اختبارات مؤتمتة لرياضيات البكالوريا السورية (PDF)

‫إشراف‪ :‬م عبد احلميد السيد‬ ‫املتتاليات واإلثبات بالتدريج‬ ‫اختبارات مؤمتتة لرياضيات البكالوريا السورية‬ ‫العنىان‪:‬‬ ‫اختبارات مؤمتتة لرٌاضٍات البكالىرٌا السىرٌة‬...

‫إشراف‪ :‬م عبد احلميد السيد‬ ‫املتتاليات واإلثبات بالتدريج‬ ‫اختبارات مؤمتتة لرياضيات البكالوريا السورية‬ ‫العنىان‪:‬‬ ‫اختبارات مؤمتتة لرٌاضٍات البكالىرٌا السىرٌة‬ ‫املتتالٍات واإلثبات بالتدرٌج‬ ‫إشراف‪:‬‬ ‫املهندس‪ :‬عبد احلمٍد السٍد‬ ‫كتابة‪:‬‬ ‫م‪.‬مهند حرٌمة د‪.‬مصطفى الرزوق‬ ‫م‪.‬صالح سامل‬ ‫تنسٍك‪:‬‬ ‫الدكتىر مصطفى الرزوق‬ ‫التدلٍك العلمً واللغىي‬ ‫زٌنة ٌوسف‬ ‫حمود السٍد علً‬ ‫خالد احلداد‬ ‫حمً الدٌي إمساعٍل‬ ‫تشار كنعاى‬ ‫حمود أمحد العٍسى‬ ‫زكً طحاوي‬ ‫ٌوسف هنصور‬ ‫أهني حاٌك‬ ‫هٍثن دٌوب‬ ‫حمود زٌي جعرور‬ ‫ًادر أتو راس‬ ‫فادي احملود‬ ‫فادي طنوس‬ ‫هصطفى الرزوق‬ ‫آلدار كالتدوى‬ ‫عثد السالم حسي‬ ‫صالح سامل‬ ‫علً مجول‬ ‫حسام قاسن‬ ‫‪1‬‬ ‫إشراف‪ :‬م عبد احلميد السيد‬ ‫املتتاليات واإلثبات بالتدريج‬ ‫اختبارات مؤمتتة لرياضيات البكالوريا السورية‬ ‫من أجل عدد حقيقي 𝑥 لدينا األعداد‪ 𝑎 = 2𝑥 + 2 :‬و ‪ 𝑏 = 6𝑥 − 3‬و 𝑥‪ 𝑐 = 4‬بيذا الترتيب تشكل حدودا‬ ‫‪)1‬‬ ‫متعاقبة لمتتالية حسابية‪ ،‬عندئذ قيمة 𝑥 تساوي‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑫‬ ‫𝑪‬ ‫‪0‬‬ ‫𝑩‬ ‫𝑨‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫= 𝑥 ⟹ 𝑥‪2𝑏 = 𝑎 + 𝑐 ⟹ 2(6𝑥 − 3) = 2𝑥 + 2 + 4‬‬ ‫حنو احلل‬ ‫‪3‬‬ ‫كتابة وتنسيق‪ :‬د‪.‬مصطفى الرزوق‬ ‫الجواب‪𝐶 :‬‬ ‫إعداد‪ :‬م‪.‬محي الدين اسماعيل‬ ‫𝑐 و𝑏 و𝑎 أعداد حقيقية ولتكن 𝑐‪ 3‬و𝑏‪ 2‬و𝑎 ثالث حدود متعاقبة من متتالية ىندسية تحقق‬ ‫‪32‬‬ ‫= 𝑐 ‪𝑎. 𝑏.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫ٍ‬ ‫عندئذ قيمة 𝑏 ىي‪:‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪3‬‬‫‪32‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑫‬ ‫‪8‬‬ ‫𝑪‬ ‫√‬ ‫𝑩‬ ‫√‬ ‫𝑨‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫بما أن 𝑐‪ 3‬و𝑏‪ 2‬و𝑎 ثالث حدود متعاقبة من متتالية ىندسية فإن‪:‬‬ ‫𝑐 ‪4𝑏 2 = 3𝑎. 𝑐 ⟹ 4𝑏 3 = 3𝑎. 𝑏.‬‬ ‫حنو احلل‬ ‫‪32‬‬ ‫∙ ‪4𝑏 3 = 3‬‬ ‫‪⟹ 𝑏3 = 8 ⟹ 𝑏 = 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫تنسيق‪ :‬د‪.‬مصطفى الرزوق‬ ‫كتابة‪ :‬م‪.‬صالح سالم‬ ‫الجواب‪𝐷 :‬‬ ‫إعداد‪ :‬م‪.