãy ghép thành số có 3 chữ số khác nhau là số nhỏ nhất chia hết cho 2 và 5. A. 350 B. 530 C. 360 D. 560 Câu 10. Xét xem tổng hiệu sau có chia hết cho 6 không? A. 60 + 18 + 3 B. 600 - 15 C. 30 + 54+132 D. 126 + 48 - 20 III – MỨC ĐỘ VẬN DỤNG Câu 11. Tìm giá trị của * để 4*7 chia hết cho 9 A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 Câu 12. Tìm hai số tự nhiên a, b sao cho a3b chia hết cho 2, 3, 5, 9? A. a = b =0 B. a = 6; b = 5 C. a = 3; b = 0 D. a = 6; b = 0 Câu 13. Từ 1 đến 100 có bao nhiêu số chia hết cho 3? A. 30 số B. 31 số C. 32 số D. 33 số Câu 14. Chọn khẳng định Đúng nhất trong các khẳng định sau: Nếu a 6 và b 6 thì tổng a + b chia hết cho: A. 6 B. 2 C. 3 D. cả 2; 3; 6 Câu 15. Nếu a không chia hết cho 2 và b chia hết cho 2 thì tổng a + b. Chọn đáp án đúng A. Chia hết cho 2 B. Không chia hết cho 2 C. Có tận cùng là chữ số 2. D. Có tận cùng là 1; 3; 5; 7; 9 IV. MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO Câu 16. Cho A = 12 + 15 + 36 + x , x ∈ N. Tìm điều kiện của x để A không chia hết cho 9. A. x chia hết cho 9 B. x không chia hết cho 9 C. x chia hết cho 4 D. x chia hết cho 3 Câu 17. Tìm số tự nhiên x để A = 75 + 1003 + x chia hết cho 5 A. x 5 B. x chia cho 5 dư 1 C. x chia cho 5 dư 2 D. x chia cho 5 dư 3 Câu 18. Cho số A = a 785b. Tìm tổng các chữ số a,b sao cho A chia 9 dư 2 A. ( a + b ) ∈ {9;18} B. a + b ∈ {0;9;18} Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 65 Website: tailieumontoan.com C. a + b ∈ {1; 2;3} D. a + b ∈ {4;5;6} Câu 19. Cho số N = 3a 74b chia hết cho 5 và 9 nhưng không chia hết cho 2. Khi đó a - b là: A. 0 B. 3 C. -3 D. 1 Câu 20. Viết các số tự nhiên liên tiếp từ 10 đến 99 ta được số A. Hỏi A có chia hết cho 9 không. A. Chia hết B. Không chia hết. C. BÀI TẬP TỰ LUẬN I – MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT Câu 1. Trong các số sau, số nào chia hết cho 2, số nào chia hết cho 5: 483; 572; 330; 615; 298 Câu 2. Trong các số sau: 120; 235; 476; 250; 423; 261; 735; 122; 357 a) Số nào chia hết cho 2. b) Số nào chia hết cho 5. c) Số nào chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 5. d) Số nào chia hết cho cả 2 và 5. Câu 3. Trong các số sau: 372; 261; 4262;7372;5426;65426;7371. a) Số nào chia hếtcho 3. b) Số nào chia hết cho 9. c) Số nào chia hết cho cả 3 và 9. Câu 4. Xét xem tổng hiệu sau có chia hết cho 6 không? a) 30 + 54 b) 600 - 15 c) 60 + 18 + 3 d) 126 + 48 - 20 Câu 5. Không làm tính, xét xem tổng sau có chia hết cho 12 không? Vì sao? a) 120 + 36 b) 120a + 36b ( với a ; b ∈ N ) II – MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU Câu 6. Cho số= A 200 ∗ , thay dấu * bởi chữ số nào để: a/ A chia hết cho 2 b/ A chia hết cho 5 c/ A chia hết cho 2 và cho 5 Câu 7. = 20 ∗ 5 , thay dấu * bởi chữ số nào để: Cho số B a/ B chia hết cho 2 Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 66 Website: tailieumontoan.com b/ B chia hết cho 5 c/ B chia hết cho 2 và cho 5 Câu 8. Thay mỗi chữ bằng một số để: a) 972 + 200a chia hết cho 9. b) 3036 + 52a 2a chia hết cho 3 Câu 9. Điền vào dẫu * một chữ số để được một số chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 a) 2002* b) *9984 Câu 10. Khi chia số tự nhiên a cho 36 ta được số dư 12. Hỏi a có chia hết cho 4 ; cho 9 không vì sao ? III – MỨC ĐỘ VẬN DỤNG. Câu 11. Tìm các chữ số a và b biết rằng: a) 25a 2b 36 b) a378b 72 Câu 12. Chứng minh rằng: a. Tích của 2 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2. b. Tích của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6. Câu 13. Chứng tỏ rằng tổng ab+ba chia hết cho 11 Câu 14. Chứng tỏ rằng: ab - ba chia hết cho 9 ( Với b > a ) Câu 15. Chứng tỏ rằng: A =1 + 4 + 42 + 43 +... + 42012 chia hết cho 21 IV. MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO Câu 16. Chứng tỏ rằng: a) 6100 - 1 chia hết cho 5. b) 2120 - 1110 chia hết cho 2 và 5 Câu 17. a) Chứng minh rằng số aaa chia hết cho 3. b) Tìm những giá trị của a để số aaa chia hết cho 9 Câu 18. Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n thì tích (n + 3)(n + 6) chia hết cho 2. Câu 19. Tìm số tự nhiên n sao cho: a) ( n + 12 ) n b) (15 − 4n ) n ( với n < 4 ) Câu 20. Tìm số tự nhiên n sao cho: a) ( n+13 ) ( n-5 ) ( với n > 5 ) b) ( 15-2n ) ( n+1) ( Với n ≤ 7) Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 67 Website: tailieumontoan.com c) ( 6n+9 ) ( 4n-1) ( với n ≥ 1 ) D. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM BẢNG ĐÁP ÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C A D B A A B B A C C D D D B B C A B A HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT I – MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT Câu 1. Chọn câu trả lời đúng. Trong các số 2055; 6430; 5041; 2341; 2305 A. Các số chia hết cho 5 là 2055; 6430; 2341 B. Các số chia hết cho 3 là 2055 và 6430. C. Các số chia hết cho 5 là 2055; 6430; 2305. D. Không có số nào chia hết cho 3. Lời giải: Chọn C. Câu A sai vì có số 2341 không chia hết cho 5 Câu B sai vì có số 6430 không chia hết cho 3 Câu D sai vì trong các đáp án trên đều có số 2055 chia hết cho 3 Câu 2. Chọn khẳng định Đúng trong các khẳng định sau: A. 4 + 16 chia hết cho 4; B. 16 + 17 chia hết cho 8 C. 36 + 34 chia hết cho 6; D. 30 + 1 chia hết cho 3 Lời giải Chọn A Vì 4 4 và 16 4 nên 4+16 4 Câu 3. Xét xem tổng B = 25 + 35 + 10 - 5 chia hết cho số nào? A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 Lời giải Chọn D Vì tất cả các số hạng của tổng đều chia hết cho 5; B = 65 không chia hết cho2; 3;4 Câu 4. Cho tổng C = 16 + 20 + 28 không chia hết cho số nào? A. 4 B. 6 C. 8 D.2 Lời giải Chọn B Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 68 Website: tailieumontoan.com Vì tổng C = 64 không chia hết cho 6 Câu 5. Trong các tổng sau, tổng nào chia hết cho 7 A. 14 + 35 B. 21 + 15 C. 17 + 49 D. 70 + 27 Lời giải Chọn A Vì A đều có các số hạng chia hết cho 7 II – MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU Câu 6. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây: A. Những số chia hết cho 9 thì chia hết cho 3 B. Những số chia hết cho 3 thì chia hết cho 9 C. Những số có chữ số tận cùng là 3 thì chia hết cho 3 D. Những số có chữ số tận cùng là 3 hoặc 9 thì chia hết cho 9 Lời giải Chọn A. Vì 9 chia hết cho 3 nên số chia hết cho 9 thì chia hết cho 3 Câu 7. Hãy chọn câu sai A. Một số chia hết cho 9 thì số đó chia hết cho 3 B. Một số chia hết cho 3 thì số đó chia hết cho 9. C. Một số chia hết cho 10 thì số đó chia hết cho 5 D. Một số chia hết cho 45 thì số đó chia hết cho 9 Lời giải Chọn B. Câu B sai vì: Một số chia hết cho 3 thì chưa chắc đã chia hết cho 9. Ví dụ 3 chia hết cho 3 nhưng 3 không chia hết cho 9. Chọn đáp án B. Câu 8. Tổng chia hết cho 5 là A. 10 + 25 + 34 + 2000 B. 5 + 10 + 70 + 1995 C. 25 + 15 + 33 + 45 D. 12 + 25 + 2000 + 1997 Lời giải Chọn B. Ta có: 5 5; 10 5; 70 5; 1995 5 ⇒ (5 + 10 + 70 + 1995) 5 Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 69 Website: tailieumontoan.com Câu 9. Từ 3 trong 4 sô 5; 6; 3; 0, hãy ghép thành số có 3 chữ số khác nhau là số nhỏ nhất chia hết cho 2 và 5. A. 350 B. 530 C. 360 D. 560 Lời giải Chọn A. Số chia hết cho 2 và 5 có tận cùng là 0 nên chữ số hàng đơn vị của các số này là 0. Từ đó ta lập được