Aide Math Cours PDF

Soit une surface S paramétrée par M (u, v) = x(u, v), y(u, v), z(u, v) on peut calculer le flux avec !! !! ωM ωM !! εM εM !! ωu →...

Soit une surface S paramétrée par M (u, v) = x(u, v), y(u, v), z(u, v) on peut calculer le flux avec !! !! ωM ωM !! εM εM !! ωu → ! dω := !!! → !! n = !! ωM ωv !! εu εv !! !! ωu → ωM !! ωv "" ou directement par le tiré en arrière de S ↑ϑV A.3 Théorème de Stokes Soit un domaine D et son bord εD # # dϑ = ϑ D ωD A.3.1 Formule de Green-Riemann (R2 ) Si S est une surface de R2 bordée par une courbe C et V = (vx dx + vy ) est un champ de vecteurs, de 1-forme associée ϑV = vx dx + vy dy, on a montré que d(ϑV ) = rot(V)dx ↓ dy donc ## $ d(ϑV ) = ϑV S C donc la Formule de Green-Riemann dit que $ ## travailVC := ϑV = rot(V)dx ↓ dy C S Rappelez vous que rot(V) n’a pas beaucoup de sens dans R2... A.3.2 Formule de Stokes-Ampère (R3 ) Si S est une surface de R3 bordée par une courbe C et V = (vx , vy , vz ) est un champ de vecteurs, de 1-forme associée ϑV = vx dx + vy dy + vz dz, on a montré que d(ϑV ) = ↑ϑrotV ↔ !2 est une 2-forme de flux associée au champs de vecteurs donc ## $ d(ϑV ) = ϑV S C donc la Formule de Stokes-Ampère dit que $ ## travailVC := ϑV = ↑ϑrotV =: flux(rot(V)) C S A.3.3 Formule de Stokes-Ostrogradsky (R3 ) Si V est un volume bordé par une surface S dans R3 et V = (vx , vy , vz ) est un champ de vecteurs, de 2-forme de flux associée ↑ϑV , on a montré que d(↑ϑV ) = div(V)dx ↓ dy ↓ dz donc on a ### ## d(↑ϑV ) = ↑ϑV V S la formule de Stokes-Ostrogradsky dit que ## ### fluxVS := ↑ϑV = div(V)dx ↓ dy ↓ dz S V "" le flux du champ de vecteurs V à travers la surface S ( S V ndS) est égal à l’intégrale de sa divergence sur le volume V 5  CHANGEMENT DE VARIABLES - RÉVISIONS J-M FULLANA 1. En utilisant le déterminant Jacobien Supposons que nous voulons intégrer la fonction f (x, y) = yx sur un quart de cercle en coordonnées cartésiennes, on doit écrire Z 1 Z p 1 x2 (1) I= xydxdy 0 0 Le changement de coordonnées permet d’écrire cette intégrale dans un autre système d’une manière en général plus simple. Avec le théorème du cours Theorème 1.1. Soit : P ! un changement de variable entre deux domaines P et 2 R2 comme dans la section précédente, et f une fonction sur. Nous avons alors ZZ ZZ f (x, y)dxdy = f ( (u, v))| det(D (u, v))|dudv P Le déterminant qui apparaît dans la formule est appelé déterminant Jacobien. Alors ✓ ◆ ✓ ◆ ✓ ◆ r x(r, ✓) r cos(✓) 7 ! = ✓ y(r, ✓) r sin(✓) alors ✓ ◆ cos(✓) r sin(✓) | det D (r, ✓) = =r sin(✓) r cos(✓) et donc dxdy = rdrd✓. Finalement Z p 1Z 1 x2 I= xydxdy 0 0 Z ⇡/2 Z 1 I= r cos(✓)r sin(✓)rdrd✓ 0 0 Z ⇡/2 Z 1 I= r3 cos(✓) sin(✓)drd✓ 0 0 1 2 J-M FULLANA Dans R3 Theorème 1.2. Soit : P ! un changement de variable entre deux domaines P et 2 R3 comme dans la section