Formule Bac Matematica PDF

Subiectul I.1 PROGRESII ARITMETICE GEOMETRICE Notații ( ) ( ) {...

Subiectul I.1 PROGRESII ARITMETICE GEOMETRICE Notații ( ) ( ) { { Exemplu { { Definiție (Formula de recurență) Rația unei progresii ( ) CELE MAI UTILIZATE FORMULE Formula termenului general ( ) Suma primilor n termeni ai progresiei ( ) ( ) { Condiția ca trei numere să fie termeni consecutivi ai unei progresii  LOGARITMI Definiție Condițiile de existență ale logaritmului ( ) { ( ) ( ) Logaritmul zecimal Logaritmul natural ( ) Proprietăți ale logaritmilor 1. 2. 3. 4. 5. ( ) 6. ( ) 7. Formule de schimbare a bazei logaritmului 8. 9. 10. 11. Monotonia funcției logaritmice ( ) ( ) I. Dacă ( ) ( ) ( ) II. Dacă ( ) ( ) ( ) Monotonia funcției exponențiale ( ) ( ) I. Dacă ( ) II. Dacă ( )  PUTERI ȘI RADICALI PUTERI Definiție putere ⏟ { Proprietăți puteri 1. 2. 3. 4. 5. ( ) 6. ( ) 7. ( ) ( ) 8. 9. 10. ( ) ( ) RADICALI Radicalul de ordin 2 Radicalul de ordin 3 Condiții de existență ale radicalului de ordin 2 Condiții de existență ale radicalului de ordin 3 (de ordin par) (de ordin impar) √ ( ) ( ) Nu există ( ) Proprietăți ale radicalilor 1. √ √ √ √ √ √ √ √ 2. √ √ √ √ 3. (√ ) (√ ) 4. √ √ 5. √  NUMERE COMPLEXE ( )– forma algebrică Definiție Notații a = partea reală a numărului complex z bi = partea imaginară a numărului complex z a = Re(z) – realul lui z b = Im(z) – imaginarul lui z i = unitate imaginară Proprietăți ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) Egalitatea a două numere complexe Conjugatul lui z Modulul lui z ̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅ | | | | √ Proprietăți (cele mai utilizate) 1. | | | ̅| 4. | | | | | | | | 2. | | | | 5. | | | | 3. ̅ 6. | | ̅ Raportul a două numere complexe = se calculează prin amplificarea lui (raportului) cu conjugatul numitorului ( ) ( ) ( ) ( ) ⏟ ⏟ ( ) ( ) Puterile lui i Rezolvarea în a ecuației de grad II cu coeficienți reali √ √ { √  FORMULE DE CALCUL PRESCURTAT ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) PARTEA ÎNTREAGĂ ȘI PARTEA FRACTIONARĂ A UNUI NUMĂR REAL Partea întreagă a unui număr real x Notație Definiție [ ] [ ] [ ] Partea fracționară a numărului real x Notație Definiție { } { } [ ] Proprietăți 1. [ ] 3. { } [ ) 2. [ ] [ ] 4. { } { } 5. [ ] { } MODULUL UNUI NUMĂR REAL Definiție | | { | | Proprietăți | |  Subiectul I.2 FUNCȚII – definiții și proprietăți Notații A = domeniul funcției ( ) B = codomeniul funcției f(x)= legea de corespondență a funcției ( ) ( ) ( ) x (prima coordonată) = abscisa punctului y (a doua coordonată) = ordonata punctului Intersecția cu axele de coordonate ale Gf ( ) ( ) ( ) ( ) Determinarea coordonatelor punctelor de intersecție a două grafice (Gf și Gg) ( ) ( ) Compunerea funcțiilor ( )( ) ( ( ))  FUNCȚII – definiții și proprietăți Funcții pare. Funcții impare ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Funcții periodice este periodică cu perioada T dacă ( ) ( ) Cea mai mică perioadă nenulă pozitivă (dacă există) s.n. perioadă principală Imaginea unei funcții (mulțimea de valori a funcției) { | ( ) } sau ( ) { ( )| } Funcții injective – definiții 1. ( ) ( ) [ ] 2. ( ) ( ) [ ] 3. f este strict monotonă (Analiză matematică) Obs. ( ) ( ) Funcții surjective – definiții 1. [ ( ) ] [ ( ) ] 2. Funcții bijective – definiții 1. f este injectivă și surjectivă 2. [ ( ) ] [ ( ) ] Funcții inversabile f este bijectivă Inversa unei funcții ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) Funcții monotone este monoton crescătoare dacă ( ) ( ) este monoton descrescătoare dacă ( ) ( ) este