الوحدة السادسة: المساحة والمحيط والحجم PDF

# الوحدة السادسة: المساحة والمحيط والحجم ## المفردات ** تأكد من تعلمك وفهمك للمفردات الأساسية التالية**: * **القطر**: الخط المستقيم الذي يمر بمركز الدائرة ويكون طرفاه على الدائرة. * **المحيط**: مجموع أطوال أضلاع الشكل الهندسي. * **المساحة**: مقدار سطح الشكل الهندسي. * **باي**: ثابت رياضي يُ...

# الوحدة السادسة: المساحة والمحيط والحجم ## المفردات ** تأكد من تعلمك وفهمك للمفردات الأساسية التالية**: * **القطر**: الخط المستقيم الذي يمر بمركز الدائرة ويكون طرفاه على الدائرة. * **المحيط**: مجموع أطوال أضلاع الشكل الهندسي. * **المساحة**: مقدار سطح الشكل الهندسي. * **باي**: ثابت رياضي يُرمز له بالحرف اليوناني π ويُعرف بقيمته العشرية 3,14 تقريبًا. * **المنشور**: شكل ثلاثي الأبعاد له نفس المقطع العرضي على طول. * **المقطع العرضي**: الشكل الذي يتقاطع مع المنشور عند قطعه بطائرة عمودية على طول. ## ٦-١ تحويل وحدات المساحة والحجم **٦-١ تحويل وحدات المساحة والحجم ** قبل أن تتمكن من تحويل وحدات قياس المساحة والحجم، ينبغي لك معرفة معاملات التحويل. لقد استخدمت بالفعل معاملات التحويل الخاصة بوحدات قياس المساحة. فيما يلي تذكير بكيفية إيجادها. * طول ضلع المربع المقابل 1 سم * مساحة المربع 1 سم × 1 سم = 1 سم² * مساحة المربع أيضًا 10 ملم × 10 ملم = 100 ملم² * يشير هذا إلى أن 1 سم² = 100 ملم² * طول ضلع المربع المقابل 1 م * مساحة المربع 1 م × 1م = 1 م² * مساحة المربع أيضًا 100 سم × 100 سم = 10000 سم² * يشير هذا إلى أن 1 م² = 10000 سم² = 1000000 ملم² **يمكنك استخدام طريقة مشابهة لإيجاد معاملات التحويل للحجم.** * طول ضلع المكعب المقابل 1 سم * حجم المكعب 1 سم × 1 سم × 1 سم = 1 سم³ * حجم المكعب 10 ملم × 10 ملم × 10 ملم = 1000 ملم³ * يشير هذا إلى أن 1 سم³ = 1000 ملم³ * طول ضلع المكعب المقابل 1 م * حجم المكعب 1 م × 1 م × 1 م = 1 م³ * حجم المكعب 100 سم × 100 سم × 100 سم = 1000000 سم³ * يشير هذا إلى أن 1 م³ = 1000000 سم³ **أنت تعرف بالفعل أن لترًا واحدًا = 1000 مل.** **يجب أن تعرف أيضًا أنَّ 1 سم³ = 1 مل** **يعني هذا أن اللتر الواحد**: | | | | :----- | :----- | | **1 سم³** | **1 مل** | | **1000 مل** | **1 لتر** | ## تمارين 6-1 (1) حول: * (أ) 4م إلى سم * (ب) 0,5 م إلى سم * (ج) 1,65 م إلى سم * (د) 8 سم إلى ملم * (هـ) 0,8 سم إلى ملم * (و) 12,4 سم إلى ملم * (ز) 50000 سم² إلى м² * (ح) 42000 سم² إلى м² * (ط) 8000 سم² إلى м² * (ي) 900 ملم إلى سم * (ك) 760 ملم إلى سم * (ل) 20 ملم إلى سم (2) حول: * (أ) м² إلى سم² * (ب) 0,75 м² إلى سم² * (ج) 1,2 м² إلى سم² * (د) 3 سم إلى ملم * (هـ) 0,4 سم² إلى ملم² * (و) 6,35 سم إلى ملم * (ز) 6000000 سم³ إلى м³ * (ح) 350000 سم² إلى м³ * (ي) 4000 ملم² إلى سم² * (ك) 540 ملم² إلى سم² * (ل) 62500 ملم² إلى سم² (3) حول: * (أ) 60 سم³ إلى مل * (ب) 125 سم³ إلى مل * (ج) 4700 سم³ إلى مل * (د) 8000 سم³ إلى لتر * (هـ) 2400 سم³ إلى لتر * (و) 850 سم³ إلى لتر * (ز) 3 لترات إلى سم³ * (ح) 4,2 لترات إلى سم³ * (ط) 0,75 لتر إلى سم³ (4) أرضية مطبخ شادية على شكل مستطيل بطول 925 سم وعرض 485 سم. * (أ) أوجد مساحة أرضية مطبخ شادية بالمتر المربع. **تذكر أن تستخدم التقدير للتحقق من صحة إجابتك، وقرب كل عدد في السؤال إلى أقرب عدد كامل.