‬أحمد الرفاعي‬ ‫‪ (𝑢𝑛 )𝑛≥0‬متتانٍت هىدسٍت فٍها ‪ 𝑢0 = 6 , 𝑢3 = 384‬إن 𝑛𝑢 ٌكتب بدالنت 𝑛 بانشكم‪:‬‬ ‫‪)3‬‬ ‫𝑛 ‪2‬‬ ‫) ( ‪𝑢𝑛 = 6‬‬ ‫𝐃‬ ‫𝑛)‪𝑢𝑛 = 6(4‬‬ ‫𝑪‬ ‫𝑛)‪𝑢𝑛 = 6(3‬‬ ‫𝑩‬ ‫𝑛)‪𝑢𝑛 = 6(2‬‬ ‫𝑨‬ ‫‪3‬‬ ‫‪𝑢3‬‬ ‫‪384‬‬ ‫= ‪= 𝑞3 ⇒ 𝑞3‬‬ ‫𝑛)‪= 64 ⇒ 𝑞 = 4 ⇒ 𝑢𝑛 = 𝑢0 𝑞 𝑛 ⇒ 𝑢𝑛 = 6(4‬‬ ‫حنو احلل‬ ‫‪𝑢0‬‬ ‫‪6‬‬ ‫تنسيق‪ :‬د‪.‬مصطفى الرزوق‬ ‫كتابة‪ :‬م‪.‬ميند حريقة‬ ‫الجواب‪𝐶 :‬‬ ‫إعداد‪ :‬م‪.‬سمر الشيابي‬ ‫لتكن المتتالية ‪ (𝑢𝑛 )𝑛≥0‬المعرفة تدريجياً وفق ‪𝑢𝑛:1 = (2𝜆 − 1)𝑢𝑛 + 8 , 𝑢0 = 2 :‬‬ ‫‪)4‬‬ ‫فإن قيمة 𝜆 التي تجعل المتتالية ثابتة ىي ‪:‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫𝑫‬ ‫‪−1‬‬ ‫𝑪‬ ‫‪−3‬‬ ‫𝑩‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑨‬ ‫‪𝑢1 = 𝑢0 ⟹ 2 = 2(2𝜆 − 1) + 8‬‬ ‫‪ 4𝜆 = 2 − 6‬ومنو نجد‪𝜆 = −1 :‬‬ ‫حنو احلل‬ ‫تنسيق‪ :‬د‪.‬مصطفى الرزوق‬ ‫كتابة‪ :‬م‪.‬صالح سالم‬ ‫الجواب‪C :‬‬ ‫إعداد‪ :‬م‪.‬عمي جمول‬ ‫‪2‬‬  ‫إشراف‪ :‬م عبد احلميد السيد‬ ‫املتتاليات واإلثبات بالتدريج‬ ‫اختبارات مؤمتتة لرياضيات البكالوريا السورية‬ ‫المتتالية ‪ (𝑢𝑛 )𝑛≥0‬معرفة وفق‪ 𝑢𝑛:1 = 𝑢𝑛 − 3 , 𝑢0 = 2 :‬ىي متتالية‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪)5‬‬ ‫غير مطردة‬ ‫𝑫‬ ‫ثابتة‬ ‫𝑪‬ ‫متناقصة تماما‬ ‫𝑩‬ ‫متزايدة تماما‬ ‫𝑨‬ ‫المتتالية تآلفية وبالتالي بحساب حدين منيا نجد‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝑢1 = (2) − 3 = −2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫حنو احلل‬ ‫‪𝑢2 = (−2) − 3 = −4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫فيي متناقصة تماما‬ ‫كتابة وتنسيق‪ :‬د‪.‬مصطفى الرزوق‬ ‫الجواب‪B :‬‬ ‫إعداد‪ :‬م‪.‬زينب يوسف‬ ‫تأمل المتتالية ‪ (𝑢𝑛 )𝑛≥0‬المعرفة تدريجيا وفق‪ 𝑢𝑛:1 = 𝑢𝑛 + 𝑛 − 𝑛! , 𝑢0 = 2 :‬فإن ىذه المتتالية‪:‬‬ ‫‪)6‬‬ ‫متزايدة‬ ‫𝑫‬ ‫متناقصة‬ ‫𝑪‬ ‫ثابتة‬ ‫𝑩‬ ‫غير مطردة‬ ‫𝑨‬ ‫‪ 𝑢𝑛:1 − 𝑢𝑛 = 𝑛 − 𝑛! ≤ 0‬ومنو المتتالية متناقصة‬ ‫حنو احلل‬ ‫كتابة وتنسيق‪ :‬د‪.‬مصطفى الرزوق‬ ‫الجواب‪𝐶 :‬‬ ‫إعداد‪ :‬م‪.‬فادي طنوس‬ ‫𝑛‬ ‫نتكه انمتتانٍت ‪ (𝑢𝑛 )𝑛≥0‬انمعسفت وفق‪ 𝑢𝑛 = 2 cos 2 − cos 𝑛 + 1 :‬هً متتانٍت‪:‬‬ ‫‪)7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫غير مطردة‬ ‫𝑫‬ ‫ثابتة‬ ‫𝑪‬ ‫متناقصة تماما‬ ‫𝑩‬ ‫متزايدة تماما‬ ‫𝑨‬ ‫𝑛‬ ‫𝑛‬ ‫𝑛‬ ‫‪𝑢𝑛 = 2 cos 2‬‬ ‫‪+ 1 − cos 𝑛 = 2 cos 2 + 2 sin2 = 2‬‬ ‫حنو احلل‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫كتابة وتنسيق‪ :‬د‪.