Cours de Mathématiques L2 - FIP2 Mars 2022 PDF

COURS DE MATHEMATIQUES DR SESS ADIABOUAH UFR SEG, Université FHB  Intégrales généralisées Equations différentielles ordinaires PLAN ECUE1 Dr S...

COURS DE MATHEMATIQUES DR SESS ADIABOUAH UFR SEG, Université FHB  Intégrales généralisées Equations différentielles ordinaires PLAN ECUE1 Dr Sess Adiabouah - Université Félix Houphouët Boigny (Abidjan, CI) 2  INTEGRALES GENERALISEES Dr Sess Adiabouah - Université Félix Houphouët Boigny (Abidjan, CI) 3  Intégrales généralisées ? Dr Sess Adiabouah - Université Félix Houphouët Boigny (Abidjan, CI) 4  CONVERGENCE (1) ( ) Exemples : ; Dr Sess Adiabouah - Université Félix Houphouët Boigny (Abidjan, CI) 5  CONVERGENCE (2) Exercices : ; Dr Sess Adiabouah - Université Félix Houphouët Boigny (Abidjan, CI) 6  CONVERGENCE (3) Dr Sess Adiabouah - Université Félix Houphouët Boigny (Abidjan, CI) 7  CONVERGENCE (4) Exercice : Dr Sess Adiabouah - Université Félix Houphouët Boigny (Abidjan, CI) 8  INTEGRALE DE RIEMAN Dr Sess Adiabouah - Université Félix Houphouët Boigny (Abidjan, CI) 9  AUTRES THEOREMES Soit une intégrale 𝐼 = ∫ 𝑟 𝑑𝑥 , avec 𝑟 > 0 alors : - 𝐼 converge si seulement si 𝑟 < 1 ; - 𝐼 diverge si seulement si 𝑟 ≥ 1. Dr Sess Adiabouah - Université Félix Houphouët Boigny (Abidjan, CI) 10  - Soit 𝑓 et 𝑔 sont deux fonctions telles que 0 ≤ 𝑓 𝑥 ≤ 𝑔 𝑥 , ∀𝑥 ∈ 𝑎, +∞. Les deux fonctions sont continues sur 𝑎, +∞. Si ∫ 𝑔 𝑡 𝑑𝑡 converge, alors ∫ 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 converge. Si ∫ 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 diverge, alors ∫ 𝑔 𝑡 𝑑𝑡 diverge. - Si au voisinage de +∞ 𝑓 𝑥 ~𝑔 𝑥 , alors ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑒𝑡 ∫ 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 sont de même nature. Il en est de même pour les autres types d’intégrales au voisinage Propriétés d’un point. - ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑒𝑡 ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 sont de même nature si 𝑎 < 𝑏. - La somme de 2 intégrales convergentes est convergente. La somme d’une intégrale convergente et d’une intégrale divergente est divergente. Dr Sess Adiabouah - Université Félix Houphouët Boigny (Abidjan, CI) 11  Exercices Suggestions d’exercices : Donner la nature des intégrales : ; Calculer l’intégrale : Dr Sess Adiabouah - Université Félix Houphouët Boigny (Abidjan, CI) 12  INTEGRALES MULTIPLES Dr Sess Adiabouah - Université Félix Houphouët Boigny (Abidjan, CI) 13  Comment calculer une intégrale double ? Méthodes de calcul - Intégration par rapport à 𝑦 (𝑥 étant fixé) - Intégration par rapport à 𝑥 (𝑦 étant fixé) - Passage en coordonnées polaires Dr Sess Adiabouah - Université Félix Houphouët Boigny (Abidjan, CI) 14  METHODE DE CALCUL (1) Méthode 1 : Intégrons d’abord par rapport à 𝑦 (𝑥 étant fixé) Soit l’intégrale double , avec