ANGEWANDTE MEDIZINPHYSIK 1_Teil2_2024 PDF

ANGEWANDTE MEDIZINPHYSIK 1 – TEIL 2 Teil 2 WS 24/25 Hofbauer Julia [email protected] 1 Angewandte Medizinphysik 1 – Teil 2 Inhalt 1. Einführung........................................................................................................................................... 3 2. Elektrosta k......................................................................................................................................... 4 2.1. Ladung (Q).................................................................................................................................... 4 2.1.1. Eigenscha en von Ladungen................................................................................................ 4 2.1.2. Elementare Ladung und Elementarladung........................................................................... 5 2.1.3. Coulombsches Gesetz........................................................................................................... 5 2.2. Das elektrische Feld..................................................................................................................... 8 2.2.1. Elektrische Feldstärke......................................................................................................... 10 2.2.2. Elektrisches Poten al und Spannung.................................................................................. 12 2.3. Inﬂuenz....................................................................................................................................... 16 2.4. Elektrischer Dipol und elektrisches Dipolmoment..................................................................... 17 2.4.1. Grundlagen......................................................................................................................... 17 2.4.2. Verhalten eines Dipols in einem homogenen Feld............................................................. 18 2.5. Dielektrika.................................................................................................................................. 20 2.6. Kondensator............................................................................................................................... 22 2.6.1. Typen von Kondensatoren.................................................................................................. 23 2.6.2. Die Kapazität C.................................................................................................................... 24 2.6.2. Parallel- und Serienschaltung von Kondensatoren............................................................. 26 3. Magne smus..................................................................................................................................... 27 3.1. Grundsätzliches.......................................................................................................................... 27 3.1.1. Au reten von Magne eldern............................................................................................. 29 3.1.2. Magne sche Feldstärke H................................................................................................... 30 3.1.3. Magne sche Flussdichte B................................................................................................. 31 3.1.4. Magne scher Fluss φ.......................................................................................................... 32 3.2. Magne elder in der Umgebung von Strömen oder sich ändernder elektrischer Felder........... 33 3.2.1. Feldstärke in der Umgebung eines unendlich langen, geraden Leiters.............................. 33 3.2.2. Axiale Feldstärke eines Ringleiters bzw. einer schmalen Spule......................................... 35 3.2.3. Innenfeld einer geraden Spule............................................................................................ 37 3.3. Krä e von Magne eldern auf stromdurchﬂossene Leiter bzw. auf elektrische Ladungen....... 38 3.3.1. Krä e auf stromdurchﬂossene Leiter................................................................................. 38 3.3.2. Krä e auf Ladungsträger (Lorentz-Kra )............................................................................ 39 3.3.3. Kra zwischen zwei parallelen, geraden Stromleitern........................................................ 40 3.4. Magne scher Dipol und magne sches Moment....................................................................... 42 3.5. Elektromagne sche Induk on................................................................................................... 42 3.5.1. Induk on in ruhenden Leitern............................................................................................ 42 3.5.2. Induk on in bewegten Leitern............................................................................................ 44 3.5.3. Anwendung: Generator...................................................................................................... 45 2 Angewandte Medizinphysik 1 – Teil 2 3.5.4. Anwendung: Transformator................................................................................................ 46 3.6. Einteilung der Stoﬀe in verschiedene Gruppen nach ihrem Verhalten in magne schen Feldern........................................................................................................................................................... 47 3.6.1. Diamagne sche Stoﬀe........................................................................................................ 47 3.6.2. Paramagne sche Stoﬀe...................................................................................................... 48 3.6.3. Ferromagne sche Stoﬀe..................................................................................................... 49 3 Angewandte Medizinphysik 1 – Teil 2 Hinweise: Das Skript wurde von meinem Vorgänger DI Thomas Steininger erstellt und von mir bearbeitet. Es basiert größtenteils auf den Skripten „Experimentalphysik 2 – Teil 1 und 2“ von Prof. Dr. H. Jäger. Sind bei Bildern keine Quellen angegeben, sind diese aus dem oben genannten Skript, anderenfalls sind die Quellen direkt in der Abbildungsbeschriftung zu finden. Abschni e, die seitlich mit einer Linie markiert sind, dienen der Erklärung sind aber nicht Teil des Prüfungsumfangs. 1. Einführung Willkommen in der faszinierenden Welt der Physik! In diesem Abschnitt tauchen wir in zwei grundlegende Phänomene ein, die unser modernes Leben auf viele Arten beeinflussen – Elektrizität und Magnetismus. Doch warum sind diese Konzepte gerade für Sie als Studierende der Radiologietechnologie so wichtig? Die Antwort ist einfach: Ohne das tiefe Verständnis dieser physikalischen Grundlagen wären die moderne Diagnostik und Therapie mittels Strahlung, wie wir sie heute kennen, schlichtweg nicht möglich. Elektrizität und Magnetismus spielen eine zentrale Rolle in vielen Geräten und bei Verfahren, die im klinischen Umfeld unverzichtbar sind. Denken Sie an die Magnetresonanztomographie, eines der fortschrittlichsten diagnostischen Werkzeuge. Die zugrundeliegende Technik basiert auf starken Magnetfeldern und elektromagnetischen Wellen, die präzise Bilder aus dem Inneren des menschlichen Körpers erzeugen. Ebenso basiert beispielsweise die Strahlentherapie und deren Bestrahlungsplanung auf Grundlagen, die wir im Rahmen dieser Vorlesung erarbeiten. Ein fundiertes Verständnis von Elektrizität und Magnetismus hilft Ihnen nicht nur dabei, moderne Technologien sicher und effizient zu nutzen, sondern auch, sie im Detail zu verstehen. So sind Sie in der Lage, mit Herausforderungen im klinischen Alltag umzugehen, seien es technische Probleme, Kalibrierungsfragen oder Sicherheitsaspekte, die den Schutz von PatientInnen und Personal betreffen. In den kommenden Kapiteln werden wir uns mit grundlegenden Prinzipien der Elektrizität und des Magnetismus beschäftigen, deren Verständnis für das weitere Studium unverzichtbar ist. Lassen Sie sich begeistern – denn was hier als theoretisches Wissen beginnt, wird Ihnen schon bald helfen, in einem klinischen Umfeld Leben zu retten und Diagnosen zu präzisieren. Bereit für den Start? Tauchen wir gemeinsam ein! 4 Angewandte Medizinphysik 1 – Teil 2 2. Elektrosta k Die Elektrostatik ist die Lehre von Erscheinungen bei ruhenden elektrischen Ladungen. 