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BA AT AG TC H ———————————————————————– Sa br in e Chapitre 1 – Logique et raisonnements pl ai re de ———————————————————————– Sa br in e TC H AT AG BA Ex em ECG1 - Antoine Lagarde pl ai re de Table des matières 2 Ex em 1 Logique Vocabulaire et notations . . . . . . . . . ....

BA AT AG TC H ———————————————————————– Sa br in e Chapitre 1 – Logique et raisonnements pl ai re de ———————————————————————– Sa br in e TC H AT AG BA Ex em ECG1 - Antoine Lagarde pl ai re de Table des matières 2 Ex em 1 Logique Vocabulaire et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Opérations logiques élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Implications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 TC H AT AG BA 1.1 7 in e 2 Différents types de raisonnements Le raisonnement direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Le raisonnement par disjonction de cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Le raisonnement par contre-exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.4 Le raisonnement par contraposée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.5 Le raisonnement par l’absurde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Le raisonnement par double implication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.7 Le raisonnement par analyse-synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 AT AG BA Ex em pl ai re de Sa br 2.1 8 TC e in 11 Sa br 4 Méthodes 7 10 H 3 En Python 7 12 H AT AG BA Ex em pl ai re de 5 Blind-test « La logique est l’hygiène du mathématicien. » 1 André Weil 1 1.1 Vocabulaire et notations AT AG BA Définition (Vocabulaire) • Une proposition mathématique est une affirmation ayant du sens, elle peut être vraie TC H ou fausse. Sa br in e • Une propriété est une proposition démontrée propre à un objet mathématique. • Un théorème est une proposition importante qui a été démontrée. pl ai re de • Un lemme est un théorème servant à établir un théorème plus important. • Un corollaire est un théorème qui est une conséquence d’un autre théorème. Ex em • Un axiome est une proposition que l’on tient pour vraie sans démonstration, afin de H AT AG BA construire une théorie. TC Remarque. Il ne faut pas confondre une proposition logique, notée P, Q ou R dans tout ce chapitre, qui in e peut être vraie ou fausse, et l’appellation Proposition dans les cours de maths, qui est toujours vraie – de Sa br que le cours la démontre ou l’admette. pl ai re Définition (Quantificateurs) em • ∃ signifie «il existe». BA Ex • ∃! signifie «il existe un unique». AG • ∀ signifie «pour tout». br in e TC H AT • ∈ signifie «appartient à». de Sa Proposition (admis) Ex em pl ai re Lorsque les quantificateurs sont du même type, alors ils commutent. BA Exemple 1. «∀x ∈ R, ∀m ∈ R+ , f (x) ⩽ m» équivaut à «∀m ∈ R+ , ∀x ∈ R, f (x) ⩽ m». AT AG «∃x ∈ R, ∃m ∈ R+ , f (x) ⩽ m» équivaut à «∃m ∈ R+ , ∃x ∈ R, f (x) ⩽ m». TC H Remarque. Sinon, il faut faire attention à l’ordre. Par exemple, la proposition : br in e P1 : «∀x ∈ R, ∃m ∈ R+ , f (x) ⩽ m» n’a pas la même signification que P2 : «∃m ∈ R+ , ∀x ∈ R, f (x) ⩽ m». de Sa Exercice 1. Trouvons une fonction f qui vérifie P1 mais pas P2 . ai re N’importe quelle fonction réelle f vérifie la première proposition. En