Geometría 5a. Ed. Alexander Koeberlein PDF

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Geometría 5a. Ed. ALEXANDER KOEBERLEIN Geometría 5a. Ed. Daniel C. Alexander Parkland College Geralyn M. Koeberlein Mahomet-Seymour High School Traducción Mtro. Javier León Cárdenas Facultad de Ingeniería Universidad La Salle Revisión técnica Dra. Ana Elizabeth García Hernández Instituto Politécnico Nacional ® Australia Brasil Corea España Estados Unidos Japón México Reino Unido Singapur  ® Geometría, 5a. Ed. © D.R. 2013 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., Daniel C. Alexander y una Compañía de Cengage Learning, Inc. Geralyn M. Koeberlein Corporativo Santa Fe Av. Santa Fe núm. 505, piso 12 Presidente de Cengage Learning Col. Cruz Manca, Santa Fe Latinoamérica: C.P. 05349, México, D.F. Fernando Valenzuela Migoya Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. Director Editorial, de Producción y de Plataformas Digitales para Latinoamérica: DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de Ricardo H. Rodríguez este trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podrá ser reproducida, Gerente de Procesos para Latinoamérica: transmitida, almacenada o utilizada en Claudia Islas Licona cualquier forma o por cualquier medio, ya sea gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo, Gerente de Manufactura para pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, Latinoamérica: reproducción, escaneo, digitalización, Raúl D. Zendejas Espejel grabación en audio, distribución en Internet, distribución en redes de información o Gerente Editorial de Contenidos en Español: almacenamiento y recopilación en sistemas Pilar Hernández Santamarina de información a excepción de lo permitido en el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal Gerente de Proyectos Especiales: del Derecho de Autor, sin el consentimiento Luciana Rabuffetti por escrito de la Editorial. Coordinador de Manufactura: Traducido del libro Elementary Geometry for College Rafael Pérez González Students, Fifth Edition. Daniel C. Alexander and Geralyn M. Koeberlein. Editores: Publicado en inglés por Brooks/Cole, una compañía de Abril Vega Orozco Cengage Learning © 2011 Timoteo Eliosa García ISBN: 978-14390-4790-3 Diseño de portada: Datos para catalogación bibliográfica: Terri Wrigth Alexander Daniel C. y Geralyn M. Koeberlein. Geometría, 5a. Ed. Imagen de portada: ISBN: 978-607-481-889-5 © Fancy Photography/Veer Visite nuestro sitio en: Composición tipográfica: http://latinoamerica.cengage.com Ediciones OVA Impreso en México 1 2 3 4 5 6 7 16 15 14 13 Contenido Prefacio xi Prólogo xv Índice de aplicaciones xvii 1 Relaciones lineales y angulares 1 1.1 Conjuntos, enunciados y razonamiento 2  PERSPECTIVA HISTÓRICA: El desarrollo de la 1.2 Geometría informal y medición 10 geometría 60 1.3 Primeras definiciones y postulados 21  PERSPECTIVA DE APLICACIÓN: Patrones 60 1.4 Los ángulos y sus relaciones 30 RESUMEN 62 1.5 Introducción a la demostración geométrica 39 EJERCICIOS DE REPASO 65 1.6 Relaciones: Rectas perpendiculares 46 EXAMEN 68 1.7 La demostración formal de un teorema 53 2 Rectas paralelas 71 2.1 Postulado paralelo y ángulos especiales 72  PERSPECTIVA HISTÓRICA: Bosquejo de Euclides 118 2.2 Demostración indirecta 80  PERSPECTIVA DE APLICACIÓN: Geometrías 2.3 Demostración del paralelismo de rectas 86 no euclidianas 118 2.4 Los ángulos de un triángulo 92 RESUMEN 120 2.5 Polígonos convexos 99 EJERCICIOS DE REPASO 123 2.6 Simetría y transformaciones 107 EXAMEN 125 3 Triángulos 127 3.1 Triángulos congruentes 128  PERSPECTIVA HISTÓRICA: Bosquejo de 3.2 Partes correspondientes de triángulos Arquímedes 168 congruentes 138  PERSPECTIVA DE APLICACIÓN: Triángulo 3.3 Triángulos isósceles 145 de Pascal 168 3.4 Justificación de construcciones básicas 154 RESUMEN 170 3.5 Desigualdades en un triángulo 159 EJERCICIOS DE REPASO 172 EXAMEN 174 vii viii CONTENIDO 4 Cuadriláteros 177 4.1 Propiedades de un paralelogramo 178  PERSPECTIVA DE APLICACIÓN: Números al cuadrado 4.2 El paralelogramo y la cometa 187 como sumas 211 4.3 El rectángulo, el cuadrado y el rombo 195 RESUMEN 212 4.4 El trapezoide 204 EJERCICIOS DE REPASO 214  PERSPECTIVA HISTÓRICA: Bosquejo de Tales 211 EXAMEN 216 5 Triángulos semejantes 219 5.1 Relaciones proporcionales, razones y  PERSPECTIVA HISTÓRICA: Demostración de Ceva 269 proporciones 220  PERSPECTIVA DE APLICACIÓN: Una aplicación inusual 5.2 Polígonos semejantes 227 de triángulos semejantes 269 5.3 Demostración de la semejanza de RESUMEN 270 triángulos 235 EJERCICIOS DE REPASO 273 5.4 Teorema de Pitágoras 244 EXAMEN 275 5.5 Triángulos rectángulos especiales 252 5.6 Segmentos divididos proporcionalmente 259 6 Círculos 277 6.1 Círculos y segmentos y ángulos  PERSPECTIVA HISTÓRICA: Circunferencia de relacionados 278 la Tierra 316 6.2 Más medidas de ángulo en el círculo 288  PERSPECTIVA DE APLICACIÓN: Suma de los ángulos 6.3 Relaciones de recta y segmento en el interiores de un polígono 316 círculo 299 RESUMEN 317 6.4 Algunas construcciones y desigualdades EJERCICIOS DE REPASO 319 para el círculo 309 EXAMEN 321 7 Lugar geométrico y concurrencia 323 7.1 Lugar geométrico de puntos 324  PERSPECTIVA DE APLICACIÓN: El círculo de nueve 7.2 Concurrencia de rectas 330 puntos 346 7.3 Más acerca de polígonos regulares 338 RESUMEN 347  PERSPECTIVA HISTÓRICA: EJERCICIOS DE REPASO 349 El valor de p 345 EXAMEN 350 8 Áreas de polígonos y círculos 351 8.1 Área y postulados iniciales 352  PERSPECTIVA DE APLICACIÓN: Otro análisis 8.2 Perímetro y área de polígonos 363 del teorema de Pitágoras 394 8.3 Polígonos regulares y área 373 RESUMEN 396 8.4 Circunferencia y área de un círculo 379 EJERCICIOS DE REPASO 398 8.5 Más acerca de relaciones en el círculo 387 EXAMEN 400  PERSPECTIVA HISTÓRICA: Bosquejo de Pitágoras 394  Contenido ix 9 Superficies y sólidos 403 9.1 Prismas, área y volumen 404  PERSPECTIVA DE APLICACIÓN: 9.2 Pirámides, área y volumen 413 Aves en vuelo 444 9.3 Cilindros y conos 424 RESUMEN 444 9.4 Poliedros y esferas 433 EJERCICIOS DE REPASO 446  PERSPECTIVA HISTÓRICA: Bosquejo de EXAMEN 447 René Descartes 443 10 Geometría analítica 449 10.1 Sistema coordenado rectangular 450  PERSPECTIVA HISTÓRICA: La paradoja de 10.2 Gráficas de ecuaciones lineales y Banach-Tarski 488 pendiente 458  PERSPECTIVA DE APLICACIÓN: Fórmulas del punto 10.3 Preparación para realizar demostraciones de división 489 analíticas 466 RESUMEN 490 10.4 Demostraciones analíticas 475 EJERCICIOS DE REPASO 490 10.5 Ecuaciones de rectas 480 EXAMEN 492 11 Introducción a la trigonometría 495 11.1 Relación proporcional seno y aplicaciones 496  PERSPECTIVA HISTÓRICA: Bosquejo de Platón 529 11.2 Relación proporcional coseno y  PERSPECTIVA DE APLICACIÓN: Medida de ángulos aplicaciones 504 en radianes 530 11.3 Relación proporcional tangente y otras RESUMEN 532 razones 511 EJERCICIOS DE REPASO 532 11.4 Aplicaciones con triángulos agudos 520 EXAMEN 534 Apéndices 537 APÉNDICE A: Repaso de álgebra 537 APÉNDICE B: Resumen de construcciones, postulados y teoremas y corolarios 563 Respuestas 571 Ejercicios