2.1. Ladung (Q) Bei der Ladung handelt es sich um eine Eigenschaft der Materie, die den Charakter einer Menge hat (daher auch „Ladungsmenge“) und sich durch Kraft zwischen Ladungen zeigt. Man unterscheidet zwei Sorten von Ladungen, wobei diese willkürlich als positiv und negativ bezeichnet wurden. Eine Unterscheidung gelingt aufgrund der anziehenden bzw. abstoßenden Kräfte. Ein Experiment, das das Vorhandensein von Ladungen beweist, ist folgendes: wird ein Glasstab mit einem Tierfell gerieben, lädt sich dieser negativ auf und das Fell positiv. Da beide Körper vor dem aneinander reiben elektrisch neutral waren, kann angenommen werden, dass sich die positiven und negativen Ladungen in einem Körper aufheben. Beim Reibungsvorgang wird also ein Teil der positiven oder negativen Ladungen „abgerieben“, dass Ladungen der anderen Art zurückbleiben. 2.1.1. Eigenscha en von Ladungen  Wechselwirkung: Elektrische Ladungen üben Kräfte aufeinander aus. Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab während sich Ungleichnamige anziehen. Abbildung 1: Kräfte von Ladungen aufeinander https://o.quizlet.com/EYvVegNWcvomT9hZDYyN1A.png Ihre Wirkungen sind richtungsunabhängig und sie können sich kompensieren („neutralisieren“) 𝑄+ = −𝑄− 𝑄+ + 𝑄− = 0  Es gilt das Gesetz der Ladungserhaltung: In einem abgeschlossenen System bleiben die Summen der positiven und negativen Ladungen konstant, d.h. Ladungen können nicht erzeugt oder vernichtet werden. ∑𝑄𝑖 =𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 𝑖 5 Angewandte Medizinphysik 1 – Teil 2  Quantisierung Ladung ist gequantelt, sie existiert (in der direkt beobachtbaren Natur) nur als ganzzahliges Vielfaches der Elementarladung e 2.1.2. Elementare Ladung und Elementarladung Die elektrische Elementarladung e ist die kleinste frei existierende elektrische Ladungsmenge, weshalb sie als „natürliche Ladungseinheit“ bezeichnet wird. e = 1,602176462 · 10-19C (Coulomb) Die Ladung freier Teilchen und von Materiemengen beträgt entweder Null oder ein ganzzahliges (positives oder negatives) Vielfaches der Elementarladung. Als Beispiele hierfür kann die Ladung der Bausteine der Atome angesehen werden: Name Ladung Proton +e Neutron 0 Elektron -e Tabelle 1: Stabile Bausteine der Atome und deren Ladung Protonen und Neutronen bilden den Atomkern (Radius ca. 10-15m) welcher von einer „Wolke“ aus Elektronen umgeben ist, die sich auf Bahnen bewegen. Beim neutralen Atom ist die Anzahl der Elektronen gleich der Anzahl der Protonen im Kern (Kernladungszahl Z entspricht der Ordnungszahl). Der Radius des gesamten Atoms liegt bei ca. 10-10m (entspricht 1 Ångström), das Atom ist also praktisch „leer“. 2.1.3. Coulombsches Gesetz Das Coulombsche Gesetz beschreibt eine grundlegende Wechselwirkung in der Physik: die Kraft zwischen zwei Punktladungen. Es sagt aus, dass zwei geladene Objekte – beispielsweise Elektronen oder Protonen – eine Kra aufeinander ausüben, die von der Größe ihrer Ladungen und dem Abstand zwischen ihnen abhängt. Diese Kra kann entweder anziehend oder abstoßend sein. Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab, während ungleichnamige Ladungen sich anziehen. Die Richtung wird durch die Verbindungsgeraden der Ladungsmittelpunkte bestimmt. Das Gesetz spielt in vielen Bereichen der Physik und Chemie eine zentrale Rolle – von der Struktur der Atome bis hin zur Elektrizität und Magne smus, die wir täglich nutzen. Es hil uns zu verstehen, warum Elektronen in der Nähe von Protonen in Atomkernen bleiben, aber auch, warum Elektronen von nega v geladenen Oberﬂächen abstoßen. Es ist der Schlüssel zur Erklärung vieler Phänomene, wie sta scher Elektrizität oder der Funk onsweise von Kondensatoren in elektronischen Geräten. Dazu später mehr – nun aber zur näheren Beschreibung. Um die Kraftwirkung zwischen Ladungen zu untersuchen, wurden zwei geladene Kugeln auf einer Drehwaage montiert und der Abstand r variiert. 6 Angewandte Medizinphysik 1 – Teil 2 Tabelle 2: Coulombsche Drehwaage Bei späteren Versuchen wurde die Abstoßungsdistanz zweier gleichnamig geladener, an Fäden angehängter Kugeln gemessen (siehe Abbildung 2). Abbildung 2: Messung der Abstoßungskraft gleichnamig geladener Kugeln Als Ergebnis stellte man folgende Proportionalität fest: Q1 ∙ Q2 𝐹=𝑘∙ r2 Der Wert für den Proportionalitätsfaktor k hängt von der Wahl der (Mess-) Einheiten für Q, F und r ab. Früher wurde das CGS-System (steht für centimetre gram second) verwendet, um ohne eine vierte Basiseinheit auszukommen. Dies hat sich als unpraktisch herausgestellt. Im sich heute bereits weltweit durchsetzenden internationalen Einheitensystem (SI) hat man für den Bereich der Elektrizitätslehre eine vierte Basisgrößenart (Stromstärke I in der Einheit Ampere (A)) festgelegt. Zwischen Stromstärke und elektrische Ladung besteht folgender Zusammenhang: 𝑄 𝐼= 𝑡 Wobei I der Strom durch eine beliebige Fläche ist. Dies entspricht der gesamten Ladung Q, die in der Zeit t dort durchfließt. Durch Umformen erhält als Formel für die Ladung (bei zeitlich konstantem Stromfluss): 𝑄 =𝐼∙𝑡 Einheit: Amperesekunden (𝐴 ⋅ 𝑠) bzw. Coulomb (𝐶). 7 Angewandte Medizinphysik 1 – Teil 2 In Worten ausgedrückt, bedeutet eine Ladung von 1As jene Ladung, die durch einen Querschnitt tritt, wenn dort 1s lang ein Strom von 1A fließt. Dadurch lässt sich der Proportionalitätsfaktors k im Coulombgesetz bestimmen: k wird im Allgemeinen in folgender Form angeschrieben: Wobei ε0 die Dielektrizitätskonstante des Vakuums ist. Insgesamt ergibt sich daher das Coulombsche Gesetz als: Um auch die Richtung der Kraftwirkung anzuzeigen, schreibt man die Beziehung meistens vektoriell Wobei der Einheitsvektor, der von der Ladung Q2 zur Ladung Q1 zeigt, definiert ist als Der Betrag eines Vektors ist die Zeigerlänge, wodurch der Vektor 𝑟⃑ durch dessen Zeigerlänge dividiert wird und damit immer die Länge 1 hat. Abbildung 3: Schematische Darstellung der Coulomb-Kraft 8 Angewandte Medizinphysik 1 – Teil 2 Die Richtung wird dadurch richtig wiedergegeben: ://www.youtube.com/watch?v=oEqDPfJ8yfQ 2.2. Das elektrische Feld Ein elektrisches Feld ist ein Zustand eines Raumes (z.B. zwischen elektrisch geladenen Körpern), in dem eingebrachte elektrische Ladungen Kräfte erfahren. Man stelle sich vor, man hält einen unsichtbaren Faden in der Hand, der alles durchzieht, was elektrisch geladen ist. Dieser „Faden“ ist das elektrische Feld – ein unsichtbares Kra feld, das jedes geladene Teilchen umgibt, ähnlich wie die Schwerkra ein Feld um Massen erzeugt. Aber anders als bei der Schwerkra wirkt das elektrische Feld nicht nur anziehend, sondern auch abstoßend, je nachdem, ob die Ladung posi v oder nega v ist. Das Feld wird bildlich durch Feldlinien beschrieben. Diese Linien sind gedachte Kurven im Raum, die definitionsgemäß bei den positiven Ladungen starten und auf negativen Ladungen enden. Ein Beispiel ist in Abbildung 4 dargestellt, wobei es sich hier um einen elektrischen Dipol handelt (eine elektrisch positive und eine elektrisch negative Ladung). Abbildung 4: Elektrische Feldlinien Quelle: https://www.leifiphysik.de/sites/default/files/medien/feld_2_punkt_ladungenmittel_gru.png Was ist nun die Aussagekraft solcher Feldlinien? Die Feldlinien des elektrischen Feldes sind eine visuelle Möglichkeit, unsichtbare elektrische Felder zu beschreiben. Sie helfen uns, die Richtung und Stärke des elektrischen Feldes rund um geladene Objekte zu verdeutlichen. 