‬مصطفى الرزوق‬ ‫الجواب‪𝐶 :‬‬ ‫إعداد‪ :‬م‪.‬ىيثم ديوب‬ ‫𝑛𝑢 ‪ 𝑢𝑛:1 −‬هى‪:‬‬ ‫‪ (𝑢𝑛 )𝑛≥0‬متتانٍت معسفت وفق‪ 𝑢𝑛 = −(3)𝑛 + 𝑛 :‬عىدئ ٍر ٌكىن واتج‬ ‫‪)8‬‬ ‫‪2(3)𝑛 + 1‬‬ ‫𝑫‬ ‫‪−2(3)𝑛 + 1‬‬ ‫𝑪‬ ‫‪−(3)𝑛 + 1‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪3𝑛 + 1‬‬ ‫𝑨‬ ‫‪𝑢𝑛:1 − 𝑢𝑛 = −(3)𝑛:1 + (𝑛 + 1) + 3𝑛 − 𝑛 = −3 (3)𝑛 + 3𝑛 + 1 = −2 (3)𝑛 + 1‬‬ ‫حنو احلل‬ ‫تنسيق‪ :‬د‪.‬مصطفى الرزوق‬ ‫كتابة‪ :‬م‪.‬ميند حريقة‬ ‫الجواب‪C :‬‬ ‫إعداد‪ :‬م‪.‬محسن القصير‬ ‫‪3‬‬  ‫إشراف‪ :‬م عبد احلميد السيد‬ ‫املتتاليات واإلثبات بالتدريج‬ ‫اختبارات مؤمتتة لرياضيات البكالوريا السورية‬ ‫‪ (𝑢𝑛 )𝑛≥0‬متتانٍت تحقق‪ 𝑢0 = −1 :‬وأٌا كان 𝑛 فإن ‪ 𝑢𝑛 ≠ 0‬ونتكه انمتتانٍت ‪ (𝑣𝑛 )𝑛≥0‬انمعسفت وفق‪:‬‬ ‫= 𝑛𝑣 حسابٍت أساسها ‪ ، 3‬عىدئر ٌعطى 𝑛𝑢 بدالنت 𝑛 بانشكم‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+3‬‬ ‫‪)9‬‬ ‫𝑛𝑢‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫𝑫‬ ‫𝐂‬ ‫𝑩‬ ‫‪−‬‬ ‫𝑨‬ ‫‪3𝑛 + 2‬‬ ‫‪3𝑛 + 2‬‬ ‫‪3𝑛 − 1‬‬ ‫‪3𝑛 + 1‬‬ ‫ندٌىا ‪ 𝑣0 = 2‬ومىه ‪𝑣𝑛 = 3𝑛 + 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= 𝑛𝑢‬ ‫ومىه‬ ‫ندٌىا ‪= 𝑣𝑛 − 3‬‬ ‫حنو احلل‬ ‫‪3𝑛;1‬‬ ‫𝑛𝑢‬ ‫تنسيق‪ :‬د‪.‬مصطفى الرزوق‬ ‫كتابة‪ :‬م‪.‬ميند حريقة‬ ‫الجواب‪𝐵 :‬‬ ‫إعداد‪ :‬م‪.‬خالد الحمد‬ ‫‪ 0‬عندئذ تكون‬ ‫المتتالية ‪ (𝑢𝑛 )𝑛≥0‬تحقق‪:‬‬ ‫) 𝑛𝑢;‪(𝑢𝑛 :2)(3‬‬ ‫𝑛𝑢‬ ‫= 𝑛𝑢 ‪ ، 𝑢𝑛:1 −‬إذا عهمت أن ‪3‬‬ ‫‪𝑢𝑛 :√𝑢𝑛 :6‬‬ ‫‪)10‬‬ ‫المتتالية ‪:(𝑢𝑛 )𝑛≥0‬‬ ‫غير مطردة‬ ‫𝑫‬ ‫ثابتة‬ ‫متناقصة تماما‬ ‫𝑪‬ ‫𝑩‬ ‫متزايدة تماما‬ ‫𝑨‬ ‫‪0‬‬ ‫‪𝑢𝑛 + 2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫𝑛𝑢‬ ‫{⟹‪3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫𝑛𝑢 ‪3 −‬‬ ‫𝑛𝑢 ‪⟹ 𝑢𝑛:1 −‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪𝑢𝑛 + √𝑢𝑛 + 6 0‬‬ ‫حنو احلل‬ ‫وبالتالي المتتالية ‪ (𝑢𝑛 )𝑛≥0‬متزايدة تماما‬ ‫كتابة وتنسيق‪ :‬د‪.‬مصطفى الرزوق‬ ‫الجواب‪𝐴 :‬‬ ‫إعداد‪ :‬م‪.