Cours Espace Euclidien PDF - 2020-2021

Espace Euclidien Chapitre 3 : Espace Euclidien FSJES-Ain Sebaa – LF MASS – S3/ 2020–2021 Algèbre II – Chap 3 Pr. Mohamed Elhia 1 / 31  Espace Euclidien Espace Euclidien 1 Espace Euclidien Produit scal...

Espace Euclidien Chapitre 3 : Espace Euclidien FSJES-Ain Sebaa – LF MASS – S3/ 2020–2021 Algèbre II – Chap 3 Pr. Mohamed Elhia 1 / 31  Espace Euclidien Espace Euclidien 1 Espace Euclidien Produit scalaire Orthogonalité Orthogonal d’un sous-espace vectoriel Endomorphismes orthogonaux Matrices orthogonales FSJES-Ain Sebaa – LF MASS – S3/ 2020–2021 Algèbre II – Chap 3 Pr. Mohamed Elhia 2 / 31  Espace Euclidien Produit scalaire 3.1 Produit scalaire  Définition 3.1 (Produit scalaire) On appelle produit scalaire une forme bilinéaire symétrique définie positive sur un espace vectoriel réel. Un produit scalaire sur un espace vectoriel E est donc une application ϕ de E × E dans R qui vérifie : 1 ϕ est une forme bilinéaire. 2 ϕ est symétrique : ∀x, y ∈ E ϕ(x, y ) = ϕ(y , x). 3 ϕ est positive : ∀x ∈ E ϕ(x, x) ≥ 0. 4 ϕ est définie : ϕ(x, x) = 0 ⇒ x = 0E. Lorsque ϕ est un produit scalaire, on note souvent (x|y ) ou hx|y i ou x.y à la place de ϕ(x, y ). FSJES-Ain Sebaa – LF MASS – S3/ 2020–2021 Algèbre II – Chap 3 Pr. Mohamed Elhia 3 / 31  Espace Euclidien Produit scalaire  Exemples 3.1. n
2 X 1 L’application ϕ : (x, y ) ∈ Rn 7−→ hx|y iC = xk yk est un produit scalaire sur k =1 Rn , appelé produit scalaire canonique ou (usuel) sur Rn. 2 Si E = C 0 ([a, b], R) l’espace des fonctions continues sur [a, b] dans R, alors l’application Z b ϕ(f , g) = f (t)g(t)dt a est un produit scalaire E. 3 Sur l’espace vectoriel Mn (R) des matrices carrées de taille n à coefficients réels, l’application ϕ définie par ϕ : (A, B) ∈ Mn (R) × Mn (R) 7−→ Tr t AB ∈ R
est un produit scalaire sur Mn (R). FSJES-Ain Sebaa – LF MASS – S3/ 2020–2021 Algèbre II – Chap 3 Pr. Mohamed Elhia 4 / 31  Espace Euclidien Produit scalaire  Définition 3.2 (Espace euclidien) On appelle espace euclidien tout espace vectoriel réel E de dimension finie muni d’un produit scalaire. On le note par (E, h.|.i).  Définition 3.3 (Norme euclidienne) Soit (E, h.|.i) un espace euclidien. On appelle norme euclidienne sur E l’application k.k : E −→ R+ définie par » ∀x ∈ E, kxk = hx|xi.  Remarque 3.1. x Si x 6= 0E , est de norme 1, il est dit unitaire. kxk Identités remarquables vérifiées par la norme euclidienne : kx + y k2 = kxk2 + ky k2 + 2hx|y i kx − y k2 = kxk2 + ky k2 − 2hx|y i Identité du parallélogramme : kx + y k2 + kx − y k2 = 2 kxk2 + ky k2
1 kx + y k2 − kx − y k2
