34 Questions
Ce reprezintă rația unei progresii aritmetice?
Raportul dintre doi termeni consecutivi
Formula termenului general al unei progresii aritmetice: $a_n = a_1 + (n - 1) imes r$. Completați spațiul liber: $a_n = a_1 + (n - 1) \times $____.
r
Radicalul de ordin 3 nu există.
True
Cum se numește partea imaginara a unui număr complex?
parte imaginară
Asociați proprietățile corecte ale radicalilor:
√(ab) = √a √b √(a^2) = |a| √(a^3) = a√a √(ab^2) = b√a
Ce reprezinta centrul de greutate al unui triunghi?
Centrul de greutate al unui triunghi (G) reprezinta punctul de intersectie al medianelor triunghiului.
Doi vectori sunt coliniari daca au aceeasi directie?
True
Care este formula fundamentală a trigonometriei?
sin^2(x) + cos^2(x) = 1
Teorema __ se aplica atunci cand sunt cunoscute toate laturile unui triunghi.
cosinusului
Care este definitia unei matrice unitate de ordin n?
Matricea cu n linii si n coloane
Un determinant cu doua linii/coloane identice are valoarea 0.
True
Care este formula pentru calculul determinatului de ordin 2?
ad - bc
Proprietatile __________ ale determinantiilor afirma ca daca la elementele unei linii/coloane se aduna elementele altei linii/coloane inmultite eventual cu acelasi numar, atunci valoarea determinantului nu se modifica.
proprietati
Potriviti urmatoarele elemente algebrice cu descrierile lor:
Monoid = Admite element neutru, este asociativ Grup = Admite element neutru, este asociativ, este comutativ Inel = Este grup comutativ, este monoid comutativ, distributivitate Corp = Este grup comutativ, este inel comutativ, distributivitate
Ce regulă se aplică la limitele cu formațiuni de tipul '( ) pe ( )'?
Regula lui l'Hospital
Care este criteriul folosit în cazul limitelor cu radicalul (√) pentru a simplifica expresiile?
Criteriul radicalului
Funcțiile sunt continue în punctul de abscisă _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ în cazul propoziției lui Cauchy - Bolzano.
la
O funcție continuă poate avea semnul schimbat pe un interval în care nu are zerouri.
False
Ce se numește un punct de inflexiune al unei funcții?
Punct de inflexiune este punct unghiular al funcției și apare atunci când funcția este concavă de o parte a lui și convexă de cealaltă parte a lui.
Ce proprietate se referă la faptul că integrala funcției este o medie aritmetică a valorilor functieîi pe interval?
Teorema de medie
Ce proprietate se refera la faptul că integrala unei functii funcție este pozitivă sau negativă în funcție de semnul funcției?
Proprietatea de pozitivitate
Care este metoda de integrare ce implică calculul integralei a două funcții compuse?
Metoda integrării prin părți
Ce regulă permite descompunerea integralei duble a produsului a două funcții într-o suma a integralelor?
Proprietatea de aditivitate la interval
Ce concept matematic este folosit pentru a recunoaște forma integrală în cazŭl de derivare inversă?
Integrale nedefinite
Cum se numește regula de calcul a integralei din produsul a două funcții?
Proprietatea de monotonie
Descompuneți polinoamele în factori pe baza rădăcinilor polinomului ireductibil: ($ax^2 + bx + c$)
(x - r1)(x - r2)
Care este ecuația algebrică de gradul 3 cu rădăcinile $r_1$, $r_2$ și $r_3$?
$x^3 - (r_1+r_2+r_3)x^2 + (r_1r_2 + r_1r_3 + r_2r_3)x - r_1r_2r_3$
Care sunt rădăcinile întregi ale unei ecuații algebrice cu coeficienți în divizorii termenului liber?
Divizorii termenului liber
Potriviți ecuațiile algebrice cu coeficienții lor în funcție de forma lor:
Ecuații cu coeficienți în RADICAL = ($\sqrt{5}x^2 + \sqrt{3}x + \sqrt{2}$) Ecuații cu coeficienți în COEFICIENT DIVERS = ($2x^2 + 3x + 2$)
Un șir este convergent dacă este monoton și mărginit.
True
Semnul funcției se rezolvă ecuația $f(x) = 0$ pentru a determina semnul lui $f$. Semnul funcției de gradul al doilea se determină în funcție de semnele părților sale: _________________
Semn contrar a 0, semn a
Care sunt relațiile lui Viète pentru o ecuație de gradul al doilea de forma $ax^2 + bx + c = 0$?
x1 + x2 = -b/a; x1 * x2 = c/a
Care sunt formulele de numărare corecte?
Numărul submulțimilor unei mulțimi cu n elemente este n!
Coordonatele vârfului unei parabole sunt puncte de minim pentru o funcție de gradul al doilea.
False
Study Notes
Progrese Arismetice și Geometrice
- Definiție: Progresia aritmetică este o succesiune de numere în care fiecare termen, începând cu al doilea, este obținut prin adunarea unei constante la termenul precedent.
- Rația unei progresii arismetice: este diferența dintre doi termeni consecutivi ai progresiei.
