H.M.S. Informatique - Septembre 2024 Past Paper (PDF)

H.M.S.Informatique S. HERAUVILLE Septembre 2024 1/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024  PARTIE I : NUMÉRATION 2/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Plan 1 Introduction 2...

H.M.S.Informatique S. HERAUVILLE Septembre 2024 1/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024  PARTIE I : NUMÉRATION 2/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Plan 1 Introduction 2 Sciences 3 Épistémologie 4 Numération 5 Histoire des mathématiques 6 Dénitions mathématiques 7 Représentation des nombres 8 Les calculateurs humains 9 Loi de Benford 10 Références 3/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024  INTRODUCTION 4/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Linux Partie RE 2024 4 OCTOB 5/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Introduction Histoire => Histoire de l'informatique et Méthodologie => Démarche des Sciences => Connaissances 6/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Introduction Pour Qui ? Les utilisateurs des outils informatiques : Domaine d'activité Sciences => Recherche, analyse, modélisation,... Technique => Conceptions, réalisations,... Outil utilisé dans de nombreux domaines 7/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Introduction Contenu Cours 36h - S. HERAUVILLE Numération Matériel Langages Communications Sécurité... Présentation de la recherche Évaluation 8/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024  SCIENCES 9/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Sciences Sciences Dénition 1 Ensemble cohérent de connaissances Relatives à certaines catégories de faits, d'objets ou de phénomènes Obéissant à des lois et/ou vériés par les méthodes expérimentales. L'informatique est une science Base de connaissances, Méthodologie de travail. 1. Dictionnaire Larousse 10/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Sciences Sciences Intérêt des sciences : Base de connaissances reconnues par les pairs, Lois fondamentales réutilisables,... Attention : Les lois scientiques ne sont pas immuables 11/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Sciences Infox = Fake news Dénition 2 Information mensongère, Délibérément biaisée ou tronquée, Diusée par un média ou un réseau social An d'inuencer l'opinion publique. 2. Dictionnaire Larousse 12/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Sciences Étude cognition (juin 2022) On peut faire croire n'importe quoi à force de le rabâcher Like sur réseau social pour mettre en avant une publication,... Comment la science peut-elle rétablir la vérité ? Pédagogie => Prend du temps Multiplier et analyser les sources d'information, ? 13/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Sciences Loi de Brandolini 3 "La quantité d'énergie nécessaire pour réfuter des sottises est supérieur d'un ordre de grandeur à celle nécessaire pour les produire" Principe généralisé en janvier 2013 par le programmeur italien Alberto Brandolini après la publication d'une interview de Silvio Berlusconi soutenant de fausses armations sans contradiction. En science et en droit, application du principe de ne pas renverser la charge de la preuve : Celui qui arme doit être en mesure de fournir les preuves 3. Appelée aussi : Le principe d'asymétrie des baratins 14/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Sciences Objectif H.M.S. Introduction aux domaines de l'informatique Introduction à la méthodologie Déconstruction des idées préconçues (si possible) Introduction aux termes techniques 15/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Sciences Objectif H.M.S. Informatique = science Connaissance + Méthodologie => Travail + rigueur Domaine accessible à tous Pas de restriction => Égalité Homme / Femme 16/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Sciences Test Pouvez-vous conrmer ou inrmer les armations suivantes : 1 Les éléphants courent plus vite que les guépards. 2 La terre est plate. 3 Les traînées laissées sur le passage des avions sont dues à des produits chimiques. 4 La vaccination contre le covid a permis d'injecter des implants électroniques. 5 La religion permet de corriger la science. 6 La technologie est prête pour créer l'homme augmenté. 17/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Sciences Science sans conscience n'est que ruine de l'âme Rabelais (1494-1553) : Pantagruel 18/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Sciences Éléments de réexion 21% des français croient au moins à 5 thèses complotistes 9% des français sont platistes Remarque : 16% aux EU, 34% chez les 18-24 ans Sources d'information : TV 70% (dont BFM pour 40%), Réseaux sociaux 40%, Journaux 15%,... Sciences et éthique 19/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Sciences Question Comment prouver que la terre est ronde ? 20/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Sciences Question Quelle est la dernière révolution informatique ? 