فصل اول - دایره PDF

‫فصل اول‬ ‫دایـره‬  ‫دايــره‬ ‫‪CIRCLE‬‬ ‫به ش کل مقابل توجه کنید و اشکال‬ ‫هندس یی را ک ه در ش کل...

‫فصل اول‬ ‫دایـره‬  ‫دايــره‬ ‫‪CIRCLE‬‬ ‫به ش کل مقابل توجه کنید و اشکال‬ ‫هندس یی را ک ه در ش کل دی ده‬ ‫می‌شوند نام ببرید‪.‬‬ ‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫یک نقطه را روى کاغذ تعیین کنید و به اطراف این نقطه به فاصلۀ ‪ 1cm‬پرکار را‬ ‫مکمل دور بدهید؛ شکل تشکیل شده و نقطۀ تعیین شده چه نام دارد؟‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫س ت تمام نقاط یک مستوی که از یک نقطۀ ثابت‬ ‫‪A‬‬ ‫فاصلة مساوی داشته باشد‪ ،‬دایره نامیده می شود‪.‬یا به‬ ‫‪r‬‬ ‫عبارت دیگر منحنی بس ته‌یی که از یک نقطۀ ثابت‬ ‫فاصلة مساوی داشته باشد‪ ،‬به‌نام محيط دایره و نقطة‬ ‫‪O‬‬ ‫ثابت را مرکز دایره می‌گویند و به ش کل )‪C(o, r‬‬ ‫نمایش داده می شود‪.‬در شکل مرکز دايره به حرف‬ ‫)‪ (o‬و شعاع آن به حرف ‪ r‬نشان داده شده است‪.‬‬ ‫‪3‬‬  ‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫‪D‬‬ ‫ در شکل مقابل موقعیت نقاط ‪ B, A‬و ‪ D‬را نظر به دایره‬ ‫تعیین نمایید‪.‬‬ ‫ فاصلة نقاط را از مرکز دایره اندازه نموده با طول ش عاع‬ ‫‪A‬‬ ‫مقايسه کنيد‪.‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ س ه نقطۀ دل‌خواه دیگر را در داخل دایره‪ ،‬روی دایره و‬ ‫بیرون دایره در نظر بگیرید‪.‬آیا رابطة دريافت شده برای این‬ ‫نقاط نیز درست است؟‬ ‫نتیجه‪:‬‬ ‫‪ -1‬ست نقاطی که فاصلۀ آن‌ها از مرکز دایره کوچک‌تر از شعاع دایره باشد‪ ،‬نقاط‬ ‫}‪I = { A / | OA |< r‬‬ ‫ساحۀ داخلی دایره گفته می شود یا‬ ‫‪ -2‬ست نقاطی که فاصلة آن‌ها از مرکز دایره مساوی به شعاع دایره باشد‪ ،‬نقاط محيط‬ ‫}‪C = {B / | OB |= r‬‬ ‫ ‬ ‫دایره گفته می شود یا‬ ‫‪ -3‬ست نقاطی که فاصلة آن‌ها از مرکز دایره بزرگ‌تر از شعاع دایره باشد‪ ،‬نقاط ساحۀ‬ ‫}‪E = {D / | OD |> r‬‬ ‫خارجی دایره گفته می شود یا‬ ‫‪ -4‬قسمتي از مستوی که توسط محیط دایره و سطح داخلی آن جدا می‌شود‪ ،‬سطح‬ ‫دایره نامیده می شود‪.‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬دایره‌يي به شعاع ‪ 2cm‬رسم کنید‪.‬کدام یک از نقاط زیر در داخل دایره‪ ،‬خارج‬ ‫دایره و روی دایره قرار دارند‪:‬‬ ‫ فاصلة نقطۀ ‪ A‬از مرکز دایره ‪ 1.4cm‬است‪.‬‬ ‫ فاصلة نقطۀ ‪ B‬از مرکز دایره ‪ 2.3cm‬است‪.‬‬ ‫ فاصلة نقطۀ ‪ C‬از مرکز دایره صفر است‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ فاصلة نقطۀ ‪ D‬از مرکز دایره ‪ cmcm‬است‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ -2‬توضیح دهید چه وقت یک نقطه در روی دایره قرار مي‌گيرد؟‬ ‫‪4‬‬  ‫عناصر دایره‬ ‫‪Elements of a Circle‬‬ ‫به شکل مقابل توجه نمایید‪ ،‬روي‬ ‫کیک کدام شکل هندسی دارد؟‬ ‫قسمت قطع شدۀ آن کدام عنصر دایره‬ ‫را نشان می‌دهد؟‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫ابت دا ش کل دایره و تعریف ات مربوط عناص ر آن‌را در کتابچه‌های ت ان انتقال و بعد‬ ‫‪A‬‬ ‫تعریفات مربوطه هر عنصر دایره را به شکل مربوطۀ آن ‪B‬‬ ‫وصل کنید‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪r‬‬ ‫قوس(‪)Arc‬‬ ‫یک قسمتی ازمحیط دایره به‌نام‬ ‫‪W‬‬ ‫‪D‬‬ ‫قوس دایره یاد می‌شود‪.‬‬ ‫‪O‬‬ ‫شعاع(‪)Radius‬‬ ‫‪H‬‬ ‫خطی که مرکز دایره را به یکی‬ ‫وتر(‪)Chord‬‬ ‫ازنقاط محیط دایره وصل نماید‪،‬‬ ‫قطعه خطی که دو نقطة محیط‬ ‫‪EA‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫شعاع دایره نامیده می‌شود‪.‬‬ ‫دایره را با هم وصل کند وتر‬ ‫دایره ‪G‬‬ ‫نامیده می‌شود‪.‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪W‬‬ ‫‪D‬‬ ‫قطر(‪)Diameter‬‬ ‫‪O‬‬ ‫وتري که از مرکز دایره بگذرد‪،‬‬ ‫‪H‬‬ ‫به‌نام قطر دایره یاد می‌شود‪.‬‬ ‫‪E‬‬ ‫قطعه(‪)Segment‬‬ ‫‪G F‬‬ ‫قسمتی از سطح دایره که‬ ‫قطاع(‪)Sector‬‬ ‫توسط وتر جدا شده باشد به‌نام‬ ‫آن قسمت از سطح دایره که توسط دو‬ ‫قطعۀ دایره یاد می‌شود‪.