درسنامه هندسه و استدلال ریاضی پایه نهم PDF

‫بسمه تعالی‬ ‫درسنامه ‪ ،‬نکات ‪ ،‬مثال های کاربردی و حل چند تمرین از فصل سوم ریاضی پایه نهم (عبداله براتی ‪ -‬ندا بهرامی نیا)‬ ‫فصل سوم ‪ :‬هندسه و استدالل‬ ‫فصل ‪ – 3‬استدالل‬...

‫بسمه تعالی‬ ‫درسنامه ‪ ،‬نکات ‪ ،‬مثال های کاربردی و حل چند تمرین از فصل سوم ریاضی پایه نهم (عبداله براتی ‪ -‬ندا بهرامی نیا)‬ ‫فصل سوم ‪ :‬هندسه و استدالل‬ ‫فصل ‪ – 3‬استدالل‬ ‫درس اول‬ ‫استدالل‪ :‬یعنی دلیل آوردن و استفاده از دانسته های قبلی برای معلوم کردن موضوعی که‬ ‫در ابتدا مجهول بوده است‪.‬‬ ‫در بسیاری از کارهای روزمره به استدالل نیاز پیدا می کنیم و از راه حل های مختلفی برای استدالل کردن‬ ‫استفاده می کنیم که درجه ی اعتبار آن ها با هم متفاوت است و ممکن است به نظر دیگران قابل اعتماد یا معتبر‬ ‫نباشد‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬استداللهای زیر را از نظر اعتبار مقایسه کنید‪.‬‬ ‫الف) در تمام خانواده هایی که دو فرزند به نام علی و حسین دارند علی فرزند بزرگ تر بوده است پس دوست من‬ ‫که علی نام دارد از برادرش حسین بزرگتر است‪(.‬نامعتبر – بر پایه ی تعداد محدودی از مشاهدات )‬ ‫ب) چون اعداد ‪ 3‬و ‪ 5‬و ‪ 7‬اعدادی اول و فرد هستند ‪ ،‬بنابراین همه ی اعداد فرد اولند‪(.‬نامعتبر – بر پایه ی تعداد‬ ‫محدودی از مشاهدات )‬ ‫ج) چون همه ی قرص های مسکن خواب آور هستند پس در این قرص ها ماده ای هست که باعث خواب آلودگی‬ ‫می شود‪(.‬معتبر – بر پایه ی استنتاج منطقی )‬ ‫برخی از انواع استدالل‪:‬‬ ‫استدالل ; توانمندی ارزشمند ذهن انسان است‪.‬برخی از انواع استدالل عبارتند از‪:‬‬ ‫الف) شهودی ( درک به کمک حواس)‬ ‫ب) استقرایی( استدالل از جزء به کل بر مبنای تعداد محدودی از مشاهدات)‬ ‫ج) مثال نقض‬ ‫د)استدالل تمثیلی( یافتن نوعی شباهت بین دوچیز مثال چون علی باهوش است پس برادرش هم باهوش است‪.‬‬ ‫ه)استدالل استنتاجی(هنگامی که در استدالل از یک نظریه ی کلی استفاده می کنیم تا به فرضیه های جزئی‬ ‫برسیم) و ‪...‬‬ ‫نکته‪ :‬معتبرترین نوع استدالل در هندسه استدالل استنتاجی است‪.‬‬ ‫اثبات‪:‬به استداللی که موضوع مورد نظر را به درستی نتیجه دهد ‪ ،‬اثبات می گوییم‪.‬‬ ‫‪1‬‬  ‫به مثال زیر توجه کنید‪.‬‬ ‫مثال ‪ :‬الف) دو ارتفاع این مثلث را رسم کنید‪.‬‬ ‫ب) آیا محل برخورد ارتفاع ها درون مثلث است؟‬ ‫ج) آیا با مثال باال می توان نتیجه گرفت محل برخورد دو ارتفاع هر مثلث همیشه درون مثلث است؟‬ ‫پاسخ‪:‬‬ ‫الف) در شکل ‪ 1‬ارتفاع های دو مثلث را به کمک گونیا ترسیم کرده ایم‪.‬‬ ‫ب) بله طبق شکل ‪ 1‬محل برخورد با نقطه ی ‪ M‬نمایش داده شده است‪.‬‬ ‫ج) خیر در شکل‪ 2‬و ‪ 3‬محل برخورد دو ارتفاع درون مثلث نیست‪.‬‬ ‫در مثلث قائم الزاویه محل برخورد ارتفاع ها ‪ ،‬راس زاویه ی قائمه و در مثلث هایی‬ ‫با داشتن یک زاویه ی باز ‪ ،‬محل برخورد بیرون مثلث است‬ ‫مثال نقض‪ :‬برای رد درستی یک ادعای ریاضی از مثال نقض استفاده می کنیم‪.‬کافی است با یک مثال مناسب‬ ‫نشان دهیم آن ادعا نادرست است‪.‬به این مثال نادرست ‪ ،‬مثال نقض می گویند‪.‬‬ ‫برای رد درستی هر یک از ادعاهای زیر از مثال نقض استفاده کنید‪.‬‬ ‫مثال نقض ‪ :‬جمع ‪ 2‬و ‪ 5‬عدد ‪ 7‬است و می دانیم ‪ 7‬عددی اول است‪.‬‬ ‫الف) جمع دو عدد اول همواره مرکب است‪.‬‬ ‫مثال نقض ‪ :‬دایره ‪ ،‬بیضی ‪ ،‬کره و ‪...‬زاویه ندارند‬ ‫ب) تمام شکل های هندسی زاویه دارند‪.‬‬ ‫مثال نقض ‪ 2 :‬عددی اول ولی زوج است‬ ‫ج) همه ی اعداد اول فرد هستند‪.‬‬ ‫به تصویر مقابل دقت کنید‪.‬‬ ‫به نظر شما کدام پاره خط بزرگتر است؟‬ ‫با استفاده از خط کش یا کاغذ شفاف از درستی پاسخ خود اطمینان پیدا کنید‪.‬‬ ‫آیا می توان با مشاهده یا استفاده از حواس از درستی یک موضوع اطمینان حاصل کرد؟ چرا؟