CAPITOLO 1 - Fisica dello stato solido PDF

CAPITOLO I FISICA DELLO STATO SOLIDO Dispositivi Elettronici – Capitolo I: Richiami di Fisica dello Stato Solido I-1  I.1 L’atomo La materia è costituita da atomi, uguali o diversi, uniti tra loro da “forze di legame” dipendenti dalla stru...

CAPITOLO I FISICA DELLO STATO SOLIDO Dispositivi Elettronici – Capitolo I: Richiami di Fisica dello Stato Solido I-1  I.1 L’atomo La materia è costituita da atomi, uguali o diversi, uniti tra loro da “forze di legame” dipendenti dalla struttura elettronica degli atomi. Sono stati proposti nel corso dei decenni a partire dall’inizio novecento diversi modelli per descrivere la struttura degli atomi. Nel 1911 Rutherford propose per la prima volta un modello dinamico in cui gli atomi risultavano costituiti da nucleo ed elettroni: Nucleo: in esso è contenuta tutta la massa dell’atomo con cariche elementari positive il cui numero è pari al numero atomico Z. Elettroni: ruotanti intorno al nucleo in numero pari al numero atomico Nel 1922 Bohr propose il modello quantistico dell’atomo di idrogeno. L’elettrone può trovarsi solo in alcuni stati energetici detti “stazionari”. Ogni elettrone può essere descritto da una serie di grandezze: Il momento angolare dell’elettrone n (anch’esso quantizzato). h mvr = n , dove n=1,2,3 … (1.1) 2π m è la massa, h la cost. di Planck, v la velocità e r il raggio della traiettoria circolare. Se applico il 2° principio della dinamica all’elettrone all’atomo di idrogeno (che ha solo un elettrone): f = ma → la forza di attrazione colombiana tra carica positiva del nucleo e negativa 1 e2 v2 dell’elettrone è f attr = (con e carica dell’elettrone) e a = da cui deriva che 4πε 0 r 2 r 1 e2 v2 =m che unità alla 1.1 porta a 4πε 0 r 2 r ε 0h2 n2! 2 rn = n 2 = 4πε πme 2 0 me 2 (1.2) Cioè ho orbite sferiche i cui raggi (oltre all’energie) sono quantizzati. Per calcolare l’energia di 1 e2 ciascuna orbita considero le energie potenziale e cinetica dell’elettrone E pot = − , 4πε 0 r mv 2 Ecin = per cui l’energia totale è 2 1 e 2 mv 2 1 " e2 e2 % 1 e2 ETOT = E pot + Ecin = − + = $− + ' = − , sostituisco rn a r ed 4πε 0 r 2 4πε 0 # r 2r & 4πε 0 2r Dispositivi Elettronici – Capitolo I: Richiami di Fisica dello Stato Solido I-2  ottengo l’energia quantizzata: 1 me 4 En = − 2 (1.3) n (4πε 0 ) 2 2! 2 Queste sono tutte orbite circolari valide solo per l’idrogeno. Negli atomi più complessi le orbite sono anche ellittiche e viene introdotto un secondo numero atomico: il numero quantico angolare l che può assumere valori l=0,1,2 …(n-1). Cioè per un elettrone con n=2, l può assumere solo i valori 0 e 1 (n=2 e l=0; n=2 e l=1) L’elettrone ruotando genera un campo magnetico, da cui deriva anche un numero quantico magnetico m che può assumere valori m=0,±1, ±2, ±3,… ±l Infine l’elettrone ruota anche su se stesso quindi ha anche un numero quantico magnetico di spin ms. Essendo possibili due sensi di rotazione ms può assumere solo i valori ms=±1/2. Dunque esistono 4 numeri quantici: n, l, m, ms n: stabilisce l’energia l: stabilisce la forma m: stabilisce l’orientazione: ms: stabilisce il senso di rotazione su se stesso Non esistono in un atomo o molecola 2 elettroni che abbiano i 4 numeri quantici uguali (Principio di esclusione di Pauli). Per le convenzioni internazionali: gli orbitali con l =0 sono detti orbitali “s” gli orbitali con l =1 sono detti orbitali “p” gli orbitali con l =2 sono detti orbitali “d” gli orbitali con l =3 sono detti orbitali “f” Dispositivi Elettronici – Capitolo I: Richiami di Fisica dello Stato Solido I-3 Dispositivi Elettronici – Capitolo I: Richiami di Fisica dello Stato Solido I-4 I.2 Struttura