seleccionados y demostraciones 571 Glosario 595 Índice analítico 599  1.1  Conjuntos, enunciados y razonamiento 1 Relaciones lineales y angulares M.C. Escher’s Waterfall ©9 2009 The M.C. Escher Company-Holland. All rights reserved. CONTENIDO 1.1 Conjuntos, enunciados y razonamiento  PERSPECTIVA HISTÓRICA: El desarrollo de la 1.2 Geometría informal y medición geometría 1.3 Primeras definiciones y postulados  PERSPECTIVA DE APLICACIÓN: Patrones 1.4 Los ángulos y sus relaciones RESUMEN 1.5 Introducción a la demostración geométrica 1.6 Relaciones: Rectas perpendiculares 1.7 La demostración formal de un teorema Hay un DVD disponible que cuenta con un video con explicación de conceptos, problemas de ejemplo y aplicaciones. Este material se vende por separado y se encuentra disponible sólo en inglés. ¡ Mágico! En geometría las figuras se pueden trazar a modo de crear una ilusión. M. C. Escher (1898-1971), un artista conocido por sus com- plejas ilusiones ópticas, creó “Waterfall” en 1961. Al analizar con cuidado la figura la atención se concentra en la percepción de que el agua puede fluir hacia arriba. Si bien la torre a la izquierda es un piso más alta que la torre a la derecha, ambas parecen tener la misma altura. Con frecuencia las obras de Escher hacen que el observador cuestione su razonamiento. Este capí- tulo inicia con un análisis de los enunciados y los tipos de razonamiento utilizados en la geometría. La sección 1.2 se enfoca en las herramientas de la geometría, como la regla y el transportador. El resto del capítulo inicia el desarrollo formal y lógico de la geometría considerando las relaciones entre rectas y ángulos. Cualquier estudiante que necesite un repaso de álgebra puede consultar algunos temas selectos en los apéndices de este libro. Se repasan o desarrollan otras técnicas del álgebra junto con temas relaciona- dos de la geometría y en nuestro sitio web se encuentra una introducción a la lógica. 1 2 CAPÍTULO 1  RELACIONES LINEALES Y ANGULARES 1.1 Conjuntos, enunciados y razonamiento CONCEPTOS CLAVE Enunciado Conclusión Conjunto Variable Intuición Subconjunto Conjunción Inducción Intersección Disyunción Deducción Unión Negación Argumento (válido y no Diagrama de Venn Implicación (condicional) válido) Hipótesis Ley de separación Un conjunto es cualquier colección de objetos, los cuales se conocen como elementos del conjunto. El enunciado A = {1, 2, 3} se lee, “A es el conjunto de elementos 1, 2 y 3”. En geometría las figuras geométricas como rectas y ángulos en realidad son conjuntos de puntos. En A = {1, 2, 3} y B = {números cardinales}, A es un subconjunto de B ya que cada elemento en A también está en B; en símbolos, A 8 B. En el capítulo 2 se descubrirá que T = {todos los triángulos} es un subconjunto de P = {todos los polígonos}. ENUNCIADOS DEFINICIÓN Un enunciado es un conjunto de palabras y símbolos que de manera conjunta forman una afirmación que se puede clasificar como verdadera o falsa. EJEMPLO 1 o 1 L ad Clasifique cada uno de los enunciados siguientes como verdadero, falso o ninguno de Lado 2 ellos. Figura 1.1 1. 4 + 3 = 7 2. Un ángulo tiene dos lados. (Consulte la figura 1.1.) 3. Robert E. Lee jugó como parador en corto para los Yankees. 4. 7 6 3 (esto se lee, “7 es menor que 3”). 5. ¡Cuidado! Solución 1 y 2 son enunciados verdaderos; 3 y 4 son enunciados falsos; el 5 no es un enunciado.  Algunos enunciados contienen una o más variables; una variable es una letra que re- presenta un número. La afirmación “x + 5 = 6” se denomina sentencia abierta o enuncia- do abierto dado que se puede clasificar como verdadero o falso, dependiendo del valor de reemplazo de x. Por ejemplo, x + 5 = 6 es verdadero si x = 1; para x diferente de 1, x + 5 = 6 es falso. Algunos enunciados que contienen variables se clasifican como verdaderos debi- do a que son verdaderos para todos los reemplazos. Considere la propiedad conmutativa de la adición, que suele enunciarse en la forma a + b = b + a. En palabras, esta propiedad establece que se obtiene el mismo resultado cuando dos números se suman en cualquier orden; por ejemplo, cuando a = 4 y b = 7, se deduce que 4 + 7 = 7 + 4. La negación de un enunciado dado P hace una afirmación opuesta a la del enunciado original. Si el enunciado dado es verdadero, su negación es falsa y viceversa. Si P es un enunciado se utiliza ~P (que se lee “no P”) para indicar su negación.  1.1  Conjuntos, enunciados y razonamiento 3 EJEMPLO 2 De la negación de cada enunciado. a) 4 + 3 = 7 b) Todos los peces pueden nadar. Solución a) 4 + 3 Z 7 (Z significa “no es igual a”). b) Algunos peces no pueden nadar. (Para negar “Todos los peces pueden nadar”, se dice que al menos un pez no puede nadar.)  TABLA 1.1 Un enunciado compuesto se forma combinando otros enunciados que se utilizan La conjunción como “componentes estructurales”. En esos casos se pueden emplear letras como P y Q para representar enunciados simples. Por ejemplo, la letra P se puede referir al enun- P Q PyQ ciado “4 + 3 = 7”, y la letra Q al enunciado “Babe Ruth fue un presidente de los Estados V V V Unidos”. El enunciado “4 + 3 = 7 y Babe Ruth fue un presidente de los Estados Unidos” V F F tiene la forma P y Q y se conoce como la conjunción de P y Q. El enunciado “4 + 3 = 7 F V F o Babe Ruth fue un presidente de los Estados Unidos” tiene la forma P o Q y se conoce F F F como la disyunción de P y Q. Una conjunción es verdadera sólo cuando P y Q son ambos verdaderos. Una disyunción es falsa sólo cuando P y Q son ambos falsos. Consulte las tablas 1.1 y 1.2. TABLA 1.2 EJEMPLO 3 La disyunción Suponga que los enunciados P y Q son verdaderos. P Q P o Q P: 4 + 3 = 7 V V V Q: Un ángulo tiene dos lados. V F V F V V Clasifique los enunciados siguientes como verdaderos o falsos. F F F 1. 4 + 3 Z 7 y un ángulo tiene dos lados. 2. 4 + 3 Z 7 o un ángulo tiene dos lados. Solución El enunciado 1 es falso debido a que la conjunción tiene la forma “F y V”. El enunciado 2 es verdadero dado que la disyunción tiene la forma “F o V”.  El enunciado “Si P, entonces Q, conocido como enunciado condicional (o impli- cación), se clasifica como verdadero o falso como un todo. Un enunciado de esta forma se puede escribir en formas equivalentes; por ejemplo, el enunciado condicional “Si un ángulo es un ángulo recto, entonces mide 90 grados” es equivalente al enunciado “Todos los ángulos rectos miden 90 grados”. EJEMPLO 4 Clasifique cada enunciado condicional como verdadero o falso. 1. Si un animal es un pez, entonces puede nadar. (Establece, “Todos los peces pueden nadar”.) 2. Si dos lados de un triángulo tienen la misma longitud, entonces dos ángulos del triángulo tienen la misma medida. (Consulte la figura 1.2 en la página 4.) 4 CAPÍTULO 1  RELACIONES LINEALES Y ANGULARES 5 pulg 5 pulg 5 pulg 106⬚ 5 pulg 37⬚ 37⬚ 8 pulg 8 pulg Figura 1.2 3. Si Wendell estudia, entonces recibirá una A en su examen. Solución Los enunciados 1 y 2 son verdaderos. El enunciado 3 es falso; Wendell puede estudiar pero no obtener una A.  