CAPES de Sciences physiques Tome 1 - Physique, Cours et Exercices PDF

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4067_00_p001_002 22/11/05 17:09 Page 1 BELIN Physique CAPES de Sciences physiques TOME 1 - PHYSIQUE e COURS ET EXERCICES 3 tion édi Nicolas BILLY G Jean DESBOIS Marie-Alix DUVAL G Mady ELIAS G Pascal MONCEAU Aude PLASZCZYNSKI G Michel TOULMONDE 8, rue Férou 75278 Paris cedex 06 BELIN www.editions-belin.com 4067_00_p001_002 22/11/05 17:09 Page 2 DANS LA COLLECTION BELIN SUP SCIENCES S. BACH, F. BUET, G. VOLET CAPES de Sciences physiques. Tome 2. Chimie, cours et exercices M. GUYMONT Structure de la matière, cours A. MAUREL Optique ondulatoire, cours Optique géométrique, cours A. MAUREL, J.-M. MALBEC Optique géométrique, rappels de cours et exercices A. MAUREL et G. BOUCHET Optique ondulatoire, rappels de cours et exercices J. BRUNEAUX, M. SAINT-JEAN et J. MATRICON Électrostatique et magnétostatique, cours Électrostatique et magnétostatique, rappels de cours et exercices DANS LA COLLECTION BELIN SUP HISTOIRE DES SCIENCES R. LEHOUCQ ET J.-P. UZAN Les constantes fondamentales O. DARRIGOL Les équations de Maxwell. De MacCullagh à Lorentz A. BARBEROUSSE La mécanique statistique. De Clausius à Gibbs M. BLAY La science du mouvement. De Galilée à Lagrange Aude Plaszczynski et Marie-Alix Duval remercient respectivement Daniel André et Henri Sergolle dont les excellents polycopiés ont inspiré des parties des chapitres 8 et 10. Photo de couverture © CNRS photothèque/F. Livolant. Schémas : Laurent Blondel/Corédoc Le code de la propriété intellectuelle n’autorise que « les copies ou reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non desti- nées à une utilisation collective » [article L. 122-5] ; il autorise également les courtes citations effectuées dans un but d’exemple ou d’illustra- tion. En revanche « toute représentation ou reproduction intégrale ou partielle, sans le consentement de l’auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite » [article L. 122-4]. La loi 95-4 du 3 janvier 1994 a confié au C.F.C. (Centre français de l’exploitation du droit de copie, 20, rue des Grands-Augustins, 75006 Paris), l’exclusivité de la gestion du droit de reprographie. Toute photocopie d’œuvres protégées, exécutée sans son accord préalable, constitue une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal. © Éditions Belin, 2004 ISSN 1158-3762 ISBN 2-7011-4067-6  i i i i Sommaire 1. MÉCANIQUE (Pascal Monceau)........................................ 13 Dynamique du point matériel............................................... 15 Grandeurs cinétiques fondamentales........................................ 15 Principe de l’inertie ; référentiels galiléens (1re loi de Newton).................... 15 Principe fondamental de la dynamique. Référentiels galiléens (2e loi de Newton).... 16 Principe des actions réciproques (3e loi de Newton)............................ 16 Principe fondamental de la dynamique. Cas des référentiels non galiléens.......... 17 Théorème du moment cinétique............................................ 18 Théorème de l’énergie cinétique............................................ 18 Interactions conservatives. Énergie potentielle, énergie mécanique................ 19 Forces centrales......................................................... 20 Oscillateur harmonique à une dimension. Oscillations libres.................. 20 Mouvement d’une particule au voisinage d’une position d’équilibre stable.......... 20 Oscillateur harmonique unidimensionnel non amorti........................... 21 Oscillateur harmonique unidimensionnel amorti par frottement fluide............. 21 Aspect énergétique....................................................... 23 Oscillations forcées : l’oscillateur harmonique entretenu ; résonance........... 23 Recherche du régime permanent........................................... 23 Comportement de la réponse en amplitude en fonction de la fréquence............ 24 Aspect énergétique....................................................... 25 Mécanique des systèmes.................................................... 26 Préliminaire............................................................ 26 Centre d’inertie ; référentiel barycentrique.................................... 26 Quantité de mouvement.................................................. 27 Moment cinétique....................................................... 27 Énergie cinétique. Conservation de l’énergie.................................. 28 Théorèmes de Koenig.................................................... 29 Réduction canonique du problème à deux corps............................... 29 Mécanique du solide indéformable.......................................... 30 Éléments de cinématique du solide......................................... 30 Moment cinétique, énergie cinétique, opérateur d’inertie........................ 31 Solide en rotation autour d’un axe fixe....................................... 32 Moments d’inertie à connaître............................................. 33 Théorème de Huygens................................................... 34 Contact entre solides. Frottement de glissement, lois de Coulomb................ 34 Roulement sans glissement................................................ 35 Statique des fluides......................................................... 36 Notion de pression....................................................... 36 Loi fondamentale de l’hydrostatique........................................ 36 3 i i i i  i i i i Théorème d’Archimède................................................... 36 Exercices................................................................... 37 Solutions................................................................... 62 2. ÉLECTROMAGNÉTISME (Mady Elias)............................... 121 Électrostatique : charges - forces - champ et potentiel électrostatiques......... 124 Les charges électriques................................................... 124 L’interaction coulombienne................................................ 124 Le champ électrostatique.................................................. 124 Le potentiel électrostatique................................................ 125 Théorème de Gauss...................................................... 126 Les équations locales de l’électrostatique..................................... 127 Circulation conservative.................................................. 127 Expression locale du théorème de Gauss..................................... 128 Propriétés du potentiel................................................... 129 Définition et continuité des champs et des potentiels........................... 130 Les conducteurs en électrostatique.......................................... 131 Conducteur en équilibre électrostatique – champ et potentiel.................... 131 Capacité d’un conducteur seul dans l’espace.................................. 131 Plusieurs conducteurs en équilibre électrostatique.............................. 132 Influence totale......................................................... 132 Condensateurs.......................................................... 132 Énergie potentielle d’interaction électrostatique.............................. 133 Système de charges ponctuelles............................................. 133 Distribution continue de charges........................................... 133 Distribution volumique de charges.......................................... 133 Énergie associée au champ électrique........................................ 133 Utilisation de l’énergie pour le calcul des forces électrostatiques.................. 134 Magnétostatique : champ et force magnétiques............................... 134 Force magnétique........................................................ 134 Champ magnétique : loi de Biot et Savart.................................... 135 → − Exemples de calcul de B à partir de la loi de Biot et Savart..................... 135 Symétries du champ magnétique. Théorème d’Ampère....................... 136 Symétries par rapport à un plan............................................ 136 Symétries par rapport à un plan 1 inversion du sens des courants (transformation S.I.) 137 Circulation du champ magnétique.......................................... 