1) Geben die Richtung der resultierenden Kraft für Ladungen im Raum an Bildet man in einem Punkt des elektrischen Feldes eine Tangente zu der Feldlinie, zeigt die Tangente die Richtung der auftretenden Kraft auf eine positiv geladene Punktladung („Probeladung“) an. 9 Angewandte Medizinphysik 1 – Teil 2 Im Detail: Es wird eine positive und eine negative Ladung in einen Raum gebracht, wodurch sich ein elektrisches Feld bildet (elektrischer Dipol, siehe Abbildung 4). Wird eine positive Probeladung an irgendeinem Ort in dem elektrischen Feld platziert, erfährt diese Probeladung eine abstoßende Kraft von der positiven Ladung und eine anziehende Kraft von der negativen Ladung. Die resultierende Kraft zeigt tangential zur Feldlinie und entlang der Feldlinienrichtung. Eine negative Probeladung würde dagegen eine anziehende Kraft von der positiven Ladung des Dipols erfahren und eine abstoßende Kraft von der negativen Ladung des Dipols. Die resultierende Kraft auf eine negative Probeladung zeigt ebenfalls tangential entlang der Feldlinie, verläuft aber entgegen der Feldlinienrichtung (siehe Abbildung 5) Abbildung 5: Resultierende Kräfte auf Ladungen im elektrischen Feld Quelle: https://universaldenker.de/illustrationen/1246 2) Optische Information über die Feldstärke Die Feldliniendichte (also die Anzahl der Feldlinien pro Flächeneinheit) zeichnet man umso dichter, je höher die elektrische Feldstärke ist. Abbildung 6: Systematische Darstellung und „Sichtbarmachung“ der elektrischen Feldlinien eines elektrischen Dipols Quelle: https://www.leifiphysik.de/elektrizitaetslehre/ladungen-felder-mittelstufe/grundwissen/feldlinien 10 Angewandte Medizinphysik 1 – Teil 2 Ähnlich wie Magnetfelder lassen sich auch elektrische Felder sichtbar machen. Hierfür können Kunststoffspäne oder Grießkörner verwendet werden, da diese im elektrischen Feld zu kleinen Dipolen werden und sich durch ein entstehendes Drehmoment mit den Körperachsen parallel zu den Feldlinien ausrichten. Abbildung 7: Ausrichtung der kleinen Dipole parallel zu den Feldlinien Wichtig: Feldlinien schneiden sich nie: Feldlinien können sich nicht kreuzen, da das bedeuten würde, dass das elektrische Feld in zwei Richtungen gleichzei g zeigt – was unmöglich ist. Sie enden immer an Ladungen: Posi ve Ladungen sind Quellen von Feldlinien, während nega ve Ladungen Senken sind, an denen die Feldlinien enden. Bei einem isolierten geladenen Objekt, das von nichts anderem beeinﬂusst wird, enden die Linien theore sch im Unendlichen. 2.2.1. Elektrische Feldstärke Die elektrische Feldstärke ist ein Maß für die Kraft, die ein geladener Körper in einem elektrischen Feld erfährt (also die „Intensität“ des elektrischen Feldes). Die elektrische Feldstärke an einem Punkt eines Feldes ist als die Kraft auf die dort befindliche Ladung (ideal: punktförmige, positive geladen, also Q+ = 1As) definiert. Die Definitionsgleichung für E lautet: Einheit: Typische Werte für Feldstärken sind: Das Konzept der elektrischen Feldstärke mag auf den ersten Blick abstrakt wirken, aber es steckt hinter vielen Phänomenen, die wir im Alltag erleben – von der sta schen Elektrizität bis hin zu den Krä en, die in elektrischen Geräten wirken. Für ein alltägliches Beispiel: Ein Lu ballon, der du an deinem Pullover gerieben wird. Dadurch wird er elektrisch geladen. Wenn man dann kleine Papierschnipsel in die Nähe hält, werden sie vom elektrischen Feld des Ballons angezogen und springen hoch. Die elektrische Feldstärke um den Ballon 11 Angewandte Medizinphysik 1 – Teil 2 herum sorgt dafür, dass die Schnipsel angezogen werden, weil sie von dem unsichtbaren Kra feld beeinﬂusst werden. Spannender wird es in der Welt der Technik: Die elektrische Feldstärke ist der Grund, warum Hochspannungsleitungen so weit oben hängen. Wenn man sich in der Nähe dieser Leitungen au ält, ist das elektrische Feld so stark, dass es die Lu um sie herum zum Leuchten bringen kann, was man als Koronaentladung bezeichnet. Wichtig: Während die elektrische Feldstärke ein Maß für die Kraft auf den geladenen Körper ist, liefert die Tangente der Feldlinien die Richtung dieser Kraft. Frage: Wie sehen die Feldlinien eines homogenen Feldes aus und wo sind die die Feldstärken gleich groß (Äquipotentiallinien)? Abbildung 8a: Feldlinien homogenes Feld (z.B. Plattenkondensator) Frage: Wie sehen die Feldlinien eines radialsymmetrischen Feldes aus und wo sind die die Feldstärken gleich groß („Äquipotentiallinien“)? Abbildung 8b: Feldlinien eines radialsymmetrischen Feldes (z.B. Punktladung) 12 Angewandte Medizinphysik 1 – Teil 2 2.2.2. Elektrisches Poten al und Spannung 2.2.2.1. Zusammenhang Feldstärke und elektrisches Poten al Der Zusammenhang zwischen elektrischer Feldstärke und elektrischem Poten al ist ein grundlegendes Konzept in der Elektrodynamik und beschreibt, wie das elektrische Feld in einem Raum mit der Energie verknüp ist, die eine Ladung in diesem Feld besitzt. Um das Potential zu erklären kann man sich die notwendige Arbeit für den Transport einer Ladung in einem elektrischen Feld ansehen (analog zum Heben einer Masse im Schwerefeld). Bei diesem Versuchsaufbau gibt es zwei horizontale, geladene Platten, wobei die obere Platte positiv und die untere Platte negativ geladen ist. An der unteren Platte, auf „Niveau 1“ befindet sich ein positiv geladener Körper (siehe Abbildung 9). Wichtig: Die Gravitation wird für dieses Beispiel vernachlässigt. Abbildung 9: Zur Herleitung des Zusammenhangs zwischen Feldstärke und Potential Wiederholung: Unter potentieller Energie versteht man die Energie eines physikalischen Systems, die durch seine Lage in einem Kraftfeld bestimmt wird. Ein praktisches Beispiel aus dem täglichen Leben ist die potentielle Energie abhängig von der Schwerkraft der Erde (𝐸𝑝𝑜𝑡 = 𝑚 ⋅ 𝑔 ⋅ h). Abbildung 10: Potentielle Energie abhängig von der Höhe 13 Angewandte Medizinphysik 1 – Teil 2 Da wir eigentlich zu einer Größe kommen wollen, die charakteristisch für ein elektrisches Feld ist, bezieht man die potenzielle Energie auf die Ladungseinheit. Man betrachtet also Wp für einen Körper mit der Ladung Q in einem bestimmten Punkt des Feldes und nennt diese Größe Potential (U*) des Feldes in diesem Punkt. Diese Größe spielt auch bei der Definition der Spannung eine sehr wichtige Rolle! Die Einheit des Potentials ist die der elektrischen Spannung (V). Dividiert man die vorangegangene Gleichung für Wp2 durch Q, ergibt sich: Punkte gleichen Potentials liegen auf den Äquipotentialflächen (in der Skizze dieses Beispiels sind das horizontale Ebene in verschiedenen Höhen). 14 Angewandte Medizinphysik 1 – Teil 2 Abbildung 11: Äquipotentiallinien Der Wert für das Niveau 1 kann beliebig (also auch gleich Null) gewählt werden. Ist dies der Fall, fällt der Term für 𝑊 weg. Das Poten al an einem Ort A im Feld ist die Arbeit pro Ladungseinheit, die 𝑝1 aufgewendet werden muss, um eine Ladung vom Ort, an dem U* gleich null ist, an den Ort A zu bringen. Wird diese Formel nun auf das Poten al umgeformt, erhält man: Das Potential lässt sich also als Linienintegral (=Liniensumme) der elektrischen Feldstärke darstellen! In einfachen Worten ausgedrückt: Das elektrische Poten al ist eine Größe, die beschreibt, wie viel poten elle Energie eine Ladung an einem bes mmten Punkt im elektrischen Feld hä e. Man kann es sich wie die "Höhe" in einem Gravita onsfeld vorstellen. Je höher ein Objekt ist, desto mehr poten elle Energie hat es. Analog dazu: Je höher das elektrische Poten al an einem Punkt ist, desto mehr Energie hat eine posi ve Ladung dort. In der Praxis wird das Nullniveau (also der Ort mit U* = 0) meistens mit Erde gewählt. Liegt der negative Anschluss einer Gleichspannungsquelle an Erde, so hat der andere Anschluss ein positives Potential, das gleich der Spannung der Quelle ist! Abbildung 12: Potential UA* entspricht der Spannung U, wenn das Nullniveau auf Erde liegt 15 Angewandte Medizinphysik 1 – Teil 2 2.2.2.2. Elektrische Spannung Bei geladenen Körpern kommt es in der Regel nicht auf die absoluten Potentiale gegenüber einem festgelegten Nullniveau (z.B. Erde) der einzelnen Körper an, sondern auf die Potentialdifferenzen zwischen den Körpern (ähnlich einem Skifahrer, der vom Berg ins Tal fährt. Die Höhe, in der sich das Tal befindet ist für ihn nicht relevant). Die Potentialdifferenz ist die Arbeit für die Ladungseinheit Q = 1As: Die Spannung zwischen zwei Körpern ist also die Arbeit, die notwendig ist, um die Ladungseinheit Q = 1As vom negativ geladenen zum positiv geladenen Körper zu bringen. Zwischen zwei Körpern besteht demnach eine Spannung von 1V, wenn die Arbeit von 1J beim Transport der Ladungseinheit Q = 1As vom negativ geladenen Körper zum positiv geladenen Körper aufzuwenden ist, oder (beim umgekehrten Weg) frei wird. Welche Kennzeichen hat Spannung? 