‬ ‫خیر زیرا حواس ما خطا دارند و گاهی دچار خطای دید می شویم‪.‬‬ ‫نکته‪ :‬ضعیف ترین استدالل ‪ ،‬استدالل شهودی است‪.‬‬ ‫‪2‬‬  ‫سوال ‪ :‬برای هر کدام از مثال های زیر مشخص کنید استدالل به کار رفته معتبر است یا غیر معتبر؟چرا؟‬ ‫رضا می گوید‪ :‬معلم هیچ وقت روزهای دوشنبه از من درس نپرسیده است‪.‬امروز دوشنبه است پس امروز هم‬ ‫معلم از من درس نمی پرسد‪.‬‬ ‫پاسخ‪ :‬خیر زیرا بر اساس مشاهدات گذشته نتیجه ای گرفته است که ممکن است درست نباشد‪.‬‬ ‫احمد می گوید‪ :‬عدد ‪ 3591‬بر ‪ 3‬بخش پذیر است چون جمع ارقامش ‪ 18‬و بر ‪ 3‬بخش پذیر است‪.‬‬ ‫پاسخ‪ :‬بله زیرا بر اساس اطالعات قبلی می دانیم عددی بر ‪ 3‬بخش پذیر است که جمع رقم هایش بر ‪ 3‬بخش پذیر‬ ‫باشد‪.‬‬ ‫حسین می گوید‪ :‬در لوزی مثل متوازی االضالع قطرها همدیگر را نصف می کنند‪.‬‬ ‫پاسخ‪ :‬بله زیرا بر اساس اطالعات گذشته می دانیم لوزی نوعی متوازی االضالع است و در متوازی االضالع قطرها‬ ‫منصف یکدیگرند پس لوزی نیز این خاصیت را دارد‪.‬‬ ‫امیر می گوید‪ :‬جمع زوایای داخلی هر مثلث ‪ 180‬درجه است زیرا مثلث متساوی االضالع این ویژگی را دارد‪.‬‬ ‫پاسخ‪ :‬خیر زیرا با ذکر یک مثال درست نمی توان نتیجه ای را برای تمامی مثلث ها بیان کرد‬ ‫سوال‪ :‬یک استدالل بنویسید که شبیه استدالل زیر باشد‪.‬‬ ‫‪ -‬تیم فوتبال مدرسه ی ما هر بار با لباس قرمز وارد زمین شده است مسابقه را باخته است‪.‬رنگ لباس امروز‬ ‫این تیم قرمز است پس امروز هم مسابقه را می بازد‪.‬‬ ‫پاسخ‪ :‬همه ی فرزندان خاله ی من پسر هستند‪.‬پس فرزند دیگرش که ماه آینده به دنیا می آید هم پسر خواهد‬ ‫بود‪ (.‬نتیجه گیری اشتباه بر اساس توجه به مشاهدات قبلی)‬ ‫سوال‪ :‬یک استدالل بنویسید که در آن فردی با توجه به مشاهدات قبل خود‪ ،‬نتیجه ای نادرست می گیرد‪.‬‬ ‫پاسخ‪ :‬هر بار باران می بارد حیاط مدرسه ی ما خیس می شود‪.‬امروز حیاط مدرسه خیس است پس حتما دیشب‬ ‫باران باریده است‪ (.‬نادرست به این علت که ممکن است علت خیس بودن زمین باران نباشد وحیاط مدرسه را‬ ‫شسته باشند)‬ ‫فرزندم! با مرور نکات باال برای یادگیری بیشتر تمرین های این درس از کتاب درسی را حل کن‪.‬‬ ‫‪3‬‬  ‫درس دوم‪ :‬آشنایی با اثبات در هندسه‬ ‫برای اثبات یا مشخص کردن درستی یک موضوع ابتدا باید بدانیم در مورد این موضوع چه اطالعاتی وجود دارد‪.‬‬ ‫فرض‪ :‬به اطالعات داده شده در صورت مساله فرض مساله ( داده های مساله) می گویند‪.‬‬ ‫بعد از تشخیص فرض ‪ ،‬باید دقت کنیم مساله چه چیزی را از ما می خواهد و باید چه چیزی را نشان بدهیم‪.‬‬ ‫حکم‪ :‬خواسته ی مساله را حکم مساله می گویند‪.‬‬ ‫برای اثبات یک ادعا در روند استداللمان از داشته های مساله (فرض) و اصولی که از قبل درستی آن ها برای ما‬ ‫مشخص شده است برای رسیدن به حکم مساله استفاده می کنیم‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬در هر کدام از مساله های زیر فرض و حکم را مشخص کنید‪.‬‬ ‫‪ )1‬در لوزی ‪ ،‬زاویه های رو به رو با هم برابرند‪.‬‬ ‫پاسخ‪ :‬برای نوشتن فرض و حکم می توان روابط را به زبان ریاضی نوشت‬ ‫فرض‬ ‫چهارضلعی ‪ ABCD‬لوزی است‬ ‫حکم‬ ‫𝑨)‬ ‫𝑩و̂‬ ‫𝑪=̂‬ ‫𝑫=̂‬ ‫زاویه های رو به رو برابرند( به زبان ریاضی‪̂ :‬‬ ‫‪ )2‬در متوازی االضالع قطرها همدیگر را نصف می کنند‪.‬‬ ‫فرض‬ ‫چهارضلعی ‪ ABCD‬متوازی االضالع است‬ ‫حکم‬ ‫̅̅̅̅̅ = ̅̅̅̅̅‬ ‫𝑴𝑩)‬ ‫𝑴𝑨و 𝑴𝑫‬ ‫قطرها همدیگر را نصف می کنند( به زبان ریاضی‪̅̅̅̅̅ :‬‬ ‫𝑴𝑪 = ̅̅̅̅̅‬ ‫‪ )3‬در مثلث متساوی الساقین زاویه های مجاور به ساق های برابر‪ ،‬با هم برابرند‪.‬‬ ‫̅̅̅̅ = ̅̅̅̅‬ ‫𝑩𝑨 ) فرض‬ ‫‪ ABC‬مثلث متساوی الساقین است( به زبان ریاضی‪𝑨𝑪 :‬‬ ‫حکم‬ ‫𝑩)‬‫𝑪= ̂‬ ‫زوایای مجاور به ساق با هم برابرند( به زبان ریاضی‪̂ :‬‬ ‫‪4‬‬  ‫‪ )4‬در مستطیل قطرها با هم برابرند‪.