strict crescătoare dacă ( ) ( ) este strict descrescătoare dacă ( ) ( )  FUNCȚIA DE GRADUL I Forma generală a funcției ( ) Monotonia funcției 1. Dacă atunci f este strict descrescătoare 2. Dacă atunci f este strict crescătoare Semnul funcției Se rezolvă ecuația ( ) ( ) semn contrar a 0 semn a  FUNCȚIA DE GRADUL al II – lea Forma generală a funcției ( ) Ecuația de gradul al doilea ( ) Cazul { √ √ I ( ) Cazul { II Cazul III ( ) Semnul funcției de gradul al doilea ( ) Cazul I ( ) Semn Semn a 0 contrar 0 Semn a a ( ) Cazul II ( ) semn a 0 semn a ( ) Cazul III ( ) semn a Relațiile lui Viete ( ) ( ) Suma pătratelor rădăcinilor Formarea ecuației de gradul al doilea cu rădăcinile Se calculează și. Ecuația cu rădăcinile este:  Graficul funcției de gradul al doilea Se numește parabolă. Parabola are un punct de extrem, numit vârf și notat cu V. Coordonatele vârfului : ( ) funcția admite maxim (V este punct de maxim) Dacă valoarea maximă a funcției sau maximul funcției este funcția admite minim (V este punct de minim) Dacă valoarea minimă a funcției sau minimul funcției este Ecuația axei de simetrie a parabolei este: Poziția parabolei (graficului funcției de grad II) față de axa Ox ( ) ( ( ) ( )) Monotonia și imaginea funcției de gradul al doilea ( ) Se calculează coordonatele vârfului ( ) Dacă este punct de maxim ( ) max ( ] ( ] [ ) Dacă este punct de minim ( ) min [ ) ( ] [ )  Subiectul I.3 ECUAȚII Ecuații iraționale √ ( ) ( ) √ ( ) ( ) 1. Se pun condiții de existență ( ) { ( ) Eliminarea radicalului (prin ridicarea la putere) și rezolvarea ecuației obținute (√ ( )) ( ( )) ( ) ( ( )) ( √ ( )) ( ( )) ( ) ( ( )) Verificarea soluției Ecuații exponențiale ( ) ( ) ( ) 1. ( ) ( ) 2. ( ) 3. Cu ajutorul notațiilor și a proprietăților puterilor Ecuații logaritmice ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1. ( ) { ( ) ( ) 2. ( ) { 3. Cu ajutorul notațiilor  Ecuații trigonometrice Ecuații trigonometrice fundamentale [ ] ( ) [ ] Ecuații trigonometrice de forma ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ecuații trigonometrice care se rezolvă cu ajutorul unor ecuații din algebră (notații) Cele mai utilizate formule trigonometrice sunt: și Ecuații de forma (O metodă) Prin utilizarea substituției și a formulelor trigonometrice Observație! Funcția trigonometrică tg nu este definită pe întreaga mulțime a numerelor reale ( ) ducând astfel la pierderea unor eventuale soluții de forma ( ). Prin urmare este necesară verificarea valorilor de forma ( )  Subiectul I.4 METODE DE NUMĂRARE Permutări = numără câte mulțimi ordonate se pot forma cu n elemente distincte Aranjamente = numără câte submulțimi ordonate de k elemente se pot forma cu n elemente distincte ( ) Combinări = numără câte submulțimi de k elemente se pot forma cu n elemente distincte ( ) Binomul lui Newton ( ) Formula termenului general Suma coeficienților binomiali Suma coeficienților binomiali de rang par Suma coeficienților binomiali de rang impar Formule de numărare Numărul submulțimilor unei mulțimi cu n elemente este Numărul funcțiilor este Numărul funcțiilor bijective este ( ) Ne amintim! Card A =numărul de elemente al mulțimii A PROBABILITĂȚI  MATEMATICI FINANCIARE Procente Scumpirea prețului unui produs Reducerea prețului unui produs Datele x = prețul inițial al produsului x = prețul inițial al produsului p = procentul cu care se scumpește p = procentul cu care se reduce problemei = prețul după scumpire = prețul după reducere Formulă T.V.A. = taxa pe valoarea adăugată Datele x = prețul inițial (de producție) al produsului