1. Spannung kann einen elektrischen Strom verursachen! Werden zwei Körper, zwischen denen eine Spannung besteht, mit einem Leiter verbunden, fließt Strom. Hintergrund: zwischen den beiden Körpern besteht ein elektrisches Feld, welches auf die freien Ladungsträger des Leiters eine Kraft ausübt und sie damit in Bewegung versetzt. 2. Spannung ist mit Kraftwirkung verbunden! Zwei Körper, zwischen denen eine elektrische Spannung besteht, tragen jeweils unterschiedlich viele positive bzw. negative Ladungen. Sie sind relativ zu einander positiv und negativ aufgeladen. Diese jeweils überschüssigen Ladungen üben aufeinander Anziehungskräfte aus (siehe Coulombkraft). 16 Angewandte Medizinphysik 1 – Teil 2 2.3. Inﬂuenz Unter Influenz versteht man die Ladungstrennung in einem Leiter beim Einbringen in ein elektrisches Feld. Ein anschauliches Beispiel ist in Abbildung 13 dargestellt. Abbildung 13: Ladungsverschiebung in einem Leiter, der sich in einem elektrischen Feld befindet Die Ladungen werden im Leiter so lange verschoben (durch die Kraft 𝐹 = 𝑄 ⋅ 𝐸), bis das durch die verschobenen Ladungen entstandene, entgegen gerichtete Feld gleich groß ist wie das Äußere (also betragsmäßig gleich). Im Inneren des Leiters besteht dann kein Feld mehr, da sich die beiden Felder Ei und EA aufheben. Influenz tritt auch dann auf, wenn man einen neutralen Leiter einem geladenen Leiter nähert oder umgekehrt (siehe Abbildung 14). Abbildung 14: Influenzwirkung in einem ungeladenen Leiter Wird der neutrale Leiter nun geerdet, fließen die positiven Ladungsträger zur Erde ab. Durch geschicktes Vorgehen kann man damit auch Ladungen total trennen, also Ladungsquellen schaffen (hierfür wird der Leiter von der Erde getrennt, womit dieser negativ geladen vorliegt). 17 Angewandte Medizinphysik 1 – Teil 2 Abbildung 15: Influenzwirkung in einem ungeladenen Leiter mit Erdung Ein Anwendungsbeispiel für die Influenz ist in Abbildung 16 dargestellt. Abbildung 16: Ladungstrennung mit Hilfe von Influenz Zwei aneinander liegende Platten werden in ein elektrisches Feld gebracht, wodurch sich in diesem Verbundkörper durch Ladungsverschiebung ein entgegengerichtetes elektrisches Feld bildet. Trennt man die Platten im Feld voneinander und führt sie getrennt heraus, erhält man zwei geladene Platten. 2.4. Elektrischer Dipol und elektrisches Dipolmoment 2.4.1. Grundlagen Unter einem elektrischen Dipol versteht man einen Körper, der zwei örtlich getrennte, ungleichnamige elektrische Ladungen trägt. Es zählen alle Körper dazu, bei denen die Schwerpunkte der positiven und negativen Ladungsmittelpunkte nicht zusammenfallen. Auch einige sehr wichtige Moleküle im menschlichen Körper besitzen ein Dipolmoment. Der Abstand zwischen den beiden Ladungsschwerpunkten nennt man Dipollänge l. 18 Angewandte Medizinphysik 1 – Teil 2 Abbildung 17: Schematische Darstellung eines Dipols 2.4.2. Verhalten eines Dipols in einem homogenen Feld Im homogenen elektrostatischen Feld E wirkt auf die positive Ladung die Kraft F und auf die negative Ladung -F. Zusammen bilden diese beiden Kräfte ein Kräftepaar und erzeugen damit ein Drehmoment (siehe Abbildung 18). Abbildung 18: Drehung eines elektrischen Dipols in einem elektrischen Feld Allgemein gilt für ein Drehmoment Abbildung 19: Allgemeine Skizze zum Drehmoment Achtung: hierbei steht F im rechten Winkel zu r! Das ist in unserem Beispiel nicht der Fall, weshalb die Kraft F in ihre beiden Komponenten FS (senkrecht zum Hebel l) und FP (parallel zum Hebel l) aufgeteilt wird. Für das Drehmoment ist nur FS relevant, da FP lediglich auf die Drehachse „drückt“. 19 Angewandte Medizinphysik 1 – Teil 2 Abbildung 20: Aufteilen der Kraft F in FS und FP Daraus lässt sich ablesen: Setzt man das nun in die allgemeine Formel ein, erhält man in unserem Beispiel für das Drehmoment an einer Ladung: Da dieses Drehmoment auf beide Ladungen wirkt und damit das Drehmoment verdoppelt, erhält man: Setzt man nun 𝐹 = 𝑄 ⋅ 𝐸 ein, ergibt das: Wobei das Produkt aus 𝑄 ⋅ 𝑙 als Dipolmoment definiert ist Der Vektor 𝑙 ist von – nach + gerichtet. Abbildung 21: Orientierung des Vektors l Vektoriell lässt sich die Beziehung für das auf einen Dipol wirkende Kräftepaar folgendermaßen anschreiben: 20 Angewandte Medizinphysik 1 – Teil 2 Was bedeutet das nun? Ein Dipol wird im homogenen Feld eine Drehung erfahren, bis sein Dipolmoment 𝑝⃑ parallel zum elektrischen Feld 𝑬 steht. Dies wird auch als stabile Lage bezeichnet und das Drehmoment wird 0 (sin 0° = 0). Abbildung 22: Stabile Endlage eines Dipols im elektrischen Feld 2.5. Dielektrika Bei elektrischen Dipolen unterscheidet man permanente Dipole, bei denen der Schwerpunkte der positiven bzw. negativen elektrischen Ladungen deutlich voneinander getrennt ist und die induzierten Dipole, bei denen erst durch ein äußeres Feld infolge einer Verschiebung der Ladungen ein Dipol entsteht. Letzteres ist z. B. bei der Influenz der Fall. Beide Arten von Dipolen liegen auch im atomaren Bereich vor. Es gibt Moleküle, die permanente Dipole darstellen, wie z. B. H2O. Bei ihnen fällt der Schwerpunkt des „Kerngerüstes“ nicht mit jenem der Elektronenhülle zusammen. Abbildung 23: permanentes Dipolmoment des Wasserstoffatoms Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Polarisation_(Elektrizit%C3%A4t) Abbildung 24: Deformation der Elektronenhülle eines Atoms in einem elektrischen Feld 21 Angewandte Medizinphysik 1 – Teil 2 Alle atomaren Teilchen (Atome, Ionen und Moleküle) erhalten in einem elektrischen Feld ein induziertes Dipolmoment, die permanenten Dipole zusätzlich ein Induziertes. Das hat nun folgende Auswirkungen: Bringt man einen Isolator in ein elektrisches Feld, so stellt man eine sogenannte Polarisation des Isolators fest. Es zeigen sich Oberflächenladungen, ähnlich der Influenz in einem Leiter. Der Isolator wird also ebenfalls im Feld zu einem elektrischen Dipol. Der Unterschied zur Influenz besteht darin, dass hier weniger Oberflächenladungen „entstehen“ und das entstehende innere Gegenfeld (Ei) nicht ausreicht um das äußere Feld (EA) ganz zu kompensieren. Da das äußere Feld nur abgeschwächt wird, ist im Isolator noch ein Feld vorhanden. Es kann ein Feld durch den Isolator durch (griech. „dia“) „gehen“ (beim Leiter nicht), weshalb diese Stoffe Dielektrika genannt werden. Abbildung 25: Polarisation eines Dielektrikums in einem elektrischen Feld Da beim Isolator die Ladungsträger nicht ungebunden vorhanden sind, tritt die Erscheinung der Oberflächenladung durch Ladungsverschiebung innerhalb atomarer bzw. molekularer Bereiche auf. Dies ist in Abbildung 26 schematisch dargestellt. Abbildung 26: Entstehen der Oberflächenladungen beim Einbringen eines Isolators in ein elektrisches Feld 22 Angewandte Medizinphysik 1 – Teil 2 Man unterscheidet dabei zwischen zwei Polarisationsformen: 1) Verschiebungs- oder Deformationspolarisation Wenn die atomaren Teilchen ohne äußeres Feld kein Dipolmoment besitzen und erst im Feld, durch Verschiebung der Elektronenhülle gegen die Atomkerne zu (induzierten) Dipolen werden. 2) Orientierungs- oder Richtungspolarisation Bei permanenten Dipolen sind die Richtungen die einzelnen atomaren Dipole im Grundzustand statistisch verteilt. Durch die Einwirkung eines externen elektrischen Feldes werden diese Dipole immer besser gleichgerichtet, je stärker dieses Feld ist. Diese Polarisierungsart erfolgt wegen der großen zu bewegenden Massen langsam. In beiden Fällen ist das Ergebnis das Gleiche: Es kommt zu einer Aufladung der Oberflächen. Besondere Fälle der Polarisation: Es gibt Stoffe, bei denen sich im Schmelzzustand auf diese Weise relativ große Oberflächenladungen erzeugen lassen und bei denen dieser Zustand nach dem einfrieren erhalten bleibt. Man erhält damit einen permanenten „makroskopischen“ Dipol („Elektret“). Es gibt auch Stoffe, bei denen unter mechanischem Druck („Umorientierung“ der Moleküle) Oberflächenladungen, also makroskopische Dipole entstehen. Dies sind die piezoelektrischen Kristalle (piezo, griech. drücken). Wenn man hier umgekehrt Oberflächenladungen, d. h. eine Spannung anlegt, dann ändern diese Kristalle ihre Länge (Elektrostriktion, Anwendung mit Wechselspannungen als Ultraschallquelle und als Schwinger in Uhren und Sendern). Schließlich gibt es noch Stoffe, bei denen Oberflächenladungen bei thermischer Ausdehnung, also Erwärmung „entstehen“. Das sind die pyroelektrischen Stoffe (pyr, griech. Feuer). 