Chapitre 2 Arithmétique - PDF

Chapitre 2 ARITHMÉTIQUE Mme M.El Kyal et Mr A. Machmoum Ecole polytechnique privée d'Agadir Mme M.El Kyal et Mr A. Machmoum Chapitre 2 ARITHMÉTIQUE / 1 DIVISIBILTÉ DANS ZZ Denition Soient a, b ∈ ZZ. On dit que a divise b et on note a|b...

Chapitre 2 ARITHMÉTIQUE Mme M.El Kyal et Mr A. Machmoum Ecole polytechnique privée d'Agadir Mme M.El Kyal et Mr A. Machmoum Chapitre 2 ARITHMÉTIQUE / 1 DIVISIBILTÉ DANS ZZ Denition Soient a, b ∈ ZZ. On dit que a divise b et on note a|b s'il existe k ∈ ZZ tel que b = ka. Exemples : 7|21 ; 6|48 ; b est pair si et seulement si 2|b. Pour tout a ∈ ZZ on a a|0 et aussi 1|a. Si a|1 alors a = +1 ou a = −1. Mme M.El Kyal et Mr A. Machmoum Chapitre 2 ARITHMÉTIQUE Proposition ∀a, b ∈ ZZ on a : a | b ⇒ ((−a) | b, a | (−b), (−a) | (−b) Mme M.El Kyal et Mr A. Machmoum Chapitre 2 ARITHMÉTIQUE Proposition ∀a, b ∈ ZZ avec b 6= 0 on a : a | b ⇒| a |≤| b | Mme M.El Kyal et Mr A. Machmoum Chapitre 2 ARITHMÉTIQUE Denition Pour a ∈ ZZ. On dénit Div (a) l'ensemble des diviseurs de a et Mul(a) l'ensemble des multiples de a. Ainsi : Div (a) = {k ∈ ZZ/ k | a} Mul(a) = {ka/ k ∈ ZZ}. Exemples : Div (6) = {−6, −3, −2, −1, 1, 2, 3, 6}. Div (8) = {−8, −4, −2, −1, 1, 2, 4, 8}. Mul(6) = {0, 6, 12, 18, 24,... , −6, −12, −18, −24,...} Mme M.El Kyal et Mr A. Machmoum Chapitre 2 ARITHMÉTIQUE Proposition ∀a, b, c ∈ ZZ on a : 1 (a|b et b|a) =⇒ | a |=| b | 2 (a|b et b|c) =⇒ a|c 3 (a|b et a|c) =⇒ a|b + c 4 (a|b et c|d) =⇒ ac|bd 5 (a|b =⇒ ap |b p ∀p ∈ IN. Mme M.El Kyal et Mr A. Machmoum Chapitre 2 ARITHMÉTIQUE / 2 Dìvision euclidiène Théorème (Division euclidienne) Soit a ∈ ZZ et b ∈ IN \ {0}. Il existe des entiers q, r ∈ ZZ tels que a = bq + r et 0≤r