‬‬ ‫فرض‬ ‫‪ ABCD‬مستطیل است‬ ‫پاسخ‪:‬‬ ‫حکم‬ ‫قطرهای مستطیل ‪ ،‬مساوی است‬ ‫با توجه به شکل ‪ 1‬فرض و حکم را می توان به صورت زیر هم نمایش داد‪:‬‬ ‫𝑩=̂‬ ‫𝑨‬ ‫𝑪= ̂‬ ‫𝑫=̂‬ ‫‪̂ = 90 °‬‬ ‫𝑩𝑨‬ ‫𝑫𝑨 و ̅̅̅̅‬ ‫𝑫𝑪 = ̅̅̅̅‬ ‫̅̅̅̅‬ ‫𝑪𝑩 = ̅̅̅̅‬ ‫𝑫𝑩 = ̅̅̅̅‬ ‫𝑪𝑨 ∶ حکم‬ ‫̅̅̅̅̅‬ ‫∶ فرض‬ ‫𝑪𝑩 ∥ 𝑫𝑨 و 𝑫𝑪 ∥ 𝑩𝑨{‬ ‫مثال‪ :‬در هر مثلث اندازه ی زاویه ی خارجی با مجموع دو زاویه داخلی غیرمجاور آن برابر است‪.‬‬ ‫پاسخ‪:‬‬ ‫فرض‬ ‫‪ ABC‬مثلث است‬ ‫حکم‬ ‫اندازه ی زاویه ی خارجی با مجموع دو زاویه داخلی غیرمجاور آن برابر است‪.‬‬ ‫با توجه به شکل ‪ 2‬فرض و حکم را می توان به صورت زیر هم نمایش داد‪:‬‬ ‫𝑨‬‫𝑩‪̂+‬‬ ‫‪̂ + 𝑪̂1 = 180 °‬‬ ‫{ ∶ فرض‬ ‫𝑩‪̂+‬‬ ‫𝑨 ∶ حکم‬ ‫‪̂2‬‬ ‫𝑪= ̂‬ ‫𝑪 ‪𝑪̂1 +‬‬ ‫‪̂2 = 180 °‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫ضلع ‪ AC‬را امتداد و زاویه ی خارجی ‪ C‬را مشخص می کنیم‪.‬بنا به دانسته های قبلی می دانیم مجموع زوایای‬ ‫𝑪 و ‪ 𝑪̂1‬مکملند پس مجموع این دو زاویه هم ‪ 180‬درجه است‬ ‫داخلی مثلث ‪ 180‬درجه است ‪.‬همچنین دو زاویه ‪̂2‬‬ ‫بنابراین استدالل زیر را داریم‪:‬‬ ‫𝑩‪̂+‬‬ ‫𝑨‬ ‫‪̂ + 𝑪̂1 = 180 °‬‬ ‫𝑪 ‪̂ + 𝑪̂1 = 𝑪̂1 +‬‬ ‫𝑩‪̂+‬‬ ‫𝑨→}‬ ‫𝑨 → ‪̂2‬‬ ‫𝑩‪̂+‬‬ ‫‪̂2‬‬ ‫𝑪=̂‬ ‫̂‬ ‫̂‬ ‫‪𝑪1 + 𝑪2 = 180 °‬‬ ‫دقت کنیم با استداللی مشابه با استدالل باال این خاصیت برای زاویه های خارجی دیگر مثلث هم برقرار است پس‬ ‫می توان این ویژگی را به هر زاویه از مثلث تعمیم داد‪.‬‬ ‫تعمیم ‪ :‬وقتی خاصیتی را برای یک عضو از یک مجموعه ثابت کردیم ( مانند زاویه ی خارجی ‪ C‬در مثال باال) اگر تمام‬ ‫ویژگی هایی که در استدالل خود به کار برده ایم ‪ ،‬در سایر عضوهای مجموعه ( دو زاویه ی خارجی دیگر مثلث مثال‬ ‫باال) باشد ‪ ،‬می توان درستی نتیجه را به همه ی عضوهای مجموعه ( همه ی زوایای خارجی) تعمیم داد‪.‬‬ ‫‪5‬‬  ‫برای درک بهتر مفهوم تعمیم به مثال های زیر دقت کنید‪.‬‬ ‫مثال ‪ )1‬در هر متوازی االضالع ‪ ،‬ضلع های رو به رو دو به دو موازی و مساویند‪.‬می دانیم مربع ‪ ،‬مستطیل و لوزی‬ ‫هر سه نوعی متوازی االضالع هستند‪.‬بنابراین این ویژگی به این سه شکل هم تعمیم داده می شود‪.‬‬ ‫یعنی در مربع ‪ ،‬مستطیل و لوزی نیز اضالع رو به رو با هم موازی و برابرند‪.‬‬ ‫مثال ‪ )2‬آیا استدالل های زیر معتبر هستند؟چرا؟‬ ‫مستطیل یک متوازی االضالع است‬ ‫{ ⇐ 𝑫𝑪𝑩𝑨 مستطیل است‬ ‫چهارضلعی 𝑫𝑪𝑩𝑨 متوازی االضالع است‬ ‫شکل‪1‬‬ ‫پاسخ‪ :‬با یک مثال نقض نشان می دهیم استدالل نادرست است‪(.‬شکل‪ 1‬متوازی االضالعی که مستطیل نیست)‬ ‫مثال ‪ )3‬آیا استدالل زیر معتبر است؟چرا؟‬ ‫در لوزی قطرها عمود منصف یکدیگرند‬ ‫{ ⇐ در مربع قطرها عمود منصف یکدیگرند‬ ‫مربع نوعی لوزی است‬ ‫پاسخ‪ :‬استدالل درست است‪.‬زیرا مربع نوعی لوزی است پس خواص لوزی به مربع تعمیم داده می شود‪.‬‬ ‫فرزندم! نکات ارائه شده را مرور و برای یادگیری بیشتر تمرین های این درس از کتاب درسی را حل کن‪.‬‬ ‫‪6‬‬  ‫درس سوم‪ :‬هم نهشتی مثلث ها‬ ‫ابتدا به تعاریف زیر دقت کنیم‪:‬‬ ‫نیمساز ‪ :‬نیم خطی است که از راس شروع شده و زاویه را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند‪.‬‬ ‫ارتفاع‪ :‬پاره خطی است که از راس مثلث به ضلع مقابل یا امتداد آن عمود باشد ‪.‬‬ ‫عمودمنصف‪ :‬خطی است که از وسط ضلع برآن عمود شده باشد‪.‬‬ ‫میانه‪ :‬پاره خطی که از یک راس مثلث به وسط ضلع مقابلش وصل شده باشد‪.‬‬ ‫با توجه به نکات درس قبل‪ ،‬در صورت سوال از هر کدام از عبارات باال می توان فرض مناسب را در نظر گرفت‪.‬‬ ‫برای درک بهتر به مثالهای زیر توجه کنید‪.‬‬ ‫𝐴 = ‪𝐴̂1‬‬ ‫مثال‪ :1‬در شکل(‪ )1‬پاره خط ‪ AM‬نیمساز زاویه ی ‪ A‬است یعنی‪̂2 :‬‬ ‫̅̅̅̅̅‬ ‫مثال‪ :2‬در شکل (‪ )2‬پاره خط ‪ AM‬میانه ی وارد بر قاعده ی ‪ BC‬است یعنی‪̅̅̅̅̅ :‬‬ ‫𝑀𝐶 = 𝑀𝐵‬ ‫برای اینکه نشان دهیم دو مثلث هم نهشت هستند می توانیم از یکی از حالتهای زیر استفاده کنیم و الزم نیست‬ ‫برابری تمامی اضالع و زاویه ها بررسی گردد‪.