Analyse de Fonction - Mathématiques PDF

BLOC 3: CROISSANCE D’UNE FONCTION APPLICATIONS DE LA DÉRIVÉE Dans cette section, la dérivée sera utilisée pour étudier la croissance et la concavité de fonctions, pour calculer des taux liés, résoudre des problèmes d’optimisation et tracer un croquis d’une fonction. DÉFINITION: INTERVALLE DE CROIS...

BLOC 3: CROISSANCE D’UNE FONCTION APPLICATIONS DE LA DÉRIVÉE Dans cette section, la dérivée sera utilisée pour étudier la croissance et la concavité de fonctions, pour calculer des taux liés, résoudre des problèmes d’optimisation et tracer un croquis d’une fonction. DÉFINITION: INTERVALLE DE CROISSANCE ET DE DÉCROISSANCE  𝑓(𝑥) est croissante sur un intervalle 𝐼 si 𝑓(𝑥 ) < 𝑓(𝑥 ) pour 𝑥 < 𝑥 avec 𝑥 , 𝑥 ∈ 𝐼  𝑓(𝑥) est croissante sur un intervalle 𝐼 si 𝑓(𝑥 ) > 𝑓(𝑥 ) pour 𝑥 < 𝑥 avec 𝑥 , 𝑥 ∈ 𝐼 DÉFINITION: SIGNE DE LA DÉRIVÉE  𝑓(𝑥) est croissante ⇔ 𝑓′(𝑥) > 0  𝑓(𝑥) est décroissante ⇔ 𝑓′(𝑥) < 0 Que se produit-il si 𝑓′(𝑥) = 0 ? ou si 𝑓′(𝑥) ∄? DÉFINITION: VALEUR CRITIQUE Les valeurs critiques d’une fonction sont les valeurs de 𝑥 ∈ 𝑑𝑜𝑚 tels que 𝑓′(𝑥) = 0 ou 𝑓′(𝑥) ∄. EXERCICE Soit 𝑓(𝑥) = |𝑥|. a) Trouvez l’intervalle pour laquelle la fonction est croissante. Écrivez votre réponse sur Socrative. © Joëlle Matte, CiSA 1 b) Trouvez algébriquement l’intervalle pour laquelle la fonction est décroissante et l’intervalle pour laquelle la fonction est croissante. © Joëlle Matte, CiSA 2  EXEMPLE GRAPHIQUE Dans le graphique à droite, il y a un maximum relatif, un maximum absolu er un maximum relatif. Néanmoins, il n’y y a pas de maximum asbsolu. Comment peut-on définir les extremums d’une fonction à l’aide d’outils de calcul différentiel? DÉFINITION: EXTREMUMS La valeur 𝑓(𝑐) peut être un extremum de la fonction si 𝑐 ∈ 𝐼 satisfait une des deux conditions suivantes :  c est une valeur critique de la fonction 𝑓(𝑥) (𝑐 ∈ 𝑑𝑜𝑚 ,𝑓′(𝑐) = 0 ou 𝑓′(𝑐)∄)  c est une extrémité de l’intervalle I. TEST DE LA DÉRIVÉE PREMIÈRE Soit 𝑓(𝑥) une fonction continue sur un intervalle]𝑎, 𝑏[ et soit 𝑐 ∈ ]𝑎, 𝑏[ une valeur critique.  Si le signe de 𝑓′(𝑥) passe de + à – en 𝑥 = 𝑐, alors 𝑓(𝑐) est un maximum relatif de 𝑓(𝑥).  Si le signe de 𝑓′(𝑥) passe de – à + en 𝑥 = 𝑐, alors 𝑓(𝑐) est un minimum relatif de 𝑓(𝑥).  Si le signe de 𝑓′(𝑥) ne change pas en 𝑥 = 𝑐, alors𝑓(𝑐) n’est pas un extremum relatif de 𝑓(𝑥). Important: Pour un intervalle fermé, il faut absolument utiliser le test de la dérivée première pour les maximums relatifs et les minimums relatifs. Ensuite, il faut verifier les extrémités de l’intervalle pour obtenir tous les extremums. EXERCICE Soit la fonction 𝑓(𝑥) =. a) Utilisez le graphique de la fonction afin de déterminer les extremums relatifs de la fonction sur [−4,4]. Écrivez votre réponse sur Socrative. © Joëlle Matte, CiSA 3 b) Calculez algébriquement les extremums relatifs de 𝑓(𝑥) = sur [−4,4]. c) Calculez algébriquement les extremums relatifs de 𝑓(𝑥) = sur ℝ. Écrivez votre réponse sur Socrative. © Joëlle Matte, CiSA 4 EXERCICE Calculez algébriquement les extremums relatifs de 𝑓(𝑥) = (4𝑥 − 1). Exercices : p. 330 # 1,2,5 © Joëlle Matte, CiSA 5  BLOC 3: CONCAVITÉ DÉFINITION: CONCAVITÉ  If 𝑓′′(𝑥) > 0, alors 𝑓(𝑥) est concave vers le haut.  