Complément sur les Complexes Cours + Exerxices 2 PDF

Si l'on veut un jour penser par soi-même, il faut avoir l'humilité de commencer à penser avec les plus grands et grâce à eux. Le côté papier-crayon, modélisateur théorique, occupe une grande partie de mon existence. Je crois profondément à la transmission culturelle, je suis fou du métier de profes...

Si l'on veut un jour penser par soi-même, il faut avoir l'humilité de commencer à penser avec les plus grands et grâce à eux. Le côté papier-crayon, modélisateur théorique, occupe une grande partie de mon existence. Je crois profondément à la transmission culturelle, je suis fou du métier de professeur. Mais il ne faut jamais se raconter d’histoire. Je m’empresse donc de dire après Montaigne : « Je n’enseigne pas, je raconte » ! Mais je raconte non pas ma vie, mais mes pensées, toutes nourries des grands Mathématiciens, des grands scientifiques et des grands philosophes de l’Antiquité. Je m’intéresse à cette dernière catégorie car, ces deux dimensions (Mathématique et philosophie), sont, chez moi, indissociables. J’aime faire de chaque concept mathématique, un objet de philosophie. J’ai souvent dit que philosopher, c’est penser sa vie et vivre sa pensée. Cela définit exactement l’entreprise de mes publications, de mes articles, visibles sur Internet et de mes cours ! Je précise que tous mes articles et publications, sont issus de mes propres recherches universitaires. Mes articles sont singuliers, parce que je fais de chaque concept mathématique, un objet de philosophie. Je m’étais donné cette obligation comme un devoir inévitable de préparation. Chaque fois que je touchais justement à quelque chose, ce n’était pas un voyage pour rien, je ne m’en donnais le droit et le devoir qu’à la condition d’inventer. Dans mon cours, sur les complexes, c’est la forme verbale, non pas le contenu, qui donne une impression de nouveauté → It is the verbal form, not the content, which gives Je mesure chaque jour, ma chance d’obtenir à l’Université bruxelloise qui m’accueille dans le cadre de mes recherches, une table de travail, où je peux inscrire mes gestes et mes pensées inutiles, en plus des autres ! Et, d’arriver parfois à en faire quelque chose qui tienne debout… C’est pourquoi j’aimerais que les jeunes que nous formons comprennent ce que sont les Mathématiques, et ce qu’elles ne sont pas. 1° Qu’elles sont à l’opposé de leur réduction à des règles d’arithmétique. 2° Qu’elles ne pourront jamais être remplacées par des ordinateurs. 3° Qu’elles sont une inestimable machine à concepts. 4° Qu’elles constituent un univers à explorer qui n’attend que ses découvreurs. → Théo Héikey → 1 an impression of novelty. Chaque fois que je passais quelque part, j’essayais de laisser une solution réellement originale. Aucun de mes articles n’a été repris sur Internet. Je ne les ai pas écrits, en recopiant ce que font les autres. Composer un article scientifique, seul moyen de parler des concepts mathématiques sans assister à l'ennui des autres. Le but d’un article scientifique, ce n’est pas d’arriver à faire comme les autres, c’est d’apprendre à être soi, d’apprendre à faire ce qu’on est le seul à pouvoir faire. L’honnêteté, consiste donc, à n’écrire que ce que l’on pense et ce que l’on croit avoir inventé. Mes articles ne sont que de moi. Mon verre n’est pas grand, mais je bois dans mon verre. Je vous propose, une invitation au voyage, dans le monde merveilleux des complexes. Bien qu’on les appelle ainsi, pour des raisons historiques, ces nombres complexes ne sont pas si compliqués. De fait, il a été possible de simplifier de nombreux énoncés et théories grâce à eux. Le véritable voyage consiste toujours en la confrontation d’un imaginaire avec une réalité ; il se situe entre ces deux mondes. Si le voyageur n’espère rien, il ne verra que ce que voient les yeux ; en revanche, s’il s’efforce de fabriquer les cartes mentales des concepts mathématiques, il verra davantage que ce qui se présente, il percevra même la simplicité des complexes au-delà de l’apparence ; éprouverait-il une frustration à ne pas savoir résoudre les exercices, elle s’avèrerait plus riche, plus profonde qu’une dialectique de l’excuse de ne pas tenter cette expérience. Je n’ai de cesse de louer dans mes cours, dans mon petit théâtre personnel qui, je l’espère, n’est pas trop triste, la candeur → les vertus d’une « façon virginale de voir, d’entendre et de penser » dont parle Bergson dans le livre du Rire → et les bonheurs d’apprendre. Or, la culture mathématique (dont certains étudiants se méfient) est une condition indispensable de la candeur (à laquelle ils substituent le calcul de l’intérêt). Ces bonheurs d’apprendre se caractérisent, pour moi, de deux Je mesure chaque jour, ma chance d’obtenir à l’Université bruxelloise qui m’accueille dans le cadre de mes recherches, une table de travail, où je peux inscrire mes gestes et mes pensées inutiles, en plus des autres ! Et, d’arriver parfois à en faire quelque chose qui tienne debout… C’est pourquoi j’aimerais que les jeunes que nous formons comprennent ce que sont les Mathématiques, et ce qu’elles ne sont pas. 1° Qu’elles sont à l’opposé de leur réduction à des règles d’arithmétique. 2° Qu’elles ne pourront jamais être remplacées par des ordinateurs. 3° Qu’elles sont une inestimable machine à concepts. 