137 Potentiel-vecteur. Flux et circulation du champ magnétique................... 139 Le potentiel-vecteur..................................................... 139 Flux du champ magnétique................................................ 140 Équation locale portant sur le potentiel-vecteur............................... 140 Relations de passage pour le champ magnétique............................... 141 Induction électromagnétique............................................... 141 Expérience fondamentale de Faraday (1831).................................. 141 Autres conditions de manifestation du phénomène d’induction................... 143 Induction mutuelle et auto-induction dans l’approximation des régimes quasi- stationnaires............................................................ 143 4 i i i i  i i i i Étude d’une bobine réelle dans l’approximation des régimes quasi-stationnaires..... 144 Le moteur à courant continu................................................ 144 Constitution d’un moteur................................................. 144 Phénomène d’induction.................................................. 145 Couple électromagnétique................................................. 146 Moteur à excitation indépendante (ou séparée)................................ 147 Moteur à excitation série.................................................. 148 Les équations de l’électromagnétisme en régime variable...................... 149 Équation de continuité (conservation de la charge électrique).................... 149 Équation de Maxwell - Ampère............................................ 149 Potentiels.............................................................. 150 Ondes électromagnétiques dans le vide...................................... 151 Équation de propagation.................................................. 151 Une solution particulièrement simple : l’onde plane homogène................... 151 Ondes sinusoïdales. Polarisation............................................ 152 Énergie électromagnétique : densité volumique et flux.......................... 153 Vue d’ensemble des radiations électromagnétiques............................. 154 Électromagnétisme de la matière : étude macroscopique des diélectriques...... 154 Mise en évidence du rôle des diélectriques en électrostatique : polarisation induite... 154 → − Vecteur polarisation P................................................... 154 Susceptibilité électronique xe.............................................. 155 Répartition des charges de polarisation...................................... 155 Potentiel et champ à l’intérieur du diélectrique................................ 155 Équations de Maxwell et conséquences...................................... 156 Électromagnétisme de la matière : étude microscopique des diélectriques...... 156 Polarisation électronique des atomes........................................ 156 Polarisation des molécules................................................. 157 Bilan des polarisations des diélectriques...................................... 157 Électromagnétisme de la matière : milieux aimantés.......................... 158 Dipôle magnétique...................................................... 158 Moments dipolaires magnétiques dans la matière.............................. 159 Description d’un échantillon de matière aimantée.............................. 160 Équations de Maxwell dans la matière aimantée............................... 160 Exercices................................................................... 161 Solutions................................................................... 198 3. ÉLECTROCINÉTIQUE (Michel Toulmonde)........................... 255 L’interaction électrique..................................................... 257 Domaines d’étude....................................................... 257 Les interactions en physique............................................... 257 Le champ électrique..................................................... 257 Le potentiel électrique.................................................... 258 Capacité électrique....................................................... 259 Les circuits électriques..................................................... 260 Courant électrique....................................................... 260 Loi d’Ohm pour un conducteur............................................ 261 SOMMAIRE 5 i i i i  i i i i Dipôle électrocinétique................................................... 261 Résistance pure (conducteur ohmique)....................................... 263 Loi d’Ohm généralisée................................................... 264 Lois des circuits électriques (lois générales)................................... 266 Loi de Joule, énergie, puissance............................................ 269 Les régimes sinusoïdaux.................................................... 270 Grandeurs sinusoïdales................................................... 270 Intensité efficace (effet Joule).............................................. 271 Loi d’Ohm en régime sinusoïdal (circuit RLC série)........................... 271 Circuit oscillant « parallèle » (circuit bouchon)............................... 274 Puissance en régime sinusoïdal............................................. 274 Les régimes variables....................................................... 276 Régime transitoire avec R, L ou C.......................................... 276 Charge et décharge d’un condensateur....................................... 276 Courant transitoire dans une bobine........................................ 277 Décharge d’un condensateur dans une bobine (RLC série)....................... 278 Mesure de déphasage à l’oscilloscope........................................ 280 Exercices................................................................... 281 Solutions................................................................... 287 4. ÉLECTRONIQUE (Mady Elias)........................................ 301 Réseaux linéaires en régime permanent...................................... 303 Lois de Kirchhoff........................................................ 303 Théorème de superposition................................................ 303 Théorème de Thévenin................................................... 303 Théorème de Norton..................................................... 304 Théorème de Millman.................................................... 304 Conseils d’utilisation..................................................... 305 Diodes.................................................................... 305 Semi-conducteurs....................................................... 305 Jonction p-n d’une diode semi-conductrice................................... 306 Caractéristiques d’une diode............................................... 308 Applications............................................................ 309 Transistors................................................................. 310 Description du transistor bipolaire npn...................................... 310 Le transistor amplificateur................................................ 312 Amplificateur opérationnel ou amplificateur de différence intègre............. 314 L’amplificateur opérationnel............................................... 314 Fonctionnement de l’A.O. en régime linéaire................................. 316 Fonctionnement en régime de saturation..................................... 316 L’amplificateur opérationnel réel............................................ 317 Écarts à la perfection des A.O. réels......................................... 318 Modulations............................................................... 318 Principe de la modulation................................................. 318 Modulation d’amplitude.................................................. 319 Modulation de fréquence................................................. 322 6 i i i i  i i i i Conversions numérique-analogique et analogique-numérique................ 324 Généralités sur la conversion............................................... 324 Conversion numérique-analogique (CNA)................................... 325 Conversion analogique numérique (CAN)................................... 326 Exercices................................................................... 