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2 Domande a crocette(Parte A) 2.1 Algebra Lineare 1. Se devo verificare che n vettori vi ∈ Rm siano linearmente indipendenti cosa posso fare? a) Creo una matrice con vi come vettori riga che abbia determinante non nullo b) Creo una matrice con vi come vettori riga e cerco una sot...

2 Domande a crocette(Parte A) 2.1 Algebra Lineare 1. Se devo verificare che n vettori vi ∈ Rm siano linearmente indipendenti cosa posso fare? a) Creo una matrice con vi come vettori riga che abbia determinante non nullo b) Creo una matrice con vi come vettori riga e cerco una sottomatrice quadrata di ordine n Invertibile c) Cerco una combinazione lineare dei vettori vi che mi dia il vettore nullo d) Creo una matrice con vi come vettori colonna e verifico che il rango di questa matrice sia m Solution: b 2. Sia Ax = b un sistema di equazioni lineari con più incognite che equazioni. Allora (si scelga l’affermazione corretta): a) Agendo con operazioni elementari su righe e colonne della matrice completa A|b ottengo una matrice completa il cui sistema associato possiede le stesse soluzioni di quello di partenza b) Scegliendo b opportunamente, il sistema ha un’unica soluzione c) Dato un b qualsiasi, mi posso scegliere A in modo che il sistema abbia soluzioni e che la somma di due di esse sia ancora una soluzione d) Se il rango di A è massimo, allora il sistema ha soluzione Solution: d Per il teorema di Rouchè-Capelli, sappiamo che se il numero delle incognite > rango (A), allora il sistema ammette ∞m−rango(A) 3. Sia Ax = b un sistema che non ammette soluzione. Scegliendo un vettore c è possibile ottenere che Ax = b + c abbia infinite soluzioni? a) Si, ma solo se A non è di rango massimo b) Si, per un qualsiasi A c) No, mai d) Si, ma solo se A è quadrata e di determinante non nullo Solution: a Per il teorema di Rouchè-Capelli, sappiamo che se il numero delle incognite > rango (A), allora il sistema ammette ∞m−rango(A) , ciò significa che se il rango di A fosse massimo (quindi numero incognite = rango (A)) allora A ammetterebbe un’unica soluzione 4. Se la somma di tre numeri positivi è 120, qual è il massimo valore possibile tra il loro prodotto? a) 302 · 80 b) 2402 · 30 c) 304 Page 7  d) 1600 · 40 Solution: d 5. Sia A una matrice quadrata e v, w due suoi vettori colonna. Se B è la matrice ottenuta da A rimpiazzando il vettore v con il vettore v + α · w per un numero reale α, che informazione abbiamo sul determinante di B? a) Det(B) = −Det(A) b) Det(B) = Det(A) c) Det(B) = α · Det(A) d) Det(B) = 0 Solution: b Banale esecuzione del determinante.     a c v= ,w = b d   a c A= b d det(A) = ad − cb   a + αc v1 = v + αw = b + αd   a + αc c B= b + αd d det(B) = (a + αd)d − (b + αd)d = ad +  − bc −  αcd  = ad − cb = det(A) αcd 6. Sia Ax = b un sistema di equazioni lineari con più equazioni che incognite. Allora (si scelga l’affermazione corretta): a) Se ha soluzione, il rango della matrice completa A|b non può essere massimo b) La soluzione, se esiste, necessariamente non è unica c) Se possiede soluzione, e non è unica, allora la somma di due soluzioni (PROSEGUE) d) Non ha soluzione Solution: a 7. Sia A una matrice n × m di rango r > 0. Quali delle seguenti affermazioni è CORRETTA: a) r può essere strettamente maggiore di m b) Non esistono r − 1 vettori riga di A linearmente indipendenti c) Il determinante di A è uguale a r d) Esiste una sottomatrice quadrata B di A di ordine r − 1 con determinante non nullo (se r ≥ 2) Page 8  Solution: d 8. Sia A una matrice quadrata e v, w due suoi vettori colonna diversi. Se B è la matrice ottenuta da A rimpiazzando il vettore v con il vettore (α)v + (β)w per α, β ∈ R, che informazioni abbiamo sul determinante di B? a) Det(B) = Det(A) b) Det(B) = 0 c) Det(B) = α · Det(A) d) Det(B) = −Det(A) Solution: c     a b αa + βb b A= ,B = c d αc + βd d det(A) = ad − cb det(B) = (αa + βd)d − (αa + βd)b = αad +  − αcd −  βbd  = α(ad − cb) = α · det(A) βbd 9. Sia A(t) una famiglia di matrici quadrate dipendenti da un parametro t ∈ R. Supponiamo che Det(A(1)) = 5 e Det(A(−1)) = −5. Quali delle seguenti affermazioni è possibile concludere? a) Tutti i vettori riga A(1) sono indipendenti e il rango di A(1) è massimo b) rank(A(1)) = 5 c) Det(A(0)) = 0 d) Il rango di A(1) è massimo, e Det(A(1) + (A − 1)) = 0 Solution: a 10. Sia A una matrice quadrata n × n tale che la somma delle righe è uguale ad una colonna c di A. Cosa posso concludere su A? a) rank(A) < n b) Det(A) 6= 0 c) Esiste un minore di A di ordine n = 1 invertibile se c 6= 0 d) Se la colonna c è uguale ad una riga di A non è invertibile Solution: c In questa tipologia di domande bisogna ragionare utilizzando una matrice 1 x 1. Esempio:   1 Page 9 11. Supponiamo che una matrice A di dimensioni 4 × 6 (cioè 4 righe) abbia nulli i determinanti di tutti i minori di ordine 3. Quale delle seguenti affermazioni è FALSA? a) Non esistono 4 colonne linearmente indipendenti in A b) Il rango massimo che potrebbe avere A è 4 c) Potrebbe esistere una sottomatrice 2 × 2 di A invertibile d) Le righe di A sono linearmente indipendenti Solution: d 12. Sia Ax = b un sistema di equazioni lineari con un numero di equazioni uguale al numero di incognite. Allora(si scelga l’affermazione corretta): a) Se ha soluzione, il rango è massimo b) Se Ax = 0 ha più di una soluzione, Ax = b potrebbe avere una soluzione c) Se non ha soluzione, A non è invertibile d) Se A|b ha rango massimo, allora il sistema ha un’unica soluzione Solution: c Se non è invertibile, vuol dire che il determinante è uguale a 0, ergo non ha soluzione. 13. Siano A, B due matrici 5 × 5 tali che rank(A) = 3 e rank(B) = 2. Allora: a) non sono invertibili perché non hanno rango massimo(non presente fra le risposte) b) rank = 3 o rank = 2 significa massimo numero di vettori riga/colonna linearmente indipendenti. (Non presente fra le risposte) c) Le matrici rank + 1 hanno Det = 0. (Non presente tra fra le risposte) d) Esistono Matrici rank − 1 con det 6= 0(non presente fra le risposte) e) Det(A + B) 6= Det(A) + Det(B), stessa cosa per i ranghi(non presente fra le risposte) f) Se A e B rappresentano matrici di sistemi completi, significa che questi sistemi hanno sempre soluzione, perche rank(A) − rank( A|b ) (non presente fra le risposte) g) rank(A + B) = 5 h) Det(A · B) = 6 i) Non esistono 3 righe di A la cui somma è il vettore nullo j) Esistono due minori di ordine 2, A0 in A e B 0 in B tali che A0 · B 0 è una matrice invertibile Solution: j 14. Calcolare il rango di una matrice 3 × 4 al variare di un parametro a. a) Calcolare Det, e se Det 6= 0 → rango massimo. b) usare Sarrus per trovare il Det, usciranno dei risultati ”a 6= n1 , a 6= n2 ” c) se a 6= da tali valori si avrà rank = 3 d) con a = tali valori r < 3 Page 10  Solution:... 15. Nel sistema composto dalle equazioni 3x − 2y − z = 0, αx + y + z = 0 e x + αy − z = 0 quale delle affermazioni è corretta? a) α = −1 il sistema non ammette soluzioni. b) ∀α il sistema ammette soluzioni. c) α = π ammette una sola soluzione cioè quella banale x=y=z=0 d) α = 6 il sistema ha solamente due soluzioni. Solution: c 16. Sia V lo spazio di tutte le funzioni continue su [−1, 1] a valori reali. Si consideri il sottoinsieme Sλ di V costituito da tutte le funzioni tali che f (−1) = f (1) = λ. Quale delle seguenti affermazioni è vera: a) esistono due valori di λ ∈ R per cui Sλ è un sottospazio di V b) Sλ è un sottospazio di V per ogni λ ∈ R c) non esiste λ ∈ R per cui Sλ è uno spazio vettoriale di V d) esiste un solo valore di λ ∈ R per cui Sλ è un sottospazio vettoriale Solution: d 17. Nel sistema composto dalle equazioni 3x − 2y + z = 0, αx + y + z = +1, x + αy − z = −1 per quali valori di α posso avere una sola soluzione non banale? a) α = −1, D = 0, Dx = 0, Dy = 0, Dz = 0 (infinite soluzioni) b) α = 6, D = 0, Dx = 7 (impossibile) c) α 6= −1 ∧ α 6= 6, D = 0, Dx = 0 (una sola soluzione) Solution: c 18.  Si consideri il seguente sistema di equazioni: −x − y − z  = b1 3x − 9y − 6z = b2  5x − 7y − 4z = b3  Quale delle seguenti affermazioni è corretta? a) Il sistema ammette soluzione se e solo se b2 = b3 + 2b1 b) Il sistema ammette soluzione se e solo se b1 = −b2 + b3 c) Per ogni scelta di b1 , b2 , b3 il sistema ha una e una sola soluzione d) Se b1 = b2 = b3 = 31 , la somma di due soluzioni è ancora una soluzione Page 11  Solution: a Si riscrive il sistema sottoforma di matrice cosı̀si avrà la matrice incompleta A e la matrice completa A|b, si riduce a scala. il sistema ha soluzione solo se rank(A)=rank(A|b). 