các số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 2 và 5 là: 560; 530; 650; 630; 350; 360. Số nhỏ nhất trong các số trên là 350. Vậy số cần tìm là 350. Câu 10. Xét xem tổng hiệu sau có chia hết cho 6 không? A. 60 + 18 + 3 B. 600 - 15 C. 30 + 54+132 D. 126 + 48 - 20 Lời giải Chọn C Vì C đều có các số hạng chia hết cho 6 III – MỨC ĐỘ VẬN DỤNG Câu 11. Tìm giá trị của * để 4*7 chia hết cho 9 A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 Lời giải Chọn C. Ta có * ∈ {0;1;...;9} 4*7 9 ⇔ (4 + * + 7) 9 ⇒ 11 + * 9 mà * ∈ {0;1;...;9} => * = 7 Câu 12. Tìm hai số tự nhiên a, b sao cho a3b chia hết cho 2, 3, 5, 9? A. a = b =0 B. a = 6; b = 5 C. a = 3; b = 0 D. a= 6; b =0 Lời giải Chọn D. Ta có a; b ∈ {0;1;...;9} ; a ≠ 0 , a3b 2;5 ⇒ b =0 a30 3;9 ⇔ ( a + 3 + 0 ) 9 ⇒ ( a + 3) 9 ⇒ a =6 Vậy với a = 6 ; b = 0 thì a3b chia hết cho 2, 3, 5, 9? Câu 13. Từ 1 đến 100 có bao nhiêu số chia hết cho 3? Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 70 Website: tailieumontoan.com A. 30 số B. 31 số C. 32 số D. 33 số Lời giải Chọn D. Từ 1 đến 100 có các số chia hết cho 3 là: 3 ; 6 ; 9 ;…; 99 Có ( 99 - 3): 3 + 1 = 96:3+1 = 32 + 1 = 33 ( số ) Câu 14. Chọn khẳng định Đúng nhất trong các khẳng định sau: Nếu a 6 và b 6 thì tổng a + b chia hết cho: A. 6 B. 2 C. 3 D. cả 2; 3; 6 Lời giải Chọn D Vì các số hạng đều chia hết cho 6 và 6 thì chia hết cho cả 2 và 3 Câu 15. Nếu a không chia hết cho 2 và b chia hết cho 2 thì tổng a + b. Chọn đáp án đúng A. Chia hết cho 2 B. Không chia hết cho 2 C. Có tận cùng là chữ số 2. D. Có tận cùng là 1; 3; 5; 7; 9 Lời giải Chọn B Theo tính chất 2: Nếu a không chia hết cho 2 và b chia hết cho 2 thì a + b không chia hết cho 2 IV. MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO Câu 16. Cho A = 12 + 15 + 36 + x , x ∈ N. Tìm điều kiện của x để A không chia hết cho 9. A. x chia hết cho 9 B. x không chia hết cho 9 C. x chia hết cho 4 D. x chia hết cho 3 Lời giải Chọn B Ta có: A = (12 + 15) + 36 + x Vì 12 + 15 = 27 9; 36 9 ⇒ (12 + 15 + 36) 9 Do đó để A không chia hết cho 9 thì x không chia hết cho 9 Câu 17. Tìm số tự nhiên x để A = 75 + 1003 + x chia hết cho 5 A. x 5 B. x chia cho 5 dư 1 C. x chia cho 5 dư 2 D. x chia cho 5 dư 3 Lời giải Chọn C Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 71 Website: tailieumontoan.com Vì 75 5 ; 1003 chia 5 dư 3 nên để A chia hết cho 5 thì x chia 5 phải dư 2 để cộng số dư 3 thì chia hết cho 5 nên đáp án C Câu 18. Cho số A = a 785b. Tìm tổng các chữ số a; b sao cho A chia 9 dư 2 A. ( a + b ) ∈ {9;18} B. a + b ∈ {0;9;18} C. a + b ∈ {1; 2;3} D. a + b ∈ {4;5;6} Lời giải Chọn A. Ta có a; b ∈ {0;1;...;9} ; a ≠ 0 A chia9 dư 2 => a + 7+8+5+b = 20 + a + b chia 9 dư 2 hay ( a + b + 18) 9 mà 18 9 ⇒ ( a + b ) ∈ {9;18} Câu 19. Cho số N = 3a 74b chia hết cho 5 và 9 nhưng không chia hết cho 2. Khi đó a - b là: A. 0 B. 3 C. -3 D. 1 Lời giải Chọn B. N = 3a74b vì N chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 2 nên tận cùng của N phải bằng 5.Vậy b = 5. Mà N chia hết cho 9 nên tổng các chữ số của N phải chia hết cho 9 Do đó 3 + a + 7 + 4 + 5 9 ⇔ a + 19 9 ⇒ a =8 Vậy a- b = 8 - 5 = 3 Câu 20. Viết các số tự nhiên liên tiếp từ 10 đến 99 ta được số A. Hỏi A có chia hết cho 9 không. A. Chia hết B. Không chia hết. Lời giải Chọn A. Ta có A = 1011121314...9899 Xét các số tự nhiên liên tiếp có hai chữ số 10 ; 11 ; 12 ;...;98; 99 ; có ( 90 - 10 ) : 1 + 1 = 90 ( số ) Tổng các chữ số hàng chục ( 1 + 2 +3+...+ 8+ 9 ). 10 = 450 Tổng các chữ số hàng đơn vị ( 0+1 + 2 +3+...+ 8+ 9 ). 