Identité de polarisation : hx|y i = 4 FSJES-Ain Sebaa – LF MASS – S3/ 2020–2021 Algèbre II – Chap 3 Pr. Mohamed Elhia 5 / 31  Espace Euclidien Produit scalaire  Théorème 3.1 (Inégalité de Cauchy-Schwarz) Soit (E, h.|.i) un espace euclidien. On a alors : ∀x, y ∈ E, |(x|y )| ≤ kxk.ky k Il y a égalité si et seulement si x et y sont colinéaires. FSJES-Ain Sebaa – LF MASS – S3/ 2020–2021 Algèbre II – Chap 3 Pr. Mohamed Elhia 6 / 31  Espace Euclidien Produit scalaire  Proposition 3.1 Soit (E, h.|.i) un espace euclidien. L’application k.k vérifie les propriétés suivantes : 1 kxk = 0 ⇐⇒ x = 0E. (L’axiome de séparation) 2 ∀x ∈ E, ∀λ ∈ R, kλxk = |λ|.kxk. (Homogénéité) 3 ∀x, y ∈ E kx + y k ≤ kxk + ky k. (L’inégalité de Minkowsky ou l’inégalité triangulaire) FSJES-Ain Sebaa – LF MASS – S3/ 2020–2021 Algèbre II – Chap 3 Pr. Mohamed Elhia 7 / 31  Espace Euclidien Produit scalaire  Définition 3.4 (Distance) Soit (E, h.|.i) un espace euclidien. Alors On appelle distance de x à y le réel positif d(x, y ) = kx − y k pour x, y ∈ E. La distance de x ∈ E à un sous espace vectoriel F de E est donnée par : d(x, F ) = min d(x, y ). y ∈F Cette distance a les propriétés suivantes :  Propriétés 3.1 1 d(x, y ) = d(y , x). 2 d(x, y ) = 0 ⇐⇒ x = y. 3 d(x, y ) ≤ d(x, z) + d(z, y ). FSJES-Ain Sebaa – LF MASS – S3/ 2020–2021 Algèbre II – Chap 3 Pr. Mohamed Elhia 8 / 31  Espace Euclidien Orthogonalité 3.2 Orthogonalité  Définition 3.5 (Vecteurs orthogonaux) Soit (E, h.|.i) un espace euclidien. On dit que deux vecteurs x et y appartenant à E sont orthogonaux, et on note x⊥y, si hx|y i = 0.  Exemples 3.2. 3 X E = R3 , hx|y i = xk yk. Les deux vecteurs x = (1, 3, −1) et y = (−3, 2, 3) sont k =1 orthogonaux. R 2π E = C ([0, 2π], R), hf |gi = 0 f (t)g(t)dt Comme hcos | sini = 0, les vecteurs cos et sin sont orthogonaux.  Théorème 3.2 (Pythagore) Soit (E, h.|.i) un espace euclidien. Soient x et x deux éléments de E. kx + y k2 = kxk2 + ky k2 ⇐⇒ x⊥y FSJES-Ain Sebaa – LF MASS – S3/ 2020–2021 Algèbre II – Chap 3 Pr. Mohamed Elhia 9 / 31  Espace Euclidien Orthogonalité  Définition 3.6 (Familles orthogonales et orthonormales) Une famille de vecteurs (ei )1≤i≤m de E est dite orthogonale si : ∀(i, j) ∈ {1,... , m}2 , i 6= j =⇒ hei |ej i = 0. Elle est dite orthonormale ou orthonormée si elle vérifie de plus : ∀i ∈ {1,... , m}, kei k = 1.  Exemples 3.3. On munit E = R2 du produit scalaire usuel. Soient v1 = (1, 1) et v2 = (1, 0). hv1 |v2 i = 1 × 1 + 1 × 0 = 1 6= 0. Donc, la famille (v1 , v2 ) n’est pas une famille orthogonale. FSJES-Ain Sebaa – LF MASS – S3/ 2020–2021 Algèbre II – Chap 3 Pr. Mohamed Elhia 10 / 31  Espace Euclidien Orthogonalité Soient v1 = (1, 1) et v2 = (−1, 1). hv1 |v2 i = 1 × (−1) + 1 × 1 = 0 et kv1 k2 = 2 6= 1. Donc, la famille (v1 , v2 ) est une famille orthogonale mais n’est pas une famille orthonormale. Ç√ √ å Ç √ √ å 2 2 2 2 Soient v1 = , et v2 = − ,. 2 2 2 2 2 2 hv1 |v2 i = 0 et kv1 k = kv2 k = 1. Donc, la famille (v1 , v2 ) est une famille orthonormale. FSJES-Ain Sebaa – LF MASS – S3/ 2020–2021 Algèbre II – Chap 3 Pr. Mohamed Elhia 11 / 31  Espace Euclidien Orthogonalité  Proposition 3.2 (Pythagore généralisé) Soit (x1 ,... , xn ) une famille orthogonale de vecteurs de E. Alors, n n X 2 X xi = kxi k2 i=1 i=1  Proposition 3.3 Soit (E, h.