effet, soit x ∈ R. En choisissant Ex em pl m = |f (x)|, on a bien m ∈ R+ et ∀x ∈ R, f (x) ⩽ m. La fonction f : x 7→ x ne vérifie pas la deuxième AG BA proposition. AT H Logique Exercice 2. Écrivons avec des quantificateurs les énoncés suivants : • Pour tout nombre strictement positif x, il existe un nombre non nul dont le carré est strictement inférieur à x. ∀x ∈ R∗+ , ∃y ∈ R∗ , y 2 < x 2 • Il existe unique réel x tel que f (x) soit égal à zéro. ∃! x ∈ R, f (x) = 0 AT AG BA • Le produit de deux réels est commutatif. TC H ∀x ∈ R, ∀y ∈ R, xy = yx Sa br in e Définition Deux propositions P et Q sont identiques ou équivalentes si elles sont soit toutes les deux BA Exemple 2. «x2 < y 2 » et «|x| < |y|» sont équivalentes, puisque soit elles sont toutes les deux vraies (si Ex em pl ai re de vraies, soit toutes les deux fausses. On note cette relation d’équivalence ≡. AT AG |x| < |y|), soit elles sont toutes les deux fausses (si |x| ⩾ |y|). En revanche, «x2 < y 2 » et «x < y» ne sont TC in e Opérations logiques élémentaires br 1.2 H pas équivalentes puisque pour x = −3 et y = 2, seule la seconde proposition est vraie. de Sa Définition (Opérations logiques élémentaires) pl ai re Soient P et Q deux propositions. em • Négation : La négation (non P) de la proposition P est la proposition contraire à P, BA Ex c’est à dire la proposition qui est vraie lorsque P est fausse, et inversement. AG • Et : La proposition (P et Q) est la proposition qui est vraie lorsque à la fois P et Q sont AT vraies. TC H • Ou : La proposition (P ou Q) est la proposition qui est vraie lorsqu’au moins une des de Sa br in e propositions entre P et Q est vraie. Exemple 3. pl ai re • La négation de «x2 > 1» est «x2 ⩽ 1». Ex em • «(x > 3) et (x < 5)» est la même proposition que «3 < x < 5». AG BA • «(x < −2) ou (x ⩾ 1)» est la même proposition que « x ∈] − ∞, −2[∪[1, +∞[». AT Remarque. Il existe également une autre opération logique très utile mais hors-programme : ou exclusif, TC H souvent noté XOR. La proposition (P XOR Q) est vraie dès lors que P est vraie ou Q est vraie, mais pas in br Sa l’un ou l’autre». e les deux. Dans le langage courant, «ou» signifie généralement ou exclusif, comme dans la phrase «C’est re de Axiome (Principe du tiers exclu) H AT AG BA Ex em pl ai Pour toute proposition P, (P ou non P) est toujours vraie. 3 Proposition (Opérations avec ET et OU) P et (Q et R) ≡ (P et Q) et R P et Q ≡ Q et P TC 4. (Commutativité de ET) P ou (Q et R) ≡ (P ou Q) et (P ou R) 6. (Distributivité de ET sur OU) P et (Q ou R) ≡ (P et Q) ou (P et R) em pl ai re 5. (Distributivité de OU sur ET) Sa br in e P ou Q ≡ Q ou P de 3. (Commutativité de OU) AT AG 2. (Associativité de ET) H P ou (Q ou R) ≡ (P ou Q) ou R BA Ex Exemple 4. Illustrons les points 5. et 6. : AT AG • 5 : «Pendant mes vacances, je peux confier mon chat à ma tante, ou appeler un professionnel et le lui confier» est équivalent à «Pendant mes vacances, je peux confier mon chat à ma tante ou TC H appeler un professionnel, et confier mon chat à ma tante ou le confier à un professionnel». En effet, Sa br à ma tante (redondant si ce choix est déjà fait) soit de le confier à un professionnel. in e je choisis soit de le confier à ma tante soit d’appeler un professionnel, puis je choisis soit de le confier de • 6 : «Mon