19. Quali di queste affermazioni equivale al fatto che n vettori vi ∈ Rm siano linearmente indipendenti? a) La matrice vi come vettori riga ha determinante non nullo b) La matrice vi come vettori riga possiede una sottomatrice n × n invertibile c) Esiste una combinazione lineare di vettori vi uguale al vettore nullo d) La matrice vi come vettori colonna ha rank = m Solution: b 20. Qual è la regione dello spazio bidimensionale tale che y > 3x + 1? (Vecchio esame) a) Finito b) Limitato c) Aperto di R2 Solution: c 21. Sia A una matrice n × m di rango r > 0. Quali delle seguenti affermazioni è FALSA: a) Prese r colonne a caso, una non potrà mai essere espressa come combinazione lineare delle altre r − 1 colonne b) ∀i ≤ r esiste una matrice C formata da i righe di A tale che il rango di C sia i c) se r ≥ 2, esiste una sottomatrice quadrata B di A di ordine r − 1 con determinante nullo d) r non può essere strettamente maggiore di m Solution: c Controesempio:   1 2 2 1 In questo caso NON esiste una sottomatrice quadrata di A di ordine r − 1 (1) con determinante nullo. 22. Sia A una matrice quadrata invertibile. Allora (si segni la risposta corretta): a) Operando con trasformazioni elementari su colonne di A posso trasformarla nella matrice identità b) A potrebbe non avere rango massimo c) A non può avere una sottomatrice quadrata con determinante nullo d) potrebbe esistere un vettore non nullo v tale che Av = 0 Page 12  Solution: a 23. Sia A una matrice quadrata invertibile. Allora (si segni la risposta corretta) a) esiste un minore di A di ordine n − 1 invertibile, se c 6= 0 b) Det(A) 6= 0 c) A potrebbe non avere rango massimo d) Se la colonna c è uguale ad una riga, A non è invertibile Solution: b 24. Sia A una matrice quadrata n × n tale che la somma delle righe è uguale ad una colonna c di A. cosa posso concludere su A? a) Operando con trasformazioni elementari sulle Colonne di A posso trasformarla nella matrice identità b) Potrebbe esistere un vettore non nullo v tale che Av = 0 c) Il rango di A è strettamente minore di n d) A non può avere una sottomatrice quadrata con determinante nullo Solution: b Esempio: Fare riferimento alla domanda numero 10. Il ragionamento è lo stesso. Il vettore v può anche essere non nullo ma se gli si moltiplica una matrice nulla il risultato ci darà 0. 25. Sia ft : R3 → R3 un omomorfismo che manda il piano di equazioni 2x + y − z = 2 nel piano di equazioni y − tx − 2z = 0, per t ∈ R. È possibile che ft sia iniettiva? a) È sempre iniettiva b) Può essere iniettiva solo per un numero finito di t c) Può essere iniettiva, tranne per un numero finito di t d) Non è mai iniettiva Solution: d Non sarà mai iniettiva percè in questo caso la dim(Im(f )) = 2. Perciò avremo: n = dim(Ker(f )) + dim(Im(f )) ovvero 3 = dim(ker(f )) + 2 Un omomorfismo si definisce iniettivo se dim(ker(f )) = 0. Come mai in questo caso dim(Im(f ))=2? La dimensione di un piano in cui passa l’origine è 2. La dimensione di un piano in cui non passa l’origine è 3. Page 13 26. Può esistere un omomorfismo ft : R3 → R3 che mandi il piano di equazioni 2x − y + z = 0 nella retta {s(1, −1, 2) : s ∈ R} ed il vettore (1, 1, 1) nel vettore (1, t + 2, t + 5), t ∈ R? a) No, non esiste mai b) Si esiste, eccetto per un numero finite di t c) Si, per ogni valore di t d) Solo per un numero finite di t Solution: b con t = -3. precedentemente era segnata la a 27. Sia A una matrice quadrata di ordine 4 con polinomio caratteristico pA (x) = (x − α1 )(x − α2 )(x − α3 )2 dove ai ∈ R per ogni i. Quale delle seguenti affermazioni è corretta: a) ai 6= 0 per ogni i se e solo se A è invertibile b) Se α1 = α2 = α3 , A non può essere diagonalizzabile su R c) αi 6= αj per ogni i 6= j, solo se A è diagonalizzabile su R d) Se αi 6= αj per ogni i 6= j, allora A è diagonalizzabile su R Solution: a 28. Sia R[x]2 lo spazio dei polinomi di grado minore o uguale a 2. Esiste un omomorfismo f : R → R2 tale che f (1 − 2x2 ) = (1, −1), f (x + x2 ) = (1, 0) e f (1 + 2x) = (t, 2t) dove t ∈ R? a) Esiste solo per un numero finito di t b) Si, eccetto per un numero finito di t c) Si, esiste per ogni t d) No mai Solution: d guardare le ultime pagine del pdf per capire lo svolgimento 29. Sia M4 lo spazio vettoriale delle matrici 4 × 4 reali e Vλ = {A ∈ M4 : Det(A) = 2λ − 1}. Quanti valori di λ ∈ R rendono Vλ un sottospazio vettoriale di M4 ? a) Un numero finito maggiore o uguale a 2 b) Uno solo c) Nessuno d) Tutti Solution: c Perchè non è mai chiuso rispetto alla somma. Page 14 30. Sia R[x] lo spazio dei polinomi in x e sia Vk il sottoinsieme costituito dai polinomi di grado esattamente uguale a k. Allora: a) Solo V0 è un sottospazio b) Vk è un sottospazio per ogni valore di k intero non negativo c) Vk non è mai un sottospazio vettoriale d) Solo V0 e V1 sono sottospazi vettoriali Solution: a 31. Sia M una matrice 6 × 6. In quale dei seguenti casi si conclude che M è invertibile? a) Esiste N tale che M + N è invertibile b) Esistono due minori di ordine 5 con determinante non nullo c) M ha un minore di ordine 5 con determinante non nullo ed ha un vettore della base canonica di R6 d) Esiste una matrice A 6 × 6 tale che AM ha 6 colonne linearmente indipendenti Solution: d 32. Sia A una matrice simmetrica di ordine n e rango r > 0, r < n. Quale delle seguenti affermazioni è vera? a) Esiste un parametro H di dimensione r tale che Aw = v, ∀w ∈ H e per un v b) Il polinomio caratteristico di A è xn−r · q(x) dove x non divide q(x) c) A non è diagonalizzabile d) Esiste una matrice invertibile P tale che P −1 · A · P ha r righe nulle Solution: b xn−r on potrà mai dividere per il semplice motivo che la differenza tra numero di incognite n e il rank r assume valori >= 0. In questo caso visto che ci dice n > r la differenza tra n e r ci darà un valore > 0. Un elemento elevato ad una quanttà positiva non potrà mai dividere. 33. Sia dato il sistema di cinque equazioni lineari Ax = b nelle incognite x = (x1 , x2 , x3 , x4 ) che ammette infinite soluzioni. Cosa si può dire del sistema M x = b dove M è ottenuto da A annullando i coefficienti della terza colonna? a) Se A ha rango Massimo M x = b non ha soluzioni b) Il sistema non avrà soluzioni c) Se M ha rango 3 allora M x = b ha soluzioni d) Il sistema avrà ancora infinite soluzioni Solution: c Ho 4 incognite e 5 equazioni e so che il sistema ha infinite soluzioni per cui il rango è ≤ 3 (significa che una delle colonne è linearmente dipendente). Se sostituisco tutti 0 alla terza colonna, se il rango continua ad essere 3 so sicuramente che la colonna dipendente nella matrice iniziale era la terza (altrimenti il rango si sarebbe abbassato). Per cui rimane tutto come prima e sicuramente avrò soluzione (nello specifico infinite). Page 15 34. Sia A una matrice 5 × 3 con tutti i coefficienti diversi. È possibile che esista una matrice invertibile U tale che U −1 · A abbia solo coefficienti 0 e 1? a) Solo se A ha tutti i coefficienti non negativi b) No c) Si se A ha un minore M di ordine 3 con Det(M ) = 3 d) Solo se U è una matrice triangolare Solution: b 35. Quale delle seguenti  matrici  è simile  ad una matrice  diagonale  reale?  0 0 1 −2 1 −2 1 2 A= B= C= D= 0 −1 −2 −1 2 1 3 4 a) A b) A e B c) A, B e D d) B e C Solution: c Prima di tutto, definiamo la matrice diagonale reale come segue:   α−λ 0 det = (α − λ)(β − λ) 0 β−λ Quindi gli autovalori sono: λ1 = α, λ2 = β con α, β ∈ R Ora troviamo gli autovalori per tutte le matrici: A → λ1 = 0, λ2 = −1 √ B → λ1,2 = ± 3 C → soluzioni ∈ /R √ √ 5 33 5 33 D → λ1 = − , λ2 = + 2 2 2 2 Quindi le uniche matrici simili a quella diagonale reale sono A, B, D 36. Quale tra i seguenti omomorfismi R3 → R3 manda il triangolo di vertici (0, 0, 0), (1, 1, 1), (−1, 0, 1) nel triangolo di area maggiore? a) f (x, y, z) = (z − x, z, −y) b) f (x, y, z) = (x − 2y, z + x − 2y, 2z) c) f (x, y, z) = (−x + 2y, z, x − y) d) f (x, y, z) = (y, x + z, x − y) Page 16  Solution: a kAB∧ACk L’area del triangolo formato dai vettori AB, AC si calcola con la seguente formula: Area = 2 3 a) A = (0, 0, 0), B = (0, 1, −1), C = (2, 1, 0), Area = 2 b) A = (0, 0, 0), B = (−1, 0, 2), C = (−1, 0, 2), B, C coincidono, non viene individuato un trian- golo. √ 2 c) A = (0, 0, 0), B = (1, 1, 0), C = (1, 1, −1), Area = 2 √ 5 d) A = (0, 0, 0), B = (1, 2, 0), C = (0, 0, −1), Area = 2 Da cui deduciamo che a) ha il triangolo di area maggiore. Indicare qualedei seguenti insiemi in R3 è un autospazio della matrice 37.  5 −2 0 0 −5 0  0 −2 −1 a) {(x, y, z) ∈ R3 : y = 0} b) {(x, y, z) ∈ R3 : x = 0, z = 0} c) {(x, y, z) ∈ R3 : y = 0, z = 0} d) {(x, y, z) ∈ R3 : z = 0} Solution: c Sefacciamo il prodotto  tra: 5 −2 0 A:0 −5 0  0 −2 −1 ed  un vettore dell’autospazio {(x, y, z) ∈ R3 : y = 0, z = 0}: 1 v: 0 0 ci verrà come risultato:   5 Av:0 0 ovvero 5v.   3 0 −7 38. Sia k reale. Si consideri la matrice Ak = k 3 4 . Quale delle seguenti affermazioni è corretta? 