|.i) un espace euclidien. Une famille orthogonale constituée de vecteurs tous non nuls est libre. En particulier, toute famille orthonormale est libre. FSJES-Ain Sebaa – LF MASS – S3/ 2020–2021 Algèbre II – Chap 3 Pr. Mohamed Elhia 12 / 31  Espace Euclidien Orthogonalité  Définition 3.7 (Base orthonormale) La famille (e1 ,... , en ) est une base orthonormée si et seulement si ß 0, i 6= j hei |ej i = δi,j = 1, i = j.  Exemples 3.4. √ √ √ √ 1 Dans (R2 , h.|.iC ), la famille {e1 = (2/ 13, 3/ 13); e2 = (−3/ 13, 2/ 13)} est une base orthonormée. 2 Dans (R2 , h.|.iC ), la famille {e1 = (−1, 0) ; e2 = (0, 1)} est une base orthonormée. FSJES-Ain Sebaa – LF MASS – S3/ 2020–2021 Algèbre II – Chap 3 Pr. Mohamed Elhia 13 / 31  Espace Euclidien Orthogonalité  Proposition 3.4 (Calcul dans une base orthonormée) Soient E un espace euclidien de dimension n ∈ N∗ , B = (e1 ,... , en ) une base Xn n X orthonormée de E et x = xi ei et y = yi ei , deux éléments de E. Alors : i=1 i=1 (i) ∀i ∈ {1,... , n} xi = hx, ei i. X n (ii) hx, y i = xi yi. i=1 n X (iii) kxk2 = xi2. i=1 FSJES-Ain Sebaa – LF MASS – S3/ 2020–2021 Algèbre II – Chap 3 Pr. Mohamed Elhia 14 / 31  Espace Euclidien Orthogonalité  Exemple 3.5. Dans (R3 , h.|.iC ), la famille {e1 = (0, −1, 0); e2 = (1, 0, 0); e3 = (0, 0, −1)} est une base orthonormée. Si x = (2, −1, 3) alors sa décomposition dans la base (e1 , e2 , e3 ) s’écrit x = hx, e1 ie1 + hx, e2 ie2 + hx, e3 ie3 = e1 + 2e2 − 3e3. FSJES-Ain Sebaa – LF MASS – S3/ 2020–2021 Algèbre II – Chap 3 Pr. Mohamed Elhia 15 / 31  Espace Euclidien Orthogonalité  Théorème 3.3 (Orthonormalisation de Schmidt) Dans tout espace euclidien E il existe une base orthonormée. Plus précisément, si (e1 ,... , en ) est une base de E, alors il existe une et une seule base orthonormée (ε1 ,... , εn ) telle que ∀k ∈ {1,... , n} Vect(e1 ,... , ek ) = Vect(ε1 ,... , εk ) FSJES-Ain Sebaa – LF MASS – S3/ 2020–2021 Algèbre II – Chap 3 Pr. Mohamed Elhia 16 / 31  Espace Euclidien Orthogonalité  Exemple 3.6. On se place dans R3 muni du produit scalaire usuel. Soit B = (e1 , e2 , e3 ) une base de R3 , avec e1 = (1, 1, 0), e2 = (0, 1, 1) et e3 = (1, 0, 1). Construire une base orthonormée de R3 à l’aide du procédé de Schmidt. e1 1 On commence par poser ε1 = = √ (1, 1, 0). ke1 k 2 1 Ensuite, On pose f2 = e2 − he2 |ε1 iε1 = (−1, 1, 2) puis 2 f2 1 ε2 = = √ (−1, 1, 2). kf2 k 6 Enfin, pour le dernier vecteur, on pose 2 f3 = e3 − < e3 |ε1 > ε1 − < e3 |ε2 > ε2 = (1, −1, 1), et on obtient 3 f3 1 ε3 = = √ (1, −1, 1). kf3 k 3 FSJES-Ain Sebaa – LF MASS – S3/ 2020–2021 Algèbre II – Chap 3 Pr. Mohamed Elhia 17 / 31  Espace Euclidien Orthogonal d’un sous-espace vectoriel 3.3 Orthogonal d’un sous-espace vectoriel  Définition 3.8 (Orthogonal) Soit F un sous-espace vectoriel de (E, h.