If 𝑓′′(𝑥) < 0,then 𝑓(𝑥) est concave vers le bas DÉFINITION: POINT D’INFLEXION Soit 𝑐 ∈ 𝑑𝑜𝑚 , 𝑐, 𝑓(𝑐) est un point d’inflexion si la courbe change de concavité et si 𝑓′′(𝑐) = 0 ou si 𝑓′′(𝑐)∄. EXERCICE Calculez l’intervalle pour laquelle la fonction 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2𝑥 − 3 est concave vers le bas. Exercices : p. 385 # 5,6 © Joëlle Matte, CiSA 6  BLOC 3: TEST DE LA DÉRIVÉE SECONDE DÉFINITION: TEST DE LA DÉRIVÉE SECONDE Soit 𝑓(𝑥) une fonction telle que 𝑓′(𝑥) et 𝑓′′(𝑥) existent pour tout 𝑥 ∈ ]𝑎, 𝑏[. Soit 𝑐 ∈ ]𝑎, 𝑏[ tel que 𝑓′(𝑐) = 0.  Si 𝑓′′(𝑐) < 0, alors 𝑓(𝑐) est un MAXIMUM relatif de la fonction 𝑓(𝑥).  Si 𝑓′′(𝑐) > 0, alors 𝑓(𝑐) est un MINIMUM relatif de la fonction 𝑓(𝑥).  Si 𝑓′′(𝑐) = 0, le test de la dérivée seconde n’est PAS concluant. ATTENTION!  Le test de la dérivée seconde ne s’applique pas si 𝑓 ′ (𝑐) ∄. Il faut alors utiliser test de la dérivée première.  Si 𝑓′′(𝑐) = 0, nous sommes incapables de conclure. Il faut alors utiliser test de la dérivée première. EXERCICE Calculez les extremums de la fonction 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2𝑥 − 3 avec le test de la dérivée seconde. © Joëlle Matte, CiSA 7 CHOISIR LE BON TEST POUR CALCULER LES EXTREMUMS Est-ce que 𝑓’(𝑐) existe? Test de la dérivée Est-ce que 𝑓’(𝑐) = 0? première 𝑓’’(𝑥) sera-t-il ardu à Je peux calculer calculer? les extremums. Test de la Test de la dérivée dérivée seconde première oui Est-ce que 𝑓’’(𝑐) = 0? Je peux calculer les extremums. Je peux calculer les extremums. Exercices : p. 330 #3 © Joëlle Matte, CiSA 8  BLOC 3: RÈGLE DE L’HOSPITAL Nous avons vu précédemment comment évaluer les limites de formes indéterminées ou. EXEMPLES 𝑥−1 𝑎) lim → 𝑥 −1 𝑥−1 𝑏) lim → 𝑥 −1 Dépendamment de l’expression de 𝑓(𝑥), il peut être impossible d’évaluer une limite en utilisation simplement des manipulations algébriques. EXERCICE ln(𝑥 − 𝑥 + 𝑥) lim → 𝑥 +𝑥−2 En effet, il est impossible de factoriser 𝑥 − 𝑥 + 𝑥, car il est à l’intérieur du logarithme. COMMENT PEUT-ON ÉVALUER DE TELLES LIMITES ? RÈGLE DE L’HOSPITAL Assumez que 𝑓(𝑥) et 𝑔(𝑥) sont deux fonctions ⬚ dérivables à 𝑥 = 𝑎 et 𝑔′(𝑥) ≠ 0. (Ici, 𝑎 peut être un ⬚⎫ ⎪ nombre fini ou ±∞.) ⬚⎪ ⬚ alors lim ( ) = lim ( )  Si lim 𝑓(𝑥) = 0 etlim 𝑔(𝑥) = 0, ⬚⎬ → ( ) → ( ) → → OU ⬚⎪  Si lim 𝑓(𝑥) = ±∞ et lim 𝑔(𝑥) = ±∞, ⬚⎪ → → ⬚⎭ ATTENTION Si vous utilisez la règle de l’Hospital même si ce n’est pas une forme indéterminée 0/0 ou∞/∞, vous allez obtenir une réponse, mais elle sera fausse! © Joëlle Matte, CiSA 9 EXERCICE ln(𝑥 − 𝑥 + 𝑥) lim → 𝑥 +𝑥−2 EXERCICE ln(𝑥) lim → √𝑥 © Joëlle Matte, CiSA 10 Note: il faut parfois appliquer le théorème plus d’une fois! EXEMPLE ( ) lim → EXERCICE ln(𝑥 − 2) lim → ln(𝑥 − 8) Exercices : p. 236 # 89 abcdefg, 90abc, 91efghi © Joëlle Matte, CiSA 11  BLOC 3: OPTIMISATION Que ce soit en matière de temps, de profit, de coût ou de consummation, l’être humain cherche l’efficacité et par le fait-même, les valeurs extrêmes (maximums et inimums) prise par une fonction décrivant un phénomène. Après avoir formulé un modèle mathématique (une fonction) décrivant un contexte particulier, on peut recourir au calcul différentiel pour repérer ces valeurs. 