‬‬ ‫شعاع و قوس مربوطه از سطح دایره جدا شده‬ ‫باشد‪ ،‬قطاع دایره نامیده می‌شود‪.‬‬ ‫‪5‬‬  ‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫ دایره‌يی به شعاع ‪ 4‬سانتی متر رسم کنید‪.‬بعد دایرة مذکور را قیچی کنید‪.‬‬ ‫ این دایره را طوری قات کنید که دو نیم‌دایره باالی هم قرار گیرند‪.‬‬ ‫ کاغذ را باز کنید و بگویید خط قات شده را که روی کاغذ می بینید چه نام دارد؟‬ ‫ این بار دو نیم‌دایره را دوباره قات نموده‪ ،‬آن را بازکنید‪.‬چند قطعه خط را می بینید؟‬ ‫هر کدام چه نام دارد؟‬ ‫ چهار زاویة تشکیل شده را اندازه گرفته‪ ،‬بگویید که با هم‌دیگر چه رابطه دارند؟‬ ‫ رابطة قطر با شعاع دایره چیست؟‬ ‫ دایره را طوری قات کنید که دو قسمت نامساوی تشکیل شود‪.‬آن را باز کنید‪،‬‬ ‫خط تشکیل شده چه نام دارد؟ اندازۀ آن را با قطر دایره مقایسه کنید‪.‬‬ ‫نتیجه‪:‬‬ ‫ همان طوری که دیدیم هر گاه در هر دایره دو نقطة دایره را به هم وصل کنیم یک‬ ‫وتر تشکیل می‌شود‪.‬‬ ‫ در هر دایره بزرگ‌ترین وتر‪ ،‬قطر دایره است که دو برابر شعاع مي باشد‪.‬‬ ‫ در یک دایره هر قطر وتر است ولی هر وتر قطر نیست‪.‬‬ ‫ قوسي که از نصف محیط دایره کوچک‌تر باشد به نام قوس کوچک (‪Arc‬‬ ‫‪ )minor‬یاد می‌گردد‪.‬‬ ‫ قوسي که از نصف محیط دایره بزرگ‌تر باشد‪ ،‬به نام قوس بزرگ (‪)majorArc‬‬ ‫یاد می‌گردد‪.‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫دایرۀ )‪ C(O,4‬را رسم نمایید‪.‬‬ ‫‪ (a‬شعاع‪ ،‬قطر‪ ،‬قطعه و قطاع را در شکل نشان دهید‪.‬‬ ‫‪ (b‬طول قطر دایره را تعیین نمایید‪.‬‬ ‫‪ (c‬اگر محیط آن‌را به چهار حصة مساوی تقسیم نمایید و از آن چه نتیجه می گیرید‪.‬‬ ‫‪ (d‬ساحۀ خارجی‪ ،‬داخلی و روی دایره را به رنگ‌های مختلف نشان دهید‪.‬‬ ‫‪6‬‬  ‫حاالت یک مستقیم با دایره‬ ‫به ش کل مقابل توجه نم وده بگویید‬ ‫اش کال با دایره در کدام حاالت قرار‬ ‫دارند‪ ،‬هر یک را توضیح دهید‪.‬‬ ‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫‪r‬‬ ‫ یک دایره ویک خط مستقیم را طوری رسم نمایید که با دایره یک نقطه‪ ،‬دو نقطه‬ ‫‪O‬‬ ‫و هیچ نقطۀ مشترک نداشته باشد‪.‬‬ ‫ از مرکز دایره به هر یک از این خطوط عمودها رسم نموده‪ ،‬فاصلۀ مرکز‪d‬دايره از‬ ‫خط را اندازه نمایید و هر حالت را با شعاع دایره مقایسه نمایید‪.‬‬ ‫از انجام فعالیت باال دیده می شود که یک خط مستقیم و دایره نسبت به هم سه حالت‬ ‫زیر را دارد‪:‬‬ ‫∆‬ ‫‪ -1‬اگر خط مستقیم با دایره نقطة مشترک نداشته باشد‬ ‫‪r‬‬ ‫‪A‬‬ ‫خط مستقیم خارج دایره قرار دارد‪.‬در این‌صورت‬ ‫‪O‬‬ ‫‪B‬‬ ‫فاصلة خط مستقیم از مرکز دایره بیش‌تر از شعاع‬ ‫‪r‬‬ ‫‪d‬‬ ‫دایره است‪ ،‬یعنی‪d > r :‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪ -2‬اگر خط مستقیم با دایره یک نقطة مشترک داشته‬ ‫∆‬ ‫باشد‪ ،‬مستقیم را مماس به دایره گویند‪.‬در این حالت‬ ‫‪r‬‬ ‫‪A‬‬ ‫فاصله خط مستقیم از مرکز دایره برابر با شعاع دایره‬ ‫‪O‬‬ ‫‪B‬‬ ‫است‪ ،‬یعنی‪d = r :‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪7‬‬  ‫∆‬ ‫‪C2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪C1‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪ -3‬اگر مستقیم با دایره دو نقطة مشترک داشته باشد‪،‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪A‬‬ ‫حالت فاصلة مستقیم ‪ E‬و ‪P‬‬ ‫‪O‬‬ ‫مستقیم را قاطع گویند‪.‬در این‬ ‫‪O‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪B‬‬ ‫از مرکز دایره کمتر از شعاع دایره است‪2،‬یعنی‪d < r :‬‬ ‫‪3cm‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪B‬‬ ‫مثال‪ :‬نقطۀ ‪ O‬را در نظر می گیریم دو دایرۀ متحدالمرکز‬ ‫با مرکز ‪ O‬با شعاع‌های ‪ 2‬و ‪ 3‬سانتی متر را رسم نمایید‪.‬فاصلۀ مستقیم ∆ از مرکز‬ ‫دایره با شعاع‌های هر دو دایرۀ ‪ C1‬و ‪ C 2‬چه رابطه دارد؟