Trigonometric Ratios - Grade 10 PDF

‫اﻟﻣﻼذ ﻓﻲ ﻣﮭﺎرات اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت‬ ‫اﻟﺻف اﻟﻌﺎﺷر اﻻﺳﺎﺳﻲ‬ ‫حساب المثلثات‬...

‫اﻟﻣﻼذ ﻓﻲ ﻣﮭﺎرات اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت‬ ‫اﻟﺻف اﻟﻌﺎﺷر اﻻﺳﺎﺳﻲ‬ ‫حساب المثلثات‬ ‫ُ‬ ‫‪3‬‬ ‫ة‬ ‫الوحد ُ‬ ‫‪0772259503‬‬ ‫اﻻﺳﺗﺎذ ﺣﻣزة اﺑو اﻟﻔول‬ ‫ﺑداﯾﺔ‬ ‫النسب المثلثية‬ ‫اﻻﺳﺗﺎذ ﺣﻣزة اﺑو اﻟﻔول ‪0772259503‬‬ ‫الدرس‬ ‫‪Trigonometric Ratios‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ِ‬ ‫ف برأس‬ ‫ُعــر ُ‬ ‫هي اتحا ُد شــعاع ْي ِن ُلهمــا نقط ُة البداية ُ‬ ‫نفســها‪.‬والنقط ُة المشــترك ُة ت َ‬ ‫الزاويــ ُة َ‬ ‫ِ‬ ‫االنتهاء‬ ‫ضلع‬ ‫ِ‬ ‫االبتداء ‪،‬‬ ‫ضلع‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫واآلخر َ‬ ‫ُ‬ ‫ســمى أحدُ ُهما َ‬ ‫الزاوية‪ ،‬أ ّما الشــعاعان ف ُي ّ‬ ‫ا‪‬س ا‪ ‬و ا‪‬س ا‪ ‬او‪‬‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫عكس‬ ‫ِ‬ ‫ٍ‬ ‫ِ‬ ‫الســاعة‬ ‫عقارب‬ ‫حركة‬ ‫اتجاه‬ ‫ضلع االنتهاء َ‬ ‫يدور ُ‬ ‫موجب عندما ُ‬ ‫ٌ‬ ‫زاوية؛ أحدُ ُهما‬ ‫ألي‬ ‫يوجدُ قياسان ِّ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫عقارب الساعة‬ ‫حركة‬ ‫اتجاه‬ ‫مع‬ ‫ضلع االنتهاء َ‬ ‫يدور ُ‬‫سالب حي َن ُ‬ ‫ٌ‬ ‫واآلخر‬ ‫ُ‬ ‫ﹺ‬ ‫اﻻﻧﺘﻬﺎء‬ ‫ﺿﻠﻊ‬ ‫ﹸ‬ ‫ﹺ‬ ‫اﻻﻧﺘﻬﺎء‬ ‫ﺿﻠﻊ‬ ‫ﹸ‬ ‫ﺳﺎﻟﺐ‬ ‫ﹲ‬ ‫ﻗﻴﺎس‬ ‫ﹲ‬ ‫ﻣﻮﺟﺐ‬ ‫ﹲ‬ ‫ﻗﻴﺎس‬ ‫ﹲ‬ ‫ﹺ‬ ‫ﹺ‬ ‫اﻻﺑﺘﺪاء‬ ‫ﺿﻠﻊ‬ ‫اﻻﺑﺘﺪاء‬ ‫ﺿﻠﻊ‬ ‫ﹸ‬ ‫ﹸ‬ ‫اﻻﺳﺗﺎذ ﺣﻣزة اﺑو اﻟﻔول ‪0772259503‬‬ ‫ِ‬ ‫الساعة‪.‬‬ ‫ِ‬ ‫عقارب‬ ‫ِ‬ ‫حركة‬ ‫اتِّجا ُه‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫الساعة‪.‬‬ ‫حركة عقارب‬ ‫عكس‬ ‫ُ‬ ‫ا‪ ‬ا‪ ‬او‪‬‬ ‫القياسي إذا كان‬ ‫ِّ‬ ‫اإلحداثي في الوض ِع‬ ‫ِّ‬ ‫تكون الزاوي ُة المرســوم ُة في المستوى‬ ‫ُ‬ ‫ِ‬ ‫الموجب‪.‬‬ ‫ِ‬ ‫محور ‪x‬‬ ‫ِ‬ ‫ابتدائها ُمنطبِ ًقا على‬ ‫وضلع‬ ‫ِ‬ ‫األصل (‪،)0, 0‬‬ ‫ِ‬ ‫نقطة‬ ‫رأسها عندَ‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ﺿﻠﻊ‬ ‫ﹸ‬ ‫‪C‬‬ ‫ﹺ‬ ‫اﻻﻧﺘﻬﺎء‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ﺿﻠﻊ‬ ‫ﹸ‬ ‫ﹺ‬ ‫اﻻﺑﺘﺪاء‬ ‫اﻟﻘﻴﺎﳼ‪.‬‬ ‫ﱢ‬ ‫زاوﻳ ﹲﺔ ﻟﻴﺴﺖ ﰲ اﻟﻮﺿ ﹺﻊ‬ ‫اﻟﻘﻴﺎﳼ‪.‬‬ ‫ﱢ‬ ‫زاوﻳ ﹲﺔ ﰲ اﻟﻮﺿ ﹺﻊ‬ ‫‪07722595903‬‬ ‫اﻻﺳﺗﺎذ ﺣﻣزة اﺑو اﻟﻔول‬ ‫اﻟﻣﻼذ ﻓﻲ ﻣﮭﺎرات اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت‬  ‫اﻟﻣﻼذ ﻓﻲ ﻣﮭﺎرات اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت‬ ‫اﻟﺻف اﻟﻌﺎﺷر اﻻﺳﺎﺳﻲ‬ ‫حساب المثلثات‬ ‫ُ‬ ‫‪3‬‬ ‫ة‬ ‫الوحد ُ‬ ‫‪0772259503‬‬ ‫اﻻﺳﺗﺎذ ﺣﻣزة اﺑو اﻟﻔول‬ ‫اﻟدرس اﻻول ‪ :‬اﻟﻧﺳب اﻟﻣﺛﻠﺛﯾﺔ‬ ‫اﻻﺳﺗﺎذ ﺣﻣزة اﺑو اﻟﻔول ‪0772259503‬‬ ‫  ‬ ‫مثال‬ ‫السبب‪:‬‬ ‫قياسي أ ْم ال‪ُ ،‬مب ِّينًا‬ ‫ِ‬ ‫اآلتيتان في وضع‬ ‫ِ‬ ‫الزاويتان‬ ‫ُأحدِّ د إذا كان ِ‬ ‫َت‬ ‫َ‬ ‫ٍّ‬ ‫ُ‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫قياســي؛‬ ‫ٍّ‬ ‫ــت في وض ٍع‬ ‫الزاويــ ُة ‪َ AOB‬‬ ‫ليس ْ‬ ‫ضلع‬ ‫َ‬ ‫قياســي؛ َّ‬ ‫ألن‬ ‫الزاوي ُة ‪ COD‬في وض ٍع‬ ‫ٍّ‬ ‫ِ‬ ‫محور ‪x‬‬ ‫ينطبــق على‬ ‫ُ‬ ‫ِ‬ ‫ابتدائها ال‬ ‫ضلــع‬ ‫َّ‬ ‫ألن‬ ‫َ‬ ‫ِ‬ ‫الموجب‪،‬‬ ‫ِ‬ ‫محــور ‪x‬‬ ‫ينطبق علــى‬ ‫ُ‬ ‫ِ‬ ‫ابتدائهــا‬ ‫ِ‬ ‫الموجب‪.