9 = 405 Tổng các chữ số của A là: 450 + 405 = 855 mà 855 9 Vậy A chia hết cho 9. C. BÀI TẬP TỰ LUẬN I – MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT Câu 1. Trong các số sau, số nào chia hết cho 2, số nào chia hết cho 5: 483; 572; 330; 615; 298 Lời giải. Các số chia hết cho 2 là: 572; 330; 298 Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 72 Website: tailieumontoan.com Các số chia hết cho 5 là: 330; 615. Câu 2. Trong các số sau: 120; 235; 476; 250; 423; 261; 735; 122; 357 a) Số nào chia hết cho 2. b) Số nào chia hết cho 5. c) Số nào chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 5. d) Số nào chia hết cho cả 2 và 5. Lời giải a) Số chia hết cho 2 là 120; 476; 250; 122 b) Số chia hết cho 5 là: 120; 235; 250; 735 c) Số chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 5 là 476; 122 d) Số chia hết cho cả 2 và 5 là 120; 250 Câu 3. Trong các số sau: 372; 261; 4262; 7372;5426;65426; 7371. a) Số nào chia hết cho 3. b) Số nào chia hết cho 9. c) Số nào chia hết cho cả 3 và 9. Lời giải a) Số chia hết cho 3 là: 372; 261; 7371 (Vì có tổng các chữ số chia hết cho 3) b) Số chia hết cho 9 là: 7371; 261 (Vì có tổng các chữ số chia hết cho 9) c) Số chia hết cho cả 3 và 9: 7371; 261 (Vì có tổng các chữ số chia hết cho 3) (Số chia hết cho 9 thì chia hết cho 3) Câu 4. Xét xem tổng hiệu sau có chia hết cho 6 không? a) 30 + 54 b) 600 - 15 c) 60 + 18 + 3 d) 126 + 48 - 20 Lời giải. a) vì 30 6 và 54 6 nên 30 + 54 6 b) vì 600 6 và 15 / 6 nên 600 - 15 / 6 c) vì 60 6 và 18 6 và 3 / 6 nên ( 60 + 18 + 3 ) / 6 d) vì 126 6 và 48 6 và 20 / 6 nên 126 + 48 - 20 / 6 Câu 5. Không làm tính, xét xem tổng sau có chia hết cho 12 không? Vì sao? a) 120 + 36 b) 120a + 36b ( với a ; b ∈ N ) Lời giải. a) Ta có 120 12 và 36 12 nên (120 + 36) 12 Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 73 Website: tailieumontoan.com b) 120a=12.10.a 12 và 36b=12.3.b 12 nên (120a + 36b) 12 II – MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU Câu 6. Cho số= A 200 ∗ , thay dấu * bởi chữ số nào để: a/ A chia hết cho 2 b/ A chia hết cho 5 c/ A chia hết cho 2 và cho 5 Lời giải a/ A 2 thì * ∈ { 0, 2, 4, 6, 8} b/ A 5 thì * ∈ { 0, 5} c/ A 2 và A 5 thì * ∈ {0} Câu 7. = 20 ∗ 5 , thay dấu * bởi chữ số nào để: Cho số B a/ B chia hết cho 2 b/ B chia hết cho 5 c/ B chia hết cho 2 và cho 5 Lời giải a) Vì chữ số tận cùng của B là 5 khác 0, 2, 4, 6, 8 nên không có giá trị nào của * để B 2 b) Vì chữ số tận cùng của B là 5 nên B 5 nên * ∈ {0;1; 2;3; 4;5;6;7;8;9} c) Vì chữ số tận cùng của B là 5 nên không có giá trị nào của * để B 2 và B 5 Câu 8. Thay mỗi chữ bằng một số để: a) 972 + 200a chia hết cho 9. b) 3036 + 52a 2a chia hết cho 3 Lời giải a/ Do 972 9 nên (972+200a) 9 khi 200a 9. Ta có 2 + 0 + 0 + a = 2 + a 9 khi a = 7 Vậy với a = 7 thì (972+200a) 9 b/ Do 3036 3 nên (3036 + 52a 2a ) 3 khi 52a 2a 3. Ta có 5 + 2 + a + 2 + a = 9 + 2a 3 khi 2a 3 ⇒ a = 0;3;6;9 Vậy với a = 0;3;6;9 thì 3036 + 52a 2a chia hết cho 3 Câu 9. Điền vào dẫu * một chữ số để được một số chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 a) 2002* b) *9984 Lời giải a) Theo đề bài ta có (2 + 0 + 0 + 2 + *) = (4 + *) 3 ; (4 + *) / 9 Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 74 Website: tailieumontoan.com suy ra 4 + * = 6 hoặc 4 + * = 12 nên * = 2 hoặc * = 8. Vậy với * ∈ {2;8} thì 2002* chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 b) Tương tự * = 3 hoặc * = 9. Câu 10. Khi chia số tự nhiên a cho 36 ta được số dư 12. Hỏi a có chia hết cho 4; cho 9 không vì sao ? Lời giải Gọi thương là q (q ∈ N ) Ta có = a 36q + 12 36q=4.9.q 4 và 12 4 nên a= 36q + 12 4 36q=4.9.q 9 và 12 / 9 nên a= 36q + 12 / 9 Vậy