2.6. Kondensator Ein Kondensator ist ein passives elektronisches Bauteil, das elektrische Energie in Form eines elektrischen Feldes speichert. Er besteht im Wesentlichen aus zwei elektrisch lei ähigen Pla en, die durch ein isolierendes Material, das sogenannte Dielektrikum, voneinander getrennt sind. Diese Pla en können elektrische Ladungen aufnehmen – die eine Pla e wird posi v geladen, die andere nega v. Dies wird auch im Schaltsymbol dargestellt: Abbildung 27: Schaltsymbol eines Kondensators Quelle: https://www.grund-wissen.de/elektronik/bauteile/kondensator.html Beispiel: Wenn man zwei Metallscheiben an eine Spannungsquelle anschließt (zum Beispiel eine Ba erie), ﬂießt der Strom, und die eine Scheibe sammelt posi ve Ladungen an, während die andere nega ve Ladungen erhält. Diese entgegengesetzten Ladungen erzeugen ein elektrisches Feld zwischen den Pla en. Dieses Feld speichert die Energie. 23 Angewandte Medizinphysik 1 – Teil 2 Kondensatoren werden für folgende Hauptaufgaben verwendet: 1) Glättung „welliger“ Gleichströme Kondensatoren werden o verwendet, um Schwankungen in der Spannung zu glä en. In einem Stromkreis, der z. B. von einem Gleichrichter gespeist wird (der Wechselstrom in Gleichstrom umwandelt), kann die Spannung schwanken. Der Kondensator wirkt hier wie ein Puﬀer, indem er in Zeiten hoher Spannung Ladung speichert und sie bei niedrigeren Spannungen wieder abgibt. Das sorgt für eine gleichmäßigere Stromversorgung. 2) Filterung Elektrische Signale können mithilfe von Kondensatoren gefiltert werden. So können sich auch dazu verwendet werden bes mmte Frequenzen zu blockieren oder zuzulassen, was sie in Audioverstärkern oder Radios nützlich macht. 3) Ladungsspeicherung Der Kondensator kann elektrische Energie speichern und bei Bedarf wieder abgeben. Das passiert, weil die Ladungen auf den beiden Pla en durch das elektrische Feld festgehalten werden. Wird die Spannungsquelle getrennt, bleiben die Ladungen vorübergehend erhalten, und die Energie bleibt im Kondensator gespeichert. Wenn der Kondensator entladen wird (z.B. durch einen angeschlossenen Stromkreis), ﬂießt der Strom zurück, und die gespeicherte Energie wird freigegeben. Dieser Speichermechanismus eignet sich vor allem zur kurzfris gen Energiespeicherung und schnellen Entladung. Das ist auch der große Vorteil im Vergleich zu einer Ba erie, welche langsamere Lade- und Entladeraten aufweisen. Ba erien speichern Energie durch chemische Reak onen, die beim Laden und Entladen Ionen erzeugen und verbrauchen – ein grundlegend anderes Prinzip. 2.6.1. Typen von Kondensatoren Geometrisch können Kondensatoren verschiedene Formen aufweisen, wobei Platten- und Zylinderkondensatoren in der Praxis sehr häufig anzutreffen sind. Abbildung 28: Platten- und Zylinderkondensator Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Kondensator_(Elektrotechnik) Obwohl Kondensatoren in verschiedensten Formen auftreten können, gibt es nur zwei technische Umsetzungsmöglichkeiten: 1) Folienkondensatoren Bestehen aus zwei Metallfolienstreifen mit einem dünnen Papier oder einer Kunststofffolie (Dielektrikum) dazwischen. Die ganze Anordnung wird aufgerollt. 24 Angewandte Medizinphysik 1 – Teil 2 Abbildung 29: Folienkondensatoren Quelle: http://www.trettin-tv.de/akademie/kondensatormes.html und https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3- 658-08652-7_8 2) Elektrolytkondensatoren Durch Elektrolyse (Prozess, bei dem elektrischer Strom eine Redoxreaktion erzeugt) wird auf einer Elektrode (positiv geladene Anode, die meistens aus Aluminium ist) eine dünne Oxidschicht erzeugt, die als Dielektrikum wirkt. Die Kathode ist ein Elektrolyt, der in Papier aufgesaugt ist und mit einem Metallstreifen kontakt hat. Dieser Streifen, der meistens aus Aluminiumfolie gefertigt wird, soll nur die elektrische Verbindung zum Elektrolyten, der eigentlichen Kathode, bilden. Das Papier hat einerseits die Aufgabe als Abstandshalter zu dienen, da die Anodenfolie und Kathodenfolie unbedingt vor einem direkten metallischen Kontakt geschützt werden müssen (das würde schon bei relativ kleinen Spannungen zu einem Kurzschluss führen). Außerdem dient das Papier noch als Reservoir für den flüssigen Elektrolyten, wodurch die teilweise sehr langen Lebensdauern moderner Elkos erreicht werden. Wiederholung: Ein Elektrolyt ist ein Stoff, der beim Anlegen einer Spannung unter dem Einfluss des dabei entstehenden elektrischen Feldes den elektrischen Strom leitet, wobei seine elektrische Leitfähigkeit und der Ladungstransport durch die gerichtete Bewegung von Ionen bewirkt wird. Abbildung 30: Elektrolytkondensatoren Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Elektrolytkondensator Elektrolytkondensatoren bieten aufgrund der geringen Dielektrikumsdicke ein großes Speichervermögen bei kleinen Herstellungskosten. 2.6.2. Die Kapazität C Die Kapazität ist die Fähigkeit eines Kondensators, elektrische Ladung zu speichern. Sie wird in Farad (F) gemessen. Ein Kondensator mit einer Kapazität von 1 Farad kann 1 Coulomb Ladung speichern, wenn er mit 1 Volt Spannung geladen wird. 25 Angewandte Medizinphysik 1 – Teil 2 Man betrachte folgenden Aufbau: Abbildung 31: Schaltung mit Plattenkondensator Die Platten mit der Innenfläche A werden mit Hilfe einer Spannungsquelle auf die Spannung U aufgeladen, an dem zweiten Zweig wird ein Stoßgalvanometer vorbereitet (Schalter zu Beginn offen). Das sind besondere Messgeräte, die eine mechanische Drehbewegung proportional zum elektrischen Strom erzeugen. Das Stoßgalvanometer liefert einen Stoßausschlag der proportional zu ∫ 𝐼(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝐶 und kann daher für Ladungsmessung geeicht werden. Dann wird der Schalter von P1 auf P2 umgelegt, wodurch sich die Platten über den Stoßgalvanometer entladen, welches die Ladung Q der Platten anzeigt. 26 Angewandte Medizinphysik 1 – Teil 2 2.6.2. Parallel- und Serienschaltung von Kondensatoren 1) Wie kann man die Gesamtkapazität einer Parallelschaltung von Kondensatoren berechnen? Abbildung 32: Parallelschaltung zweier Kondensatoren Da bei einer Parallelschaltung in beiden „Zweigen“ die gleiche Spannung anliegt, gilt Uc1 = Uc2 und es summieren sich die Ladungen (beide Kondensatoren werden durch auf die Spannung U aufgeladen, die Gesamtladung ist also größer als bei einem Kondensator). Es gilt daher 𝑄𝑔𝑒𝑠 = 𝑄1 + 𝑄2. Setzt man nun in die Formel 𝐶 =Q/U ein, erhält man: 2) Wie kann man die Gesamtkapazität einer Serienschaltung von Kondensatoren berechnen? Abbildung 33: Serienschaltung zweier Kondensatoren Die Vorgehensweise ist ähnlich. Bei einer Serienschaltung „teilt“ sich die Spannung auf beide Bauteile auf. Außerdem ist bei der Serienschaltung der durch die Kondensatoren fließende Ladestrom (iC) für alle Kondensatoren gleich, da er nur einem Weg folgt. Daher speichert jeder Kondensator unabhängig von seiner Kapazität die gleiche Menge an elektrischer Ladung Q auf seinen Platten (Q = Q1 = Q2). 27 Angewandte Medizinphysik 1 – Teil 2 3. Magne smus 3.1. Grundsätzliches Der Begriff Magnetismus stammt von Magnesia, einer kleinen Stadt in Kleinasien. Dort wurde bereits im Altertum ein permanent magnetisches Gestein (Magnetit) gefunden. Man versteht unter einem magnetischen Feld den Zustand eines Raumes, in dem eingebrachte  Permanente Magnete  Elektrische Ladungen  Stromdurchflossene Leiter Kräfte bzw. Drehmomente erfahren. Frage: Wie kann man ein Magnetfeld nachweisen? Am einfachsten kann man ein Magnetfeld mit einem Magnetoskop, also einem kleinen, drehbaren Permanentmagneten nachweisen. Abbildung 34: Magnetnadel Quelle: https://www.betzold.de/prod/86078/ https://en.wikipedia.org/wiki/Ten_Essentials Will man auch die Stärke des Feldes bestimmen, wird die Magnetnadel auf eine Drillachse gesetzt, wobei damit der Ausschlag ein Maß für die Feldstärke ist. Ein solches Messgerät wird Magnetometer genannt. Heutzutage sind auch diese Geräte digital realisiert. Frage: Wie werden die Pole bezeichnet? Bei Permanentmagneten wird der Teil der Nadel, der nach Norden zeigt als Nordpol und der nach Süden zeigende als Südpol bezeichnet. Frage: Wie kann man Magnetfelder darstellen? Ähnlich zu den elektrischen Feldlinien lassen sich auch beim Magnetfeld Feldlinien darstellen. Auch hier sind es gedachte Kurven, deren Tangenten die jeweilige Richtung der Krafteinwirkung auf einen isolierten punktförmig gedachten Nordpol angeben. 