‬‬ ‫ورأسها على ِ‬ ‫ِ‬ ‫األصل ‪.O‬‬ ‫نقطة‬ ‫ُ‬ ‫السبب‪:‬‬ ‫قياسي أ ْم ال‪ُ ،‬مب ِّينًا‬ ‫ِ‬ ‫اآلتيتان في وض ٍع‬ ‫ِ‬ ‫الزاويتان‬ ‫ُأحدِّ د إذا كان ِ‬ ‫َت‬ ‫أتحقق من فهمي‬ ‫َ‬ ‫ٍّ‬ ‫ُ‬ ‫اﻻﺳﺗﺎذ ﺣﻣزة اﺑو اﻟﻔول ‪0772259503‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫         ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪B‬‬ ‫الزاوية فــي الوضع القياســي؛ َّ‬ ‫ألن رأســها في نقطة‬ ‫الزاوية ليســت في الوضع القياسي؛ َّ‬ ‫ألن ضلع االبتداء‬ ‫األصل‪ ،‬وضلع االبتداء منطبق على المحور ‪.x‬‬ ‫غير منطبق على المحور ‪.x‬‬ ‫‪07722595903‬‬ ‫اﻻﺳﺗﺎذ ﺣﻣزة اﺑو اﻟﻔول‬ ‫اﻟﻣﻼذ ﻓﻲ ﻣﮭﺎرات اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت‬  ‫اﻟﻣﻼذ ﻓﻲ ﻣﮭﺎرات اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت‬ ‫اﻟﺻف اﻟﻌﺎﺷر اﻻﺳﺎﺳﻲ‬ ‫حساب المثلثات‬ ‫ُ‬ ‫‪3‬‬ ‫ة‬ ‫الوحد ُ‬ ‫‪0772259503‬‬ ‫اﻻﺳﺗﺎذ ﺣﻣزة اﺑو اﻟﻔول‬ ‫اﻟدرس اﻻول ‪ :‬اﻟﻧﺳب اﻟﻣﺛﻠﺛﯾﺔ‬ ‫اﻻﺳﺗﺎذ ﺣﻣزة اﺑو اﻟﻔول ‪0772259503‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ِ‬ ‫الساعة‪،‬‬ ‫ِ‬ ‫عقارب‬ ‫ِ‬ ‫حركة‬ ‫ِ‬ ‫اتجاه‬ ‫عكس‬ ‫القياســي دور ًة كامل ًة‬ ‫ٍ‬ ‫زاوية في الوض ِع‬ ‫ِ‬ ‫انتهاء‬ ‫ضلع‬ ‫دار‬ ‫َ‬ ‫ِّ‬ ‫ُ‬ ‫إذا َ‬ ‫أكبر‬ ‫يصنع زوايا قياساتُها ُ‬ ‫ُ‬ ‫استمر في دورانِ ِه‪ ،‬فإ َّن ُه‬ ‫َّ‬ ‫يصنع زوايا قياساتُها بي َن ‪َ 0º‬و ‪.360º‬وإذا‬ ‫ُ‬ ‫فإ َّن ُه‬ ‫‪490º‬‬ ‫‪x‬‬ ‫م ْن ‪.360º‬‬ ‫‪O‬‬ ‫ِ‬ ‫متعاكســان‪ ،‬يبد ُأ ٌّ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫كل من ُْهما‬ ‫تدريجــان‬ ‫الدائــرة لهــا‬ ‫نصف‬ ‫شــكل‬ ‫المنقل ُة ُ‬ ‫ذات‬ ‫ِ‬ ‫ابتداء‬ ‫التدريج على ضلع‬ ‫ِ‬ ‫وضع‬ ‫ُ‬ ‫دائمــا‬ ‫يجــب ً‬ ‫ُ‬ ‫م ْن ‪ ،0º‬وينتهي عندَ ‪180º‬؛ لــذا‬ ‫ِ‬ ‫رسمها‪.‬‬ ‫الزاوية عندَ ِ‬ ‫ِ‬ ‫قياسها‪ْ ،‬أو‬ ‫القياسي‪ُ ،‬محدِّ ًدا مكانَها‪.‬‬ ‫ِّ‬ ‫أرسم زاوي ًة ُ‬ ‫قياسها ‪ 130º‬في الوض ِع‬ ‫ُ‬ ‫مثال‬ ‫‪y‬‬ ‫ِ‬ ‫االبتداء‬ ‫ضلع‬ ‫ِ‬ ‫أرسم المحوري ِن اإلحداثيي ِن‪ ،‬ومن ِ‬ ‫أرسم َ‬ ‫ُ‬ ‫األصل‬ ‫نقطة‬ ‫ْ‬ ‫ْ‬ ‫ْ‬ ‫ُ‬ ‫المنقلة على نقطةِ‬ ‫ِ‬ ‫مركــز‬ ‫أضع‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ُمنطبِ ًقــا على‬ ‫َ‬ ‫ثم ُ‬ ‫الموجب‪َّ ،‬‬ ‫محور ‪x‬‬ ‫ثم ُأع ِّي ُن نقط ًة َ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫‪130º‬‬ ‫مقابل‬ ‫وتدريج المنقلة ‪ 0º‬على ضل ِع االبتداء‪َّ ،‬‬ ‫َ‬ ‫األصل‪،‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ِ‬ ‫األصل إلى‬ ‫االنتهاء من ِ‬ ‫نقطة‬ ‫ِ‬ ‫ضلع‬ ‫التدريج ‪.130º‬بعدَ َ‬ ‫ِ‬ ‫ْ‬ ‫أرســم َ‬‫ُ‬ ‫ذلك‬ ‫يقع في الرب ِع الثاني‪.‬‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫النقطة التي ع َّينْتُها‪َ ،‬فأ ِجدُ َّ‬ ‫ضلع انتهاء الزاوية ُ‬ ‫أن َ‬ ‫اﻻﺳﺗﺎذ ﺣﻣزة اﺑو اﻟﻔول ‪0772259503‬‬ ‫‪y‬‬ ‫القياسي‪ُ ،‬محدِّ ًدا مكانَها‪.