0 0 2 a) Ak è diagonalizzabile per ogni scelta di k 6= 0 b) Ak è diagonalizzabile se e solo se k = 0 c) Ak è diagonalizzabile se e solo se k è intero non negativo d) Per qualunque scelta di k, Ak non è diagonalizzabile Page 17  Solution: b Prima di tutto bisogna verificare che la matrice sia diagonalizzabile. Le condizioni sono due: 1. numero autovalori = ordine della matrice 2. molteplicità algebrica di autovalore = relativa molteplicità geometrica det(A − λI) = 0   3−λ 0 −7 det  k 3−λ 4  = (2 − λ)(3 − λ)(3 − λ) 0 0 2−λ ma (λ1 = 2) = 1 ma (λ2 = 3) = 2 Ora che abbiamo gli autovalori e le loro molteplicità algebriche, non ci resta che capire se il numero di queste corrispondono con le relative molteplicità geometriche mg (λ1 = 2) = n − rank(A − λ1 I) = 3 − 2 = 1 In questa molteplicità geometrica non influisce il valore di k, quindi va bene cosı̀. mg (λ2 = 3) = n − rank(A − λ2 I)   0 0 −7 A − λ2 I = k 0 4  0 0 −1 In questo caso, sse k = 0 allora mg (λ2 = 3) = 3−1 = 2, che permetterebbe alla matrice di soddisfare la condizione numero 2 di diagonalizzabilità. 39. Siano l una retta e H un piano. È possibile trovare una retta r ∈ H sghemba con l? a) Si, sempre b) Solo se H e l si intersecano c) Se e solo se H e l sono paralleli d) Solo se l non è inclusa in H Solution: d Ovviamente. Se la retta l fosse inclusa nel piano H, allora non potrà mai essere sghemba rispetto a r ∈ H. Ricordiamo quindi la definizione di rette sghembe: Sono rette sghembe se non sono contenute in un piano comune, e di conseguenza non hanno punti in comune né sono parallele. 40. Quale di queste affermazioni equivale al fatto che n vettori di Rm siano linearmente indipendenti? a) La matrice con vi come vettori riga ha determinante non nullo b) La matrice con vi come vettori riga possiede una sottomatrice n × n invertibile c) Esiste una combinazione lineare dei vettori vi che mi dia il vettore nullo Page 18  d) La matrice con vi come vettori colonna ha rango m Solution: b 41.  Sia k un numero reale. Si consideri il seguente sistema di equazioni: 3x − 2y + z = 0  kx + y + z = 1  x + ky − z = −1  a) Per k = −1 il sistema ha almeno una soluzione b) per k = 6 il sistema ha infinite soluzioni c) Per ogni valore di k il sistema ammette esattamente una soluzione d) Per ogni k diverso da 0 il sistema ha una e una sola soluzione Solution: a 42. Dati i vettori v1 = (2, −1, 0, 3), v2 = (1, 0, 0, 3), v3 = (0, 2, 1, 4), v4 = (2, −4, −4, −2), quale delle seguenti affermazioni è corretta? a) v1 , v2 , v3 , v4 sono tra loro indipendenti b) v4 è combinazione lineare di v1 e v2 c) v4 è combinazione lineare di v3 e v2 d) v3 è combinazione lineare di v1 e v2 Solution: a Svolgiamo i punti:   2 −1 0 3 1 0 0 3 A=  , det(A) = −4 6= 0, l.i. 0 2 1 4 2 −4 −4 −2 Quindi possiamo dire subito che la risposta corretta è la a 43. Sia Ia l’insieme costituito dai seguenti vettori di R4 : Ia = {v1 = (1, −1, α, −1), v2 = (1, α − 2, (α − 1) · 2, 0), v3 = (−1, −1, 1, 0.1)} ∈ R4. Allora: a) Per a = 0 i vettori di Ia sono linearmente dipendenti b) I vettori di Ia sono linearmente dipendenti per qualche a, ma se sostituisco v1 con v1 + v2 + v3 ottengo un sistema di vettori linearmente indipendente per ogni a c) Ia ∪ (0, −2, 0, 2) costituisce una base di R4 per ogni a > 0 d) Per qualche a, i vettori Ia sono linearmente dipendenti Page 19  Solution: c   1 0 −1 1 44. Per quali valori di t la matrice At = 1 t −1 2 non ha sottomatrici di ordine 3, invertibili? 1 t t2 − 3 3 a) Tutti i valori di t b) Nessun valore di t √ c) Solo per t = 0 e t = 2 d) Solo per t = 0 Solution: b Le uniche due minori di At che mi interessano sono quelle che hanno t come valori. Posso considerare quindi le seguentidue minori:       1 0 1 1 0 −1 0 −1 1 1 −1 1 At1 = 1 t 2 , At2 = 1 t −1  , At3 =  t −1 2 , At4 = 1 −1 2 2 2 2 1 t 3 1 t t −3 t t −3 3 1 t −3 3 Det(At1 ) ⇒ t = 0 √ Det(At2 ) ⇒ t = ± 2 Det(At3 ⇒ t = 0, t√= ±1 Det(At4 ) ⇒ t = ± 2 Però se sostituisco i valori ottenuti(uso il Det(At1 ) in At2 e viceversa), ottengo delle matrici in- vertibili. Il testo ci chiede ”per quali valori di t la matrice At non ha sottomatrici di ordine 3 invertibili”. Per nessun valore di t. 45. Dati i vettori v1 = (1, 1, 1), v2 = (0, 0, 2), v3 = (a, a, b), v4 = (−1, −1, 1), quale delle seguenti affermazioni è corretta? a) v3 e v1 sono indipendenti per ogni scelta di a e b b) v1 e v2 sono tra di loro indipendenti c) v1 , v2 , v3 , v4 sono tra loro indipendenti d) I vettori sono complanari, cioè sono contenuti in un piano passante per l’origine Solution: b 46. Si considerino  le matrici:    1 1 −1 1 −1 0 0 A= 1 3 1 B =  2 1 1 2 −2 −2 1 −4 −2 −1 −3 a) Nessun minore di ordine 3 di B è uguale a A−1 b) I vettori colonna di B sono linearmente indipendenti c) A−1 · B ha rango 2 d) Il rango della matrice B non è massimo Page 20  Solution: a Eseguiamo per punti:  −5 − 12  2 −2 a) A−1 =  3 2 1 2 1 −2 0 −1 Che possiamo notare essere diversa da qualunque minore di B, quindi è questa la risposta giusta. b) Sappiamo che in R3 se consideriamo 4 vettori, allora sicuramente un vettore è linearmente dipendente rispetto agli altri. c) A−1 · B risulta  9 essere 3  2 6 2 A−1 · B = − 32 −3 − 12  2 4 1 Che ha rank = 3 6= 2 d) rank(B) = 3, che è massimo per una 3 × 4 Quindi possiamo dire che la risposta giusta è la a 47.  Data la seguente matrice  1 0 2 3 −1 0 1 −1 0 2  2 −1 5 6 −4 quale delle seguenti affermazioni è corretta? a) Nessuna sottomatrice 2 × 2 è invertibile b) I determinanti di tutte le sottomatrici 3 × 3 sono nulli c) I vettori colonna sono linearmente indipendenti d) I vettori riga sono linearmente indipendenti Solution: b 48. Un sistema si dice lineare se: a) Le sue soluzioni giacciono su una linea b) Ammette il vettore nullo come soluzione c) L’insieme delle sue soluzioni costituisce uno spazio vettoriale d) È descritta da equazioni di primo grado nelle variabili Solution: d 49. Siano A e B due matrici n×m diverse. È possibile che esista una matrice quadrata C tale che C·A = C·B? a) se la dimensione dello spazio vettoriale generato dai vettori riga di A è minore di n Page 21  b) se e solo se Det(C) 6= 0 c) Risposte no d) non rispondo e) solo se Det(C) = 0 Solution: e Infatti se det(C) = 0 l’uguagliaza sarebbe vera per qualunque A e B. Non è la b perchè se Det(C) 6= 0 potremmo riscrivere C · A = C · B come A = C · B · C − 1 C Ċ − 1 può essere riscritto come I perciò avremmo A = B · I. Ma non può essere perchè A e B sono due matrici diverse. 50. Sia A = (aij ) una matrice reale tale che aij = aji per ogni i, j e con polinomio caratteristico pA (x) = (x − 2)3 (x − 1)2 (x − 5)3 Si scelga l’affermazione corretta: a) Gli autospazi hanno dimensione 3, 2, 3 b) Non si può concludere la diagonalizzabilità di A dai dati formati c) Ci potrebbe essere un vettore non nullo v tale che Av = 3v d) Gli autospazi hanno dimensione 2, 1, 5 Solution: a Che effettivamente è vero: la molteplicità algebrica di ogni autovalore è appunto: ma (x1 = 2) = 3, ma (x2 = 1) = 2, ma (x3 = 5) = 3 51. Sia R[x] lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti in R e Vt il sottoinsieme costituito dai polinomi di grado 0, 1 e di grado minore o uguale a 2t. Per quali valori di t Vt è un sottospazio vettoriale di R[x] a) Ogni valore b) Nessun valore c) Solo V0 e V1 d) Solo V1 Solution: a 52. Sia M = (mij ) una matrice quadrata di ordine 7. Nelle seguenti situazioni, quando M potrebbe non essere invertibile? a) Quando det(aM ) può essere un numero reale qualsiasi, per opportuna scelta di a ∈ R b) Quando AM può essere una qualunque matrice quadrata di ordine 7, per una opportuna scelta della matrice A c) Quando esistono dei vettori v1 ,... , vi ∈ R7 tali che (M vi )i sono linearmente indipendenti d) Quando M ha un minore di ordine 6 con determinante non nullo e mi,j 6= 0 Page 22  Solution: b 53. Sia A una matrice con 5 righe e 3 colonne. Quali delle seguenti operazioni può aumentare il rango, assumendo che la matrice non abbia rango massimo? a) Moltiplicare una colonna per un numero positivo e sottrarla ad un’altra colonna b) Ridurre a scala A c) Sommare ad una colonna di A un vettorei di R5 d) Sommare ad una riga di A altre due righe appositamente scelte Solution: c 54. Una compagnia aerea decide restrizioni sulle valigie trasportate. Tali restrizioni sono rappresentate da condizioni lineari su: larghezza, altezza, profondità, peso e sono scelte in modo tale che esistono infinite misure soddisfacenti le suddette condizioni. In particolare, se l, a, p, w stanno a indicare rispettivamente larghezza, altezza, profondità e peso, queste quantità devono soddisfare 4 equazioni del tipo αa + βl + γp + νw = δ con α, β, γ, ν ∈ R. Un impiegato distratto sbaglia nel scrivere un coefficiente dell’ultima condizione nei regolamenti pubblicati. Cosa accadrà? a) Se le prime tre