Calculus 1 2024 PDF

Calculus 1 ll 2024 Les ensembles Calculus 1 ll 2024 1 / 18 Généralités sur les ensembles , , les intervalles de R , les valeurs absolues :quelques rappels Calculus 1 ll 2024 2 / 18 Qu’est-ce qu’un ensemble ? Un ensemble est une collection d’objets deux à deux dis...

Calculus 1 ll 2024 Les ensembles Calculus 1 ll 2024 1 / 18 Généralités sur les ensembles , , les intervalles de R , les valeurs absolues :quelques rappels Calculus 1 ll 2024 2 / 18 Qu’est-ce qu’un ensemble ? Un ensemble est une collection d’objets deux à deux distincts , appelés éléments. Si l’ensemble a un nombre fini d’éléments , ce nombre est appelé : cardinal de l’ensemble. On peut définr un ensemble de deux manières différentes : en extension : on donne la liste des éléments ; en compréhension : on donne une propriété commune vérifiée par les éléments de l’ensemble. Calculus 1 ll 2024 3 / 18 Relation d’appartenance : On note x ∈ A si l’élément x est dans A. Ensemble vide : Il existe un unique ensemble qui ne contient aucun élément. C’est l’ensemble vide noté 0/. (admis) Un ensemble peut être élément d’un autre ensemble pas de lui même. Inclusion : ▶ L’ensemble A est un sous-ensemble de B si tous les éléments de A sont des éléments de B : x ∈ A =⇒ x ∈ B ▶ On note alors A ⊆ B ▶ On dit que A est un sous-ensemble de B. A = B si et seulement si A ⊆ B et B ⊆ A Calculus 1 ll 2024 4 / 18 Quelques ensembles connus : L’ensemble des entiers naturels noté N = {0, 1, 2, 3...} L’ensemble des entiers relatifs noté Z = {... − 3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4...} p L’ensemble des nombres décimaux noté D = { n , p ∈ Z, n ∈ N} 10 p L’ensemble des nombres rationnels noté Q = { , p ∈ Z, q ∈ Z − {0}} q L’ensemble des nombres réels noté R Ces ensembles sont tels que : N ⊂ Z, Z⊂D et D ⊂ Q, Q⊂R √ Notons qu’il existe des nombres réels qui ne sont pas rationnels comme 2, π Calculus 1 ll 2024 5 / 18 Ensemble des parties Ensemble des parties : Soit A un ensemble. L’ensemble des parties de A est l’ensemble de tous les sous-ensembles de A. Il est noté P (A). 0/ ∈ P (A) car 0/ ⊂ A A ∈ P (A) car A ⊆ A Calculus 1 ll 2024 6 / 18 Autres opérations entre ensembles Soient A et B des ensembles. Union : L’union de A et de B est l’ensemble des éléments qui appartiennent à A ou à B. On note cet ensemble A ∪ B. A ∪ B = { éléments de A ou de B } Intersection : L’intersection de A et de B est l’ensemble des éléments qui appartiennent à A et à B. On note cet ensemble A ∩ B. A ∩ B = { éléments de A et de B } Complémentaire : Si A est un sous-ensemble de Ω alors , on appelle complémentaire de A dans Ω l’ensemble des éléments de Ω n’appartenant pas à A. On note A ce sous -ensemble de Ω. Calculus 1 ll 2024 7 / 18 Différence : La différence de A et de B est l’ensemble des éléments de A n’appartenant pas à B. On note A \ B = {éléments dans A mais pas dans B } Différence symétrique : La différence symétrique de A et de B est l’ensemble des éléments de A ∪ B n’appartenant pas à A ∩ B. On note A △ B = {éléments dans A ∪ B mais pas dans A ∩ B } A △ B = ( A ∪ B ) \ (A ∩ B ). Produit cartésien : Le produit cartésien de A et de B est l’ensemble des couples dont le premier élément appartient à A et le deuxième élément appartient à B. A × B = {(a, b), a ∈ A et b ∈ B } Généralisation : A1 × A2... × Ak = {(a1 , a2 ,..., ak ), ai ∈ Ai pour tout i ∈ {1, 2,...k }} Calculus 1 ll 2024 8 / 18 