p = procentul T.V.A. problemei = prețul de vânzare al produsului Formule Dobânda simplă D = dobânda obținută la finalul perioadei de timp (în lei) Datele S = suma depusă inițial la bancă (in lei) r = rata dobânzii (%) problemei n = perioada de timp (în ani) = suma obținută după perioada de timp (în lei) Formule Dobânda compusă D = dobânda obținută la finalul perioadei de timp (în lei) Datele S = suma depusă inițial la bancă (in lei) r = rata dobânzii (%) problemei n = perioada de timp (în ani) = suma obținută după perioada de timp (în lei) [( ) ] Formule ( )  Subiectul I.5 GEOMETRIE ANALITICĂ I. Distanța dintre două puncte (Lungimea unui segment) Datele problemei Formulă ( ) ( ) √( ) ( ) II. Coordonatele mijlocului unui segment Datele problemei Formulă ( ) ( ) ( ) III. Panta unei drepte ( ) Datele problemei Formulă (coeficient unghiular) Ecuația generală a dreptei: Ecuația explicită a dreptei ( ) ( ) ( ) IV. Determinarea ecuației unei drepte Datele problemei Formulă | | ( ) ( ) ( ) și panta dreptei d ( ) Mediatoarea unui segment este perpendiculara dusă prin mijlocul segmentului Să ne amintim! Înălțimea este perpendiculara dusă dintr-un vârf al triunghiului pe latura opusă Mediana este segmentul care unește un vârf al triunghiului cu mijlocul laturii opuse  V. Pozițiile relative a două drepte SAU drepte concurente Observație! Coordonatele punctului de intersecție a două drepte reprezintă soluția sistemul format din ecuațiile celor două drepte. ( ) VI. Aria unui triunghi Datele problemei Formulă | | ( ) ( ) ( ) | | VII. Coliniaritatea a trei puncte distincte în plan Datele problemei Formulă ( ) ( ) | | ( ) VIII. Distanța de la un punct la o dreaptă Datele problemei Formulă Coordonatele punctului ( ) | | ( ) Ecuația generală a dreptei √ Determinarea lungimii unei înălțimi Aplicație! ( ) IX. Coordonatele centrului de greutate al unui triunghi Datele problemei Formulă ( ) ( ) ( ) ( ) Centrul de greutate al unui (G) reprezintă punctul Să ne amintim! de intersecție al medianelor unui.  VECTORI Definiții și notații Vector = mărime fizică, caracterizată prin direcție, sens, lungime ⃗⃗⃗⃗⃗ |⃗⃗⃗⃗⃗ | ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ) Doi vectori au aceeași direcție dacă dreptele lor suport sunt paralele sau coincid. Doi vectori au același sens dacă extremitățile lor sunt de aceeași parte a dreptei determinată de originile vectorilor. Doi vectori sunt egali dacă au aceeași direcție, lungime și același sens. Doi vectori sunt opuși dacă au aceeași direcție, lungime și sensuri opuse. Notăm: ⃗. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Vectorul nul este vectorul cu lungime 0. Notăm: ⃗. ⃗ |⃗⃗⃗⃗⃗ | | | Doi vectori sunt coliniari dacă au aceeași direcție. ⃗ ⃗ ⃗ Adunarea vectorilor necoliniari Regula triunghiului Regula paralelogramului ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ B B C A A D C Vectorul de poziției al mijlocului unui segment ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Vectori în reper cartezian ( ) | | √ ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ( ) ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ Produsul scalar ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ |⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗ | ( (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )) ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗  Subiectul I.6 ELEMENTE DE TRIGONOMETRIE Cercul trigonometric sin ( ) ( ) 0 (1,0) cos ( ) 0 sin 0 1 0 -1 0 cos 1 0 -1 0 1 √ √ sin √ √ cos tg 1 √ √ ctg √ 1 √ Semnul funcțiilor trigonometrice ( ) ( ) [ ] Cadran I Cadran III ( ) ( ) [ ] Cadran II Cadran IV  Proprietăți ale funcțiilor trigonometrice Mărginirea Paritatea ( ) ( ) ( ) ( ) Observație! cos este funcției pară, sin, tg, ctg funcții impare Periodicitatea ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Formule trigonometrice Formula fundamentală a trigonometriei ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Transformarea unor sume în produs  Funcții trigonometrice inverse [ ] [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) APLICAȚII ALE TRIGONOMETRIEI ÎN GEOMETRIE Teorema cosinusului Teorema sinusurilor Observație! Aplic teorema cosinusului dacă Ipoteză Concluzie Toate laturile triunghiului 2 laturi și dintre ele a 3 –a latură altfel aplic teorema sinusurilor. Aria unui triunghi oarecare ( ) √ ( ) ( ) ( ) Raza cercului circumscris Raza cercului înscris în  Triunghiul dreptunghic catetă (𝑐 ) catetă (c2) Aria triunghiului Înălțimea corespunzătoare ipotenuzei Mediana corespunzătoare ipotenuzei Raza cercului circumscris Funcții trigonometrice Triunghiul echilateral are toate laturile egale; are toate de √ √  Subiectul II.1 ELEMENTE DE CALCUL MATRICEAL ȘI SISTEME DE ECUAȚII LINIARE PERMUTĂRI Permutare de grad n - ( ) definiție ( ) ( ) ( ) ( ) Permutarea identică ( ) de gradul n Transpoziție ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Inversa unei permutări apoi se ordonează prima linie Compunerea permutărilor ( ( ( )) ( ( ))) ( ( )) Perechea ( ) cu se numește inversiune a permutării dacă Inversiune a unei permutări () () ( )= numărul inversiunilor permutării Semnul (signatura) unei ( ) ( ) ( ) permutări – definiție Semnul (signatura) unei ( ) ( ) ( ) și ( ) ( ( )) permutări – proprietăți Permutare pară este permutare pară dacă ( ) Permutare impară este permutare impară dacă ( )  MATRICE. DETERMINANȚI Matrice pătratică Matrice cu n linii și n coloane de ordin n Matricea unitate ( ), ( ) de ordin n - definiție Matricea unitate ( ) de ordin n – proprietate Matricea nulă ( ) de tipul ( ) Urma unei matrice ( ) = suma elementelor de pe diagonala principală pătratice Transpusa unei matrice – se obține din matricea prin transformarea liniilor în coloane și definiție a coloanelor în linii Transpusa unei matrice – ( ) proprietate Relația lui ( ) ( ) Hamilton - Cayley Determinantul de ordin 2 ( ) | | Un determinant cu elementele unei linii/coloane nule are valoarea 0. Un determinant cu două linii/coloane identice are valoarea 0. ( ) ( ) Proprietăți ale ( ) determinanților ( ) ( ) Dacă la elementele unui linii/coloane se adună elementele altei linii/coloane înmulțite eventual cu același număr, atunci valoarea determinantului nu se modifică.  este inversabilă Inversa unei matrice Pas 1. Se calculează Pas 2. Se determină matricea transpusă Matrice inversabile Pas 3. Se determină matricea adjunctă ( ) ̅̅̅̅̅ ( ) determinantul obținut din prin eliminarea linie și coloanei Pas 4. Se calculează inversa matricei , Ecuații matriceale , , ,  SISTEME DE ECUAȚII LINIARE un minor de ordin al lui nenul ( ) și toți minorii Rangul unei matrice de ordin sunt nuli ( ) Stabilirea compatibilității unui sistem liniar și rezolvarea lui – matricea sistemului – matrice pătratică Stabilirea compatibilității Se calculează 1. Se determină ( ) (minorul principal) sistem compatibil determinat/ 2. Se calculează minorii caracteristici sistem cu soluție unică/ Numărul = numărul ecuațiilor secundare sistem de tip Cramer 3. Dacă sistem incompatibil Dacă toți sistem compatibil nedeterminat (o infinitate de soluții) Rezolvarea sistemului