condizioni iniziali sono linearmente indipendenti, ci sarà una sola misura che le soddisfa b) Se le nuove condizioni sono linearmente indipendenti allora esiste una sola soluzione c) Esisterà un solo tipo di misura che soddisfa le nuove condizioni d) Se la matrice dei coefficienti delle condizioni ha rango 2 ed esiste una valigia che soddisfa le nuove condizioni, allora sicuramente ci sono infinite misure che le soddisfano Solution: d 55. Sia A una matrice quadrata di ordine 4 con tutti gli autovalori λi (i = 1,... , 4) reali non necessariamente distinti tra loro e sia P (x) il suo polinomio caratteristico. Quale tra i seguenti P (x), mi garantisce che A sia diagonalizzabile: a) (x − 2)4 b) (x − 2)2 (x + 5)2 c) (x − 1)x(x + 1)(x − 5) d) (x − 2)2 (x − 3)x Solution: c Se tutti gli autovalori fossero diversi tra loro, allora avrei sicuramente una matrice diagonalizzabile. Se ciò non fosse il caso(come le altre opzioni, dove la molteplicità degli autovalori >= 1)dovrei controllare che gli autovettori siano linearmente indipendenti. Page 23  Pn Pn 56. Sia v ∈ R5 e {wi }i=1,...,n un sistema di generatori di R5 tali che v = i=1 ai wi = i=1 bi wi con aj 6= bj per qualche j. Cosa concludiamo? a) {wi }i è una base di R5 b) n > 5 c) È impossibile che ciò accada, poiché {wi }i sono generatori di R5 d) I vettori v ∪ {wi }i sono linearmente indipendenti Solution: a 57. Una società di assicurazioni vuole determinare delle condizioni lineari del tipo αe + βs + γr − δ = 0 (α, β, γ, δ ∈ R), da soddisfare da parte dei potenziali sottoscrittori, su: età = e, livello di sismicità del luogo di residenza = s, variazione del reddito = r dell’anno 2010. Per regolamento interno, le condizioni possono essere solo 1 o 2, le persone con e > 70 non possono sottoscrivere e deve esistere almeno una tripla (e, s, r) che soddisfi le condizioni. Quali delle seguenti affermazioni è corretta? a) sono obbligati ad usare 2 condizioni b) ogni scelta di 2 condizioni linearmente indipendenti andrà bene c) sono obbligati ad usare solo 1 condizione d) se vogliono usare una sola condizione e vogliono che (30,3,10) la soddisfi, allora esiste un’unica scelta per tale condizione Solution: b 58. Sia A una matrice quadrata di ordine n e sia In la matrice identità di ordine n. In quale caso esiste una matrice quadrata B di ordine n tale che A = In + B? a) se e solo se un det A 6= 0 b) se e solo se det A = 0 c) sempre d) se e solo se det A = 1 Solution: c 59. Il pesce per essere commercializzato, deve soddisfare quattro condizioni lineari riguardanti: peso, lunghezza, circonferenza. Se p, l e c denotano rispettivamente il peso, la lunghezza e la circonferenza, una condizione lineare è del tipo αp + βl + γc − δ = 0 (α, β, γ, δ ∈ R). Ci si rende conto che nessun pesce può soddisfare contemporaneamente tutte e quattro le condizioni, cosı̀ si decide di modificarle, aggiungendo aritmeti- camente a ciscuna di esse un termine del tipo a, t per ogni i = 1,... , 4 dove ai sono numeri reali e t è il tempo trascorso da quando il pesce è stato pescato. Una tipologia di pesce è la quaterna (p, l, c, t). Con questo artificio si arriva a garantire che esiste almeno una tipologia di pesce che soddisfa tutte e quattro le nuove condizioni. E’ possibile che esistano infinite tipologie di pesci che soddisfino tutte le condizioni modificate? a) no, al massimo una sola tipologia b) si, comunque siano state scelte le condizioni originali Page 24  c) se e solo se delle 4 condizioni originali ce ne sono al massimo 3 linearmente indipendenti d) solo se le 4 condizioni nuove sono linearmente indipendenti Solution: c 60. Siano v1 , v2 e v3 vettori in R4 tali che la dimensione del sottospazio (v1 , v2 , v3 ) d essi generato sia 2. E’ possibile determinare un vettore v4 ∈ R4 tale che la matrice datta dai {vi }i=1,...,4 come vettori colonna sia invertibile? a) no b) si c) è possibile se e solo se i vettori v1 , v2 e v3 non appartengono ad una stessa retta d) è possibile se e solo se v1 , v2 e v3 sono diversi tra loro Solution: a Non sarà mai possibile perchè avendo 3 vettori e la dimensione del sottospazio generato da essi uguale 2 vuoldire che sono linarmente dipendenti. Se ci aggiungiamo un altro vettore la sitazuione non cambia, al limite avremo 3 vettori linearmente indipendenti ma non basta. Infatti una matrice quadrata si definisce invertibile se i vettori che la compongono sono tutti linearmente indipenenti. 61. Quale tra i seguenti insiemi è una base del più piccolo spazio vettoriale in R4 contenente il triangolo di vertici a = (0, −1, 1, 1), b = (1, −2, 1, 0), c = (0, 1, 1, 1) ? a) {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)} b) {a, b, (0, 0, 1, 0), (0, 0, 1, 0)} c) {a, c} d) {a, b, c} Solution: d 62. Sia V un sottospazio vettoriale di dimensione 3 in R5. Qual è la dimensione del più piccolo sottospazio vettoriale in R5 contenente R5 \ V : a) 3 b) 2 c) 5 d) 4 Solution: b dim(R5 ) − dim(V ) = cioè 5−3=2 Page 25 63. Quale dei seguenti insiemi è una base di < S > dove S = {(1 − t, t + 2, t − 2) : t ∈ R} ∪ {(−2s, 2 − s, 1 + s)} a) {(tan(4), 183, π3 ), (log(11), 0, e−4 )} √ √ b) {(log(2), 1, 5), (log(6), 0, π), (log(12), 1, 1 + 5)} c) {(1, 0, 0), (0, 0, 1)} √ d) {(0, 1, 0), (187, − 2, log(2)), (eπ , 0, − cos(7))} Solution: c (più sensata) 64. Quanti omomorfismi R3 → R3 mandano il piano di equazioni 2x − y + z = 1 nel punto (1, 2)? a) nessuno b) infiniti c) uno solo d) un numero finito maggiore di 1 Solution: b 65. Sia X = {(x, y, z, w) ∈ R4 : y = x + 2w, z + w = −x} e < S > il sottospazio vettoriale generato dai vettori in S. Quale dei seguenti è un sistema di generatori per X? a) h(−1, 1, 0, 1)i ∪ (1, 1, −1, 0) b) l’insieme dei vettori che hanno distanza 1 dall’origine di R4 c) {(x, y, z, w) ∈ R3 : z + w = −x} d) {(0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0)} Solution: b 66. Sia V lo spazio di tutte le funzioni lineari da R3 a R2. Si consideri il sottoinsieme S ⊂ V tale che: f ∈ S se e solo se Im(f ) = h(1, −1)i ∪ h(1, 3)i quale delle seguenti affermazioni è corretta? a) S è un sottospazio di V b) S è l’insieme vuoto c) se rimpiazzassimo R3 con R4 , con n abbastanza grande, S conterrebbe almeno n elementi d) S contiene un numero finito di elementi Solution: b Page 26 67. Una compagnia aerea decide restrizioni sulle valigie trasportate. Tali restrizioni sono rappresentate da condizioni lineari su: larghezza, altezza e profondità. In particolare, se l, a, p stanno a indicare rispettivamente larghezza, altezza e profondità, e queste quantità devono soddisfare 3 equazioni del tipo: αa + βl + γp = δ; a) Se le prime due condizioni sono linearmente indipendenti, allora esisterà un unico tipo di valigia che le soddisfa b) Nulla, rimangono infinite soluzioni c) Qualunque cosa è possibile: sia che non ci siano valigie che soddisfino le nuove condizioni, sia che esista una sola misura, sia che ce ne siano infinite d) Esisterà ancora almeno una valigia soddisfacente le condizioni se e solo se il coefficiente trascritto è nullo Solution: c 68. Sia R[x]5 lo spazio vettoriale dei polinomi di grado minore o uguale a 5. Sia I contenuto in R[x]5 un insieme di tre vettori linearmente indipendenti. Quale procedura mi permette di completare I ad un’altra base di R[x]5? a) Aggiungo ad I un numero sufficiente di polinomi v1,v2,v3 non in I, tali che, per ogni coppia di vettori vi 6= vj non esiste λ ∈ R [...] b) Aggiungo ad I tre polinomi opportunamente scelti di grado 5 c) Aggiungo ad I tre polinomi linearmente indipendenti qualsiasi in R[x]5 − I d) Aggiungo ad I due polinomi linearmente indipendenti presi in un sottospazio di dimensione 2 ed un polinomio non nullo in un sottospazio [...] Solution: c 69.  Sia k un numero reale, si consideri il seguente sistema di equazioni: 2x − 2y =k  kx − y = 0  x+y =1  a) Il sistema non ammette mai soluzioni b) Per k=3 il sistema ha una e una sola soluzione c) Se k=1 il sistema ha infinite soluzioni d) Per k= -2 il sistema ha una e una sola soluzione Solution:... 70. Sia M una matrice quadrata di ordine 7 è invertibile se: a) M=7A con rango 7 b) se M ha almeno 7 minori con determinante diversi da zero Page 27  P7 c) esistono 7 scalari i tali che i=1 Ci, dove Ci sono le colonne di M d) M = A + B dove A,B hanno rango 7 Solution: a 71. Sia Ma=   a−1 1 2  0 a + 3 1   a − 1 2 3 0 a+3 1 Si scelga l’affermazione corretta tra le seguenti: Scegli un’alternativa: a) rango(M)=3 per a ∈ [−10, −1], eccetto per un solo valore, in cui il rango = 2 b) rango(M)=3 per a ∈ [−1, 1], eccetto per un solo valore, in cui il rango = 4 c) rango(M) è massimo per ogni a ∈ [0, 5] d) non rispondo e) rango(M)=2 per a ∈ [−5, 2], eccetto per due valori, in cui il rango = 3 Solution: a (non è certa) Il seguente sistema di equazioni lineari con parametro t ∈ R nelle variabili x,y,z,w: 72.  (t + 4)x + y + w = 1  tx + (2t − 2)y + tz − 10w = 1  −z − y − z − w = −1  Scegli un’alternativa: a) ammette infinite soluzioni per ogni valore di t eccetto uno solo b) ammette infinite soluzioni per ogni valore di t eccetto due valori in cui non ha soluzioni c) non rispondo d) solo per due valori di t il sistema ammette infinite soluzioni e) esiste un solo valore di t per cui il sistema ha un’ unica soluzione e infinite per gli altri valori del parametro Solution: a 73. Sia A una matrice n x n non invertibile. E’ possibile determinare una matrice invertibile U tale che U A abbia una riga formata da soli zeri? Scegli un’alternativa: a) sı̀ Page 28  b) solo se A è simmetrica c) non rispondo d) mai e) solo se A è triangolare con almeno un elemento della diagonale non nullo f) non ci sono informazioni sufficienti per rispondere Solution: a Prese due matrici:  0 0 A= 1 0   1 0 U= 0 1 La matrice prodotto UA è uguale a:       1 0 0 0 0 0 UA= · = 0 1 1 0 1 0 74. Dati i vettori v1 =(1,1,1) v2 =(0,0,2) v3 = (a,a,b) v4 = (-1,-1,1) quali delle seguenti affermazioni è corretta? Scegli un’alternativa: a) v1 v2 v3 v4 sono tra di loro indipendenti b) v3 v1 sono indipendenti per ogni scelta di a e di b c) non rispondo d) v1 ev2 sono tra di loro dipendenti e) i vettori sono complanari, cioè sono contenuti in un piano per l’origine Solution: e 75. Sia A una matrice quadrata di ordine n e sia In la matrice identità di ordine n. In quale caso esiste una matrice quadrata B di ordine n tale che A = In + B Scegli un’alternativa: a) sempre b) se e solo se det A = 0 c) non rispondo d) se e solo se det A = 1 e) se e solo se det A 6= 0 Solution: a 76. Di quale dei seguenti spazi vettoriali B = (3,2,1) , (-1,1,0), (9,1,2) è una base? Scegli un’alternativa: a) h(3, 2, 1), (9, 1, 2)i cioè il sottospazio generato dai vettori indicati tra le parentesi Page 29  b) nessuno: B non è una base c) non rispondo d) R3 e) lo spazio vettoriale generato da B Solution: b 77. Si consideri A=   0 1 1 −1 0 2 1 1 0 Si scelga l’la risposta corretta: Scegli un’alternativa: a) A− 1 ha come prima riga (2.-1,-1) b) A non è invertibile c) A− 1 ha come econda riga (1,-1,1) d) A− 1 ha come terza riga (-1,1,1) Solution: d 78. Siano M e N due matrici 8 x 8.Quando sono sicuri dell’esistenza di una matrice A tale che M A = N Scegli un’alternativa: a) quando M è una matrice triangolare superiore b) quando N è una matrice invertibile c) quando det M 6= 0 d) quando N è una matrice triangolare inferiore Solution: c MA = N esplicitiamo la A: N A= M Ragionandola con i determinanti ed è evidente che M non può avere il determinate uguale a 0 visto che il denominatore deve essere 6= 0. 79. Quanti polinomi di grado 4 sono linearmente indipendenti in R[x]? Scegli un’alternativa: a) 1 b) 5 c) 4 d) infiniti Page 30  Solution: b 80. Sia X =C[a,b] lo spazio vettoriale delle funzioni continue sull’intervallo [a,b] ⊂ R. Siano S il sottoinsieme di X costitutito da tutte le funzioni la cui immagine è contenuta nell’intervallo [0,1] e Y il sottoinsieme delle funzioni tali che f (a)= 0. Allora Scegli un’alternativa: a) Sè un sottospazio di X b) V non è un sottospazio di X c) S non è un sottospazio di X T d) S V è un sottospazio diX Solution:... 81. Sia A una matrice quadrata non nulla tale che det(A) = 0 Scegli un’alternativa: a) la moltiplicazione a sinistra per A, vista come funzione Rn → Rn è iniettiva b) rango(A) = n − 1 c) xi divide il polinomio caratteristico di A per qualche i > 0 d) A non è diagonalizzabile Solution: c 82. Sia M = (mij ) una matrice 6 x 6. In quale dei seguenti casi concludo che M è invertibile? Scegli un’alternativa: a) det(A) 6= 0 dove N è il minore (mij )ij65 e l’ultimo vettore colonna di M è (0,0,0,0,0,1) b) M è una matrice diagonale c) esiste B tale che M + B è la matrice identità moltiplicativa d) esistono 6 vettori vi tali che i vettori Mvi sono diversi tra loro Solution: a Page 31 2.2 Geometria Analitica 1. Data una retta r con parametrizzazione r → p + tv ∈ R3 con ||v|| = 1, un piano che forma un angolo 0 ≤ α ≤ π2 con r è del tipo: a) ax + by + cz + d = 0 con {(a, b, c) − v; (a, b, c) − p} = cos(α) b) ax + by + cz + d = 0 con lunghezza di (a, b, c) unitaria e α = π2 − arccos |v, (a, b, c)| c) ax + by + cz + d = 0 con lunghezza di (a, b, c) unitaria e arcsin((a, b, c) ∧ v) = α d) ax + by + cz = 0 con lunghezza di (a, b, c) unitaria e ||(a, b, c) + v|| = cos(α) Solution: b Angolo tra v e (a, b, c) dalla formula del prodotto scalare v · w = ||v|| · ||w|| · cos(α) v·w v·w Ricavo quindi: cos(α) = ⇒ α = arccos( ) ||v|| · ||w|| ||v|| · ||w|| π v·w π v · (a, b, c) Quindi: α = − arccos( ) ⇒ α = − arccos( ) 2 ||v|| · ||w|| 2 1·1 ||v|| = 1 dal problema, ||w|| = ||(a, b, c)|| = 1 2. Siano dati quattro punti complanari(stanno su uno stesso piano per l’origine) A, B, C e D ∈ R3 che formano un rombo. Un vettore normale al piano in cui essi giacciono è dato da: a) ||B − A|| ||C − A|| sin α dove α è l’angolo tra i vettori B − A e C − A A+B+C b) ||A+B+C|| c) (B − A) ∧ (C − A) d) ||(B − A) ∧ (C − A)|| Solution: c I punti definiscono il rombo nell’ordine citato(orario o antiorario non fa differenza). Sapendo questo, sappiamo che per definire una normale al piano è necessario che il prodotto vettoriale tra due vettori appartenenti allo stesso piano non paralleli tra loro sia uguale a 0. ~ × AC L’unica soluzione che ci da questo risultato è appunto la c: AB ~ = 0 ⇒ (B − A) ∧ (C − A) 3. Date due rette in R3 con parametrizzazione t → p + tv e s → q + sw, esse si intersecano(in un solo punto) se e solo se: a) v non è multiplo di w, e w non è combinazione lineare di p e q (se lo fosse sarebbe linearmente dipendente) b) La matrice che ha per colonne i vettori p, v, q e w ha rango massimo c) v e w sono linearmente indipendenti d) La matrice che ha per righe i vettori v, q − p e w ha determinante nullo e v non è multiplo di w Solution: d Abbiamo la seguente situazione:   x = px + tvx  x = qx + swx  t y = py + tvy s y = qy + swy   z = pz + tvz z = qz + swz   Page 32  Per calcolare la posizione di due rette nel piano usiamo la seguente formula:   qx − px qy − py pz − qz A =  vx vy vz  wx wy wz Che è la matrice del punto d. Se det(A) 6= 0 le rette sono sghembe. Se det(A) = 0 le rette sono complanari, ma possono essere comunque parallele, coincidenti o incidenti. Se det(A) = 0, v × w 6= 0 le rette sono incidenti, che è esattamente quello che ci dice l’ultima voce. Se v fosse linearmente dipendente di w (quindi multiplo di w), vorrebbe dire che il loro prodotto vettoriale è = 0, che invece può dirci se le rette sono coincidenti o parallele. 4. Siano v e w due vettori. La lunghezza della proiezione di v su w è uguale a: v·w a) ||v||·||w|| v·w b) ||v|| v·w c) kwk d) v · w e) cos θ kwk Solution: c Ragioniamo con il significato geometrico del prodotto scalare ovvero che esso rappresenta la proiezione del vettore v sull vettore w. La proiezione la indicheremo come vr ed è lato per coseno dell’angolo θ tra i due lati, in formule: vr = ||v|| · cos(θ) Ricaviamo ||v|| dalla formula del prodotto scalare(v·w= ||v|| · ||w|| · cos(θ)) v·w ||v||= ||w||·cos(θ) Sostituiamo e avremo: v·w vr = ||w||·cos(θ) · cos(θ) v·w Semplifichiamo cos(θ) e avremo: vr = ||w|| 5. Siano dati i punti A, B, C, D ∈ R3. Essi giacciono su un piano affine se: a) Il determinante della matrice con colonne i vettori A, B, C, D non è nullo b) Il determinante della matrice con colonne i vettori A, B, C, D è nullo c) Il determinante della matrice con righe i vettori B − A, C − B, D − C è zero d) I vettori B − A, C − A, D − A sono linearmente indipendenti Solution: c P3 6. Siano v1 , v2 , v3 ∈ R3 tali che i=1 vi = (0, 0, λ − 1, λ − 1, 0) = z(λ) per un λ ∈ R. Allora: Page 33  a) Qualunque sia λ posso scegliere un w ∈ R b) I vettori v1 , v2 , v3 sono linearmente indipendenti qualunque sia λ c) I vettori v1 , v2 , v3 sono linearmente indipendenti se λ è positivo d) Esiste almeno un valore di λ per cui i vettori v1 , v2 , v3 non possono far parte di una base R5 Solution: d 7. Siano v, w, z ∈ R3. Essi formano una piramide a base triangolare con vertice all’origine 0. La somma delle aree delle facce, esclusa la base, della piramide è: a) 12 · (v ∧ w) b) 3 · ||v ∧ (w ∧ z)|| c) 12 · (||v ∧ w|| + ||w ∧ z|| + ||z ∧ v||) d) 12 · (v · w + w · z) Solution: c Abbiamo che i vettori v, w, z dato che hanno tutti vertice nello stesso punto(origine), possono essere utilizzati per calcolare individualmente l’area delle facce dei triangoli che compongono la piramide. Area di un triangolo: 12 (v ∧ w), cioè la metà dell’area del parallelogramma che essi formano. Sommando anche le altre due facce e raccogliendo ottengo appunto la risposta c. 8. Siano