l’ensemble ou le domaine d’intégration. Nous intégrons par rapport à ( étant fixé), puis nous intégrons par rapport à. Alors, pour fixé entre et , 0000000000000000000000000000000000000000000 varie de à Avec l’ensemble des points appartenant à D d’abscisse commun et d’ordonnée tel que. D’où : Exemple : I = ∬ f x, y dxdy, avec f x, y = 𝑥(𝑦 + 1) et D = 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ⁄ 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0 ; 𝑥 + 𝑦 ≤ 1 Dr Sess Adiabouah - Université Félix Houphouët Boigny (Abidjan, CI) 15  METHODE DE CALCUL (2) Méthode 2 : Intégrons d’abord par rapport à 𝑥 (𝑦 étant fixé) Soit l’intégrale double , avec l’ensemble ou le domaine d’intégration. Nous intégrons par rapport à ( étant fixé), puis nous intégrons par rapport à. Alors, pour fixé entre et , varie de à Avec l’ensemble des points appartenant à D dont l’ordonnée est commun et l’abscisse est tel que D’où : Exemple : , avec et Dr Sess Adiabouah - Université Félix Houphouët Boigny (Abidjan, CI) 16  METHODE DE CALCUL (3) Méthode 3 : le passage en coordonnées polaires Cette méthode peut être utilisée quand est un cercle ou un morceau de cercle. Soit un cercle de rayon et de centre. On pose le changement de variables suivant :. Dans ces conditions, est le nouvel ensemble d’intégration de l’intégrale double ayant pour variables et. Exemple : , avec et Dr Sess Adiabouah - Université Félix Houphouët Boigny (Abidjan, CI) 17  METHODE DE CALCUL (3 suite) Méthode 3 : le passage en coordonnées polaires , avec le Jacobien Exemple : I = ∬ f x, y dxdy, avec et D = 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ⁄ 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0 ; 𝑥 + 𝑦 ≤ 1 Dr Sess Adiabouah - Université Félix Houphouët Boigny (Abidjan, CI) 18  Si et sont intégrables sur (l’ensemble ou le domaine d’intégration) de , alors : est intégrable sur. et sont intégrables sur. est intégrable sur. Propriétés et sont intégrables sur. Dr Sess Adiabouah - Université Félix Houphouët Boigny (Abidjan, CI) 19 EQUATIONS DIFFERENTIELLES ORDINAIRES Dr Sess Adiabouah - Université Félix Houphouët Boigny (Abidjan, CI) 20  Equations Différentielles Ordinaires (EDO) Une équation différentielle ordinaire est une égalité contenant une variable , une fonction ( ) inconnue de et les dérivées de. L’ordre de l’équation différentielle est l’ordre le plus élevé des dérivées de contenues dans la relation. Exemples : ; 𝑥 − 4𝑥 + 4𝑥 = 𝑡𝑒. Dr Sess Adiabouah - Université Félix Houphouët Boigny (Abidjan, CI) 21  Equations différentielles linéaires d’ordre 1 Forme : , où : et sont des fonctions en t, sur un intervalle I. Résolution de l’équation homogène associée : ; Solution homogène , Solution particulière avec Solution générale : Dr Sess Adiabouah - Université Félix Houphouët Boigny (Abidjan, CI) 22  Equations différentielles