‬‬ ‫ِّ‬ ‫أرسم زاوي ًة ُ‬ ‫قياسها ‪ 580º‬في الوض ِع‬ ‫ُ‬ ‫مثال‬ ‫‪580º‬‬ ‫هو‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫أن ‪َّ ،580º = 360º + 220º‬‬‫بمــا َّ‬ ‫‪x‬‬ ‫ضلــع انتهاء الزاوية ‪َ 580º‬‬ ‫َ‬ ‫فإن‬ ‫ِ‬ ‫الثالث‪.‬‬ ‫يقع في الرب ِع‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ضلع انتهاء الزاوية ‪ 220º‬الذي ُ‬ ‫ُ‬ ‫نفس ُه‬ ‫ُ‬ ‫القياسي‪ُ ،‬محدِّ ًدا مكانَها‪.‬‬ ‫ِّ‬ ‫أرسم زاوي ًة ُ‬ ‫قياسها ‪ 460º‬في الوض ِع‬ ‫ُ‬ ‫أتحقق من فهمي‬ ‫‪y‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪460° = 360° + 100°‬‬ ‫وبذلك‪َّ ،‬‬ ‫فإن ضلع االنتهاء سيظهر في الربع الثاني‪.‬‬ ‫˚‪100‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪07722595903‬‬ ‫اﻻﺳﺗﺎذ ﺣﻣزة اﺑو اﻟﻔول‬ ‫اﻟﻣﻼذ ﻓﻲ ﻣﮭﺎرات اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت‬  ‫اﻟﻣﻼذ ﻓﻲ ﻣﮭﺎرات اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت‬ ‫اﻟﺻف اﻟﻌﺎﺷر اﻻﺳﺎﺳﻲ‬ ‫حساب المثلثات‬ ‫ُ‬ ‫‪3‬‬ ‫ة‬ ‫الوحد ُ‬ ‫‪0772259503‬‬ ‫اﻻﺳﺗﺎذ ﺣﻣزة اﺑو اﻟﻔول‬ ‫اﻟدرس اﻻول ‪ :‬اﻟﻧﺳب اﻟﻣﺛﻠﺛﯾﺔ‬ ‫أرسم الزوايا اآلتية في الوضع القياسي‪:‬‬ ‫مثال‬ ‫اﻻﺳﺗﺎذ ﺣﻣزة اﺑو اﻟﻔول ‪0772259503‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪490°‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪560°‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪670°‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫اﻻﺳﺗﺎذ ﺣﻣزة اﺑو اﻟﻔول ‪0772259503‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪07722595903‬‬ ‫اﻻﺳﺗﺎذ ﺣﻣزة اﺑو اﻟﻔول‬ ‫اﻟﻣﻼذ ﻓﻲ ﻣﮭﺎرات اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت‬  ‫اﻟﻣﻼذ ﻓﻲ ﻣﮭﺎرات اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت‬ ‫اﻟﺻف اﻟﻌﺎﺷر اﻻﺳﺎﺳﻲ‬ ‫حساب المثلثات‬ ‫ُ‬ ‫‪3‬‬ ‫ة‬ ‫الوحد ُ‬ ‫‪0772259503‬‬ ‫اﻻﺳﺗﺎذ ﺣﻣزة اﺑو اﻟﻔول‬ ‫اﻟدرس اﻻول ‪ :‬اﻟﻧﺳب اﻟﻣﺛﻠﺛﯾﺔ‬ ‫ِ‬ ‫الوحدة )‪(unit circle‬‬ ‫دائر ُة‬ ‫اﻻﺳﺗﺎذ ﺣﻣزة اﺑو اﻟﻔول ‪0772259503‬‬ ‫نصف ق ْط ِرها وحدة واحدة‪.‬‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫األصل‪ ،‬وطول‬ ‫هي دائرة مركزها نقطة‬ ‫دائرة الوحدة )‪َ (unit circle‬‬ ‫هي‬ ‫ٍ‬ ‫ٍ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫القياسي‪َّ ،‬‬ ‫ت الزاوية 𝜽 في الوض ِع‬ ‫إذا ر ِسم ِ‬ ‫يقطع دائر َة الوحدة في نقطة وحيدة َ‬ ‫ضلع انتهائها ُ‬ ‫فإن َ‬ ‫ِّ‬ ‫ُ َ‬ ‫ِ‬ ‫الدائرة‪ ،‬ويتغ َّي ُر إحداث ّياها‪.‬‬ ‫ِ‬ ‫النقطة ‪ P‬على‬ ‫موقع‬ ‫ِ‬ ‫الزاوية يتغ َّي ُر‬ ‫ِ‬ ‫قياس‬ ‫ومع تغ ُّي ِر‬ ‫ُ‬ ‫(‪َ.P)x, y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪P(x,y) = P(cosθ, sinθ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ِ‬ ‫بداللة إحداث َّي ْي ‪ P‬كما يأتي‪:‬‬ ‫ِ‬ ‫للزاوية 𝜽‬ ‫ِ‬ ‫األساسية‬ ‫ِ‬ ‫المثلثية‬ ‫ِ‬ ‫النسب‬ ‫ِ‬ ‫يمكن تعريف‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫= ‪sin θ‬‬ ‫‪=y‬‬ ‫= ‪cos θ‬‬ ‫‪=x‬‬ ‫= ‪tan θ‬‬ ‫‪,x≠0‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ِ‬ ‫النســب المثلثية األساسية للزاويــة 𝜽 هــي ‪ ،sin 𝜽 :‬و 𝜽 ‪ ، cos‬و 𝜽 ‪.tan‬‬ ‫ضلع انتهائِها‬ ‫يقطع ُ‬ ‫القياسي‪ ،‬التي ُ‬ ‫ِّ‬ ‫ِ‬ ‫المرسومة في الوض ِع‬ ‫ِ‬ ‫للزاوية ‪θ‬‬ ‫النسب المثلثي َة األساسي َة‬ ‫َ‬ ‫َأ ِجدُ‬ ‫مثال‬ ‫ِ‬ ‫النقطة )‪P (– 0.6, 0.8‬‬ ‫ِ‬ ‫الوحدة عندَ‬ ‫دائر َة‬ ‫اﻻﺳﺗﺎذ ﺣﻣزة اﺑو اﻟﻔول ‪0772259503‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪0.8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪sin θ = y = 0.8,‬‬ ‫‪cos θ = x = – 0.6,‬‬ ‫= ‪tan θ‬‬ ‫=‬ ‫–=‬ ‫‪x – 0.6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ضلع انتهائِها‬ ‫يقطع ُ‬ ‫القياسي‪ ،‬التي ُ‬ ‫ِّ‬ ‫ِ‬ ‫المرسومة في الوض ِع‬ ‫ِ‬ ‫للزاوية ‪θ‬‬ ‫النسب المثلثي َة األساسي َة‬ ‫َ‬ ‫َأ ِجدُ‬ ‫مثال‬ ‫ِ ‪12‬‬ ‫ِ‬ ‫النقطة ‪P  5 , – ‬‬ ‫الوحدة عندَ‬ ‫دائر َة‬ ‫‪13 13‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪y –12/13‬‬ ‫‪12‬‬ ‫– = ‪sin θ = y‬‬ ‫‪,‬‬ ‫= ‪cos θ = x‬‬ ‫‪,‬‬ ‫= ‪tan θ‬‬ ‫=‬ ‫–=‬ ‫‪13‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪5/13‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ضلع انتهائِها‬ ‫يقطع ُ‬ ‫القياسي‪ ،‬التي ُ‬ ‫ِّ‬ ‫ِ‬ ‫المرسومة في الوض ِع‬ ‫ِ‬ ‫للزاوية ‪θ‬‬ ‫النسب المثلثي َة األساسي َة‬ ‫َ‬ ‫َأ ِجدُ‬ ‫أتحقق من فهمي‬ ‫ِ ‪√2 √2‬‬ ‫ِ‬ ‫–‪.P ‬‬ ‫–‪,‬‬ ‫النقطة ‪‬‬ ‫الوحدة عندَ‬ ‫دائر َة‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪√2‬‬ ‫‪√2‬‬ ‫‪sin θ = -‬‬ ‫‪cos θ = -‬‬ ‫‪tan θ = 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫وضلع االنتهاء للزاوية يقع في الربع الثالث‪.‬‬ ‫‪07722595903‬‬ ‫اﻻﺳﺗﺎذ ﺣﻣزة اﺑو اﻟﻔول‬ ‫اﻟﻣﻼذ ﻓﻲ ﻣﮭﺎرات اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت‬  ‫اﻟﻣﻼذ ﻓﻲ ﻣﮭﺎرات اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت‬ ‫اﻟﺻف اﻟﻌﺎﺷر اﻻﺳﺎﺳﻲ‬ ‫حساب المثلثات‬ ‫ُ‬ ‫‪3‬‬ ‫ة‬ ‫الوحد ُ‬ ‫‪0772259503‬‬ ‫اﻻﺳﺗﺎذ ﺣﻣزة اﺑو اﻟﻔول‬ ‫اﻟدرس اﻻول ‪ :‬اﻟﻧﺳب اﻟﻣﺛﻠﺛﯾﺔ‬ ‫الزوايا الربعية‬ ‫اﻻﺳﺗﺎذ ﺣﻣزة اﺑو اﻟﻔول ‪0772259503‬‬ ‫الزاوية في الوضع القياسي التــي ينطبق ضلــع انتهائهــا على أحــد المحورين‬ ‫اإلحداثييــن‪ ،‬وأنَّها تحديــدً ا الزوايا التي قياســاتها‪.0°, (360° ), 90°, 180°, 270° :‬‬ ‫ِ‬ ‫الوحدة‪:‬‬ ‫ِ‬ ‫دائرة‬ ‫الزوايا الربعي ُة في‬ ‫‪𝜽 = 0º‬‬ ‫‪𝜽 = 90º‬‬ ‫‪𝜽 = 180º‬‬ ‫‪𝜽 = 270º‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‪(0, 1‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪O‬‬ ‫)‪(1, 0‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪(-1, 0) O‬‬ ‫‪O‬‬ ‫)‪(0, -1‬‬ ‫ــن اإلحداثي ْي ِ‬ ‫ــن‬ ‫مــع المحور ْي ِ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ي ِ‬ ‫دائرة الوحــدة َ‬ ‫نقــاط تقاطــع‬ ‫إحداثيــات‬ ‫الربعية مــ ْن‬ ‫للزوايــا‬ ‫ِ‬ ‫المثلثيــة‬ ‫النســب‬ ‫مكــ ُن تحديــدُ‬ ‫ُ‬ ‫ِ‬ ‫النقطــة (‪P)0, 1‬‬ ‫ِ‬ ‫الوحــدة في‬ ‫ِ‬ ‫دائرة‬ ‫مــع‬ ‫ِ‬ ‫الزاويــة ‪ 90º‬في الوض ِع‬ ‫ِ‬ ‫القياســي َ‬ ‫ِّ‬ ‫انتهــاء‬ ‫ضلــع‬ ‫ُ‬ ‫يتقاطــع‬ ‫ُ‬ ‫ً‬ ‫فمثــال‪،‬‬ ‫َّ‬ ‫فــإن‪sin 90º = 1 :‬‬ ‫َ‬ ‫وبذلــك‪،‬‬ ‫‪.