‬‬ ‫حالت اول‪ :‬برابری سه ضلع ( ض ض ض )‬ ‫اگر هرسه ضلع مثلث اول با اضالع مثلث دوم دو به دو برابر باشند آن دو مثلث حتما هم نهشت هستند‪.‬‬ ‫مثال ‪ :‬مثلث ‪ ABC‬متساوی الساقین و ‪ AM‬میانه ی وارد بر قاعده ‪ BC‬است‪.‬چرا دو مثلث ‪ ABM‬و ‪ACM‬‬ ‫هم نهشتند؟‬ ‫پاسخ‪:‬‬ ‫̅̅̅̅̅ ‪.‬بنابراین داریم‪:‬‬ ‫میانه قاعده را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند ‪ ،‬پس ̅̅̅̅̅‬ ‫𝑀𝐶 = 𝑀𝐵‬ ‫𝐶𝐴 = ̅̅̅̅‬ ‫𝐵𝐴 ∶ زیرا مثلث متساوی الساقین است‬ ‫̅̅̅̅‬ ‫بنا به حالت ( ض ض ض)‬ ‫زیرا 𝑀𝐴 میانه است‬ ‫∶‬ ‫̅̅̅̅̅‬ ‫̅̅̅̅̅‬ ‫𝑀𝐶 = 𝑀𝐵‬ ‫⟹‬ ‫𝑀𝐶𝐴 △≅ 𝑀𝐵𝐴 △‬ ‫𝑀𝐴 = ̅̅̅̅̅‬ ‫𝑀𝐴 ∶ زیرا ضلع مشترک دو مثلث است‬ ‫̅̅̅̅̅‬ ‫}‬ ‫‪7‬‬  ‫حالت دوم‪ :‬برابری دو ضلع و زاویه ی بین آن ها ( ض ز ض )‬ ‫اگر دو ضلع از مثلث اول با دو ضلع از مثلث دوم برابر و زاویه ی بین آن دو ضلع در هر دو مثلث برابر باشد‪،‬‬ ‫آن دو مثلث حتما هم نهشت هستند‪.‬‬ ‫مثال‪ :2‬مثلث ‪ ABC‬متساوی الساقین و ‪ AM‬نیمساز زاویه ی ‪ A‬است‪.‬چرا دو مثلث ‪ ABM‬و ‪ACM‬‬ ‫هم نهشتند؟‬ ‫𝐴 = ‪ 𝐴̂1‬بنابراین‪:‬‬ ‫پاسخ‪ AM :‬نیمساز زاویه ی ‪ A‬است پس ‪̂2 :‬‬ ‫𝐶𝐴 = ̅̅̅̅‬ ‫𝐵𝐴 ∶ زیرا مثلث متساوی الساقین است‬ ‫̅̅̅̅‬ ‫بنا به حالت ( ض ز ض)‬ ‫زیرا 𝑀𝐴 نیمساز ̂𝐴است‬ ‫∶‬ ‫𝐴 = ‪𝐴̂1‬‬ ‫‪̂2‬‬ ‫⟹‬ ‫𝑀𝐶𝐴 △≅ 𝑀𝐵𝐴 △‬ ‫̅̅̅̅̅ ∶ زیرا ضلع مشترک دو مثلث است‬ ‫̅̅̅̅̅ = 𝑀𝐴‬ ‫} 𝑀𝐴‬ ‫حالت سوم‪ :‬برابری دو زاویه و ضلع بین آن ها ( ز ض ز )‬ ‫اگر دو زاویه از مثلث اول با دو زاویه از مثلث دوم برابر و ضلع بین آن دو زاویه در هر دو مثلث برابر باشد‪،‬‬ ‫آن دو مثلث حتما هم نهشت هستند‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬در مثلث ‪ ABC‬پاره خط ‪ AM‬نیمساز زاویه ی ‪ A‬و بر ‪ BC‬عمود است‪.‬چرا دو مثلث ‪ ABM‬و ‪ACM‬‬ ‫هم نهشتند؟‬ ‫𝑀 = ‪̂1‬‬ ‫𝑀 ∶ زیرا ‪ AM‬بر ‪ BC‬عمود است‬ ‫‪̂2 = 90 °‬‬ ‫بنا به حالت (ز ض ز)‬ ‫زیرا 𝑀𝐴 نیمساز ̂𝐴است‬ ‫∶‬ ‫𝐴 = ‪𝐴̂1‬‬ ‫‪̂2‬‬ ‫⟹‬ ‫𝑀𝐶𝐴 △≅ 𝑀𝐵𝐴 △‬ ‫̅̅̅̅̅ ∶ زیرا ضلع مشترک دو مثلث است‬ ‫̅̅̅̅̅ = 𝑀𝐴‬ ‫} 𝑀𝐴‬ ‫در مثلث های قائم الزاویه اگر وترها برابر باشند می توان از دو حالت دیگر نیز استفاده کرد‬ ‫حالت چهارم‪ :‬برابری وتر و یک ضلع زاویه ی قائمه در مثلث قائم الزاویه‬ ‫دقت کنیم این حالت فقط مخصوص مثلث های قائم الزاویه است‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬مثلث ‪ ABC‬متساوی الساقین و ‪ AH‬ارتفاع آن است‪.‬چرا دو مثلث‪ ABH‬و ‪ ACH‬هم نهشتند؟‬ ‫پاسخ‪:‬‬ ‫ابتدا توجه کنیم چون ‪ AH‬ارتفاع است پس دو مثلث ‪ ABH‬و ‪ ACH‬قائم الزاویه هستند و‬ ‫‪ AB‬و ‪ AC‬در دو مثلث وتر هستند‬ ‫𝐻 = ‪̂1‬‬ ‫𝐻‬ ‫‪̂2 = 90 °‬‬ ‫بنا به حالت ( وتر و یک ضلع)‬ ‫𝐶𝐴 = ̅̅̅̅‬ ‫𝐵𝐴‬ ‫̅̅̅̅‬ ‫}‬ ‫⇒‬ ‫𝐻𝐶𝐴 ≅ 𝐻𝐵𝐴∆‬ ‫بنابراین داریم‪:‬‬ ‫ضلع مشترک دو مثلث است̅̅̅̅̅‬ ‫𝐻𝐴‬ ‫‪8‬‬  ‫حالت پنجم‪ :‬برابری وتر و یک زاویه ی تند از مثلث قائم الزاویه‬ ‫دقت کنیم این حالت هم مانند حالت قبل فقط مخصوص مثلث های قائم الزاویه است‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬در شکل داده شده ‪ BC‬نیمساز زاویه ی ‪ B‬است‪.‬چرا دو مثلث ‪ ABC‬و ‪ DBC‬هم نهشتند؟‬ ‫پاسخ‪ :‬با توجه به این که دو مثلث قائم الزاویه هستند و وتر هر دوی آن ها 𝐶𝐵 است داریم‪:‬‬ ‫𝐷 = ̂𝐴‬ ‫‪̂ = 90 °‬‬ ‫بنا به حالت ( وتر و یک زاویه ی تند)‬ ‫̅̅̅̅̅‬ ‫̅̅̅̅‬ ‫𝐶𝐵 = 𝐶𝐵‬ ‫}‬ ‫⇒‬ ‫𝐶𝐵𝐷 ≅ 𝐶𝐵𝐴∆‬ ‫𝐵 = ‪̂1‬‬ ‫𝐵‬ ‫‪̂2‬‬ ‫فرزندم! با مرور نکات باال برای یادگیری بیشتر تمرین های این درس از کتاب درسی را حل کن‬ ‫‪9‬‬  ‫درس چهارم‪ :‬برای حل یک مساله هندسی راه حل کلی وجود ندارد‬ ‫ولی می توان مراحلی را مشخص کرد و با دقت بیشتری به جواب رسید‪.