‬أمين الحايك‬ ‫( انمعسفت‬ ‫‪𝑛 )𝑛≥0‬‬ ‫‪ ،‬ونتكه انمتتانٍت‬ ‫‪0‬‬ ‫و‪=2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫نتأمل المتتاليتين ‪ ( 𝑛 )𝑛≥0‬و ‪ ( 𝑛 )𝑛≥0‬حيث‪= 1 :‬‬ ‫‪)11‬‬ ‫وفق‪ 𝑛 = 3 𝑛 + 5 𝑛 :‬ثابتت ‪ ،‬عىدئر ‪ٌ 10‬ساوي‪:‬‬ ‫‪13‬‬ ‫𝑫‬ ‫‪11‬‬ ‫𝑪‬ ‫‪10‬‬ ‫𝑩‬ ‫‪8‬‬ ‫𝑨‬ ‫( ثابتة‬ ‫‪𝑛 )𝑛≥0‬‬ ‫بما أن المتتالية‬ ‫ببببببب‬ ‫حنو احلل‬ ‫‪10‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫‪=3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪+5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪= 13‬‬ ‫كتابة وتنسيق‪ :‬د‪.‬مصطفى الرزوق‬ ‫الجواب‪𝐷 :‬‬ ‫إعداد‪ :‬م‪.‬يوسف منصور‬ ‫‪ )12‬المتتالية ‪ (𝑢𝑛 )𝑛≥0‬معرفة وفق‪ 𝑢𝑛:1 = 2 − 𝑢𝑛 , 𝑢0 = 2 :‬ىي متتالية‪:‬‬ ‫غير مطردة‬ ‫𝑫‬ ‫ثابتة‬ ‫𝑪‬ ‫متناقصة تماما‬ ‫𝑩‬ ‫متزايدة تماما‬ ‫𝑨‬ ‫… ‪𝑢0 = 2 , 𝑢1 = 0 , 𝑢2 = 2 , 𝑢3 = 0 ,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑛 زوجي‬ ‫{ = 𝑛𝑢 ⟸ غير مطردة‬ ‫حنو احلل‬ ‫‪0‬‬ ‫𝑛 فردي‬ ‫كتابة وتنسيق‪ :‬د‪.‬مصطفى الرزوق‬ ‫الجواب‪𝐷 :‬‬ ‫إعداد‪ :‬م‪.‬عبد الحميد السيد‬ ‫‪4‬‬  ‫إشراف‪ :‬م عبد احلميد السيد‬ ‫املتتاليات واإلثبات بالتدريج‬ ‫اختبارات مؤمتتة لرياضيات البكالوريا السورية‬ ‫‪ (𝑢𝑛 )𝑛≥0‬متتالية حسابية فييا ‪ 𝑢2 = 11‬و ‪ 𝑢8 = 41‬عندئذ قيمة المجموع‪:‬‬ ‫‪= 𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3 + 𝑢6 + 𝑢8 + 𝑢10‬‬ ‫‪)13‬‬ ‫ىي‪:‬‬ ‫‪166‬‬ ‫𝑫‬ ‫‪156‬‬ ‫𝑪‬ ‫‪146‬‬ ‫𝑩‬ ‫‪136‬‬ ‫𝑨‬ ‫= ‪= 2𝑢2 + 𝑢2 + 2𝑢8 + 𝑢8 = 3𝑢2 + 3𝑢8‬‬ ‫نحو الحل‬ ‫‪3(𝑢2 + 𝑢8 ) = 3(11 + 41) = 156‬‬ ‫كتابة وتنسيق‪ :‬د‪.‬مصطفى الرزوق‬ ‫الجواب‪𝑪 :‬‬ ‫إعداد‪ :‬م‪.‬آلدار كالبدون‬ ‫‪ (𝑢𝑛 )𝑛≥0‬متتانٍت هىدسٍت أساسها ‪ 2‬وفٍها ‪ 𝑢0 = 3‬فإن قٍمت انمجمىع ‪:‬‬ ‫‪)14‬‬ ‫𝑛‬ ‫𝑛‪= 𝑢0 + 𝑢2 + 𝑢4 + ⋯ + 𝑢2‬‬ ‫هً‪:‬‬ ‫𝑛‪1 − 4‬‬ ‫𝑫‬ ‫𝑛)‪−1 + (4‬‬ ‫𝑪‬ ‫𝑛)‪1 − 4(4‬‬ ‫𝑩‬ ‫𝑛)‪−1 + 4(4‬‬ ‫𝑨‬ ‫عدد الحدود 𝑞 ‪1 −‬‬ ‫‪2𝑛 − 0‬‬ ‫𝑛‬ ‫×𝑎=‬ ‫= عدد الحدود ‪, 𝑎 = 𝑢0 = 3 , 𝑞 = 4 ,‬‬ ‫‪+1=𝑛+1‬‬ ‫𝑞‪1−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫حنو احلل‬ ‫‪1 − 4𝑛:1‬‬ ‫𝑛‬ ‫×‪=3‬‬ ‫𝑛)‪= −1 + 4(4‬‬ ‫‪1−4‬‬ ‫كتابة وتنسيق‪ :‬د‪.‬مصطفى الرزوق‬ ‫الجواب‪𝐴 :‬‬ ‫إعداد‪ :‬و‪.‬فادي انمحمد‬ ‫لتكن المتتالية ‪ (𝑢𝑛 )𝑛≥0‬المعرفة وفق‪ 𝑢𝑛:1 = 𝑎𝑢𝑛 + 𝑏 , 𝑢0 = 7 :‬حيث ‪ 𝑎 ≠ 1‬و ‪𝑏 ≠ 0‬‬ ‫‪)15‬‬ ‫إذا عممت أن‪ 𝑢𝑛 = 5(10) + 2 :‬فإن )𝑏 ‪ (𝑎,‬يساوي‪:‬‬ ‫𝑛‬ ‫)‪(7,5‬‬ ‫𝑫‬ ‫)‪(10,18‬‬ ‫𝑪‬ ‫)‪(10, −18‬‬ ‫𝑩‬ ‫)‪(5,2‬‬ ‫𝑨‬ ‫الصيغة مألوفة حيث ‪ 𝑎 = 10‬ويبقى حساب 𝑏‪:‬‬ ‫𝑏 ‪𝑢1 = 10𝑢0 + 𝑏 = 70 +‬‬ ‫حنو احلل‬ ‫‪} ⟹ 70 + 𝑏 = 52 ⟹ 𝑏 = −18‬‬ ‫‪𝑢1 = 5(10) + 2 = 52‬‬ ‫كتابة وتنسيق‪ :‬د‪.