28 Angewandte Medizinphysik 1 – Teil 2 Abbildung 35: Eisenspäne zur Darstellung der magnetischen Feldlinien Wichtig: es gibt keine magnetischen Monopole! Nord- und Südpol eines Permanentmagneten lassen sich nicht trennen. Bricht man einen Permanentmagneten auseinander, so entstehen an den Bruchstellen wieder zwei magnetische Pole. Permanentmagnete liegen also immer als Dipol vor. Abbildung 36: Trennung eines Magnetstabes führt wieder zu zwei Dipolen Die Feldlinienrichtung kann mit einer frei drehbaren, kleinen Magnetnadel sichtbar gemacht werden. Die Nadel stellt sich parallel zur Feldlinienrichtung, wobei der Nordpol die Feldlinienrichtung anzeigt (Diese gehen vom Nordpolgebiet zum Südpolgebiet). Abbildung 37: Die Magnetfeldnadel richtet sich entlang der Feldlinien aus Eisenspäne können auch zur Darstellung der Magnetfeldlinien verwendet werden: im Magnetfeld werden sie zu kleinen Magnetnadeln, die sich parallel zur jeweiligen Feldrichtung anordnen. 29 Angewandte Medizinphysik 1 – Teil 2 3.1.1. Au reten von Magne eldern Magnetfelder treten in der Umgebung und im Inneren von Permanentmagneten und Stromdurchflossenen Leitern sowie in der Umgebung bewegter elektrischer Ladungen und im Raum zeitlich sich ändernder elektrischer Felder auf. 1) Permanentmagnete Permanentmagnete bestehen aus den Metallen Eisen, Nickel oder Kobalt oder Legierungen bzw. Oxyden und werden zu permanenten Magneten, wenn sie in ein magnetisches Feld gebracht werden. Je nach Art der Magnetisierung (also wie der Stoff zu den Feldlinien ausgerichtet ist), können verschiedene Polverteilungen erzeugt werden. Abbildung 38: Verschieden magnetisierte Permanentmagneten Ursache für den permanenten Magnetismus sind die elementaren Bauteile (Protonen, Elektronen und Neutronen), welche magnetische Momente besitzen. Die elementaren magnetischen Dipole „kompensieren“ sich in bestimmten Stoffen nur zum Teil, dass ein makroskopischer magnetischer Dipol entsteht. Mehr dazu im Kapitel 3.6.3). 2) Magnetfelder in stromdurchflossenen Leiter Um einen stromdurchflossenen Leiter besteht zylindersymmetrisch ein magnetisches Feld. Abbildung 39: Nachweis des magnetischen Feldes eines stromdurchflossenen Leiters Die Feldlinien stehen normal auf die Stromrichtung I und bilden um den Leiter konzentrische Kreise, für dessen Richtung die Rechtsschraubenregel / Rechte-Hand-Regel gilt. Wiederholung: Konzentrisch bedeutet einen gemeinsamen Mittelpunkt habend. 30 Angewandte Medizinphysik 1 – Teil 2 Abbildung 40: Magnetfeld eines stromdurchflossenen Leiters sowie Rechtsschraubenregel Quelle: http://elektronik- kurs.net/elektrotechnik/magnetische-feld/ 3) Magnetfelder bewegter elektrischer Ladungen Eine sich mit der Geschwindigkeit v bewegende Ladung Q ist erzeugt das gleiche Magnetfeld wie ein Strom I, der durch einen Leiter der Länge l fließt. Hierfür muss gelten: 𝑄⋅𝑣 = 𝐼⋅𝑙 Abbildung 41: Versuch "Rowland" Wobei L... mittlere Länge des Ringes = 2 ⋅ 𝑟 ⋅ 𝜋 v... Umfangsgeschwindigkeit des rotierenden Rings = Anzahl / Zeit Q... Ladung I... Strom 3.1.2. Magne sche Feldstärke H 31 Angewandte Medizinphysik 1 – Teil 2 Die heute verwendete Definition beruht auf dem Feld im Inneren einer (unendlich) langen, geraden Spule in Vakuum bzw. Luft. Dieses Magnetfeld ist homogen. Abbildung 42: Homogenes Magnetfeld im Inneren einer Spule Ein Maß für die magnetische Feldstärke ist die Kraft beziehungsweise das Drehmoment, das auf die Pole einer Magnetnadel in einem magnetischen Feld wirkt. Zur Definition der Feldstärke wurden zunächst die Abhängigkeit der Feldstärke untersucht: die Parameter 𝐼 (Spulenstrom), 𝑛 (Windungszahl), 𝑙 (Länge) und 𝑑 (Durchmesser) wurden variiert und gemessen, wann ein jeweils gleiches Drehmoment auf die Magnetnadel wirkt. 3.1.3. Magne sche Flussdichte B Die magnetische Flussdichte 𝐵 ist folgendermaßen definiert: 32 Angewandte Medizinphysik 1 – Teil 2 3.1.4. Magne scher Fluss φ Der magnetische Fluss beschreibt das Produkt aus Flussdichte und der vom Feld „durchflossenen“ Abbildung 43: Homogenes Magnetfeld mit Fläche, die normal auf die Feldlinien steht Die Einheit des magnetischen Flusses ist Weber (Wb). Wichtig: In einem magnetischen Feld ist die der Gesamtfluss durch eine geschlossene Fläche immer Null! (das entspricht der 4. Maxwellschen Gleichung). Abbildung 44: Grafische Darstellung der 4. Maxwellschen Gleichung 33 Angewandte Medizinphysik 1 – Teil 2 3.2. Magne elder in der Umgebung von Strömen oder sich ändernder elektrischer Felder 3.2.1. Feldstärke in der Umgebung eines unendlich langen, geraden Leiters Jetzt wird es ein wenig mathematisch! Wir betrachten die Feldstärke an einem beliebigen Punkt P im Normalabstand a vom Leiter (siehe Abbildung 36). Achtung: Die Richtung von 𝐻 ist immer normal auf den Verbindungsvektor 𝑟⃑ (siehe zweites Bild in Abbildung 36). Abbildung 45: Skizze für unendlich langen, geraden Leiter Quelle: http://www.ktet.fh-muenster.de/lehre/gde_3.htlatex/gde_3se15.html Abbildung 46: Ableitungsregeln für sin(x) Quelle: https://de.serlo.org/mathe/funktionen/wichtige-funktionstypen-ihre-eigenschaften/trigonometrische- funktionen/ableitungen-symmetrien-umkehrfunktionen-trigonometrischer-funktionen 34 Angewandte Medizinphysik 1 – Teil 2 Man erkennt, dass die magnetische Feldstärke linear mit dem Abstand a abnimmt und sonst nur vom Strom des Leiters abhängig ist. Anhand der linken-Hand-Regel lässt sich die Richtung des Feldverlaufs einfach merken. Zeigt der Daumen in Flussrichtung der Elektronen, deuten die eingeknickten Finger die Verlaufsrichtung der Feldlinien an. Diese Regel wird für die physikalische Stromrichtung verwendet, also wenn Elektronen vom Minus- zum Pluspol fließen. Früher dachte man, der Strom würde von Plus nach Minus fließen. Für diese sogenannte technische Stromrichtung hat man die Rechte-Hand-Regel verwendet. 35 Angewandte Medizinphysik 1 – Teil 2 Abbildung 47: Linke-Hand-Regel Quelle: http://wikifinum.zum.de/wiki/Stromdurchflossener_Leiter_(Magnetfeld) https://www.physikdidaktik.uni- bayreuth.de/lehre/uebungen/demo_prakt/expseminar/2008/MagnetWirk_Mueller4_fin.pdf 3.2.2. Axiale Feldstärke eines Ringleiters bzw. einer schmalen Spule Bei diesem Beispiel wollen wir uns die Feldstärke in einem Punkt P auf der Achse eines stromdurchflossenen Ringleiters ansehen. Abbildung 48: Feldstärke in einem Punkt P auf der Achse eines stromdurchflossenen Leiters Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Leiterschleife Wichtig: der Winkel 𝛼 ist für jedes Leiterelement des Ringes 90°. Für alle Leiterelemente längs des Ringes erhält man im Punkt P die Feldstärke durch aufsummieren der einzelnen Beiträge: Für die Gesamtfeldstärke sind nur die Feldstärkekomponenten, die parallel zur Symmetrieachse liegen relevant. Die Komponenten normal zur Symmetrieachse heben sich aufgrund der Rotationssymmetrie auf. Betrachtet man nur das Dreieck mit den Feldstärken, ergibt sich: 36 Angewandte Medizinphysik 1 – Teil 2 Wie kann man nun überprüfen, ob sich die Magnetfeldkomponenten senkrecht zur Achse wirklich aufheben (Hinweis: Cosinus)? Dass nur ein paralleler Anteil vorhanden ist, lässt sich auch aufgrund der Verteilung der Magnetfeldlinien erkennen (siehe Abbildung 48). Wichtig: die Feldstärke nimmt mit 𝑟3ab. 37 Angewandte Medizinphysik 1 – Teil 2 3.2.3. Innenfeld einer geraden Spule Um die Aufgabe zu vereinfachen, wird angenommen, dass die Spule aus einem Paket von n Ringleitern besteht, die alle vom gleichen Strom durchflossen werden. Da die Herleitung mathematisch sehr anspruchsvoll ist, soll hier nicht genauer darauf eingegangen werden. Abbildung 49: Vereinfachung einer geraden Spule Systematisch ist die Feldlinienverteilung in Abbildung 50 dargestellt. Abbildung 50: Feldlinien einer langen Spule Quelle: https://123mathe.de/physik-magnetfeld-einer-spule-magnetfeldstaerke Wichtig: Das Magnetfeld im Inneren einer Spule ist homogen. Durch diese Eigenschaft gibt es eine Reihe verschiedener Anwendungsmöglichkeiten, die genau das verlangen. Ein Beispiel aus dem Bereich der Medizin ist