‬‬ ‫االختصار ‪.u.d‬يعني‬ ‫‪undefined‬‬ ‫‪cos 90º = 0‬‬ ‫عرف‪.‬‬ ‫أي غير ُم َّ‬ ‫ْ‬ ‫تجوز القسم ُة على ٍ‬ ‫صفر‪.‬‬ ‫ُ‬ ‫عر ٍف )‪ (u.d‬أل َّن ُه ال‬ ‫ُ‬ ‫ويكون ‪َ tan 90º‬‬ ‫غير ُم َّ‬ ‫اﻻﺳﺗﺎذ ﺣﻣزة اﺑو اﻟﻔول ‪0772259503‬‬ ‫اذن ﯾﻣﻛن رﺑط كل زاوية ربعية بإحداثيــي النقطة ‪ P‬على دائرة الوحدة ليسهل تذكُّر النسب المثلثية لهذه الزوايا‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪90°‬‬ ‫)‪(0, 1‬‬ ‫) ‪(cos , sin‬‬ ‫‪180°‬‬ ‫‪0°‬‬ ‫)‪(-1, 0‬‬ ‫)‪(1, 0‬‬ ‫‪360° x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪270°‬‬ ‫)‪(0, -1‬‬ ‫)‪(cos 0°, sin 0°‬‬ ‫)‪P (1, 0‬‬ ‫= ‪sin 0°‬‬ ‫‪cos 0°‬‬ ‫=‬ ‫‪tan 0°‬‬ ‫=‬ ‫)‪(cos 90°, sin 90°‬‬ ‫)‪P(0, 1‬‬ ‫= ‪sin 90°‬‬ ‫= ‪cos 90°‬‬ ‫= ‪tan 90°‬‬ ‫)‪(cos 180°, sin 180°‬‬ ‫)‪P(-1,0‬‬ ‫= ‪sin 180°‬‬ ‫= ‪cos 180°‬‬ ‫= ‪tan 180°‬‬ ‫)‪(cos 270°, sin 270°‬‬ ‫)‪P(0, -1‬‬ ‫= ‪sin 270°‬‬ ‫= ‪cos 270°‬‬ ‫= ‪tan 270°‬‬ ‫‪07722595903‬‬ ‫اﻻﺳﺗﺎذ ﺣﻣزة اﺑو اﻟﻔول‬ ‫اﻟﻣﻼذ ﻓﻲ ﻣﮭﺎرات اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت‬  ‫اﻟﻣﻼذ ﻓﻲ ﻣﮭﺎرات اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت‬ ‫اﻟﺻف اﻟﻌﺎﺷر اﻻﺳﺎﺳﻲ‬ ‫حساب المثلثات‬ ‫ُ‬ ‫‪3‬‬ ‫ة‬ ‫الوحد ُ‬ ‫‪0772259503‬‬ ‫اﻻﺳﺗﺎذ ﺣﻣزة اﺑو اﻟﻔول‬ ‫اﻟدرس اﻻول ‪ :‬اﻟﻧﺳب اﻟﻣﺛﻠﺛﯾﺔ‬ ‫الزوايا الربعية‬ ‫اﻻﺳﺗﺎذ ﺣﻣزة اﺑو اﻟﻔول ‪0772259503‬‬ ‫القياسي؟‬ ‫ِّ‬ ‫الوحدة إذا ُر ِس َم ْ‬ ‫ت في الوض ِع‬ ‫ِ‬ ‫قياســها ‪ 180º‬دائر َة‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ضلع انتهاء الزاوية التي ُ‬ ‫يقطع ُ‬ ‫أين ُ‬ ‫َ‬ ‫مثال‬ ‫النسب المثلثي َة األساسي َة لها‪.‬‬ ‫َ‬ ‫َأجدُ‬ ‫ِ‬ ‫النقطة (‪ْ ،C)–1, 0‬‬ ‫إذن‪:‬‬ ‫ِ‬ ‫الوحدة في‬ ‫قياسها ‪ 180º‬دائر َة‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ضلع انتهاء الزاوية التي ُ‬ ‫ُ‬ ‫يقطع‬ ‫ُ‬ ‫‪y‬‬ ‫‪0‬‬ ‫= ‪sin 180º = y = 0, cos 180º = x = – 1, tan 180º‬‬ ‫=‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪x –1‬‬ ‫ِ‬ ‫الترتيب‪.‬‬ ‫كل من ُْهما ‪َ ،270º‬و ‪ 360º‬على‬ ‫النسب المثلثي َة األساسي َة للزاويت ْي ِن اللت ْي ِن ُ‬ ‫قياس ٍّ‬ ‫َ‬ ‫أجد‬ ‫أتحقق من فهمي‬ ‫‪sin 270° = -1‬‬ ‫‪sin 360° = 0‬‬ ‫االختصار ‪.u.d‬يعني‬ ‫‪cos 270° = 0‬‬ ‫‪undefined‬‬ ‫‪cos 360° = 1‬‬ ‫عرف‪.‬‬ ‫أي غير ُم َّ‬ ‫ْ‬ ‫‪u.d.‬‬ ‫‪tan 360° = 0‬‬ ‫اﻻﺳﺗﺎذ ﺣﻣزة اﺑو اﻟﻔول ‪0772259503‬‬ ‫‪07722595903‬‬ ‫اﻻﺳﺗﺎذ ﺣﻣزة اﺑو اﻟﻔول‬ ‫اﻟﻣﻼذ ﻓﻲ ﻣﮭﺎرات اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت‬  ‫اﻟﻣﻼذ ﻓﻲ ﻣﮭﺎرات اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت‬ ‫اﻟﺻف اﻟﻌﺎﺷر اﻻﺳﺎﺳﻲ‬ ‫حساب المثلثات‬ ‫ُ‬ ‫‪3‬‬ ‫ة‬ ‫الوحد ُ‬ ‫‪0772259503‬‬ ‫اﻻﺳﺗﺎذ ﺣﻣزة اﺑو اﻟﻔول‬ ‫اﻟدرس اﻻول ‪ :‬اﻟﻧﺳب اﻟﻣﺛﻠﺛﯾﺔ‬ ‫اﻻﺳﺗﺎذ ﺣﻣزة اﺑو اﻟﻔول ‪0772259503‬‬ ‫‪(cos θ)2 +(sin θ)2 =1‬‬ ‫اﻟﻣﺗطﺎﺑﻘﺔ‬ ‫ُ‬ ‫ِ‬ ‫ٍ‬ ‫ِ‬ ‫تكون ‪ θ‬إحدى زوايا ُه‪.