a có chia hết cho 4; không chia hết cho 9 III – MỨC ĐỘ VẬN DỤNG. Câu 11. Tìm các chữ số a và b biết rằng: a) 25a 2b 36 b) a378b 72 Lời giải a) Vì 25a 2b 36 nên 25a 2b 4 và 9 mà 25a 2b 4 nên 2b 4 ⇒ b ∈ {0; 4;8} * Nếu b = 0 thì ta có 25a 20 9 ⇒ ( 2 + 5 + a + 2 + 0 ) 9 hay ( a + 9 ) 9 ⇒ a ∈ {0;9} * Nếu b = 4 thì ta có 25a 24 9 ⇒ ( 2 + 5 + a + 2 + 4 ) 9 hay ( a + 13) 9 ⇒ a = 5 * Nếu b = 8 thì ta có 25a 28 9 ⇒ ( 2 + 5 + a + 2 + 8 ) 9 hay ( a + 17 ) 9 ⇒ a = 1 Vậy a ∈ {0;1;5;9} ; b ∈ {0; 4;8} thì 25a 2b 36 b) a378b 72 nên a378b8 và 9 * Vì a378b8 nên 78b 8 ⇒ b =4 * Vì a378b 9 nên ( a + 3 + 7 + 8 + 4 ) 9 ⇒ ( 22 + a ) 9 ⇒ a =5 Vậy a = 5 và b = 5 thì a378b 72 Câu 12. Chứng minh rằng: a. Tích của 2 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2. b. Tích của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6. Lời giải a. Trong hai số tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng có một số chẵn Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 75 Website: tailieumontoan.com ⇒ Số chẵn đó chia hết cho 2 Vậy tích của 2 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2. b. Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là n ; n +1; n+2 + Nếu n = 3k 3 (k ∈ N) n( n +1)(n+2) 3 +Nếu n = 3k+1 (k ∈ N) n+2= 3k+3 = 3(k+1) 3 ⇒ n( n +1)(n+2) 3 +Nếu n = 3k+2 (k ∈ N) n+1= 3k+3 = 3(k+1) 3 ⇒ n( n +1)(n+2) 3 ⇒ Tích 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3 Tích của 2 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2 nên tích của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2 Vậy tích của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6. Câu 13. Chứng tỏ rằng tổng ab+ba chia hết cho 11 Lời giải Ta có ab + ba = 10a + b + 10b + a = 11a + 11b = 11. (a+b) chia hết cho 11 Câu 14. Chứng tỏ rằng: ab - ba chia hết cho 9 ( Với b > a ) Lời giải Ta có ab - ba = (10b + a) - (10a + b) = 9b - 9a = 9.(b - a) chia hết cho 9 ( b > a ) Câu 15. Chứng tỏ rằng: A =1 + 4 + 42 + 43 +... + 42012 chia hết cho 21 Lời giải A =1 + 4 + 42 + 43 +... + 42012 = (1 + 4 + 42 ) + (43 + 44 + 45 ) +... + (42010+ 42011 + 42012 ) = (1 + 4 + 42 ) + 43 (1 + 4 + 42 ) +... + 42010 (1 + 4 + 42 ) = 21 + 21.43 +... + 21.42010 = 21.(1 + 43 +... + 42010 ) 21 Vì 21 21 Vậy A =1 + 4 + 4 + 4 +... + 4 21 2 3 2012 IV. MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO Câu 16. Chứng tỏ rằng: a) 6100 - 1 chia hết cho 5. b) 2120 - 1110 chia hết cho 2 và 5 Lời giải a) 6100 có chữ số hàng đơn vị là 6 (VD 61 = 6; 62 = 36; 63 = 216; 64 = 1296;... ) suy ra 6100 - 1 có chữ số hàng đơn vị là 5. Vậy 6100 - 1 chia hết cho 5. b) Vì 1= n 1(n ∈ N ) nên 2120 và 1110 là các số tự nhiên có chữ số hàng đơn vị là 1, suy ra 2120 - 1110 là số tự nhiên có chữ số hàng đơn vị là 0. Vậy 2120 - 1110 chia hết cho 2 và 5 Câu 17. a) Chứng minh rằng số aaa chia hết cho 3. b) Tìm những giá trị của a để số aaa chia hết cho 9 Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 76 Website: tailieumontoan.com Lời giải a) aaa ta có a + a + a = 3a chia hết cho 3. Vậy aaa chia hết cho 3. b) aaa chia hết cho 9 khi a + a + a = 3a (với a = 1,2,3,…,9) chia hết cho 9 khi a = 3 hoặc a = 9. Vậy với a = 3 hoặc a = 9 thì aaa chia hết cho 9 Câu 18. Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n thì tích (n + 3)(n + 6) chia hết cho 2. Lời giải Với mọi n ta có thể viết hoặc n = 2k + 1 hoặc n = 2k + Với n = 2k + 1 ta có: (n + 3)(n + 6) = (2k + 1 + 3)(2k + 1 + 6) = (2k + 4) (2k + 7) = 2(n + 2)(2k + 7) chia hết cho 2. + Với n = 2k ta có: (n + 3)(n + 6) = (2k + 3)(2k + 6)= 2(2k + 3)(k + 3) chia hết cho 2. Vậy với mọi n ∈ N thì (n + 3)(n + 6) chia hết cho 2. Câu 19. Tìm số tự nhiên n sao cho: a) ( n + 12 ) n b) (15 − 4n ) n ( n < 4 ) Lời giải a) Ta có n + 12 n mà n n ⇒ 12 n ⇒ n ∈ {1; 2;3; 4;6;12} Vậy với n ∈ {1; 2;3; 4;6;12} thì ( n + 12 ) n b) Ta có 15 − 4n n mà 4n n ⇒ 15 n ⇒ n ∈ {1;3;5} mà n < 4 nên n ∈ {1;3} Vậy với n ∈ {1;3} thì ( 15 - 4n ) n ( với n < 4 ) Câu 20. Tìm số tự nhiên n sao cho: a) ( n+13 ) ( n-5 ) ( với n > 5 ) b) ( 15-2n ) ( n+1) ( Với n ≤ 7) c) ( 6n+9 ) ( 4n-1) ( với n ≥ 1 ) Lời giải a) ( n+13 ) ( n-5 ) ( với n > 5 ) Ta có ( n+13 ) ( n-5 ) ⇔ (n + 13) − (n − 5) n − 5 ⇔ n + 13 − n + 5 n − 5 ⇔ 18 n − 5 ⇒ n − 5 ∈ {1; 2;3;6;9;18} n-5 1 2 3 6 9 18 n 6 7 8 11 14 23 Vậy: với n ∈ {6;7;8;11;14; 23} thì ( n+13 ) ( n-5 ) Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 77 Website: tailieumontoan.com b) ( 15-2n ) ( n+1) ( với n ≤ 7 ) Ta có ( 15-2n ) ( n+1) ⇔ (15 − 2n) + 2(n + 1) n + 1 ⇔ 15 − 2n + 2n + 2 n + 1 ⇔ 17 n + 1 ⇒ n + 1∈ {1;17} n+1 1 17 n 0 16 Mà n ≤ 7 Vậy: với n = 0 thì ( 15-2n ) ( n+1) c) ( 6n+9 ) ( 4n-1) ( với n ≥ 1 ) Ta có ( 6n+9 ) ( 4n-1) ⇔ 2(6n + 9) − 3(4n − 1) 4n − 1 ⇔ 12n + 18 − 12n + 3 4n − 1 ⇔ 21 4n − 1 ⇒ 4n − 1 ∈ {1;3;7; 21} 4n-1 1 3 7 21 1 11 n 1 2 2 2 Mà n ∈ N ; n ≥ 1 Vậy: với n = 1 ; 2 thì ( 6n+9 ) ( 4n-1) Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 78 Website: tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ VÀ HỢP SỐ. PHÂN TÍCH MỘT SỐ RA THỪA SỐ NGUYÊN TỐ. A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT. I.KIẾN THỨC 1. Số nguyên tố + Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 có 2 ước dương là 1 và chính nó. + Số nguyên tố nhỏ nhất là 2 , đó là số nguyên tố chẵn duy nhất.Tất cả số nguyên tố còn lại đều là số lẻ. 2. Hợp số Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 có nhiều hơn 2 ước dương. 3. Phân tích một số ra thừa số nguyên tố + Là viết số đó dưới dạng tích của nhiều thừa số, mỗi thừa số là một số nguyên tố hoặc là lũy thừa của một số nguyên tố. + Dù phân tích một thừa số ra thừa số nguyên tố bằng cách nào thì cuối cùng ta cũng được một kết quả duy nhất. 4. Số nguyên tố cùng nhau. + Hai hay nhiều số được gọi là nguyên tố cùng nhau khi UCLN của chúng bằng 1. + Hai số tự nhiên liên tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau. 5. Hệ quả. + Để kiểm tra số a có là số nguyên tố hay không, ta có thể chia a lần lượt cho các số nguyên tố 2;3; ; p , với p là số nguyên tố lớn nhất thỏa mãn p 2 ≤ a. Nếu không có phép chia hết nào thì a là số nguyên tố, trái lại a là hợp số. Ví dụ. Để xét số 103 có là số nguyên tố hay không ta xác định 7 là số nguyên tố lớn nhất thỏa mãn 7 2 ≤ 103 (vì số nguyên tố tiếp theo là 11 có 11 =2 121 > 103 ). Ta chia 103 lần lượt cho 2;3;5;7 và thấy không có phép chia hết nào. Vậy 103 là số nguyên tố. + Tập hợp các số nguyên tố có vô hạn phần tử. Do vậy, không có số nguyên tố lớn nhất. + Nếu số tự nhiên a phân tích ra thừa số nguyên tố được: a = p1n1. p2 n2 pk nk , trong đó p1 , p2 , , pk là các số nguyên tố khác nhau, thì số ước của a là ( n1 + 1). ( n2 + 1) ( nk + 1). II.CÁC DẠNG BÀI. Dạng 1. Kiểm tra số,biểu thức là sốnguyên tố hay hợp số Phương pháp : Với n ∈ N * , n > 1 ta kiểm tra theo các bước sau : Tìm số nguyên tố k sao cho : k 2 ≤ n ≤ (k +1)2 Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 79 Website: tailieumontoan.com Kiểm tra xem n có chia hết cho các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng k không ? +) Nếu có chia hết thì n là số hợp số +) Nếu không chia hết thì n là số nguyên tố Dạng 2. Phương pháp dãy số để tìm số nguyên tố Phương pháp: Dựa vào tính chất số nguyên tố chỉ có 2 ước dương là 