précédente, et f une fonction sur. Nous avons alors ZZ ZZ f (x, y, z)dxdydz = f ( (u, v, w))| det(D (u, v, w))|dudvdw P la matrice Jacobienne de la transformation est 0 @u @u @u 1 @x @y @z B @v @v @v C D =@ @x @y @z A @w @w @w @x @y @z La transformation des coordonnées cartésiennes vers des coordonnées cylindres est : (r, ✓, z) 7! (r cos(✓), r sin(✓), z) donc la matrice Jacobienne de la transformation cos(✓) r sin(✓) 0 det(D ) = sin(✓) r cos(✓) 0 =r 0 0 1 et l’élément de volume devient dxdydz = rdrd✓dz Le calcul du volume d’un cylindre de rayon R et hauteur H est ZZZ Z H Z 2⇡ Z R dxdydz = rdrd✓dz P 0 0 0 soit V = ⇡R2 H beaucoup plus simple à calculer qu’en coordonnées cartésiennes. Exercices En utilisant les coordonnées polaire faire le changement de variables a) ZZZ (x2 + y 2 )dxdy D b) ZZZ p x2 + y 2 dxdy D c) ZZZ xy 2 dxdy D En utilisant les coordonnées cylindriques faire le changement de variables  CHANGEMENT DE VARIABLES - RÉVISIONS 3 a) ZZZ (x2 + y 2 )dxdydz D b) ZZZ p x2 + y 2 dxdydz D c) ZZZ xzdxdydz D En utilisant les coordonnées sphériques faire le changement de variables a) ZZZ (x2 + y 2 + z 2 )dxdydz D b) ZZZ (x2 + y 2 )dxdydz D c) ZZZ y 2 dxdydz D 2. En utilisant les formes différentielles On sait que si l’on veut faire un changement de variables sur une surface on doit utiliser la matrice Jacobienne car Z Z dxdy = |J| dudv. On va essayer de le faire pas à pas, d’abord on calcule les différentielles dx et dy, soit @x @x dx = du + dv @u @v @y @y dy = du + dv @u @v et après on faire le produit dxdy donc @x @y 2 @x @y 2 dxdy = du + dv +... @u @u @v @v Déjà sans terminer le calcul on se rend compte que nous n’avons pas |J| dudv... cela veut dire que le produit que nous avons rencontré, dxdy ce n’est pas un produit entre différentielles classique, en réalité nous aurions du écrire Z Z dx ^ dy = |J| du ^ dv Nous avons utilisé le produit extérieur ou ^ qui est un produit antisymétrique entre formes différentielles qui suit les règles du produit vectoriel 4 J-M FULLANA — dx ^ dy = dy ^ dx — donc dx ^ dx = dy ^ dy = 0 Maintenant ✓ ◆ @x @y @x @y dx ^ dy = du ^ dv @u @v @v @u car du ^ du = dv ^ dv = 0 et on peut vérifier que le terme entre parenthèses est bien J. Donc en utilisant le calcul extérieur (1) montrez que pour des coordonnés polaires dx ^ dy = Jdr ^ d✓ avec J = r comme calculé auparavant. (2) faites de même pour des coordonnées cylindriques et sphériques (3) ré-écrivez les problèmes du point précédent.  