En el enunciado condicional “Si P, entonces Q”, P es la hipótesis y Q es la conclu- sión. En el enunciado 2 del ejemplo 4, se tiene: Hipótesis: Dos lados de un triángulo son iguales en longitud. Conclusión: Dos ángulos del triángulo son iguales en medida. GEE Para el enunciado verdadero, “Si P, entonces Q”, la situación hipotética descrita en P implica la conclusión descrita en Q. Este tipo de enunciado con frecuencia sugiere alguna Ejercicios 1-7 forma de razonamiento, por lo que volvemos nuestra atención a este punto. RAZONAMIENTO El éxito en el estudio de la geometría requiere un desarrollo de vocabulario, atención a los detalles y al orden, sustentar afirmaciones y deducciones. El razonamiento es un proceso basado en la experiencia y en los principios que permiten llegar a una conclusión. Los tipos siguientes de razonamiento se utilizan para desarrollar principios matemáticos. 1. Intuición Inspiración que conduce al enunciado de una teoría 2. Inducción Esfuerzo organizado para probar y validar una teoría 3. Deducción Argumento formal que comprueba la teoría probada  Intuición Con frecuencia estamos inclinados a pensar y decir “Se me ocurre que…” Con intuición una súbita iluminación nos permite formular un enunciado sin aplicar ningún razona- miento formal. Cuando usamos la intuición en ocasiones erramos al sacar conclusiones precipitadas. En una caricatura el personaje que tiene la “idea brillante” (valiéndose de la intuición) se muestra con una bombilla iluminada sobre su cabeza. EJEMPLO 5 B La figura 1.3 se denomina pentágono regular debido a que sus cinco lados tienen longitudes iguales y sus ángulos tienen medidas iguales. ¿Qué supone que sea verda- dero respecto a las longitudes de las rectas discontinuas de B a E y de B a D? A C Solución La intuición sugiere que las longitudes de las rectas discontinuas (conocidas como diagonales del pentágono) son iguales. NOTA 1: Se puede utilizar una regla para verificar que esta afirmación es verdadera. Las mediciones con una regla se analizan con más detalle en la sección 1.2. E D NOTA 2: Aplicando los métodos del capítulo 3, mediante deducción se puede Figura 1.3 demostrar que las dos diagonales tienen, en efecto, la misma longitud.   1.1  Conjuntos, enunciados y razonamiento 5 La función que desempeña la intuición al formular pensamientos matemáticos es muy significativa. Sin embargo, ¡tener una idea no es suficiente! Probar una teoría puede con- ducir a una revisión de la teoría o incluso a su rechazo total. Si una teoría pasa la prueba se acerca más a convertirse en ley matemática.  Inducción A menudo se utilizan observaciones específicas y experimentos para obtener una conclu- sión general. Este tipo de razonamiento se llama inducción. Como podría esperarse el proceso de observación/experimentación es común en entornos de laboratorio y clínicos. Los químicos, físicos, doctores, psicólogos, pronosticadores del clima y muchos otros se basan en la información recopilada para sacar conclusionesp ¡y nosotros también! EJEMPLO 6 En una tienda de abarrotes, usted examina varios recipientes de yogur de 8 onzas. Aunque los sabores y las marcas difieren, cada recipiente cuesta 75 centavos. ¿Qué concluiría? Conclusión En la tienda cada recipiente de yogur de 8 oz cuesta 75 centavos.  Como ya debe saber (consulte la figura 1.2), una figura con tres rectas se denomina triángulo. EJEMPLO 7 En una clase de geometría, se le pide medir los tres ángulos interiores de cada uno de los triángulos en la figura 1.4. Usted descubre que los triángulos I, II y IV tienen dos ángulos (marcados) con medidas iguales. ¿Qué puede concluir? Conclusión Los triángulos que tienen dos lados de igual longitud también tienen dos ángulos de igual medida. 3 cm 1 cm II 5 pulg 3 pulg 3 cm III 4 cm 4 cm I 4 pulg 5 pulg 6 pies 5 pulg 3 pies 2 cm IV V 7 pulg 7 pies Figura 1.4 NOTA: Se puede utilizar un transportador para apoyar la conclusión obtenida en el ejemplo 7. El transportador se estudiará en la sección 1.2.  6 CAPÍTULO 1  RELACIONES LINEALES Y ANGULARES  Deducción DEFINICIÓN Deducción es el tipo de razonamiento en el que el conocimiento y la aceptación de suposiciones seleccionadas garantizan la veracidad de una conclusión particular. En el ejemplo 8 se ilustrará la forma de un razonamiento deductivo que con mayor frecuencia se emplea en el desarrollo de la geometría. En esta forma, conocida como argumento válido, al menos dos enunciados se tratan como hechos; estas suposiciones se denominan premisas del argumento. Con base en las premisas, debe deducirse una conclusión particular. Esta forma de deducción se llama ley de separación. EJEMPLO 8 Si acepta como verdaderos los siguientes enunciados 1 y 2, ¿qué debe concluir? 1. Si un estudiante juega en el equipo de basquetbol de la preparatoria Rockville, entonces es un atleta talentoso. 2. Todd juega en el equipo de basquetbol de la preparatoria Rockville. Conclusión Todd es un atleta talentoso.  Para reconocer con más facilidad este patrón para el razonamiento deductivo se utilizan letras con el fin de representar enunciados en la generalización siguiente. LEY DE SEPARACIÓN Si P y Q representan enunciados simples y suponiendo que los enunciados 1 y 2 son verdaderos. Entonces un argumento válido que tiene la conclusión C tiene la forma 1. Si P, entonces Q premisas f 2. P C. ‹ Q } conclusión NOTA: El símbolo ‹ significa “por lo tanto”. En la forma anterior el enunciado “si P, entonces Q” con frecuencia se lee “P implica Q”. Es decir, cuando se sabe que P es verdadero, Q debe serlo también. EJEMPLO 9 ¿Es válido el siguiente argumento? Suponga que las premisas 1 y 2 son verdaderas. 1. Si está lloviendo, entonces Tim se quedará en casa. 2. Está lloviendo C. ‹ Tim se quedará en casa.  1.1  Conjuntos, enunciados y razonamiento 7 Conclusión El argumento es válido ya que la forma del argumento es 1. Si P, entonces Q 2. P C. ‹ Q con P = “está lloviendo” y Q = “Tim se quedará en casa”.  EJEMPLO 10 ¿Es válido el argumento siguiente? Suponga que las premisas 1 y 2 son verdaderas. 1. Si una persona vive en Londres, entonces vive en Inglaterra. 2. William vive en Inglaterra. C. ‹ William vive en Londres. Conclusión El argumento no es válido. Aquí, P = “Una persona vive en Londres” y Q = “Una persona vive en Inglaterra”. Por tanto, la forma de este argumento es 1. Si P, entonces Q 2. Q C. ‹ P Pero la ley de separación no responde la pregunta “Si Q, ¿entonces qué?” Si bien el enunciado Q es verdadero, no permite sacar una conclusión válida acerca de P. Por supuesto, si William vive en Inglaterra, podría vivir en Londres; pero en cambio podría vivir en Liverpool, Manchester, Coventry o en cualquiera de los innumera- bles lugares en Inglaterra. Cada una de estas posibilidades es un contraejemplo que desaprueba la validez del argumento. Recuerde que el razonamiento deductivo tiene que ver con alcanzar conclusiones que deben ser verdaderas, dada la veracidad de las premisas.  