secret pour être riche ? Toujours croire en moi, et travailler beaucoup ou jouer au loto» pl ai re est équivalent à «Mon secret pour être riche ? Toujours croire en moi et travailler beaucoup, ou Ex em toujours croire en moi et jouer au loto». AG BA Astuce. On peut également retenir quelques règles simples et très utiles sur les opérateurs logiques: AT 1. P et VRAI ≡ P TC H 2. P ou VRAI ≡ VRAI br in e 3. P et FAUX ≡ FAUX de Sa 4. P ou FAUX ≡ P ai re Notation. On note P(x) une proposition dépendant d’un paramètre x. Ex em pl Proposition (Opérations de négation – admis) AG BA Pour passer à la négation on remplace les quantificateurs ∀ par ∃, et inversement. AT 1. non(non(P)) ≡ P TC H 2. non(∀x ∈ E, P(x)) ≡ ∃x ∈ E, non(P(x)). in e 3. non(∃x ∈ E, P(x)) ≡ ∀x ∈ E, non(P(x)). Sa br 4. non(∀x ∈ E, ∃y ∈ F, P(x, y)) ≡ ∃x ∈ E, ∀y ∈ F , non(P(x, y)). re de 5. non(P ou Q) ≡ non(P) et non(Q). AG BA Ex em pl ai 6. non(P et Q) ≡ non(P) ou non(Q). AT H 1. (Associativité de OU) BA Soient P, Q et R trois propositions. Exemple 5. Illustrons les points 4, 5 et 6 : • 4 : le contraire de «Pour toute serrure, il y a toujours une clé qui lui correspond» est «Il existe une serrure pour laquelle toute clé ne lui correspond pas». • 5 : le contraire de «J’ai perdu mes clés ou on me les a volées» est «Je n’ai pas perdu mes clés, et on ne me les a pas volées». 4 • 6 : le contraire de «Jean est sympathique et drôle» est «Jean n’est pas sympathique, ou il n’est pas drôle». AT AG • 0<x<1 Sa br in e TC H x ⩽ 0 ou x ⩾ 1, c’est-à-dire x ∈] − ∞, 0] ∪ [1, +∞[ • ∀x ∈ [0, 1], f (x) > 0. pl ai re de ∃x ∈ [0, 1], f (x) ⩽ 0 em • ∃M ∈ R, ∀n ∈ N, un ⩽ M . AT AG BA Ex ∀M ∈ R, ∃n ∈ N, un > M Remarque. Le cadre dans lequel se place la négation d’une proposition est important. Par exemple, TC H considérons n ∈ N. Nier que n est un entier pair implique que n est impair. En revanche, si x ∈ R, nier Sa Implications de 1.3 br in e que x est un entier pair n’implique pas que x est un entier impair : il peut également ne pas être un entier. pl ai re Définition em • Implication : La proposition (P ⇒ Q) est vraie dès lors que non P est vraie ou Q est Ex vraie. On dit alors que P est une condition suffisante de Q, et Q est une condition AG BA nécessaire de P. in e TC H AT • Équivalence : La proposition (P ⇔ Q) signifie ((P ⇒ Q) et (Q ⇒ P)). Sa br Remarque. Par définition, on a donc (P ⇒ Q) ≡ (non P ou Q). de Cela se justifie ainsi: si P est fausse, on peut déduire que Q est vraie car on peut déduire n’importe re Si P est vraie, alors nécessairement Q doit être vraie. ai quoi d’une proposition fausse. On a donc em pl (non P ou (P et Q)), c’est-à-dire ((non P ou P) et (non P ou Q)). BA Ex Puisque (non P ou P) est toujours vraie (principe du tiers exclu), cela revient à (non P ou Q). Exemple 6. AG • «x > 5 ⇒ x2 > 1» est vraie. «x > 5» est une condition suffisante de «x2 > 1». H AT «x2 > 1» est une condition nécessaire pour «x > 5». de Sa br Proposition in e TC • «x2 = 4 ⇔ x = 2 ou x = −2» est vraie. Ex em pl ai re La proposition (P ⇔ Q) est vraie si et seulement si P ≡ Q. AG BA Remarque. La relation d’équivalence logique ≡ correspond donc à l’opération logique ⇔. La première AT H BA Exercice 3. Donnons les négations des propositions suivantes : est utilisée pour relier deux propositions, la