- Formula termenului general: an = a1 + (n-1) × r, unde an este al n-lea termen, a1 este primul termen, n este numărul de termeni, și r este rația progresiei.
- Formula sumei primilor n termeni ai progresiei: S = n/2 × (a1 + an), unde S este suma primilor n termeni, și an este al n-lea termen.
Logaritmi
- Definiție: Logaritmul unui număr este puterea la care trebuie ridicată baza pentru a obține acel număr.
- Condițiile de existență ale logaritmului: numărul trebuie să fie pozitiv, baza trebuie să fie diferită de 1, și baza trebuie să fie pozitivă.
- Proprietăți ale logaritmilor: log(a × b) = log(a) + log(b), log(a/b) = log(a) - log(b), log(a^b) = b × log(a).
- Logaritmul zecimal: log10(a), unde a este numărul, și 10 este baza.
- Logaritmul natural: ln(a), unde a este numărul, și e este baza.
Puteri și Radicali
- Definiție: Puterea unui număr este rezultatul ridicării lui la o exponentă dată.
- Proprietăți puteri: a^m × a^n = a^(m+n), a^m / a^n = a^(m-n), (a^m)^n = a^(m×n).
- Definiție: Radicalul unui număr este rădăcina pătrată a acelui număr.
- Proprietăți radicali: √(a × b) = √a × √b, √(a/b) = √a / √b, (√a)^2 = a.
Numere Complexe
- Definiție: Un număr complex este un număr care poate fi scris sub forma a + bi, unde a și b sunt numere reale, și i este unitatea imaginară.
- Notații: partea reală a unui număr complex este a, iar partea imaginară este bi.
- Proprietăți: egalitatea a două numere complexe, conjugatul unui număr complex, modulul unui număr complex.
- Formula pentru conjugatul unui număr complex: ̅ = a - bi.
- Formula pentru modulul unui număr complex: |a + bi| = √(a^2 + b^2).
Funcții
- Definiție: O funcție este o relație între două mulțimi de numere, în care fiecare element din prima mulțime corespunde unui element din a doua mulțime.
- Notații: domeniul funcției, codomeniul funcției, legea de corespondență a funcției.
- Proprietăți: funcții pare, funcții impare, funcții periodice, funcții injective, funcții surjective, funcții bijective.
- Definiție: Funcția de gradul I este o funcție de forma f(x) = ax + b, unde a și b sunt numere reale.
- Definiție: Funcția de gradul al II-lea este o funcție de forma f(x) = ax^2 + bx + c, unde a, b și c sunt numere reale.
Ecuații
- Definiție: O ecuație este o egalitate între două expresii care conțin variabile și numere.
- Tipuri de ecuații: ecuații iraționale, ecuații exponențiale, ecuații logaritmice, ecuații trigonometrice.
- Metode de rezolvare: împărțirea la două, ridicarea la putere, utilizarea notațiilor și proprietăților.
Metode de Numărare
- Permutări: numără câte mulțimi ordonate se pot forma cu n elemente distincte.
- Aranjamente: numără câte submulțimi ordonate de k elemente se pot forma cu n elemente distincte.
- Combinări: numără câte submulțimi de k elemente se pot forma cu n elemente distincte.
- Formula termenului general: an = n! / k!(n-k)!.
Probabilități
- Definiție: Probabilitatea unui eveniment este un număr între 0 și 1 care exprimă șansele ca evenimentul să se producă.
- Formula: P(A) = numărul de cazuri favorabile / numărul total de cazuri posibile.
Matematici Financiare
- Procente: scumpirea și reducerea prețului unui produs.
- Formula: = x + (x × p/100), unde x este prețul inițial, și p este procentul.- Matematică*
Problemei și formule
- Dobânda simplă:
- D = dobânda obținută la finalul perioadei de timp (în lei)
- S = suma depusă inițial la bancă (in lei)
- r = rata dobânzii (%)
- n = perioada de timp (în ani)
- A = suma obținută după perioada de timp (în lei)
- Dobânda compusă:
- Formulă similară cu cea a dobânzii simple
Geometrie analitică
- Distanța dintre două puncte (Lungimea unui segment):
- √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2]
- Coordonatele mijlocului unui segment:
- (xm, ym) = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2)
- Panta unei drepte:
- m = (y2 - y1) / (x2 - x1)
- Ecuația generală a dreptei:
- y = mx + n
- Ecuația explicită a dreptei:
- y = mx + b
Vectori
- Definiții și notații:
- Vector = mărime fizică, caracterizată prin direcție, sens, lungime
- Doi vectori au aceeași direcție dacă dreptele lor suport sunt paralele sau coincid
- Doi vectori sunt egali dacă au aceeași direcție, lungime și același sens
- Adunarea vectorilor necoliniari:
- Regula triunghiului și regula paralelogramului
- Vectorul de poziție al mijlocului unui segment:
- v = (x2 - x1, y2 - y1)
- Vectori în reper cartezian:
- (x, y) = xi + yj
Trigonometrie
- Cercul trigonometric:
- sin, cos, tg, ctg
- Funcții trigonometrice inverse:
- arcsin, arccos, arctg, arcctg
- Formule trigonometrice:
- sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)
- cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)
- Aplicații ale trigonometriei în geometrie:
- Teorema cosinusului
- Teorema sinusurilor
- Aria unui triunghi oarecare
Elemente de calcul matriceal și sisteme de ecuații lineare
- Permutări:
- Definiție, proprietăți, semnul unei permutări
- Matrice și determinanți:
- Definiție, proprietăți, calculul determinantului
- Sisteme de ecuații lineare:
- Stabilirea compatibilității unui sistem liniar și rezolvarea lui
- Metode de rezolvare: metoda Cramer, metoda Gauss-Jordan### Sisteme de ecuații
- Un sistem de ecuații este compatibil dacă are cel puțin o soluție.