21/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Sciences Quelques notions culturelles Intelligence articielle : 1 - Les notions Mythologie grecque : Les robots dorés d'Héphaïstos,... Moyen-age : Le Golem XIXème : Frankenstein de Mary Shelley 22/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Sciences Quelques notions historiques Intelligence articielle : 2 - La science 1890 - W. James : Concept de mémoire associative (apprentissage) 1940 - Premiers ordinateurs => Mise en pratique des concepts théoriques 1950 - A. Turing : "Les machines peuvent-elles penser ?" 1956 - John McCarthy crée l'expression "Intelligence articielle" 23/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Sciences Quelques notions historiques Réseaux de neurones 1943 - W. McCulloch et W. Pitts Présentation du neurone formel (Abstraction du neurone physiologique) 24/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Sciences Quelques notions historiques Réseaux et communication Transmission de message depuis antiquité Signaux de fumée, signaux sonores (cloches) ou optiques (torche) 1940 - Georges Stiblitz fait communiquer 2 ordinateurs 1958 - Modem développé par les laboratoires Bell 1965 - Ted Nelson crée l'hypertext avec SGML 1990 - Tim Berner Lee pose les fondements du web 25/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Sciences Question Quelle est la dernière révolution informatique ? Réponse Informatique quantique -> 1980 Richard Feynman et Yuri Manin 26/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024  ÉPISTÉMOLOGIE 27/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Épistémologie Histoire des sciences Concept essentiel : Le questionnement Seule l'histoire des sciences retrace le questionnement toujours présent dans le processus de découverte. Science : Sépare ce qui est certain de ce qui est probable ; désigne aussi le processus de l'acquisition de connaissances. 28/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Épistémologie C'est une maladie naturelle à l'homme de croire qu'il possède la vérité directement ; et de là vient qu'il est toujours disposé à nier tout ce qui lui est incompréhensible ;... B. Pascal (1658) : De l'esprit géométrique et de l'art de persuader. 29/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Épistémologie Épistémologie Discours rationnel (logos) sur le savoir (epistémé) pris au sens d'une connaissance certaine (par opposition à opinion ou croyance) ; les faits sont pris comme des idées. Niveau 0 : Les faits Niveau 1 : Explication des faits → Science Niveau 2 : Analyse des processus logiques et des explications scientiques → Philosophie des sciences 30/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024  NUMÉRATION 31/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Numération Pourquoi compter ? Économique Gestion des stocks, Optimisation des échanges,... Social Dimensionnement des infrastructures, Gestion des groupes,... Militaire Tables de tir,... Astronomique Prévision astronomiques, Calendriers,... Sciences Observations, modélisation,... Techniques Conception, simulation,...... 32/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Numération Qui sait compter ? Les études montrent que les animaux savent dénombrer : Chimpanzé, perroquet, hamster, poisson.. Certaines langues primitives ne comportent pas de nombre : Mots pour un, deux et plusieurs. Traces préhistoriques : Hypothèses mais pas de certitude : Bâtons d'Ishango (-20 000) : Décoration, ou nombres premiers ? Comment compter : Par comparaison,... 33/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Numération Comment compter ? Systèmes numériques Sur les doigts,... Base 2, 5, 8, 10, 12, 20, 60,... Nombreuses traces (très) anciennes Encoches sur des os (préhistoire : -35000 ans avant JC) Petites pierres utilisée pour le calcul (-5000 ans avant JC) Diérentes forme de calculi selon la quantité associée -> base Cordes avec n÷uds (aztèques) Symboles numériques gravés -3000 ans avant JC, avant écriture. 34/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Numération Calculi Petites pierres utilisées pour le calcul 7000 ans avant J.C. Petits cailloux : calculi (en latin) Calcul Opérations sur les nombres Calcul rénal Coliques néphrétiques 35/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Numération Base n 2,5,10 Calcul sur les doigts 20 Système gaulois Langage : Quatre vingt 12 Avec les phalanges Simplie les calculs : Division par 2,3,4,6 1 pied = 12 pouces / 1 douzaine d'oeufs /... 27 Utilisé par le peuple Oksapmim (Nouvelle-Guinée). Chaque nombre est associée à une partie du corps, en allant du pouce de la main droite au petit doigt de la main gauche en passant par la tête.... 36/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Numération Base n 60 Utilisé par les sumériens 4 Système sexagésimal : Expression des heures, Cercles Cumule les avantages des bases 20 et 12 4. Plus ancienne écriture connue, 4000 ans avant J.C. 37/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Numération Écriture des nombres Tablette babylonien vers 2500 avant JC 38/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Numération Numération et langage Nombres et langages En français, singulier et pluriel Plusieurs langues disposent de la notion de duel, associée aux paires naturelles : 2 bras, 2 yeux,... Exemple : grec, sanskrit, slovène, breton, arabe littéraire,... Certaines