40 Questions
Quel est le nom de la mesure définie sur l'ensemble ouvert Ω ⊂ RN ?
Mesure de Lebesgue
Quel est le théorème qui stipule que si fn est une suite de fonctions mesurables positives et croissantes, alors la limite de fn est mesurable ?
Théorème de convergence monotone
Quelle est la caractéristique d'une fonction mesurable sur Ω ?
L'image inverse de tout borélien est borélien
Quel est le théorème qui stipule que si fn est une suite de fonctions mesurables telles que |fn| ≤ g avec g ∈ L¹(Ω), alors la suite fn converge en moyenne vers une fonction f ∈ L¹(Ω) ?
Théorème de convergence dominée
Quelle est la notion qui permet de définir la dualité dans les espaces Lp (Ω) ?
Dualité
Quelle est la condition pour que la suite fn converge vers f dans Lr pour tout r ∈ [p, q]?
r ∈ [p, q]
Quel est le rôle de l'inégalité d'interpolation dans la preuve de la convergence de la suite fn vers f?
Donner une borne supérieure de la norme de fn - f
Quel est l'espace fonctionnel où la suite fn converge vers f?
Lr
Quelle est la définition de la norme ||·||Ck(K) dans l'espace Ck(K)?
max ||∂ α f ||∞,K 0≤|α|≤k
Quel est le théorème qui établit que (Ck(K), ||·||Ck(K)) est un espace de Banach?
Théorème 6
Quel est le sens de la convergence dans C(Ω) ?
La fonction f est continue sur Ω
Qu'est-ce que la convergence dans Ck(Ω) ?
La convergence uniforme des dérivées de la fonction f sur Ω
Quel est le sens de la convergence dans D(Ω) ?
La convergence uniforme des dérivées de la fonction φ sur Ω
Qu'est-ce que l'espace L(E, F) ?
L'espace des formes linéaires continues de E dans F
Quel est le résultat de l'exemple 5 ?
φn converge vers φ dans D(Ω)
Quel est le but du théorème de Riesz pour les espaces Lp?
De montrer que T est un isomorphisme isométrique
Quel est le nom du nombre qui satisfait 1/p + 1/p′ = 1?
Conjugaison de p
Quelle est la propriété de T qui est démontrée en premier dans la preuve du théorème de Riesz?
La linéarité de T
Quelle est la notation utilisée pour le dual de H dans le contexte de l'espace de Hilbert?
H′
Quelle est la propriété des espaces Lp(Ω) si |Ω| = mes(Ω) < +∞?
Ils sont décroissants
Quel est le nom de la fonction introduite pour démontrer que T est une isométrie?
f0
Quelle est l'inégalité utilisée pour démontrer que Lq(Ω) → Lp(Ω) pour 1 ≤ p ≤ q?
Inégalité de Hölder
Pourquoi T est-il injective ?
Parce que T est linéaire et continue
Qu'est-ce que nous pouvons déduire de la propriété que T(Lp) est fermé dans (Lp)' ?
Que T est continue
Quel est le résultat de l'inégalité de Minkowski pour les espaces Lp?
||f + g||Lp ≤ ||f ||Lp + ||g||Lp
Pourquoi le bidual E'' vérifie E'' = E si E est un espace de Banach réflexif ?
Parce que E est réflexif
Quel est le théorème qui établit que f ∈ Lr pour tout p ≤ r ≤ q si f ∈ Lp ∩ Lq?
Théorème d'interpolation
Quelle est la condition nécessaire pour que la suite (fn) converge vers f dans Lp?
La suite doit être convergente dans Lp et bornée dans Lq
Pourquoi T(Lp) est dense dans (Lp)' ?
Parce que fn convergent vers f dans (Lp)'
Quel est le résultat obtenu en utilisant la proposition 8 ?
h ≡ 0
Quelle est la condition pour que la suite fn soit dominée, selon le théorème de convergence dominée de Lebesgue ?
fn ≤ g pour un certain g ∈ L¹(Ω)
Quel est le nom du théorème qui stipule que si fn est une suite de fonctions positives et croissantes, alors la limite de fn est mesurable ?
Théorème de convergence monotone de Beppo Levi
Quelle est la définition d'une fonction mesurable sur un espace mesurable (Ω, 𝒜, μ) ?
Une fonction qui est mesurable si la pré-image de tout borélien est dans 𝒜
Quel est le théorème qui permet de changer l'ordre d'intégration dans un produit de mesures ?
Théorème de Fubini
Quelle est la formule pour le calcul de la norme d'une fonction f dans l'espace L¹(Ω) ?
‖f‖₁ = ∫Ω |f(x)| dx
Quel est le résultat qui stipule que si fn est une suite de fonctions mesurables positives et croissantes, alors la limite de fn est mesurable ?
Théorème de convergence monotone de Beppo Levi
Quelle est la condition pour que la suite fn converge en moyenne vers une fonction f dans L¹(Ω) ?
fn est une suite de fonctions mesurables telles que |fn| ≤ g avec g ∈ L¹(Ω)
Quel est le théorème qui stipule que si f est mesurable et positive, alors la fonction x ↦ ∫Ω2 f(x, y) dy est mesurable ?
Théorème de Fubini
Quelle est la propriété qui caractérise les fonctions de L∞(Ω) ?
Les fonctions de L∞(Ω) sont bornées presque partout
Quel est le théorème qui stipule que si fn est une suite de fonctions mesurables telles que fn ≤ g avec g ∈ L¹(Ω), alors la suite fn converge en moyenne vers une fonction f dans L¹(Ω) ?
Théorème de convergence dominée de Lebesgue
Démonstration de la convergence des suites dans les espaces Lp, utilisant l'inégalité d'interpolation et les théorèmes de convergence. Étude des espaces fonctionnels et des suites convergentes.
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