Se stabilesc ecuațiile principale și secundare Se stabilesc necunoscutele principale și secundare Necunoscute secundare Un sistem cu o necunoscută secundară = sistem compatibil simplu nedeterminat Un sistem cu două necunoscute secundare = sistem compatibil dublu nedeterminat Se rezolvă sistemul format din ecuațiile principale – nu este matrice pătratică ̅ – matricea extinsă a sistemului Stabilirea compatibilității 1. Se determină ( ) (minorul principal) 2. Se calculează minorii caracteristici Numărul = numărul ecuațiilor secundare 3. Dacă sistem incompatibil Dacă toți sistem compatibil Dacă ̅ ⇒ sistem compatibil Rezolvarea sistemului Se stabilesc ecuațiile principale și secundare Se stabilesc necunoscutele principale și secundare Necunoscute secundare Dacă necunoscute secundare sistem compatibil nedeterminat Dacă necunoscute secundare sistem compatibil determinat Un sistem cu o necunoscută secundară = sistem compatibil simplu nedeterminat Un sistem cu două necunoscute secundare = sistem compatibil dublu nedeterminat Se rezolvă sistemul format din ecuațiile principale  Subiectul II.2 LEGI DE COMPOZIȚIE PE O MULȚIME Proprietățile legilor de compoziție ( ) Parte stabilă Asociativitate ( ) ( ) Comutativitate Element neutru element simetrizabil dacă Elemente simetrizabile ( ) mulțimea elementelor simetrizabile din în raport cu legea Structuri algebrice ( ) monoid comutativ (abelian) dacă 1. este parte stabilă în raport cu legea Monoid 2. este asociativă 3. admite element neutru 4. este comutativă ( ) grup comutativ (abelian) dacă 1. este parte stabilă în raport cu legea Grup 2. este asociativă 3. admite element neutru 4. ( ) 5. este comutativă ( ) inel comutativ dacă 1. ( ) este grup comutativ Inel 2. ( ) este monoid comutativ 3. Distributivitatea operației față de ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) corp comutativ dacă 1. ( ) este grup comutativ ( element neutru) Corp 2. ( { } ) este grup comutativ 3. Distributivitatea operației față de ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  Morfisme de grupuri este izomorfism de grupuri dacă Fie ( ) și ( ) două 1. este morfism de grupuri dacă ( ) ( ) ( ) grupuri 2. bijecivă Proprietate: ( ) Morfisme de inele este izomorfism de inele dacă 1. este morfism de inele dacă a. ( ) ( ) ( ) Fie ( ) și ( ) b. ( ) ( ) ( ) două inele c. ( ) 2. bijecivă Proprietate: ( ) Subgrupuri ( ) este subgrup al lui G dacă Fie ( ) și sau 1. 2.  POLINOAME Forma algebrică [ ] a unui polinom [ ] mulțimea polinoamelor cu coeficienți în corpul Suma coeficienților Suma coeficienților polinomului ( ) ( ) unui polinom Gradul unui polinom cel mai mare exponent al lui Polinomul constant: Gradul polinomului constant = 0 Polinoame particulare Polinomul nul: Gradul polinomului constant = Un polinom devine polinom nul dacă toți coeficienții polinomului sunt 0. deîmpărțit Teorema împărțirii cu împărțitor rest cât rest Teorema restului ( ) ( ) Divizibilitatea ( ) ( ) polinoamelor ( ) și rădăcină ( ) Rădăcini ale rădăcină ( ) (Th. Bezout) polinoamelor rădăcină dublă ( ) rădăcină dublă ( ) și ( ) [ ] este polinom reductibil peste corpul dacă [ ] și a.