‬مصطفى الرزوق‬ ‫الجواب‪𝐵 :‬‬ ‫إعداد‪ :‬م‪.‬باسل سمير حسين‬ ‫‪5‬‬  ‫إشراف‪ :‬م عبد احلميد السيد‬ ‫املتتاليات واإلثبات بالتدريج‬ ‫اختبارات مؤمتتة لرياضيات البكالوريا السورية‬ ‫‪ )16‬انمتتانٍت ‪ (un )n≥0‬انمعسفت وفق‪ 𝑢𝑛 = 2𝑛 + 𝑛(−1)𝑛 :‬هً متتانٍت‪:‬‬ ‫غير مطردة‬ ‫𝑫‬ ‫ثابتة‬ ‫𝑪‬ ‫متناقصة تماما‬ ‫𝑩‬ ‫متزايدة تماما‬ ‫𝑨‬ ‫‪2n − n,‬‬ ‫𝑛 فردي‬ ‫{ = 𝑛𝑢‬ ‫‪2n + n,‬‬ ‫𝑛 زوجي‬ ‫لدينا حالتين لحساب ‪𝐴 = 𝑢𝑛:1 − 𝑢𝑛 :‬‬ ‫إما‪:‬‬ ‫حنو احلل‬ ‫‪𝐴 = 3(𝑛 + 1) − 𝑛 = 2𝑛 + 3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪𝐴 = (𝑛 + 1) − 3𝑛 = −2𝑛 + 1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫أو‪:‬‬ ‫يتضح أنو عند االنتقال من حد دليمو فردي إلى حد دليمو زوجي تتزايد 𝑛𝑢 وبالعكس تتناقص فيي غير مطردة‪.‬‬ ‫تنسيق‪ :‬د‪.‬مصطفى الرزوق‬ ‫كتابة‪ :‬م‪.‬ميند حريقة‬ ‫الجواب‪D :‬‬ ‫إعداد‪ :‬م‪.‬خالد الحداد‬ ‫من أجل كل عدد طبيعي إذا عممت أن‪:‬‬ ‫) ‪𝑥 𝑛 − 𝑦 𝑛 = (𝑥 − 𝑦)(𝑥 𝑛;1 + 𝑥 𝑛;2 𝑦 + ⋯ + 𝑦 𝑛;1‬‬ ‫‪)17‬‬ ‫فإن العدد ‪ 333 − 222‬مضاعف لمعدد‪:‬‬ ‫‪11‬‬ ‫𝑫‬ ‫‪23‬‬ ‫𝑪‬ ‫‪27‬‬ ‫𝑩‬ ‫‪4‬‬ ‫𝑨‬ ‫= ‪333 − 222 = (33 )11 − (22 )11 = 2711 − 411‬‬ ‫= ) ‪= (27 − 4)(2710 + 279 × 4 + ⋯ + 410‬‬ ‫حنو احلل‬ ‫) ‪= (23)(2710 + 279 × 4 + ⋯ + 410‬‬ ‫كتابة وتنسيق‪ :‬د‪.‬مصطفى الرزوق‬ ‫الجواب‪𝐶 :‬‬ ‫إعداد‪ :‬د‪.‬مصطفى الرزوق‬ ‫‪6‬‬ ‫إشراف‪ :‬م عبد احلميد السيد‬ ‫املتتاليات واإلثبات بالتدريج‬ ‫اختبارات مؤمتتة لرياضيات البكالوريا السورية‬ ‫لتكن المتتالية ‪ (𝑢𝑛 )𝑛≥0‬المعرفة تدريجياً وفق‪𝑢𝑛:1 = 𝑢𝑛 + 2 , 𝑢0 = 2 :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪)18‬‬ ‫نعرف المتتالية ‪ (𝑣𝑛 )𝑛≥0‬حيث 𝑎 ‪ 𝑣𝑛 = 𝑢𝑛 +‬فإن قيمة 𝑎 التي تجعل ‪ (𝑣𝑛 )𝑛≥0‬متتالية ىندسية ىي‪:‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫𝑫‬ ‫‪−1‬‬ ‫𝑪‬ ‫‪−3‬‬ ‫𝑩‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑨‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)𝑎‪𝑣𝑛:1 = 𝑢𝑛:1 + 𝑎 = 𝑢𝑛 + 2 + 𝑎 = (𝑢𝑛 + 6 + 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫تكون ‪ (𝑣𝑛 )𝑛≥0‬متتالية ىندسية إذا كان 𝑎‪𝑣𝑛 = 𝑢𝑛 + 6 + 3‬‬ ‫حنو احلل‬ ‫ولدينا 𝑎 ‪ 𝑣𝑛 = 𝑢𝑛 +‬ومنو 𝑎‪𝑢𝑛 + 𝑎 = 𝑢𝑛 + 6 + 3‬‬ ‫‪ 2𝑎 = − 6‬ومنو ‪𝑎 = −3‬‬ ‫تنسيق‪ :‬د‪.‬مصطفى الرزوق‬ ‫كتابة‪ :‬م‪.‬صالح سالم‬ ‫الجواب‪𝐵 :‬‬ ‫إعداد‪ :‬م‪.