A, B, C i vertici di un triangolo in R3 di area k e 0 ≤ θ ≤ π l’angolo nel vertice B formato dai lati. Quali delle seguenti uguaglianze è vera? k a) θ = arcsin( ||A−B||·||C−B|| ) (A−B)·(C−B)) b) θ = arccos( ||A−B||·||C−B|| ) k c) cos(θ) = 2 · ||A − B|| · ||C − B|| (A−B)∧(C−B)) d) sin(θ) = ||A||·||C|| Solution: b Uso la formula dell’angolo tra vettori: ~ · BC BA ~ cos(θ) = ~ · BC BA ~ BA~ · BC ~ (A − B) · (C − B)) θ = arccos( ) = arccos( ) ~ BA · BC ~ ||A − B|| · ||C − B|| 9. Dato il vettore v = (1, 1, 0) è possibile trovare due vettori diversi tra loro w1 , w2 ∈ R3 tali che v ∧ w1 = v ∧ w2 ? a) Non è possibile b) Si, solo se v è perpendicolare a w2 c) Si, solo se esiste [mancante] d) Si, infinite soluzioni(si ed esistono infinite coppie di tali w1 , w2 ) Page 34  Solution: d 10. È possibile trovare vettori v e w su una sfera di raggio R, centrata nell’origine, tali che v · w = −3? a) Si, solo se r ≤ 3 √ b) Si, solo se r ≥ 3 c) Si, solo se r ≥ −3 d) Risposta mancanti Solution: b 11. Supponiamo che 0 appartenga all’insieme {||v ∧ (αw1 + βw2 )|| : α, β ∈ R, |α| + |β| = 6 0} per vettori v, w1 , w2 ∈ R3. Cosa possiamo concludere? a) v appartiene allo spazio vettoriale generato da w1 , w2 b) Esistono α, β non entrambi nulli tali che αw1 + βw2 = 0 c) (v, w1 , w2 ) è una base di R3 d) v è perpendicolare sia a w1 che a w2 Solution: a (proposta anche la b) 12. Siano A, B, C tre punti in R3. L’area del triangolo determinato da questi tre punti è uguale a: a) Il modulo del prodotto scalare del vettore applicato di B − A con C − B b) La lunghezza del prodotto vettoriale di B − A con C − B divisa per 2 c) Il prodotto scalare del vettore applicato AB con AC diviso per 2 d) Il prodotto vettoriale di B − A con C − A diviso per 2 Solution: b L’area formata dal prodotto vettoriale tra due vettori sullo stesso vertice è uguale all’area del parallelogramma che esse formano. Sapendo questo, possiamo calcolare l’area del triangolo con ~ e BC. la norma(lunghezza) del prodotto vettoriale tra i due vettori AB ~ 13. Siano A, B, C ∈ R3 e ABC il triangolo con questi vertici. L’altezza di ABC, visto con base AC, è: a) BH = B · A · sin(α) = |v1 | · sin(α) |(C−B)·(A−B)| b) ||A−B|| |(C−B)·(A−B)| c) 2 |(C−B)∧(A−B)| d) ||C−B||·||A−B|| |(C−B)∧(A−B)| e) ||C−A|| Solution: a (giusta, ma non presente tra le risposte) → e Page 35  Questo perché: AreaTriangolo · 2 h= AC AB ∧ BC AreaTriangolo = 2 kAB∧BCk 2 h= AC k(B − A) ∧ (C − B)k = kC − Ak π 14. Sia α(t) = tv + p e β(s) = sw + q due rette affini in R3 angolare di 6 l’una rispetto all’altra. Allora: √ ||α(t)∧β(s)|| a) 2 = 23 per ogni numero reale t es √ α(t)∧β(s) 1 b) ||α(t)||·||β(s)|| = 2 per ogni numero reale tes √ (v·p)·(w·q) c) = 23 ||v·p||·||w·q|| √ d) |v · w| = ||v|| · ||w|| · 23 Solution: d 15. Sia H un piano affine in R3. Quando è possibile trovare tre vettori di H che formino una base di R3 ? a) I 3 vettori devono essere linearmente indipendenti(Det 6= 0 della matrice 3×3 == rango massimo) b) I 3 vettori costituiscono un sistema di generatori(ossia è un insieme di vettori che tramite combinazioni lineari permette di ricostruire l’intero spazio) c) Quando si considerano piani non passanti per l’origine Solution: a 16. Dati due vettori in R3 (testo mancante) quando sono complanari? a) Due vettori sono sempre complanari in R3 , è quando sono 3 che devo verificarlo Solution: a 17. Sia v un vettore in R2 con coordinate (1, 0) e sia w un altro vettore in R2. Voglio che l’angolo tra w + v e v sia π4 , considerando che θ(l’angolo fra v e w è 32 · π). Quanto deve essere la lunghezza di w? √ a) −1 + 3 √ b) w = (a · cos θ) = a2 · (−1, 3) (non presente fra le risposte) √ 3 c) (w · v) · w = (1 − a2 , 2 · a) · (1, 0) = 1 − a 2 (non presente fra le risposte) d) Risposte mancanti Page 36  Solution: a 18. Data una retta r → p + tv ed un piano ax + by + cz + d = 0 in R3 , essi non intersecano se e solo se: a) Il determinante della matrice con vettori riga p, v, (a, b, c) non è nullo e le coordinate di p non soddisfano l’equazione del piano b) Il prodotto scalare di v con (a, b, c) sia nullo e le coordinate di p non soddisfano l’equazione del piano c) Il determinante della matrice con vettori riga p, v, (a, b, c) è non nullo d) Il prodotto scalare di v con (a, b, c) sia nullo Solution: b Per capire la situazione che si ha tra retta e piano è molto semplice. Se si ha la retta in forma parametrica bisognerà prendere il suo vettore direzione ovvero i coefficienti delle t, quelli rap- presentano il vettore direzione. Il vettore direzione di un piano scritto in forma cartesiana è rappresentato dai coefficienti che affiancano x, y, z perciò a, b, c. Per capire che situazione c’è tra retta ed il piano basta fare il prodotto scalare tra i due vettori. Se v · (a, b, c) 6= 0 allora retta e piano sono incidenti. Se v · (a, b, c) = 0 allora possiamo avere due casi: a) che r è parallela esterna al piano b) che r è parallela interna al piano Per capire in quale due casi siamo capitati ci basterà prendere un punto P0 ∈ r, sostituire xp , yp , zp a quelle presenti nell’equazione del piano. Se l’uguaglianza sarà vera(esempio 1 = 1) allora significa che P0 fa parte del piano e quindi r sarà parallela interna al piano. Se l’uguaglianza non sarà essere vera (esempio 1 6= 0) P0 non fa parte del piano e quindi r sarà parallela esterna al piano. 19. Il piano di equazioni 2y − z − 5 = 6: a) Passa per l’origine b) È parallelo all’asse x c) È parallelo all’asse y d) È parallelo all’asse z Solution: b Per questo tipo di esercizi basta rifarsi all’equazione del piano: ax + by + cz = d Ed abbiamo i seguenti casi: a = 0 piano parallelo all’asse x b = 0 piano parallelo all’asse y c = 0 piano parallelo all’asse z d = 0 piano passante per l’origine In questo caso abbiamo a = 0, quindi il piano è parallelo all’asse x. Page 37 20. Il piano di equazione 2x + 2z − 5 = 0 a) Passa per l’origine b) È parallelo all’asse x c) È parallelo all’asse y d) È parallelo all’asse z Solution: c ax + by + cz = d In questo caso abbiamo y = 0, quindi il piano è parallelo all’asse y. 21. La retta di equazioni x = 2, y = 1 + t, z = −1 − t: a) Passa per l’origine b) Giace nel piano y, z c) Giace su un piano parallelo al piano y, z d) È parallela alla retta di equazioni x = 1 − 2t, y = 2, z = −1 − t Solution: c a) non passa per l’origine, per verificarlo basta sostituire ad x y e z (0,0,0) l’uguaglianza deve essere rispettata, cosa che non accade però per x. b) non è completa perchè potrebbe anche essere parallela al piano y z. c) Dopo aver visto che r giace nel piano y z, si prende un punto appartenente alla retta e si vede se appartiene al piano che in questo caso ha equazione y+z=0. Po ∈ r prendiamo (2,1,-1) con t=0. e sostituiamo alle coordinate presenti nell’equazione del piano: (1) +(-1)=0 cioè 1 - 1 = 0 Possiamo concludere che Po ∈ r fa parte del piano perciò r giace ed è parallela ad y z. d) basta prendere i vettori direzione delle due rette e vedere se sono proporzionali. se lo sono allora le due rette sono parallele. In questo caso non lo sono. 22. La retta di equazioni x = 1 − 2t, y = 3, z = 1 + 2t : a) Passa per l’origine b) Giace nel piano y, z c) Giace in un piano parallelo al piano x, z d) È parallela alla retta di equazioni x = 3, y = 2, z = −1 + 2t Solution: c guardare la risposta alla domanda precedente per capire come ragionare su questa tipologia. 23. L’area del quadrilatero piano dato dai punti A = (1, 0, 0), B = (2, 0, 1), C = (1, −2, 2), D = (0, −1, 0) (in questo ordine) è: a) La radice positiva dell’equazione x2 − 2x − 5 = 0 b) ||A ∧ D|| (A−D) c) ||A||·||D|| Page 38  √ d) 2 · 3 Solution: d È da notare che ci viene chiesta l’area del quadrilatero, e non di un parallelogramma, quindi sarà necessario agire in maniera diversa. 4 4 In particolare bisognerà dividere il quadrilatero in 2 triangoli: BAD e CBD, calcolarne l’area e sommarla. Sappiamo inoltre che l’area di un triangolo possiamo ricavarla dall’area del parallelogramma individuato dalla somma di due loro vettori applicati allo stesso vertice diviso due. Nel nostro caso abbiamo: Primo triangolo: ~ =B−A= 1 0 1 , ~ = D − A = −1

AB AD −1 0   4 ı̂ ̂ k̂ det(BAD) = det( 1 0 1) = ı̂ − ̂ − k̂ −1 −1 0 4 ~ × AD AB ~ det(BAD) 1√ p 4 12 + (−1)2 + (−1)2 Area(BAD) = = = = 3 2 2 2 2 Secondo triangolo: ~ =B−C = 1 2 ~ = D − C = −1