‬ ‫‪C2‬‬ ‫‪‬‬ ‫حل‪ :‬در شکل دیده می شود که‪:‬‬ ‫‪C1‬‬ ‫فاصلة خط ∆ از مرکز دایره ‪ C1‬برابر با شعاع آن دایره‬ ‫‪O‬‬ ‫است؛ یعنی‪d=r :‬‬ ‫‪2cm‬‬ ‫‪T‬‬ ‫فاصلة خط ∆ از مرکز دایره ‪ C2‬كوچك‌تر از شعاع دایره‬ ‫‪3cm‬‬ ‫‪A‬‬ ‫است؛ یعنی‪d r + r ′ :‬‬ ‫‪9‬‬  ‫‪d‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪O‬‬ ‫'‪O‬‬ ‫'‪O O‬‬ ‫‪O‬‬ ‫'‪O‬‬ ‫'‪r‬‬ ‫اگ ر فاصله بی ن مراکز اگ ر فاصله بی ن مراکز دو‬ ‫اگ ر فاصل ه بی ن مراکز دو‬ ‫دو دایره صفر باش د به دای ره مس اوی ب ه حاصل‬ ‫دایرۀ ‪ d‬کوچک‌تر از مجموع‬ ‫نام دوای ر متحدالمرکز تفری ق قیم ت مطلق ة‬ ‫ط ول ش عاع ها و بزرگ‌تر از‬ ‫ش عاع های دو دایره باشد‪،‬‬ ‫یاد می‌شوند‪ ،‬یعنی‪:‬‬ ‫حاص ل تفریق قيم ت مطلقة‬ ‫دوای ر را داخ ً‬ ‫لا مم اس‬ ‫‪2‬‬ ‫‪O2‬‬ ‫‪d =0‬‬ ‫ش عاع های دوای ر باش د‪،‬‬ ‫‪O1‬‬ ‫‪d = r−r‬‬ ‫‪′‬‬ ‫یعنی‪:‬‬ ‫گویند‪،‬‬ ‫‪6‬‬ ‫دو دای ره ب ا ه م متقاطع اند‪.‬‬ ‫‪d r + r′‬‬ ‫< ‪r − r′ < d‬‬ ‫‪r‬‬ ‫اولی‪ ،6cm‬فاصلۀ مرکز دایرۀ‬ ‫مثال‪:‬دو دایره‪O‬را طوری رسم نمایید که شعاع دایرۀ '‪O O‬‬ ‫'‪O‬‬ ‫'‪O O‬‬ ‫‪2‬‬ ‫دوم '‪r‬از مرکز دایرۀ اول‪ 2cm‬و شعاع دایرۀ دوم شعاع دایرة اول باشد‪.‬در این حالت‬ ‫‪3‬‬ ‫دو دایره نسبت به هم چه موقعیت دارند؟‬ ‫حل‪ :‬اگر شعاع دایرة اول را ‪ r1‬و شعاع دایرة دوم را ‪ r2‬به‌نامیم خواهیم داشت‪:‬‬ ‫‪r1 = 6cm  r = 2 × 6 cm‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪O2‬‬ ‫⇒‪2 ‬‬ ‫‪O1‬‬ ‫‪r2 = r1  r2 = 4cm‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫‪d = | r1 − r2 | = | 6 − 4 | = | 2 | = 2‬‬ ‫چون‪:‬‬ ‫بنابراين دوایر با هم داخ ً‬ ‫ال مماس اند‪.‬‬ ‫‪Page 8‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫دو دایره را به شعاع های ‪ 6cm‬و ‪ 4cm‬در نظر گرفته طور زیر آن ها را با هم رسم‬ ‫نمایید‪.‬‬ ‫ال مماس باشند‪.‬‬‫ب‪ :‬دوایر داخ ً‬ ‫الف‪ :‬دوایر خارجاً مماس باشند‪.‬‬ ‫ ‬ ‫د‪ :‬دوایر غیر متقاطع باشند‪.‬‬ ‫ج‪ :‬دوایر متقاطع باشند‪.‬‬ ‫ ‬ ‫هـ ‪ :‬دوایر متحدالمرکز باشند‪.‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪Page 8‬‬  ‫زوایای مربوط به دایره‬ ‫‪Angles of a Circle‬‬ ‫به تصویر مقابل توجه نمایید‪:‬‬ ‫اشکال هندسیی را که در آن مشاهده‬ ‫می‌گردند نام ببرید‪.‬‬ ‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫‪A‬‬ ‫ در شکل باال چند زاویه دیده می شود؟‬ ‫ خصوصیات مشترک این زاویه ها چيست؟ بیان دارید‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫ دایرۀ )‪ C(O,3‬را رسم کنید‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ دو قطر عمود بر هم را در این دایره رسم نمایید‪.‬‬ ‫ چند زاویۀ مرکزی تشکیل می‌گردد؟ اندازۀ قوس مقابل هر زاویه چند درجه است؟‬ ‫ محیط این دایره چند درجه است؟‬ ‫∧‬ ‫از نتیجۀ فعالیت فوق می‌توانیم بنویسیم‪:‬‬ ‫طول قوس‬ ‫‪AOB‬‬ ‫طول یک قوس ارتباط به وسعت زاویة مرکزی آن دارد‪ ،‬یعنی‪:‬‬ ‫=‬ ‫‪ 360‬محیط دایره‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫‪A‬‬ ‫زاویه‌یی که رأس آن در مرکز دایره و اضالع آن از دو شعاع‬ ‫‪O‬‬ ‫‪‬‬ ‫دایره تشکیل شده باشد‪ ،‬به‌نام زاویة مرکزی یاد می‌گردد‪،‬‬ ‫مانند زاویة ‪ AOB‬یا زاویة ‪. α‬‬ ‫اض لاع هر زاویۀ مرکزی را از محي ط دايره یک قوس جدا ‪B‬‬ ‫‪11‬‬  ‫∩‬ ‫مي‌نمايد که این قوس مس اوی به زاویة مرکزی می باشد‪ ،‬مانند قوس ‪ AB‬که مساوی‬ ‫به زاویة ‪ α‬است‪.‬‬ ‫بنا ًء می‌گوییم که‪ :‬اندازۀ قوس مقابل زاویة مرکزی در دایره بر حسب درجه مساوی به‬ ‫∧‬ ‫∩‬ ‫∧‬ ‫‪AOB = AB = α‬‬ ‫زاویۀ مرکزی است؛ یعنی‪ :‬‬ ‫مثال‪ :1‬در دایرة )‪ C(O, r‬قوس بزرگ (‪ )major‬پنج چند قوس کوچک (‪)minor‬‬ ‫است‪.‬اندازة قوس‌های کوچک‪ ،‬اندازة قوس بزرگ و زاویۀ مرکزی مقابل آن‌ها را دریابید‪.