‬دمحم السيد عمي‬ ‫يساوي‪:‬‬ ‫‪ )19‬إن قيمة المجموع‪= + + + ⋯ + 20 :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪605‬‬ ‫𝑫‬ ‫‪1200‬‬ ‫𝑪‬ ‫‪3630‬‬ ‫𝑩‬ ‫‪1210‬‬ ‫𝑨‬ ‫المجموع ىو مجموع حدود متعاقبة من متتالية حسابية أساسيا = 𝑟 وعدد الحدود‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪20 − 6‬‬ ‫=𝑛‬ ‫‪+ 1 = 120‬‬ ‫حنو احلل‬ ‫‪1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝑎+ℓ‬‬ ‫‪+ 20‬‬ ‫=‬ ‫‪×𝑛 =6‬‬ ‫‪× 120 = 1210‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫تنسيق‪ :‬د‪.‬مصطفى الرزوق‬ ‫كتابة‪ :‬م‪.‬صالح سالم‬ ‫الجواب‪𝐴 :‬‬ ‫إعداد‪ :‬م‪.‬صالح سالم‬ ‫𝑎 و𝑏 و𝑐 ثالث حدود متعاقبة من متتالية حسابية متناقصة أساسيا 𝑟 وتحقق‪𝑏 2 = 𝑎𝑐 + 4 :‬‬ ‫‪)20‬‬ ‫عندئذ أساسيا 𝑟 يساوي‪:‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫𝑫‬ ‫‪−1‬‬ ‫𝑪‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑩‬ ‫‪−2‬‬ ‫𝑨‬ ‫لدينا 𝑟 ‪ 𝑎 = 𝑏 −‬و 𝑟 ‪ 𝑐 = 𝑏 +‬نعوض في العالقة المفروضة‪:‬‬ ‫‪ 𝑏 2 = (𝑏 − 𝑟)(𝑏 + 𝑟) + 4‬ومنو ‪𝑏 2 = 𝑏 2 − 𝑟 2 + 4‬‬ ‫‪ 𝑟 2 = 4‬ومن نجد ‪*𝑟 = 2, 𝑟 = −2+‬‬ ‫حنو احلل‬ ‫وبما أن ال متتالية متناقصة فالحل المقبول ىو ‪𝑟 = −2‬‬ ‫تنسيق‪ :‬د‪.‬مصطفى الرزوق‬ ‫كتابة‪ :‬م‪.‬صالح سالم‬ ‫الجواب‪𝐴 :‬‬ ‫إعداد‪ :‬أ‪.‬عدي الخميس‬ ‫‪7‬‬  ‫إشراف‪ :‬م عبد احلميد السيد‬ ‫املتتاليات واإلثبات بالتدريج‬ ‫اختبارات مؤمتتة لرياضيات البكالوريا السورية‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪𝑢7‬‬ ‫= ‪ 𝑢3‬و‬ ‫‪ (𝑢𝑛 )𝑛≥0‬متتالية ىندسية ليست مطردة‪ ،‬فييا‬ ‫‪32‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪)21‬‬ ‫فإن الحد ذي الدليل 𝑛 ىو‪:‬‬ ‫𝑛 ‪;1‬‬ ‫𝑛 ‪−1‬‬ ‫𝑛 ‪−1‬‬ ‫𝑛 ‪1‬‬ ‫) ( ‪32‬‬ ‫𝑫‬ ‫) (‪4‬‬ ‫𝑪‬ ‫) ( ‪−4‬‬ ‫𝑩‬ ‫) ( ‪32‬‬ ‫𝑨‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝑢7‬‬ ‫= ‪𝑞 = ∓ ⟸ 𝑞4‬‬ ‫= ‪⟸ 𝑞4‬‬ ‫= ‪⁄ ⟸ 𝑞4‬‬ ‫‪⟸ 𝑢7 = 𝑢3. 𝑞 4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪32 2‬‬ ‫‪𝑢3‬‬ ‫‪ 𝑞 = −‬ومنو‪:‬‬ ‫وبما أن المتتالية ليست مطردة فإن‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 𝑛;3 1‬‬ ‫‪1 ;3‬‬ ‫‪1 𝑛 1‬‬ ‫𝑛 ‪1‬‬ ‫حنو احلل‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪𝑢𝑛 = 𝑢3. 