327 Solutions................................................................... 349 5. ONDES ( Jean Desbois).................................................. 383 Introduction............................................................... 384 Équations d’ondes....................................................... 384 Propagation unidimensionnelle (ondes planes)................................ 384 Dispersion............................................................. 386 Ondes électromagnétiques dans le vide...................................... 386 Équations de Maxwell dans le vide.......................................... 386 Propriétés des ondes électromagnétiques dans le vide........................... 388 Détection des ondes centimétriques......................................... 390 Ondes électromagnétiques dans la matière................................... 390 Équations de Maxwell dans les milieux matériels.............................. 391 Conditions de passage.................................................... 391 Exemples de milieux matériels............................................. 392 Réflexion et transmission (incidence normale)................................. 393 Onde « basse fréquence » dans un métal. Épaisseur de peau..................... 395 Pression de radiation..................................................... 397 Ondes acoustiques dans un fluide parfait..................................... 397 Équation d’ondes........................................................ 398 Impédance acoustique caractéristique (ou itérative). Réflexion, transmission (incidence normale)............................................................... 399 Ultrasons.............................................................. 399 L’effet Doppler............................................................. 400 La source S et le récepteur R ont des mouvements colinéaires.................... 400 Cas général non relativiste................................................. 401 L’onde se réfléchit sur R avant d’être captée par S.............................. 401 Effet Doppler relativiste. Décalage vers le rouge............................... 403 Exercices................................................................... 404 Solutions................................................................... 425 6. OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE ( Jean Desbois)........................... 459 Lois de Descartes. Stigmatisme............................................. 460 Chemin optique......................................................... 460 Principe de Fermat....................................................... 460 Lois de Descartes........................................................ 460 Stigmatisme............................................................ 461 Image d’un point objet................................................... 461 Aplanétisme. Grandissement linéaire........................................ 462 SOMMAIRE 7 i i i i  i i i i L’optique de Gauss......................................................... 462 Conditions de Gauss..................................................... 462 Éléments cardinaux d’un système centré..................................... 463 Dioptres............................................................... 465 Lentilles. Doublets...................................................... 466 Qualités des instruments d’optique.......................................... 471 Grandissement linéaire g................................................. 471 Puissance P (pour loupes et microscopes).................................... 471 Grossissement G........................................................ 473 Champ................................................................ 474 Pouvoir séparateur. Limite de résolution..................................... 475 Fibres optiques............................................................ 477 Fibres à saut d’indice..................................................... 478 Fibres à gradient d’indice................................................. 478 Fibres multimodes. Fibres monomodes...................................... 479 Dispersion............................................................. 480 Pertes. Coefficient d’atténuation linéique..................................... 481 Matériau utilisé. Procédé de fabrication...................................... 481 Utilisation et intérêt des fibres optiques...................................... 482 Compléments.............................................................. 482 Miroirs................................................................ 482 Rétroprojecteur......................................................... 483 Grandeurs photométriques................................................ 484 L’œil.................................................................. 485 Exercices................................................................... 486 Solutions................................................................... 501 7. OPTIQUE ONDULATOIRE (Nicolas Billy)............................. 531 Description d’une onde électromagnétique................................... 533 Onde électromagnétique monochromatique plane, polarisée rectilignement, dans le vide................................................................... 533 Onde électromagnétique monochromatique plane dans un milieu d’indice n........ 535 Amplitude complexe et intensité de l’onde lumineuse........................... 536 Quelques ordres de grandeur............................................... 537 La polarisation de la lumière................................................ 538 Lumière polarisée : polarisation linéaire, circulaire, elliptique.................... 538 Polariseur, loi de Malus................................................... 539 Cohérence temporelle...................................................... 540 Un modèle simple de cohérence temporelle................................... 541 Quelques ordres de grandeur............................................... 543 Lumière naturelle (ou non polarisée)........................................ 543 Coefficients de réflexion et de transmission (à incidence normale).............. 544 Coefficients de réflexion et de transmission de l’amplitude....................... 544 Coefficients de réflexion et de transmission de l’énergie......................... 545 8 i i i i  i i i i Les trous de Young......................................................... 546 Description............................................................. 547 Méthode de calcul des déphasages en optique physique......................... 547 Intensité des interférences lumineuses....................................... 548 Description de la figure d’interférences, interfrange............................ 550 Quelques variations sur le thème « trous de Young »............................ 551 Observations des interférences de type trous de Young.......................... 560 Interférences non localisées et interférences localisées........................ 561 Interférences par division d’amplitude....................................... 562 Franges d’égale inclinaison................................................ 562 Franges d’égale épaisseur.................................................. 565 Interféromètres............................................................ 568 Interféromètre à deux ondes (ou interféromètre à faisceaux séparés)............... 568 Interféromètre à ondes multiples (ou de Fabry-Perot)........................... 569 Principe de Huygens – Fresnel.............................................. 572 Qu’est ce que la diffraction ?............................................... 572 Principe de Huygens – Fresnel............................................. 573 Validité du principe de Huygens – Fresnel.................................... 573 Diffraction de Fresnel et diffraction de Fraunhofer............................. 574 Diffraction à l’infini par une fente........................................... 575 Diffraction par une fente infinie éclairée sous incidence normale.................. 575 Diffraction par une fente infinie éclairée sous incidence oblique.................. 577 Diffraction à l’infini par une ouverture rectangulaire.......................... 