Quelques propriétés Soient A, B et C des sous-ensembles de Ω. A=A A∩B = A∪B A∪B = A∩B A ∪ A = A et A ∩ A = A. A ∪ B = B ∪ A et A ∩ B = B ∩ A. A ∪ 0/ = A et A ∩ Ω = A. A ∪ (B ∪ C ) = (A ∪ B ) ∪ C et A ∩ (B ∩ C ) = (A ∩ B ) ∩ C Calculus 1 ll 2024 9 / 18 Les intervalles dans R L’intervalle vide peut être noté 0/ Définition : Soit E un sous-ensemble de R. On dira que E est majoré (respectivement minoré ) s’il existe M ∈ R (resp. m ∈ R ) tel que pour tout x ∈ E , on ait x ≤ M (resp. x ≥ m). Un élément M vérifiant la propriété ci-dessus s’appelle un majorant de E (resp. m s’appelle un minorant de E). Un ensemble qui est à la fois minoré et majoré est dit borné. L’ensemble { n1 , n ∈ N∗ } est minoré par 0 et majoré par 1 , il est donc borné. Est-ce que l’ensemble {x ∈ R, x 2 < 2} est borné ? Calculus 1 ll 2024 10 / 18  Un intervalle de R est un sous-ensemble de R contenant tous les nombres réels compris entre deux nombres réels distincts a et b. Les bornes (ou extémités) a et b peuvent être exclues du sous-ensemble ou incluses dans le sous-ensemble. Un intervalle est dit fermé en a si la borne a est comprise. Un intervalle est dit ouvert en a si la borne a est exclue. Calculus 1 ll 2024 11 / 18 Soient a et b des réels tels que a < b. Les intervalles bornés sont de la forme Calculus 1 ll 2024 12 / 18 Les intervalles non bornés sont de la forme Calculus 1 ll 2024 13 / 18 Les intervalles [a, b], [a, +∞[, ] − ∞, b], ] − ∞, +∞[= R sont des intervalles fermés. Les intervalles ]a, b[ et ] − ∞, +∞[= R sont des intervalles ouverts. L’intervalle ]a, b] est borné , fermé à droite , ouvert à gauche. L’intervalle [a, b[ est borné , ouvert à droite , fermé à gauche. L’intervalle ]a, +∞[ est un intervalle non borné ouvert à gauche. L’intervalle ] − ∞, b[ est un intervalle non borné ouvert à droite. Calculus 1 ll 2024 14 / 18 Opérations sur les intervalles ] − ∞, −3[∪]3, +∞[= {x ∈ R|x < −3 ou x > 3} [−4, 4] ∪ [0, 5] = [−4, 5] [−4, 4] ∪ [4, 5] = [−4, 5] [−4, 4] ∩ [4, 5] = {4} [−4, 4] ∩ [5, 6] = 0/ [−4, 4] ∩ [0, 5] = [0, 4] R|{0} =] − ∞, 0[∪]0, +∞[ Calculus 1 ll 2024 15 / 18 Définition de la valeur absolue : La valeur absolue d’un nombre réel x est la distance entre le point O et le point M d’abscisse x sur la droite graduée. On note |x | la valeur absolue de ce nombre x. Ainsi : |x | = x si x ≥ 0 |x | = −x si x ≤ 0 Exemples |π| = π, | − 2| = 2, | − 43 | = 3 4 La distance entre les points A d’abscisse a et B d’abscisse b est égale à |b − a|. Calculus 1 ll 2024 16 / 18 Propriétés | − x | = |x | pour tout x réel. x ≤ |x | et −x ≤ |x | pour tout x réel. Inégalité triangulaire : pour x et y réels : |x + y | ≤ |x | + |y | Equation : |x | = |y | équivaut à x = y ou x = −y pour x et y réels. Pour tout x et y réels , |xy | = |x ||y |. Inéquation : |x | > |y | équivaut à x 2 > y 2. √ Racine carrée : x 2 = |x |. Exemples : La distance entre 5 et 2 vaut 3. La distance entre −4 et 2 vaut 6. Calculus 1 ll 2024 17 / 18 Propriété L’intervalle [a − r , a + r ] où a est un réel et r un réel positif est l’ensemble des réels x telq que |x − a| ≤ r. Pour un nombre réel x et un nombre entier naturel n, on appelle valeur approchée de x à 10−n près un nombre réel d tel que |x − d | ≤ 10−n Pour x fixé , ce nombre n’est pas unique. On choisit un nombre d décimal ayant une partie décimale de n chiffres. Exemple : 3, 14 est une valeur approchée de π à 10−2 près. Calculus 1 ll 2024 18 / 18