‬‬ ‫الزاوية‬ ‫مثلث قائ ِم‬ ‫َت ‪ θ‬زاوي ًة حا َّدةً‪ ،‬فإ َّن ُه ُي ْمك ُن ُ‬ ‫رسم‬ ‫إذا كان ْ‬ ‫‪(AB)2 + (BC)2 = (AC)2‬‬ ‫نظرية فيثاغورس‬ ‫‪(BC)2 (AB)2 (AC)2‬‬ ‫ِ‬ ‫بقسمة الطرف ْي ِن على ‪)AC(2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪(AC)2 (AC)2 (AC)2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫ِ‬ ‫األسس‬ ‫ِ‬ ‫قوانين‬ ‫ِ‬ ‫بتطبيق‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪(cos θ)2 +(sin θ)2 =1‬‬ ‫ِ‬ ‫بالتعويض‬ ‫‪y‬‬ ‫اﻟﺮﺑﻊ ﹸ‬ ‫ِ‬ ‫إليجاد إحدى هات ْي ِن‬ ‫ُستعم ُل‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫تظل ِ‬ ‫هذه النتيج ُة صحيح ًة بقط ِع‬ ‫ُّ‬ ‫وهي ت َ‬ ‫قياس الزاوية ‪َ ،θ‬‬ ‫النظر ع ْن‬ ‫اﻟﺮﺑﻊ اﻟﺜﺎﲏ‬ ‫ﹸ‬ ‫اﻷول‬ ‫ﹸ‬ ‫‪sin θ‬‬ ‫‪sin θ‬‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ِ ِ‬ ‫ِ‬ ‫بحسب‬ ‫تختلف‬ ‫ُ‬ ‫فهي‬ ‫النسب المثلثية؛ َ‬‫ِ‬ ‫إشارات‬ ‫النسبت ْي ِن إذا ُعل َمت األُخرى ولكن ُ‬ ‫يجب مراعا ُة‬ ‫‪cos θ‬‬ ‫‪cos θ‬‬ ‫‪tan θ‬‬ ‫‪tan θ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫الزاوية في الوض ِع‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫‪sin θ‬‬ ‫‪cos θ‬‬ ‫‪sin θ‬‬ ‫‪cos θ‬‬ ‫المجاور‪.‬‬ ‫الشكل‬ ‫وض ٌح في‬‫هو ُم َّ‬ ‫القياسي كما َ‬ ‫ِّ‬ ‫انتهاء‬ ‫ضلع‬ ‫الرب ِع الذي ُ‬ ‫يقع فيه ُ‬ ‫‪tan θ‬‬ ‫‪tan θ‬‬ ‫ﹸ‬ ‫اﻟﺜﺎﻟﺚ‬ ‫اﻟﺮﺑﻊ‬ ‫ﹸ‬ ‫اﻟﺮﺑﻊ اﻟﺮاﺑﻊُ‬ ‫ﹸ‬ ‫اﻻﺳﺗﺎذ ﺣﻣزة اﺑو اﻟﻔول ‪0772259503‬‬ ‫‪y‬‬ ‫اﻟﺮﺑﻊ ﹸ‬ ‫ترتبــط إشــارة ‪ cos x‬بإشــارة األعــداد علــى المحــور األفقــي ‪x‬‬ ‫اﻟﺮﺑﻊ اﻟﺜﺎﲏ‬ ‫ﹸ‬ ‫اﻷول‬ ‫ﹸ‬ ‫وترتبــط إشــارة ‪ sin x‬بإشــارة األعــداد علــى المحــور الرأســي ‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﹸ‬ ‫اﻟﺜﺎﻟﺚ‬ ‫اﻟﺮﺑﻊ‬ ‫ﹸ‬ ‫اﻟﺮﺑﻊ اﻟﺮاﺑﻊُ‬ ‫ﹸ‬ ‫‪ASTC‬‬ ‫‪y‬‬ ‫اﻟﺮﺑﻊ اﻟﺜﺎﲏ‬ ‫اﻟﺮﺑﻊ ﹸ‬ ‫اﻷول‬ ‫ﹸ‬ ‫ﹸ‬ ‫‪S‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ﺑﺳﺗﻌﻣل اﻻﺧﺗﺻﺎر ‪ASTC‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪Sine‬‬ ‫‪All‬‬ ‫ﻟﻠﻣﺳﺎﻋدة ﻋﻠﻰ ﺗذﻛر اﺷﺎرات‬ ‫‪x‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪C‬‬ ‫النسب المثلثية األساســية في األرباع األربعة؛ إذ ترمز حروف هذا االختصار‬ ‫‪Tangent‬‬ ‫‪Cosine‬‬ ‫األول‪:‬‬ ‫إلى النسبة ‪ /‬النسب الموجبة في كل ربع على الترتيب‪ ،‬بد ًءا بالربع َّ‬ ‫ﹸ‬ ‫اﻟﺜﺎﻟﺚ‬ ‫اﻟﺮﺑﻊ‬ ‫ﹸ‬ ‫اﻟﺮﺑﻊ اﻟﺮاﺑﻊُ‬ ‫ﹸ‬ ‫)‪(All, Sine, Tangent, Cosine‬‬ ‫‪07722595903‬‬ ‫اﻻﺳﺗﺎذ ﺣﻣزة اﺑو اﻟﻔول‬ ‫اﻟﻣﻼذ ﻓﻲ ﻣﮭﺎرات اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت‬  ‫اﻟﻣﻼذ ﻓﻲ ﻣﮭﺎرات اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت‬ ‫اﻟﺻف اﻟﻌﺎﺷر اﻻﺳﺎﺳﻲ‬ ‫حساب المثلثات‬ ‫ُ‬ ‫‪3‬‬ ‫ة‬ ‫الوحد ُ‬ ‫‪0772259503‬‬ ‫اﻻﺳﺗﺎذ ﺣﻣزة اﺑو اﻟﻔول‬ ‫اﻟدرس اﻻول ‪ :‬اﻟﻧﺳب اﻟﻣﺛﻠﺛﯾﺔ‬ ‫ِ‬ ‫اﻻﺳﺗﺎذ ﺣﻣزة اﺑو اﻟﻔول ‪0772259503‬‬ ‫ِ‬ ‫الثالث‪.