4° Qu’elles constituent un univers à explorer qui n’attend que ses découvreurs. → Théo Héikey → 2 manières : ce sont des rencontres et des rencontres qui ouvrent au désir d’apprendre plus encore. Des rencontres, d’abord, entre une histoire singulière et des connaissances « partageables à l’infini », comme disait Fichte. Rien de mécanique dans ces rencontres, mais un jeu de prolongements possibles et de correspondances entrevues, une dialectique entre des questions → existantes ou construites → et des propositions de réponses qui viennent, tout à coup, susciter « l’illuminatio » : « Bon sang, mais c’est bien sûr ! » … « J’étais dans le brouillard et, tout à coup, le paysage s’éclaircit. » … « Je comprends enfin ce qui réunit des phénomènes et me permet de construire un modèle d’intelligibilité en lieu et place d’un ensemble de faits épars. » Plus j’avance et plus je crois que, non seulement on peut éprouver du bonheur à enseigner, mais, surtout, qu’on le doit. Au risque, sinon, de ne pas être en mesure de faire découvrir aux étudiants le bonheur d’apprendre. Comment est-ce possible ? En entretenant avec les savoirs que l’on enseigne un rapport d’apprentissage, précisément. En restant, tout au long de sa carrière et à tous les niveaux, un Enseignant-Chercheur, c’est-à-dire, un enseignant qui ne transmet pas des savoirs morts de manière automatique, mais un enseignant qui ré-explore ce qu’il doit enseigner en permanence, pour mieux en saisir les enjeux, mieux identifier les situations d’apprentissage propices, les questions fécondes, les formulations efficaces, les exemples pertinents… → et cela avec des étudiants toujours différents. C’est là que se trouve la source du bonheur d’enseigner. Dans cette investigation jamais achevée que facilite la recherche fondamentale et la transmission culturelle. Autant dire que, pour moi, il s’agit-là de deux leviers essentiels pour rendre plus attractif et dynamique le métier d’enseignant. Théo Héikey → Témoignage de mon Maître de Recherches (PDF) Je mesure chaque jour, ma chance d’obtenir à l’Université bruxelloise qui m’accueille dans le cadre de mes recherches, une table de travail, où je peux inscrire mes gestes et mes pensées inutiles, en plus des autres ! Et, d’arriver parfois à en faire quelque chose qui tienne debout… C’est pourquoi j’aimerais que les jeunes que nous formons comprennent ce que sont les Mathématiques, et ce qu’elles ne sont pas. 1° Qu’elles sont à l’opposé de leur réduction à des règles d’arithmétique. 2° Qu’elles ne pourront jamais être remplacées par des ordinateurs. 3° Qu’elles sont une inestimable machine à concepts. 4° Qu’elles constituent un univers à explorer qui n’attend que ses découvreurs. → Théo Héikey → 3 Racines n ièmes d’un nombre complexe non nul Définition ⎯⎯→ Existence Soit z un nombre complexe non nul et n un entier supérieur ou égal à 2 ; on appelle racine nième du n complexe z, toute solution dans C I de l’équation à une inconnue Z : Z = z. Par exemple, i est une racine quatrième de 1 et une racine sixième de – 1. Théorème ⎯⎯→ Soit (, ) la forme trigonométrique du complexe non nul z ; z admet n racines nièmes dont les formes trigonométriques sont n  2  + k  ,  n n   avec k  {0, 1 , 2, … n – 1} Racines n ièmes de l’unité Soit n un entier au moins égal à 2. Les n racines nièmes de 1 sont les complexes k = cos k 2 k 2 + i sin n n avec k  {0, 1 , 2, … n – 1}. Par exemple, les racines cubiques de 1 sont les complexes : 1, j = – 3 3 1 1 + i , j = – – i 2 2 2 2 Je mesure chaque jour, ma chance d’obtenir à l’Université bruxelloise qui m’accueille dans le cadre de mes recherches, une table de travail, où je peux inscrire mes gestes et mes pensées inutiles, en plus des autres ! Et, d’arriver parfois à en faire quelque chose qui tienne debout… C’est pourquoi j’aimerais que les jeunes que nous formons comprennent ce que sont les Mathématiques, et ce qu’elles ne sont pas. 1° Qu’elles sont à l’opposé de leur réduction à des règles d’arithmétique. 2° Qu’elles ne pourront jamais être remplacées par des ordinateurs. 3° Qu’elles sont une inestimable machine à concepts. 4° Qu’elles constituent un univers à explorer qui n’attend que ses découvreurs. → Théo Héikey → 4 Théorème 1 ⎯⎯→ L’ensemble Un =  ,   0  , …,  1  n – 1 des racines nièmes de 1 est un sous-groupe multiplicatif U des complexes de module 1. Théorème 2 ⎯⎯→  Un L’application  :   k ZZ/nZZ ⎯⎯→ est un isomorphisme du groupe multiplicateur Un k ⎯⎯→  sur le groupe additif ZZ/nZZ. Remarques 1° ⎯⎯→ Les images dans le plan complexe des racines nièmes de 1 sont les sommets d’un polygone régulier de n côtés inscrit dans le cercle de centre O, de rayon unité. 2° ⎯⎯→ Si u est une racine nième d’un complexe non nul, z, l’ensemble des racines nièmes de z est u  Un = {u  k / k  {0, 1, … n – 1}}. Racines carrées En plus des résultats généraux vus précédemment, on peut déterminer les racines d’un nombre complexe par la méthode algébrique. Soit z = x + iy et u = a + ib deux nombres complexes (a, b, x, y) sont des réels. On a l’équivalence a –  2ab  a2 + 2 u2 = z  2 b = x = y 2 b = x2 + y2 Remarque ⎯⎯→ On n’utilise pratiquement la méthode algébrique que pour la recherche des racines carrées. Je mesure chaque jour, ma chance d’obtenir à l’Université bruxelloise qui m’accueille dans le cadre de mes recherches, une table de travail, où je peux inscrire mes gestes et mes pensées inutiles, en plus des autres ! Et, d’arriver parfois à en faire quelque chose qui tienne debout… C’est pourquoi j’aimerais que les jeunes que nous formons comprennent ce que sont les Mathématiques, et ce qu’elles ne sont pas. 1° Qu’elles sont à l’opposé de leur réduction à des règles d’arithmétique. 