Advertencia ARGUMENTO VÁLIDO ARGUMENTO NO VÁLIDO En el recuadro, el argumento a la 1. Si P, entonces Q 1. Si P, entonces Q izquierda es válido y basado en 2. P 2. Q el ejemplo 9. El argumento a la C. ‹ Q C. ‹ P derecha no es válido; esta forma se dio en el ejemplo 10. A lo largo del trabajo en geometría se utilizará el razonamiento deductivo. Por ejemplo, suponga que se conocen estos dos hechos: GEE 1. Si un ángulo es un ángulo recto, entonces mide 90°. 2. El ángulo A es un ángulo recto. Ejercicios 8-12 Entonces se puede concluir C. El ángulo A mide 90°. DIAGRAMAS DE VENN Los conjuntos de objetos con frecuencia se representan mediante figuras geométricas co- nocidas como diagramas de Venn. Su creador, John Venn, fue un inglés que vivió de 1834 a 1923. En un diagrama de Venn cada conjunto se representa con una figura cerra- da (limitada), como un círculo o un rectángulo. Si los enunciados P y Q del enunciado condicional “Si P, entonces Q” están representados por conjuntos de objetos P y Q, res- pectivamente, entonces la ley de separación se puede justificar mediante un argumento 8 CAPÍTULO 1  RELACIONES LINEALES Y ANGULARES geométrico. Cuando un diagrama de Venn se utiliza para representar el enunciado “Si P, entonces Q”, es absolutamente necesario que el círculo P esté dentro del círculo Q; es decir, P es un subconjunto de Q. (Vea la figura 1.5.) P Q EJEMPLO 11 Si P, entonces Q. Utilice diagramas de Venn para comprobar el ejemplo 8. Figura 1.5 Solución Sea B = los estudiantes en el equipo de basquetbol de la preparatoria Rockville. T Sea A = las personas que son atletas talentosos. Para representar el enunciado “Si es un jugador de basquetbol (B), entonces es un B atleta talentoso (A)”, se muestra B dentro de A. En la figura 1.6 se utiliza el punto T para representar a Todd, una persona en el equipo de basquetbol (T en B). Con el A punto T también en el círculo A, se concluye que “Todd es un atleta talentoso”.  Figura 1.6 El enunciado “Si P, entonces Q” en ocasiones se expresa en la forma “Todos los P son Q”. Por ejemplo, el enunciado condicional de los ejemplos 8 y 11 se puede reescribir “Todos los jugadores de la preparatoria Rockville son atletas talentosos”. Los diagramas de Venn Descubra también se pueden utilizar para demostrar que el argumento del ejemplo 10 no es válido. Una encuesta a 100 entusiastas Para demostrar la invalidez del argumento en el ejemplo 10 se debe demostrar que un del deporte en el área de San Luis objeto en Q puede no estar dentro del círculo P. (Vea la figura 1.5.) muestra que 74 apoyan al equipo Los enunciados compuestos conocidos como conjunción y disyunción también se de béisbol de los Cardenales y pueden relacionar con la intersección y la unión de conjuntos, relaciones que se pueden 58 al equipo de futbol de los ilustrar empleando diagramas de Venn. Para los diagramas de Venn, se supone que los Carneros. Todos los encuestados conjuntos P y Q pueden tener elementos en común. (Vea la figura 1.7.) apoyan a un equipo, a otro equipo, Los elementos comunes a P y Q forman la intersección de P y Q, que se escribe o a los dos. ¿Cuántos apoyan a P ¨ Q. Este conjunto, P ¨ Q, es el conjunto de todos los elementos en P y Q. Los elemen- ambos equipos? tos que están en P, en Q, o en ambos forman la unión de P y Q, la cual se escribe P ´ Q. RESPUESTA Este conjunto, P ´ Q, es el conjunto de elementos en P o Q. 32; 74 + 58 - 100 P Q P Q (a) P  Q (b) P  Q GEE Ejercicios 13-15 Figura 1.7 Ejercicios 1.1 En los ejercicios 1 y 2, ¿cuáles frases son enunciados? Si una 2. a) Chicago se localiza en el estado de Illinois. frase es un enunciado, clasifíquela como verdadera o falsa. b) ¡Fuera de aquí! c) x 6 6 (se lee “x es menor que 6”) cuando x = 10. 1. a) ¿Dónde vive? d) A Babe Ruth se le recuerda como un gran jugador de b) 4 + 7 Z 5. futbol. c) Washington fue el primer presidente de los Estados Unidos. d) x + 3 = 7 cuando x = 5.  1.1  Conjuntos, enunciados y razonamiento 9 En los ejercicios 3 y 4 proporcione la negación de cada enun- ha sido recién llamado a las ligas mayores, usted concluye ciado. que Duane Gibson es un atleta talentoso. 29. Cuando un hombre esposado es llevado a la estación de 3. a) Cristóbal Colón cruzó el Océano Atlántico. policía usted lo mira y le dice a su amigo: “Ese sujeto me b) Todas las bromas son divertidas. parece que es culpable”. 4. a) Nadie me quiere. 30. Al juzgar un proyecto en la Feria de Ciencias, el señor Can- b) El ángulo 1 es un ángulo recto. ge encuentra que cada uno de los primeros 5 proyectos es En los ejercicios 5 al 10 clasifique cada enunciado como sim- extraordinario y concluye que los 10 serán extraordinarios. ple, condicional, si es una conjunción o una disyunción. 31. Usted conoce la regla “Si una persona vive en el distrito del Santa Rosa Junior College, entonces esa persona reci- 5. Si Alicia juega, el equipo de voleibol ganará. birá una beca en Santa Rosa”. Candance le dice que ella 6. Alicia jugó y el equipo ganó. recibió una beca. Usted concluye que ella vive en el distrito 7. El trofeo del primer lugar es hermoso. del Santa Rosa Junior College. 8. Un entero es impar o par. 32. Cuando la señora Gibson entra a la sala de espera del doc- 9. Matthew está jugando como parador en corto. tor, concluye que será una espera prolongada. 10. Estará en problemas si no cambia sus modales. En los ejercicios 33 al 36 utilice la intuición para establecer una conclusión. En los ejercicios 11 al 18, establezca las hipótesis y la conclu- sión de cada enunciado. 33. Le dicen que los ángulos opuestos que se forman cuando dos rectas se cruzan son ángulos verticales. En la figura, los 11. Si va al juego, entonces pasará un buen rato. ángulos 1 y 2 son ángulos verticales. ¿Cuál es la conclusión? 12. Si dos cuerdas de un círculo tienen longitudes iguales, entonces los arcos de las cuerdas son congruentes. A 13. Si las diagonales de un paralelogramo son perpendiculares, 1 2 M entonces el paralelogramo es un rombo. B 14. Si ab dc , donde b Z 0 y d Z 0, entonces a ∙ d = b ∙ c. Ejercicios 33, 34 15. Los ángulos correspondientes son congruentes si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal. 34. En la figura, el punto M se denomina punto medio del 16. Los ángulos verticales son congruentes cuando dos rectas segmento de recta AB. ¿Cuál es su conclusión? se intersecan. 35. Los dos triángulos que se muestran son semejantes entre 17. Todos los cuadrados son rectángulos. sí. ¿Cuál es su conclusión? 18. Los ángulos base de un triángulo isósceles son congruentes. En los ejercicios 19 al 24, clasifique cada enunciado como verdadero o falso. 19. Si un número es divisible entre 6, entonces es divisible 36. Observe (pero no mida) los ángulos siguientes. ¿Cuál es su entre 3. conclusión? 20. La lluvia es húmeda y la nieve es fría. 21. La lluvia es húmeda o la nieve es fría. 22. Si Jim vive en Idaho, entonces vive en Boise. 3 4 23. Los triángulos son redondos o los círculos son cuadrados. 24. Los triángulos son cuadrados o los círculos son redondos. En los ejercicios 37 al 40, utilice la inducción para establecer una conclusión. En los ejercicios 25 al 32, mencione (si lo hay) el tipo de razo- namiento que se usa. 37. Varias películas dirigidas por Lawrence Garrison han ganado premios de la Academia y muchas otras han reci- 25. Al participar en una búsqueda de huevos de Pascua, Sarah bido nominaciones. Su última película, Un prisionero de nota que cada uno de los siete huevos que encontró está la sociedad, se estrenará la próxima semana. ¿Cuál es su numerado. Sarah concluye que todos los huevos utilizados conclusión? para la búsqueda están numerados. 