langues utilisent également la notion de triel Exemple : Australie 39/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Numération Reconnaissance numérique Les bébés identient la notion de nombre avant le langage 5 Subitisation : Phénomène mis en évidence par les travaux de Stanislas Dehaene (1997) L'÷il humain ne peut percevoir globalement et instantanément plus de 4 éléments Hypothèse 1 : Justie l'utilisation de la base 5 ? Hypothèse 2 : Justie l'écriture de comptage par des barres verticales barrées par groupe de 4 pour exprimer la valeur 5 5. Il s'agirait d'une capacité ancestrale parue très tôt dans l'évolution 40/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Numération Langage et nombre Le système d'écriture des nombres dière de son expression orale En français, expression des multiples (dix, cent, mille,...) et résidus de la base 20 (quatre-vingt). En allemand, inversion des chires s'il y a des dizaines En japonais, si le comptage est simple avec la particularité de disposer des myriades, cela se complique selon le type d'éléments comptés : objets inanimés, personnes. De même, la gestuelle de la dactylonomie est diérente. 41/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Numération Supports de calcul Nombreux systèmes créés pour aider à eectuer les calculs : Tablettes, bouliers, règles,... 6 6. Voir chapitre matériel 42/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Numération Carte des système de numération Apparition des système de numération 43/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Numération Principe de numération Classication selon le principe de numération Système additif : Notation romaine Système positionnel : Notation actuelle Système mixte : Combinaison d'addition et de multiplication Remarque : L'expression orale des valeurs numériques est mixte Deux mille trois cent dix huit 44/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Numération Chires romains Principe additif Symboles issus du principe de l'entaille : I, V, X MDCCLXXXIX = ? 45/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Numération Chires romains 7 Principe additif Symboles issus du principe de l'entaille : I, V, X MDCCLXXXIX = 1789 1000 + 500 + 2x100 + 50 + 3x10 + 10-1 Remarque : Écriture non adaptée aux calculs 7. Principe similaire chez les grecs. Les lettres de l'alphabet servent de symboles pour les unités, dizaines et centaines , avec 9 symboles par rang 46/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Numération Remarque Des savoir considérables ont été accumulés par des civilisations anciennes Astronomie Proche orient, Amérique centrale,... Somme d'observation systématiques sur un temps long (siècle ?) Calculs complexes Applications : Calendriers, navigation,... 47/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Numération Remarque Des savoirs considérables ont été accumulés par des civilisations anciennes Géométrie : Résolution de problèmes concrets pour la construction Certaines proportions étaient connues, et restent parfois utilisées : Triplet (3,4,5) pour tracer les angles droits (maçonnerie). Approximation de la constante Pi 48/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024  HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES 49/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Mathématiques Fondements des mathématiques Pythagore (IVe siècle avant JC) Considéré comme le père de l'histoire des mathématiques modernes Se forme en Asie mineure auprès de Thalès de Millet Voyage ensuite en Égypte, Chaldée 8, Inde ( ?),... S'installe en Grande Grèce pour fonder son enseignement 8. Asie Mineure : Zone géographique proche de l'actuelle Turquie) Chaldée : Zone géographique proche de l'actuel Irak (Babylonie) Grande Grèce : Italie du sud 50/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Mathématiques Pythagore Création d'une école en Grande Grèce Enseignement avec des disciples choisis, an de former une élite capable de faire progresser le savoir et d'inuencer les aaires publiques pour le bien commun. Système de pensée fondée sur la certitude que les nombres sont constitutifs de l'univers (et le régissent). 51/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Mathématiques Apports de Pythagore Théorie de la musique (octave, tierce,..) Étude des gures géométriques Étude des propriétés des nombres (et non plus de leur usage) Invente, démontre et découvre des théorèmes Méthodes de raisonnement et de démonstration 9 Des progrès similaires ont eu lieu en Inde ou en Chine, mais resteront ignorés par l'absence de contacts avec ces régions. 9. Voir la partie consacrée à la logique 52/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Mathématiques Fibonacci (1170-1250) Léonard de Pise 10 , dit Léonardo Filius Bonnaci (ou Figlius di Bonnaccio) Fils d'un marchand et notaire public des douanes pour le compte de l'ordre des marchands de la république de Pise. Très jeune, accompagne son père en Algérie dans la colonie de Béjaïa, pour y être initié à l'arithmétique utile pour un futur marchand. Voyage sur le pourtour méditerranéen (Syrie, Grèce, Égypte,...) et rencontre savants et scientiques qui lui enseignent les savoirs du passé encore inconnus du monde occidental. 