578 Diffraction par une ouverture circulaire, limite de résolution des instruments d’optique.................................................................. 581 Diffraction à l’infini par une ouverture circulaire............................... 581 Limite de résolution d’un instrument d’optique............................... 582 Diffraction à l’infini par deux écrans complémentaires, théorème de Babinet... 584 Processus d’interaction entre la matière et le rayonnement. Émission stimulée.. 584 Rappels................................................................ 584 Description qualitative des processus d’interaction............................. 586 Description quantitative : émission spontanée................................. 587 Description quantitative : absorption........................................ 589 Description quantitative : émission stimulée.................................. 590 Équilibre thermodynamique, rayonnement du corps noir, relations entre coefficients d’Einstein.............................................................. 591 Principes de fonctionnement d’un laser...................................... 592 Cavité optique.......................................................... 593 Milieu amplificateur..................................................... 594 Propriétés du rayonnement émis par un laser.................................. 596 Exercices................................................................... 598 Solutions................................................................... 610 8. THERMODYNAMIQUE (Aude Plaszczynski)........................... 635 Vocabulaire et définitions................................................... 637 Notion de système thermodynamique....................................... 637 SOMMAIRE 9 i i i i  i i i i État d’un système........................................................ 637 Transformations d’un système.............................................. 638 Variables d’état communément utilisées...................................... 638 Gaz parfaits................................................................ 639 Définition et équation d’état............................................... 639 Mélange de gaz parfaits................................................... 639 Transformations d’un gaz parfait........................................... 640 Quelques propriétés des corps purs.......................................... 640 Coefficients thermoélastiques.............................................. 640 Diagramme d’état (P; T ) d’un corps pur..................................... 641 Diagramme (P; V )....................................................... 641 Cas particulier de l’eau................................................... 642 Premier principe de la thermodynamique.................................... 642 Notion d’énergie interne.................................................. 642 Définition énergétique du gaz parfait........................................ 643 Le premier principe de la thermodynamique (pour les systèmes fermés)............ 643 Notion d’enthalpie....................................................... 644 Calcul du travail échangé par un système..................................... 646 Définition du travail..................................................... 646 Différents types de transformations......................................... 647 Travail des forces de pression pour une transformation quasi-statique.............. 647 Exemples de calcul du travail.............................................. 647 Calcul de la chaleur échangée par un système................................. 648 Coefficients calorimétriques............................................... 648 Chaleur échangée par des solides ou des liquides.............................. 648 Chaleur échangée par un gaz parfait......................................... 649 Changements de phase................................................... 651 Détentes de Joule.......................................................... 652 Détente de Joule-Gay-Lussac.............................................. 652 Détente de Joule-Thomson................................................ 653 Second principe de la thermodynamique..................................... 653 Notion d’entropie, énoncé du second principe................................. 653 Différentielle de l’entropie ; application au cas du gaz parfait..................... 654 Bilan entropique........................................................ 655 Diagrammes entropiques.................................................. 657 Machines thermiques....................................................... 658 Relations fondamentales. Inégalité de Clausius................................ 659 Différents types de machines thermiques..................................... 659 Rendement et efficacité des machines thermiques.............................. 660 Exemples de fonctionnement de machines frigorifiques......................... 661 Moteurs de Carnot...................................................... 662 Théorie cinétique des gaz parfaits monoatomiques........................... 662 Les bases de la théorie.................................................... 663 Propriétés du gaz parfait : interprétation microscopique de la pression et de la température............................................................ 664 Loi de distribution de Maxwell............................................. 667 10 i i i i  i i i i Transferts thermiques...................................................... 669 Aspects phénoménologiques de la diffusion thermique.......................... 669 Flux de chaleur.......................................................... 670 Loi de Fourier.......................................................... 670 Les équations de la diffusion thermique...................................... 671 Exercices................................................................... 673 Solutions................................................................... 686 9. PHYSIQUE MODERNE (Marie-Alix Duval)............................ 703 Dualité onde-corpuscule................................................... 704 Phénomènes ou expériences classiquement inexplicables........................ 704 Dualité onde-corpuscule en électromagnétisme............................... 709 Généralisation de la dualité onde-corpuscule.................................. 709 Dynamique relativiste...................................................... 710 Un peu de relativité restreinte.............................................. 710 Cinématique des réactions du type 1(12) → 3 1 4 1 5 1 · · ·................... 712 Le noyau.................................................................. 714 Généralités............................................................. 714 Radioactivité........................................................... 715 Exercices................................................................... 716 10. ASTRONOMIE (Michel Toulmonde).................................. 733 L’astronomie............................................................... 735 Repères historiques...................................................... 735 Domaines d’étude....................................................... 735 Mouvements apparents. Les observations.................................... 735 Le mouvement diurne.................................................... 736 Mouvements apparents du Soleil et de la Lune................................ 737 Les phases de la Lune.................................................... 738 Les éclipses de Soleil et de Lune........................................... 739 Mouvements apparents des planètes......................................... 740 Temps et calendrier........................................................ 741 Origine astronomique des unités de temps................................... 742 Valeur des unités........................................................ 742 Le jour................................................................ 743 Remarques importantes sur le vocabulaire.................................... 744 Les échelles dans l’Univers.................................................. 745 Unités de distance....................................................... 745 Exemples de distances.................................................... 