2° Qu’elles ne pourront jamais être remplacées par des ordinateurs. 3° Qu’elles sont une inestimable machine à concepts. 4° Qu’elles constituent un univers à explorer qui n’attend que ses découvreurs. → Théo Héikey → 5 Équation dans CI ⎯⎯→ Équation du second degré Soient a, b, c trois complexes tels que a soit non nul. Théorème 1 ⎯⎯→ L’équation du second degré ax2 + bx + c = 0 (1) admet deux racines (éventuellement confondues) dans C I x1 = –b –  2a et x2 = –b +  2a (où  désigne une racine carrée du discriminant  = b2 – 4ac) Théorème 2 ⎯⎯→ La somme des racines x1 et x2 de l’équation (1) est égale à – égal à b ; leur produit est a c . a Exemple ⎯⎯→ L’équation x2 – (3 + i)x + 3i = 0 (2) 2 a pour discriminant  = (3 + i) – 12i = (3 – i)2 Les racines de (2) sont donc x1 = 3 + i – (3 – i) 3 + i + (3 – i) = i et x2 = = 3 2 2 Équation du second degré à coefficients réels Soit ax2 + bx + c = 0 (3) une équation du second degré (a  0) à coefficients réels. 2 Selon que le discriminant  = b – 4ac est positif, nul ou négatif, l’équation (3) admet deux racines réelles distinctes, une racine réelle double ou deux racines complexes conjuguées non réelles. Je mesure chaque jour, ma chance d’obtenir à l’Université bruxelloise qui m’accueille dans le cadre de mes recherches, une table de travail, où je peux inscrire mes gestes et mes pensées inutiles, en plus des autres ! Et, d’arriver parfois à en faire quelque chose qui tienne debout… C’est pourquoi j’aimerais que les jeunes que nous formons comprennent ce que sont les Mathématiques, et ce qu’elles ne sont pas. 1° Qu’elles sont à l’opposé de leur réduction à des règles d’arithmétique. 2° Qu’elles ne pourront jamais être remplacées par des ordinateurs. 3° Qu’elles sont une inestimable machine à concepts. 4° Qu’elles constituent un univers à explorer qui n’attend que ses découvreurs. → Théo Héikey → 6 Équation de degré n (n  IN*) Théorème de d’Alembert ⎯⎯→ Tout polynôme de degré n à coefficients complexes admet n racines dans C. I Théorème ⎯⎯→ Tout polynôme de degré n à coefficients réels admet des racines complexes deux à deus conjuguées. Transformation du plan complexe ⎯⎯→ ⎯⎯→ Soit P le plan affine euclidien orienté rapporté à un repère R (O, u , v ) orthonormé direct. Translation ⎯⎯→ Soient ,  deux réels et w le vecteur d’affixe z0 =  + i. On a ⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→ w =  u + v . ⎯⎯→ La translation t ⎯⎯→ du vecteur w est l’application qui, à tout point M d’affixe z, associe le point M’ w d’affixe z’ telle que z’ = z + z. 0 Exemple : Image d’un triangle par la translation de vecteur Je mesure chaque jour, ma chance d’obtenir à l’Université bruxelloise qui m’accueille dans le cadre de mes recherches, une table de travail, où je peux inscrire mes gestes et mes pensées inutiles, en plus des autres ! Et, d’arriver parfois à en faire quelque chose qui tienne debout… C’est pourquoi j’aimerais que les jeunes que nous formons comprennent ce que sont les Mathématiques, et ce qu’elles ne sont pas. 1° Qu’elles sont à l’opposé de leur réduction à des règles d’arithmétique. 2° Qu’elles ne pourront jamais être remplacées par des ordinateurs. 3° Qu’elles sont une inestimable machine à concepts. 4° Qu’elles constituent un univers à explorer qui n’attend que ses découvreurs. → Théo Héikey → 7 Similitude Soient a et b deux complexes tels que a soit non nul. Théorème I ⎯⎯→ L’application f de P dans P qui, à tout point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’ = az + b est bijective. I ⎯⎯→ C I C f :  ⎯⎯→ f(z) = az + b z  f et une similitude plane directe. ⎯⎯→ ⎯⎯→ Si a = 1, f est la translation de vecteur u (où u est le vecteur d’affixe b). Si a  1, f a un point invariant unique  d’affixe b : 1–a f est la similitude directe de centre , de mesure Arg a, de rapport a . En particulier : • Si a = 1, f est la rotation de centre  et de mesure Arg a. • Si a  IR*, f est l’homothétie de centre  et rapport a. Exemple : Image d’un triangle par une rotation d’angle θ = π/3 Je mesure chaque jour, ma chance d’obtenir à l’Université bruxelloise qui m’accueille dans le cadre de mes recherches, une table de travail, où je peux inscrire mes gestes et mes pensées inutiles, en plus des autres ! Et, d’arriver parfois à en faire quelque chose qui tienne debout… C’est pourquoi j’aimerais que les jeunes que nous formons comprennent ce que sont les Mathématiques, et ce qu’elles ne sont pas. 1° Qu’elles sont à l’opposé de leur réduction à des règles d’arithmétique. 2° Qu’elles ne pourront jamais être remplacées par des ordinateurs. 3° Qu’elles sont une inestimable machine à concepts. 4° Qu’elles constituent un univers à explorer qui n’attend que ses découvreurs. → Théo Héikey → 8 Image d’un triangle par une homothétie de rapport k = 3/2 Théorème 2 ⎯⎯→ L’application g de P dans P qui, à tout point M d’affixe z, fait correspondre le I ⎯⎯→ C I  C point M’ d’affixe z’ = a z + b est bijective. g :  ⎯⎯→ g(z) = a z + b  z  g est une similitude plane inverse, de rapport a . Si a  1, g a un point invariant unique  d’affixe z0 = x0 + iy0 (x0, y0 réels) ; g est la composée commutative de l’homothétie de centre  et de rapport a , et de la symétrie orthogonale par rapport 1  à la droite d d’équation y – y0 = tan  Arg a  (x – x0). 