10. Vécu à l'époque de la construction de la tour 53/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Mathématiques Numération indo-arabe Apparue dès le 3ème siècle dans les textes indiens en Brahmi Utilise des signes particuliers pour les chires, au lieu des lettres Apparition de la notation positionnelle Apparition du mot "sunya" (vide) pour indiquer l'absence de valeur, à l'origine du mot "zéro". Cette notation se diuse ensuite vers la Chine, et dans l'aire culturelle musulmane, grâce à des savants comme Al-Fazari ou Al-Khwarizmi, puis en Europe via le pape Sylvestre II, le bénédictin Abélard de Bath et Fibonacci. 54/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Numération Évolution des chires indo-arabes 55/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Mathématiques Al-Kwarizmi Mathématicien musulman né en Ouzbékistan (780-850) Explore dans ses ouvrages la résolution des équations polynomiales en explicitant les étapes nécessaires au calcul des racines. C'est l'apparition du mot algèbre provenant de l'arabe Al-jabr, ou opération de réduction, utilisé dans le titre de son principal ouvrage, et des tentatives de formalisation de l'algorithme. Le mot algorithme dérive de la forme native de son nom : algorithmi 56/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Mathématiques Apport du système décimal Numérotation positionnelle vs Numérotation additive 1 symbole = 1 chire, représente plusieurs valeurs selon sa position (unité, dizaine,..) Les calculs sont simpliés et permettent des opérations plus complexes Écriture adaptable aux diérentes bases 57/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Mathématiques Apports de Fibonacci De retour en Italie, il se consacre à l'écriture d'ouvrages mathématiques, véritables passerelles de connaissances scientiques entre deux civilisations. Liber abaci, ouvrage datant de 1202, transmet la numération de position indo-arabe (au lieu des chires romains) Practica geometricae, ouvrage de 1220, présente et démontre de nombreux théorèmes En avance sur son temps ( ?), le niveau élevé de ses travaux ne sera pas étudié. La période suivante, du moyen age, sera un point mort pour les mathématiques. 58/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Mathématiques Liber abaci Liber abaci, ouvrage datant de 1202, transmet la numération de position indo-arabe (au lieu des chires romains) Il rassemble des méthodes de calcul des opérations élémentaires, résultats d'algèbre sur les racines carrées et cubiques Présente la résolution de certaines équations du 1er et 2nd degré, Étudie les critère de divisibilité, décomposition d'un nombre en produits de facteurs premiers, On y trouve aussi des problèmes comme la reproduction des lapins (Suite de Fibonacci) 59/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Mathématiques Tournoi de mathématique Organisé Frédéric II (1194-1250) en 1225, empereur de l'Empire Germanique, où philosophes et savants s'arontent pour résoudre des énigmes. 1 Trouver un nombre rationnel tel que si on ajoute ou retranche 5 à son carré on obtienne un carré 2 Résoudre l'équation x 3 + 2x 2 + 10x = 20 60/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Mathématiques Tournoi de mathématique (suite) 3 Trois hommes ont mis en commun une somme d'argent. Leurs parts respectives sont de 21 , 13 et 16. Chaque homme retire successivement une part de sorte qu'il ne reste plus rien de la somme initiale. Le premier homme remet au pot commun la moitié de ce qu'il a emprunté, le deuxième un tiers et le troisième un sixième. Lorsqu'à la n les trois hommes se partagent équitablement le nouveau pot commun, chacun est en possession de son bien initial. Quel était le montant du premier pot commun. 4... 61/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Mathématiques Tournoi de mathématiques Fibonacci remporte le tournoi en résolvant 3 problèmes Les autres compétiteurs n'en résolvent aucun ! 62/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Mathématiques Florence 1280 En 1280, Florence interdit l'usage des chires arabes par les banquiers On juge que le zéro apporte confusion et dicultés Ce système sera appelé cifra, dérivé du mot arabe zéro (al sifr = vide, zéro), qui a donné chire Par l'usage cabalistique, le mot chire aurait acquis son sens de code secret. 63/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Mathématiques Gutenberg (1400-1468) Création de l'imprimerie en 1454, en améliorant des techniques existantes : Utilisation de caractères mobiles en métal (Jikji 1377 - Bi Sheng XIème siècle avec des caractères en argile) Presse à bras Encre d'impression à base d'huile de lin, de cendre et de résineux Diminution du coût du papier grâce aux moulins à foulon, techniques ramenée des croisades Premier livre imprimé : La bible car elle permet d'assurer des recettes 64/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Mathématiques Diusion des savoirs L'imprimerie permettra la diusion massive des savoirs 11 1482 - Les éléments d'Euclide Euclide rédigea un traité rassemblant les savoirs de l'époque (-300) en treize volumes. 1494 - Summa de Lucas PACIOLI, compilation des connaissances mathématiques de l'époque. 