1 và chính nó Dựa vào dấu hiệu chia hết Dạng 3. Các bài toán về 2 số nguyên tố cùng nhau Phương pháp: Hai số a và b nguyên tố cùng nhau ⇔ ƯCLN(a, b) = 1. Các số a, b, c nguyên tố cùng nhau ⇔ ƯCLN(a, b, c) = 1. Các số a, b, c đôi một nguyên tố cùng nhau ⇔ ƯCLN(a, b) = ƯCLN(b, c) = ƯCLN(c, a) = 1. Dạng 4. Chứng minh chia hết Phương pháp : Dựa trên đặc điểm dấu hiệu chia hết của số nguyên tố để tìm ra dạng tổng quát mỗi số nguyên tố thoả mãn yêu cầu bài toán, từ đó dựa trên dấu hiệu chia hết để chứng minh Dạng 5. Phân tích các số ra thừa số nguyên tố để tìm các ước của một số, để ước lượng số ước của số đó Phương pháp: Khi phân tích số ra thừa số nguyên tố, giả sử m = a.b. Lúc đó ta được các ước của m là: 1, a, b và a.b Khi phân tích số m ra thừa số nguyên tố: - = Nếu m a x thì có x + 1 ước = Nếu m a x.b y.c z thì m có ( x + 1). ( y + 1). ( z + 1) ước B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM I. MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT. Câu 1: Trong các số sau, số nào là số nguyên tố: 2 , 4 , 13 , 19 , 25 , 31 A. 2 , 4 , 13 , 19 , 3. B. 4 , 13 , 19 , 25 , 31. C. 2 , 13 , 19 , 31. D. 2 , 4 , 13 , 19. Câu 2: Khẳng định nào sau đây là sai? A. Số 2 là số nguyên tố bé nhất. B. Mọi số nguyên tố đều là số lẻ. C. Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 , có nhiều hơn 2 ước. D. Có 2 số tự nhiên liên tiếp là số nguyên tố. Câu 3: Ba số tự nhiên lẻ liên tiếp đều là số nguyên tố là? Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 80 Website: tailieumontoan.com A. 1 , 3 , 5. B. 3 , 5 , 7. C. 5 , 7 , 9. D. 7 , 9 , 11. Câu 4: Chọn phân tích thành thừa số nguyên tố đúng A. 98 = 2.49. B. 145 = 5.29. C. 81 = 9.9. D. 100 = 2.5.10. Câu 5: Phân tích số 18 ra thừa số nguyên tố A. 18 = 18.1. = 10 + 8. B. 18 C. 18 = 2.32. D. 18 = 6 + 6 + 6 II. MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU. Câu 6: Chọn phát biểu sai: A. Số nguyên tố nhỏ hơn 10 là 2,3,5, 7. B. 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất. C. Số 0 không là số nguyên tố cũng không là hợp số. D. Số 1 là số nguyên tố bé nhất. Câu 7: Khẳng định nào sau đây sai? A. 0 và 1 không phải là số nguyên tố cũng không phải là hợp số. B. Cho số a > 1 , a có 2 ước thì a là hợp số. C. 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất. D. Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 mà chỉ có hai ước 1 và chính nó. Câu 8: Khẳng định nào sau đây đúng? A. A = {0;1} là tập hợp số nguyên tố. B. A = {3;5} là tập hợp số nguyên tố. C. A = {1;3;5} là tập hợp các hợp số. D. A = {7;8} là tập hợp các hợp số. Câu 9: Cho các số 21 ; 71 ; 77 ; 101. Chọn phát biểu đúng trong các phát biểu sau? A. Số 21 là hợp số, các số còn lại là số nguyên tố. B. Có hai số nguyên tố và hai số là hợp số trong các số trên. C. Chỉ có một số nguyên tố, còn lại là hợp số. D. Không có số nguyên tố nào trong các số trên Câu 10: Kết quả của phép tính nào sau đây là số nguyên tố A. 15 − 5 + 3. B. 7.2 + 1. C. 14.6 : 4. D. 6.4 − 12.2. Câu 11: Số nào sau đây là số nguyên tố? A. 149. B. 155. C. 162. D. 175. III. MỨC ĐỘ VẬN DỤNG. Câu 12: Tìm 2 số tự nhiên liên tiếp biết rằng tích của hai số đó bằng 42? A. 4,5. B. 5, 6. C. 6, 7. D.7,8. Câu 13: Tính số ước của số 126? A. 10. B. 12. C. 14. D. 1. Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 81 Website: tailieumontoan.com Câu 14: Tìm số tự nhiên a sao cho 6a là số nguyên tố? A. a = 1 ; a = 3. B. a = 1 ; a = 5. C. a = 3 ; a = 7. D. a = 1 ; a = 7. Câu 15: Tìm số tự nhiên x để được số nguyên tố 3x A. 7. B. 4. C. 6. D. 9. Câu 16: Cho a = 22.7 , hãy viết tập hợp tất cả các ước của a A. Ö ( a ) = {4;7}. B. Ö ( a ) = {1; 4;7}. C. Ö ( a ) = {1; 2; 4;7; 28}. D. Ö ( a ) = {1; 2; 4;7;14; 28}. IV. MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO. Câu 17 : Cho a 2.b.7 = 140, với a , b là các số nguyên tố, vậy a có giá trị bằng bao nhiêu? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Câu 18 : Cho số 150 = 2.3.52 , số lượng ước của 150 là bao nhiêu? A. 6. B. 7. C. 8. D. 12 Câu 19 : Tìm hai số nguyên tố biết tổng của chúng là 601 A. 2, 599 B. 3, 598 C. 37, 564 D. 59, 542 Câu 𝟐𝟐𝟐𝟐: Tìm số nguyên tố p sao cho 5 p + 7 là số nguyên tố. A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. C. BÀI TẬP TỰ LUẬN. I. MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT. Bài 1: Tổng hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số: a) 3.4.5 + 6.7 c) 5.7.9.11 − 2.3.4.7 b) 3.5.7 + 11.13.17 d) 16354 + 67541. Bài 2: Tìm hai số nguyên tố có tổng bằng 309. Bài 3: Số 54 có bao nhiêu ước? Viết tất cả các ước của nó. Bài 4: Tìm các ước của số sau: a) 33 b) 81 c) 45 Bài 𝟓𝟓 : Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố; a) 180 ; b) 2034 II. MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU. Bài 1: Cho a = 2.3.4.5.2008. Hỏi 2007 số tự nhiên liên tiếp sau có đều là hợp số không a + 2, a + 3, a + 4,., a + 2008. Bài 2: Tìm số tự nhiên k để 3.k là số nguyên tố, 7.k là số nguyên tố. Bài 3: Tìm số tự nhiên n sao cho p = ( n − 2 ) ( n2 + n − 5) là số nguyên tố. Bài 4: Mỗi số sau có bao nhiêu ước? Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 82 Website: tailieumontoan.com a) 200 b) 720 Bài 𝟓𝟓 : Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố: a) 20012012 b) 2.9.2012 III. MỨC ĐỘ VẬN DỤNG. Bài 1: Tìm số nguyên tố p , sao cho p + 2 và cũng là các số nguyên tố. Bài 2: Tìm chữ số a để 23a là số nguyên tố. Bài 3: Chứng minh rằng: Mọi số nguyên dương n , các số 21n + 4 và 14n + 3 nguyên tố cùng nhau. Bài 4: Cho p và p + 2 là các số nguyên tố ( p > 3 ). Chứng minh rằng p + 1 6. Bài 5: Cho p là số nguyên tố và một trong 2 số 8p+1 và 8p-1 là 2 số nguyên tố, hỏi số thứ 3 (ngoài 2 số nguyên tố, số còn lại) là số nguyên tố hay hợp số? IV. MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO. Bài 1: Cho p và 2 p + 1 là các số nguyên tố ( p > 3). Hỏi 4 p + 1 là số nguyên tố hay hợp số ? Bài 2: Cho p và p + 4 là các số nguyên tố ( p > 3). Chứng tỏ rằng: p + 8 là hợp số. Bài 3: Chứng minh rằng: a) Hai số tự nhiên liên tiếp (khác 0 ) là hai số nguyên tố cùng nhau. b) Hai số lẻ liên tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau. c) 2n + 1 và 3n + 1 ( n ∈ ) là hai số nhuyên tố cùng nhau. Bài 4: Cho a và b là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng hai số sau cũng là hai số nguyên tố cùng nhau. a) a và a + b. b) a 2 và a + b c) ab và a + b. Bài 5: Chứng tỏ rằng nếu p= a + b là một số nguyên tố thì a và b là hai số nguyên tố cùng nhau. Bài 6: Tìm ÖCLN ( 7 n + 3,8n − 1) với ( n ∈ * ). Tìm điều kiện của n để hai số đó nguyên tố cùng nhau. Bài 7: Tìm số tự nhiên n để các số 9n + 24 và 3n + 4 là các số nguyên tố cùng nhau. Bài 8: Nếu = n 3k + 1. Cho n là số nguyên tố không chia hết cho 3. Chứng minh rằng n 2 chia cho 3 dư 1. Bài 9: Cho p là một số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi p 2 + 2003 là số nguyên tố hay hợp số. Bài 10: Chứng tỏ rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì ( p − 1)( p + 1) 24. Bài 11: Tìm n ∈ * biết: 2 + 4 + 6 +…+ ( 2n ) = 756. Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 83 Website: tailieumontoan.com D. ĐÁP ÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C B B B C D B B B A A C