‬‬ ‫∩∩‬ ‫∩‬ ‫‪PAQ‬‬ ‫حل‪ :‬اگر قوس کوچک ‪ PQ min or = x‬باشد پس قوس بزرگ آن ‪major = 360 − x‬‬ ‫‪PQ major‬‬ ‫‪‬‬ ‫∩‬ ‫∩‬ ‫است؛ لذا می‌توانیم بنوسیم که‪:‬‬ ‫‪PQ + PAQ = 360 o‬‬ ‫∩‬ ‫∩‬ ‫‪PAQ maj‬‬ ‫‪mag = 5PQ min‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪x + 5x = 360 o‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪6x = 360 o‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪K‬‬ ‫∧‬ ‫‪x‬‬ ‫‪82‬‬ ‫‪x = 60 o‬‬ ‫‪360 o‬‬ ‫‪⇒ POQ = x = 60‬‬ ‫∩‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪PAQ = 5x = 5 × 60 = 300 o‬‬ ‫‪J‬‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫مثال‪ :2‬در شکل زیر اگر زاویة ‪ EOJ = 82 ، KOS = 31‬و ‪ EK‬قطر دایره باشد‬ ‫∩‬ ‫∩‬ ‫∩‬ ‫∩‬ ‫قوس های ‪ SJ , KJ , SK‬و ‪ EK‬را به درجه محاسبه کنید‪.‬‬ ‫∩∩‬ ‫قوس مقابل زاویۀ مرکزی ‪31o‬‬ ‫∩‬ ‫∩‬ ‫∧ ∧∧‬ ‫∩∩‬ ‫∩‬ ‫‪oo‬‬ ‫‪oo‬‬ ‫‪SK‬‬ ‫=‪SK++‬‬ ‫‪SK‬‬ ‫‪SK‬‬ ‫‪SOK‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪SOK===31‬‬ ‫‪+SOK‬‬ ‫‪31o‬‬ ‫⇒‬ ‫⇒‬ ‫‪SK‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪SK===31‬‬ ‫‪⇒SK‬‬ ‫∧ ∧∧‬ ‫‪oo‬‬ ‫‪oo‬‬ ‫∧ ∧∧‬ ‫‪oo‬‬ ‫‪oo‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪KOJ‬‬ ‫‪180‬‬ ‫‪KOJ===180‬‬ ‫‪KOJ‬‬ ‫‪EOJ‬‬ ‫‪180 o−−−EOJ‬‬ ‫‪180‬‬ ‫‪EOJ===180‬‬ ‫‪82‬‬ ‫‪180 o−−−82‬‬ ‫‪98‬‬ ‫‪82 o===98‬‬ ‫‪98 o‬‬ ‫∧∧‬ ‫∧∧‬ ‫∧∩∧∧‬ ‫‪P‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪KOJ‬‬ ‫‪KOJ‬‬ ‫‪KOJ‬‬ ‫‪KJ‬‬ ‫‪KOJ====KJ‬‬ ‫‪KJ‬‬ ‫‪98‬‬ ‫‪KJ====98‬‬ ‫‪98‬‬ ‫‪oo‬‬ ‫‪98 o‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪K‬‬ ‫∩∩‬ ‫∩‬ ‫∩∩‬ ‫∩‬ ‫∩∩‬ ‫∩‬ ‫‪82‬‬ ‫‪oo o‬‬ ‫‪oo o‬‬ ‫‪oo o‬‬ ‫‪SJ‬‬ ‫‪SK‬‬ ‫‪SJ===SK‬‬ ‫‪SJ‬‬ ‫‪KJ‬‬ ‫‪SK+++KJ‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪KJ===31‬‬ ‫‪98‬‬ ‫‪31 +++98‬‬ ‫‪129‬‬ ‫‪98 ===129‬‬ ‫‪129‬‬ ‫∩∩‬ ‫∩‬ ‫∧ ∧∧‬ ‫‪oo‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪JE‬‬ ‫‪EOJ‬‬ ‫‪JE===EOJ‬‬ ‫‪JE‬‬ ‫‪82‬‬ ‫‪EOJ===82‬‬ ‫‪82 o‬‬ ‫∩∩‬ ‫∩‬ ‫∧ ∧∧‬ ‫‪J‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪oo‬‬ ‫‪EK‬‬ ‫‪EOK‬‬ ‫‪EK===EOK‬‬ ‫‪EK‬‬ ‫‪180‬‬ ‫‪EOK===180‬‬ ‫‪180 o‬‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫‪ -1‬س ه نقط ۀ ‪ B , A‬و ‪ C‬باالی محيط دایرة ) ‪ C (O , r‬طوری ق رار دارند اگر ‪, AOB = 75‬و ‪BOC = 136‬‬ ‫∩‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫‪ BOC = 136 , AOB = 75‬دو زاویۀ دو طرفۀ خط ‪ OB‬باشد قوس ‪ AC‬را محاسبه نمایید‪.‬‬ ‫‪ -2‬یک زاویۀ مرکزی رسم نمایید که اندازۀ آن ‪ 180 ‬باشد‪.‬‬ ‫‪12‬‬  ‫‪E‬‬ ‫خصوصيات وتر دایره‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪O‬‬ ‫به ش کل مقابل توج ه نمایید‪ ،‬خطوط‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ CD ،AB‬و ‪ EF‬را به‌ن ام چ ه ی اد‬ ‫‪A‬‬ ‫می‌کنند؟‬ ‫خصوصیت مس تقیم ‪ EF‬چیس ت و با‬ ‫‪F‬‬ ‫‪ AB‬و ‪ CD‬چه ارتباط دارد؟‬ ‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪D‬در دایرة ) ‪ C(O, r‬وتر‪ AB‬را رسم کنید‪.‬‬ ‫‪B‬قطر ‪ ED‬دایره را طوری رسم نمایید که مثلثي بر وتر ‪ AB‬در نقطۀ ‪ H‬عمود باشد‪.‬‬ ‫وصل نمایید مثلثی که تشکیل می شود چه ‪O‬‬ ‫‪A‬‬ ‫نوع مثلث است؟‬ ‫نقطة (‪ )O‬را به‪ A‬و‪B‬‬ ‫در جاهای خالی عالمت مناسب( = ‪ < ,‬یا > ) را بگذارید‪1 2.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫∩‪H‬‬ ‫∩‪B‬‬ ‫‪OA‬‬ ‫‪OB , AE‬‬ ‫‪EB , AH‬‬ ‫‪HB‬‬ ‫‪E‬‬ ‫از نتیجۀ این فعالیت می‌توانیم طور زیر قضیه را بیان و ثبوت نماییم‪.‬‬ ‫قضيه‪ :‬در هر دایره قطر عمود بر وتر‪ ،‬وتر و قوس های مقابل آن‌ها را تنصیف میکند‪.‬‬ ‫‪Δ‬‬ ‫‪Δ‬‬ ‫ثبوت‪ :‬از دو مثلث ‪ BOH 2‬و ‪ AOH1‬می‌توانیم بنویسیم که‪:‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪ ‬شعاع دایره ‪OA = OB.........‬‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫‪‬‬ ‫∆‬ ‫∆‬ ‫‪  ⇒ AOH ≅ OHB‬قایمه ‪H1 = H 2..........‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪ ‬مشترک ‪OH = OH........‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪E‬‬ ‫بنا ًء از تساوی دو مثلث چنین نتیجه به دست می‌آید که ‪ AH = HB‬و زاویه‌های‬ ‫∩‬ ‫∩‬ ‫مرکزی ‪ BOH 2‬و ‪ AOH1‬با هم مساوی بوده‪ ،‬در نتیجه ‪ AE = EB‬است‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬دایرۀ )‪ C(O, 26‬داده شده اگر فاصلۀ عمودی وتر‪ AB‬از مرکز دایره ‪ 10‬واحد‬ ‫باشد‪ ،‬طول وتر‪ AB‬را محاسبه کنید‪.‬‬ ‫‪13‬‬  ‫∆‬ ‫حل‪ :‬در مثلث ‪ OHA‬نظر به قضیة فیثاغورث داریم که‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪OA = AH + OH‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(26) 2 = AH + (10) 2‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪AH = (26) − (10‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪AH = 676 − 100 = 576‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪AH = 24‬‬ ‫‪AB = 2AH = 2 × 24 = 48unit‬‬ ‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫‪A‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪26C(O,10‬را ترسیم نمایید‪.‬‬ ‫ دایره )‪3‬‬ ‫‪26 10‬‬ ‫‪O‬‬ ‫ در دایره دو وتر مساوی‪ PQ‬و‪ RS‬را رسم نمایید‪.‬‬ ‫‪O‬‬ ‫ از مرکز دایره باالی‪ PQ‬و‪ RS‬عمودها را رسم کنید‪ ،‬طول آن‌ها را اندازه کنید‪.‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪R‬‬ ‫از نتیجة این فعالیت قضیه را طور زیر بیان و ثبوت می نماییم‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫اند‪M.‬‬ ‫دایره‪2‬هم‌فاصله‬ ‫قضیه‪ :‬وترهای مساوی‪ ،‬از مرکز ‪N‬‬ ‫‪O‬‬ ‫ثبوت‪ :‬از دو مثلث ‪ RON‬و ‪ POM‬داریم که‪:‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪ ‬شعاع دایره‪OP = OR...........‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪P‬‬ ‫∧‪P‬‬ ‫∧‬ ‫‪R‬‬ ‫‪ ‬قایمه‪1 = 2........................‬‬ ‫∆‪X‬‬ ‫∆‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪POM ≅ RON‬‬ ‫⇒‬ ‫‪M‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪MPQ‬‬ ‫مساوی‪= RS 2........‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪ ‬وترهای‬ ‫‪O‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪OM = ON‬‬ ‫‪PQ RS S‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫=‬ ‫‪⇒ PM = RN ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪PM = RN‬‬ ‫∆‬ ‫‌فاصله اند‪.‬‬ ‫∆‬ ‫در نتیجه گفته می‌توانیم که در هر دایره‪ ،‬وترهای مساوی از مرکز هم‬ ‫‪POM ≅ RON‬‬ ‫‪OM = ON‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬در دایرۀ )‪ C(O,13‬وتر‪ AB‬از مرکز دایره به فاصلۀ پنج واحد قرار دارد‪ ،‬طول‬ ‫‪C‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪ AB‬را دریابید‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫وسط وتر بگذرد‪ ،‬باالی‬ ‫‪ -2‬ثبوت کنید‪ ،‬در هر دایره قطری که از‪1 2‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫آن وتر عمود است‪.‬‬ ‫رسم کنید‪.‬اگر فاصلۀ‬ ‫‪ -3‬در یک‪ O‬دایره وتر‪ AB=8cm‬را ‪D‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫عمودی این وتر از ‪A‬مرکز دایره ‪ OH=3cm‬باشد‪ ،‬طول قطر و‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬ ‫محیط دایره‪D‬را محاسبه نمایید‪.‬‬ ‫‪14‬‬  ‫‪C‬‬ ‫خصوصيت شعاع دایره‬ ‫‪O‬‬ ‫خط وط ‪ OB ،OC‬و ‪ OA‬به‌نام چه‬ ‫ياد می‌شوند‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ارتب اط خط ∆ با دایرۀ ‪ O‬و ش عاع‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ OB‬آن چيست؟‬ ‫‪‬‬ ‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫ درش کل مقاب ل خط مس تقیم ∆ ب ه دایرۀ‬ ‫) ‪ C (O , r‬در نقطۀ ‪ T‬مماس است‪.‬‬ ‫‪O‬‬ ‫ باالی مماس نقاط ‪ C, B, A‬و ‪ D‬را به دو‬ ‫‪‬‬ ‫طرف نقطۀ ‪ T‬انتخاب و آن ها را به مرکز دایره‬ ‫‪T‬‬ ‫وصل نمایید‪.