38. El lunes Matt le dice: “Andy golpeó a su hermanita hoy 26. Usted entra a su clase de geometría, observa al maestro y en la escuela”. El martes, Matt le informa: “Andy tiró a la concluye que hoy tendrá un examen. basura su libro de matemáticas durante la clase”. El miér- 27. Albert conoce la regla “Si un número se suma a cada lado coles, Matt le dice: “Como Andy estaba lanzando chícha- de una ecuación, entonces la nueva ecuación tiene la mis- ros en la cafetería de la escuela, lo enviaron a la oficina del ma solución que la correspondiente a la ecuación dada”. director”. ¿Cuál es su conclusión? Dada la ecuación x – 5 = 7, Albert concluye que x = 12. 39. Al buscar un salón de clases Tom se detiene en la oficina 28. Usted cree que “Cualquiera que juegue en la liga mayor de de un maestro para pedir información. En los libreros de la béisbol es un atleta talentoso”. Sabiendo que Duane Gibson oficina hay textos titulados Álgebra intermedia, Cálculo, 10 CAPÍTULO 1  RELACIONES LINEALES Y ANGULARES Geometría moderna, Álgebra lineal y Ecuaciones diferen- 49. Si una persona es rica y famosa, entonces esa persona ciales. ¿Cuál es su conclusión? es feliz. Marilyn es rica y bien conocida. ¿Cuál es su 40. En la casa de un amigo, usted ve varios artículos alimenti- conclusión? cios, incluyendo manzanas, peras, uvas, naranjas y pláta- 50. Si usted estudia con ahínco y contrata un tutor, entonces nos. ¿Cuál es su conclusión? obtendrá una A en este curso. Usted obtiene una A en este curso. ¿Cuál es su conclusión? En los ejercicios 41 al 50, utilice la deducción para establecer una conclusión, si es posible. En los ejercicios 51 al 54, utilice diagramas de Venn para de- terminar si el argumento es válido o no válido. 41. Si la suma de las medidas de dos ángulos es 90°, entonces 51. (1) Si un animal es un gato, entonces emite un sonido de estos ángulos se denominan “complementarios”. El ángulo 1 “miau”. mide 27° y el ángulo 2 mide 63°. ¿Cuál es su conclusión? (2) Tipper es un gato. 42. Si una persona asiste a la universidad, entonces esa persona tendrá éxito en la vida. Kathy Jones asiste al Dade County (C) Entonces Tipper emite un sonido de “miau”. Community College. ¿Cuál es su conclusión? 52. (1) Si un animal es un gato, entonces emite un sonido de 43. Todos los maestros de matemáticas tienen un extraño sen- “miau”. tido del humor. Alex es un maestro de matemáticas. ¿Cuál (2) Tipper emite un sonido de “miau”. es su conclusión? (C) Entonces Tipper es un gato. 44. Todos los maestros de matemáticas tienen un extraño sen- 53. (1) Todos los boy scouts están al servicio de los Estados tido del humor. Alex tiene un extraño sentido del humor. Unidos de América. ¿Cuál es su conclusión? (2) Sean está al servicio de los Estados Unidos de América. 45. Si Stewart Powers es electo presidente, entonces cada (C) Sean es un boy scout. familia tendrá un automóvil. Cada familia tiene un automó- 54. (1) Todos los boy scouts están al servicio de los Estados vil. ¿Cuál es su conclusión? Unidos de América. 46. Si Tabby está maullando, entonces tiene hambre. Tabby (2) Sean es un boy scout. tiene hambre. ¿Cuál es su conclusión? (C) Sean está al servicio de los Estados Unidos de América. 47. Si una persona se involucra en la política, entonces esa per- sona estará en la mira del público. June Jesse ha sido electa 55. Si A = {1, 2, 3} y B = {2, 4, 6, 8}, clasifique cada uno de al senado del estado de Missouri. ¿Cuál es su conclusión? los siguientes como verdadero o falso. (a) A ¨ B = {2} 48. Si un estudiante se inscribe en un curso de literatura, enton- ces esa persona trabajará muy duro. Bram Spiegel cava zan- (b) A ´ B = {1, 2, 3, 4, 6, 8} jas a mano seis días a la semana. ¿Cuál es su conclusión? (c) A 8 B 1.2 Geometría informal y medición CONCEPTOS CLAVE Punto Punto medio Perpendicular Recta Congruencia Compás Plano Transportador Construcciones Puntos colineales Paralelo Círculo Segmento de recta Bisecar Arco Puntos intermedios Intersecar Radio En geometría los términos punto, recta y plano se describen pero no se definen. Otros conceptos que se aceptan intuitivamente, pero que nunca se definen, incluyen la rectitud de una recta, la llanura de un plano, el concepto de que un punto se encuentra entre otros dos puntos en una recta, y el concepto de que un punto se encuentra en el interior o en el exterior de un ángulo. Algunos de los términos que se encuentran en esta sección se definen de manera formal en secciones posteriores de este capítulo 1. Las siguientes son descripciones de algunos de los términos indefinidos. A Un punto, que se representa por un punto, tiene ubicación pero no tamaño; es decir, un punto no tiene dimensiones. Se utiliza una letra cursiva mayúscula para nombrar un punto. En la figura 1.8 se muestran los puntos A, B y C. (Por conveniencia “punto” se B C puede abreviar “pto.”.) El segundo término indefinido es recta. Una recta es un conjunto infinito de puntos. Figura 1.8 Dados dos puntos cualesquiera en una recta, siempre existe un punto que se encuentra  1.2  Geometría informal y medición 11 entre ellos en esa recta. Las rectas tienen una cualidad de “rectitud” que no se define pero A B que se supone. Dados varios puntos en una recta, estos puntos forman una trayectoria (a) recta. Mientras que un punto no tiene dimensiones, una recta es unidimensional; es decir, la distancia entre cualesquiera dos puntos en una ! ! recta dada se puede medir. La recta AB, m representada de manera simbólica mediante AB, se extiende infinitamente en direcciones (b) opuestas, como lo sugieren las flechas sobre la recta. Una recta también puede ser repre- sentada por una sola letra minúscula. En las figuras 1.9(a) y (b) se muestran las rectas AB A X B y m. Cuando se utiliza !! una letra minúscula para designar una recta, se omite el símbolo de (c) recta; es decir, AB y m pueden designar a la! misma recta. ! Observe la posición del punto X en AB en la figura 1.9(c). Cuando tres puntos como A B C A, X y B están sobre la misma recta, se dice que son colineales. En el orden que se mues- (d) tra, el cual se simboliza A-X-B o B-X-A, el punto X se dice que está entre A y B. Cuando no se proporciona un esquema la notación A-B-C significa que estos puntos Figura 1.9 son colineales, con B entre A y C. Cuando se proporciona un esquema se supone que todos los puntos en el esquema que aparecen colineales son colineales, a menos que se indique lo contrario. En la figura 1.9(d) se muestra que A, B y C son colineales, con B entre A y C. En este momento se introducen de manera informal algunos términos que más adelan- te se definirán formalmente. Es probable que haya encontrado ya muchas veces los térmi- nos ángulo, triángulo y rectángulo. Un ejemplo de cada uno se muestra en la figura 1.10. D W X C 1 