𝑓 (𝑥) = 0 ou 𝑓 (𝑥) ∄ → minimum ou maximum for 𝑓(𝑥) → 𝒄𝒂𝒔 𝒐𝒑𝒕𝒊𝒎𝒂𝒍 ÉTAPES POUR RÉSOUDRE UN PROBLÈME D’OPTIMISATION 1. Identifiez les variables. 2. Dessinez un croquis de la situation (lorsque c’est possible). 3. Identifiez la fonction que vous voulez optimiser. 4. Calculez le domaine de la fonction (en tenant compte du contexte). 5. Calculez la dérivée de la fonction. 6. Trouvez les valeurs critiques. 7. Testez les valeurs critiques et possiblement les extrémités de l’intervalle (si vous avez un intervalle fermé). 8. Répondez à la question en tenant compte du contexte. © Joëlle Matte, CiSA 12 EXERCICE: LA LETTRE D’ACCEPTATION 456 P Camperdown New South Wales Australia August 3rd, 2024 Object: Letter of acceptance Dear Mr. Parenteau, I am pleased to inform you that the University of Sydney has accepted you for the Winter 2025 semester into the following abroad program: Type: Volunteer Internship Program: Mathematics Duration: Four weeks beginning on March 1st, 2025. Subject: Can cryptography save us from online scams? Note that personal items must be shipped at least two weeks in advance. You will find a piece of cardboard that is 20 cm by 20 cm in the package we sent you. You need to cut out the corners and fold up the sides to form a box. We strongly recommend that you determine the height of the box that will give you a maximum volume. Feel free to contact me should you have any additional questions. I look forward to meeting you. Warmest wishes, _______________________________________ Martin Kurzawa Lecturer University of Sydney Room 301 (230)-123-4567 © Joëlle Matte, CiSA 13 1) Identifiez les variables 2) Dessinez un croquis de la situation (lorsque c’est possible). 3) Identifiez la fonction que vous voulez optimiser. 4) Calculez le domaine de la fonction (en tenant compte du contexte). 4) Calculez la dérivée de la fonction. 6) Trouvez les valeurs critiques. © Joëlle Matte, CiSA 14 7) Testez les valeurs critiques et possiblement les extrémités de l’intervalle (si vous avez un intervalle fermé). 8) Répondez à la question en tenant compte du contexte. © Joëlle Matte, CiSA 15 EXERCICE Un fermier veut construire un enclos rectangulaire pour ses chèvres. Quelle est l’aire maximale qu’il pourra obtenir sachant qu’il possède 1800 m de clôture? 1) Si l’on pose les côtés de l’enclos comme étant 𝐿 (largeur) et 𝑙 (longueur), les équations suivantes sont obtenues: Aire = _______________ and Perimètre = _________________________________ 2) Dessinez un croquis de la situation (lorsque c’est possible). 3) Si l’on écrit l’aire comme une fonction de 𝐿, alors : Aire = 𝐴(𝐿) = __________________________________ 4) 𝐷𝑜𝑚 𝐴 = ____________________, car ________________ et____________________________ 5) 𝐴′(𝐿) = __________________________ 6) 𝐴 (𝐿) = 0 si ____________________________ ce qui implique que 𝐿 = ____________ ce qui est ______________________________________________________________________________ De plus, 𝐴 (𝐿) ____________________________ 7) 𝐴’’(𝐿) = ______________________, alors 