|.i). On appelle sous-espace orthogonal de F et on note F ⊥ l’ensemble : F ⊥ = {x ∈ E/ ∀y ∈ F , hx|y i = 0}.  Proposition 3.5 Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E. (i) F ⊥ est un sous-espace vectoriel de E. (ii) {0E }⊥ = E et E ⊥ = {0E }. (iii) Si F ⊂ G alors G⊥ ⊂ F ⊥. FSJES-Ain Sebaa – LF MASS – S3/ 2020–2021 Algèbre II – Chap 3 Pr. Mohamed Elhia 18 / 31  Espace Euclidien Orthogonal d’un sous-espace vectoriel  Proposition 3.6 Soient F un sous-espace vectoriel de E et x ∈ E. x ∈ F ⊥ si et seulement si x est orthogonal aux vecteurs d’une base quelconque de F. FSJES-Ain Sebaa – LF MASS – S3/ 2020–2021 Algèbre II – Chap 3 Pr. Mohamed Elhia 19 / 31  Espace Euclidien Orthogonal d’un sous-espace vectoriel  Exemple 3.7. Considérons le sous-espace vectoriel F des vecteurs (x, y ) de R2 tels que x + y = 0 ßÅ ã ™ x F = ∈ R2 / x + y = 0 y Déterminons le sous-espace vectoriel F ⊥. On a ßÅ ã ™ ßÅ ã ™ D Å ãE x x 1 F = ∈ R2 / x + y = 0 = /x ∈ R = u =. y −x −1 Å ã x Soit v ∈ F ⊥. y hv |ui = 0 ⇐⇒ x − y = 0 ⇐⇒ x = y donc ßÅ ã ™ DÅ ãE x 1 F⊥ = ∈ R2 / x = y =. y 1 FSJES-Ain Sebaa – LF MASS – S3/ 2020–2021 Algèbre II – Chap 3 Pr. Mohamed Elhia 20 / 31  Espace Euclidien Orthogonal d’un sous-espace vectoriel  Définition 3.9 (Sous-espaces orthogonaux) Deux sous-espaces F et G (d’un même espace vectoriel) sont orthogonaux si ∀x ∈ F , ∀y ∈ G hx|y i = 0. Autrement dit, tous les vecteurs de F sont orthogonaux à tous les vecteurs de G(et vice versa).  Proposition 3.7 Si F et G sont deux sous espaces vectoriels de E orthogonaux, alors F ∩ G = {0E }.  Proposition 3.8 (Supplémentaire orthogonal d’un sous-espace d’un espace euclidien) Si F est un sous-espace vectoriel de E, alors E = F ⊕ F ⊥. FSJES-Ain Sebaa – LF MASS – S3/ 2020–2021 Algèbre II – Chap 3 Pr. Mohamed Elhia 21 / 31  Espace Euclidien Orthogonal d’un sous-espace vectoriel  Proposition 3.9 Soit (E, h.|.i). Soit F un sous-espace vectoriel de E. Alors (F ⊥ )⊥ = F FSJES-Ain Sebaa – LF MASS – S3/ 2020–2021 Algèbre II – Chap 3 Pr. Mohamed Elhia 22 / 31  Espace Euclidien Endomorphismes orthogonaux 3.4 Endomorphismes orthogonaux  Définition 3.10 (Endomorphisme orthogonal) Un endomorphisme f d’un espace euclidien (E, h.|.i) est appelée endomorphisme orthogonal (ou isométrie) lorsqu’il conserve le produit scalaire, c’est-à-dire lorsque ∀(x, y ) ∈ E 2 hf (x)|f (y )i = hx|y i On note O(E, h.|.i) (ou O(E)) l’ensemble des isométries de E.  Exemples 3.8. 1 IdE est une isométrie (E, h.|.i). y +z z−y 2 f (x, y , z) = (x, √ , √ 2 2 ) est une isométrie de (R3 , h.|.ic ). 3 f (x, y ) = (x cos(θ) + y sin(θ), −x sin(θ) + y cos(θ)) est une isométrie de (R2 , h.|.ic ). 4 f (x, y , z) = (x, y cos(θ) + z sin(θ), −y sin(θ) + z cos(θ)) est une isométrie (R3 , h.|.ic ). FSJES-Ain Sebaa – LF MASS – S3/ 2020–2021 Algèbre II – Chap 3 Pr. Mohamed Elhia 23 / 31  Espace Euclidien Endomorphismes orthogonaux  Théorème 3.4 Soit f un endomorphisme d’un espace euclidien (E, h.