2  Si a = 1, g est un antidéplacement. Je mesure chaque jour, ma chance d’obtenir à l’Université bruxelloise qui m’accueille dans le cadre de mes recherches, une table de travail, où je peux inscrire mes gestes et mes pensées inutiles, en plus des autres ! Et, d’arriver parfois à en faire quelque chose qui tienne debout… C’est pourquoi j’aimerais que les jeunes que nous formons comprennent ce que sont les Mathématiques, et ce qu’elles ne sont pas. 1° Qu’elles sont à l’opposé de leur réduction à des règles d’arithmétique. 2° Qu’elles ne pourront jamais être remplacées par des ordinateurs. 3° Qu’elles sont une inestimable machine à concepts. 4° Qu’elles constituent un univers à explorer qui n’attend que ses découvreurs. → Théo Héikey → 9 Inversion Soient k un réel non nul et  l’affixe d’un point  de P. L’application I qui au point M d’affixe z fait correspondre le point M’ d’affixe z’ tel que (z’ – )( z –  ) = k est l’inversion de centre  et de puissance k. Théo Héikey Témoignage de mon Maître de Recherches (PDF) Tant qu’il y aura des cours de qualité, des professeurs compétents pour en écrire et des étudiants pour en lire, tout ne sera pas perdu dans ce monde. Je mesure chaque jour, ma chance d’obtenir à l’Université bruxelloise qui m’accueille dans le cadre de mes recherches, une table de travail, où je peux inscrire mes gestes et mes pensées inutiles, en plus des autres ! Et, d’arriver parfois à en faire quelque chose qui tienne debout… C’est pourquoi j’aimerais que les jeunes que nous formons comprennent ce que sont les Mathématiques, et ce qu’elles ne sont pas. 1° Qu’elles sont à l’opposé de leur réduction à des règles d’arithmétique. 2° Qu’elles ne pourront jamais être remplacées par des ordinateurs. 3° Qu’elles sont une inestimable machine à concepts. 4° Qu’elles constituent un univers à explorer qui n’attend que ses découvreurs. → Théo Héikey → 10 De quel droit peut-on essayer d’inviter un étudiant à prendre un niveau plus élevé dans ses joies et dans ses goûts ? Moi, je crois qu’être professeur, c’est s’arroger ce droit. On ne peut pas être professeur sans ce pari intérieur, sans dire : « Je vais te faire aimer une belle théorie mathématique, une belle musique de ses concepts, une certaine idée de cette reine des sciences, son histoire, la philosophie qui soutent ses idées, sa dimension poétique. » Mais attention, l’éthique de cet espoir n’est pas toujours bien perçue. Après ma réussite du Concours Externe d’Agrégation de Mathématiques, on me demandait de bien connaître ma matière, non pas d’enseigner l’ignorance. À l’instar de mon ancien Directeur de thèse → Témoignage de mon Maître de Recherches (PDF) →, moi qui suis issu d’un milieu défavorisé, je préfère un million de fois m’affilier aux grands pédagogues, ceux qui ne s’estiment pas au-dessus de ce qui leur a été légué, pour qui leur héritage est une charge plus encore qu’un honneur, et qui ont à cœur de transmettre ce qu’ils ont reçu. Mon cours est conforme au programme de votre cursus "universitaire", comme on peut le lire ici : MATHÉMATIQUES ET STATISTIQUE APPLIQUÉES AU SECTEUR TECHNIQUE ENSEIGNEMENT SUPERIEUR DE TYPE COURT L’étudiant sera capable : à partir d'applications du domaine technique, ♦ d’appliquer les règles de base de l’algèbre (signes, parenthèses, puissances, radicaux, …) ; Je mesure chaque jour, ma chance d’obtenir à l’Université bruxelloise qui m’accueille dans le cadre de mes recherches, une table de travail, où je peux inscrire mes gestes et mes pensées inutiles, en plus des autres ! Et, d’arriver parfois à en faire quelque chose qui tienne debout… C’est pourquoi j’aimerais que les jeunes que nous formons comprennent ce que sont les Mathématiques, et ce qu’elles ne sont pas. 1° Qu’elles sont à l’opposé de leur réduction à des règles d’arithmétique. 2° Qu’elles ne pourront jamais être remplacées par des ordinateurs. 3° Qu’elles sont une inestimable machine à concepts. 4° Qu’elles constituent un univers à explorer qui n’attend que ses découvreurs. → Théo Héikey → 11 ♦ de résoudre des systèmes de maximum 3 équations du premier degré à 3 inconnues ; ♦ d’effectuer des opérations sur des nombres complexes et de les représenter ; ♦ d’analyser (domaine, asymptote, croissance, …) et de représenter des fonctions (polynomiales, rationnelles, trigonométriques, exponentielle logarithme, …) ; ♦ de calculer des primitives simples par décomposition, par substitution et par parties ; ♦ de calculer et d’interpréter des intégrales simples ; ♦ de résoudre des problèmes techniques faisant intervenir des équations différentielles du premier ordre à variables séparables ; ♦ de résoudre des triangles quelconques par le calcul trigonométrique ; ♦ de calculer les effectifs, les fréquences, les fréquences cumulées, la moyenne et l’écart-type d’une distribution discontinue à une dimension et d’interpréter les résultats ; ♦ d’effectuer une régression linéaire et d’interpréter le résultat (coefficient de corrélation) ; ♦ d’utiliser, s’il échet, des logiciels dédicacés mettant en évidence des concepts mathématiques. Pour la détermination du degré de maîtrise, il sera tenu compte des critères suivants : ♦ la précision des notations mathématiques employées, ♦ le respect des consignes et du temps alloué, ♦ la capacité à vérifier sa démarche et ses résultats, ♦ le degré d’autonomie atteint. Je mesure chaque jour, ma chance d’obtenir à l’Université bruxelloise qui m’accueille dans le cadre de mes recherches, une table de travail, où je peux inscrire mes gestes et mes pensées inutiles, en plus des autres ! Et, d’arriver parfois à en faire quelque chose qui tienne debout… C’est pourquoi j’aimerais que les jeunes que nous formons comprennent ce que sont les Mathématiques, et ce qu’elles ne sont pas. 1° Qu’elles sont à l’opposé de leur réduction à des règles d’arithmétique. 