𝐴’’(450) = _______________, donc il s’agit d’un ________________________ 8) Ainsi, l’aire maximale pour l’enclos est ______________________________________________. © Joëlle Matte, CiSA 16 EXERCICE 3 Une boîte fermée sur le dessus, à base carrée et à double fond a un volume de 12m. Si les côtés de la boîte sont perpendiculaires au-dessus et au fond, minimiser la quantité de carton nécessaire à sa confection. © Joëlle Matte, CiSA 17 EXERCICE Quelles sont les dimensions du cylindre circulaire droit de volume maximal, qu’on peut inscrire dans un cône circulaire droit dont le rayon mesure 4 cm et la hauteur mesure 16 cm ? © Joëlle Matte, CiSA 18 EXERCICE Une clôture de 3 m de haut est située à 1 m d’un immeuble. Quelle est la longueur L de la plus courte échelle qui peut prendre appui sur le sommet de la clôture et sur l’immeuble? Exercices : p. 330 # 11,12,13,15, 17,20, 24, 32, 35a, 38, 64 © Joëlle Matte, CiSA 19  BLOC 3: ANALYSE DE FONCTION La modélisation mathématique permet de construire des fonctions représentant des phénomènes physiques. Une fonction 𝑓(𝑥) peut être représentée algébriquement ou graphiquement. Cette section nous permettra d’effectuer le croquis d’une fonction à l’aide d’outils du calcul différentiel. ÉTAPES POUR FAIRE L’ANALYSE D’UNE FONCTION 1. Déterminez le domaine de la fonction 𝑓(𝑥) à l’aide des restrictions. 2. Calculez les asymptotes horizontales et verticales à l’aide de limites. 3. Calculez la dérivée de la fonction 𝑓(𝑥). 4. Trouvez les points critiques ainsi que les minimums/maximums de 𝑓(𝑥): - Les points critiques sont définis comme tous les 𝑥 dans le domaine pour lesquels 𝑓′(𝑥) n’existe pas ou 𝑓 (𝑥) = 0. 5. Calculez la dérivée seconde de la fonction. 6. Trouvez les points d’inflexions. 7. Créez un tableau de signes incluant les données suivantes : zéros, maximums, minimums, intervalle de croissance, intervalle de décroissance, intervalle de concavité vers le haut, intervalle de concavité vers le bas et points d’inflexion. 8. Esquissez le graphique de la fonction en utilisant le tableau de signe et les asymptotes calculées précédemment. © Joëlle Matte, CiSA 20 EXERCICE Esquissez le graphique de la fonction 𝑓(𝑥) = −4𝑥 − 12𝑥 − 10. 1) Domaine 2) Asymptotes 3) Dérivée 4) Points critiques 5) Dérivée seconde © Joëlle Matte, CiSA 21 6) Points d’inflexion 7) Tableau des signes 𝑥 −2 −1 0 𝑓’(𝑥) 𝑓’’(𝑥) 𝑓(𝑥) 8) Esquissez le graphique de la fonction © Joëlle Matte, CiSA 22 EXERCICE Esquissez le graphique de la fonction 𝑓(𝑥) =. 1) Domaine 2) Asymptotes © Joëlle Matte, CiSA 23 3) Dérivée 4) Points critiques 5) Dérivée seconde 6) Points d’inflexion © Joëlle Matte, CiSA 24 7) Tableau des signes 𝑥 0 3 27 − 2 ≈ −2.38 𝑓’(𝑥) 𝑓’’(𝑥) 𝑓(𝑥) 8) Esquissez le graphique de la fonction © Joëlle Matte, CiSA 25 EXERCICE Esquissez le graphique de la fonction 𝑓(𝑥) = 𝑥 − sin (2𝑥) sur ]0, 𝜋[. 1) Domaine 2) Asymptotes 3) Dérivée 4) Points critiques 5) Dérivée seconde 6) Points d’inflexion © Joëlle Matte, CiSA 26 7) Tableau des signes 𝑥 0 𝜋/6 𝜋/2 5𝜋/6 𝜋 𝑓’(𝑥) 𝑓’’(𝑥) 𝑓(𝑥) 8) Esquissez le graphique de la fonction Exercices : p. 385 # 7hij, 8, 9gi © Joëlle Matte, CiSA 27