B E F Z Y A Ángulo ABC Triángulo DEF Rectángulo WXYZ (a) (b) (c) Figura 1.10 Utilizando símbolos y abreviaciones nos referimos a las figuras 1.10(a), (b) y (c) como /ABC, nDEF y el rectángulo WXYZ, respectivamente. Se debe tener cuidado al nombrar las figuras; si bien el ángulo en la figura 1.10(a) se puede denominar /CBA, es incorrecto describir el /ACB debido a que ese orden implica una trayectoria del punto A al punto C al punto Bp ¡un ángulo distinto! En /ABC, el punto B en el cual convergen B los lados se denomina vértice del ángulo. Como no hay confusión respecto al ángulo descrito, /ABC también se conoce como /B (utilizando sólo el vértice) o como /1. Los puntos D, E y F en los cuales convergen los lados del nDEF (también llamados nDFE, nEFD, etcétera) se denominan vértices (plural de vértice) del triángulo. De manera simi- lar, W, X, Y y Z son los vértices del rectángulo. Un segmento de recta es una parte de una recta y consiste en dos puntos distintos en la recta y todos los puntos entre ellos. (Consulte la figura 1.11.) Utilizando símbolos, C el segmento de recta se indica mediante BC; observe que BC es un conjunto de puntos pero no es un número. Se utiliza BC (omitiendo el símbolo de segmento) para indicar la Figura 1.11 longitud de este segmento de recta; así pues, BC es un número. Los lados de un triángulo o rectángulo son segmentos de recta. Los vértices de un rectángulo se nombran en el orden que trazan sus lados de segmentos de recta ordenados. EJEMPLO 1 ¿Puede nombrarse el rectángulo en la figura 1.10(c) como a) XYZW? b) WYXZ? Solución a) Sí, ya que los puntos tomados en este orden trazan la figura. b) No; por ejemplo, WY no es un lado del rectángulo.  12 CAPÍTULO 1  RELACIONES LINEALES Y ANGULARES MEDICIÓN DE SEGMENTOS DE RECTA Descubra El instrumento que se emplea para medir un segmento de recta es un borde recto graduado Al convertir unidades inglesas como una regla, una yarda o un metro. En general, el “punto 0” de la regla se coloca en al sistema métrico sabemos un extremo del segmento de recta y se localiza la longitud numérica igual al número en el que 1 pulg L 2.54 cm. ¿Cuál otro extremo. El segmento de recta RS (RS en símbolos) en la figura 1.12 mide 5 centíme- es el equivalente en cm de tros. Puesto que la longitud de RS se expresa como RS (sin la barra), se escribe RS = 5 cm. 3.7 pulgadas? Debido a que los dispositivos de medición fabricados como la regla, la yarda o el RESPUESTA metro pueden no ser perfectos o se pueden leer de forma errónea, hay un margen de error cada vez que se utilizan. En la figura 1.12, por ejemplo, RS en realidad puede medir 9.4 cm 5.02 cm (que podría estar redondeado de 5.023 cm, etcétera). Las mediciones son aproxi- madas, no perfectas. R S 0 1 2 3 4 5 6 CENTÍMETROS Figura 1.12 En el ejemplo 2, una regla (no dibujada a escala) se muestra en la figura 1.13. En el dibujo, la distancia entre marcas consecutivas en la regla corresponde a 1 pulgada. La medida de un segmento de recta se conoce como medida lineal. EJEMPLO 2 En el rectángulo ABCD de la figura 1.13, los segmentos de recta AC y BD que se muestran son las diagonales del rectángulo. ¿Cómo son las longitudes de las diagona- les comparadas entre sí? A D C B Figura 1.13 Solución Como sugiere la intuición, las longitudes de las diagonales son las mismas. Tal como se muestra, AC = 10– y BD = 10–. NOTA: En medida lineal, 10– indica 10 pulgadas y 10¿ indica 10 pies.  A B C En la figura 1.14 el punto B se encuentra entre A y C en AC. Si AB = BC, entonces B es el punto medio de AC. Cuando AB = BC, las figuras geométricas AB y BC se dice Figura 1.14 que son congruentes. Las longitudes numéricas pueden ser iguales, pero los segmentos de recta reales (figuras geométricas) son congruentes. El símbolo para la congruencia es ; por tanto, AB BC si B es el punto medio de AC. En el ejemplo 3 se enfatiza la relación entre AB, BC y AC cuando B se encuentra entre A y C.  1.2  Geometría informal y medición 13 EJEMPLO 3 GEE En la figura 1.15, las longitudes de AB y BC son AB = 4 y BC = 8. ¿Cuál es AC, la Ejercicios 1-8 longitud de AC? A B C Figura 1.15 Solución Como sugiere la intuición, la longitud de AC es igual a AB + BC. Por tanto, AC = 4 + 8 = 12.  MEDICIÓN DE ÁNGULOS Si bien en la sección 1.4 se define un ángulo de manera formal, ahora se considerará de modo intuitivo. La medida de un ángulo no depende de las longitudes de sus lados, sino de la canti- dad de apertura entre sus lados. En la figura 1.16, las flechas en los lados de los ángulos sugieren que los lados se extienden infinitamente. M A 1 B C N Q (a) (b) Figura 1.16 El instrumento que se muestra en la figura 1.17 90 (y que se utiliza en la medición de ángulos) es un 0 50 R 3 transportador. Por ejemplo, la medida del /RST se 1 expresaría escribiendo /RST = 50°; este enunciado 20 se lee, “la medida del /RST es 50 grados”. Al medir los ángulos en la figura 1.16 con un transportador, se S T determina que m/B = 55° y m/1 = 90°. Si el sím- bolo de grado se omite, se entiende que la medida Figura 1.17 está en grados; así pues m/1 = 90. En la práctica, con el transportador que se ilustra se medirá un ángulo que es mayor que 0° pero menor o igual a 180°. Para medir un ángulo con transportador: 1. Se coloca la marca del transportador en el punto donde convergen los lados del ángulo (el vértice del ángulo). Consulte el punto S en la figura 1.18. 2. Se coloca el borde del transportador a lo largo de un lado del ángulo de manera que en la escala se lea “0”. Vea el punto T en la figura 1.18 donde se utiliza “0” en la escala externa. 3. Utilizando la misma escala (externa), el tamaño del ángulo se lee mencionando la medida en grados que corresponda al segundo lado del ángulo. 14 CAPÍTULO 1  RELACIONES LINEALES Y ANGULARES Advertencia EJEMPLO 4 Muchos transportadores tienen Para la figura 1.18, encuentre la medida del /RST. escalas dobles, como se muestra en la figura 1.18. 80 90 100 70 100 80 110 110 70 12 60 0 60 0 12 13 50 0 50 0 13 R 14 0 14 0 0 4 4 0 15 0 15 0 0 3 3 0 160 20 160 20 170 170 10 10 180 180 T 0 0 S Figura 1.18 Solución Utilizando el transportador se encuentra que la medida del ángulo RST es 31°. (En símbolos, m/RST = 31° o m/RST = 31.)  En algunos transportadores se muestran todos los 360° y se utilizan para medir un án- gulo cuya medida es mayor que 180°; este tipo de ángulo se conoce como ángulo reflejo. Al igual que con una regla, la medición con un transportador no será perfecta. Las rectas en la hoja de una libreta son paralelas. De manera informal, las rectas pa- ralelas se encuentran en la misma página y no se cruzan entre sí incluso si se extienden de manera indefinida. Se dice que las rectas O y m en la figura 1.19(a) son paralelas; observe que aquí se utilizó una letra minúscula para nombrar una recta. Se dice que los segmentos de recta son paralelos si son partes de rectas paralelas; si RS es paralela a MN , enton- ces RS es paralela a MN en la figura 1.19(b). m R S M N (a) (b) Figura 1.19 Para A = {1, 2, 3} y B = {6, 8, 10} no hay elementos comunes; por esta razón, se dice que la intersección de A y B es el conjunto vacío (su símbolo es ). Al igual que A ¨ B = , las rectas paralelas en la figura 1.19(a) se describen por / ¨ m =.  