î.. Polinoame ireductibile [ ] este polinom ireductibil peste corpul dacă nu este reductibil peste. Descompunerea [ ] polinoamelor în factori rădăcinile polinomului ireductibili ( )( ) ( )  cu rădăcini Relațiile lui Viete pentru polinoame de grad 3 Suma pătratelor rădăcinilor Ecuația algebrică de gradul 3 cu rădăcinile este cu rădăcini Relațiile lui Viete pentru polinoame de grad 4 Suma pătratelor rădăcinilor Ecuația algebrică de gradul 4 cu rădăcinile este Rădăcinile întregi ale unei ecuații algebrice cu coeficienți în Divizorilor termenului liber Ecuații algebrice cu Rădăcinile raționale ale unei ecuații algebrice cu coeficienți în sunt de coeficienți în forma unde Divizorilor termenului liber și Divizorilor coeficientului dominant Ecuații algebrice cu [ ] | √ coeficienți în √ Ecuații algebrice cu [ ] | coeficienți în  Ecuația reciprocă de grad 3 are rădăcina Ecuații reciproce de gradul 3 ( )( ( ) ) Ecuația reciprocă de grad 4 | ( ) Ecuații reciproce de ( ) ( ) gradul 4 ⇔ Subiectul III.1  ELEMENETE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ CLASA a XI – a Derivatele funcțiilor elementare Nr. Crt. Derivate simple Derivate compuse 1 2 3 ( ) ( ( ) ) ( ) ( ( )) 4 (√ ) (√ ( )) ( ( )) √ √ ( ) ( √ ( )) ( ( )) 5 (√ ) √ √( ( )) ( √ ( )) ( ( )) 6 (√ ) √ √( ( )) ( ) ( ) 7 ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) 8 ( ) ( ) ( ( )) 9 ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) 10 ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) 11 ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) 12 ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) 13 ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) 14 ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) 15 ( ) ( ( )) ( ( )) √ √ ( ) 16 ( ) ( ( )) ( ( )) √ √ ( ) 17 ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) 18 ( ) ( ( )) ( ( )) ( )  Reguli de derivare ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) Șiruri Mărginire și monotonie ( ) mărginit inferior dacă a.î. Mărginire ( ) mărginit superior dacă a.î. ( ) mărginit dacă șirul este mărginit inferior și superior ( ) monoton crescător dacă SAU ( ) este monoton crescător dacă ( ) monoton descrescător dacă SAU ( ) este monoton descrescător dacă Monotonie ( ) strict crescător dacă SAU ( ) este strict crescător dacă ( ) strict descrescător dacă SAU ( ) este strict descrescător dacă  Un șir este convergent dacă acesta are limita finită. Un șir este divergent dacă are limita sau nu au limită ( ). Convergența Un șir este convergent dacă este monoton și mărginit. (Proprietatea lui Weierstrass) Limite de șiruri – cazuri de nedeterminare (idei de rezolvare) Factor comun forțat ( ) { Lema lui Stolz – Cesaro ( ) Criteriul raportului ( ) cu termeni strict pozitivi. Dacă Cazul ̅ ) [ ) ) ( ) ) Regula lui lʹHospital ( ) ( ) ⇒ ( ) Factor comun forțat SAU Amplificarea cu expresia conjugată (la limitele cu radicali) Cazul SAU Proprietățile logaritmilor (la limitele cu ln)  Cazul Limite remarcabile ( ) Cazul Cazul ( ) Criteriul radicalului Cazul √ ( ) cu termeni strict pozitivi Funcții Limite de funcții ( ) ( ) ( ) Limite laterale ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Cazuri de nedeterminare (idei de rezolvare) Factor comun forțat Regula lui lʹHospital Cazul ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) Factor comun forțat SAU Amplificarea cu expresia conjugată (la limitele cu radicali) Cazul SAU Proprietățile logaritmilor (la limitele cu ln) ( ) ( ) ( ) ( )  Limite remarcabile ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) Cazul ( ) ( ) ( ) ( ) Regula lui lʹHospital Limite remarcabile Regula lui lʹHospital Cazul ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Cazul ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Cazul ( ) Asimptote Asimptote orizontale la ( ) Asimptote oblice ( ) la [ ( ) ] Asimptote verticale Câteva rezultate utile în calcularea limitelor! ( )  Funcții continue continuă în ( ) ( ) ( ) Proprietate lui | ( ) ( ) Cauchy - Bolzano ( ) ( ) Semnul unei funcții O funcție continuă are același semn pe un intervalul în care nu are continue zerouri. Funcții derivabile ( ) ( ) ( ) Ecuația tangentei la ( ) ( )( ) graficul funcției în punctul de abscisă ( ) – panta tangentei ( ) ( ) ( ) ( ) este punct de întoarcere al funcției dacă este continuă în și Puncte de întoarcere ( ) ( ) infinite este punct unghiular al funcției dacă este continuă în și Puncte unghiulare ( ) ( ) și cel puțin o derivată laterală este finită [ ] ( ) un punct de extrem al funcției. Dacă este Teorema lui Fermat derivabilă în punctul atunci ( ) [ ] ( ) ( ) Teorema lui Lagrange | ( ) ( ) ( ) [ ] Teorema lui Rolle ( )| ( ) ( ) ( ) ( ) Se aplică pentru determinarea numărului de soluții reale ale ecuației ( ) Etape: 1) Se determină ( ) Șirul lui Rolle 2) Se rezolvă ( ) 3) ( ) ( ) Ș.R.  ( ) ( ) ( ) ( ) Determinarea intervalelor de monotonie și a punctelor de extrem Etape: Se determină ( ) Se rezolvă ( ) ( ) ( ) Enunțuri care se rezolvă cu derivata I Rolul derivatei I  Să se determinarea intervalelor de monotonie  Să se determinarea punctelor de extrem  Să se demonstreze că f este (strict) crescătoare/descrescătoare  Să se demonstreze inegalități cu ajutorul punctelor de extrem  Să se determine imaginea(mulțimea de valori) unei funcții  Să se demonstreze că o funcție este mărginită  Să se demonstreze bijectivitatea unei funcții o injectivă strict monotonă pe domeniu o surjectivă codomeniu ( ) ( ) punct de inflexiune dacă  continuă în  are derivată în  este concavă de o parte a lui și convexă de cealaltă parte a lui Rolul derivatei a II –a Determinarea intervalelor de concavitate/convexitate și a punctelor de inflexiune Etape: Se determină ( ) Se rezolvă ( ) ( ) ( )  Subiectul III.2 ELEMENETE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ CLASA a XII – a Primitive este primitivă a funcției dacă Definiție 1. F derivabilă pe D 2. ( ) ( ) Pentru a determina/a calcula primitiva unei funcții se folosește ( ) ∫ ( ). Pentru a demonstra/a arăta enunțuri care implică primitive se folosește definiția primitivei. Pentru a demonstra că o funcție admite primitive pe D se arată că funcția este continuă pe D. Metoda integrării prin părți ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) Integrale definite Formula lui ∫ ( ) ( )| ( ) ( ) Leibniz - Newton ∫ ( ) dacă impară și ∫ ( ) ∫ ( ) dacă pară și Proprietăți ∫ ( ) [ ] este o funcție continuă [ ] a.î. Teorema de medie ∫ ( ) ( ) ( ) Proprietatea de ∫ ( ) ( ) [ ] pozitivitate Proprietatea de ( ) ( ) [ ] ∫ ( ) ∫ ( ) monotonie Proprietatea de ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) [ ] aditivitate la interval Metoda integrării prin ∫ ( ) ( ) ( ) ( )| ∫ ( ) ( ) părți  Integrale nedefinite 1 ∫ ∫ ( ) 2 ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ∫ ∫ ( ) ( ) 4 ∫ ∫ ( ) ( ) 5 ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 6 ∫ | | ∫ ( ) | | ( ) ( ) ( ) 7 ∫ ∫ ( ) ( ) 8 ∫ | √ | ∫ ( ) | ( ) √ ( ) | √ √ ( ) 9 ∫ ( √ ) ∫ ( ) ( ( ) √ ( ) ) √ √ ( ) ( ) 10 ∫ ∫ ( ) √ √ ( ) 11 ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 12 ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 13 ∫ | | ∫ ( ) ( ) | ( )| 14 ∫ | | ∫ ( ) ( ) | ( )| 15 ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 16 ∫ ∫ ( ) ( ) ( )  Aplicații ale integralei definite Aria unei suprafețe plane delimitate de graficul funcției , axa ( ) ∫ | ( )| și dreptele de ecuații și Aria suprafeței plane cuprinse între două ( ) ∫ | ( ) ( )| curbe Volumul unui corp de rotație determinat de ( ) ∫ ( ) graficul funcției [ ]