11. Vers 1700, environ 30% des hommes, et 15% des femmes sont alphabétisés 65/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024  MATHÉMATIQUES 66/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Dénitions Dénitions Axiomes Proposition évidente par elle-même. Proposition non démontrée utilisée comme fondement d'un raisonnement ou d'une théorie mathématique. Exemple en géométrie Euclidienne Objet de base : un point est un objet élémentaire qui n'a pas de dimension. Axiome : Deux points distincts du plan déterminent une et une seule droite. 67/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Dénitions Dénitions Postulat 12 Principe non démontré, utilisé dans la construction d'une théorie mathématique. Contrairement à l'axiome, le postulat n'est pas évident, mais est admis implicitement ou explicitement. Proposition susceptible d'être démontrée ultérieurement à partir d'axiomes. 12. En latin, postulare = demander 68/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Dénitions Dénitions Théorème 13 Proposition démontrée à l'intérieur d'un système mathématique. Découle des axiomes et postulats. Un théorème se démontre à partir d'hypothèses et de règles d'inférence. La démonstration, bien que nécessaire, ne fait pas partie du théorème. 13. En grec, théorêma = objet digne d'étude 69/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Dénitions Dénitions Lemme Assertion servant d'intermédiaire pour démontrer un théorème plus important. Corollaire Résultat qui découle directement d'un théorème particulier. Proposition Résultat relativement simple non associé à un théorème particulier. Conjecture Proposition mathématique dont on ignore la véracité. Une fois démontrée, elle devient un théorème. Loi scientique Loi obtenue par l'expérimentation. 70/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Dénitions Conjecture de Poincaré Conjecture émise par Henri Poincarré en 1904 Énoncé : Considérons une variété compacte V simplement connexe, à 3 dimensions, sans bord. Alors V est homéomorphe à une hypersphère de dimension 3. Est inclus dans la liste des 7 problèmes du prix millénium établie par l'institut de mathématiques CLay en 2000. Résolu par Grigori Perelman en 2003. Résolution reconnue par la communauté lors du congrès internationnal de mathématiques en 2006. 71/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Dénitions Mal nommer un objet, c'est ajouter aux malheurs de ce monde. Albert Camus (1913-1960) 72/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024  REPRÉSENTATION DES NOMBRES 73/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Nombres Les nombres 14 14. Franck et Ernest de Bob Thaves 74/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Nombres Exemples de formats numériques Représentation naturelle Les nombres négatifs n'auront leur statut que récemment Les nombres décimaux ont d'abord été représentés sous forme de fractions Les nombres irrationnels Les nombres complexes 75/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Nombres Les nombres négatifs Apparaissent au 2e siècle avant JC en chine pour des besoins de comptabilité 15 Le "Jiuzhang suansho" ou les "neuf chapitres sur l'art du calcul" présente la résolution de 246 problèmes quotidiens d'ingénierie, d'arpentage, de commerce ou de scalité. Les nombres sont représentés par des baguettes rouges (positifs) ou noires (négatifs). Ces problèmes sont aujourd'hui équivalent à des systèmes d'équations linéaires à plusieurs inconnues. 15. Ils ne sont néanmoins pas reconnu comme "nombre" 76/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Nombres Les nombres négatifs Nombreuses apparitions, puis remises en cause dans les travaux des mathématiciens Barhmagupta (Inde, 598-660) donne les règles de calcul Une dette retranchée du néant devient un bien, un bien retranché du néant devient une dette" al Khwarizmi (Perse, 780-850) accepte des termes négatifs dans les équations. Chuquet (France, 1445-1488) isole une valeur négative dans une équation ; Descartes (1596-1650) qualie de "moindre que rien" de telles solutions. MacLaurin (Ecosse, 1698-1746) puis Euler (Suisse, 1707-1783) ajoute les coordonnées négatives en géométrie. 77/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Nombres Les nombres négatifs (suite) Lazare Carnot (France, 1753-1823) ne distingue pas le zéro absolu du zéro relatif Pour obtenir réellement une quantité négative isolée, il faudrait retrancher une quantité eective de zéro, oter quelque chose de rien : opération impossible. En 1821, Cauchy (France, 1789-1857) déni les nombres relatifs comme une partie numérique précédée d'un signe + ou - Hankel (Allemagne, 1839-1873) donne enn aux nombres le statut d'objets formels obéissant à des règles préétablies, avec le développement des nombres complexes. 