linéaires d’ordre 1 (suite) Exercice corrigé : 𝑡𝑦 + 2𝑡 − 3 𝑦 − 4𝑡 = 0 L’équation devient : 𝑡𝑦 + 2𝑡 − 3 𝑦 = 4𝑡 (1) Equation homogène associée : 𝑡𝑦 + 2𝑡 − 3 𝑦 = 0 (2) 𝑡 = (3 − 2𝑡)𝑦 ; = − 2 𝑑𝑡 ; ∫ = ∫ 𝑑𝑡 - ∫ 2𝑑𝑡 𝐿𝑛𝑦 = 𝐿𝑛 𝑡 − 2𝑡 + 𝑐. Posons 𝑐 = 𝐿𝑛 𝐾 ⇒ 𝐿𝑛 = −2𝑡 Solution homogène 𝑦 = 𝐾𝑡 𝑒 ;𝐻 𝑡 = 𝑡 𝑒 Solution particulière 𝑦 = 𝐾 𝐻 𝑡 avec 𝐾 =∫ 𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝑡 = 2𝑒 (ici, la constante d’intégration est égale à 0. puisque nous recherchons simplement une solution particulière). Solution générale : 𝑦 = 𝑦 + 𝑦 = 𝑡 𝐾𝑒 +2 Dr Sess Adiabouah - Université Félix Houphouët Boigny (Abidjan, CI) 23  EQUATION DE BERNOUILLI Forme : , où : et sont des fonctions continues en t, sur un intervalle I. avec , on divise (1) par Changement de variable : posons On obtient : On sait résoudre cette équation différentielle linéaire en U. On obtient une solution et on en tire y. Exemple : Dr Sess Adiabouah - Université Félix Houphouët Boigny (Abidjan, CI) 24  Equation de Bernouilli : exercice corrigé Exercice corrigé : Ici, , on divise (1) par => Changement de variable : = L’équation (2) devient : ou (3) (3) est l’équation différentielle linéaire en U résolue dans l’exercice précédent. or D’où Dr Sess Adiabouah - Université Félix Houphouët Boigny (Abidjan, CI) 25  EQUATION DE RICATTI Forme : , où : et sont des fonctions continues en t, sur un intervalle I. Déterminer une solution particulière. Posons (1) Devient une équation de Bernoulli : qu’on sait résoudre. Dr Sess Adiabouah - Université Félix Houphouët Boigny (Abidjan, CI) 26  Equation de Ricatti : exercice corrigé Exercice corrigé : Vérifier est une solution particulière puis résoudre (1). et est bien une solution particulière de (1). Posons On en déduit et , l’équation (1) devient : (2) (1) devient une équation de Bernoulli qu’on sait résoudre. Elle correspond à l’équation de l’exercice précédent. On en déduit que D’où Dr Sess Adiabouah - Université Félix Houphouët Boigny (Abidjan, CI) 27 EQUATIONS DIFFERENTIELLES D’ORDRE 2 Dr Sess Adiabouah - Université Félix Houphouët Boigny (Abidjan, CI) 28  EQUATION A COEFFICIENTS CONSTANTS (1) Forme : Où sont constants par rapport à t. Equation homogène associée : Equation caractéristique de (2) : Soit Si , et , la solution de (2) est Si , , la solution de (2) est Si , la solution est avec et qui sont des nombres complexes. Dr Sess Adiabouah - Université Félix Houphouët Boigny (Abidjan, CI) 29  EQUATION A COEFFICIENTS CONSTANTS (2) Recherche d’une solution particulière de l’équation (1) Supposons et o Si n’est pas racine de l’équation caractéristique (2), une solution particulière de (1) relative à ) est de la forme où est un polynôme tel que o Si est racine simple de (2), une solution particulière de (1) relative à ) est de la forme où est un polynôme tel que o Si est racine double de (2), une solution particulière de (1) relative à ) est de la forme où est un polynôme tel que Solution générale Dr Sess Adiabouah - Université Félix Houphouët Boigny (Abidjan, CI) 30  Exercice corrigé Exercice corrigé : −2𝑦′ + 𝑦 + 𝑦 = 𝑡 + 1 1 Equation homogène associée : −2𝑦′ +𝑦 + 𝑦 = 0 (2) Equation caractéristique de (2) : −2𝑟 + 𝑟 + 1 = 0 (3) (3) admet deux racines : 𝑟 = 1 et 𝑟 = − 𝑦 =𝑐 𝑒 +𝑐 𝑒 Solution particulière 𝑑 𝑡 = 𝑡 + 1 et 𝑑 𝑡 = 𝑃 𝑡 𝑒 = (𝑡 + 1) 𝑒 , avec 𝛼 = 0 Comme 0 n’est pas racine de (3), 𝑦 = 𝑞 𝑡 𝑒 = 𝑞 𝑡 où 𝑞(𝑡) est un polynôme tel que deg 𝑞 𝑡 = deg 𝑃 𝑡 = 2 = deg[𝑦 ]. 𝑦 = 𝑎𝑡 + 𝑏𝑡 + 𝑐. On en déduit 𝑦 et 𝑦. Alors (1) devient : −2 2𝑎 + 2𝑎𝑡 + 𝑏 + 𝑎𝑡 + 𝑏𝑡 + 𝑐 = 𝑡 + 1 𝑦 = 𝑡 − 2𝑡 + 7 𝑦 = 𝑡 − 2𝑡 + 7 + 𝑐 𝑒 + 𝑐 𝑒 Dr Sess Adiabouah - Université Félix Houphouët Boigny (Abidjan, CI) 31  Exercices Exercices : b Dr Sess Adiabouah - Université Félix Houphouët Boigny (Abidjan, CI) 32  Séries numériques Suites et series de fonctions PLAN ECUE 2 Dr Sess Adiabouah - Université Félix Houphouët Boigny (Abidjan, CI) 33  SERIES NUMERIQUES Dr Sess Adiabouah - Université Félix Houphouët Boigny (Abidjan, CI) 34  Séries numériques ? Peut-on donner un sens à une somme d'un nombre infini de termes ? On appelle série numérique dans ℂ ou ℝ le couple 𝑈 ∈ℕ , 𝑆 ∈ℕ où 𝑈 ∈ℕ est une suite numérique et 𝑆 ∈ℕ est une suite numérique définie par : (𝑆 ) = 𝑆 , 𝑆 , … , 𝑆 , … = 𝑈 , 𝑈 + 𝑈 , …0, 𝑈 + 𝑈 + ⋯ + 𝑈 , …. La série est notée ∑ 𝑈. Le terme 𝑈 est appelé le 𝑛 è terme de la série ou terme général de la série et Sn est appelée la 𝑛 è somme partielle de la série. Dr Sess Adiabouah - Université Félix Houphouët Boigny (Abidjan, CI) 35  GENERALITES (1) Une série ∑ 𝑈 est dite convergente si la suite 𝑆 ∈ℕ est convergente (admet une limite finie lorsque 𝑛 tend vers l’infini). Si une série converge alors sa limite est notée 𝑆 et 𝑆 = lim ∑ 𝑈. La → série diverge si la limite de 𝑆 ∈ℕ n’est pas finie ou n’existe pas. = lim ∑ 𝑈. La série diverge si la limite de 𝑆 ∈ℕ n’est pas finie ou n’existe pas. → Condition nécessaire de convergence d’une série Pour que la série ∑ 𝑈 converge, il faut que le terme général 𝑈 tende vers 0 quand n tend vers l’infini. (La réciproque n’est pas nécessairement vraie). Dr Sess Adiabouah - Université Félix Houphouët Boigny (Abidjan, CI) 36  GENERALITE (2) (Convergence absolue d’une série). On dit que la série ∑ 𝑈 est absolument convergente, lorsque la série ∑ 𝑈 est convergente. Alors la série ∑ 𝑈 converge. Dr Sess Adiabouah - Université Félix Houphouët Boigny (Abidjan, CI) 37  - La nature (convergente ou divergente) d’une série ne change pas si l’on supprime ou si modifie un nombre fini de termes. - Si la série ∑ 𝑈 est convergente et a pour somme 𝑆 et si la série ∑ 𝑉 est convergente et a pour somme 𝑇, alors la série ∑ 𝑈 + 𝑉 est convergente et a pour somme 𝑆 + 𝑇. Propriétés - Si la série ∑ 𝑈 converge et la série ∑ 𝑉 diverge, alors la série ∑ 𝑈 + 𝑉 diverge. On ne peut rien dire de la somme de deux séries divergentes. - Pour 𝜆 ≠ 0, si la série ∑ 𝑈 est convergente (resp. divergente) et a pour somme 𝑆, alors la série ∑ 𝜆𝑈 est convergente (resp. divergente) et a pour somme 𝜆𝑆. Dr Sess Adiabouah - Université Félix Houphouët Boigny (Abidjan, CI) 38  SERIES REELLES A TERMES POSITIFS (1) Une série est dite à termes positifs si tous ses termes sont positifs à partir d’un certain rang. Elle converge si et seulement si l’ensemble des sommes partielles 𝑆 est majorée. (Comparaison et équivalence). Soient ∑ 𝑈 et ∑ 𝑉 deux séries réelles à termes positifs telles que pour tout 𝑛 ∈ ℕ, 𝑈 ≤ 𝑉. Alors, si la série ∑ 𝑈 diverge, la série ∑ 𝑉 diverge et si la série ∑ 𝑉 converge, la série ∑ 𝑈 converge. Si 𝑈 et 𝑉 sont équivalents quand 𝑛 tend vers +∞ , alors les séries ∑ 𝑈 et ∑ 𝑉 sont de même nature. Dr Sess Adiabouah - Université Félix Houphouët Boigny (Abidjan, CI) 39  SERIES REELLES A TERMES POSITIFS (2) Règle d’Alembert Si lim existe et est égale à 𝑘, alors : → - Si 𝑘 < 1, la série converge - Si 𝑘 > 1, la série diverge - Si 𝑘 = 1, on ne peut pas conclure. Critère de Cauchy Si lim 𝑈 existe et est égale à 𝑘, alors : → - Si 𝑘 < 1, la série converge - Si 𝑘 > 1, la série diverge - Si 𝑘 = 1, on ne peut pas conclure. Dr Sess Adiabouah - Université Félix Houphouët Boigny (Abidjan, CI) 40  SERIES REELLES A TERMES POSITIFS (3) Comparaison avec une intégrale Si 𝑈 = 𝑓 𝑛 , avec 𝑓 qui est une fonction positive décroissante sur un intervalle 𝑎, +∞ (où 𝑎 > 0), alors la série ∑ 𝑈 est de même nature que l’intégrale. ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥. Séries de référence : La série harmonique ∑ est divergente. La série de Riemann ∑ converge si α > 1. La série de Bertrand ∑ ( ) - converge si α > 1; - diverge si α < 1; - si α = 1, elle converge si et seulement si β > 1. Dr Sess Adiabouah - Université Félix Houphouët Boigny (Abidjan, CI) 41  SERIES ALTERNEES Une série alternée est une série dont les termes sont alternativement positifs et négatifs. La série ∑ 𝑈 est une série alternée si 𝑈 = −1 𝑎 avec 𝑎 ≥ 0. Nature d’une série alternée La série alternée ∑ 𝑈 converge si 𝑈 décroit et tend vers 0 quand n → +∞. Dr Sess Adiabouah - Université Félix Houphouët Boigny (Abidjan, CI) 42  Exercices Suggestion d’Exercices : 1) Déterminer la nature des séries suivantes ∶ ∑ 𝑈 avec 𝑈 = −1 ; ∑ 𝑉 avec 𝑉 = −1 ;∑ 𝑈 +𝑉. 2) Déterminer la nature ∑ 𝑈 = ∑ 𝑞 selon la valeur de 𝑞. Donner la nature des séries : 3) ∑ ; 4) ∑ ; 5) ∑ −1 ; 6) ∑ et 7) ∑. ! Dr Sess Adiabouah - Université Félix Houphouët Boigny (Abidjan, CI) 43  SUITES DE FONCTIONS SERIES DE FONCTIONS Dr Sess Adiabouah - Université Félix Houphouët Boigny (Abidjan, CI) 44  Soit l’ensemble des fonctions numériques définies sur une partie 𝐼 de ℝ. Pour tout 𝑛 ∈ ℕ, on associe la fonction 𝑓 de ℝ. On note alors la suite 𝒇𝒏 𝒏∈ℕ de fonctions définies sur 𝐼. 