die Magnetresonanztomographie, die im Inneren ein homogenes Magnetfeld benötigt (siehe Abbildung 52). Abbildung 51: Darstellung des homogenen Magnetfelds eines MRTs https://www.ukgm.de/ugm_2/deu/umr_rdi/Teaser/Grundlagen_der_Magnetresonanztomographie_MRT_2013.pdf 38 Angewandte Medizinphysik 1 – Teil 2 3.3. Krä e von Magne eldern auf stromdurchﬂossene Leiter bzw. auf elektrische Ladungen 3.3.1. Krä e auf stromdurchﬂossene Leiter Betrachtet man das Gesetz von Laplace erkennt man, dass ein stromdurchflossener Leiter in seiner Umgebung ein Magnetfeld erzeugt. Bringt man nun einen Pol eines Permanentmagneten in dieses Feld ein, erfährt er eine Krafteinwirkung. Aufgrund des drittes newtonsches Axioms (Actio = Reactio) muss auch der Pol des Permanentmagneten mit seinem Magnetfeld eine Kraft auf den stromdurchflossenen Leiter ausüben. Es wirkt also auf jeden stromdurchflossenen Leiter in einem Magnetfeld eine Kraft. Betrachtet man einen stromdurchflossenen Leiter, von dem sich der Teil 𝑙 (in Stromrichtung) in einem homogenen Magnetfeld befindet, kann man durch Variation der Parameter einen Zusammenhang zwischen Kraft auf den Leiter und variablen Größen finden (siehe Abbildung 52). Abbildung 52: Stromdurchflossener Leiter in homogenem Magnetfeld Man ﬁndet: In Vakuum (und annähernd auch in Luft) ist der Proportionalitätsfaktor die Permeabilität des Vakuums μ0, in anderen Medien ergeben sich größere oder kleinere Kräfte abhängig von der relativen Permeabilität μr des Stoffes. Man kann μ0, μr und H zur magnetischen Flussdichte B zusammenfassen und erhält das Grundgesetz des Elektromagnetismus („Biot-Savart-Kraft“). Einfach merken lässt sich die Richtung der Kraft mit der rechten-Hand-Regel 39 Angewandte Medizinphysik 1 – Teil 2 Abbildung 53: Rechte-Hand-Regel Quelle: https://deacademic.com/pictures/dewiki/82/Rechte-hand-regel.jpg 3.3.2. Krä e auf Ladungsträger (Lorentz-Kra ) Eine Erklärung, warum auf einen stromdurchflossenen Leiter in einem Magnetfeld eine Kraft wirkt, ist, dass eine Krafteinwirkung auf die darin bewegten elektrischen Ladungsträger wirkt. Diese werden in Richtung der Kraft abgelenkt und der Leiter muss folgen. Die Kraft auf eine bewegte Ladung lässt sich über das Grundgesetz des Elektromagnetismus zeigen: Abbildung 54: Lorentz-Kraft auf positiv und negativ geladene Ladungsträger 40 Angewandte Medizinphysik 1 – Teil 2 Anwendungsbeispiel: Kreisbeschleuniger (Zyklotron) Ladungsträger, die senkrecht in ein homogenes Magnetfeld eintreffen, werden wegen der dauernd senkrecht zur momentanen Bahngeschwindigkeit wirkenden Lorentz-Kraft, eine Kreisbahn einschlagen. Abbildung 55: Kreisbahn einer Ladung Es besteht zwischen der Lorentz-Kraft und der Fliehkraft (Zentrifugalkraft) ein Gleichgewicht. Die Umlauffrequenz f hängt nicht von der Bahngeschwindigkeit v ab! Wird die Geschwindigkeit größer, wird der Bahnradius größer! Eine weitere Auswirkung der Lorentz-kraft ist der Hall-Effekt (beschreibt das Auftreten einer elektrischen Spannung in einem stromdurchflossenen Leiter, der sich in einem stationären Magnetfeld befindet). 3.3.3. Kra zwischen zwei parallelen, geraden Stromleitern Zwei unendlich lange, gerade Leiter, die von den Strömen I1 und I2 durchflossen werden und sich im Abstand r voneinander befinden, üben aufeinander eine Kraft aus. Der Strom I1 erzeugt am Ort von I2 eine Feldstärke bzw. eine Flussdichte von (siehe 3.2.1): 41 Angewandte Medizinphysik 1 – Teil 2 Abbildung 56: Richtung der Kraft bei zwei parallelen, stromdurchflossenen Leitern Der Leiter 1 erzeugt ein Magnetfeld am Ort des Leiters 2 und zwar - nach der linken Handregel - zeigt es in den Bildschirm hinein (angedeutet mit einem Kreuz). Der Leiter 2 erzeugt ein Magnetfeld am Ort des Leiters 1 und zwar - nach der linken Handregel - zeigt es aus dem Bildschirm hinaus (angedeutet mit einem Pfeilpunkt) (siehe Abbildung 57). Abbildung 57: Erklärung zur Anziehung zweier stromdurchflossener Leiter Quelle: https://universaldenker.de/illustrationen/1094 42 Angewandte Medizinphysik 1 – Teil 2 Es ergibt sich eine Anziehung bei parallel gerichteten und eine Abstoßung bei entgegen gerichteten Strömen. 3.4. Magne scher Dipol und magne sches Moment Das magnetische Moment ist eine vektorielle Größe zur Beschreibung magnetischer Vorgänge. Es lässt sich anschaulich als das Verhältnis zwischen dem maximalen mechanischen Drehmoment, das in einem Magnetfeld auf den Körper wirkt, und der Stärke des Magnetfelds ansehen. Es ist also ein Maß dafür, wie stark der Körper versuchen wird, sich nach dem Magnetfeld auszurichten. Um das magnetische Moment zu berechnen, geht man analog zum elektrischen Dipol im elektrischen Feld vor (siehe 2.4). Abbildung 58: Kräftepaar wirkend auf einen magnetischen Dipol in einem homogenen Magnetfeld 3.5. Elektromagne sche Induk on Unter Induktion versteht man das Erzeugen von Spannungen bzw. Ladungstrennungen in ruhenden Leitern durch sich ändernde Magnetfelder bzw. bei bewegten Leitern in ruhenden magnetischen Feldern. 3.5.1. Induk on in ruhenden Leitern Bewegt man einen Permanentmagneten zu einer Spule (Induktionsspule), wird diese von einem sich ändernden magnetischen Fluss durchsetzt, wodurch an den Enden der Spule elektrische Spannung auftritt. 43 Angewandte Medizinphysik 1 – Teil 2 Abbildung 59: Induktion in einer Spule durch Bewegung eines Permanentmagneten Denselben Effekt erreicht man auch, wenn man statt dem Permanentmagneten eine stromdurchflossene Spule (Feldspule) verwendet und diese entweder bewegt oder den Strom I ändert. Abbildung 60: Induktion einer Spule durch sich ein änderndes Magnetfeld einer anderen Spule Die Richtung der Spannung bzw. des Stromes hängt von der Richtung des Flusses durch die Induktionsspule ab und ob der Fluss zu- oder abnimmt (Lentzsche Regel). Zwischen induzierter Spannung und der zeitlichen Flussänderung besteht die Beziehung (wobei n die Windungsanzahl der Induktionsspule ist): Diesen Zusammenhang nennt man Induktionsgesetz oder Momentgesetz der Induktion. Eine andere Darstellungsvariante ist das Integralgesetz der Induktion: 44 Angewandte Medizinphysik 1 – Teil 2 𝑡 Wobei 𝛥𝛷 die Änderung des Flusses im Zeitraum t1 bis t2 ist. ∫ 2 𝑈𝑖 ⋅ 𝑑𝑡 ist der entstehende 𝑡1 Spannungsstoß, welcher nur von der Flussänderung insgesamt (also 𝛥𝛷 = 𝛷𝐸𝑛𝑑𝑒 − 𝛷𝐴𝑛𝑓𝑎𝑛𝑔) abhängt und nicht von der Geschwindigkeit der Flussänderung! Bei schnellen Änderungen entstehen zwar höhere Spannungen, jedoch nur über einen kürzeren Zeitraum. Bei gleichem 𝛥𝛷 ist auch die Fläche unter Spannungskurve gleich. Abbildung 61: Der induzierte Spannungsstoß ist bei langsamer und schneller Änderung des Flusses gleich groß 3.5.2. Induk on in bewegten Leitern Hier passiert die Induktion nicht durch eine Änderung des magnetischen Flusses, sondern durch Bewegung eines Leiters in einem homogenen magnetischen Feld. Als Beispiel wird ein Leiterstab mit der Geschwindigkeit v durch ein magnetisches Feld bewegt, wobei Stabachse, Bewegungsrichtung und Feldrichtung senkrecht zueinanderstehen (das macht die Rechnung einfacher). Abbildung 62: Ladungstrennung durch die Lorentz-Kraft in einem Stab, der in einem Magnetfeld bewegt wird Die Elektronen im Stab werden nach rechts bewegt und erfahren eine Lorentzkraft nach unten. Dadurch entsteht am unteren Ende des Stabs eine negative Überschussladung, und am oberen Ende des Stabs entsteht eine positive Überschussladung. Zwischen den Enden des Stabs entsteht also eine Spannung, die Induktionsspannung Uind. Durch die Überschussladungen entsteht ein elektrisches Feld E, das auf die Elektronen eine Kraft nach oben bewirkt. Nach kurzer Zeit stellt sich ein stationärer Zustand ein, in dem sich die Lorentz-kraft FL und die elektrische Kraft FE gegenseitig aufheben. Dann gilt 𝑈 = 𝑣⋅𝐵⋅𝑙 45 Angewandte Medizinphysik 1 – Teil 2 3.5.3. Anwendung: Generator Der Effekt der Induktion wird auch genutzt, um kinetische Energie in elektrische Energie umzuwandeln. Erst dadurch ist es möglich gewisse Formen erneuerbarer Energie (beispielsweise Wind- oder Wasserkraft) zu nutzen. Man unterscheidet zwischen Wechselstrom- und Gleichstromgeneratoren, wobei das grundsätzliche Prinzip in beiden Fällen ident ist. 1) Wechselstromgenerator Abbildung 63: Prinzip des Wechselstromgenerators Das Prinzip des Wechselstromgenerators ist ein bewegter Leiter beziehungsweise eine rotierende Leiterschleife in einem Magnetfeld. Alternativ kann auch ein Permanentmagnet rotiert werden. 