2° Qu’elles ne pourront jamais être remplacées par des ordinateurs. 3° Qu’elles sont une inestimable machine à concepts. 4° Qu’elles constituent un univers à explorer qui n’attend que ses découvreurs. → Théo Héikey → 12 La Mathématique est une joie et une faculté d’émerveillement Le cours que vous avez reçu, sous forme de plusieurs syllabus, et que je transmets dans mon petit théâtre personnel → qui je l’espère n’est pas trop triste →, est issu de mes propres recherches universitaires, de mes expériences en tant qu’enseignant et de l’idée que je me fais de la transmission culturelle, et singulièrement de la Mathématique. Bien que réécrit et complété, il en conserve encore le style oral. Je crois très profondément que ce qu’on appelle la Mathématique, la Mathématique, est faîte pour être en-ten-due. Dans la solitude de l’Enseignant-Chercheur, ce qui compte c’est l’écoute, c’est la voix. Ce qui compte avant tout c’est la parole qui s’écrit et qu’il faut entendre. Son objectif (de mon cours s’entend !) est modeste et ambitieux. Modeste, parce qu’il s’adresse à un public de non spécialistes, à l’image des esprits curieux avec lesquels il m’arrive de converser pendant le temps des vacances. Ambitieux, car je me suis refusé à admettre la moindre concession aux exigences de la simplification dès lors qu’elle aurait pu conduire à déformer la présentation des théories mathématiques au programme de votre cursus "universitaire". J’éprouve un tel respect pour les concepts mathématiques que je ne puis me résoudre à les caricaturer pour des motifs pseudo-pédagogiques. La clarté fait partie du cahier des charges d’un cours qui s’adresse à des débutants, mais elle doit pouvoir s’obtenir sans détruire son objet, sinon elle ne vaut rien. L'ambition de construire une nouvelle noblesse, une noblesse d'esprit, comme dit Nietzsche. Le jeu est ouvert à tous, à chacun de faire ses preuves. La preuve, c'est le style, s'il est là. C'est rare. J’ai donc cherché à proposer une initiation qui, pour être aussi simple que possible, ne fasse pas son deuil de la richesse et de la profondeur des idées mathématiques. Son but n’est pas d’en donner seulement un avant-goût, un vernis superficiel ou un aperçu biaisé par les impératifs d’un public très hétérogène, mais bien de les faire découvrir telles qu’en elles-mêmes afin de satisfaire deux exigences : celle d’un adulte qui veut savoir ce que c’est que la Mathématique appliquée à son secteur de prédilection, mais n’envisage pas d’aller nécessairement plus loin ; celle d’un jeune étudiant qui souhaite éventuellement l’étudier plus à fond, mais ne dispose pas encore des connaissances nécessaires pour pouvoir commencer à lire par lui-même des auteurs universitaires. Je mesure chaque jour, ma chance d’obtenir à l’Université bruxelloise qui m’accueille dans le cadre de mes recherches, une table de travail, où je peux inscrire mes gestes et mes pensées inutiles, en plus des autres ! Et, d’arriver parfois à en faire quelque chose qui tienne debout… C’est pourquoi j’aimerais que les jeunes que nous formons comprennent ce que sont les Mathématiques, et ce qu’elles ne sont pas. 1° Qu’elles sont à l’opposé de leur réduction à des règles d’arithmétique. 2° Qu’elles ne pourront jamais être remplacées par des ordinateurs. 3° Qu’elles sont une inestimable machine à concepts. 4° Qu’elles constituent un univers à explorer qui n’attend que ses découvreurs. → Théo Héikey → 13 Voilà pourquoi j’ai tenté de faire figurer dans mon cours → mais dans le cadre d’un programme qui m’est imposé →, tout ce que je considère aujourd’hui comme vraiment essentiel dans l’histoire de la pensée mathématique, tout ce que je voudrais léguer à ceux que je tiens → au sens noble →, comme des esprits curieux. Pourquoi cette tentative ? D’abord, parce que notre monde se rétrécit. Les sciences nous sont devenues inaccessibles. Qui peut comprendre les dernières aventures de la génétique, de l’astrophysique, de la biologie ? Qui peut les expliquer au profane ? Les savoirs ne communiquent plus ; les écrivains et les philosophes sont désormais incapables de nous faire entendre la science. La science brille pourtant par son imaginaire. Comment prétendre parler de la conscience humaine en laissant de côté ce qu’il y a de plus audacieux, de plus imaginatif ? Je m’inquiète de savoir ce que veut dire « être lettré » aujourd’hui - « to be literate », l’expression est encore plus forte en anglais. Peut-on être lettré sans comprendre une équation non linéaire ? La culture est menacée de devenir provinciale. Peut-être faudra-t-il repenser toute notre conception de la culture. J’ai acquis au fil des ans la conviction qu’il est précieux pour tout un chacun, y compris pour ceux aux yeux desquels la Mathématique ne saurait être qu’un outil, d’étudier un tant soit peu cette reine des sciences, ne serait-ce que pour une raison toute simple. On ne peut, sans elle, rien comprendre au monde dans lequel nous vivons. C’est la formation la plus éclairante. De quoi suis-je certain, absolument parlant ? Des vérités mathématiques et d’elles seulement, dès lors qu’on les démontre. Puisque je puis douter de ce que je vois, entends et expérimente : une fois posés les axiomes, je ne puis mettre en doute les résultats de l’Analyse mathématique, ni ceux de la