|.i). Les assertions suivantes sont équivalentes : 1 f est une isométrie. 2 l’image par f de n’importe quelle base orthonormée de E est également une base orthonormée de E. 3 il existe une base orthonormée de E dont l’image par f est une base orthonormée de E. 4 f conserve la norme, c’est-à-dire kf (x)k = kxk pour tout x ∈ E. FSJES-Ain Sebaa – LF MASS – S3/ 2020–2021 Algèbre II – Chap 3 Pr. Mohamed Elhia 24 / 31  Espace Euclidien Endomorphismes orthogonaux  Proposition 3.10 (Bijectivité d’une isométrie) Une isométrie f de (E, h.|.i) est bijective, c’est un automorphisme de E. FSJES-Ain Sebaa – LF MASS – S3/ 2020–2021 Algèbre II – Chap 3 Pr. Mohamed Elhia 25 / 31  Espace Euclidien Matrices orthogonales 3.5 Matrices orthogonales  Définition 3.11 On dit qu’une matrice M ∈ Mn (R) est orthogonale si l’on a t MM = In. On note On (R) ou O(n) l’ensemble des matrices orthogonales de Mn (R).  Exemples 3.9. Å ã 0 −1 1 A= =⇒ t AA = I2 =⇒ A est orthogonale. 1 0 Ö è 1 0 √ 0 2 A= 0 −√12 2 3 =⇒ t AA = I3 =⇒ A est orthogonale. 0 − 23 − 12 Ñ é 1 0 0 3 A= 1 1 0 =⇒ t AA 6= I3 =⇒ A n’est pas orthogonale. 0 0 1 FSJES-Ain Sebaa – LF MASS – S3/ 2020–2021 Algèbre II – Chap 3 Pr. Mohamed Elhia 26 / 31  Espace Euclidien Matrices orthogonales  Proposition 3.11 Soit M est une matrice orthogonale. Alors M est inversible et M −1 = t M. det(M) = ±1. FSJES-Ain Sebaa – LF MASS – S3/ 2020–2021 Algèbre II – Chap 3 Pr. Mohamed Elhia 27 / 31  Espace Euclidien Matrices orthogonales  Proposition 3.12 (Caractérisation des matrices orthogonales) Une matrice M est orthogonale si et seulement si les colonnes (resp. les lignes) de la matrice M forment une base orthonormée pour le produit scalaire canonique de Rn. FSJES-Ain Sebaa – LF MASS – S3/ 2020–2021 Algèbre II – Chap 3 Pr. Mohamed Elhia 28 / 31  Espace Euclidien Matrices orthogonales  Exemple 2.10. Ö è 1 0 √ 0 Pour la matrice A = 0 −√12 2 3 , les trois colonnes de A sont unitaires et 3 0 − 2 − 12 orthogonales l’une à l’autre pour le produit scalaire usuel. Donc, la matrice A est une matrice orthogonale. Ñ é 1 0 0 la deuxième ligne de la matrice A = 1 1 0 n’est pas unitaire ou aussi les 0 0 1 deux premières lignes de cette matrice ne sont pas orthogonales, toujours pour le produit scalaire usuel. La matrice A n’est donc pas une matrice orthogonale. FSJES-Ain Sebaa – LF MASS – S3/ 2020–2021 Algèbre II – Chap 3 Pr. Mohamed Elhia 29 / 31  Espace Euclidien Matrices orthogonales  Proposition 3.13 (Lien avec les isométries) Soit (E, h.|.i)un espace euclidien de dimension n ≥ 1. Soit B une base orthonormée de cet espace. Soient f un endomorphisme de E puis A = MatB (f ). Alors, f est une isométrie si et seulement si A est orthogonale.  Remarque 3.2. Les matrices orthogonales sont donc aussi les matrices d’isométries dans une base orthonormale d’un espace euclidien. FSJES-Ain Sebaa – LF MASS – S3/ 2020–2021 Algèbre II – Chap 3 Pr. Mohamed Elhia 30 / 31