cristallina dei semiconduttori Nei semiconduttori gli atomi non sono isolati ma disposti in modo periodico ed ordinato (nel caso ideale). L’ordinamento periodico degli atomi è detto reticolo cristallino. Per ogni semiconduttore esiste una cella unitaria che ripetuta periodicamente nelle tre direzioni dello spazio realizza il reticolo. CELLA UNITARIA RETICOLO CRISTALLINO Nel silicio ci sono circa 1022 atomi in un volume di un cm3 e la distanza tra i primi vicini è di circa 0.2 nm ovvero di 2Å. Dispositivi Elettronici – Capitolo I: Richiami di Fisica dello Stato Solido I-5  Reticolo cubico Reticolo cubico a corpo Reticolo cubico a facce (Polonio) centrato (Sodio, Tungsteno) centrate (Al, Au, Cu) Diamante (Si, Ge) Zincoblenda (GaAs) Esagonale (Ti, Zn, Cd) Per individuare direzioni e piani cristallografici si usano gli indici di Miller. - Si definiscono gli assi x,y,z (vettori primitivi) Le tipiche celle primitive sono illustrate in figura. Il reticolo diamante è costituito da due reticoli cubici a facce centrate compenetrati. Il reticolo zincoblenda è identico al diamante ma i reticoli compenetrati sono costituiti da atomi diversi. - Si prendono le intercette del piano lungo gli assi in unità di costanti di reticolo (lato del cubo) - Si prendono i reciproci delle intercette e si riducono al più piccolo intero Dispositivi Elettronici – Capitolo I: Richiami di Fisica dello Stato Solido I-6 Si usa la notazione (hkl) per una famiglia di piani paralleli o equivalenti [ ] indica un set di direzioni parallele < > indica un set di direzioni equivalenti Dispositivi Elettronici – Capitolo I: Richiami di Fisica dello Stato Solido I-7 I.3 Struttura a Bande Le proprietà elettriche di ogni dispositivo elettronico dipendono fortemente dalle proprietà fisiche dei materiali che lo compongono. La corrente elettrica si muove nel dispositivo attraverso lo spostamento di elettroni che possono soltanto muoversi da e per livelli di energia permessi. Come abbiamo visto, gli atomi isolati hanno livelli discreti di energia. Quando questi atomi vengono avvicinati si formano bande di energia. Per comprendere come si formano le bande (insieme continuo di livelli) di energia permessi, consideriamo il modello semplificato di Bohr (sistema costituito da atomi singoli con numero atomico Z=1, ad.es. l’atomo di idrogeno H). L’elettrone ha carica negativa mentre il nucleo ha carica positiva ed interagiscono attraverso interazione Colombiana. Supponiamo che gli atomi siano isolati cioè molto lontani e non interagenti l’un l’altro. I livelli di energia dell’elettrone intorno al nucleo sono quantizzati, cioè possono assumere solo i valori discreti dati dalla : Z 2 m0 q 4 En = − 2 2 2 (1.4) 8ε 0 h n q è la carica dell’elettrone, m0 la sua massa a riposo, ε0 la costante dielettrica del vuoto, h la costante di Planck ed n è un intero positivo. En E4 E3 E2 E1 Se Z=1, En = -2.19x10-18/n2 Joule = -13.6/n2 eV (1.5) Come abbiamo visto, per il principio di Pauli su ogni livello di energia possono coesistere al massimo due elettroni con spin opposto. Quindi per n livelli posso avere al più 2n elettroni. Dispositivi Elettronici – Capitolo I: Richiami di Fisica dello Stato Solido I-8 Se riduco la distanza tra gli atomi, essi cominciano ad interagire, cioè gli elettroni risentono del potenziale degli altri nuclei ed elettroni. Questo modifica i livelli energetici consentiti. Infatti quando avvicino due atomi, i livelli En (che possono ospitare ciascuno 2 elettroni) si sdoppiano per poter ospitare 4 elettroni. Più si avvicinano, più l’interazione aumenta ed aumenta il ΔE tra i livelli sdoppiati. Se ho N atomi, l’originario livello En si scinde