COURBES PARAMÉTRIQUES - RÉVISIONS J-M FULLANA 1. Exemple avec théorie Pour M (t) = ((t2 , t3 )) tracer la courbe, calculer le vecteur vitesse et donner la droite tangent en t0 = 1. Donner un graphe (y = f (x)) où il soit possible. (1) Trace la courbe : il s’agit de donner des valeur à t, par exemple -2,-1,0,1,2... etc et trouver les valeurs de x et y Figure 1. Courbe M (t) = ((t2 , t3 )). (2) vecteur vitesse Definition 1.1 (Vitesse). Le vecteur vitesse d’une courbe M (t) = (x(t), y(t)) du plan (ou d’une courbe M (t) = (x(t), y(t), z(t)) de l’espace) sest le vecteur des dérivées ~ (t) = x0 (t), y 0 (t) V 1 2 J-M FULLANA ~ (t) = (x0 (t), y 0 (t), z 0 (t)) 2 R3 ) ou (V donc ~ (t) = x0 (t), y 0 (t) = 2t, 3t2 V (3) droite tangente Definition 1.2 (Droite tangente). Si M (t0 ) est un point ordinaire d’une courbe pa- ramétrée, la droite paramétrée ~ (t0 ) T (t) = M (t0 ) + t · V est appelée tangente de la courbe au point M (t0 ). Si M (t) = (x(t), y(t)) Tx (t) = x(t0 ) + x0 (t0 )t Ty (t) = y(t0 ) + y 0 (t0 )t Dans R3 Tx (t) = x(t0 ) + x0 (t0 )t Ty (t) = y(t0 ) + y 0 (t0 )t Tz (t) = z(t0 ) + z 0 (t0 )t donc M (1) = (1, 1) [ ~ (1) = (2, 3) V nous avons Tx (t) = 1 + 2t Ty (t) = 1 + 3t Si l’on demande la droite tangente en coordonnées cartésiennes il faut éliminer le paramètre t des équation précédentes : x = 1 + 2t y = 1 + 3t alors 3x = 3 + 6t 2y = 2 + 6t et nous avons 2y 3x = 1 soit y = 3/2x 1/2  COURBES PARAMÉTRIQUES - RÉVISIONS 3 (4) graphe de la fonction : il s’agit de donner y = f (x) à partir de la courbe paramétrée M (t) M (t) = ((t2 , t3 )) soit x = t2 y = t3 alors x1/2 = t y 1/3 = t et y 1/3 = x1/2 soit y = x3/2  INTÉGRATION - RÉVISIONS J-M FULLANA 1. Exemple avec théorie Theorème 1.1 (Intégration par parties). Pour u et v dérivables de dérivées continues, nous avons Z b Z b b udv = [uv]a vdu a a Démonstration : La formule fondamentale du calcul différentiel et intégral appliquée à F = uv nous donne Z b Z b Z b b [uv]a = (uv)(b) (uv)(a) = d(uv) = udv + vdu a a a donc Z Z b udv = [uv]ba vdu a Examples R1 (1) 0 xex dx u = x , dv = ex dx du = dx , v = ex donc Z 1 Z 1 x xe dx =[xex ]10 ex dx 0 0 Z 1 xex dx = 0 e1 [ex ]10 = 1 R ⇡/2 (2) 0 x cos xdx. On pose u(x) = x ) du(x) = 1 v(x) = sin x (= dv(x) = cos x donc Z ⇡/2 ⇡/2 ⇡ I = [x sin x]0 sin xdx = 1 0 2 1 2 J-M FULLANA Theorème 1.2 (Intégration par changement de variables). Si '(↵) est une fonction déri- vable nous pouvons écrire Z '( ) Z f (')d' = f ('(t))'0 (t)dt '(↵) ↵ c’est à dire que la valeur de l’intégrale ne change pas lorsque qu’on change les variables avec x comme une fonction. Examples Re (ln t)2 (1) Pour 1 u du, on pose u(t) = et , donc du = et dt alors Z e Z 1 2 t (ln u)2 t e du = dt = 1 u 0 et Z 1  3 1 2 t 1 t dt = = 0 3 0 3 R1p (2) 0 1 u2 du on pose u(t) = sin(t), et donc du = u0 (t)dt = cos(t)dt Z 1p Z ⇡/2 p Z ⇡/2 2 1 u du = 2 1 sin t cos(t)dt = cos2 (t)dt 0 0 0 Z 1p Z ⇡/2 1 + cos(2t) ⇡ 1 u2 du = dt = 0 0 2 4 R1p (3) 0 1 u2 du on pose u(t) = sin(t), et donc du = u0 (t)dt = cos(t)dt Z 1p Z ⇡/2 p Z ⇡/2 2 1 u du = 2 1 sin t cos(t)dt = cos2 (t)dt 0 0 0 Z 1p Z ⇡/2 1 + cos(2t) ⇡ 1 u2 du = dt = 0 0 2 4 