géométrie. Je sais de même, que deux plus deux ne font pas cinq et que ni les chimères ni les chevaux ne volent : sornettes et farfadets. Quelque contenu que vous transmettiez, si vous le donnez dans la laideur, celle-ci seule restera et le contenu s’évanouira, laissant place à la violence ; si vous l’accouchez dans la beauté, la transmission passera, le contenu Je mesure chaque jour, ma chance d’obtenir à l’Université bruxelloise qui m’accueille dans le cadre de mes recherches, une table de travail, où je peux inscrire mes gestes et mes pensées inutiles, en plus des autres ! Et, d’arriver parfois à en faire quelque chose qui tienne debout… C’est pourquoi j’aimerais que les jeunes que nous formons comprennent ce que sont les Mathématiques, et ce qu’elles ne sont pas. 1° Qu’elles sont à l’opposé de leur réduction à des règles d’arithmétique. 2° Qu’elles ne pourront jamais être remplacées par des ordinateurs. 3° Qu’elles sont une inestimable machine à concepts. 4° Qu’elles constituent un univers à explorer qui n’attend que ses découvreurs. → Théo Héikey → 14 demeurera, et cette exigence belle, en se propageant, permet à tous de vivre alentour. Voilà ce que j’entends par enchantement. L'idée s'est répandue que tout le monde pouvait être professeur de Maths parce que le calcul est à la disposition de tous. Alors, je vais vous faire une confidence : enseigner la Mathématique est un art. Lorsque je rédige un cours, à l’inverse de simplifier, j’éclaire, j’étonne, je souligne, je déplie, pour expliquer la complexité d’une théorie au programme de votre cursus "universitaire". Des pièges de résolution d’une équation aux règles d’étude d’une fonction, de l’histoire des concepts aux modélisations des objets qui nous entourent… Tous nous disent que la Mathématique, c’est la vie ! Rédiger un exercice mathématique, c'est ébranler le sens du concept, y disposer une interrogation indirecte, à laquelle l'auteur, par un dernier suspens, s'abstient de répondre. La réponse, c'est chacun de nous qui la donne, y apportant son histoire, son langage, sa compétence, sa liberté. La culture n'est plus perçue ou pensée comme un travail de soi sur soi, comme un exercice, mais comme une identité que chacun trouve en lui-même et qu'il exprime comme il veut. Le malaise actuel dans la civilisation tient à ce remplacement de l'exercice par la frilosité de lecture dans l'espace privé et dans la sphère publique, dans sa vie personnelle comme à l’école. Le but de la Mathématique est de nous apprendre à lire. Pour savoir écrire, il faut savoir lire, et pour savoir lire, il faut savoir et vouloir apprendre. Toute la question est là. Être enseigné n’est pas seulement un moyen, c’est un but, c’est une délivrance, c’est une ouverture, c’est un bonheur d’un devenir autre, c’est comme le rappelle l’étymologie du mot école, la forme suprême du loisir. Nous l’avons oublié. Là, dans cet oubli, plus encore que dans l’incapacité d’offrir à nos enfants un avenir désangoissé, réside, me semble-t-il, notre faillite la plus grave. Car, à la différence des vicissitudes d’une économie mondialisée, elle nous est entièrement imputable. Théo Héikey Témoignage de mon Maître de Recherches (PDF) Je mesure chaque jour, ma chance d’obtenir à l’Université bruxelloise qui m’accueille dans le cadre de mes recherches, une table de travail, où je peux inscrire mes gestes et mes pensées inutiles, en plus des autres ! Et, d’arriver parfois à en faire quelque chose qui tienne debout… C’est pourquoi j’aimerais que les jeunes que nous formons comprennent ce que sont les Mathématiques, et ce qu’elles ne sont pas. 1° Qu’elles sont à l’opposé de leur réduction à des règles d’arithmétique. 2° Qu’elles ne pourront jamais être remplacées par des ordinateurs. 3° Qu’elles sont une inestimable machine à concepts. 4° Qu’elles constituent un univers à explorer qui n’attend que ses découvreurs. → Théo Héikey → 15 A good stock of examples, as large as possible, is indispensable for a thorough understanding of any concept, and when I try to learn something new, I make it my first job to build one Exercice d’Application I Résoudre dans C, I pour n  IN*, l’équation (E) suivante : zn = – 1 Exercice d’Application II Résoudre dans C, I pour n  IN*, l’équation (E) suivante : zn = 1 – i 3 Exercice d’Application III Résoudre dans C, I pour n  IN*, l’équation (E) suivante : z2n – 2 cos  zn = – 1 (  IR). Exercice d’Application IV Résoudre dans C, I pour n  IN*, l’équation (E) suivante : n n z + 1 +  z – 1 = 1 on admettra que – 1 + cos  + i sin  = – i cotg   z – 1 z + 1 2     1 – cos  – i sin  Je mesure chaque jour, ma chance d’obtenir à l’Université bruxelloise qui m’accueille dans le cadre de mes recherches, une table de travail, où je peux inscrire mes gestes et mes pensées inutiles, en plus des autres ! Et, d’arriver parfois à en faire quelque chose qui tienne debout… C’est pourquoi j’aimerais que les jeunes que nous formons comprennent ce que sont les Mathématiques, et ce qu’elles ne sont pas. 1° Qu’elles sont à l’opposé de leur réduction à des règles d’arithmétique. 2° Qu’elles ne pourront jamais être remplacées par des ordinateurs. 3° Qu’elles sont une inestimable machine à concepts. 4° Qu’elles constituent un univers à explorer qui n’attend que ses découvreurs. → Théo Héikey → 16 Exercice d’Application V z – in 1 + ia Soient a un réel et (E) l’équation dans C, I  = ,  1 – ia z + i 1° ⎯⎯→ Montrer que si z est solution de (E), on a z–i = 1. En déduire que toutes les solutions de z+i (E) sont réelles. 