‬‬ ‫القياسي في الرب ِع‬ ‫انتهاء ‪ θ‬في الوض ِع‬ ‫ضلع‬ ‫ووقع‬ ‫– = ‪، sin θ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫إذا كان‬ ‫ِّ‬ ‫ُ‬ ‫َ‬ ‫مثال‬ ‫‪5‬‬ ‫َأجدُ قيم َة النسبت ْين األساسيت ْين الباقيت ْين‬ ‫‪–1 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪cos2 θ + sin2 θ = 1‬‬ ‫‪cos2 θ + ‬‬ ‫‪ =1‬‬ ‫– ‪cos2 θ =1‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪25 25‬‬ ‫‪√24‬‬ ‫‪√24‬‬ ‫‪cos θ = ±‬‬ ‫– = ‪cos θ‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ُ‬ ‫يكون ‪ cos θ‬سال ًبا‬ ‫ِ‬ ‫الثالث‬ ‫في الرب ِع‬ ‫𝜽 ‪sin‬‬ ‫‪–1/5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪tan θ‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪cos 𝜽 –√24 /5 √24‬‬ ‫القياسي في الرب ِع الثاني‪.‬‬ ‫ِ‬ ‫انتهاء ‪ θ‬في الوض ِع‬ ‫ضلع‬ ‫ووقع‬ ‫إذا كان ‪، tan θ = –3.5‬‬ ‫ِّ‬ ‫ُ‬ ‫َ‬ ‫مثال‬ ‫َأجدُ قيم َة النسبت ْين األساسيت ْين الباقيت ْين‬ ‫اﻻﺳﺗﺎذ ﺣﻣزة اﺑو اﻟﻔول ‪0772259503‬‬ ‫𝜽 ‪sin‬‬ ‫𝜽 ‪sin‬‬ ‫‪sin θ = – 3.5 cos θ‬‬ ‫= ‪tan θ‬‬ ‫‪= – 3.5‬‬ ‫𝜽 ‪cos‬‬ ‫𝜽 ‪cos‬‬ ‫‪cos2 θ + sin2 θ = 1‬‬ ‫‪cos2 θ + (– 3.5 cos θ)2 = 1‬‬ ‫‪cos2 θ + 12.25 cos2 θ = 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪13.25 cos2 θ = 1‬‬ ‫= ‪cos2 θ‬‬ ‫‪13.25‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪cos θ = ± √ 13.25‬‬ ‫‪≈ ± 0.2747‬‬ ‫ِ‬ ‫الحاسبة‬ ‫واستعمال ِ‬ ‫اآللة‬ ‫ِ‬ ‫‪cos θ = – 0.2747‬‬ ‫ُ‬ ‫يكون ‪ cos θ‬سال ًبا‬ ‫في الرب ِع الثاني‬ ‫بتعويض ِ‬ ‫قيمة ‪cos θ‬‬ ‫ِ‬ ‫‪sin θ = – 3.5 × – 0.2747‬‬ ‫‪= 0.96145 ≈ 0.96‬‬ ‫‪07722595903‬‬ ‫اﻻﺳﺗﺎذ ﺣﻣزة اﺑو اﻟﻔول‬ ‫اﻟﻣﻼذ ﻓﻲ ﻣﮭﺎرات اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت‬  ‫اﻟﻣﻼذ ﻓﻲ ﻣﮭﺎرات اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت‬ ‫اﻟﺻف اﻟﻌﺎﺷر اﻻﺳﺎﺳﻲ‬ ‫حساب المثلثات‬ ‫ُ‬ ‫‪3‬‬ ‫ة‬ ‫الوحد ُ‬ ‫‪0772259503‬‬ ‫اﻻﺳﺗﺎذ ﺣﻣزة اﺑو اﻟﻔول‬ ‫اﻟدرس اﻻول ‪ :‬اﻟﻧﺳب اﻟﻣﺛﻠﺛﯾﺔ‬ ‫اﻻﺳﺗﺎذ ﺣﻣزة اﺑو اﻟﻔول ‪0772259503‬‬ ‫القياسي‬ ‫ِ‬ ‫انتهاء ‪ θ‬في الوض ِع‬ ‫ضلع‬ ‫َأ ِجدُ قيم َة ٍّ‬ ‫أتحقق من فهمي‬ ‫ِّ‬ ‫ووقع ُ‬ ‫َ‬ ‫كان ‪،cos θ = 0.8‬‬ ‫من ‪َ sin θ‬و ‪ tan θ‬إذا َ‬ ‫كل ْ‬ ‫في الرب ِع الرابعِ‪.‬‬ ‫‪(sinx)2 + (0.8)2 = 1‬‬ ‫‪(sinx)2 = 1-0.64 = 0.36‬‬ ‫‪sinx = ± 0.6‬‬ ‫‪sinx = - 0.6‬‬ ‫وألن ضلع انتهاء الزاوية في الربع الرابع؛ َّ‬ ‫فإن‪:‬‬ ‫َّ‬ ‫‪-0.6‬‬ ‫= ‪tanx‬‬ ‫‪= -0.75‬‬ ‫‪0.8‬‬ ‫اﻻﺳﺗﺎذ ﺣﻣزة اﺑو اﻟﻔول ‪0772259503‬‬ ‫‪07722595903‬‬ ‫اﻻﺳﺗﺎذ ﺣﻣزة اﺑو اﻟﻔول‬ ‫اﻟﻣﻼذ ﻓﻲ ﻣﮭﺎرات اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت‬  ‫اﻟﻣﻼذ ﻓﻲ ﻣﮭﺎرات اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت‬ ‫اﻟﺻف اﻟﻌﺎﺷر اﻻﺳﺎﺳﻲ‬ ‫حساب المثلثات‬ ‫ُ‬ ‫‪3‬‬ ‫ة‬ ‫الوحد ُ‬ ‫‪0772259503‬‬ ‫اﻻﺳﺗﺎذ ﺣﻣزة اﺑو اﻟﻔول‬ ‫أتدرب وأحل المسائل‬ ‫اﻟدرس اﻻول ‪ :‬اﻟﻧﺳب اﻟﻣﺛﻠﺛﯾﺔ‬ ‫اﻻﺳﺗﺎذ ﺣﻣزة اﺑو اﻟﻔول ‪0772259503‬‬ ‫القياسي‪:‬‬ ‫ِّ‬ ‫أرسم الزوايا اآلتي َة في الوض ِع‬ ‫ُ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪225º‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪160º‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪330º‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪240º‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪225°‬‬ ‫‪160°‬‬ ‫‪330°‬‬ ‫‪240°‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫القياسي‪:‬‬ ‫ِّ‬ ‫مما يأتي إذا ُر ِس َم ْ‬ ‫ت في الوض ِع‬ ‫ٍ‬ ‫كل زاوية ّ‬ ‫ِ‬ ‫انتهاء ِّ‬ ‫ضلع‬ ‫ِ‬ ‫يقع فيه ُ‬ ‫الربع الذي ُ‬ ‫أحدِّ ُد َ‬ ‫‪5‬‬ ‫‪285º‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪75º‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪100º‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪265º‬‬ ‫اﻟﺮﺑﻊ اﻟﺮاﺑﻊ‬ ‫اﻷول‬ ‫اﻟﺮﺑﻊ ﱠ‬ ‫اﻟﺮﺑﻊ اﻟﺜﺎﻧﻲ‬ ‫اﻟﺮﺑﻊ اﻟﺜﺎﻟﺚ‬ ‫ﹺ‬ ‫ﹺ‬ ‫ﹺ‬ ‫اﻟﺮﺑﻊ ﹺ‬ ‫ﻛﺎن‪:‬‬ ‫اﻟﻘﻴﺎﺳﻲ إذا ﹶ‬ ‫ﱢ‬ ‫اﻟﺰاوﻳﺔ ‪ θ‬ﻓﻲ اﻟﻮﺿ ﹺﻊ‬ ‫اﻧﺘﻬﺎء‬ ‫ﺿﻠﻊ‬ ‫ﻳﻘﻊ ﻓﻴﻪ ﹸ‬ ‫اﻷرﺑﺎع( اﻟﺬي ﹸ‬ ‫ﹶ‬ ‫)أو‬ ‫ﹸأﺣﺪﱢ ﹸد ﹶ‬ ‫اﻻﺳﺗﺎذ ﺣﻣزة اﺑو اﻟﻔول ‪0772259503‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪sin 𝜽 > 0‬‬ ‫‪10 cos 𝜽 > 0‬‬ ‫‪11 tan 𝜽 < 0‬‬ ‫‪ cos 𝜽 < 0‬و ‪12 sin 𝜽 < 0‬‬ ‫اﻷول‪ ،‬واﻟﺮﺑﻊ اﻟﺜﺎﻧﻲ‬ ‫اﻟﺮﺑﻊ ﱠ‬ ‫اﻷول‪ ،‬واﻟﺮﺑﻊ اﻟﺮاﺑﻊ‬ ‫اﻟﺮﺑﻊ ﱠ‬ ‫اﻟﺮﺑﻊ اﻟﺜﺎﻧﻲ‪ ،‬واﻟﺮﺑﻊ اﻟﺮاﺑﻊ‬ ‫اﻟﺮﺑﻊ اﻟﺜﺎﻟﺚ‬ ‫ﹺ‬ ‫ﹺ‬ ‫ﹺ‬ ‫اﻟﺮﺑﻊ ﹺ‬ ‫ﻛﺎن‪:‬‬ ‫ﺿﻠﻊ اﻧﺘﻬﺎء اﻟﺰاوﻳﺔ ‪ θ‬ﻓﻲ اﻟﻮﺿﻊ ﹺ ﱢ‬ ‫اﻟﻘﻴﺎﺳﻲ إذا ﹶ‬ ‫ﻳﻘﻊ ﻓﻴﻪ ﹸ‬ ‫اﻷرﺑﺎع( اﻟﺬي ﹸ‬ ‫ﹶ‬ ‫)أو‬ ‫أﺣﺪ ﹸد ﹶ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪13 sin 𝜽 = – 0.7‬‬ ‫‪14 tan 𝜽 = 2‬‬ ‫– = 𝜽 ‪15 cos‬‬ ‫‪16 tan 𝜽 = – 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫اﻟﺮﺑﻊ اﻟﺜﺎﻟﺚ‪ ،‬واﻟﺮﺑﻊ اﻟﺮاﺑﻊ‬ ‫اﻷول‪ ،‬واﻟﺮﺑﻊ اﻟﺜﺎﻟﺚ‬ ‫اﻟﺮﺑﻊ ﱠ‬ ‫اﻟﺮﺑﻊ اﻟﺜﺎﻧﻲ‪ ،‬واﻟﺮﺑﻊ اﻟﺜﺎﻟﺚ‬ ‫اﻟﺮﺑﻊ اﻟﺜﺎﻧﻲ‪ ،‬واﻟﺮﺑﻊ اﻟﺮاﺑﻊ‬ ‫‪17 cos 𝜽 = 0.45‬‬ ‫‪18 sin 𝜽 = 0.55‬‬ ‫‪19 sin 𝜽 = 0.3, cos 𝜽 < 0‬‬ ‫‪20 tan 𝜽 = – 4, sin 𝜽 > 0‬‬ ‫اﻷول‪ ،‬واﻟﺮﺑﻊ اﻟﺮاﺑﻊ‬ ‫اﻟﺮﺑﻊ ﱠ‬ ‫اﻷول‪ ،‬واﻟﺮﺑﻊ اﻟﺜﺎﻧﻲ‬ ‫اﻟﺮﺑﻊ ﱠ‬ ‫اﻟﺮﺑﻊ اﻟﺜﺎﻧﻲ‬ ‫اﻟﺮﺑﻊ اﻟﺜﺎﻧﻲ‬ ‫‪07722595903‬‬ ‫اﻻﺳﺗﺎذ ﺣﻣزة اﺑو اﻟﻔول‬ ‫اﻟﻣﻼذ ﻓﻲ ﻣﮭﺎرات اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت‬  ‫اﻟﻣﻼذ ﻓﻲ ﻣﮭﺎرات اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت‬ ‫اﻟﺻف اﻟﻌﺎﺷر اﻻﺳﺎﺳﻲ‬ ‫حساب المثلثات‬ ‫ُ‬ ‫‪3‬‬ ‫ة‬ ‫الوحد ُ‬ ‫‪0772259503‬‬ ‫اﻻﺳﺗﺎذ ﺣﻣزة اﺑو اﻟﻔول‬ ‫أتدرب وأحل المسائل‬ ‫اﻟدرس اﻻول ‪ :‬اﻟﻧﺳب اﻟﻣﺛﻠﺛﯾﺔ‬ ‫اﻻﺳﺗﺎذ ﺣﻣزة اﺑو اﻟﻔول ‪0772259503‬‬ ‫ﹺ‬ ‫اﻵﺗﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﹺ‬ ‫اﻟﻨﻘﺎط‬ ‫ﹺ‬ ‫اﻟﻮﺣﺪة ﻓﻲ‬ ‫اﻟﻘﻴﺎﺳﻲ داﺋﺮ ﹶة‬ ‫ﺿﻠﻊ اﻧﺘﻬﺎﺋﹺﻬﺎ ﻓﻲ اﻟﻮﺿ ﹺﻊ‬ ‫ﹺ‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ‬ ‫ﱢ‬ ‫ﻗﻄﻊ ﹸ‬