78/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Nombres Thermomètre 1715 - Gabriel Farenheit (1686-1736) conçoit un thermomètre pourvu d'une graduation évitant les températures négatives 1741 - Anders Celsius (Suède, 1701-1744) construit un thermomètre à mercure 0°C = point de congélation de l'eau, 100°C = point ébullition Il faudra attendre le début du XIXème siècle pour accepter les températures négatives 79/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Nombres Les fractions Premières représentation en Mésopotamie vers -3000 avant J.C. Seuls quelques cas particuliers sont représentées 15 , 101 , 301 , 601 , 120 1 -2000 avant J.C., les babyloniens utilisent un système de numération sexagésimal et combine le principe additif et le principe de position. 16 16. Basé sur 2 symboles : clou et chevron, la notation pouvait être ambiguë. Le 1 clou peut désigner 1 ou 60 ou 60... 80/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Nombres Les fractions Vers 952, Ibrahim al Uqlidisi (Arabe, 920-980) propose les fractions décimales sous la forme 54'321 Il explique que cette écriture sans numérateur simplie les calculs Abu'l-Wafa (Perse, 940-998) est un des premiers à accorder le statut de nombre à tout rapport de grandeurs. Les savants indiens utilisent une notation proche de la notre, mais sans barre de fraction. Ce seront les savants arabes aui ajouteront cette barre Au Xème siècle, Muhammad al Karkhi (Arabe, 953-1029) pose les règle de calcul des nombres décimaux, et donne une approximation à la solution irrationnelle de certaines équations. 81/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Nombres Les fractions Dès le XIIème siécle, le traducteur Adelard de Bath (Angleterre, 1075-1160) traduit du perse Mohamed al Khwarizmi le mot fractiones "kasr" en arabe pour signier rompu ou fracturé. Au Moyen Age en Europe, les fractions seront appelées les nombres rompus. en 1579, François Viète (Français, 1548-1620) incite à l'usage des fractions décimales devant les fractions sexagésimales, sans succès. 82/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Nombres Les fractions On attribue à Simon Stevin (Belge, 1548-1620) la découverte des nombres décimaux pour 2 raisons : Il semble qu'il ait établi sa théorie indépendamment des travaux antérieurs. Le système de Stevin s'est répandu de façon très rapide et a été adopté en une dizaine d'années ! 89,532 est alors écrit sous la forme suivante Il faudra attendre le début du XVIIème siècle pour que la virgule soit utilisée pour l'écriture des nombres décimaux, par les travaux de Jost Bürgi (Suisse, 1552-1632) et de John Napier (Écosse, 1550-1617) 83/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Nombres Les nombres irrationnels En latin, "ratio" signie compter. Étymologiquement, un nombre irrationnel est un nombre qu'on ne peut compter, ou plutôt écrire. Exemple : 27 = 0.285714... est un nombre rationnel, π = 3.141519... est un nombre irrationnel Premières traces identiées vers 1700 avant JC,√ sur une tablette Babylonienne, et donne une approximation de 2 avec une précision de 4x 10−7 Vème siècle avant JC, les pythagoriciens découvre l'impossibilité de trouver une solution fractionnaire. Cette découverte doit rester secrète pour ne pas rompre le fondement même de la fraternité : "Tout est nombre" 84/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Nombres Les nombres irrationnels Depuis l'antiquité, en Chine, en Grèce et en Inde sont connues les fractions continues qui contribueront au développement des nombres irrationnels et à la recherche de valeurs approchées. √ 1 2=1+ 1 2+ 1 2+ 1 2+ 2 +... 85/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Nombres Les nombres irrationnels Euclide d'Alexandrie (-320 à -260) √présente une des premières démonstration de l'irrationalité de 2. Il donne la classication des irrationnels connus, qui sont tous des racines carrées d'entiers. Xème siècle, les savants arabes donnent le statut de nombre pour les racines carrées. Un nombre rationnel est appelé "al-a'dad al-mantiqa" : nombre logique. Un nombre irrationnel est appelé "al-a'dad asamma" : nombre sourd. 86/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Nombres Les nombres irrationnels XVIIème et XVIIIème siécle, de nombreux mathématiciens étudient les nombres irrationnels Le symbole racine carrée apparaît avec Christo Rudol (1499-1545) Fin XVIIIème √ siècle, classication des nombres : 2 est un irrationnel algébrique car solution d'une équation polynomiale à coecients entiers : x 2 − 2 = 0 π et e sont des irrationnels transcendants car ne correspondent à aucune équation de ce type Fin XIXème siècle, Richard Dedekind (1831-1916) réunit les rationnels et les irrationnels sous le nom de réels (droite des réels) 87/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Nombres Les nombres irrationnels Remarque : La majorité des constantes naturelles (environ une douzaine en physique) sont des nombres irrationnels, du moins en l'état actuel de nos connaissances. π et e La vitesse de la lumière, La gravitation, La constante de Planck,... 88/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Nombres Démonstration par l'absurde √ Hypothèse : Supposons que 2 soit rationnel Il existe √ alors 2 entiers p et q tels que p/q soit irréductible et 2 = p/q Donc 2 = p 2 /q 2 soit p 2 = 2q 2 p 2 est un nombre pair, donc p l'est également 17 Il existe donc un entier r tel que 2r = p (a) La fraction p/q = 2r/q étant irréductible, q est impair (b) Or p 2 = 2q 2 soit 4r 2 = 2q 2 Donc q 2 est pair et ainsi q est pair. Il y a contradiction √ entre (a) et (b), donc l'hypothèse de départ est fausse : 2 est irrationnel. 