‬‬ ‫ قطعه خط‌ها ي تشکيل شده را توسط خط‌کش اندازه نمایید‪.‬‬ ‫ کوتاه‌ترین فاصله بین مرکز دايره و مماس ∆ را نشان دهید‪.‬‬ ‫ کوتاه‌ترین فاصله بین یک نقطه و یک مستقیم کدام فاصله است؟ ‪O‬‬ ‫‪O‬‬ ‫ از دو فقره چه نتیجه می‌گیرید؟‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫نماییم‪TT.‬‬ ‫ثبوت ‪C‬‬‫از نتیجة این فعالیت می‌توانیم قضیة زیر را بیان و ‪D‬‬ ‫قضیه‪ :‬شعاع دایره در نقطة تماس باالی مماس عمود است‪.‬‬ ‫ثبوت‪ :‬در شکل زیر دیده می‌شود که‪:‬‬ ‫‪OT < OB < OA‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪OT < OC < OD‬‬ ‫می دانیم که کوتاه‌ترین فاصله بین یک نقطه و‬ ‫‪‬‬ ‫یک خط مستقیم فاصلۀ عمودی است‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪C‬‬ ‫در نتیجه گفته می‌توانیم که‪ OT ⊥ ∆ :‬است‪D.‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪C‬‬  ‫مثال‪ :1‬در ش کل زیر خط مس تقیم ∆ به دایرۀ )‪ c(o, r‬در نقطۀ ‪ A‬مماس است‪.‬اگر‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫زاویۀ ‪ AOB‬مساوی به ‪ 60‬باشد‪ ،‬اندازۀ زاویۀ ‪ x‬را دریابید‪.‬‬ ‫‪OA ⊥ BA ⇒ y = 90‬‬ ‫‪‬‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫‪o + x + y = 180‬‬ ‫∧‬ ‫‪O‬‬ ‫‪60 + x + 90 = 180‬‬ ‫‪x = 180 − 150‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x = 30‬‬ ‫‪A‬‬ ‫مث ال‪O :2‬در ش کل زیر خط مس تقیم ∆ ب ه دایره )‪ C(o, r‬مماس اس ت‪ ،‬اگر طول‬ ‫‪ OM = 4unit‬و‪ ON = 5unit‬باشد‪ ،‬طول‪ MN‬را دریابید‪.‬‬ ‫دایره در‪B‬نقطۀ تماس باالی مماس عمود است‪ ،‬در نتیجه در مثلث‬ ‫حل‪ :‬می ‪O‬‬ ‫دانیم ∆شعاع‬ ‫‪X‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪‬‬ ‫قایم‌الزاویۀ‪ OMNA‬با استفاده از قضیة فیثاغورث می‌توانیم بنویسیم که‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪ON = OM + MN‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪MN = ON − OM‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪2X‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪MN‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪=Y 52 − 4A2 = 9‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪MN = 3‬‬ ‫‪8M‬‬ ‫‪10N‬‬ ‫‪‬‬ ‫شعاع در ‪A‬نقطه تماس باالی مماس عمود است‪.‬‬‫‪B‬‬ ‫است‪.‬‬ ‫هر مماس در نقطۀ تماس باالی شعاعی که از نقطۀ تماس می‌گذرد‪ ،‬عمود ‪O‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪CT‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪W‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪10 A‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫شکل مقابل ∆ باالی دایرۀ ) ‪ P(c, r‬مماس است‬ ‫‪O‬‬ ‫‪S -1‬در‬ ‫‪C‬‬ ‫‪108‬‬ ‫‪10‬‬ ‫اگر‪ AC = 8unitN‬و ‪ BC = 10unit‬طول داشته باشد‪ AB‬را‬ ‫‪8‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪W‬‬ ‫‪TX‬‬ ‫دریابید‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪W‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪TZ‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪W‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ -2‬در ش کل مقاب ل اگ ر ‪ WZ‬در نقط ۀ ‪ T‬ب ه دایرۀ‬ ‫‪O‬‬ ‫مماس باشد و اگر ‪TW= 3unit ،OS = 1unit‬و‬ ‫) ‪X C (O, r‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪ OT= 2unit‬باشد‪ ،‬طول قطعه‌خط‌های‪OW,SN,AS,OA‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪N‬‬ ‫و‪TX‬را دریابید‪.‬‬ ‫‪16‬‬  ‫زاویۀ محیطی دايره‬ ‫‪Inscribed Angelof a Circle‬‬ ‫شکل مقابل دایرۀ مرکزی میدان فوتبال‬ ‫که حس یب‪B‬‬ ‫‌اهلل به بالل و بالل به الیاس‬ ‫توپ را پاس می‪‌‬دهد‪.‬ش کلی را که از‬ ‫مسیر پاس دادن توپ تشکیل می‌گردد‬ ‫‪A‬‬ ‫نام بگیرید‪O.