in N sottolivelli, costituendo una banda di energia per al massimo 2N elettroni. In un cristallo il n. di atomi è di circa 1022 cm-3 e ΔETOT è dell’ordine dell’elettronvolt (eV). Il salto tra i livelli è piccolissimo e la banda può essere considerata continua, con gli elettroni che si possono muovere tra i livelli. Ogni banda di energia ha un minimo ed un massimo e tra le bande ci sono intervalli proibiti di energia (energy band gap) dove non ci sono stati energetici permessi per gli elettroni. Ogni specie atomica si differenza per una serie di parametri fisici tra cui il numero atomico, ovvero il numero di elettroni attorno al nucleo che si dispongono in determinate regioni dette “orbitali” dove è più probabile trovarli. Dispositivi Elettronici – Capitolo I: Richiami di Fisica dello Stato Solido I-9 Nel caso del silicio Z=14 e gli elettroni si dispongono nel modo seguente illustrato in figura: 1s2 2s2 2p6 3s2 3p2 Solo i 4 elettroni esterni (detti di valenza) sono quelli meno legati e possono essere coinvolti in reazioni chimiche per formare legami chimici o possono essere facilmente staccati dal nucleo per condurre corrente. Quando n atomi di silicio vengono avvicinati si formano dunque delle bande ed in particolare alla distanza interatomica di equilibrio le bande più esterne sono chiamate BANDA DI CONDUZIONE e BANDA DI VALENZA e sono separate da un intervallo di energia proibito. Dispositivi Elettronici – Capitolo I: Richiami di Fisica dello Stato Solido I-10 Le bande corrispondenti a livelli energetici con n maggiore sono in generale più grandi. Infatti se si considera il raggio di Bohr del livello n-esimo n 2ε 0 h 2 n2 rn = = 0.529nm (1.6) Zπm0 q 2 Z Cioè l’elettrone è meno legato e si può allontanare più facilmente. Alla distanza di equilibrio si crea una configurazione stabile tra gli atomi e si ha la formazione di due bande, una detta banda di conduzione(dove gli elettroni sono debolmente legati e ci sono stati elettronici disponibili per il movimento) e una di valenza a più bassa energia e tipicamente piena di portatori. Le due bande sono separate da un intervallo di energia proibito ovvero Energy Band Gap Eg. La formazione delle bande è diversa per ciascuna specie atomica. Atomi diversi hanno numero atomico Z diverso e quindi bande diverse. Si possono classificare tre grandi famiglie di materiali in base alle bande di energia: CONDUTTORI; ISOLANTI; SEMICONDUTTORI. Gli atomi dei conduttori hanno ad es. un solo elettrone di valenza cioè nell’orbita più esterna. Quando avvicino N atomi del materiale conduttore, il livello “degenera” in banda dove per N atomi ho Dispositivi Elettronici – Capitolo I: Richiami di Fisica dello Stato Solido I-11 N elettroni ma 2N stati. Ho quindi la banda popolata per metà e gli elettroni sono facilmente ionizzabili e disponibili alla conduzione. Nel caso degli isolanti, il comportamento è l’opposto. Gli elettroni di valenza occupano completamente la banda di energia permessa. La banda di valenza BV è piena mentre la banda di conduzione BC è vuota e molto distante in energia (almeno 5 eV) per cui è difficile far saltare un elettrone dalla banda di valenza a quella di conduzione. Non ci sono stati liberi vicini a quelli occupati disponibili alla conduzione. Il caso dei semiconduttori è intermedio. Le due bande sono distanti un’energia dell’ordine dell’eV ed inoltre è possibile introdurre atomi “droganti” per popolare la banda quasi vuota. Dispositivi Elettronici – Capitolo I: Richiami di Fisica dello Stato Solido I-12 I più importanti semiconduttori sono illustrati in figura (estratto della tavola periodica degli elementi). Dispositivi Elettronici – Capitolo