745 Parallaxe stellaire........................................................ 747 Le Système solaire à l’échelle.............................................. 748 Détermination des distances de la Lune et du Soleil........................... 750 La distance Terre-Lune................................................... 750 La distance Terre-Soleil.................................................. 751 SOMMAIRE 11 i i i i  i i i i Mesure de la Terre par Ératosthène.......................................... 752 Copernic et le modèle héliocentrique........................................ 754 Les périodes sidérales.................................................... 754 Les distances au Soleil.................................................... 755 Modèle géocentrique et modèle héliocentrique................................ 756 La gravitation universelle................................................... 757 Aspect historique de la découverte.......................................... 757 Newton et la force centrale................................................ 758 Newton, la pomme et la Lune............................................. 759 Masse d’inertie et masse gravitationnelle..................................... 759 Masse de la Terre........................................................ 759 Les marées................................................................. 759 Attraction différentielle................................................... 759 Le marnage............................................................ 761 Rythme des marées...................................................... 761 Influence du Soleil....................................................... 761 Ralentissement de la rotation de la Terre..................................... 762 Période de rotation de la Lune............................................. 763 Lunettes et télescopes...................................................... 765 Évolution historique..................................................... 765 Clarté d’un instrument (lunette ou télescope)................................. 767 Pouvoir séparateur....................................................... 767 Radiotélescopes......................................................... 767 Analyse spectrale........................................................... 768 Découvertes de Newton (1670)............................................ 768 Principes de l’analyse spectrale (1859)....................................... 769 Effet Doppler-Fizeau (1848).............................................. 769 Nucléosynthèse stellaire et vie des étoiles.................................... 770 Les réactions nucléaires................................................... 770 Évolution d’une étoile.................................................... 771 Abondance des éléments dans l’Univers...................................... 771 Quelques lois du rayonnement............................................. 771 Exercices................................................................... 772 Solutions................................................................... 781 A. RAPPELS MATHÉMATIQUES....................................... 797 Formules de trigonométrie.................................................. 797 Moyenne d’une fonction périodique......................................... 798 Développements limités.................................................... 798 Quelques relations utiles d’analyse vectorielle................................ 799 12 i i i i  i i i i C h a p i t r e 1 Mécanique Les notes de cours de ce chapitre rappellent les grands principes et théorèmes indispensables pour passer le concours du CAPES et enseigner la physique en lycée et collège. Elles attirent d’autre part l’attention sur certains points précis dont l’expérience montre qu’ils posent souvent des problèmes aux étudiants. Elles doivent être conçues comme un guide pour les révisions. Leur contenu doit être connu avec précision avant d’aborder les exercices et problèmes qui en permettront l’assimilation. Les exercices et problèmes ont été sélectionnés de manière à constituer un ensemble pédagogiquement cohérent : ils recouvrent une très large partie du contenu du pro- gramme, et requièrent l’utilisation de la plupart des méthodes mises en oeuvre pour résoudre les problèmes de mécanique. 1. Dynamique du point matériel 1.1. Grandeurs cinétiques fondamentales 1.2. Principe de l’inertie ; référentiels galiléens (1re loi de Newton) 1.3. Principe fondamental de la dynamique. Référentiels galiléens (2e loi de Newton) 1.4. Principe des actions réciproques (3e loi de Newton) 1.5. Principe fondamental de la dynamique. Cas des référentiels non galiléens 1.6. Théorème du moment cinétique 1.7. Théorème de l’énergie cinétique 1.8. Interactions conservatives. Énergie potentielle, énergie mécanique 1.9. Forces centrales 2. Oscillateur harmonique à une dimension. Oscillations libres 2.1. Mouvement d’une particule au voisinage d’une position d’équilibre stable 2.2. Oscillateur harmonique unidimensionnel non amorti 2.3. Oscillateur harmonique unidimensionnel amorti par frottement fluide 2.4. Aspect énergétique 3. Oscillations forcées : l’oscillateur harmonique entretenu ; résonance 3.1. Recherche du régime permanent 3.2. Comportement de la réponse en amplitude en fonction de la fréquence 3.3. Aspect énergétique 4. Mécanique des systèmes 4.1. Préliminaire 4.2. Centre d’inertie ; référentiel barycentrique 1. MÉCANIQUE 13 i i i i  i i i i 4.3. Quantité de mouvement 4.4. Moment cinétique 4.5. Énergie cinétique. Conservation de l’énergie 4.6. Théorèmes de Koenig 4.7. Réduction canonique du problème à deux corps 5. Mécanique du solide indéformable 5.1. Éléments de cinématique du solide 5.2. Moment cinétique, énergie cinétique, opérateur d’inertie 5.3. Solide en rotation autour d’un axe fixe 5.4. Moments d’inertie à connaître 5.5. Théorème de Huygens 5.6. Contact entre solides. Frottement de glissement, lois de Coulomb 5.7. Roulement sans glissement 6. Statique des fluides 6.1. Notion de pression 6.2. Loi fondamentale de l’hydrostatique 6.3. Théorème d’Archimède 14 i i i i  i i i i 1. DYNAMIQUE DU POINT MATÉRIEL 1.1. Grandeurs cinétiques fondamentales Pour un point matériel M, de masse m, animé d’une vitesse − → M v par rapport à un référentiel R donné, on définit les grandeurs cinétiques suivantes : * Quantité de mouvement : p O − → p = m− → v R * Moment cinétique en un point A : − −−→ − → s→ A = AM ∧ p (moment en A de la quantité de mouvement). * Énergie cinétique : 1 2 Ec = mv 2 1.2. Principe de l’inertie ; référentiels galiléens (1re loi de Newton) Principe : Il existe des référentiels privilégiés, appelés galiléens, dans lesquels la quantité de mouvement d’une particule isolée est constante (cela correspond soit au repos, soit au mouvement rectiligne uniforme). Cette loi fait des droites des objets cinéma- y1 y2 tiques privilégiés. Ce sont aussi des objets géométriques privilégiés (dans un espace euclidien). Les référentiels galiléens sont en transla- x1 V x2 O1 O2 tion rectiligne uniforme les uns par rap- port aux autres. L’opérateur qui permet R1 R2 de passer d’un référentiel à un autre est z1 z2 la transformation de Galilée G(V ). Elle contient l’homogénéité et l’isotropie de l’espace ainsi que l’uniformité du temps. La vitesse de propagation de l’information est supposée infinie. Dans l’hypothèse où R2 est en translation rectiligne uniforme de vitesse V par rapport à R1 , dans la direction parallèle à Ox (Fig. ci-dessus), la relation 1. MÉCANIQUE 15 i i i i  i i i i entre les deux référentiels s’écrit (dans les repères définis par les origines O1 , O2 et les trois axes de directions fixes associés) :      x1 1 0 0 V x2       y1  0 1 0 0   y2        =   z1  0 0 1 0  z2       t1 0 0 0 1 t2 Matriciellement, cette relation s’écrit :  −→ [X1 ] = G( V ) [X2 ]  → − Il est facile de montrer que l’ensemble G( V ) des transformations de Galilée a une structure de groupe :  −→  − →   − →  − → − → − → G( V ) ⊗ G( V
) = G( V " ) où V

= V 1 V
Les lois de la mécanique classique sont invariantes dans les transformations du groupe de Galilée. 1.3. Principe fondamental de la dynamique. Référentiels galiléens (2e loi de Newton) Principe : Dans un référentiel galiléen, la dérivée de la quantité de mouvement d’un point matériel par rapport au temps est égale à la somme des forces qu’il subit.