seconde pour former une seule proposition. Exercice 4. Déterminons si les implications suivantes sont vraies, et le cas échéant quelle proposition est une condition nécessaire ou suffisante pour qui. 5 • «Avoir plus de 12 au bac» ⇒ «Avoir son bac» C’est vrai. Avoir plus de 12 au bac et une condition suffisante pour avoir son bac. Avoir son AT AG • x = 3 ⇒ x2 = 9 TC H C’est vrai. Si x = 3 alors x2 = 32 = 9. x2 = 9 est une condition nécessaire pour avoir x = 3. Sa br in e x = 3 est une condition suffisante pour avoir x2 = 9. de • x2 = 9 ⇒ x = 3. em pl ai re C’est faux. x = 3 n’est pas nécessaire pour avoir x2 = 9 puisque si x = −3, alors x2 = 9. P⇔Q ≡ Q⇔P AT AG 1. (Commutativité de ⇔) BA Ex Proposition (Opérations) H 2. non(P ⇒ Q) ≡ P et non(Q). de Sa br in e TC 3. non(P ⇔ Q) ≡ (P et non(Q)) ou (non(P) et Q). re Exemple 7. Nier la proposition «Si c’est un schtroumpf, il est forcément bleu» revient à affirmer «Cela em pl ai peut être un schtroumpf et pourtant n’être pas bleu». BA Ex Attention. Le contraire de P ⇒ Q n’est pas non(P) ⇒ non(Q). AT AG Définition TC H • On appelle réciproque de l’implication P ⇒ Q l’implication Q ⇒ P, notée également e P ⇐ Q. re de Sa br in • On appelle contraposée de l’implication P ⇒ Q l’implication non Q ⇒ non P. em pl ai Proposition (Contraposée) AT AG BA Ex L’implication (P ⇒ Q) est équivalente à sa contraposée (non Q ⇒ non P). TC H Exemple 8. La contraposée de «Avoir plus de 12 au Bac» ⇒ «Avoir son bac» est «Ne pas avoir son Bac» br in e ⇒ «Avoir strictement moins de 12 au Bac». Sa Exercice 5. Écrivons la contraposée des affirmations suivantes. 2. x ⩾ 1 ⇒ f (x) > 0. re de 1. x ̸= 1 ⇒ f (x) ̸= 0. f (x) ⩽ 0 ⇒ x < 1 Ex em pl ai f (x) = 0 ⇒ x = 1 AG BA Rédaction. Il faut être rigoureux dans les mots que l’on emploie: AT H BA bac est une condition nécessaire pour avoir plus de 12 au bac. • les mots «donc», «d’où», «ainsi», «alors», «ce qui implique», «seulement si» et «par conséquent» correspondent à l’implication ⇒. • les mots «si», «car», «puisque», «parce que», «étant donné que» correspondent à l’implication ⇐. • les mots «c’est-à-dire», «i.e» (du latin id est, c’est-à-dire), «si et seulement si», «ssi», «ce qui équivaut à», «autrement dit», «ce qui revient à» correspondent à l’équivalence ⇔. 6 2 2.1 Le raisonnement direct AT AG BA Méthode Une manière de démontrer l’implication P ⇒ Q est de commencer par l’hypothèse «Supposons Sa br in e TC H que P est vraie», et au terme d’un raisonnement déductif, obtenir alors «Q est vraie». de Rédaction. Pour prouver une proposition du type «∀x ∈ E, P(x)», on commencera systématiquement pl ai re par «Soit x ∈ E» pour arriver à la conclusion que P(x) est vraie. BA Ex les propriétés communes à tous les éléments de E, alors on a bien prouvé ∀x ∈ E, P(x). em Ceci signifie que l’on prend x un élément quelconque de E. Si on arrive à prouver P(x) en n’utilisant que AT AG Exemple 9. Si on part de «Soit n ∈ N» et que pour prouver P(n) on suppose que n est pair, alors il y a un problème : certains éléments de N sont bien pairs, mais pas tous. Nous sommes donc en train de e in −→ R br est croissante sur R. 7−→ 3x + 1 Sa x de Exercice 6. Sans dérivation, montrons que la fonction f :  R TC H prouver ∀n ∈ {2k, k ∈ N}, P(n) au lieu de ∀n ∈ N, P(n). re On doit montrer que ∀(x, y) ∈ R2 , x ⩽ y ⇒ f (x) ⩽ f (y). em pl ai Soit (x, y) ∈ R2 , x ⩽ y. On a alors 3x ⩽ 3y, donc 3x + 1 ⩽ 3y + 1, donc f (x) ⩽ f (y). Le raisonnement par disjonction de cas AT 2.2 AG BA Ex Ainsi f est croissante sur R. e TC H Méthode re de Sa br in Pour prouver un résultat, on peut étudier séparément tous les cas possibles. Exercice 7. em pl ai • Montrons que ∀x ∈ R, |x| = | − x|. BA Ex Soit x ∈ R. AT AG – Si x ⩾ 0, |x| = x. −x ⩽ 0 donc | − x| = −(−x) = x. Ainsi |x| = | − x|. TC H – Si x ⩽ 0, |x| = −x. − x ⩾ 0 donc | − x| = −x. Ainsi |x| = | − x|. br in e Dans tous les cas |x| = | − x|. de Sa • Montrons que ∀n ∈ N, n et n2 ont la même parité. re Soit n ∈ N. ai pl Ex em BA AG AT H Différents types de raisonnements – Si n et pair, ∃p ∈ N, n = 2p. n2 = (2p)2 = 4p2 = 2 × 2p2 , donc n2 est pair. |{z} ∈N – Si n est impair, ∃p ∈ N, n = 2p + 1. m = (2p + 1) = 4p2 + 4p + 1 = 2 × 2p2 + 2p ) + 1. | {z } 2 2 ∈N Donc n2 est impair. Dans tous les cas n et n2 ont la même parité. 7 2.3 Le raisonnement par contre-exemple Méthode BA La négation de «∀x ∈ E, P(x)» est la proposition «∃x ∈ E, non(P(x))». Ainsi il suffit de AT AG trouver un exemple de x ∈ E telle que P(x) est fausse pour prouver que «∀x ∈ E, P(x)» est n’est pas croissante sur R. de   x −→ R 7−→ x2 pl ai re Exercice 8. Montrons que la fonction f :    R Sa br in e TC H fausse. On appelle cela un contre-exemple de la proposition P. em f n’est pas croissante signifie : ∃(x, y) ∈ R2 , x ⩽ y et f (x) > f (y). 2.4 AT AG BA Ex f (−2) = (−2)2 = 4 or f (1) = 12 = 1, donc f (−2) > f (1), donc f n’est pas croissante sur R. Le raisonnement par contraposée e TC H Méthode re de Sa br in Pour montrer que P ⇒ Q on montre non Q ⇒ non P. Exercice 9. em Ex suppose non Q . . . . donc non P. Ainsi, par contraposition, P ⇒ Q.». pl ai Rédaction. Lorsqu’on utilise un raisonnement par contraposée, on rédige de la manière suivante : «On AG BA • Soit n ∈ N. Montrons que si n2 est impair alors n est impair. AT On suppose n pair. Alors ∃p ∈ N, n = 2p, donc n2 = 4p2 = 2 × 2p2 . Donc n2 est pair. Par in br Sa • Soit x ∈ R. Montrer que x ∈ / Q⇒1+x∈ / Q. e TC H contraposée, on a le résultat. de Soit x ∈ R. Supposons 1 + x ∈ Q. ∃(p, q) ∈ Z × N∗ , 1 + x = p . q re p−q p −1= . Or p − q ∈ Z et q ∈ N∗ , donc x ∈ Q. q q Ainsi. par contraposition, x ∈ / Q⇒1+x∈ / Q. BA Ex em pl ai Donc x = 1 1 ̸= . x−1 y−1 AT AG • Montrons que si x et y sont des réels distincts de 1, alors x ̸= y ⇒ 1 1 = . Alors x − 1 = y − 1 donc x = y. x−1 y−1 1 1 Ainsi, par contraposition, x ̸= y ⇒ ̸= x−1 y−1 Sa br in e TC H Soit (x, y) ∈ (R\{1})2 . Supposons Le raisonnement par l’absurde re de 2.5 Pour prouver P, on peut faire l’hypothèse que P est fausse (i.e. non P est vraie). Si avec cette hypothèse on tombe sur une absurdité, c’est que notre hypothèse était fausse, c’est à dire que non P est fausse et donc que P est vraie. H AT AG BA Ex em pl ai Méthode Rédaction. Pour montrer par l’absurde que P est vraie, on rédige ainsi : «Supposons par l’absurde que non P est vraie .... ce qui est absurde, donc P est vraie». 