I: Richiami di Fisica dello Stato Solido I-13 I.3 Semiconduttori Drogati Quando nel reticolo cristallino di un semiconduttore vengono sostituiti alcuni atomi con specie atomiche diverse aventi elettroni di valenza in più o in meno della specie originaria se ne modifica la concentrazione dei portatori. In questo caso si dice che il semiconduttore è drogato. Nel caso del silicio, che essendo del IV gruppo ha 4 elettroni di valenza, è possibile drogare in due modi: - Con atomi del V gruppo (atomi con 5 elettroni di valenza e dunque detti donori) ed in questo caso il drogaggio si dice di tipo n o donore; - Con atomi del III gruppo (atomi con 3 elettroni di valenza e dunque detti accettori) ed in questo caso il drogaggio si dice di tipo p o accettore; Nel caso del drogaggio di tipo n, se si schematizzano i legami covalenti tra l’atomo di silicio ed i primi vicini, si ha una situazione come in figura. L’atomo al centro, invece di essere di silicio è sostituito da un atomo di arsenico (As) che è del V gruppo ed ha 5 elettroni di valenza. 4 di questi elettroni vengono utilizzati come avveniva nel silicio per formare legami covalenti con i 4 atomi vicini. L’elettrone in più è invece debolmente legato al reticolo e facilmente disponibile alla conduzione. Nel caso del drogaggio di tipo p in figura invece l’atomo di silicio è sostituito da un atomo di Boro (B). Essendo un atomo del III gruppo il boro ha 3 elettroni di valenza che utilizza per formare i legami Dispositivi Elettronici – Capitolo I: Richiami di Fisica dello Stato Solido I-14 covalenti con tre degli atomi di silicio vicini. Il quarto legame è incompleto ed al posto di un elettrone vi è una lacuna, cioè l’assenza di un elettrone. La lacuna può essere considerata a tutti gli effetti una particella carica come l’elettrone, ma la sua carica è uguale ed opposta all’elettrone cioè è positiva. Il moto di un elettrone verso una lacuna coincide con il moto uguale ed opposto della lacuna. Si ha infatti che contestualmente al moto dell’elettrone si ha il moto opposto della lacuna. Quando un elettrone dalla banda di valenza riesce ad andare in banda di conduzione dove è debolmente legato e facilmente disponibile alla conduzione, lascia in banda di valenza una lacuna. Per convenzione dunque le lacune popolano la banda di valenza mentre gli elettroni la banda di conduzione. La concentrazione dei portatori in semiconduttori intrinseci (non-drogati) o drogati cambia fortemente con la temperatura come illustrato in figura. Dispositivi Elettronici – Capitolo I: Richiami di Fisica dello Stato Solido I-15 Si distinguono tre regioni: - Regione di congelamento (le impurezze non sono tutte ionizzate) - Regione estrinseca (ho la completa ionizzazione delle impurezze) - Regione intrinseca (l’energia termica è sufficientemente elevata da ionizzare anche gli atomi del materiale (ad es. il silicio) ed i portatori intrinseci divengono la maggioranza Per avere il drogaggio di tipo n in un semiconduttore III-V occorre che il drogante del IV gruppo sostituisca le specie del III gruppo. Viceversa per drogaggio di tipo p, il drogante sempre del IV gruppo sostituisce alcuni atomi del V gruppo del reticolo. Dispositivi Elettronici – Capitolo I: Richiami di Fisica dello Stato Solido I-16 I.4 Distribuzione in energia degli elettroni Si può dimostrare che la densità degli stati disponibili è 4π 3 1 g(E) = 3 ( 2m ) 2 E 2 (1.7) h Come invece gli elettroni si distribuiscono sugli stati disponibili è espresso dalla statistica di Fermi che dà la probabilità di occupazione F di uno stato con energia nell’intorno di E. 1 F (E) = E − EF (1.8) 1+ e KT dove EF(T) è il livello di Fermi, cioè