2° ⎯⎯→ Résoudre dans C I l’équation (E) dans le cas où a = 1. On admettra que cotg  1 + cos  + i sin  =–i 2 1 – cos  – i sin  Exercice VI Soit P un plan affine euclidien orienté rapporté à un repère orthonormé direct. Déterminer l’ensemble () des points M d’affixe z du plan P vérifiant : (1 – i)z + 2i = 2. Exercice VII Soit P un plan affine euclidien orienté rapporté à un repère orthonormé direct. Déterminer l’ensemble () des points M d’affixe z du plan P vérifiant : z – 1 = z – (1 + 3) + i Je mesure chaque jour, ma chance d’obtenir à l’Université bruxelloise qui m’accueille dans le cadre de mes recherches, une table de travail, où je peux inscrire mes gestes et mes pensées inutiles, en plus des autres ! Et, d’arriver parfois à en faire quelque chose qui tienne debout… C’est pourquoi j’aimerais que les jeunes que nous formons comprennent ce que sont les Mathématiques, et ce qu’elles ne sont pas. 1° Qu’elles sont à l’opposé de leur réduction à des règles d’arithmétique. 2° Qu’elles ne pourront jamais être remplacées par des ordinateurs. 3° Qu’elles sont une inestimable machine à concepts. 4° Qu’elles constituent un univers à explorer qui n’attend que ses découvreurs. → Théo Héikey → 17 Rédiger un exercice mathématique, c'est ébranler le sens du monde, y disposer une interrogation indirecte, à laquelle l'auteur, par un dernier suspens, s'abstient de répondre. La réponse, c'est chacun de nous qui la donne, y apportant son histoire, son langage, sa compétence, sa liberté. Exercice VIII Soit P un plan affine euclidien orienté rapporté à un repère orthonormé direct. Déterminer l’ensemble () des points M d’affixe z du plan P vérifiant : 2 z2 – (1 + i)2 = z – (1 – i)2. Exercice IX Soit P un plan affine euclidien orienté rapporté à un repère orthonormé direct. Déterminer l’ensemble () des points M d’affixe z du plan P vérifiant : [z – (1 + i)][ z – (1 – i)] = 8 Exercice X Soit P un plan affine euclidien orienté rapporté à un repère orthonormé direct. Déterminer l’ensemble () des points M d’affixe z du plan P vérifiant : z + 3 z = (2 + i 3) z . Exercice XI Soit P un plan affine euclidien orienté rapporté à un repère orthonormé direct. Déterminer l’ensemble () des points M d’affixe z du plan P vérifiant : 2i z – 1 – i = 2 Je mesure chaque jour, ma chance d’obtenir à l’Université bruxelloise qui m’accueille dans le cadre de mes recherches, une table de travail, où je peux inscrire mes gestes et mes pensées inutiles, en plus des autres ! Et, d’arriver parfois à en faire quelque chose qui tienne debout… C’est pourquoi j’aimerais que les jeunes que nous formons comprennent ce que sont les Mathématiques, et ce qu’elles ne sont pas. 1° Qu’elles sont à l’opposé de leur réduction à des règles d’arithmétique. 2° Qu’elles ne pourront jamais être remplacées par des ordinateurs. 3° Qu’elles sont une inestimable machine à concepts. 4° Qu’elles constituent un univers à explorer qui n’attend que ses découvreurs. → Théo Héikey → 18 La beauté des équations, c'est qu'elles sont sans images et qu'elles offrent ainsi libre carrière à l'imagination. Une équation nous raconte toujours une histoire. Quand on me raconte une histoire, j'ai besoin qu'on me donne à penser, qu'on me donne l'envie de donner du sens au sens, pas qu'on m’apprenne à me servir d’une calculatrice. Exercice XII ⎯⎯→ Résoudre dans C I l’équation f(z) = 0, sachant qu’elle admet une solution réelle. f(z) = iz3 + (2i – 1) z2 – (i + 4) z + 3(2i – 1) Exercice XIII ⎯⎯→ Résoudre dans C I l’équation f(z) = 0, sachant qu’elle admet une solution réelle. f(z) = z3 – 4i z2 – (7 + 2i)z – 6 + 12i Exercice XIV ⎯⎯→ Résoudre dans C I l’équation f(z) = 0, sachant qu’elle admet une solution réelle. f(z) = 2z3 – (1 + 2i)z2 + (25i – 1)z + 13i Théo Héikey Témoignage de mon Maître de Recherches (PDF) PS. J’évite qu’il n’y ait que du gris dans la rédaction de mes cours, comme on le voit souvent ailleurs. Pour moi, au contraire, les choses sont très tranchées, très en couleur, et très sensuellement ressenties. La Mathématique depuis Pythagore jusqu’à Andrew Wiles (mon modèle), partage avec la belle science telle que je la conçois, la tâche de réveiller les âmes de l’illusion du mensonge, du dogme et de l’erreur. Plus clairement, plus nettement avec l'expérience, je ressens la justesse relative de nos chemins et le ridicule de tout ce qui n'est pas obtenu avec son propre sens, sa propre âme, qui n'est pas imprégné par l'amour. Je mesure chaque jour, ma chance d’obtenir à l’Université bruxelloise qui m’accueille dans le cadre de mes recherches, une table de travail, où je peux inscrire mes gestes et mes pensées inutiles, en plus des autres ! Et, d’arriver parfois à en faire quelque chose qui tienne debout… C’est pourquoi j’aimerais que les jeunes que nous formons comprennent ce que sont les Mathématiques, et ce qu’elles ne sont pas. 1° Qu’elles sont à l’opposé de leur réduction à des règles d’arithmétique. 2° Qu’elles ne pourront jamais être remplacées par des ordinateurs. 3° Qu’elles sont une inestimable machine à concepts. 