8 Exercice 10. ne converge pas. BA Supposons par l’absurde que (un ) converge. On note ℓ sa limite. On a alors un+1 −→ ℓ et 2u2n + 3 −→ 2ℓ2 + 3. n→+∞ AT AG n→+∞ Ainsi par passage à la limite, ℓ = 2ℓ2 + 3. D’où 2ℓ2 − ℓ + 3 = 0. TC H Or on a ∆ = (−1)2 − 4 × 2 × 3 = −23 < 0. Il n’existe donc pas de ℓ ∈ R vérifiant ℓ = 2ℓ2 + 3 : Sa br in e absurde. Donc (un ) ne converge pas. pl ai re de • Soit a ∈ R+ tel que ∀ε > 0, a < ε. Montrons que a = 0. a 2 > 0, on obtient a < a , 2 i.e a 2 < 0 i.e a < 0. Ex Dans ce cas, a > 0. En choisissant ε = em Soit a ∈ R+ tel que ∀ε > 0, a < ε. Supposons par l’absurde que a ̸= 0. AT AG BA Absurde. Donc a = 0. H Remarque. De nombreux raisonnements par l’absurde sont en fait des contraposées cachées. Montrons e in br em Le raisonnement par double implication Ex 2.6 pl ai re de Sa a a Soit a ∈ R+ tel que a ̸= 0. Alors a > 0 donc a > > 0. Ainsi ∃ ε = > 0, a > ε. 2 2
On a montré a ̸= 0 ⇒ ∃ε > 0, a > ε .
Par contraposée, ∀ε > 0, a < ε ⇒ a = 0. TC par exemple l’exercice précédent par contraposée: AG BA Méthode e TC H AT Pour démontrer que P ⇔ Q, on peut démontrer P ⇒ Q et Q ⇒ P. Sa br in
Exercice 11. Soient a, b ∈ R, montrons que : ∀x ∈ R, ax + bex = 0 ⇐⇒ a = b = 0. re ai pl a × 1 = 0 donc a = 0 Ex Pour x = 1, a × 0 + be0 = 0 donc b = 0 em Pour x = 0, de (⇒) Supposons ∀x ∈ R, ax + bex = 0 BA Donc ∀x ∈ R, ax + bex = 0 ⇒ a = 0 et b = 0. AG (⇐) Réciproquement, supposons a = 0 et b = 0. Soit x ∈ R.. Alors ax + bex = 0x + 0ex = 0. H AT Donc a = b = 0 ⇒ ∀x ∈ R, ax + bex = 0. Sa br in e TC On a bien ∀x ∈ 0, ax + bex = 0 ⇔ a = b = 0. Le raisonnement par analyse-synthèse de 2.7 pl ai re Méthode AG BA Ex em Un raisonnement par analyse-synthèse se déroule en deux étapes : AT H • Soit (un ) la suite définie par u0 = 1, et ∀n ∈ N, un+1 = 2u2n + 3. Montrons que (un ) • L’analyse : on raisonne sur une hypothétique solution du problème et on accumule des déductions de propriétés qu’elle doit vérifier, du seul fait qu’elle est solution. • La synthèse : on examine tous les objets vérifiant les conditions nécessaires précédemment accumulées (ce sont les seuls candidats possibles à être des solutions) et on détermine, parmi eux, lesquels sont réellement des solutions. 9 Remarque. Il arrive souvent que la phase d’analyse produise des conditions nécessaires si restrictives qu’il ne reste plus qu’un seul candidat qui les vérifie. Dans ce cas, cette première phase prouve l’unicité de la solution (sous réserve d’existence). La phase de synthèse permet alors ou bien de montrer l’existence d’une AT AG L’analyse-synthèse est donc particulièrement adaptée pour démontrer des propriétés d’existence et d’unicité H du type «∃! x ∈ E, P(x)». Dans ce cas, l’analyse prouve l’unicité sous réserve d’existence et fournit une TC expression de la solution recherchée. La synthèse (qui se contente de reprendre le candidat déterminé par Soit x une solution de 6 + x = x. ∆ = (−1)2 − 4 × 1 × (−6) = 25 = 52 . On a alors x1 = 1−5 2 et = −2 x2 = 1+5 = 3. 2 e TC H On vient de prouver que x solution ⇒ x = −2 ou x = 3. p √ Réciproquement : si x = −2, 6 + (−2) = 4 = 2 ̸= −2. Ainsi −2 n’est pas solution. √ √ Si x = 3, 6 + 3 = 9 = 3. Ainsi 3 est solution. Ex Donc 6 + x = x , d’où x − x − 6 = 0. em 2 BA 2 6 + x = x. de √ √ pl ai re • Déterminons les solutions réelles de l’équation AT AG Exercice 12. Sa br in e l’analyse) justifie l’existence. Sa br in Donc x solution ⇔ x = 3. ai re de • Déterminons l’ensemble des entiers naturels n multiples de 3 dont le carré est impair. em pl Analyse : soit n ∈ N vérifiant ces conditions. Ex