− → − dp → = f dt Rgal Dans un autre référentiel galiléen, le principe fondamental appliqué à ce point s’écrit exactement de la même façon, puisque deux référentiels galiléens ne sont pas accélérés l’un par rapport à l’autre. → − Dans le cas où la masse du point est constante, ce principe s’écrit m− → a = f 1.4. Principe des actions réciproques (3e loi de Newton) −−→ Principe : Si un point matériel 1 exerce sur un point matériel 2 une force F1→2 , alors le point −−→ −−→ matériel 2 exerce sur 1 une force opposée F2→1 = −F1→2 Cette loi suppose une transmission instantanée de l’information. Ainsi, le principe des actions réciproques n’est-il plus valable dans le cadre de la théorie de la relativité restreinte. 16 i i i i  i i i i 1.5. Principe fondamental de la dynamique. Cas des référentiels non galiléens R2 est en translation par rapport à R1 y1 y2 M (translation non rectiligne uniforme). Principe : Le principe fondamental de la dynamique dans R2 non galiléen s’écrit : O1 x1 O2 x2
→ − − dp → − → = f 1 fie (M) dt R2 z1 R1 z2 R2 − → Galiléen en translation non fie (M) est la force d’inertie d’entraînement du rectiligne uniforme point M due à l’accélération de R2 par rapport par rapport à R1 à R1 galiléen. Dans le cas d’une translation, l’accélération d’entraînement du point M ne dépend ni de sa position par rapport à R2 ni de sa vitesse par rapport à R2 et on a : −−−→ − → d2 O1 O2 fie (M) = −m− → ae (M) = −m− → a (R2 /R1 ) = −m dt 2 où − → a (R2 /R1 ) est l’accélération de R2 dans sa translation par rapport à R1. R2 est en rotation autour d’un axe par rap- R1 z port à R1 1 H Principe : Le principe fondamental de la dyna- mique dans R2 non galiléen s’écrit : M z2
→ − − dp → − → → − y2 = f 1 fie (M) 1 fic (M) dt R2 O y1 → − où fie (M) est la force d’inertie d’entraînement du point M due à la rotation de R2 par rapport à R1 x1 → − galiléen et fic (M) la force d’inertie de Coriolis du point M. R2 x2 L’accélération d’entraînement du point M comporte deux termes dépendant de la posi- tion de M dans R2. L’un d’entre eux est la cause de la célèbre force d’inertie centrifuge, → − l’autre n’intervient que si la rotation de R2 par rapport à R1 est non uniforme. Si V (R2 /R1 ) 1. MÉCANIQUE 17 i i i i  i i i i désigne le vecteur rotation (ici parallèle à Oz1 ) de R2 par rapport à R1 , on a : → − − → 2− −→ d V (R2 /R1 ) −−→ fie (M) = −m− → ae (M) = mV  HM −m ∧ OM dt force d’inertie centrifuge (en mV2 r) où H est le projeté orthogonal de M sur Oz1 L’accélération de Coriolis du point M dépend de la vitesse de M dans le référentiel entraîné R2 , − v→ R2 (M) → − → − −→(M) fic (M) = −2m V (R2 /R1 ) ∧ v R2 1.6. Théorème du moment cinétique Théorème : La dérivée par rapport au temps du moment cinétique du point matériel M en un point fixe O d’un référentiel galiléen est égale à la somme des moments en ce point des forces subies par M :
−  d→ sO  −→ − → −→ − → −−→ − → = MO ( f ) où MO ( f ) = OM ∧ f dt Rgal Pour utiliser le théorème du moment cinétique dans un référentiel non galiléen, il faut ajouter à la somme des moments les moments des forces d’inertie d’entraînement et de Coriolis, soit −−→ −→ −−→ − → OM ∧ fie (M) et OM ∧ fic (M). 1.7. Théorème de l’énergie cinétique Cas d’un référentiel galiléen Théorème : Dans un référentiel galiléen, la variation d’énergie cinétique du point M entre deux instants t1 et t2 est égale à la somme des M1 travaux des forces subies par M entre ces deux instants. O  − → DEc = Ec2 − Ec1 = W1→2 ( f ) Rgal où M2  − → M2 − → −−→ W1→2 ( f ) = f · dOM M1 → − Si − → v désigne le vecteur vitesse de M, la puissance de la force f à un instant donné est : → − dW → → − P( f )= = f ·− v dt 18 i i i i  i i i i → − Il est utile de se rappeler qu’on peut calculer le travail en intégrant la puissance de f entre deux instants :  t2 → − → − W1→2 ( f ) = P ( f )dt t1 Cas d’un référentiel non galiléen : il faut ajouter à la somme des travaux des forces, les travaux des forces d’inertie d’entraînement. Remarque : la force d’inertie de Coriolis ne travaille pas, puisqu’elle est à chaque instant normale à la vitesse du point dans le référentiel entrainé (sa puissance est toujours nulle) : → − → − −→(M) = 0, (∀t) P ( fic (M)) = fic (M) · v R2 1.8. Interactions conservatives. Énergie potentielle, énergie mécanique Forces conservatives : une force est conservative si son travail lors du déplacement du point matériel M d’un point A à un point B ne dépend pas du chemin suivi. En particulier sur un contour fermé quelconque :  → −−→ − f · dOM = 0, ∀C, fermé C Il est alors facile de montrer qu’une force est conservative si et seulement s’il existe une fonction scalaire Ep (x, y, z), ne dépendant que des coordonnées d’espace, telle que : → − −−→ f (x, y, z) = −gradEp (x, y, z) On a alors → − WA→B ( f ) = Ep (A) − Ep (B) L’énergie potentielle Ep (x, y, z) n’est pas, étant donné un champ de forces, définie de → − façon univoque, mais à une constante additive près. On dit que le champ de forces f dérive d’un potentiel. → − → − − → → − Etant donné un champ de forces f , il est donc conservatif si rot( f ) = 0 Conservation de l’énergie mécanique : en appliquant le théorème de l’énergie ciné- tique, dans le cas où les forces dérivent toutes d’un potentiel, on montre que : Théorème : L’énergie mécanique Em = Ec 1 Ep d’une particule soumise uniquement à des forces conservatives ne dépend pas du temps : dEm =0 dt Il est important de remarquer que cette propriété reste vraie si la particule est aussi soumise à des liaisons (forces de contact avec une surface ou une courbe) à condition que celles-ci ne travaillent pas. C’est en particulier le cas en l’absence de frottements, mais aussi lorsqu’on a des frottements latéraux, de résultante orthogonale à la vitesse à tout instant. 1. MÉCANIQUE 19 i i i i  i i i i 1.9. Forces centrales Un point matériel M est soumis à une force centrale de centre O si la droite d’action de cette force passe par O quelle que soit la position de M. Une telle force dérive d’une énergie potentielle qui est obligatoirement isotrope (les lignes de force sont orthogonales → − aux surfaces d’égale énergie potentielle) de sorte qu’on l’écrit F = f (r)− → ur , où − → ur est le dEp vecteur unitaire radial des coordonneés sphériques, avec f (r) = −. dr Propriétés : Soit un point matériel M soumis uniquement à une force centrale de centre O. On observe les propriétés suivantes : – Le moment cinétique en O − → s (M) du point matériel est conservatif. O – Le mouvement de M s’effectue donc dans un plan perpendiculaire à − → s O (M) et passant par O. On le décrira de manière pratique en coordonnées polaires. – Le mouvement de M obéit à la loi des aires : pendant une durée Dt donnée, le rayon vecteur −−→ OM balaie des aires égales, quelle que soit la position de M. → − → − – L’énergie mécanique du point M dans un champ de forces central F = f(r) ur est conservative. Compte tenu de la conservation du moment cinétique, on peut passer des expressions générales de la vitesse et de l’accélération en coordonnées polaires (r, u) à des relations ne faisant plus intervenir le temps ; ce sont les formules de Binet. En définissant la constante des aires C par −→ s O (M) = mC, on a C = r 2 , et :     2   2  2 1 2  d 1 d 1 → − C 1 r  − → v2 = C2 1 a =− 2   1 ur r du r r r du  2 ➜ Voir exercices 1 à 15 2. OSCILLATEUR HARMONIQUE À UNE DIMENSION. OSCILLATIONS LIBRES 2.1. Mouvement d’une particule au voisinage d’une position d’équilibre stable Une position d’équilibre stable pour une particule placée dans un champ de forces dérivant d’une énergie potentielle se définit par l’existence d’une force de rappel lorsqu’on l’écarte → − −−→ de cette position ; comme F = −grad(Ep ), cela se traduit par un minimum de l’énergie potentielle. Dans le cas général multidimensionnel, l’étude des positions d’équilibre et de leur stabilité peut être difficile car les surfaces équipotentielles peuvent avoir une topologie compliquée (points selles,... ) 20 i i i i  i i i i 2.2. Oscillateur harmonique unidimensionnel non amorti L’hypothèse harmonique suppose que la réponse est linéaire : la force de rappel est proportionnelle au déplacement x de la particule par rapport à sa position d’équilibre stable. L’énergie potentielle est donc quadratique par rapport aux déplacements. Étude dynamique : à une dimension Fx = −kx, où x repère le déplacement de la parti- cule par rapport à l’équilibre, est la seule force qu’elle subit. Le principe fondamental de la dynamique conduit à une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants : 2 dx 1 v20 x = 0 dt 2 k La solution générale peut s’écrire x(t) = a sin(v0 t 1 f) où v20 =. v0 est la pulsation m propre de l’oscillateur ; a et f dépendent de deux conditions initiales. Les oscillations d’un oscillateur harmonique non amorti sont isochrones : leur pul- sation ne dépend pas de l’amplitude du mouvement. Aspect énergétique : l’énergie mécanique d’un oscillateur harmonique non amorti est 1 1 une intégrale première du mouvement. Em = mv2 1 kx2 est constante, proportionnelle 2 2 1 au carré de l’amplitude des oscillations et au carré de la pulsation : Em = ma2 v20 2 Un oscillateur harmonique ne possède que des états liés : deux barrières de potentiel le confinent dans une région finie de l’espace. Théorème du viriel : L’énergie cinétique et l’énergie potentielle de l’oscillateur harmonique sont oscillantes, de période égale à T0 /2. Leurs moyennes temporelles sont égales. 