CB −1 , CD 1 −2   4 ı̂ ̂ k̂ det(CBD) = det( 1 2 −1) = 3ı̂ + 3k̂ −1 1 −2 4 ~ × CD CB ~ det(CBD) √ 4 32 + 02 + 32 3√ Area(CBD) = = = = 3 2 2 2 2 Ora possiamo sommare le due aree per ottenere l’area del quadrilatero: 4 4 1√ 3√ √ Area(ABCD) = Area(BAD) + Area(CBD) = 3+ 3=2 3 2 2 24. Quale dei seguenti sottoinsiemi di R3 contiene almeno un vettore che forma un angolo di 60◦ con v = (1, −1, 1)? a) {t(1, 1, 0) : t ∈ R} b) {t(0, 0, 1) + (1, 1, 0) : t ∈ R} c) {v ∧ (1, 2, 3)} d) {(x, y, z) ∈ R3 : x − y + z = 0} Solution: b 25. Il piano di equazione −x + 2y + 5 = 0: a) Passa per l’origine b) È parallelo all’asse x c) È parallelo all’asse y Page 39  d) È parallelo all’asse z Solution: d 26. Sia q = (1, 2, 1), s = {(x, y, z) ∈ R3 : −x + y − z = 2, x − 3y = −1}. Qual è la distanza tra q e s? 8 12 18 a) 7, 7 , 7 3 4 7 b) 13 , − 13 , − 13 5 7 c) −1, − 3 , − 3 d) − 57 , − 95 , − 11 5 Solution: a ( −x + y − z = 2 q = (1, 2, 1), s = x − 3y = −1 Trovo direzione s → Vs = (a, b, c) · (a0 , b0 , c0 ) = (−1, 1, −1) · (1, −3, 0)   i j k Det(Vs ) = −1 1 −1 = −3i − j + 2k → Vs = (−3, −1, 2) 1 −3 0 Trovo l’equazione del piano ortogonale a s e passante per q: u : Vs1 · x + Vs2 · y + Vs3 · z + d = 0 → −3x − y + 2z + d = 0 d = −(Vs1 · xq + Vs2 · yq + Vs3 · zq ) d = −((3 · 1) + (−1 · 2) + (2 · 1)) = −(−3 − 2 + 2) = 3 Trovo proiezione q su retta s(q 0 ), intersecando piano e retta:    11 −x + y − z = 2  z = −x + y − 2  z = − 7  x − 3y = −1 → x = 3y − 1 → x = − 17 y = 72    −3x − y + 2z + 3 = 0 −14y + 4 = 0    1 2 11 q 0 = (− , , − ) 7 7 7 Trovo la distanza tra q e q 0 : r r 0 1 2 2 2 11 2 8 12 18 8 12 18 d(q, q ) = (1 + ) + (2 − ) + (1 + ) = ( )2 + ( )2 + ( )2 = , , 7 7 7 7 7 7 7 7 7 27. Sia H un piano affine in R3. Quando è possibile trovare tre punti A = (a1 , a2 , a3 ), B = (b1 , b2 , b3 ), C = (c1 , c2 , c3 ) di H tali che i vettori (a1 , a2 , a3 ), (b1 , b2 , b3 ), (c1 , c2 , c3 ) formino una base di R3 ? a) Se e solo se H non contiene l’asse x, né l’asse y, né l’asse z b) Mai c) Solo quando H è parallela al piano x, y d) Se e solo se H non passa per l’origine Solution: d 28. La retta di equazioni x = 1 + 3t, y = 3 − t, z = 2: a) Giace nel piano y, z Page 40  b) Giace in un piano parallelo al piano x, z c) È parallela alla retta di equazioni x = 3 − 6t; y = 2t − 3; z = 3 d) Passa per l’origine Solution: c 29. Dati tre punti nello spazio A = (a1 , a2 , a3 ), B = (b1 , b2 , b3 ), C = (c1 , c2 , c3 ), condizione sufficiente affinché siano su una stessa retta è che: a) Il rango della matrice avente come righe A, B, C sia 1 b) Il determinante della matrice avente come righe A, B, C sia diverso da 0 c) Il rango della matrice avente come righe A, B, C sia 2 d) A · (B ∧ C) = 0 Solution: a il rango ci indica il numero di vettori linearmente indipendenti. è semplice da capire che se abbiamo solo un vettore v linearmente indipendente gli altri due saranno λv. 30. Quando per i seguenti quattro punti A = (1, 0, 0), B = (0, −1, 1), C = (1, 0, 2), D = (−t, t, 1), t ∈ R, passa un piano (affine): a) Sempre b) Mai c) Solo per t = 12 e t = − 12 d) Solo per t = − 12 Solution: d 31. In quale dei seguenti insiemi esiste un vettore v tale che v ∧ w = 0, dove w = (1, 2, 3)? a) {tα + β : α = (2, 4, 6), β = (1, 0, 1), t ∈ R} b) Piano di equazioni x + y + z + 1 = 0 c) Piano di equazioni x + y + z = 0 d) {(x, y, z) ∈ R3 : y = 0, x > z} Solution: c E’ l’unico che ci darebbe il vettore (0,0,0) e sappiamo che il prodotto vettoriale di un vettore w con un qualunque vettore ci restituirà sempre il vettore nullo.   i j k v ∧ w = 1 2 3 = (0,0,0) 0 0 0 32. Sia v di R3. Supponiamo che v tale che v · w = 0 pe ogni w ∈ R3. Allora? Sceli un’alternativa: a) v=0 b) non ci sono sufficienti informazioni per dedurre qualcosa su v c) v e w sono proporzionali per ogni scelta di w ∈ R3 Page 41  d) non rispondo e) non esistono vettori ortogonali a v Solution: a 33. Sia l = {tv + p : t ∈ R} una retta e H = {rw + sz + q : r, s ∈ R} un piano, entrambi in R3. Si consideri poi la retta h(u) = {uw + 2uz + q : u ∈ R}. Quale delle seguenti condizioni implica che l e h sono sghembe? (Dubbio su queste) a) L’insieme delle combinazioni lineari di v e w + 2z è un piano e l ∩ H = ∅ b) La matrice con vettori riga v, w, z ha determinante 6= 0 c) l ∩ H = ∅ e v + w + z 6= 0 d) p ∧ q e il rango della matrice con colonne v, w, z è uguale a 2 Solution: a 34. Siano A = {(x, y, z) ∈ R3 : −x + 2y − z + 3 = 0 e − 3x + 6y − 3z + 9 = 0} e B = {(r − 2s, −r + 2s + 1, 2r − 4s − 1) ∈ R3 : (r, s) ∈ R}. Che cosa esprimono A e B? a) A una retta, B l’insieme vuoto b) A un piano, B una retta c) Due piani d) A una retta, B un piano Solution: b A è sicuramente un piano, i piani da cui è composta l’equazione sono linearmente dipendenti tra loro, quindi alla fine dei conti si parla di un piano solo.  x = r − 2s  B = y = −r + 2s + 1  z = 2r − 4s − 1  Abbiamo r = (1, −1, 2) e s = (−2, 2, −4), che sono linearmente dipendenti, poiché s = −2 · r 35. Il piano di equazioni 2y − z − 5 = 0: a) Passa per l’origine b) È parallelo all’asse x c) È parallelo all’asse y d) È parallelo all’asse z Solution: b 36. L’insieme delle soluzioni reali dell’equazione 3x2 − 10xy − 2x + 9y 2 + 6y + 4 = 0 rappresenta: a) L’insieme vuoto b) Un’ellisse c) Due rette parallele d) Una parabola Page 42  Solution: a 37. L’insieme delle soluzioni reali dell’equazione x2 + 4xy − 2y 2 + 2x − 2y − 1 = 0 rappresenta: a) Un’iperbole b) Un punto c) Una parabola d) Un’ellisse Solution: a 38. L’insieme delle soluzioni reali dell’equazione x2 + 2xy + 2y 2 − 4x − 2y − 1 = 0 rappresenta: a) due rette b) un ellisse c) un’iperbole d) una parabola Solution: b 39. L’insieme delle soluzioni reali dell’equazione 13x2 − 2xy − 16x + y 2 + 4y + 4 = 0 rappresenta: a) L’insieme vuoto b) Due rette incidenti c) Un’ellisse d) Un’iperbole Solution: c 40. Dati i punti A = (0, 7) B = (2, 2) C = (2, 3) stabilire se essi sono allineati e, nel caso lo siano, rispondere ”0”. Nel caso non lo siano riportare il coefficiente β0 (ordinata all’origine) della retta regressione lineare semplice individuata da essi. Per non rispondere a questa domanda, cliccare su ”domanda successiva”. Solution: 7 guardare la domanda 55 per sapere come si svolge questa tipologia. 41. Dati i punti A = (−1, 3) B = (−1, 12) C = (2, 30) stabilire se essi sono allineati e, nel caso lo siano, rispondere ”0”. Nel caso non lo siano riportare il coefficiente β0 (ordinata all’origine) della retta regressione lineare semplice individuata da essi. Per non rispondere a questa domanda, cliccare su ”domanda successiva”. Solution: 15 guardare la domanda 55 per sapere come si svolge questa tipologia. 42. Dati tre punti nello spazio A = (a1 , a2 , a3 ), B = (b1 , b2 , b3 ), C = (c1 , c2 , c3 ), condizione necessaria affinché siano su una stessa retta è che: a) Il determinante della matrice avente come righe A, B, C sia diverso da zero Page 43  b) A · B = B · C = 0 c) Il rango della matrice avente come righe A, B, C sia minore di 3 d) B ∧ C sia parallelo ad A Solution: c Con tre punti vengono individuati due vettori. Se i tre punti sono allineati, il sottospazio affine che li contiene ha dimensione massima(o equiv- alentemente i due vettori sono linearmente indipendenti), allora individuano uno spazio affine di dimensione 2(un piano), se invece sono linearmente dipendenti, formano uno spazio affine di dimensione 1(una retta). Alternativamente, il rango della matrice avente come righe A, B, C deve avere necessariamente rank = 1(quindi < 3) affinché i tre punti siano allineati. 43. Siano v e w due arbitrari vettori di R3 non nulli. Allora v · w rappresenta: a) Un numero compreso tra −1 e 1 b) La misura in radianti dell’angolo compreso tra v e w c) La misura del coseno dell’angolo compreso tra v e w moltiplicata per ||v|| · ||w|| d) La misura del coseno dell’angolo compreso tra v e w Solution: c Ricordiamoci la formula dell’angolo tra vettori: v·w cos(θ) = ||v|| · ||w|| v · w = cos(θ) · (||v|| · ||w||) Che è la descrizione della risposta c. 44. Si consideri in R2 la retta di equazioni y = −x.√Sia f : R2 → R2 l’omomorfismo che manda un punto P nel suo simmetrico rispetto a r. Posto a = 22 risulta: a) f (x, y) = (ay − ax, ay + ax) b) f (x, y) = (y, x) c) f (x, y) = (−y, −x) d) f (x, y) = (−ax, ay) Solution: c 45. Sia v = (1, 0) e w un vettore che forma un angolo di 2π 3 con v. Quale lunghezza deve avere w affinchè il vettore w + v formi un angolo di π4 con v? √ a) 3 − 1 √ b) La radice positiva dell’equazione x2 − 2x + 1 = 0 √ c) 1 − 2 d) Tutte le radici dell’equazione x2 − 2x − 2 = 0 Page 44  Solution: a 46. Dati tre punti nello spazio A = (a1 , a2 , a3 ), B = (b1 , b2 , b3 ), C = (c1 , c2 , c3 ), condizione necessaria e sufficiente affinché siano su una stessa retta è che: a) A·B =B·C =0 b) Il determinante della matrice avente come righe A, B, C sia uguale a 0 c) Esista un piano che passi per A, B, C e l’origine d) I vettori applicati AB e CA risultino paralleli Solution: d 47. Sia p = (1, 2, 1) e r = {(x, y, z) ∈ R3 : −x + 2y − z = 2, x − 3y = −1}. Qual è il punto di r più vicino a p? a) ( 65 , − 16 , 76 ) b) (− 25 , 15 , − 65 ) c) (0, 13 , − 43 ) 7 6 d) ( 11 , 11 , − 1711 ) Solution: d trovi il vettore direzione della retta r. metti x y z del vettore direzione come a b c nell’equazione generale del piano che sappiamo essere uguale a ax + by + cz + d = 0. Metti xp yp zp nel l’equazione del piano e ti trovi d. Hai trovato l’equazione del piano. Metti a sistema le due equazioni cartsiane della retta e quella appena trovata del piano. Avrai un sistema di equazioni a tre incognite facilmente risolvibile. 