Suites Arithmétiques et Géométriques PDF

1 SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES I. Suites arithmétiques 1) Définition Exemple : Considérons une suite numérique (un) où la différence entre un terme et son précédent reste constante et égale à 5. Si le premier terme est égal à 3, les premiers termes successi...

1 SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES I. Suites arithmétiques 1) Définition Exemple : Considérons une suite numérique (un) où la différence entre un terme et son précédent reste constante et égale à 5. Si le premier terme est égal à 3, les premiers termes successifs sont : u0 = 3, u1 = 8, u2 = 13, u3 = 18. Une telle suite est appelée une suite arithmétique de raison 5 et de premier terme 3. ìu = 3 La suite est donc définie par : í 0. îun +1 = un + 5 Définition : Une suite (un) est une suite arithmétique s'il existe un nombre r tel que pour tout entier n, on a : un +1 = un + r. Le nombre r est appelé raison de la suite. Méthode : Démontrer si une suite est arithmétique Vidéo https://youtu.be/YCokWYcBBOk 1) La suite (un) définie par : un = 7 - 9n est-elle arithmétique ? 2) La suite (vn) définie par : vn = n2 + 3 est-elle arithmétique ? 1) un +1 - un = 7 - 9 ( n + 1) - 7 + 9n = 7 - 9n - 9 - 7 + 9n = -9. La différence entre un terme et son précédent reste constante et égale à -9. (un) est une suite arithmétique de raison -9. 2) vn +1 - vn = ( n + 1) + 3 - n 2 - 3 = n 2 + 2n + 1 + 3 - n 2 - 3 = 2n + 1. 2 La différence entre un terme et son précédent ne reste pas constante. (vn) n'est pas une suite arithmétique. Vidéo https://youtu.be/6O0KhPMHvBA Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr  2 Propriété : (un) est une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0. Pour tout entier naturel n, on a : un = u0 + nr. Démonstration : La suite arithmétique (un) de raison r et de premier terme u0 vérifie la relation un+1 = un + r. En calculant les premiers termes : u1 = u0 + r u2 = u1 + r = ( u0 + r ) + r = u0 + 2r u3 = u2 + r = ( u0 + 2r ) + r = u0 + 3r … un = un -1 + r = ( u0 + (n - 1)r ) + r = u0 + nr. Méthode : Déterminer la raison et le premier terme d'une suite arithmétique Vidéo https://youtu.be/iEuoMgBblz4 Considérons la suite arithmétique (un) tel que u5 = 7 et u9 = 19. 1) Déterminer la raison et le premier terme de la suite (un). 2) Exprimer un en fonction de n. 1) Les termes de la suite sont de la forme un = u0 + nr Ainsi u5 = u0 + 5r = 7 et u9 = u0 + 9r = 19. On soustrayant membre à membre, on obtient : 5r - 9r = 7 - 19 donc r = 3. Comme u0 + 5r = 7 , on a : u0 + 5 ´ 3 = 7 et donc : u0 = -8. 2) un = u0 + nr soit un = -8 + n ´ 3 ou encore un = 3n - 8 2) Variations Propriété : (un) est une suite arithmétique de raison r. - Si r > 0 alors la suite (un) est croissante. - Si r < 0 alors la suite (un) est décroissante. Démonstration : un+1 - un = un + r - un = r. - Si r > 0 alors un+1 - un > 0 et la suite (un) est croissante. - Si r < 0 alors un+1 - un < 0 et la suite (un) est décroissante. Exemple : Vidéo https://youtu.be/R3sHNwOb02M Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr  3 La suite arithmétique (un) définie par un = 5 - 4n est décroissante car de raison négative et égale à -4. 3) Représentation graphique Les points de la représentation graphique d'une suite arithmétique sont alignés. Exemple : On a représenté ci-dessous la suite de raison -0,5 et de premier terme 4. RÉSUMÉ (un) une suite arithmétique Exemple : - de raison r r = - 0,5 et u0 = 4 - de premier terme u0. un +1 = un - 0,5 Définition un +1 = un + r La différence entre un terme et son précédent est égale à -0,5. Propriété un = u0 + nr un = 4 - 0,5n Si r > 0 : (un) est croissante. r = - 0,5 < 0 Variations Si r < 0 : (un) est décroissante. La suite (un) est décroissante. Remarque : Représentation Les points de la représentation graphique graphique sont alignés. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr  4 II. Suites géométriques 1) Définition Exemple : Considérons une suite numérique (un) où le rapport entre un terme et son précédent reste constant et égale à 2. Si le premier terme est égal à 5, les premiers termes successifs sont : u0 = 5, u1 = 10, u2 = 20, u3 = 40. Une telle suite est appelée une suite géométrique de raison 2 et de premier terme 5. ìu = 5 La est donc définie par : í 0. îun +1 = 2un Vidéo https://youtu.be/WTmdtbQpa0c Définition : Une suite (un) est une suite géométrique s'il existe un nombre q tel que pour tout entier n, on a : un +1 = q ´ un. Le nombre q est appelé raison de la suite. Méthode : Démontrer si une suite est géométrique Vidéo https://youtu.be/YPbEHxuMaeQ La suite (un) définie par : un = 3 ´ 5n est-elle géométrique ? un +1 3 ´ 5n +1 5n +1 = = n = 5n +1- n = 5. un 3´ 5 n 5 Le rapport entre un terme et son précédent reste constant et égal à 5. (un) est une suite géométrique de raison 5 et de premier terme u0 = 3× 50 = 3. Exemple concret : On place un capital de 500€ sur un compte dont les intérêts annuels s'élèvent à 4%. Chaque année, le capital est multiplié par 1,04. Ce capital suit une progression géométrique de raison 1,04. On a ainsi : u1 = 1, 04 ´ 500 = 520 u2 = 1, 04 ´ 520 = 540,80 u3 = 1, 04 ´ 540,80 = 562, 432 De manière générale : un +1 = 1, 04 ´ un avec u0 = 500 On peut également exprimer un en fonction de n : un = 500 ´1, 04n Propriété : (un) est une suite géométrique de raison q et de premier terme u0. Pour tout entier naturel n, on a : un = u0 ´ q n. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr  5 Démonstration : La suite géométrique (un) de raison q et de premier terme u0 vérifie la relation un+1 = q ´ un. En calculant les premiers termes : u1 = q ´ u0 u2 = q ´ u1 = q ´ ( q ´ u0 ) = q 2 ´ u0 u3 = q ´ u2 = q ´ ( q 2 ´ u0 ) = q 3 ´ u0 … un = q ´ un -1 = q ´ ( q n -1u0 ) = q n ´ u0. Méthode : Déterminer la raison et le premier terme d'une suite géométrique Vidéo https://youtu.be/wUfleWpRr10 Considérons la suite géométrique (un) tel que u4 = 8 et u7 = 512. Déterminer la raison et le premier terme de la suite (un). Les termes de la suite sont de la forme un = q n ´ u0. Ainsi u4 = q 4 ´ u0 = 8 et u7 = q 7 ´ u0 = 512. u7 q 7 ´ u0 u 512 Ainsi : = 4 = q 3 et 7 = = 64 donc q 3 = 64. u4 q ´ u0 u4 8 On utilise la fonction racine troisième de la calculatrice pour trouver le nombre qui élevé au cube donne 64. Ainsi q = 3 64 = 4 1 Comme q 4 ´ u0 = 8, on a : 44 ´ u0 = 8 et donc : u0 =. 32 2) Variations Propriété : (un) est une suite géométrique de raison q et de premier terme non nul u0. Pour u0 > 0 : - Si q > 1 alors la suite (un) est croissante. - Si 0 < q < 1 alors la suite (un) est décroissante. Pour u0 < 0 : - Si q > 1 alors la suite (un) est décroissante. - Si 0 < q < 1 alors la suite (un) est croissante. Démonstration dans le cas où u0 > 0 : un+1 - un = q n+1u0 - q nu0 = u0 q n (q - 1). - Si q > 1 alors un+1 - un > 0 et la suite (un) est croissante. - Si 0 < q < 1 alors un+1 - un < 0 et la suite (un) est décroissante. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr  6 Exemple : Vidéo https://youtu.be/vLshnJqW-64 La suite géométrique (un) définie par un = -4 ´ 2 n est décroissante car le premier terme est négatif et la raison est supérieure à 1. Remarque : Si la raison q est négative alors la suite géométrique n'est pas monotone. RÉSUMÉ (un) une suite géométrique Exemple : - de raison q q = 2 et u0 = - 4 - de premier terme u0. un +1 = 2 ´ un Définition un +1 = q ´ un Le rapport entre un terme et son précédent est égal à 2. Propriété u n = u0 ´ q n un = - 4 ´ 2 n Pour u0 > 0 : Si q > 1 : (un) est croissante. Si 0 < q < 1 : (un) est décroissante. u0 = - 4 < 0 Variations q = 2 >1 Pour u0 < 0 : La suite (un) est décroissante. Si q > 1 : (un) est décroissante. Si 0 < q < 1 : (un) est croissante. Remarque : Représentation Si q < 0 : la suite géométrique graphique n'est ni croissante ni décroissante. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr  7 III. Sommes de termes consécutifs 1) Cas d'une suite arithmétique n ( n + 1) Propriété : n est un entier naturel non nul alors on a : 1 + 2 + 3 +... + n = 2 Remarque : Il s'agit de la somme des n+1 premiers termes d'une suite arithmétique de raison 1 et de premier terme 1. Démonstration : 1 + 2 + 3 + … + n-1 + n + n + n-1 + n-2 + … + 2 + 1 (n+1) + (n+1) + (n+1) + … + (n+1) + (n+1) = n x (n+1) donc : 2 ´ (1 + 2 + 3 +... + n ) = n ( n + 1) n ( n + 1) et donc : 1 + 2 + 3 +... + n =. 2 Méthode : Calculer la somme des termes d'une suite arithmétique Vidéo https://youtu.be/WeDtB9ZUTHs Vidéo https://youtu.be/iSfevWwk8e4 Calculer les sommes S1 et S2 suivantes : S1 = 1 + 2 + 3 +... + 348 S2 = 33 + 36 + 39 +... + 267 S1 = 1 + 2 + 3 +... + 348 348 ´ 349 = 2 = 60726 S 2 = 33 + 36 + 39 +... + 267 = 3 ´ (11 + 12 +... + 89 ) = 3 ´ ( (1 + 2 +... + 89 ) - (1 + 2 +... + 10 ) ) æ 89 ´ 90 10 ´11 ö = 3´ ç - ÷ è 2 2 ø = 11850 Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr  8 Une anecdote relate comment le mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss (1777 ; 1855), alors âgé de 10 ans a fait preuve d’un talent remarquable pour le calcul mental. Voulant occuper ses élèves, le professeur demande d’effectuer des additions, plus exactement d’effectuer la somme des nombres de 1 à 100. Après très peu de temps, le jeune Gauss impressionne son professeur en donnant la réponse correcte. Sa technique consiste à regrouper astucieusement les termes extrêmes par deux. Sans le savoir encore, Gauss a découvert la formule permettant de calculer la somme des termes d’une série arithmétique. 2) Cas d'une suite géométrique Propriété : n est un entier naturel non nul et q un réel différent de 1 alors on a : 1 - q n+1 1 + q + q +... + q = 2 n 1- q Remarque : Il s'agit de la somme des n premiers termes d'une suite géométrique de raison q et de premier terme 1. Démonstration : S = 1 + q + q 2 +... + q n q ´ S = q + q 2 + q 3 +... + q n+1 Ainsi : S - q ´ S = (1 + q + q 2 +... + q n ) - ( q + q 2 + q 3 +... + q n +1 ) S - q ´ S = 1 - q n +1 S ´ (1 - q ) = 1 - q n +1 1 - q n +1 S= 1- q Méthode : Calculer la somme des termes d'une suite géométrique Vidéo https://youtu.be/eSDrE1phUXY Calculer la somme S suivante : S = 1 + 3 + 32 +... + 313 S = 1 + 3 + 32 +... + 313 1 - 314 = = 2391484 1- 3 Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, même partielle, autres que celles prévues à l'article L 122-5 du code de la propriété intellectuelle, ne peut être faite de ce site sans l'autorisation expresse de l'auteur. www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr Nom du document : SuitesAG.doc Répertoire : /Users/yvanmonka/Library/Containers/com.microsoft.Wo rd/Data/Documents Modèle : Normal.dotm Titre : Sujet : Auteur : Yvan MONKA Mots clés : Commentaires : Date de création : 19/06/2011 19:25:00 N° de révision : 17 Dernier enregistr. le : 13/10/2023 14:38:00 Dernier enregistrement par : MONKA Elia Temps total d'édition : 56 Minutes Dernière impression sur : 13/10/2023 14:38:00 Tel qu'à la dernière impression Nombre de pages : 8 Nombre de mots : 1 590 (approx.) 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