** **وضح كيفية استخدام التقدير للتحقق من صحة إجابتك.** * (ب) يكلف بلاط الأرضية 10 ريالات للمتر المربع. كم تدفع شادية لشراء بلاط الأرضية مطبخها ؟ **إذا علمت أن المتر المربع يباع بالأعداد الصحيحة.** **وضح كيفية استخدام العمليات العكسية للتأكد من إجابتك.** (5) سيطلي نبيل بابا تبلغ أبعاده 195 سم، 74 سم. وسيطلي كل جانب بطبقتين من الطلاء. تغطي علبة واحدة من الطلاء 5 م². كم علبة طلاء سيحتاج نبيل أن يشتري ؟ **وضح كيفية التحقق من صحة إجابتك.** (6) يمتلك عبد العزيز حوض أسماك تبلغ أبعاده 75 سم في 45 سم في 35 سم . كما أن لديه إبريقا سعته 1,75 لتر. يستخدم الإبريق لملء حوض الأسماك بالماء. كم عدد مرات ملء إبريق الماء بالكامل التي يحتاجها لملء حوض الأسماك ؟ **وضح كيفية التحقق من صحة إجابتك.** (7) جهزت إيمان 1,2 لتر من تتبيلة السلطة. تحفظ تتبيلة السلطة في برطمانات بحجمين مختلفين، كما هو موضح بالصورة. لكل برطمان قاعدة على شكل مربع. تملأ البرطمانات للارتفاعات الموضحة. * (أ) أوجد حجم البرطمان الكبير . * (ب) استنتجت إيمان أنه يُمكنها ملء على الأقل 10 برطمانات كبيرة بتتبيلة السلطة. **بدون حساب عدد البرطمانات الكبيرة التي يمكن أن تملأها إيمان، اشرح إذا تعتقد أن هذه إجابة منطقية أم لا.** * (ج ) تريد إيمان أن تحفظ التتبيلة في مجموعة من البرطمانات الكبيرة والصغيرة. ما أفضل طريقة لإيمان لتفعل ذلك ؟ ## ٦-٢ حل مسائل الدائرة **٦-٢ حلُّ مسائلِ الدائرة** عندما استخدمت صيغ مُحيط ومساحة الدائرة، فقد اتخذت بقيمة 3,14؛ وكلُّ آلة حاسبة بها زر «π» . تكون قيمة زر «π» على الآلة الحاسبة أكثر دقة عن 3,14 ، جرب ذلك. ماذا تلاحظ ؟ سيعطيك استخدام زر «π» على الآلة الحاسبة إجابة أكثر دقة. عند حل مسائل عن الدائرة، استخدم زر (π) على الآلة الحاسبة الخاصة بك وتأكد أنك تستخدم الصيغ الصحيحة لمحيط ومساحة الدائرة. **محيط الدائرة**: ط = ق أو ط = 2 ق **المساحة**: م = π ق² **مثال ٦-٢** **(يطلق عليها «باي») هو ثابت رياضي ويساوي نسبة محيط الدائرة إلى قطرها.** **استخدم زر (π) في الآلة الحاسبة . اكتب كل إجاباتك إلى أقرب منزلة عشرية واحدة :** * ( أ ) أوجد مساحة ومحيط دائرة قطرها 6,8 سم * (ب) أوجد مساحة ومُحيط نصف دائرة نصف قطرها 7م * ( ج ) يبلغ مُحيط دائرة 12 ملم، فما قُطرها؟ * ( د ) تبلغ مساحة دائرة 24 سم ، فما نصف قطر الدائرة؟ **الحل** * **( أ ) ق = 6,8 : 2 = 3,4 سم** **اقسم القطر على 2 لإيجاد طول نصف القطر.** * **م = π ق² = π 3,4² = 36,3 سم² (منزلة عشرية واحدة)** **اكتب صيغة المساحة وعوض بقيمة π .** **اكتب إجابتك إلى أقرب منزلة عشرية واحدة.** * **ط = π ق = 6,8 × π = 21,4 سم (منزلة عشرية واحدة)** **اكتب صيغة محيط الدائرة وعوض بقيمة π .