1.2  Geometría informal y medición 15 EJEMPLO 5 En la figura 1.20, los lados de los ángulos ABC y DEF son paralelos (AB a DE y BC a EF). Utilice un transportador para decidir si estos ángulos tienen medidas iguales. C D E F A B Figura 1.20 Solución Los ángulos tienen medidas iguales. Ambos miden 44°.  Se dice que dos ángulos con medidas iguales son congruentes. En la figura 1.20, se observa que ABC DEF. En la figura 1.21, ABC CBD. En la figura 1.21, el ángulo ABD se separó en dos ángulos menores ABC y CBD; si los dos ángulos menores son congruentes (tienen medidas iguales), entonces el ángulo ABD se bisecó. En general, la palabra bisecar significa separar en dos partes que miden lo mismo. Cualquier ángulo con una medida de 180° se denomina ángulo llano, un ángulo cu- yos lados están en direcciones opuestas. Vea el ángulo RST en la figura 1.22(a). Cuando un ángulo llano se biseca, como se muestra en la figura 1.22(b), los dos ángulos que se forman son ángulos rectos (cada uno mide 90°). Cuando dos rectas tienen un punto en común, como en la figura 1.23, se dice que se intersecan. Cuando dos rectas se intersecan y forman ángulos adyacentes congruentes, se dice que son perpendiculares. 180⬚ r R S T A (a) t V 1 2 C 4 3 33⬚ 90⬚ 90⬚ 33⬚ R S T B D (b) Figura 1.21 Figura 1.22 Figura 1.23 EJEMPLO 6 En la figura 1.23 suponga que las rectas r y t son perpendiculares. ¿Cuál es la medida de cada uno de los ángulos formados? GEE Solución Cada uno de los ángulos marcados (numerados 1, 2, 3 y 4) es el resultado Ejercicios 9-13 de bisecar un ángulo llano, por lo que cada ángulo es un ángulo rt y mide 90°.  16 CAPÍTULO 1  RELACIONES LINEALES Y ANGULARES CONSTRUCCIONES Otra herramienta que se utiliza en la geometría es el compás. Este instrumento, que se ilustra en la figura 1.24, se emplea para construir círculos y partes de círculos conocidas como arcos. El compás y el círculo se estudian en los párrafos siguientes. Los antiguos griegos insistían en que sólo se utilizaran dos herramientas (un compás y una regla) en las construcciones geométricas, las cuales eran dibujos idealizados su- poniendo la perfección en el uso de dichas herramientas. El compás se utilizó para crear círculos “perfectos” y para marcar segmentos de “igual” longitud. La regla se podría Figura 1.24 emplear para pasar una recta por dos puntos designados. Un círculo es el conjunto de todos los puntos en un plano que se encuentran a una Centro O distancia dada desde un punto particular (conocido como “centro” del círculo). La par- te de un círculo entre cualesquiera dos de sus puntos se conoce como arco. Cualquier segmento de recta que une el centro con un punto es un radio del círculo. Vea la figu- ra 1.25. O La construcción 1 siguiente es muy básica y depende sólo del uso de arcos con la misma longitud del radio para construir segmentos de rectas de la misma longitud. Los Radio OB arcos se crearon utilizando un compás. La construcción 2 es más difícil de realizar B y explicar, por lo cual su explicación se abordará en un capítulo posterior (vea la A sección 3.4). Arco AB Figura 1.25 Construcción 1 Construir un segmento congruente para un segmento dado. DADO: AB en la figura 1.26(a). CONSTRUYA: CD en la recta m de modo que CD AB (o CD = AB). CONSTRUCCIÓN: Con su compás abierto a la longitud de AB, coloque el A B punto estacionario del compás en C y marque una longitud igual a AB en (a) el punto D, como se muestra en la figura 1.26(b). Entonces CD = AB. m A B C D C (a) (b) A B Figura 1.26 D La construcción siguiente se muestra paso a paso en la figura 1.27. La intuición su- giere que el punto M en la figura 1.27(c) es el punto medio de AB. (b) Construcción 2 Construir el punto medio M de un segmento de recta dado AB. C DADO: AB en la figura 1.27(a). CONSTRUYA: M en AB de modo que AM = MB. A M B CONSTRUCCIÓN: Figura 1.27(a): abra su compás a una longitud mayor que la mitad de AB. D Figura 1.27(b): utilizando A como el centro del arco, marque un arco que se extienda arriba y abajo del segmento AB. Con B como el centro (c) y manteniendo la misma longitud del radio, marque un arco que se extienda arriba y abajo de AB de manera que se determinen dos puntos Figura 1.27 (C y D) donde se cruzan los arcos. GEE Figura 1.27(c): ahora trace CD. El punto donde CD cruza AB es el punto Ejercicios 14-17 medio M.  7.1  Lugar geométrico de puntos 323 Lugar geométrico y concurrencia © Richard Semik/Stocklib CONTENIDO 7.1 Lugar geométrico de puntos  PERSPECTIVA HISTÓRICA: El valor de ␲ 7.2 Concurrencia de rectas  PERSPECTIVA DE APLICACIÓN: El círculo de 7.3 Más acerca de polígonos regulares nueve puntos RESUMEN Hay un DVD disponible que cuenta con un video con explicación de conceptos, problemas de ejemplo y aplicaciones. Este material se vende por separado y se encuentra disponible sólo en inglés. ¡ Magníficos! No sólo son hermosos los jardines en el Chateau de Villandry en Francia, sino que la disposición del jardín también demuestra la im- portancia de la ubicación en este diseño. Como parte medular de este capítulo está el concepto de lugar geométrico, un término que significa “ubicación”. En la simetría del jardín, cada flor o seto tiene una contraparte ubicada en el lado opuesto (y a la misma distancia) del sendero central. El concepto de lugar geométrico proporciona el fondo necesario para desarrollar propiedades de concurrencia de rectas así como propiedades adicionales de polígonos regulares. 323 324 CAPÍTULO 7  LUGAR GEOMÉTRICO Y CONCURRENCIA 7.1 Lugar geométrico de puntos CONCEPTOS CLAVE Lugar geométrico de puntos Lugar geométrico de puntos en un plano en el espacio En ocasiones se necesita describir un conjunto de puntos que satisfagan una condición o conjunto de condiciones dados. El término utilizado para describir la figura geométrica resultante es lugar geométrico. La palabra para localización deriva de la palabra latina locus. DEFINICIÓN Un lugar geométrico es el conjunto de todos los puntos y sólo esos puntos que satisfacen una condición (o conjunto de condiciones) dado. En esta definición la frase “todos los puntos y sólo esos puntos” tiene un significado doble. 