il livello di energia E=EF a cui la probabilità di trovare un elettrone è pari a 1/2 , cioè F(EF)=1/2. Al variare della temperatura il livello di Fermi rimane invariato ma la funzione distribuzione di Fermi è modificata. La concentrazione elementare dn di elettroni in Banda di Conduzione compresi tra E e E+dE è data da: 1 4π 3 E 2 dn = g ( E ) F ( E )dE = 3 ( 2 m ) 2 ( E − EF ) dE h 1+ e kT (1.9) Integrando su tutta la banda di conduzione sino ad un bordo superiore ESUP si ottiene n: 1 3 ESUP ( EC − EF ) 4π ( E − EC ) 2 ⎛ 2πmc kT ⎞ − 2 ∫ 3 n= 3 ( 2 m) 2 ( E − EF ) dE ≅ 2⎜ 2 ⎟ e kT h ⎝ h ⎠ EC 1+ e kT (1.10) Dispositivi Elettronici – Capitolo I: Richiami di Fisica dello Stato Solido I-17 dove mc è la massa efficace dell’elettrone (che tiene in conto la perturbazione dovuta al cristallo sull’elettrone). In un semiconduttore intrinseco i vari parametri quali diagramma a bande, densità degli stati g(E), distribuzione di Fermi, e concentrazione dei portatori sono: Dalla relazione precedente (1.10) si ha che: EC − EF − n = Nce KT (1.11) dove 3 ⎛ 2πmc kT ⎞ 2 N c = 2⎜ 2 ⎟ (1.12) ⎝ h ⎠ Nc è la densità effettiva degli stati energetici disponibili in banda di conduzione (si noti che se T=0 non ci sono stati permessi in banda di conduzione). A T=300K (cioè a temperatura ambiente), nel silicio N C = 2.8 × 1019 cm −3. Allo stesso modo per le lacune vale: EF − EV − p = NV e KT dove 3 ⎛ 2πmv kT ⎞ 2 N v = 2⎜ 2 ⎟ (1.13) ⎝ h ⎠ A T=300K, nel silicio NV = 1.04 × 1019 cm −3. In un semiconduttore intrinseco, cioè non drogato, il numero di elettroni per unità di volume in banda di conduzione è uguale al numero di lacune in banda di valenza. Dispositivi Elettronici – Capitolo I: Richiami di Fisica dello Stato Solido I-18 n = p = ni (1.14) Sostituendo le relazioni precedenti si ottiene: EC + EV kT ⎛ NV ⎞ EF = + ln⎜ ⎟ (1.15) 2 2 ⎜⎝ NC ⎟⎠ kT ⎛ NV ⎞ il termine ln ⎜ ⎟ è trascurabile a temperatura ambiente, per cui 2 ⎝ NC ⎠ EC + EV EF ≅ (1.16) 2 Cioè in un semiconduttore intrinseco il livello di Fermi è al centro della banda proibita di energia, equidistante da EC e EV. Il prodotto delle concentrazioni dei portatori: EC − EF EF − EV Eg − − − 2 n ⋅ p = N C NV e KT e KT = N C NV e KT = ni (1.17) Il prodotto n ⋅ p = ni 2 è la LEGGE DI AZIONE DI MASSA che vale sia per i semiconduttori intrinseci che estrinseci. Eg − Nel silicio a T ambiente (Eg=1.12 eV), ni = N C NV e 2 KT ≅ 1.45 ×1010 cm −3. Quando il drogaggio è di tipo donore, a T ambiente è di solito sufficiente l’energia termica per ionizzare i portatori e vale ND=n (se la ionizzazione è completa), con ND concentrazione dei donori. EC − E F − se sostituisco n=ND nella relazione (1.11) n = Nce KT (statistica di Maxwell-Boltzmann) : ⎛N ⎞ EC − EF = kT ln⎜⎜ C ⎟⎟ (1.18) ⎝ ND ⎠ Dispositivi Elettronici – Capitolo I: Richiami di Fisica dello Stato Solido I-19 da cui risulta evidente che all’aumentare della concentrazione dei donori ND, (EC-EF) diminuisce, cioè il livello di Fermi sale verso la banda di conduzione. Analogamente per drogaggio di tipo p, per livelli accettori poco profondi (cioè facilmente ionizzabili), p ≅ N A ed ⎛N ⎞ EF − EV = kT ln⎜⎜ V ⎟⎟ (1.19) ⎝ NA ⎠ Quindi in questo caso all’aumentare del livello di drogaggio (concentrazione degli atomi accettori NV ) il livello di Fermi va giù verso la banda di valenza. Esempio: Un pezzo di silicio è drogato con arsenico la cui concentrazione è 1016 cm-3. Si determini la concentrazione dei portatori e il livello di Fermi a 300K. n ≅ N D= 1016 cm−3 per la legge di azione di massa ni2 (1.45 ×1010 ) 2 p≅ = 16 = 2.1×10 4 cm −3 ND 10 Il livello di Fermi misurato dal bordo inferiore della banda di conduzione : ⎛N ⎞ ⎛ 2.8 ×1019 ⎞ EC − EF = kT ln⎜⎜ C ⎟⎟ = 0.0259 ln⎜⎜ 16 ⎟⎟ = 0.206eV N ⎝ D⎠ ⎝ 10 ⎠ Il livello di Fermi misurato dal livello di Fermi intrinseco (centro banda Ei) si calcola da: EC − EF EC − Ei EF − Ei EF − Ei − − n = Nce KT = Nce KT e KT = ni e KT EC − Ei (1.20) − essendo ni = N c e KT dalla precedenti relazione segue che Dispositivi Elettronici – Capitolo I: Richiami di Fisica dello Stato Solido I-20  ⎛n⎞ ⎛N ⎞ ⎛ 1016 ⎞ EF − Ei = kT ln⎜⎜ ⎟⎟ ≅ kT ln⎜⎜ D ⎟⎟ = 0.0259 ln⎜⎜ ⎟ = 0.354eV 10 ⎟ ⎝ ni ⎠ ⎝ ni ⎠ ⎝ 1.45 ×10 ⎠ Il livello di Fermi si muove per preservare la neutralità di carica. Occorre infatti che la carica totale negativa sia pari alla totale positiva e cioè: n + N A = p + N D che assieme alla legge di azione di massa np = ni2 : n− ni2 n 1 [ = N D − N A ⇒ n 2 − n( N D − N A ) − ni2 = 0 ⇒ nn = N D − N A + ( N D − N A ) 2 + 4ni2 2 ] e ni2 pn = nn Allo stesso modo in un semiconduttore p: 1 [ p p = N A − N D + ( N A − N D ) 2 + 4ni2 2 ] e np = ni2 pp il pedice n indica indica il semiconduttore a cui la concentrazione si riferisce: nn: concentrazione degli elettroni nel semiconduttore n per cui sono detti portatori maggioritari. np: concentrazione degli elettroni nel semiconduttore p per cui sono detti portatori minoritari pn: concentrazione delle lacune nel semiconduttore n per cui sono detti portatori minoritari pp: concentrazione delle lacune nel semiconduttore p per cui sono detti portatori maggioritari Di solito nn ≅ N D e pp ≅ N A Dispositivi Elettronici – Capitolo I: Richiami di Fisica dello Stato Solido I-21 I.4 Dualismo onda corpuscolo Il moto degli elettroni in generale viene studiato come il moto di una particella classica. In realtà questa è una approssimazione poiché vale il postulato di de Broglie: Ogni particella possiede carattere di onda e vale la relazione h h λ= = (1.21) mv p dove λ è la lunghezza d’onda, p = mv è la quantità di moto. Il moto di un’onda può essere espresso attraverso un’equazione differenziale del tipo: ∂ 2ψ ∂ 2ψ ∂ 2ψ 1 ∂ 2ψ ∇ψ = 2 + 2 + 2 = 2 2 2 (1.22) ∂x ∂y ∂z µ ∂t Dove µ è la velocità dell’onda. Se l’onda si propaga in direzione x, l’ampiezza in un punto particolare è quella di un’onda piana: ψ ( x, t ) = ψ ( x)e j 2πνt (1.23) derivando: ∂ψ (x,t) = j2πν ⋅ ψ (x,t) ∂t 2 4π 2ν 2 ⇒ ∇ ψ (x,t) = − ψ (x,t) ∂2ψ (x,t) 2 2 µ2 = −4π ν ⋅ ψ (x,t) ∂t 2 (1.24) Che è l’equazione monodimensionale di Schroedinger che dà l’ampiezza del campo di materia (o funzione d’onda) in funzione dello stato dinamico della particella. h Abbiamo visto che per il postulato di de Broglie (1.4) λ = ; tale relazione unita alla nota mv µ µ h relazione λ = tra lunghezza d’onda, velocità µ e frequenza v dell’onda dà = che sostituita v ν mv nella (1.24) porta a : 2 # mv & 2 2 ∇ ψ (x, t) = −4π % ( ψ (x, t) (1.25) $ h ' Dispositivi Elettronici – Capitolo I: Richiami di Fisica dello Stato Solido I-22 Inoltre l’equazione di Schroedinger dipende dall’energia della particella infatti se esprimo l’energia cinetica in funzione di quella potenziale e totale ECIN=ETOT-EPOT=mv2/2 posso scrivere 8π 2 m(ETOT − EPOT ) 2 ∇ ψ (x, t) + ψ (x, t) = 0 (1.26) h2 questa equazione è l’equazione d’onda in forma indipendente dal tempo. La soluzione ψ si definisce autofunzione dell’equazione d’onda e i livelli di energia allocati sono gli autovalori. 2 ψ (x0 ) dà la probabilità di trovare un elettrone nel punto x0. Se i potenziali sono costanti EPOT = EPOT0 ed ETOT > EPOT0 allora la soluzione si può esprimere come ψ ( x) = Ae jkx + Be − jkx (1.27) che rappresenta un’onda di ampiezza costante dove k è chiamato vettore d’onda e valgono 2m k2 = ( ETOT − E POT0 ) (1.28) !2 2π k= (1.29) λ il valore di k è detto numero d’onda. Se l’elettrone è libero EPOT = 0 e ETOT = ECIN e vale ! 