Donc ∃p ∈ N, n = 3p et ∃q ∈ N, n2 = 2q + 1. AG BA Ainsi 9p2 = 2q + 1 donc 9p2 est impaire. Puisque 9 est impaire, nécessairement p2 doit être AT impaire. En effet impaire × paire = paire et impaire × impaire = impaire. TC H Donc p est impaire (cf exercice 9). in e Synthèse : soit p un entier impair et n = 3p. Donc n est multiple de 3, et n2 = 9p2 . Puisque Sa br p2 est impaire, n2 est bien impair (impaire × impaire = impaire). Ex em En Python BA 3 pl ai re de On a bien montré que l’ensemble recherché est {3p, p ∈ N impaire}. AT AG Définition (Booléen) H Un booléen (en Python : bool) est un type d’objet informatique pouvant prendre seulement de Sa br in e TC deux valeurs : True (vrai) ou False (faux). • b = True déclare un objet booléen qui s’appelle b et dont la valeur est True. ai re Exemple 10. Ex em pl • condition = False déclare un objet booléen qui s’appelle condition et dont la valeur est False. AG BA Remarque. AT H BA solution (si le candidat répond au problème), ou bien de constater qu’il n’y a aucune solution. • Les booléens ne sont pas des nombres, donc ni de type int (integer, i.e entier), ni de type float (flottant, i.e décimal). Néanmoins, si on les force à se comporter comme des nombres, True se convertit en 1 et False se convertit en 0. Par exemple si on écrit b = True puis print(b + 1), cela affiche 2. • Les conditions logiques sont des booléens. Par exemple (a == 2) est True si a vaut 2, False sinon. On peut enregistrer cette valeur de vérité dans une variable : b = (a==2). 10 Méthode (if et elif) Les commandes if et elif requièrent une condition BA elif c: print("Hola") fiche Hello si b est vrai, Hola si b est faux et c est Sa br in e TC H AT AG else: print("Bonjour") vrai, Bonjour sinon. préalable. Une condition logique fonctionne également: par exemple, si a est un entier, if (a == 3): print("Hello") pl ai re affiche Hello si a vaut 3. BA Ex em Attention. Les égalités dans les conditions logiques prennent un double égal, tandis que les affectations d’une valeur à une variable en prennent un. Ainsi : AT AG • a == 3 est True si a vaut 3, False sinon. TC H • a = 3 affecte 3 à la variable a. in e Commandes BA • (u > 0) or (v > 0) est True si u ou v est strictement positif. Ex em • b and c est True si b est True et c aussi, False sinon. pl ai re de Sa br Les opérateurs pour manipuler les booléens sont and (et), or (ou), not (non), xor (ou exclusif) Exemple 11. TC H AT AG • if (a >= 0) and not b: s’exécute si a est strictement positif et si le booléen b est False. e Méthodes −→ Soit .. ∈ .. . Alors ... Mq ∃.. ∈ .., ... = ... −→ Trouver un exemple. Mq ∃.. ∈ .., ... ̸= ... −→ Trouver un exemple OU Par l’absurde : supposons que pour tout .. ∈ .., on a ... = ... . Alors ..., absurde, d’où le résultat. Soient .. ∈ .. et .. ∈ .. . Alors ... −→ Soit .. ∈ .. . Alors en posant .. = ..., on a bien ... Mq ∃.. ∈ .., ∀.. ∈ .., on a ... −→ On pose .. = ... . Soit .. ∈ .., alors on a bien ... −→ Existence : on pose x = ... . On a bien ... Sa br in e TC Mq ∀.. ∈ .., ∃.. ∈ .., tq ... AT −→ H AG BA Ex em pl ai re de Mq ∀.. ∈ .. on a ... Mq ∀.. ∈ .., ∀.. ∈ .., on a ... ai re de Mq ∃! x ∈ .., ... BA Ex em pl Mq ∀.. ∈ .., ∃! x ∈ .., tq ... AG Sa br in 4 −→ Unicité : soit y vérifiant également ... . Alors ... donc x = y. Soit .. ∈ .. . Alors en posant x = ..., on a bien ... De plus, si y ∈ .. vérifie aussi ..., alors x = y. Mq ∃! x ∈ .., ∀.. ∈ .., on a ... −→ Montrer que x ∈ A ⇒ x ∈ B −→ Soit x ∈ A. Alors par définition ... d’où x ∈ B. La proposition «x ∈ A ⇒ x ∈ −→ Contre-exemple : prenons x = ... . x ∈ A et pourtant ... donc x ∈ / B. B» est-elle vraie ? On pose x = ... . Soit .. ∈ .., alors on a bien ... De plus, si y ∈ .. vérifie également ∀.. ∈ .., ... alors ... donc x = y. Donc la proposition est fausse. 