‬‬ ‫اثبات و‬ ‫قدم های حل مساله‪:‬‬ ‫حل مساله‬ ‫‪ )1‬فهمیدن صورت مساله‬ ‫در هندسه‬ ‫‪ )2‬رسم شکل مناسب‬ ‫‪ )3‬تشخیص فرض و حکم‬ ‫‪ )4‬استدالل‬ ‫ابتدا صورت مساله را با دقت می خوانیم و مفاهیم تشکیل دهنده ی آن را شناسایی می کنیم‪.‬اگر مساله فاقد‬ ‫شکل است با توجه به صورت مساله ‪ ،‬یک شکل مناسب برای آن رسم می کنیم‪.‬داده های مساله (فرض) و‬ ‫خواسته های آن (حکم) را تشخیص می دهیم و در یک جدول می نویسیم و برای رسیدن از فرض به حکم راه‬ ‫حلی پیدا می کنیم و مساله را اثبات می کنیم‪.‬‬ ‫برای بهتر فهمیدن گام های حل مساله به سوال زیر توجه کنید‪.‬‬ ‫مثال‪ :1‬نشان دهید زوایای متقابل به راس با هم برابرند‪.‬‬ ‫پاسخ‪ :‬گام اول‪ :‬زوایای متقابل به راس از برخورد دو خط راست ایجاد می گردد‪.‬‬ ‫گام دوم‪ :‬دو زاویه متقابل به راس رسم می کنیم و زاویه ها را نام گذاری می کنیم‪.‬‬ ‫گام سوم‪:‬فرض مساله متقابل به راس بودن دو زاویه و حکم مساله نشان دادن تساوی آن هاست‪.‬‬ ‫گام چهارم‪ :‬دقت کنیم طبق شکل دو زاویه ی ‪ 1‬و ‪ 2‬مکمل و دو زاویه ی ‪ 2‬و ‪ 3‬نیز مکمل یکدیگرند‪.‬بنابراین طبق‬ ‫شکل زیر داریم‪:‬‬ ‫𝑀 ‪̂1 +‬‬ ‫𝑀‬ ‫‪̂2 = 180 °‬‬ ‫𝑀 ‪̂1 +‬‬ ‫𝑀 ⇒}‬ ‫𝑀 = ‪̂2‬‬ ‫𝑀 ‪̂3 +‬‬ ‫‪̂2‬‬ ‫⇒‬ ‫𝑀 = ‪̂1‬‬ ‫𝑀‬ ‫‪̂3‬‬ ‫𝑀 ‪̂3 +‬‬ ‫𝑀‬ ‫‪̂2 = 180 °‬‬ ‫حکم‬ ‫فرض‬ ‫مثال‪ :2‬نشان دهید مجموع زوایای داخلی هر مثلث ‪ 180‬درجه است‪.‬‬ ‫پاسخ‪ :‬مثلث دلخواه ‪ ABC‬را رسم می کنیم‪.‬از راس دلخواهی خطی موازی با ضلع مقابل به آن رسم می کنیم‬ ‫(مطابق با شکل ‪ )1‬و با توجه به خاصیت خطوط موازی و مورب و تساوی زوایا حکم را اثبات می کنیم‪.‬‬ ‫𝑨=̂‬ ‫𝑩‬ ‫طبق فرض 𝑪𝑩 ∥ 𝑫𝑨 و ‪ AB‬مورب است پس ‪̂3 :‬‬ ‫𝑨=̂‬ ‫𝑪‬ ‫طبق فرض 𝑪𝑩 ∥ 𝑫𝑨 و ‪ AC‬مورب است پس ‪̂2 :‬‬ ‫𝑨 ‪̂3 +‬‬ ‫𝑨‬ ‫𝑨 ‪̂1 +‬‬ ‫‪ AD‬خط راست است پس ‪̂2 = 180 ° :‬‬ ‫𝑨= ̂‬ ‫𝑩‬ ‫‪̂3‬‬ ‫𝑨‪̂ +‬‬ ‫𝑩→}‬ ‫𝑨=̂‬ ‫𝑪 ‪̂1 +‬‬ ‫𝑨 ‪̂3 +‬‬ ‫𝑨 ‪̂1 +‬‬ ‫‪̂2 = 180 °‬‬ ‫𝑨=̂‬ ‫𝑪‬ ‫‪̂2‬‬ ‫‪10‬‬  ‫گاهی در اثبات یک حکم باید از تساوی اجزای متناظر استفاده کرد به مثال زیر و گام های حل مساله‬ ‫توجه کنید‪:‬‬ ‫مثال‪ :3‬نشان دهید در یک دایره وترهای مقابل به کمان های مساوی با هم برابرند‪.‬‬ ‫گام اول‪ :‬در صورت سوال از کمان و دایره نام برده شده بنابراین از مفاهیم مربوط به آن باید استفاده کرد‪.‬‬ ‫گام دوم ‪ :‬برای درک بهتر شکل ترسیم می کنیم‪.‬‬ ‫گام سوم‪ :‬در دایره ی رسم شده مرکز را با نقطه ی ‪ O‬نشان داده ایم و ‪ AB‬و ‪ CD‬طبق فرض مساله کمان هایی‬ ‫̅̅̅̅ = ̅̅̅̅‬ ‫𝑩𝑨 (حکم مساله)‬ ‫مساوی هستند‪.‬می خواهیم ثابت کنیم 𝑫𝑪‬ ‫فرض‬ ‫⏜‬ ‫𝑫𝑪 = 𝑩𝑨‬ ‫⏜‬ ‫گام چهارم‪ :‬برای نشان دادن این حکم دو مثلث در نظر میگیریم و‬ ‫حکم‬ ‫̅̅̅̅ = ̅̅̅̅‬ ‫𝑩𝑨‬ ‫𝑫𝑪‬ ‫هم نهشتی بین آن ها را اثبات و از این هم نهشتی تساوی اجزای آن‬ ‫ها را نتیجه می گیریم‪.‬بنابراین طبق شکل ‪ 1‬داریم‪:‬‬ ‫چون کمان های ‪ AB‬و ‪ CD‬با هم برابرند زوایای مرکزی مقابل به آن ها هم با هم برابرند ‪.‬از طرفی اضالع دو مثلث‬ ‫شعاع های دایره هستند بنابراین با خالصه کردن توضیحات باال داریم‪:‬‬ ‫̅̅̅̅‬ ‫𝑂𝐷 = 𝑂𝐵‬‫̅̅̅̅‬ ‫(ضزض)‬ ‫تساوی اجزای متناظر در دو مثلث‬ ‫𝑂 = ‪𝑂̂1‬‬ ‫} ‪̂2‬‬ ‫𝐷𝐶𝑂 △≅ 𝐵𝐴𝑂 △ ⟹‬ ‫⇒‬ ‫̅̅̅̅ = ̅̅̅̅‬ ‫𝑩𝑨‬ ‫𝑫𝑪‬ ‫̅̅̅̅‬ ‫̅̅̅̅ = 𝑂𝐴‬ ‫𝑂𝐶‬ ‫فرض‬ ‫حکم‬ ‫مثال ‪ :4‬نقطه ی ‪ A‬روی عمودمنصف ‪ BC‬است‪.‬می خواهیم نشان دهیم ‪ ( AB=AC‬یعنی فاصله ی ‪ A‬از دو سر پاره‬ ‫خط برابر است‪ ).‬نقطه ی ‪ A‬را به دو سر پاره خط وصل می کنیم و دو مثلث قائم الزاویه می سازیم‪.‬‬ ‫دقت کنیم عمود منصف خطی است که بر پاره خط عمود شده و آن را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند‪.‬‬ ‫𝐻𝐵 ∶ زیرا ‪ AH‬عمود منصف ‪ BC‬است‬ ‫̅̅̅̅‬ ‫𝐻𝐶 = ̅̅̅̅‬ ‫(ضزض)‬ ‫∶‬‫𝐻 = ‪̂1‬‬ ‫𝐻‬ ‫‪̂2 = 90 °‬‬ ‫𝐻𝐶𝐴 △≅ 𝐻𝐵𝐴 △ ⟹‬ ‫̅̅̅̅ ∶ زیرا ضلع مشترک دو مثلث است‬ ‫̅̅̅̅ = 𝐻𝐴‬ ‫𝐻𝐴‬ ‫}‬ ‫وقتی دو مثلث هم نهشت باشند اجزای متناظر آن ها با هم برابر است بنابراین داریم‪̅̅̅̅ :‬‬ ‫𝐂𝐀 = ̅̅̅̅‬ ‫𝐁𝐀 پس حکم ما‬ ‫برای نقطه ی ‪ A‬اثبات شد‪.