48. Siano dati quattro punti complanari(stanno sullo stesso piano per l’origine) A, B, C, D ∈ R3 che formano un rombo. Una normale al piano in cui essi giacciono è data da: - Duplicato di 5 a) ||B − A|| · ||C − A|| · sin(α) dove α è l’angolo tra i vettori B − A e C − A b) (A + B + C) · ||A + B + C|| c) (B − A) ∧ C − A d) ||(B − A) ∧ (C − A)|| Solution: c 49. Qual è il minimo del seguente insieme di numeri reali {distanza tra retta l e p al variare di l ⊂ H} dove H = {(s − r, s + r, 2r − s + 1) ∈ R3 : r, sR} e p = (1, 0, 1)? a) √6 17 5 b) 14 c) √2 17 d) √3 14 Page 45  Solution: d Prima di tutto bisogna riscrivere l’equazione del piano in forma cartesiana. Dopodichè per verificare che p non appartenga al piano H. Come fare? Si Sostituiscono x, y, z di p nell’equazione di H. Se l’uguaglianza è vera allora p ∈ H e quindi la distanza sarà 0. Se p non fa parte del piano per calcolare la distanza si può usare questa formula: |a·xp +b·yp +c·zp +d| d(P, H) = √ a2 +b2 +c2 50. Si considerino i due piani H1 = (2r + s, −r + 2, s − r) ∈ R H2 = {(x, y, z) ∈ R3 : −x − 3y + z + 5 = 0} Selezionare la risposta corretta tra le seguenti a) Ogni retta in H1 è shemba rispetto ad una qualsiasi retta in H2 b) Esistono infinite rette perpendicolari ad entrambi i piani c) La retta t → (t, 1, 1 − 2t) è contenuta in uno dei due piani d) Non esistono retta l1 ⊂ H1 e l2 ⊂ H2 tali che l1 ⊥ l2 Solution: b i due piani sono paralleli, lo si può capire mettendo le due equazioni cartesiane in una matrice i coefficienti delle coordinate dei piani ovvero a, b, c, d e vedendo il rango della matrice incompleta e della matrice completa che si ottiene. Se il rank(A) 6= rank(A|b) allora i due piani sono paralleli. Se due piani sono paralleli allora presa una retta perpendicolare ad H1 essa sarà perpendicolare anche ad H2 51. Quale(tra i seguenti omomorfismi R3 → R3 manda il piano di equazione 3x − y + z − 1 = 0 nella z+y =0 retta −y + z − 1 = 0 a) f (x, y, z) = (z, −2x, z − y) b) f (x, y, z) = (y − x, 2x + y, y − x, x − z) c) f (x, y, z) = (x + y, 2y, 2z − 3x) d) f (x, y, z) = (x, −x, z − y − 4x) Solution: ? 52. Dati i punti A = (2, 1), B = (−4, 4), C = (0, 2) stabilire se essi sono allineati e, nel caso lo siano, rispondere ”0”. Nel caso non lo siano, riportare il coefficiente β0 (ordinata all’origine) della retta regressione lineare semplice individuata da essi. Per non rispondere a questa domanda, cliccare su ”Domanda successiva”. Solution: 0 53. L’insieme delle soluzioni reali dell’equazione x2 + 4xy + 4y 2 − 4x − 2y − 2 = 0 rappresenta: a) Un’iperbole b) Una parabola c) Due rette d) Un punto Page 46  Solution: b 54. Sia ft : R3 → R[x]3 , dove il codominio è lo spazio dei polinomi di grado minore o uguale a 3, una funzione tale che f (1, 0, 1) = 2x + 1, f (1, −2, 0) = x2 e f (0, 1, t) = x2 + x3. Per quali t ∈ R la funzione ft può essere un omomorfismo? a) Può esserlo per un solo t b) Può esserlo per tutti i t c) Per nessun t d) Per tutti, tranner per un t Solution: d 55. Dati i punti A = (2, 9) B = (−1, 16) C = (−2, 1) stabilire se essi sono allineati e, nel caso lo siano, rispondere ”0”. Nel caso non lo siano riportare il coefficiente β0 (ordinata all’origine) della retta regressione lineare semplice individuata da essi. Per non rispondere a questa domanda, cliccare su ”domanda successiva”. Solution: 9 Per vedere  se A, B, C sono  allineati basta fare la matrice A 2 x 2 composta come segue: xa − xb ya − yb A= xc − xb yc − yb Se det(A) = 0 allora i tre punti A, B, C sono allineati. 6 0 allora i tre punti A, B, C non sono allineati. Se det(A) = In questo caso det(A) 6= 0 perciò possiamo proseguire con l’esercizio: Retta di regressione lineare: y = mx + q β0 ⇐⇒ q = y − m · x n 1X 2−1−2 1 x= xi = =− n i=0 3 3 n 1X 9 + 16 + 1 26 y= yi = = n i=0 3 3 Pn (x − x)(yi − y) (2 + 13 )(9 − 26 1 26 1 3 ) + (−1 + 3 )(16 − 3 ) + (−2 + 3 )(1 − 26 3 )) m = i=0Pn i 2 = 2 = i=0 (xi − x) (2 + 1 )2 + (−1 + 1 ) + (−2 + 1 )2 3 3 3 = ··· = 1 26 1 q =y−q·x= − 1 · (− ) = 9 3 3 56. Si consideri la funzione ϕw : R3 → R3 data da ϕw (v) = v ∧ w per un w ∈ R3. Qual è l’immagine della sfera di raggio 1 centrata in (0,0,0)? a) cerchio di raggio ||w|| centrato in (0,0,0) nel piano perpendicolare a w b) un sottoinsieme contenuto in una retta perpendicolare a w Page 47  c) sfera unitaria centrata in (0,0,0) d) sfera unitaria centrata in w Solution: a in un’esercitazione durante l’anno accademico 19-20 è stato proposto un esercizio con la stessa consegna, l’unica cosa che cambia è il raggio che era 2 nella domanda proposta nell’esercitazione 8- 57. Sia l = tv + p : t ∈ R una retta in R3 non...(manca un pezzo determinare un vettore w ∈ R3 con la seguente...(manca un pezzo)... ∀q ∈ l non nullo, i vettori q e w generano un p...(manca un pezzo)... Si scelga la risposta corretta tra le seguenti. a) il fatto che w esista dipende da v e da p b) tale w esiste sempre c) l’esistenza di w dipende da v ma non da p d) ogni vettore w, linearmente indipendente con p,...(manca un pezzo) Solution: b 58. Si consideri il piano di equazione 2x − y − z = 0 e sia v un vettore ortogonale ad esso. Quale di questi insieme costituisce una base ortogonale di R3 ? (non si legge bene ne la domanda ne le risposte) a) v ∪ {1, 1, 1} ∪ {0, 5, −5} b) -v ∪ {−1, 2, 0} ∪ {0, 1, 1} c) non rispondo d) v ∪ {1, 1, 1} ∪ {1/2, 1, 0} e) -v ∪ {2, 2, 2} ∪ {0, 1, −1} Solution:... 59. Siano l una retta e H un piano. Quando è possibile trovare una retta r ⊂ H perpendicolare a l? a) solo se H è parallelo a l b) sempre c) solo se H ∩ l 6= d) solo se l non è inclusa in H Solution: b 60. Sia V uno spazio vettoriale e W un suo sottospazio. Supponiamo esistano n vettori w1 ,... , wn ∈ W e v1 , v2 ∈ V W tali che Xn λi wi + λn1 v1 + λn+2 v2 = 0 i=1 Cosa possiamo concludere su V e W ? a) Niente b) L’insieme {w1 ,... , wn , v1 , v2 } è di vettori linearmente indipendenti c) dim(V ) ≥ n + 2 Page 48  d) dim(W ) < n Solution: c 61. Sia S = {(x, y, z) ∈ R3 : z = y 2 } e sia p un arbitrario vettore giacente sull’asse z. Esiste un vettore q ∈ S non nullo tale che q ∧ p = 0? a) No b) Se e solo se p · q = 0 c) Si d) Solo se ||q|| = ||p|| Solution: b q ∧ p = ||q|| · ||p|| · sin(θ) Quando abbiamo che sin(θ)=0 ? Quando l’angolo tra p e q è 0. Quando è nullo il prodotto scalare? q · p = ||q|| · ||p|| · cos(θ) In questo caso il cos(θ) se l’angolo tra p e q dovesse essere 0 avenno come valore 1 perciò per rendere il prodotto scalare = 0 p dovrà essere il vettore che giace su z perciò (0, 0, a) se a = 0 il prodotto scalare sarà uguale a 0. Nel caso in cui a dovesse essere 6= 0 avremmo sicuramente un angolo tra i due vettori q e p e quindi il prodotto vettoriale assumerebbe sicuramente un valore 6= 0. Perciò per avere q ∧ p = 0 dovremo avere sicuramente che p (0,0,0) e questo comporterebbe p·q =0 62. Sia dim(V ) =n.In quale dei seguenti casi non posso concludere che esiste una base vi ⊂ V tale che la matrice associata ad un omomorfismo f : V −→ V rispetto a (vi ) sia diagonale? a) V ha una base formata da autovettori di f b) esiste una base di V rispetto a cui la matrice associata di f è simmetrica c) gli autovettori di f sono tutti distinti d) gli autovalori di f sono tutti reali Solution:... 63. Sia π : x-2y+z=1 e siano P0 , P1 , P2 tre suoi punti. Allora: a) il piano ha equazione parametrica del tipo P = P0 + α P1 +βP2 b) vettori P0 , P1 , P2 costituiscono sempre una base di R3 c) è possibile scegliere i punti in maniera tale che i vettori P0 , P1 , P2 costituiscono una base di R3 d) i Pi (i = 0, 1, 2,...i) saranno sempre linearmente dipendenti Solution: c 64. Sia π : x − y + z = 1 e P (0, 1, 0). Sia S = {a in R: a = d(P, Y ) con Y ∈ π} dove d(P, Y ) è la distanza euclidea tra i punti P e Y. L’estremo inferiore di S vale: a) 0 perché P ∈ π Page 49 b) - √23 c) √2 3 d) √1 3 Solution: c Prima di tutto bisogna verificare che il punto non appartenga al piano. Come fare? Si Sostitu- iscono x, y, z di P nell’equazione di π. Se l’uguaglianza è vera allora P ∈ π e quindi la distanza sarà 0. Se P non fa parte del piano per calcolare la distanza si può usare questa formula: |a·xp +b·yp +c·zp +d| d(P, Y ) = √ a2 +b2 +c2 (distanza punto piano, utilizzabile anche per distanza piano retta se si prende un punto ap- partente alla retta perchè come sappiamo ogni punto appartente ad una retta parallela al piano è equidistante) Page 50