2.3. Oscillateur harmonique unidimensionnel amorti par frottement fluide Aspect dynamique ; mise en équation : en plus de la force de rappel Fx = −kx, la → − particule est soumise à une force de frottement fluide f = −h−→ v (h > 0). L’équation différentielle du mouvement s’écrit : 2 dx 1 dx k 1 h 1 1 v20 x = 0 où v20 = et = dt 2 t dt m t m v0 est la pulsation propre de l’oscillateur et t correspond physiquement à un temps de relaxation ; c’est le temps caractéristique du régime libre. Lorsqu’on écarte le système de l’équilibre et qu’on le lâche, il revient à sa position d’équilibre et au repos après « quelques t ». Solutions de l’équation différentielle ; représentation complexe : l’équation caracté- ristique associée à l’équation différentielle est r 2 1 (1/t)r 1 v20 = 0 La forme des solutions de l’équation différentielle dépend du signe de D = 1/t2 − 4v20 1. MÉCANIQUE 21 i i i i  i i i i √ – Si D > 0 (2v0 t < 1), soit (h > 2 mk), le régime est apériodique : amortissement assez important. L’équation caractéristique a 2 racines réelles négatives distinctes r1 et r2. La solution générale s’écrit : x(t) = a exp(r1 t) 1 b exp(r2 t) La particule retourne à sa position d’équilibre sans effectuer d’oscillations. Il est important de remarquer que le fait que les racines soient négatives assure le retour à l’équilibre (la limite de la vitesse lorsque t tend vers l’infini √ est zéro). – Si D < 0 (2v0 t > 1), soit (h < 2 mk), le régime est oscillatoire : amortissement assez faible. L’équation caractéristique a deux racines complexes distinctes c1 et c2 à partie réelle négative ; la solution générale complexe s’écrit : X (t) = a exp(c1 t) 1 b exp(c2 t). L’élongation est alors la partie réelle (notée x) de X ; il apparaît naturellement dans le calcul la pulsation  V = v20 − 1/4t2 On écrit la solution : x(t) = exp(−t /2t)(a cos Vt 1 b sin Vt) La particule retourne à sa position d’équilibre en effectuant des oscillations dont l’ampli- tude décroît exponentiellement, avec un temps caractéristique de l’ordre de 2t ; bien que la fonction x(t) ne soit pas périodique, on remarque qu’elle s’annule à des intervalles de temps égaux permettant de définir une pseudo-période T = 2p/V. La pseudo-période des oscillations amorties est toujours un petit peu plus élevée que la période propre, mais en reste très proche dans la limite de l’amortissement faible. Le décrément logarithmique d caractérise la rapidité de l’amortissement ; c’est le rapport entre les deux temps caractéristiques qui apparaissent naturellement dans l’équation diffé- rentielle, à savoir la période propre et le temps de relaxation. L’amplitude des oscillations décroît d’autant plus vite que d est élevé. x(t 1 T )/x(t) = exp(−T /2t) et d = T /2t Le rapport des amplitudes des oscillations espacées d’une pseudo-période est une constante égale à exp(−d). √ – Si D = 0 (2v0 t = 1), (soit h = 2 mk), le régime est critique : c’est le régime qui assure la transition entre le régime apériodique et le régime oscillatoire. La solution générale s’écrit : x = (at 1 b) exp(−t /2t) La particule retourne à sa position d’équilibre sans effectuer d’oscillations. Il est facile de montrer que, pour des conditions initiales et pour v0 et t fixés, le temps que met la particule pour retourner à l’équilibre est alors minimal. 22 i i i i  i i i i 2.4. Aspect énergétique À partir de l’équation différentielle, on multiplie chaque membre par ẋ, et on intègre entre t1 et t2 : mẍ(t)ẋ(t) 1 kx(t)ẋ(t) = −hẋ(t)2  t2  t2 → − − → E(t2 ) − E(t1 ) = f · v dt = − hẋ(t)2 dt t1 t1 L’énergie mécanique d’un oscillateur harmonique amorti diminue au cours du temps : la variation d’énergie mécanique du système entre deux instants est égale au travail de la force de frottement entre ces deux instants. ➜ Voir exercices 16 à 17 3. OSCILLATIONS FORCÉES : L’OSCILLATEUR HARMONIQUE ENTRETENU ; RÉSONANCE L’oscillateur harmonique entretenu est soumis de plus à une force extérieure périodique et sinusoïdale F(t) de période T. 3.1. Recherche du régime permanent À une dimension, le principe fondamental de la dynamique conduit à une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants. La solution générale est la somme de l’intégrale générale de l’équation sans second membre et d’une intégrale particulière de l’équation avec second membre : 1 ẍ(t) 1 ẋ(t) 1 v20 x(t) = F(t)/m t La solution générale de l’équation sans second membre se caractérise par le fait que sa limite tend vers 0 lorsque t tend vers l’infini, quel que soit le régime transitoire ; dans la pratique, cette solution « s’écrase » sur un temps caractéristique de quelques t. Cela sous-entend évidemment, que le frottement fluide n’est pas nul. F(t) étant une excitation sinusoïdale, on est amené à chercher une réponse sinusoïdale z(t) de même fréquence. On utilise la représentation complexe (x = Re(z)) : 1  z̈(t) 1 ż(t) 1 v20 z(t) = f0 /m eivt => z(t) = z0 eivt t avec f0 1