𝑞 𝑛;3 = (−‬‬ ‫) ‪= (− ) (− ) = (−2)3 (−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑛 ‪;1‬‬ ‫) ( ‪𝑢𝑛 = −4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫تنسيق‪ :‬د‪.‬مصطفى الرزوق‬ ‫كتابة‪ :‬م‪.‬صالح سالم‬ ‫الجواب‪𝐵 :‬‬ ‫إعداد‪ :‬م‪.‬دمحم غوش‬ ‫‪30‬‬ ‫= ‪ ،𝑢0‬إذا علمت أن‪:‬‬ ‫𝑞 وحدها البدء‬ ‫‪ (𝑢𝑛 )𝑛≥0‬متتالية هندسية أساسها ‪0‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪)22‬‬ ‫‪ 𝑢0 + 𝑢1 + 𝑢2 = 30‬فإن قيمة األساس 𝑞 تساوي‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑫‬ ‫‪4‬‬ ‫𝑪‬ ‫‪3‬‬ ‫𝑩‬ ‫‪8‬‬ ‫𝑨‬ ‫‪𝑢0 + 𝑢0 𝑞 + 𝑢0 𝑞 2 = 30 ⟹ 𝑢0 (1 + 𝑞 + 𝑞 2 ) = 30‬‬ ‫‪30‬‬ ‫نحو الحل‬ ‫‪(1 + 𝑞 + 𝑞 2 ) = 30 ⟹ 1 + 𝑞 + 𝑞 2 = 7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ومنو إما ‪( 𝑞 = −3‬مرفوض) أو ‪( 𝑞 = 2‬مقبول)‬ ‫كتابة وتنسيق‪ :‬د‪.‬مصطفى الرزوق‬ ‫الجواب‪𝐷 :‬‬ ‫إعداد‪ :‬م‪.‬زكي طحاوي‬ ‫نتأمل المتتاليتين ‪ (𝑢𝑛 )𝑛≥0‬و ‪ (𝑠𝑛 )𝑛≥0‬المعرفتين تدريجيا وفق‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑛‬ ‫𝑛𝑢 ‪+‬‬ ‫𝑛𝑠 ‪2𝑢𝑛 +‬‬ ‫‪)23‬‬ ‫= ‪𝑠𝑛:1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪𝑠0 = 4‬‬ ‫= ‪، 𝑢𝑛:1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪𝑢0 = 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ونعرف المتتالية ‪ (𝑤𝑛 )𝑛≥0‬وفق 𝑛𝑢 ‪ 𝑤𝑛 = 𝑠𝑛 −‬فإن‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑛𝑤‪𝑤𝑛:1 = 3‬‬ ‫𝑫‬ ‫𝑛𝑤 = ‪𝑤𝑛:1‬‬ ‫𝑪‬ ‫𝑛𝑤 ‪𝑤𝑛:1 = −‬‬ ‫𝑩‬ ‫𝑛𝑤 = ‪𝑤𝑛:1‬‬ ‫𝐴‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2𝑠𝑛 + 𝑢𝑛 2𝑢𝑛 + 𝑠𝑛 𝑠𝑛 − 𝑢𝑛 1‬‬ ‫= ‪𝑤𝑛:1 = 𝑠𝑛:1 − 𝑢𝑛:1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫=‬ ‫𝑛𝑤 =‬ ‫حنو احلل‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫تنسيق‪ :‬د‪.‬مصطفى الرزوق‬ ‫كتابة‪ :‬م‪.‬صالح سالم‬ ‫الجواب‪𝐴 :‬‬ ‫إعداد‪ :‬م‪.‬ميند الشريف‬ ‫‪8‬‬  ‫إشراف‪ :‬م عبد احلميد السيد‬ ‫املتتاليات واإلثبات بالتدريج‬ ‫اختبارات مؤمتتة لرياضيات البكالوريا السورية‬ ‫‪ (𝑢𝑛 )𝑛≥0‬متتالية ىندسية أساسيا وحدىا األول ‪ 𝑞 = 2 , 𝑢0 = 1‬إذا عممت مجموع الحدود اآلتية‪:‬‬ ‫‪)24‬‬ ‫‪ 𝑢3 + 𝑢4 + ⋯ + 𝑢𝑛 = 248‬فإن قيمة 𝑛 تساوي‪:‬‬ ‫‪8‬‬ ‫𝑫‬ ‫‪7‬‬ ‫𝑪‬ ‫‪6‬‬ ‫𝑩‬ ‫‪5‬‬ ‫𝐴‬ ‫‪𝑢3‬‬ ‫‪= 𝑞 3 = 23 ⟹ 𝑢3 = 8‬‬ ‫‪𝑢0‬‬ ‫𝑟‪1;2‬‬ ‫(‪r = 5 ⟸ 8‬‬ ‫‪1;2‬‬ ‫واذا كان عدد الحدود ىو ‪ r‬فإن‪) = 248 :‬‬ ‫حنو احلل‬ ‫ولمعرفة 𝑛 رتبة الحد األخير لدينا عالقة عدد الحدود‪:‬‬ ‫‪𝑟 =𝑛−𝑚+1⟹5=𝑛−3+1⟹𝑛 =7‬‬ ‫تنسيق‪ :‬د‪.