** **اكتب إجابتك إلى أقرب منزلة عشرية واحدة.** * **(ب)** **من المفيد دائما أن ترسم مخططا ليساعدك على الإجابة عن السؤال.** **في هذه الحالة، ارسم نصف دائرة واكتب على نصف القطر 7م.** **المساحة = π/2 ق² = π/2 7² = 77,0 م² (منزلة عشرية واحدة)** **اكتب الإجابة صحيحة إلى أقرب منزلة عشرية واحدة.** **القطر = 2 ق = 2 × 7 = 14 م** **المحيط = π/2 ق + ق = π/2 × 7 + 7 = 24,5 م** ** ( ج ) :: ط = π ق ، .. 12 = π × ق ق = 12/π ق = 3,8 ملم (منزلة عشرية واحدة) اكتب الإجابة صحيحة إلى أقرب منزلة عشرية واحدة.** * **( د ) : م = π ق² ، .. 24 = π × ق² ق² = 24/π ق² = 7,639437268 ق = ٧,٦٣٩٤٣٧٢٦٨ ٧ ق = 2,8 سم (منزلة عشرية واحدة) اكتب الإجابة النهائية صحيحة إلى أقرب منزلة عشرية واحدة.** ## تمارين 6-2 **خلال هذه التمارين استخدم زر (π) على الآلة الحاسبة الخاصة بك.** (1) أوجد مساحة ومحيط كل دائرة : **اكتب إجاباتك مقربة إلى أقرب منزلة عشرية واحدة.** * ( أ ) ق = 8 سم * (ب) ق = 15 سم * (ج) ق = 3,5 م * (د) ق = 12 سم * (هـ) ق = 9 م * (و) ق = 25 ملم (2) أوجد مساحة ومحيط كل نصف دائرة : **اكتب إجاباتك مقربة إلى أقرب منزلتين عشريتين.** * ( أ ) ق = 6 سم * (ب) ق = 10 سم * (ج) ق = 4,5 م * (د) ق = 18 سم * (هـ) ق = 24 ملم * (و) ق = 3,6 م (3) أوجد قطر كل دائرة. **اكتب إجابتك مقربة إلى أقرب عدد صحيح.** * ( أ ) محيط الدائرة = 56,5 سم * (ب) محيط الدائرة = 78,5 ملم * (ج) مُحيط الدائرة = 40,84 م * (د) محيط الدائرة = 6,28 م * (هـ) محيط الدائرة = 283 ملم * (و) محيط الدائرة = 201 سم (4) أوجد نصف قطر كل دائرة : **اكتب إجابتك مقربة إلى أقرب منزلة عشرية واحدة.** * ( أ ) المساحة = 238 سم² * (ب) المساحة = 117 سم² * (ج ) المساحة = 19,6 م² * (د) المساحة = 6,16 م² * (هـ) المساحة = 254 ملم² * (و) المساحة = 486,8 سم² (5) محيط حلقة دائرية يساوي 5,65سم. أوجد نصف قطر الحلقة. **اكتب إجابتك مقربة إلى أقرب مليمتر.** (6) مساحة بركة دائرية تساوي 21,5م² ؛ أوجد قطر البركة. **اكتب إجابتك مقربة إلى أقرب سنتيمتر.** (7) يقول أحمد أنه كلما زاد نصف القطر ثلاث مرات، زادت مساحة الدائرة الكبيرة ثلاث مرات عن مساحة الدائرة الصغيرة. **اشرح لماذا أحمد على خطأ.** (8) مُحيط قرص دائري يساوي 39 سم. أوجد مساحة هذا القرص. **اكتب إجابتك مقربةً إلى أقرب سنتيمتر مربع.** (9) أوجد مساحة كلّ شكل من الأشكال المُركَّبة. **اكتب إجابتك مقربة لأقرب منزلتين عشريتين.** ## ٦-٣ العمليات الحسابية المتعلقة بالمنشور والأسطوانة **٦-٣ العمليات الحسابية المتعلقة بالمنشور والأسطوانة** **المنشور ** هو شكل ثلاثي الأبعاد لديه نفس المقطع العرضي على طوله. فيما يلي بعض الأمثلة على المناشير . المقطع العرضي لكل واحد مظلل. **يمكنك إيجاد حجم منشور باستخدام الصيغة المقابلة ** **حجم = مساحة المقطع العرضي × الارتفاع العمودي على القاعدتين** **يُمكنك إيجاد مساحة سطح منشورٍ عن طريق إيجاد المساحة الكلية لكل أوجه المنشور.** **مثال ٦- ١٣** * ( أ ) أوجد حجم كل منشور . * (ب) حجم المنشور 91سم³ مساحة المقطع العرضي 13 سم² ما طول المنشور ؟ * ( ج ) أوجد مساحة المنشور المقابل: **الحل** * **( أ )** 1) **ع = مساحة المقطع العرضي × الارتفاع ** **512 = 6 × 8 × ل ** **ع = 60 سم³ ** **يشير المخطط إلى مساحة المقطع العرضي لمتوازي المستطيلات. ** **عوض بقياسات المساحة والطول في صيغة الحجم. ** **أوجد الإجابة وتذكر أن الوحدة المستخدمة هي سم³** 2) **مساحة المثلث = ½ × القاعدة × الارتفاع ** **98 × ½ = 4 × 9 × ل ** **ع = 36 سم³ ** **عوض بقياسات القاعدة والارتفاع في صيغة المساحة. ** **أوجد الإجابة وتذكر أن الوحدة المستخدمة هي سم³ ** 3) **ع = مساحة المقطع العرضي × الارتفاع ** **636 = 9 × 8 × ل ** **ع = 216 سم³ ** ** الآن أوجد حجم المنشور عن طريق التعويض عن المساحة والطول في صيغة الحجم. ** **أوجد الإجابة وتذكر أن الوحدة المستخدمة هي سم³** * ** (ب) ع = مساحة المقطع العرضي × الارتفاع 91 = 13 × ل ** ل = 7 سم ** **اكتب قانون حجم المنشور. ** **عوض بقياسات الحجم والمساحة في الصيغة. ** **عد ترتيب المعادلة بحيث يكون ل هو المطلوب إيجاده. ** **أوجد الإجابة وتذكر أن الوحدة المستخدمة هي سم. ** * ** ( ج ) مساحة المثلث = ½ × القاعدة × الارتفاع ** ** 38= ½ × 8 × ل ** **ع = 12 سم** **أوجد مساحة الوجه المثلث.** **عوض بقياسات القاعدة والارتفاع في صيغة المساحة. ** **أوجد الإجابة.** **مساحة القاعدة = 8 × 7 = 56 سم² ** **القاعدة على شكل مستطيل، إذا أوجد المساحة (الطول × العرض).** **مساحة الوجه الجانبي = 5 × 7 = 35 سم² ** **الوجه الجانبي على شكل مستطيل، إذا أوجد (الطول × العرض).** **مساحة سطح المنشور = 2 (12) + 56 + 2 (35) ** ** =150 سم² ** **الآن أوجد المساحة الإجمالية. يوجد وجهين على شكل مثلث وقاعدة واحدة ووجهين جانبين. تذكر أن الوحدة المستخدمة هي سم² ** **تعد الأسطوانة أيضًا منشورا. والمقطع العرضي دائرة.** **صيغة مساحة الدائرة**: م = π ق² **صيغة حجم المنشور : الحجم = مساحة المقطع العرضي × الطول ** **إذا صيغة حجم الأسطوانة: الحجم = π ق² × الارتفاع ** **أو ببساطة ** **ع = π ق² × ع ** **مثال ٦-٣ ب** **( أ ) أوجد: (1) الحجم (۲) مساحة السطح لهذه الأسطوانة.** **(ب) أسطوانة حجمها 552,2 سم³ ، ونصف قطر قاعدتها 5,2 سم، ما ارتفاع الأسطوانة؟** **الحل** **( أ ) ** (1) ع = π ق² ع ** **اكتب صيغة حجم الأسطوانة.** **ع = π 8² × 2 = 226,2 سم³ ** **عوض بقياسات نصف القطر والارتفاع في الصيغة. ** **أوجد الإجابة وتذكر أن الوحدة المستخدمة هي سم³ ** ## تمارين 6-3 (1) أوجد حجم كل منشور: **اكتب الناتج النهائي مقربًا إلى أقرب منزلة عشرية واحدة.