17. Un nombre élevé au carré garde sa parité 89/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Nombres Structure des nombres Jusqu'au XIXème siècle, pas d'étude sur la structure des nombres L'étude des nombres algébriques fait apparaître d'autres ensembles de nombres que les rationnels, réels ou complexes. Il devient nécessaire de préciser la structure de corps, puis la notion d'entier sur ce corps, et enn la notion d'anneau. Richard Dedekind (Allemagne, 1831-1916)déni la première fois la structure de corps souvent nommée K 18 18. Corps se dit Körper en allemand 90/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Nombres Structures des nombres Monoïde : Ensemble muni d'une loi de composition interne associative, et d'un élément neutre Groupe : Monoïde non nul dans lequel tout élément non nul admet un inverse Anneau : Ensemble muni de 2 lois de composition internes dotées d'un élément neutre, dont l'une est distributive. Corps : Anneau non nul dont tout élément non nul admet un inverse. La notion de groupe est utilisée en géométrie, physique, chimie,... 91/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Mathématique Classication des nombres 92/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Mathématique Classication des nombres 93/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Nombres Nombres complexes C contient les nombres de la forme a + ib avec a, b ∈ R et i 2 = −1 Forme algébrique : z = a + ib Forme trigonométrique : z = |z|(cos(θ) + i sin(θ)) Forme exponentielle : e iθ = cos(θ) + i sin(θ) Les nombres complexes sont utilisés en électronique, physique,... 94/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Nombres Codage des nombres Comment sont codés les nombres en informatique ? Cette partie sera abordée dans le prochain chapitre 95/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Math Pour le plaisir.... 1000000000000066600000000000001 Est un palindrome Contient le nombre de Belphégor : 666 entouré de 13 zéros ! Il est symbolisé par π. Et c'est un nombre premier Sinon, il ne présente aucun intérêt particulier en sciences ! 96/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Math Petite histoire de Pi L'un des principaux centre d'intérêt des mathématiciens depuis 4000 ans Approximation connue des babyloniens et égyptiens en -1800 Archimède (-287...-212) trouve une méthode pour en calculer les décimales π apparaît en 1647, extraite de "πϵριµϵτ ρoϵ", mot grec employé par Archimède pour désigner le périmètre √ Valeurs approchées : 3.14, 227 , 10,... 97/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Math Les décimales de Pi -1800 : ≃ 3.125(Égypte)... ≃ 3.162 (Babylonnne) -250 : π = 4 ∗ 89 2 Archimède 800 : 3.1416 Al-Kwarizmi 1600 : 35 décimales 2024 : 105 000 milliards de décimales calculées en 75 heures Avec 10 décimales, possibilité de calculer la circonférence de la terre avec une précision de 1mm 98/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024  LES CALCULATEURS HUMAINS 99/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Calculateurs Quizz Les maths sont diciles car notre cerveau n'est pas adapté à cet exercice ? Les maths, c'est pas pour les lles ? 100/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Calculateurs Quizz Les maths sont diciles car notre cerveau n'est pas adapté à cet exercice ? => Faux Les maths, c'est pas pour les lles ? => Faux Ce n'est pas parce c'est dicile que nous n'osons pas, c'est parce que nous n'osons pas que c'est dicile. Senèque 101/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Calculateurs Étude OCDE Jeunes français en dicultés : 78% des élèves de début de 6ème ne savent pas placer 1/2 au milieu de l'intervalle [0,1] 40% des élèves de terminale générale ne faisaient plus de maths à la rentrée 2021 2% des jeunes atteignent le niveau avancé en math en 4ème contre 11% en moyenne dans 20 pays de l'OCDE. L'apprentissage des mathématiques est basé sur un empilement de concepts. 102/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Calculateurs Calculateur humain Ce terme apparaît pour la première fois en 1613 et signie "celui qui calcule". De nombreuses personnes ont eu cette tâche pour la réalisation de calculs complexes. 19 Les premiers calculs complexes concernant l'astronomie, remontent aux Babyloniens. 19. Poste souvent temporaire en attendant une meilleure situation 103/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Calculateurs Et les femmes ? Fonction généralement fermée aux femmes, jusqu'à la n du XIXème siécle avec Edward Charles Pickering Beaucoup de femmes astronomes de cette époque étaient des calculatrices : Henrietta Swan Leavit Florence Crushman crée un catalogue de 16300 étoiles Les calculatrices de l'observatoire de Paris sont appelées les "dames de la carte du ciel" 104/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Calculateurs Nicole-Reine Lepaute Alexis Clairaut (France, 1713-1765), le plus jeune mathématicien accepté à l'académie à l'age de 18 ans. Parmi ses travaux, il calcule le retour de la comète de Halley : Alexis Clairaut établit les modèles de calcul Jérôme de Lalande (1732-1807) et Nicole-Reine Lepaute (1723-1788) réalisent les calculs Travail fastidieux (6 mois) nécessitant de déterminer par calcul la position journalière de la comète sur son orbite Ses résultats annoncés en novembre 1758 prédisent le retour de la comète pour le 13 avril 1759 avec une erreur de 1 mois ! Mme Lepaute ne sera pas citée dans la liste des calculateurs... 