2) Gleichstromgenerator Im Unterschied zum Wechselstromgenerator erfolgt bei jeder Drehung der Schleife um 180° eine Umpolung an den Enden der Leiterschleife. Der Gleichstromgenerator besitzt dazu einen „Kommutator“. Abbildung 64: Prinzip des Gleichstromgenerators Der Rotor kann auch mit mehreren Stromschleifen bewickelt sein, wodurch die Welligkeit der induzierten Spannung reduziert wird (ideal wäre eine gerade Linie). 46 Angewandte Medizinphysik 1 – Teil 2 Abbildung 65: Rotor mit mehreren Schleifen Der Kommutator hat die Aufgabe die in den verschiedenen Schleifen entstehenden Spannungen immer im richtigen Moment umzupolen. Je mehr Schleifen vorhanden sind, desto „glatter“ ist der entstehende Gleichstrom. Werden die Rollen von permanentmagnetischem Stator und einer Leiterschleife als Rotor vertauscht werden. Dies ist beim Fahrraddynamo der Fall: ein Permanentmagnet (meistens aus mehreren Polpaaren) rotiert in einer feststehenden Spule, an deren Ende Wechselspannung entsteht. 3.5.4. Anwendung: Transformator Beim Transformator ist eine primäre (Feld-) und eine sekundäre (Induktions-) Spule mit den Windungszahlen n1 und n2 übereinander oder getrennt auf einem Eisenkern gewickelt (der Eisenkern dient zur Erhöhung des magnetischen Flusses). Abbildung 66: Feld- und Induktionsspule beim Transformator Fließt durch die Primärspule ein zeitlich sich ändernder Strom, entsteht an den Enden der Sekundärspule eine Spannung. Die Spannungsamplituden an Primär- und Sekundärseite verhalten sich wie die Windungszahlen. Der Transformator wird hauptsächlich zur weitgehend verlustlosen Spannungsänderung bei Wechselstrom verwendet. 47 Angewandte Medizinphysik 1 – Teil 2 3.6. Einteilung der Stoﬀe in verschiedene Gruppen nach ihrem Verhalten in magne schen Feldern Um das unterschiedliche Verhalten verschiedener Stoffe im Magnetfeld zu zeigen, bringt man verschiedene Stoffe in eine Induktionsspule, die sich in einem magnetischen Feld befindet. Dieses Magnetfeld kann ein- und ausgeschaltet werden, wodurch eine Feldänderung (Δφ) auftritt. Je nach Stoff werden bei der gleichen Feldänderung an den Enden der Induktionsspule unterschiedliche Spannungsstöße gemessen. Diese Methode kann zur Charakterisierung von Stoffen verwendet werden, indem man die relative Permeabilität μr definiert: Wobei M für Materie und V für Vakuum steht. Man unterteilt die Stoffe nach ihren μr-Werten in drei Gruppen: 1) Diamagnetische Stoffe (μr < 1) 2) Paramagnetische Stoffe (μr > 1) 3) Ferromagnetische Stoffe (μr >> 1) 3.6.1. Diamagne sche Stoﬀe Wird ein derartiger Körper in ein magnetisches Feld gebracht, so wird daraus ein magnetischer Dipol, dessen Feld dem äußeren Feld entgegengerichtet ist. Die Flussdichte B im Bereich des Körpers wird dadurch abgeschwächt. Im Inneren einer Spule wird das Feld, d. h. Die magnetische Flussdichte bzw. der magnetische Fluss, durch Einbringung eines solchen Körpers ebenfalls geschwächt, weshalb dann auch der Spannungsstoß an einer Induktionsspule beim Ein- und Ausschalten des Stromes in der felderzeugenden Spule geringer ausfällt als in Vakuum. Abbildung 67: Verhalten eines diamagnetischen Körpers im Magnetfeld Der Diamagnetismus ist eine Atom- bzw. Moleküleigenschaft. Die Erscheinung beruht darauf, dass Atome (Ionen, Moleküle) beim Anlegen eines äußeren magnetischen Feldes ein magnetisches Moment induziert bekommen, das dem äußeren Feld entgegengerichtet ist, wobei diese „Induktionsströme“ nicht abklingen und daher auch nicht ihre Wirkung verlieren. Dieser Induktionsstrom wird erst gestoppt, wenn das Feld wieder abgeschaltet wird. 48 Angewandte Medizinphysik 1 – Teil 2 Abbildung 68: Diamagnetischer Körper im Magnetfeld einer stromdurchflossenen Spule Der Effekt des Diamagnetismus ist immer vorhanden, er wird bei para- und ferromagnetischen Stoffen aber von anderen Einflüssen überdeckt. Beispiele: Wasser, Kupfer 3.6.2. Paramagne sche Stoﬀe Bringt man einen paramagnetischen Körper in ein magnetisches Feld, wird die magnetische Flussdichte verstärkt. Abbildung 69: Verhalten eines paramagnetischen Körpers im Magnetfeld Die magnetische Flussdichte im inneren einer stromdurchflossenen Spule wird dadurch ebenfalls verstärkt, was zu einem höheren Spannungsstoß an einer darum gelegten Induktionsspule führt (gegenüber Vakuum). Abbildung 70: Paramagnetischer Körper in einer stromdurchflossenen Spule 49 Angewandte Medizinphysik 1 – Teil 2 Bei paramagnetischen Stoffen haben die atomaren Teile (Atome, Ionen und Moleküle) schon von vorherein ein permanentes magnetisches Moment. Wird dieser Stoff in ein magnetisches Feld gebracht, so versuchen sich die Teilchen an das Magnetfeld auszurichten, was allerdings nur bei ausreichender Beweglichkeit der Dipole möglich ist (in Gasen und Flüssigkeit ist das immer der Fall). Zusätzlich wirkt die Temperaturbewegung dem Ausrichten der Dipole entgegen. Abbildung 71: Modellvorstellung Paramagnetismus: die zufällig angeordneten "Permanentmagnetchen" werden im Magnetfeld ausgerichtet Beispiele: Aluminium, flüssiger Sauerstoff 3.6.3. Ferromagne sche Stoﬀe Werden solche Stoffe in ein magnetisches Feld gebracht, tritt wie bei paramagnetischen Stoffen eine Verstärkung der Flussdichte auf, wobei der Effekt deutlich stärker ist. Zusätzlich hängt μr von der Feldstärke ab. Der Ferromagnetismus kommt ausschließlich bei Festkörpern vor (nicht bei Flüssigkeiten und Gasen), da es eine Kristalleigenschaft ist. Die magnetischen Momente der Elektronen (durch den Spin) sind bereits (ohne äußeres Magnetfeld) „bezirksweise“ innerhalb der Weissschen Bezirke parallel ausgerichtet. Die Richtung der Magnetisierung der einzelnen Bezirke ist unterschiedlich. Liegt ein äußeres Magnetfeld an, „klappen“ die Weissschen Bezirke mit steigendem H nach und nach in die Feldrichtung um (genau genommen kommt es zu Wandverschiebungen – siehe Abbildung 72). Abbildung 72: Ausrichtung der Weissschen Bezirke Solange die Weissschen Bezirke nicht alle parallel ausgerichtet sind, besteht zwischen magnetischer Flussdichte B im Stoff und „wirkender“ Feldstärke kein linearer Zusammenhang, da μr abhängig von H ist. Trägt man B gegen H auf, ergibt sich eine Hysterese-Schleife. 50 Angewandte Medizinphysik 1 – Teil 2 Abbildung 73: Hsystereseschleife eines ferromagnetischen Stoffes Erklärung der Hysterese: Von H = 0 ausgehend wird zunächst die Neukurve durchlaufen. Wird nach Erreichen der totalen Ausrichtung der Weissschen Bezirke ("Sättigung" und damit ein linearer Zusammenhang zwischen B und H) die magnetische Feldstärke H wieder verringert, so tritt die Entorientierung der Bezirke erst verzögert ein, weshalb z. B. (oberer Zweig der Schleife für H > 0) bei einem bestimmten H ein B gemessen wird, das größer ist, als es bei der Neukurve war. So kommt es, dass bei Erreichen von H = 0 noch immer ein bestimmter Prozentsatz der Weissschen Bezirke ausgerichtet ist. Die zugehörige Flussdichte ist ein Maß für die „Stärke“ des zum permanenten Magneten gewordenen Stoffes (Sie gibt an, wieviel Flussdichte B der Körper selbst nun hat / „ausstrahlt“). Eine totale Unordnung der Weissschen Bezirke ist erst nach Anlegen einer gewissen Feldstärke in umgekehrter Richtung erreichbar. Diese „Kerzitivfeldstärke“ ist also jene Gegenfeldstärke, die notwendig ist, um den permanenten Magnetismus zu zerstören. Wird die Feldstärke in der neuen Richtung über die Koerzitivfeldstärke hinaus erhöht, tritt nach und nach eine Ausrichtung der Weisssschen Bezirke in dieser Richtung ein. Bei Verringerung der Feldstärke erfolgt dann der Abbau der Ausrichtung in gleicher Weise wie bei der früheren Orientierung. Man kann Ferromagnete nach der Hysteresefläche in zwei Gruppen unterteilen: 1) Magnetisch „harte“ Stoffe: besitzen eine breite Hystereseschleife und werden daher als Dauermagnet verwendet 2) Magnetisch „weiche“ Stoffe: besitzen eine schmale Hystereseschleife (sind leicht umstimmbar) und werden für Trafos verwendet. 51 Angewandte Medizinphysik 1 – Teil 2 Abbildung 74: Hystereseschleifen von magnetisch harten und weichen Stoffen

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