2k 2 p2 E= = (1.30) 2 m 2m p è la quantità di moto e vale p = mv = !k. Quindi per un elettrone nello spazio libero la sua energia è funzione quadratica della quantità di moto o di k. Dispositivi Elettronici – Capitolo I: Richiami di Fisica dello Stato Solido I-23 In realtà una particella non è descritta da una singola onda ma da un pacchetto d’onda, cioè da una ! somma infinita di singole onde con ampiezza e k variabili, che interferiscono costruttivamente solo in un certo volume spaziale dove la probabilità di trovare la particella è elevata. Se la probabilità massima di trovare la particella si ha in x0 entro un Δ x, allora più piccolo è Δ x più grande sarà l’intervallo spettrale Δ k, cioè più indefinito è il momento o quantità di moto p = !k Questo è il principio di indeterminazione di HEISENBERG: Δx ⋅ Δp ≥ h / 2 (1.31) Ovvero tanto più è nota la posizione di una particella, tanto meno nota è la sua velocità. Il principio di indeterminazione è inteso come il fatto che a un livello elementare, l'universo fisico non esiste in forma deterministica, ma piuttosto come un insieme di probabilità. Se invece di considerare gli atomi isolati ho un cristallo, allora la disposizione periodica di atomi corrisponde ad una variazione periodica del potenziale. Le energie permesse e dunque l’equazione di Schroedinger sono fortemente modificate. Se nella soluzione dell’equazione di Schroedinger si considera una dipendenza dal tempo di tipo ψ (x, t) = e± jkx e jωt (1.32) E la ψ rappresenta un’onda piana che si propaga lungo x con pulsazione ω =. ! Poiché il reticolo cristallino è periodico, il campo di energia potenziale prodotto da atomi distanti l è periodico: EPOT ( x) = EPOT ( x + l ) (1.33) Se una equazione di questo tipo è inserita nell’equazione di Schroedinger le autofunzioni (cioè le soluzioni dell’equazione) per il teorema di Bloch sono: ψ ( x) = uk ( x)e± jkx (1.34) uk ( x ) = uk ( x + l ) Il teorema di Bloch dà la forma della funzione d’onda in un sistema periodico: le autofunzioni sono il prodotto di un’onda piana e ± jkx per una funzione periodica uk (x) dello stesso periodo dell’energia potenziale EPOT. Vale la seguente proprietà: ψ ( x + l ) = uk ( x + l )e ± jk ( x+l ) = uk ( x)e ± jkx e ± jkl = ψ ( x)e ± jkl (1.35) Dispositivi Elettronici – Capitolo I: Richiami di Fisica dello Stato Solido I-24 cioè anche la funzione d’onda è periodica in modulo con lo stesso periodo di EPOT. ! 2k 2 p2 Quando l’elettrone è nel cristallo non vale più la relazione (1.30) E = = valida per l’elettrone 2 m 2m nello spazio libero, ma si ha una relazione più complessa E=E(k) che è detta struttura a bande del cristallo, che tiene conto della periodicità degli atomi e quindi del potenziale ed è diversa per ogni materiale. Esistono due tipologie di diagrammi a bande: di tipo I (anche detto a gap diretta) e di tipo II (anche detto a gap indiretta). Nel primo caso il minimo assoluto della banda di conduzione coincide con il massimo della banda di valenza mentre nel secondo caso ciò non è vero. I due casi sono illustrati in figura. Valgono le seguenti proprietà: - la probabilità di trovare un portatore (elettrone in BC o lacuna in BV) è massima nel minimo della banda di conduzione e nel massimo della banda di valenza; - La relazione tra E e k (o p) in prossimità del minimo di BC e massimo di BV è parabolica. −1 ⎛ d 2E ⎞ Essendo la massa efficace dell’elettrone e della lacuna me / h = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ , tale massa è tanto più ⎝ dp ⎠ piccola quanto più la parabola è stretta. Dispositivi Elettronici – Capitolo I: Richiami di Fisica dello Stato Solido I-25