105/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Calculateurs L'usine à calcul de Prony Ingénieur des Ponts-et-Chaussées, Gaspard de Prony (1755-1839) organise la production de tables de logarithmes et de trigonométrie. Tables rendues nécessaires par l'introduction du système décimal sous la révolution française Prony organise scientiquement l'élaboration des tables dont les méthodes de calculs sont dénies par un groupe de mathématiciens Une centaine de calculateurs remplissent des feuilles pré-imprimées. Chaque opération est réalisée par 2 personnes indépendamment an de détecter les erreurs. 20 20. Ce qui n'évitera toutefois pas les erreurs, et motivera C.Babbage pour ses projets 106/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Calculateurs Aperçu d'un service comptable dans les années 60 Image extraite du lm The apartment - 1960 - B.Wilder 107/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Calculateurs Les gures de l'ombre Livre publié en 2016 par Margot Lee Shetterly Documente la contribution des Afro-Américaines, calculatrices à la NASA Dorothy Vaughan dirige le groupe des calculatrice, puis se spécialisera ensuite dans la programmation Fortran Katherine Johnson est réputée pour la abilité de ses calculs en navigation astronomique Mary Jackson devient ingénieur et travaille pour la souerie supersonique Ces femmes luttent pour l'égalité de traitement hommes/femmes Médaille d'or du Congrès américain en 2018, à titre posthume 108/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024  LOI DE BENFORD 109/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Loi de Benford Loi de Benford Analyse de la répartition du premier chire signicatif dans un domaine quelconque Observation eectuée par l'astronome américain Simon Newcomb : Les pages des tables de logarithmes étaient plus usées pour le chire 1 Loi issue de l'analyse eectuée par l'ingénieur américain Franck Benford en 1938 Comment cette loi a-t-elle été formulée ? 110/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Loi de Benford Observation Fréquence de répartition du premier chire signicatif Nombre d'habitants dans les villes de la région Normandie 111/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Loi de Benford Analyse Analyse réalisée par Franck Benford en 1938 sur la répartition par l'analyse de 20 000 nombres issus de sources multiples La formule de fréquence obtenue est de log10 i+i 1 112/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Loi de Benford Compréhension Analyse additive : Le nombre de chires signicatifs démarrant par 1 dans l'intervalle [1000,2000[ est le même que pour le chire 9 dans l'intervalle [9000, 1000[ Analyse multiplicative : Le calcul de (Borne supérieure / Borne inférieure) donne 2 pour le chire 1, et 1,11 pour le chire 9 Ce résultat se conrme pour tous les résultats étudiés, si le nombre de valeurs est susant. 113/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Loi de Benford Loi scientique La formule est le résultat d'une analyse sur un grand nombre d'échantillons La formule se vérie dans tous les cas Formule non démontrée par un théorème mathématique Il s'agit donc d'une loi : Loi de Benford du nom de son découvreur 114/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Loi de Benford Exploitation Est utilisée pour la validation de données de masse La répartition des valeurs est-elle conforme Identication de cas de fraudes ou d'erreurs Exemple : validation de données comptables 115/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024  RÉFÉRENCES 116/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Bibliographie Histoire illustrée de l'informatique Lazard et Mounier-Kuhn - edp sciences Histoire de la logique Belna - ellipses Histoire universelles des chires Georges Ifrah - Robert Laont - 2 tomes 117/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Liens complémentaires Dossier sur la numération https://www.echosciences-loire.fr Histoire des mathématiques https://www.maths-et-tiques.fr Chronologie des mathématiques https://math93.com/histoire-des-maths/ une-chronologie.html Actualité sciences et mathématique https://www.techno-science.net 118/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Liens complémentaires (2) Une histoire des nombres https://www.mathsplusun.com Nombres - Curiosités, Théories et Usages villemin.gerard.free.fr Loi de Benford https://www.univ-rouen.fr/actualites/ lincroyable-statistique-des-premiers-chiffres 119/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024 Références culturelles Les femmes de l'ombre Livre de Margot Lee Shetterly paru en 2016 Film de Theodore Mel sorti en 2016 Les oubliées du numérique Livre de Isabelle Collet paru en 2019 120/120 S. HERAUVILLE H.M.S.Informatique Septembre 2024