1. Todos los puntos del lugar geométrico satisfacen la condición dada. 2. Todos los puntos que satisfacen la condición dada están incluidos en el lugar geométrico. El conjunto de puntos que satisfacen un lugar geométrico puede ser una figura geométrica bien conocida como una recta o un círculo. En los ejemplos 1, 2 y 3 se ubican varios pun- tos en un plano y luego se conectan en orden para formar el lugar geométrico. r P EJEMPLO 1 Describa el lugar geométrico de los puntos en un plano que están a una distancia fija Figura 7.1 (r) de un punto dado (P). Solución El lugar geométrico es el círculo con centro P y radio r. (Vea la figura 7.1.) EJEMPLO 2 Describa el lugar geométrico de los puntos en un plano que son equidistantes de dos puntos fijos (P y Q). t Solución El lugar geométrico es la recta que es el bisector perpendicular de PQ. En la figura 7.2, PX = QX para cualquier X punto X en la recta t. P Q Figura 7.2   7.1  Lugar geométrico de puntos 325 EJEMPLO 3 Describa el lugar geométrico de los puntos en un plano que son equidistantes de los lados de un ángulo (/ABC) en ese plano. A D Solución El lugar geométrico es el rayo BD que biseca el /ABC. (Vea la figura 7.3.) B C Figura 7.3  Algunas definiciones se dan en un formato de lugar geométrico; por ejemplo, la si- guiente es una definición alterna del término círculo. P DEFINICIÓN Un círculo es el lugar geométrico de los puntos en un plano que están a una distancia fija de un punto dado. Figura 7.4 Cada uno de los ejemplos anteriores incluye la frase “en un plano”. Si se omite esa frase, el lugar geométrico se encuentra “en el espacio”. Por ejemplo, el lugar geométrico de los puntos que están a una distancia fija de un punto dado en realidad es una esfera (el objeto tridimensional en la figura 7.4); la esfera tiene el punto fijo como centro y la distancia fija determina la longitud del radio. A menos que se indique lo contrario, el lugar geométrico se considerará restringido a un plano. GEE EJEMPLO 4 Ejercicios 1-4 Describa el lugar geométrico de todos los puntos en el espacio que son equidistantes de dos planos paralelos (P y Q). Solución El lugar geométrico es el plano paralelo a cada uno de los planos dados y a la mitad entre ellos. (Vea la figura 7.5.)  P Existen dos teoremas muy importantes que implican el concepto de lugar geométrico. Los resultados de estos dos teoremas se enunciarán en la sección 7.2. Cuando se comprue- ben los teoremas del lugar geométrico, se deben establecer dos resultados. 1. Si un punto está en el lugar geométrico, entonces satisface la condición. 2. Si un punto satisface la condición, entonces es un punto del lugar geométrico. Q TEOREMA 7.1.1 Figura 7.5 El lugar geométrico de los puntos en un plano y equidistante de los lados de un ángulo es el bisector de ángulo. DEMOSTRACIÓN (Observe que ambas partes i e ii son necesarias.) 326 CAPÍTULO 7  LUGAR GEOMÉTRICO Y CONCURRENCIA i) Si un punto está en el bisector de ángulo, entonces es equidistante de los lados A del ángulo. E D DADO: BD biseca /ABC DE BA y DF BC DEMUESTRE: DE DF B F DEMOSTRACIÓN: En la figura 7.6(a), BD biseca /ABC; por tanto /ABD C /CBD. DE BA y DF BC, por lo que /DEB y DFB son (a) /s rectos. Por identidad, BD BD. Por AAL, DEB. Entonces DE DF por PCTCC. A ii) Si un punto es equidistante de los lados de un ángulo, entonces está en el bisector E de ángulo. D DADO: /ABC de modo que DE BA y DF BC DE DF DEMUESTRE: BD biseca /ABC; es decir, D está en el bisector del /ABC B F C DEMOSTRACIÓN: En la figura 7.6(b), DE BA y DF BC , por tanto /DEB y (b) /DFB son ángulos rectos. DE DF por hipótesis. Además, Figura 7.6 BD BD por identidad. Entonces DEB DFB por HC. Luego /ABD /CBD por PCTCC, por tanto BD biseca /ABC por definición.  En problemas del lugar geométrico se debe recordar cómo demostrar dos relaciones para validar los resultados. Un segundo teorema importante respecto al lugar geométrico de puntos es el siguiente: TEOREMA 7.1.2 El lugar geométrico de los puntos en un plano que son equidistantes de los puntos GEE extremos de un segmento de recta es el bisector perpendicular de ese segmento de recta. Ejercicios 5, 6 DEMOSTRACIÓN i) Si un punto es equidistante de los puntos extremos de un segmento de recta, entonces se encuentra en el bisector perpendicular del segmento de recta. DADO: AB y el punto X que no está en AB, de manera que AX = BX [Vea la figura 7.7(a).] DEMUESTRE: X se encuentra en el bisector perpendicular de AB X X 1 2 A M B A B (a) (b) Figura 7.7 DEMOSTRACIÓN: Sea M el punto medio de AB. Trace MX [vea la figura 7.7(b)]. Entonces AM MB. Debido a que AX = BX, se sabe que AX BX. Por identidad, XM XM; por tanto AMX BMX por LLL. Por PCTCC, los /s 1 y 2 son congruentes y MX AB. Por definición, MX es el bisector perpendicular de AB, por tanto X se encuentra en el bisector perpendicular de AB.  7.1  Lugar geométrico de puntos 327 ii) Si un punto está en el bisector perpendicular de un segmento de recta, entonces el X punto está equidistante de los puntos extremos del segmento de recta. DADO: El punto X se encuentra en MX, el bisector perpendicular de AB [vea la figura 7.8(a)]. A M B DEMUESTRE: X es equidistante de A y B (AX = XB) [vea la figura 7.8(b)]. DEMOSTRACIÓN: X está en el bisector perpendicular de AB, por tanto los /s 1 y 2 (a) son ángulos rectos congruentes y AM MB. Con XM XM, los ns AMX y BMX son congruentes por LAL; a su vez, XA XB por PCTCC. Entonces XA = XB y X es equidistante de A y B.  X Ahora se regresa a más consideraciones acerca de un lugar geométrico en un plano. 1 2 Suponga que un segmento de recta dado se utilizará como la hipotenusa de un triángu- lo rectángulo. ¿Cómo se podrían localizar las posiciones posibles para el vértice del trián- A M B gulo rectángulo? Un método podría ser trazar ángulos de 30 y 60° en los puntos extremos, de manera que el ángulo restante formado deba medir 90° [vea la figura 7.9(a)]. Ésta es sólo (b) una posibilidad pero, debido a la simetría, en realidad proporciona cuatro puntos permisi- Figura 7.8 bles, los cuales se indican en la figura 7.9(b). Este problema se completa en el ejemplo 5. 30° 60° GEE (a) (b) Ejercicios 7, 8 Figura 7.9 EJEMPLO 5 Recuerde Encuentre el lugar geométrico del vértice del ángulo recto de un triángulo rectángulo Un ángulo inscrito en un si la hipotenusa es AB en la figura 7.10(a). semicírculo es un ángulo recto. Solución En vez de utilizar un método de “prueba y error” para localizar el vértice posible (como se sugiere en el párrafo anterior a este ejemplo), recuerde que un ángulo inscrito en un semicírculo es un ángulo recto. Así, se construye el círculo cuyo centro es el punto medio M de la hipotenusa y cuyo radio es igual a la mitad de la longitud de la hipotenusa. Figura 7.10(b): Primero se ubica el punto medio M de la hipotenusa AB. A B A B A B M M (a) (b) (c) Figura 7.10 328 CAPÍTULO 7  LUGAR GEOMÉTRICO Y CONCURRENCIA Figura 7.10(c): El círculo con centro M se traza con la longitud del radio del círculo igual a la mitad de la longitud de la hipotenusa (como MB). El lugar geométrico del vértice del ángulo recto de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa está dada es el círculo cuyo centro está en el punto medio del segmento dado y cuyo radio es igual en longitud a la mitad de la longitud del segmento dado. Cada punto (excepto A y B) en }M es el vértice de un triángulo rectángulo con hipotenusa AB; vea el teorema 6.1.9.  En el ejemplo 5 la construcción implica ubicar el punto medio M de AB y éste se encuentra por la construcción del bisector perpendicular. Luego se abre el compás hasta un radio cuya longitud sea MA o MB y se traza el círculo. Cuando se realiza una construc- ción, ésta corresponde a una de dos categorías: 1. Método de construcción básico 2. Un problema de construcción compuesto que puede requerir varios pasos e implicar varios métodos de construcción básicos (como en el ejemplo 5) El ejemplo siguiente