4° Qu’elles constituent un univers à explorer qui n’attend que ses découvreurs. → Théo Héikey → 19 The only way to learn mathematics is to do mathematics La seule façon d’apprendre les Mathématiques est de faire des Mathématiques. Il y a une Mathématique simplificatrice, binaire, que d’aucuns veulent réduire à des règles d’arithmétique. Mais ce qui fonde ontologiquement la vraie Mathématique, c’est le rejet de la pensée massive. La bonne Mathématique est sans cesse en débat avec la mauvaise. À laquelle des deux allons-nous soumettre notre destin ? Qu'est-ce que la belle Mathématique sinon un débat perpétuel avec la mauvaise, une interrogation angoissée sur les ravages de l’impérialisme du calcul ? La Mathématique nous raconte des histoires pour que nous cessions de nous raconter des histoires. La Mathématique est du côté de l'imagination. L'imagination est, au contraire, cette forme de pensée qui me permettra de sortir de moi-même, de m'identifier à d'autres points de vue que les miens. Et la belle Mathématique, c'est cela : la mise en déroute du fantasme des calculs dénués de sens par l'imagination. La Mathématique a pour objet de comprendre le monde et sa valeur tient à sa force de vérité mais elle ne réduit pas les individus à des exemplaires ou à des spécimens. Elle s'intéresse aux cas particuliers et nous permet de faire notre une expérience étrangère. Je mesure chaque jour, ma chance d’obtenir à l’Université bruxelloise qui m’accueille dans le cadre de mes recherches, une table de travail, où je peux inscrire mes gestes et mes pensées inutiles, en plus des autres ! Et, d’arriver parfois à en faire quelque chose qui tienne debout… C’est pourquoi j’aimerais que les jeunes que nous formons comprennent ce que sont les Mathématiques, et ce qu’elles ne sont pas. 1° Qu’elles sont à l’opposé de leur réduction à des règles d’arithmétique. 2° Qu’elles ne pourront jamais être remplacées par des ordinateurs. 3° Qu’elles sont une inestimable machine à concepts. 4° Qu’elles constituent un univers à explorer qui n’attend que ses découvreurs. → Théo Héikey → 20 La Mathématique nous parle de l'Univers, en s’adressant directement aux hommes et aux femmes. Elle éclaire l'Histoire des idées, la vie des concepts, l’Univers, sans jamais sacrifier les individus sur l'autel de la connaissance. La Mathématique nous permet en tout cas d’accéder à une forme de connaissance qui ne sacrifie pas l’individu sur l’autel du concept. Qu’enseigne-t-on en Mathématiques ? Toujours la vivacité, la rapidité, l'allégresse, l'électricité de cette discipline, l'histoire d'amour entre les Mathématiciens et les concepts avec ses sensations savantes, la conviction qu'une renaissance par le Théorème peut advenir. Toujours le lien étroit de la théorie avec le corps du scientifique, sujet trop négligé. Toujours le rejet de ce qui relève de l’opinion, du défaitisme, du moutonnement, du confort ambiants. Toujours la quête (elle peut avoir bien des visages) d'une vérité théorique, d'une responsabilité à accepter ce qu’on ne comprend pas a priori. Si bien que, phénomène fréquent en matière de critique scientifique, chaque résolution d’une équation où d’un problème est un autoportrait. Le Mathématicien Andrew Wiles écrit que la théorie mathématique déchire le rideau de préinterprétations suspendu devant le réel. Mais ce rideau est lui-même tissé de concepts innombrables, d'où l'importance cruciale de la valeur, du jugement de goût. Toute la question est de savoir à quelle Mathématique nous voulons confier notre destin : celle qui donne du sens au sens ou celle que la tendance actuelle recouvre de ses stéréotypes excitants en la réduisant à des règles d’arithmétique ? Je mesure chaque jour, ma chance d’obtenir à l’Université bruxelloise qui m’accueille dans le cadre de mes recherches, une table de travail, où je peux inscrire mes gestes et mes pensées inutiles, en plus des autres ! Et, d’arriver parfois à en faire quelque chose qui tienne debout… C’est pourquoi j’aimerais que les jeunes que nous formons comprennent ce que sont les Mathématiques, et ce qu’elles ne sont pas. 1° Qu’elles sont à l’opposé de leur réduction à des règles d’arithmétique. 2° Qu’elles ne pourront jamais être remplacées par des ordinateurs. 3° Qu’elles sont une inestimable machine à concepts. 4° Qu’elles constituent un univers à explorer qui n’attend que ses découvreurs. → Théo Héikey → 21 C'est très difficile à dire mais si on n'accepte pas de poser la question, alors la Mathématique perd tout sens. La valeur est liée à la connaissance. Muni de ce critère, on peut, on doit hiérarchiser les œuvres mathématiques, comme on sait, en physique, faire la différence entre la masse et le poids ! En vertu de quel principe ? J’aimerais dire, en substance, que la démonstration juste doit être aussi la démonstration harmonieuse. Andrew Wiles croit à l'existence d'un lien entre beauté et vérité. Après sa belle démonstration de la Conjecture de Fermat, toute grande Mathématique repose sur cet étrange postulat. La Mathématique est, par excellence, le lieu où l'on doit apprendre à lire. Bon courage à tous pour vos révisions Théo Héikey Témoignage de mon Maître de Recherches (PDF) Je mesure chaque jour, ma chance d’obtenir à l’Université bruxelloise qui m’accueille dans le cadre de mes recherches, une table de travail, où je peux inscrire mes gestes et mes pensées inutiles, en plus des autres ! Et, d’arriver parfois à en faire quelque chose qui tienne debout… C’est pourquoi j’aimerais que les jeunes que nous formons comprennent ce que sont les Mathématiques, et ce qu’elles ne sont pas. 1° Qu’elles sont à l’opposé de leur réduction à des règles d’arithmétique. 2° Qu’elles ne pourront jamais être remplacées par des ordinateurs. 3° Qu’elles sont une inestimable machine à concepts. 4° Qu’elles constituent un univers à explorer qui n’attend que ses découvreurs. → Théo Héikey → 22