- Un sistem de ecuații este incompatibil dacă nu are nicio soluție.
- Un sistem de ecuații este compatibil nedeterminat dacă are mai multe soluții.
- Un sistem de ecuații este compatibil simplu nedeterminat dacă are o necunoscută secundară.
- Un sistem de ecuații este compatibil dublu nedeterminat dacă are două necunoscute secundare.
Legi de compoziție pe o mulțime
- O lege de compoziție pe o mulțime are proprietăți ca:
- Parte stabilă
- Asociativitate
- Comutativitate
- Element neutru
- Elemente simetrizabile
- Structuri algebrice:
- Monoid comutativ (abelian) dacă îndeplinește condițiile:
- Este parte stabilă în raport cu legea
- Este asociativă
- Admite element neutru
- Este comutativă
- Grup comutativ (abelian) dacă îndeplinește condițiile:
- Este parte stabilă în raport cu legea
- Este asociativă
- Admite element neutru
- Este comutativă
- Are proprietatea de inversibilitate
- Inel comutativ dacă îndeplinește condițiile:
- Este grup comutativ
- Este monoid comutativ
- Are proprietatea de distributivitate
- Corp comutativ dacă îndeplinește condițiile:
- Este grup comutativ
- Este inel comutativ
- Are proprietatea de distributivitate
- Monoid comutativ (abelian) dacă îndeplinește condițiile:
Morfisme de grupuri și inele
- Un morfism de grupuri este o aplicație care păstrează operația de grup și elementul neutru.
- Un izomorfism de grupuri este un morfism de grupuri bijectiv.
- Un morfism de inele este o aplicație care păstrează operațiile de inel și elementul neutru.
- Un izomorfism de inele este un morfism de inele bijectiv.
Polinoame
- Un polinom este o expresie algebrică formată din sume și produse de variabile și numere.
- Gradul unui polinom este cel mai mare exponent al variabilei.
- Polinomul constant este un polinom cu gradul 0.
- Un polinom devine polinom nul dacă toți coeficienții polinomului sunt 0.
- Teorema împărțirii cu rest: un polinom se poate împărți la un alt polinom cu un rest.
- Teorema restului: un polinom se poate împărți la un alt polinom cu un rest și un cât.
Ecuații algebrice
- O ecuație algebrică este o egalitate între două polinoame.
- Rădăcinile unei ecuații algebrice sunt valorile variabilei pentru care ecuația este îndeplinită.
- Relațiile lui Viete: relațiile între coeficienții și rădăcinile unui polinom.
- Ecuații algebrice cu coeficienți în corpul complex: sunt ecuații algebrice cu coeficienți în forma a + bi, unde a și b sunt numere reale și i este unitatea imaginară.
Derivatele funcțiilor elementare
- Reguli de derivare:
- Derivarea sumei și a produsului
- Derivarea funcțiilor compuse
- Derivarea funcțiilor inverse
- Derivatele funcțiilor elementare:
- Derivata funcției x^n este nx^(n-1)
- Derivata funcției e^x este e^x
- Derivata funcției sin(x) este cos(x)
- Derivata funcției cos(x) este -sin(x)
Reguli de derivare
- Regula lanțului: pentru funcții compuse
- Regula produsului: pentru funcții produs
- Regula quotientului: pentru funcții quotient
Șiruri și limite
- Un șir este o succesiune de numere sau elemente.
- Un șir este convergent dacă are o limită finită.
- Un șir este divergent dacă are o limită infinite sau nu are limită.
- Convergența unui șir se poate demonstra prin:
- Monotonie și mărginire
- Criteriul radicalului
- Criteriul raportului
- Regula lui l'Hospital
- Limite laterale: limitele unui șir atunci când x se apropie de o valoare dintr-o parte sau alta.
Asimptote
- Asimptote orizontale: linii orizontale la care se apropie graficul unei funcții când x se apropie de infinite.
- Asimptote oblice: linii oblice la care se apropie graficul unei funcții când x se apropie de infinite.
- Asimptote verticale: linii verticale la care se apropie graficul unei funcții când x se apropie de o valoare specifică.
Încearcă să rezolvi aceste întrebări despre progresii aritmetice și numere complexe. Verifică-ți cunoștințele în matematică!
Make Your Own Quizzes and Flashcards
Convert your notes into interactive study material.
Get started for free