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫‪A‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪O‬‬ ‫زاویه‌یی که رأس آن باالی محیط دایره واقع باشد و اضالع آن از دو وتر دایره تشکیل‬ ‫∧‬ ‫شده باشد‪ ،‬زاویة محیطی نامیده می‌شود؛ مانند‪C‬زاویۀ ‪ ABC‬یا زاویۀ ‪. β‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫∧‬ ‫‪‬‬ ‫ در دایرة ) ‪ C (O, r‬زاویۀ محیطی ‪ ABC‬را طوري رسم‬ ‫‪A‬‬ ‫بیاورید‪:‬‬ ‫خاطر‬ ‫به‬ ‫‪C‬‬ ‫بگذرد‪.‬‬ ‫ وس عت ‪O‬‬ ‫‪A‬‬ ‫کنيد که ضلع ‪ BC‬آن از مرکز دایره ‪O‬‬ ‫زاوی ة مرکزی‬ ‫ نقطۀ ‪ A‬را به مرکز دایره ‪ O‬وصل نمایید‪.‬چه نوع مثلث مس اوی به قوس مقابل آن‬ ‫است‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫تشکیل می شود؟‬ ‫ وسعت هر زاویة خارجی‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫‪B‬‬ ‫مس اوی به مجموعۀ‬ ‫مثلث‬ ‫ زوای ای ‪ A‬و ‪ B‬در مثل ث ‪ OAB‬ب ا هم چ ه ارتباط‬ ‫وس عت دو زاوی ة داخلی‬ ‫دارند؟‬ ‫غیر مجاور آن ‪‬است‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪O‬‬ ‫ زاویۀ ‪AOC‬چه رابطه با زوایای ‪ A‬و ‪ B‬دارد؟‬ ‫‪C‬‬ ‫‪17‬‬  ‫از فعالیت صفحۀ قبل می‌توانیم قضیه را طور زیر بیان و ثبوت نماییم‪.‬‬ ‫قضیه‪ :‬وس عت هر زاویۀ محیطی مساوی به نصف قوس مقابل که توسط آن قطع شده‬ ‫می باشد‪.‬‬ ‫در این‌جا اين قضیه را در حالتي که یکی از اضالع زاویۀ محیطی قطر دایره است ثبوت‬ ‫می‌کنیم‪.‬ثبوت در حاالت متباقی‪ ،‬کار شاگردان می‌باشد‪.‬‬ ‫∧‬ ‫ثبوت‪ :‬زاویۀ ‪ AOC‬زاویه خارجی مثلث ‪ AOB‬است‪ ،‬می‌توانیم بنویسیم که‪:‬‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫‪B‬‬ ‫‪B‬‬ ‫زاویة مرکزی ‪AOC = AC‬‬ ‫∧‬ ‫∩‬ ‫‪AOC = A + B‬‬ ‫‪ ‬چرا‪A = B......‬‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫‪‬‬ ‫‪AOC‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪O‬‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫∩‬ ‫‪ A‬لذا‪AOC = B+ B ⇒ AC = 2 B :‬‬ ‫∧‬ ‫‪A O‬‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫‪‬‬ ‫∩ ∩‬ ‫‪AOC = 2 B  ABC‬‬ ‫∧∧ ∧‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪‬‬ ‫= ‪BB‬‬ ‫در نتیجه‬ ‫‪C‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪C‬‬ ‫وسعت زاویۀ محیطی ‪ ABC‬برابر به ‪ 1 AC‬است‪.‬‬ ‫∩‬ ‫∧‬ ‫‪2‬‬ ‫مثال‪ :‬در دایرة )‪ C(O, r‬اگر زاویۀ مرکزی ‪ AOB = 60‬باشد‪ ،‬طول قوس ‪ AB‬و‬ ‫∧‬ ‫اندازۀ زاویة محیطی ‪ ACB‬را دریابید‪.‬‬ ‫ح ل‪ :‬در ی ک دای ره از رابطه بی ن زاویۀ مرکزی و ق وس مقابل آن نوش ته کرده‬ ‫∧‬ ‫‪o‬‬ ‫می‌توانیم‪:‬‬ ‫‪AOB = 60 ‬‬ ‫∩‬ ‫‪‬‬ ‫⇒‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪= 60o‬‬ ‫‪O‬‬ ‫∧‬ ‫∩‬ ‫‪C O‬‬ ‫‪AOB = AB ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪C‬‬ ‫∩‬ ‫‪‬‬ ‫‪AB = 60o ‬‬ ‫‪‬‬ ‫∧‬ ‫‪60o‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫∩‬ ‫= ‪ ⇒ ACB‬‬ ‫‪= 30o‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫∧‬ ‫‪AB ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪ACB‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬در یک دایره زاویۀ محیطی رسم کنید که اندازۀ آن‪ 90°‬باشد؟‬ ‫‪ -2‬دو نقط ۀ ‪ A‬و‪ B‬را روی محی ط دایره در نظر بگیرید‪.‬چند زاویۀ محیطی مس اوی‬ ‫مقابل به قوس ‪ AB‬وجود دارد؟‬ ‫‪18‬‬ ‫‪PagePage‬‬ ‫‪17 17‬‬  ‫زاویۀ مماسی دايره‬ ‫‪A‬‬ ‫نظ ر به ش کل خطوط مس تقیمي که‬ ‫‪O‬‬ ‫زاویۀ ‪ θ‬را تش کیل نموده‪ ،‬نام گرفته‬ ‫و بگوييد رأس زاویه در کدام قس مت‬ ‫‪Q‬‬ ‫دایره واقع است؟‬ ‫‪B‬‬ ‫‪T‬‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫‪A‬‬ ‫زاویهي ي که یک ضلع آن با دایره مماس و ضلع دیگر آن‬ ‫‌‬ ‫‪O‬‬ ‫‪A‬‬ ‫وتر دایره و رأس آن در نقطۀ تماس باالي محيط دايره قرار‬ ‫داشته باشد زاویۀ مماسی گفته می‌شود‪ ،‬مانند زاویۀ ‪. θ‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪T‬‬ ‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ‬ ‫‪‬‬ ‫ دایرۀ ) ‪ C (O , r‬را ترسیم نمایید‪.