Remarques — Attention avec le changement des bornes des intégrales ! ! — des relations utiles 1 + cos(2t) cos2 (t) = 2 1 cos(2t) sin2 (t) = 2 sin(2t) = 2 sin(t) cos(t)  PARAMÉTIRSATION - RÉVISIONS J-M FULLANA 1. Exemple avec théorie Definition 1.1 (Paramétrisation). La paramétrisation la plus naturelle pour une équation explicite y = f (x) est x=t (1) Soit x2 + y 2 = 1, l’équation explicite est p y= 1 x2 dont la paramétrisation naturelle est p (t) = ( 1 t2 , t) pour t 2 [ 1 : 1]. (2) soit y = x3 la paramétrisation naturelle est (t) = (t3 , t) 8t Definition 1.2 (Surfaces paramétrèes). Soit un domaine de R2 , une surface S est donné par la fonction M: ! R3 (u, v) 7! M (u, v) := (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) que l’on suppose définie. La paramétrisation naturelle est remplacer u = x, y = v et z = f (u, v). p (1) Soit le 1/8 de sphère z = 1 y 2 x2 pour x 2 [0, 1] et x 2 [0, 1]. La paramétrisation naturelle est u = x, y = v et donc p M (u, v) = (u, v, 1 v 2 u2 ) 1 2 J-M FULLANA Alors les vecteurs tangents sont ! ✓ ◆ ⇣ p ⌘ @M @x @y @z = , , = 1, 0, u/ 1 v 2 u2 @u @u @u @u ! ✓ ◆ ⇣ p ⌘ @M @x @y @z = , , = 0, 1, v/ 1 v 2 u2 @v @v @v @v et le vecteur m ✓ ◆ u v m= p , p ,1 u2 v 2 + 1 u2 v 2 + 1  FORMES FERMÉES - RÉVISIONS J-M FULLANA 1. Exemple avec théorie La relation d(d(!)) = 0 découle du Théorème de Schwarz, qui est valide pour des fonc- tions deux fois continûment dérivables. Definition 1.1 (Formes fermées). Une forme différentielle ! 2 ⌦k (D) est dite fermée si d! = 0 et exacte si elle admet une primitive, i.e., si il existe ⌘ 2 ⌦k 1 (D) telle que d⌘ = ! Nous avons aussi que d(d!) = 0 implique que toute forme exacte est aussi fermée. Examples (1) Si ! = 2xydx + x2 dy nous avons que d! = 0 donc elle est fermée sur R2. Elle est aussi exacte donc il existe df = !. Alors df = 2xydx + x2 dy et f (x, y) = x2 y + C avec C une constante. (2) La forme différentielle ! = 2ydx + 3xdy n’est pas fermée car d! 6= 0 Si l’on doit intégrer le long d’un chemin les formes des exemples dans le cas (1) l’intégrale ne dépend pas du chemin Z B Z B != df = f (B) f (A) A A RB en particulier si le chemin est fermé A ! = 0. En mécanique on parle de forces conserva- tives. Dans le ca (2) l’intégrale dépend du chemin parcouru. 1 2 J-M FULLANA Une notion importante est le Lemme de Poincaré. Definition 1.2 (Lemme de Poincaré). Soit D 2 Rn un domaine sans trou. Toute forme fermée sur D est aussi exacte. Le Lemme de Poincaré est trivial, il dit que dériver deux fois une p forme est égal zéro. C’est une conséquence du Théorème de Schwarz. Definition 1.3 (Théorème de Poincaré). Soit f une 0-forme différentielle ! = f (x, y) @f @f d! = dx + dy @x @y ✓ 2 ◆ @ f @2f d(d!) = dx ^ dy @x@y @y@x @2f @2f mais @x@y = @y@x par le Théorème de Schwarz, donc d(d!) = 0.