‬با توجه به مساله ی باال با تغییر مکان نقطه ی ‪ A‬برای سایر نقاط روی عمود منصف با‬ ‫همان استدالل باال و در حالت کلی می توان نشان داد هر نقطه که روی عمودمنصف یک پاره خط باشد از دو سر‬ ‫آن به یک فاصله است و این خاصیت به تمام نقاط روی عمودمنصف تعمیم داده می شود‪.‬‬ ‫‪11‬‬  ‫تمرین ‪ :1‬نشان دهید قطرهای مستطیل با هم برابرند‪.‬‬ ‫پاسخ‪:‬‬ ‫برای درک بهتر شکل ترسیم می کنیم‪.‬در مستطیل داده شده ‪ AC‬و ‪ BD‬قطرهای مستطیل هستند‪.‬‬ ‫̅̅̅̅‬ ‫̅̅̅̅̅ = 𝐂𝐀‬ ‫می خواهیم نشان دهیم‪𝑩𝑫 :‬‬ ‫فرض مساله مستطیل بودن چهارضلعی است و می دانیم در مستطیل اضالع رو به رو دو به دو مساوی و هر چهار‬ ‫زاویه قائمه هستند‪.‬با انتخاب دو مثلث مناسب و نشان دادن هم نهشتی بین آن ها می توان تساوی قطرها را‬ ‫نتیجه گرفت ‪.‬دقت کنیم مثلثهایی را انتخاب کنیم که قطرهای ‪ AC‬و ‪ BD‬اجزای متناظر آن ها باشند‪.‬‬ ‫می توان دو مثلث قائم الزاویه ی ‪ ADC‬و ‪ BDC‬را انتخاب کرد برای درک بهتر این دو مثلث را به صورت جداگانه‬ ‫می کشیم‪.‬‬ ‫طبق فرض مساله و خواص مستطیل استدالل زیر را داریم‪:‬‬ ‫̅̅̅̅‬ ‫𝑪𝑩 = 𝑫𝑨‬‫̅̅̅̅‬ ‫(ضزض)‬ ‫تساوی اجزای متناظر در دو مثلث‬ ‫𝑪= ̂‬ ‫𝑫‬ ‫‪̂ = 90 °‬‬ ‫}‬ ‫→ 𝑪𝑫𝑩∆ ≅ 𝑪𝑫𝑨∆ →‬ ‫̅̅̅̅‬ ‫̅̅̅̅‬ ‫𝑪𝑩 = 𝑪𝑨‬ ‫ضلع مشترک هر دو مثلث ‪̅̅̅̅:‬‬ ‫𝑪𝑫‬ ‫حکم‬ ‫فرض‬ ‫̅̅̅̅‬ ‫تمرین‪ :2‬در شکل مقابل ‪ O‬مرکز و ‪ BC‬و ‪ AD‬بر دایره مماسند‪.‬نشان دهید ‪̅̅̅̅ :‬‬ ‫𝑪𝑩 = 𝑫𝑨‬ ‫پاسخ‪:‬‬ ‫دقت کنیم شعاع دایره در نقطه ی تماس بر خط مماس عمود است‬ ‫پس زوایای ‪ A‬و ‪ B‬قائمه هستند‪.‬‬ ‫𝑨𝑶 = ̅̅̅̅̅‬ ‫𝑩𝑶‬ ‫̅̅̅̅‬ ‫تساوی اجزای متناظر در دو مثلث‬ ‫( زضز)‬ ‫̂‬ ‫̂‬ ‫→ 𝑫𝑶𝑨∆ ≅ 𝑪𝑶𝑩∆ → }‪𝑩 = 𝑨 = 90 °‬‬ ‫̅̅̅̅ = ̅̅̅̅‬ ‫𝑪𝑩‬ ‫𝑫𝑨‬ ‫̂‬ ‫‪𝑂2 = 𝑂1‬‬‫̂‬ ‫حکم‬ ‫فرض‬ ‫‪12‬‬  ‫تمرین ‪ :3‬نشان دهید فاصله ی هر نقطه روی نیمساز یک زاویه از دو سر زاویه برابر است‪.‬‬ ‫پاسخ‪ :‬نقطه ی ‪ P‬را روی نیم ساز زاویه ی ‪ A‬در نظر می گیریم‪.‬برای نشان دادن فاصله ی ‪ P‬از اضالع زاویه‪ ،‬از‬ ‫نقطه ی ‪ P‬بردو ضلع زاویه عمود رسم می کنیم و نقطه ی برخورد با ضلع را ‪ B‬و ‪ C‬می نامیم‪.‬باید نشان دهیم ‪:‬‬ ‫𝑷𝑩‪.‬دقت کنیم‪ AP‬وتر مشترک دو مثلث است پس می توان از حالت وتر و یک زاویه تند استفاده کرد‪.‬‬ ‫̅̅̅̅‬ ‫𝑷𝑪 = ̅̅̅̅‬ ‫𝑩=̂‬ ‫𝑪‬ ‫تساوی اجزای متناظر در دو مثلث ( وتر و یک زاویه ی تند) ‪̂ = 90 °‬‬ ‫}وتر مشترک ‪𝑨𝑷:‬‬ ‫𝑷𝑩𝑨∆ ≅ 𝑷𝑪𝑨∆ ⇒‬ ‫⇒‬ ‫̅̅̅̅‬ ‫̅̅̅̅ = 𝑪𝑷‬‫𝑩𝑷‬ ‫‪Â1 =A‬‬ ‫‪̂2‬‬ ‫حکم‬ ‫فرض‬ ‫دقت کنیم این استدالل را به هر نقطه ی دیگر روی نیمساز زاویه ی ‪ A‬می توان تعمیم داد‬ ‫تمرین ‪ :4‬نشان دهید در هر مثلث متساوی االضالع نیمساز وارد بر قاعده ‪ ،‬عمودمنصف قاعده نیز می باشد‪.‬‬ ‫̅̅̅̅ = 𝑯𝑩‬ ‫̅̅̅̅̅‬ ‫𝑯 = ‪̂1‬‬ ‫𝑯 و 𝑯𝑪‬ ‫پاسخ‪ ABC :‬متساوی االضالع و ‪ AH‬نیمساز زاویه ‪ A‬است‪.‬باید نشان دهیم‪̂2 = 90 ° :‬‬ ‫نشان می دهیم دو مثلث ‪ ABH‬و ‪ ACH‬هم نهشتند و از تساوی اجزای متناظر به خواسته ی مساله می رسیم‪.‬‬ ‫تساوی اجزای متناظر در دو مثلث‬ ‫𝑩𝑨‬ ‫̅̅̅̅‬ ‫𝑪𝑨 = ̅̅̅̅‬ ‫(ضزض)‬ ‫̂‬ ‫̂ = ‪𝑨1‬‬‫‪𝑨1‬‬ ‫𝑯 = ‪̂1‬‬ ‫𝑯‬ ‫‪̂2 = 90 °‬‬ ‫}‬ ‫𝑯𝑪𝑨∆ ≅ 𝑯𝑩𝑨∆ ⇒‬ ‫⇒‬ ‫{‬ ‫در هر دو مشترک ‪𝑨𝑯:‬‬ ‫̅̅̅̅ = 𝑯𝑩‬ ‫̅̅̅̅̅‬ ‫𝑯𝑪‬ ‫با استداللی مشابه استدالل باال این خاصیت به نیمساز های وارد بر قاعده های دیگر هم تعمیم داده می شود‪.‬‬ ‫تمرین ‪ :5‬نشان دهید در مثلث متساوی الساقین میانه ی وارد بر قاعده ‪ ،‬نیم ساز راس مثلث است‪.‬‬ ‫𝑨 = ‪̂1‬‬ ‫𝑨‬ ‫پاسخ‪:‬مثلث ‪ ABC‬متساوی الساقین و ‪ AM‬میانه ی وارد بر قاعده ی ‪ BC‬است ‪.