‬‬ ‫ به دایرة متذکره یک زاویۀ مماسی رسم نمایید‪.‬‬ ‫ انجام‌های وتر دایره را به مرکز دایره وصل نموده بگوييد چه نوع مثلث تشکیل می‌گردد؟‬ ‫ از مرکز دایره باالی وتر یک عمود رسم نمایید‪.‬‬ ‫∧‬ ‫ اندازۀ زاویۀ مرکزی ‪ TOP‬و زوایای مثلث های قایم‌الزاویۀ تشکیل شده چه رابطه‬ ‫با اندازۀ زاویۀ مماسی دارد؟‬ ‫از نتیجۀ این فعالیت می‌توانیم قضیه را به شکل زیر بیان و ثبوت نماییم‪.‬‬ ‫قضیه‪ :‬در یک دایره وسعت هر زاویۀ مماسی مساوی به∧نصف قوس مقابل آن است‪.‬‬ ‫∆‬ ‫ثبوت‪ :‬از مثلث قایم‌الزاویۀ ‪ OHT‬و زاویۀ قایمۀ ‪P OTC‬‬ ‫‪O 2‬‬ ‫داریم که‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3+ 1 = 90 ‬‬ ‫‪H P‬‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫‪O 23‬‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫‪4‬‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫‪‬‬ ‫⇒‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪4‬‬ ‫⇒‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1T‬‬ ‫‪C 3+ 4 = 90 ‬‬ ‫∧‬ ‫∩‬ ‫∩‬ ‫‪H‬‬ ‫‪ 1∧ = TOP = PT ⇒ PTC‬‬ ‫∧‬ ‫‪PT‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪19‬‬ ‫مثال‪ :1‬در شکل زیر اگر در دایرۀ ) ‪ C(o, r‬زاویۀ مرکزی ‪ 45‬باشد وسعت زوایای‬ ‫محیطی و مماسی را دریابید‪.‬‬ ‫حل‪ :‬با استفاده از رابطه بین زاویۀ مرکزی و قوس مقابل آن می‌توانیم بنویسیم که‪:‬‬ ‫∧‬ ‫∩‬ ‫‪AOB = 45o ⇒ AB = 45o‬‬ ‫∧‬ ‫∩‬ ‫‪A‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪BOC = 135 ⇒ BC = 135‬‬ ‫‪B‬‬ ‫∩‬ ‫‪45º‬‬ ‫‪o‬‬ ‫∧‬ ‫‪BC 135‬‬ ‫‪O‬‬ ‫= ‪BCD‬‬ ‫=‬ ‫‪= 67.5 o‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 A‬‬ ‫∩‬ ‫∩‬ ‫‪BC 45o‬‬ ‫‪A‬‬ ‫= ‪ACB = AB‬‬ ‫∧‬ ‫‪o B‬‬ ‫‪= 22.5‬‬ ‫‪45º‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪45º‬‬ ‫‪A‬‬ ‫∧‬ ‫مثال‪ :2‬در شکل زیر اندازۀ قوس‪ O، AT‬که مقابل ‪ ATX‬قرار دارد )‪ (2α − 6‬است‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫∧‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫دریابید‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫اندازة زاویۀ مماسی ‪ ATX‬را‬ ‫حل‪ :‬با استفاده از رابطة وسعت زاویۀ مماسی با قوس‪ A‬مقابل می‌توانیم بنویسیم که‪:‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪A‬‬ ‫∧∧‬ ‫∩ ‪1‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪ATX‬‬ ‫= ‪ATX‬‬ ‫‪AT‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∧∧‬ ‫‪1‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ATX‬‬ ‫‪ATX = (2α‬‬ ‫)‪6)o‬‬ ‫‪∞ −− 60‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪o‬‬ ‫∞(==‬ ‫))‪(α−−33‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪X‬‬ ‫زاویه‌های مماسی و محیطی که به مقابل عين قوس واقع باشند‪ ،‬باهم مساوي اند‪.‬‬ ‫زاویۀ مماسی نصف قوس مقابل آن است‪.‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫دست آرید‪.‬‬ ‫اندازۀ زاویه های مماسی را در شکل های‪B‬زیر به‪C Y‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪124º‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪28º‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪62º‬‬ ‫‪92º‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪124º‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪28º‬‬ ‫‪60º‬‬ ‫‪A X‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪62º‬‬ ‫‪92º‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪B O‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪124º‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪60º‬‬ ‫‪28º‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪62º‬‬ ‫‪92º‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪60º‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