11 de Remarque. Pour faire fonctionner le script ci-dessus, il faut bien évidemment définir les booléens b et c au AT H if b: print("Hello") logique ou un booléen. Le programme ci-contre af- −→ Ou bien x ∈ A, ou bien x ∈ / A. Si x ∈ / A, alors ... donc x ∈ B. Mq .. ∈ / .. ⇒ .. ̸= .. −→ Contraposée : mq .. = .. ⇒ .. ∈ .. Mq x ∈ /A −→ Supposons x ∈ A, alors ..., absurde, donc x ∈ / A. Mq si x ∈ A, alors x ∈ /B −→ Mq si n2 ... alors n ... −→ Par contraposée : si n ... alors en passant au carré, n2 ... Mq ... n’est pas ... −→ Par l’absurde : supposons qu’elle le soit. Alors ... Mq P si et seulement si Q −→ Soit x ∈ A tq x ∈ B. Alors ..., mais par ailleurs ..., absurde. Donc de Sa br in e TC H x∈A⇒x∈ / B. pl ai re P ⇔ ... ⇔ Q OU (⇒) puis (⇐) Ex em OU Supposons P. Alors ... donc Q. AT AG Analyse-synthèse : −→ - Soit x une solution de l’équation. Alors ... donc x vérifie ... H tions de ... = ... BA Supposons non P. Alors ... donc non Q. Déterminer l’ensemble des solu- AT AG BA Mq on a x ∈ A ou x ∈ B TC - Réciproquement, si x vérifie ..., alors ... donc x est solution de in br Sa Synthèse : on pose y = ... et z = x − y. Alors ... donc y ∈ .., de plus re somme de ... Analyse : soit x = y + z où y ∈ .. et z ∈ .. . Alors on a ... donc y = ... −→ de Mq tout ... peut s’écrire comme e l’équation. Ex vérifiant ... = ... Analyse : soit x vérifiant ... = ... . Alors nécessairement ... donc −→ x = .. BA Montrer qu’il existe un unique x em pl ai ... donc z ∈ .. . Enfin on a bien x = y + z. H fiant ... Si x ∈ .. vérifie ..., alors d’une part ..., d’autre part ... . C’est −→ contradictoire, d’où le résultat. TC Mq il n’existe aucun x ∈ .. véri- AT AG Synthèse : si x = .., il vérifie bien ... = ... br in e OU Si x ∈ .. vérifie ..., alors ... donc x vérifie aussi P . Sa Réciproquement, si x vérifie P, il ne peut pas vérifier ... Ex em Blind-test BA 5 pl ai re de Donc il n’existe aucun x ∈ .. vérifiant ... H Axm : principe du tiers exclu Mtd : raisonnement direct Ppst : opérations avec ET et OU (6) Mtd : raisonnement par disjonction de cas Ppst : opérations de négations (6) Mtd : raisonnement par contre-exemple Dfnt : implication = ... Mtd : raisonnement par contraposée in e lemme = ... TC théorème = ... AT propriété = ... AG Dfnt : proposition = ... équivalence = ... Sa br corollaire = ... de axiome = ... re Dfnt : quantificateurs (4) Mtd : raisonnement par double impl. Dfnt : réciproque = ... Dfnt : bool est ... Ppst : opérations avec ⇒ et ⇔ (3) pl ai Ppst : lorsque ..., commutent Ex em Dfnt : propositions équivalentes = ... contraposée = ... Ppst : P ⇔ Q est équivalente à ... H AT AG BA Dfnt : opérations logiques élémentaires (3) Mtd : raisonnement par l’absurde Ppst : P ⇔ Q vraie ssi ... 12 Mtd : raisonnement par analyse-synthèse Mtd : if et booléens Cmd : opérateurs de booléens (4)