‬نشان می دهیم‪̂1 :‬‬ ‫تساوی اجزای متناظر در دو مثلث‬ ‫̅̅̅̅ = ̅̅̅̅‬ ‫𝑩𝑨‬ ‫𝑪𝑨‬ ‫(ضضض)‬ ‫𝑩𝑴‬ ‫̅̅̅̅̅‬ ‫𝑪𝑴 = ̅̅̅̅̅‬ ‫}‬ ‫⇒‬ ‫𝑯𝑪𝑨∆ ≅ 𝑯𝑩𝑨∆‬ ‫⇒‬ ‫𝑨 = ‪̂1‬‬ ‫𝑨‬ ‫‪̂1‬‬ ‫در هر دو مشترک ‪𝑨𝑯:‬‬ ‫توجه کنیم که خاصیت اثبات شده برای میانه ی وارد بر قاعده برای میانه ی وارد بر ساق هم قابل تعمیم نیست ‪،‬‬ ‫زیرا میانه های دیگر ویژگی های میانه ی وارد بر قاعده ی ‪ BC‬را ندارند‪.‬‬ ‫‪13‬‬  ‫تمرین ‪ :6‬نقطه ی ‪ N‬وسط طول مستطیل ‪ ABCD‬است‪.‬ثابت کنید مثلث ‪ NBC‬متساوی الساقین است‪.‬‬ ‫̅̅̅̅ = 𝐍𝐃‬ ‫̅̅̅̅‬ ‫پاسخ‪ :‬می خواهیم نشان دهیم 𝑵𝑪‬ ‫برای اثبات این حکم دو مثلث ‪ AND‬و ‪ BNC‬که در آن ها ‪ DN‬و ‪ CN‬اجزای متناظرند را‬ ‫در نظر گرفته و هم نهشتی آن ها را اثبات و از تساوی اجزای متناظرشان حکم مساله را نتیجه می گیریم‪.‬‬ ‫̅̅̅̅‬ ‫𝑵𝑩 = 𝐍𝐀‬‫̅̅̅̅̅‬ ‫(ضزض)‬ ‫تساوی اجزای متناظر در دو مثلث‬ ‫𝑩=̂‬ ‫𝑨‬ ‫}‪̂ = 90 °‬‬ ‫𝑯𝑪𝑨∆ ≅ 𝑯𝑩𝑨∆ ⇒‬ ‫̅̅̅̅ = 𝐍𝐃‬ ‫̅̅̅̅ ⇒‬ ‫𝑵𝑪‬ ‫متساوی الساقین است ‪⇒ ∆𝑵𝑫𝑪:‬‬ ‫𝑫𝑩 = ̅̅̅̅‬ ‫𝐃𝐀‬ ‫̅̅̅̅̅‬ ‫فرزندم! با مرور نکات باال برای یادگیری بیشتر تمرین های این درس از کتاب درسی را حل کن‪.‬‬ ‫‪14‬‬  ‫درس پنجم‪ :‬شکل های متشابه‬ ‫به تصویر مقابل نگاه کنید ‪.‬در مورد شباهت ها یا تفاوت های این دو تصویر‬ ‫چه چیزی می توان گفت؟‬ ‫مثال ‪ ) 1‬اندازه ی اضالع و زوایای شکل های زیر را بنویسید و آن ها را با هم مقایسه کنید‪.‬‬ ‫پاسخ‪ :‬اندازه ی اضالع و زوایا روی هر کدام نوشته شده است ‪.‬با مقایسه ی دو شکل می بینیم زوایای متناظر با‬ ‫هم برابر و اضالع متناظر به یک نسبت تغییر کرده اند( دو برابر شده اند)‬ ‫مثال ‪ ) 2‬در صفحه ی شطرنجی شکلی رسم کنید که اندازه ی اضالعش دو برابر شکل رسم شده و زاویه های‬ ‫متناظر با هم برابر باشند‪.‬‬ ‫هرگاه در دو چندضلعی با تعداد اضالع برابر ‪ ،‬همه ی ضلع ها به یک نسبت تغییر کرده باشند(کوچک یا بزرگ‬ ‫شده یا تغییر نکرده باشند) و زوایای متناظر در هر دو شکل با هم برابر باشند آن دو چندضلعی با هم متشابهند‪.‬‬ ‫به نسبت بین دو ضلع متناظر در دو شکل متشابه‪ ،‬نسبت تشابه می گویند‪.‬‬ ‫نکته‪ :‬دو شکل هم نهشت با هم متشابهند و نسبت تشابه آن ها ‪ 1‬است‪.‬‬ ‫دو تصویر زیر متشابه نیستند چون متناسب نیستند‪.‬‬ ‫‪15‬‬  ‫‪2‬‬ ‫است‪.‬اگر ضلع مربع کوچکتر ‪ 60‬سانتیمتر باشد ضلع مربع بزرگتر چقدر‬ ‫مثال‪ :3‬نسبت تشابه دو مربع‬ ‫‪7‬‬ ‫است؟‬ ‫پاسخ‪ :‬با استفاده از نسبت تشابه و تناسب بین اضالع داریم‪:‬‬ ‫‪× 30‬‬ ‫ضلع مربع کوچک‬ ‫‪2‬‬ ‫‪60‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪𝑥 = 7 × 30 = 210‬‬ ‫ضلع مربع بزرگ‬ ‫‪7‬‬ ‫𝑥‬ ‫مثال‪ :4‬مثلثی به اضالع ‪ 4‬و ‪ 5‬و ‪ 7‬سانتی متر با مثلثی که اضالعش به ترتیب از کوچک به بزرگ ‪ 𝑥 − 1‬و ‪ 15‬و‬ ‫‪ 2 y + 3‬است متشابهند‪.‬‬ ‫الف) نسبت تشابه دو شکل را بنویسید‪.‬‬ ‫ب) مقدار ‪ x‬و ‪ y‬را محاسبه کنید‪.‬‬ ‫پاسخ‪ :‬چون اضالع دو مثلث به ترتیب کوچک به بزرگ نوشته شده اند پس تناسب بین اضالع به صورت زیر است‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫یا ‪ 1‬به ‪ 3‬است‪.‬‬ ‫=‬ ‫پس نسبت تشابه آن ها‬ ‫‪𝑥−1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪2 𝑦+3‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪15‬‬ ‫با تشکیل تناسب اضالع و محاسبه ی آن ها داریم‪:‬‬ ‫‪2 𝑦 + 3 = 3 × 7 = 21 → 2 𝑦 = 21 − 3 = 18 → 𝑦 = 18 ÷ 2 = 9‬‬ ‫‪𝑥 − 1 = 4 × 3 = 12‬‬ ‫→‬ ‫‪𝑥 = 12 + 1 = 13‬‬ ‫در درس مطالعات اجتماعی با نقشه و کاربرد نقشه آشنا شدید ‪.‬نقشه ها شکل های متشابه با طبیعت می‬ ‫باشند و در نقشه نسبت تشابه را مقیاس می نامند‪.‬در مطالعات هشتم در مورد مقیاس در نقشه مطالبی را‬ ‫آموخته اید‪.‬‬ ‫مثال‪ :5‬مقیاس یک نقشه ‪ 1 : 20000‬است‪.‬اگر فاصله ی دو مدرسه در نقشه‪ 4 cm‬باشد ‪ ،‬فاصله ی این دو میدان‬ ‫در واقعیت چقدر است؟‬ ‫‪×4‬‬ ‫فاصله در نقشه‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫𝑚 ‪𝑥 = 4 × 20000 = 80000 𝑐𝑚 = 800‬‬ ‫فاصله ی واقعی‬ ‫‪20000‬‬ ‫𝑥‬ ‫مثال‪ :6‬با یک مثال نشان دهید جمالت زیر نادرستند‪.