𝑓 ∶ 𝐼 → ℝ. 0 Soit une série ∑ 𝑓 dont le terme général est 𝑓 définie sur 𝐼. ∑ 𝑓 est appelée une série de fonctions. Dr Sess Adiabouah - Université Félix Houphouët Boigny (Abidjan, CI) 45  SUITES DE FONCTIONS (1) Une suite 𝑓 de fonction, définies sur 𝐼, converge simplement vers une fonction 𝑓 définie sur 𝐼 si : ∀ 𝑥 ∈ 𝐼, lim 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑥). → La suite 𝑓 converge uniformément vers la fonction 𝑓 définie sur 𝐼 si : lim 𝑑(𝑓. 𝑓) = 0. → Avec 𝑑(𝑓, 𝑔) = 𝑆𝑢𝑝 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) , où 𝑓 et 𝑔 sont des fonctions numériques bornées appartenant à ℝ. Si la suite de fonction converge uniformément vers 𝑓, alors elle converge simplement vers 𝑓. (La réciproque n’est pas vraie). Exercices : Etudier la convergence simple et uniforme conergence normale pour la suite 2 des suites ∶ 1) sur 0,1 ; 2) sur 0,1. Dr Sess Adiabouah - Université Félix Houphouët Boigny (Abidjan, CI) 46  SUITES DE FONCTIONS (2) Si la suite 𝑓 de fonctions continues sur 𝐼 converge uniformément vers la fonction 𝑓, alors 𝑓 est continue sur 𝐼. La suite (𝑓 ) converge uniformément, sur tout segment : 𝛼, 𝛽 ⊂ 𝐼 , vers la fonction 𝑓, définie sur I, alors 𝑓 est continue sur 𝐼. Soit la suite (𝑓 ) une suite de fonctions dérivables sur 𝐼. S’il existe 𝑥 ∈ 𝐼 tel que la suite numérique (𝑓 ( 𝑥 )) soit convergente et si la suite (𝑓 ) converge uniformément sur 𝐼, alors sa limite 𝑓 est dérivable sur 𝐼 et on a : lim 𝑓 𝑥 = 𝑓′(𝑥). → Dr Sess Adiabouah - Université Félix Houphouët Boigny (Abidjan, CI) 47  SERIES DE FONCTIONS (1) La série ∑ 𝑓 converge simplement si la suite 𝑆 converge simplement. 𝑆 = ∑ 𝑓. Dans ce cas lim 𝑆 = 𝑆. → La série ∑ 𝑓 converge uniformément si la suite 𝑆 converge uniformement. La série ∑ 𝑓 converge absolument si la série ∑ 𝑓 est simplement convergente. La série ∑ 𝑓 converge normalement s’il existe une série convergente ∑ 𝑈 telle que 𝑓 (𝑥) ≤ 𝑈 , pour tout 𝑛 ∈ ℕ et pour tout 𝑥 ∈ 𝐼. Une série normalement convergente est absolument convergente, simplement convergente. Exercices : Etudier la convergence simple et uniforme des suites ci − après ∶ 3) ∑ 𝑥 sur 0,1 ; 4) ∑ 𝑓 𝑜ù 𝑓 = sur 0, +∞. Dr Sess Adiabouah - Université Félix Houphouët Boigny (Abidjan, CI) 48  SERIES DE FONCTIONS (2) Continuité. Soit ∑ 𝑓 une série de fonctions continues. Si ∑ 𝑓 converge uniformément, alors la somme 𝑆 de la série est continue.  Si 𝑆 𝑥 = ∑ 𝑓 𝑥 , alors 𝑆 est continue. Intégration. Si une série de fonctions continues ∑ 𝑓 converge uniformément et a pour somme 𝑆, alors la série ∑ 𝑓 où 𝐹 𝑥 = ∫ 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 , 𝑎 ∈ 𝐼, converge uniformément et a pour somme 𝑇(𝑥) avec 𝑇 𝑥 = ∫ 𝑆 𝑡 𝑑𝑡. Dr Sess Adiabouah - Université Félix Houphouët Boigny (Abidjan, CI) 49 THE END ! DR SESS ADIABOUAH UFR SEG, Université FHB