** * (أ) * **حجم المنشور** * **مساحة المقطع العرضي** * (ب) ***حجم المنشور** * **مساحة المقطع العرضي** * (ج) ***حجم المنشور** * **مساحة المقطع العرضي** (2) انسخ هذا الجدول وأكمله: | **مساحة المقطع العرضي** | **طول المنشور**| **حجم المنشور** | | :----- | :----- | :----- | | **24 سم²** | **12 سم** | **___ سم³** | | **___ م²** | **10 سم** | **204 سم³** | | **___ سم²** | **6,2 م**| **114,7 م³** | (3) * (أ) * **طول المنشور** * **مساحة المقطع العرضي** * (ب) * **طول المنشور** * **مساحة المقطع العرضي** * (ج) * **طول المنشور** * **مساحة المقطع العرضي** (4) * (أ) * **حجم المنشور** * **مساحة المقطع العرضي** * (ب) * **حجم المنشور** * **مساحة المقطع العرضي** * (ج) * **حجم المنشور** * **مساحة المقطع العرضي** (5) حجم كل منشور من هذه المنشورات 256 سم³ أوجد الطول المشار إليه بالرمزس في كل شكل. **اكتب إجاباتك مقربة إلى أقرب منزلة عشرية واحدة.** ## ملخص **يجب أن تعرف أن:** * 1 م = 100 سم * 1 م = 10000 سم² * 1 سم = 10 ملم * 1 سم² = 100 ملم² * 1 م³ = 1000000 سم³ * 1 سم³ = 1 مل **المنشور ** هو شكل ثلاثي الأبعاد لديه نفس المقطع العرضي على طوله. **حجم منشور = مساحة المقطع العرضي × الطول ** **مساحة سطح منشور = مجموع مساحات كل الأوجه** **حجم الأسطوانة = π ق² ع** **يجب أن تكون قادرًا على:** * التحويل بين الوحدات المترية للمساحة والحجم، ومعرفة واستخدام هذه العلاقة 1 سم³ = 1 مل. * حل المسائل التي تتضمن محيط الدائرة ومساحتها، بما في ذلك استخدام زر (π) على الآلة الحاسبة. * حساب الأطوال ومساحات السطوح والأحجام في المنشور القائم الزاوية والأسطوانة. ## تمارين ومسائل عامة (1) حول: * (أ) 5 م إلى سم * (ب) 40000 سم إلى م * (ج) 9 سم إلى ملم * (د) 820 ملم إلى سم * (هـ) 9 م إلى سم² * (و) 24500000 سم³ إلى م³ * (ز) 7 سم² إلى ملم² * (ح) 270 ملم إلى سم² * (ط) 80 سم³ إلى مل * (ي) 450 مل إلى سم³ * (ك) 9000 سم³ إلى لتر * (ل) 3,6 لتر إلى سم³ (2) يُعد شكل أرضية مكتب مازن مستطيلا بطول 575 سم وعرض 325 سم. * ( أ ) أوجد مساحة أرضية مكتب مازن بالمتر المربع. **وضح كيفية استخدام التقدير للتحقق من صحة إجابتك.** * (ب) يكلف بلاط الأرضية 8 ريالات للمتر المربع . كم سيدفع مازن لشراء بلاط الأرضية مكتبه ؟ **إذا علمت أن المتر المربع يباع بأعداد صحيحة. وضح كيفية استخدام العمليات العكسية للتأكد من إجابتك.** (3) * أوجد: ( أ ) المساحة * (ب) محيط الدائرة. **اكتب إجابتك مقربةً إلى أقرب منزلة عشرية واحدة. استخدم زر «π» في الآلة الحاسبة الخاصة بك.** (4) دائرة محيطها 21,4 سم. أوجد قطر الدائرة. **اكتب إجابتك مقربةً إلى أقرب عدد صحيح. استخدم زر π» في الآلة الحاسبة الخاصة بك.** (5) دائرة مساحتها 36,3 سم²، أوجد نصف قطر الدائرة. **اكتب إجابتك مُقرَّبةً إلى أقرب منزلة عشرية واحدة. استخدم زر π» في الآلة الحاسبة الخاصة بك.** (6) يتكون الشكل المركب المقابل من مستطيل ونصف دائرة. أوجد: * ( أ ) مساحة الشكل المركب * (ب) محيط الشكل المركب. **اكتب إجاباتك مقربة إلى أقرب منزلة عشرية واحدة. استخدم زر (π) في الآلة الحاسبة الخاصة بك.** (7) أوجد حجم كل منشور. (8) أوجد مساحة السطح للمنشورات في الجزئيتين (ب) ، ( ج ) من السؤال ۷ (9) أوجد حجم ومساحة سطح الأسطوانة في الشكل المقابل. **اكتب إجابتك مقربةً لأقرب عدد صحيح.** (10) أسطوانة حجمها 1000 سم³ وارتفاعها 11٫8 سم. ما نصف قطر الأسطوانة ؟ **اكتب إجابتك مُقرَّبةً إلى أقرب منزلة عشرية واحدة.**