‬‬ ‫الف) هر دو لوزی دلخواه متشابهند‪.‬‬ ‫در این دو شکل زوایای متناظر برابر نیستند‬ ‫ب) هر دو مستطیل دلخواه متشابهند‪.‬‬ ‫در این دو شکل اضالع متناظر متناسب نیستند‬ ‫(نسبت طول ها ‪ 1‬به ‪ 2‬است ولی عرض ها برابرند)‬ ‫نکته‪ :1‬هر دو مربع دلخواه و هر دو مثلث متساوی االضالع دلخواه و در حالت کلی هر دو چندضلعی منتظم با‬ ‫تعداد اضالع مساوی دلخواه با هم متشابهند‪.‬‬ ‫‪16‬‬  ‫مثال‪ :7‬اضالع دو مربع داده شده ‪ 1‬و ‪ 3‬سانتیمتر است‪.‬‬ ‫ضلع مربع کوچک‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫الف) نسبت تشابه دو مربع را بنویسید‪.‬‬ ‫ضلع مربع بزرک‬ ‫‪3‬‬ ‫ب) محیط دو مربع را محاسبه کنید و نسبت محیط دو مربع را محاسبه کنید‪.‬چه رابطه ای با نسبت تشابه دو‬ ‫مربع و نسبت محیط های آن ها وجود دارد؟‬ ‫محیط مربع کوچک‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫نسبت محیط دو مربع با نسبت تشابه آن ها برابر است‪.‬‬ ‫محیط مربع بزرک‬ ‫‪12‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ج) مساحت دو مربع را محاسبه کنید و نسبت مساحت دو مربع را محاسبه کنید‪.‬چه رابطه ای با نسبت تشابه دو‬ ‫مربع و نسبت مساحت های آن ها وجود دارد؟‬ ‫مساحت مربع کوچک‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫(=‬ ‫‪)2‬‬ ‫نسبت مساحت دو مربع با مجذور نسبت تشابه آن ها برابر است‪.‬‬ ‫مساحت مربع بزرک‬ ‫‪9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫𝒂‬ ‫‪2‬‬ ‫𝒂‬ ‫𝒂‬ ‫( است‪.‬‬ ‫𝒃‬ ‫)‬ ‫و نسب مساحت آن ها‬ ‫𝒃‬ ‫باشد نسبت محیط های آنها‬ ‫𝒃‬ ‫نکته‪ :2‬اگر نسبت تشابه دو شکل‬ ‫مثال‪ :8‬دو مستطیل ‪ MNPQ‬و ‪ MNCD‬متشابهند‪.‬اندازه ی پاره خط ‪ NC‬را محاسبه کنید‪.‬‬ ‫پاسخ‪ :‬ابتدا برای تشخیص بهتر اضالع دو مستطیل را جداگانه ترسیم می کنیم (شکل‪)1‬‬ ‫دقت کنیم طول مستطیل کوچک ( ‪ MN‬و ‪ )PQ‬و عرض مستطیل بزرگ ( ‪MN‬و‪ ) CD‬با هم برابرند‬ ‫𝑁𝑀‬ ‫𝑄𝑀‬ ‫‪24‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪24×24‬‬ ‫=‬ ‫⇒‬ ‫=‬ ‫= 𝐶𝑁 ⇒‬ ‫‪= 36‬‬ ‫بنابراین‪:‬‬ ‫𝐶𝑁‬ ‫𝑁𝑀‬ ‫𝐶𝑁‬ ‫‪24‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪17‬‬ ‫مثال‪ )9‬مثلثی به اضالع ‪ 5‬و ‪ 3‬و ‪ 4‬با مثلثی دیگر به محیط ‪ 36‬متر متشابه است ‪.‬اضالع مثلث بزرگتر را محاسبه‬ ‫کنید‪.‬‬ ‫پاسخ‪ :‬محیط مثلث اول برابر است با ‪𝑝1 = 3 + 4 + 5 = 12 :‬‬ ‫طبق نکته ی‪ 2‬نسبت تشابه دو مثلث با نسبت محیط آن ها برابر است‬ ‫‪p1‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= نسبت تشابه‬ ‫‪= 36 = 3‬‬ ‫پس‬ ‫‪p2‬‬ ‫بنابراین اضالع مثلث دوم سه برابر مثلث اول و به ترتیب ‪ 15‬و ‪ 9‬و ‪ 12‬است‪.‬‬ ‫مثال‪ )10‬دو مثلث ‪ ABC‬و ‪ ADE‬متشابهند و زوایای متناظرشان در شکل مشخص شده است‪.‬تناسب بین اضالع‬ ‫را بنویسید و مقدار ‪ y‬را محاسبه کنید‪.‬‬ ‫پاسخ ‪ :‬با توجه به تساوی زوایای متناظر اضالع متناسب را مشخص می کنیم‪.‬‬ ‫𝑬= ̂‬ ‫𝑩 پس اضالع مقابل به این دو زاویه یعنی ‪ AC‬و ‪ AD‬با هم متناسبند‪.‬‬ ‫̂‬ ‫𝑫=̂‬ ‫𝑪 پس اضالع مقابل به این دو زاویه یعنی ‪ AB‬و ‪ AE‬با هم متناسبند‪.‬‬ ‫̂‬ ‫زاویه ی ‪ A‬در هر دو مثلث مشترک است پس اضالع روبه رو به آن در دو مثلث یعنی ‪ BC‬و ‪ DE‬با هم متناسبند ‪.‬‬ ‫𝑫𝑨‬ ‫𝑬𝑨‬ ‫𝑬𝑫‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫با توضیحات باال تناسب بین اضالع برابر است با ‪:‬‬ ‫𝑪𝑨‬ ‫𝑩𝑨‬ ‫𝑪𝑩‬ ‫̅̅̅̅‬ ‫دقت کنیم ‪𝐴𝐵 = 6/5 + 3/5 = 10‬‬ ‫𝐸𝐴‬ ‫𝐸𝐷‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4×10‬‬ ‫=‬ ‫→‬ ‫=‬ ‫=𝑦→‬ ‫‪=8‬‬ ‫پس ‪:‬‬ ‫𝐵𝐴‬ ‫𝐶𝐵‬ ‫‪10‬‬ ‫𝑦‬ ‫‪5‬‬ ‫فرزندم! نکات ارائه شده را مرور و برای یادگیری بیشتر تمرین های این درس از کتاب درسی را حل کن‪.‬‬ ‫گروه آموزشی ریاضی متوسطه اول استان خوزستان‬ ‫‪18‬‬