‬مصطفى الرزوق‬ ‫كتابة‪ :‬م‪.‬ميند حريقة‬ ‫الجواب‪𝐶 :‬‬ ‫إعداد‪ :‬م‪.‬نادر أبو راس‬ ‫‪32‬‬ ‫‪3𝑛−1‬‬ ‫لتكن لدينا المتتالية ‪ (𝑢𝑛 )𝑛≥0‬المعرفة وفق‪:‬‬ ‫ل‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪𝑢𝑛 = +‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+ …….+‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫𝑛‪5‬‬ ‫‪)25‬‬ ‫ٍ‬ ‫عندئذ يكتب 𝑛𝑢 بداللة 𝑛‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑛 ‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑛 ‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3 𝑛:1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3 𝑛;1‬‬ ‫) ) ( ‪(1 −‬‬ ‫𝑫‬ ‫) ) ( ‪(1 −‬‬ ‫𝑪‬ ‫) ) ( ‪(1 −‬‬ ‫𝑩‬ ‫) ) ( ‪(1 +‬‬ ‫𝐴‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3 32‬‬ ‫‪3𝑛;1‬‬ ‫‪𝑢𝑛 = *1 + + 2 + … …. + 𝑛;1 +‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5 5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3 1‬‬ ‫‪3 2‬‬ ‫‪3 3‬‬ ‫‪3 𝑛;1‬‬ ‫‪𝑢𝑛 = *1 + ( ) + ( ) + ( ) + … …. + ( ) +‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ما بين قوسين ىو مجموع حدود متعاقبة من متتالية ىندسية أساسيا وعدد الحدود 𝑛‬ ‫‪3‬‬ ‫حنو احلل‬ ‫‪5‬‬ ‫𝑛 ‪3‬‬ ‫𝑛 ‪3‬‬ ‫‪1 [1 − (5) ] 1 [1 − (5) ] 1‬‬ ‫𝑛 ‪3‬‬ ‫= 𝑛𝑢‬ ‫=‬ ‫‪= *1 − ( ) +‬‬ ‫‪5 1−3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫تنسيق‪ :‬د‪.‬مصطفى الرزوق‬ ‫كتابة‪ :‬م‪.‬صالح سالم‬ ‫الجواب‪𝐶 :‬‬ ‫إعداد‪ :‬م‪.‬دمحم أحمد العيسى‬ ‫‪9‬‬  ‫إشراف‪ :‬م عبد احلميد السيد‬ ‫املتتاليات واإلثبات بالتدريج‬ ‫اختبارات مؤمتتة لرياضيات البكالوريا السورية‬ ‫‪ (𝑣𝑛 )𝑛≥0‬متتالية حسابية أساسيا ‪ 1‬وفييا ‪ 𝑣0 = 4‬ولتكن المتتالية ‪ (𝑢𝑛 )𝑛≥0‬المعرفة وفق‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= 𝑛𝑢‬ ‫‪𝑣𝑛 ;3‬‬ ‫‪)26‬‬ ‫بداللة 𝑛 بانشكم‪:‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+ ……+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ٍ‬ ‫عندئذ يكتب المجموع‬ ‫‪𝑢0‬‬ ‫‪𝑢1‬‬ ‫𝑛𝑢‬ ‫‪𝑛2 − 1‬‬ ‫)‪(𝑛 + 1)(𝑛 + 2‬‬ ‫‪𝑛2 + 3𝑛 + 8‬‬ ‫)‪(𝑛 + 8)(𝑛 + 1‬‬ ‫𝑫‬ ‫𝑪‬ ‫𝐵‬ ‫𝐴‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫لدينا‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= 𝑛𝑢‬ ‫‪𝑣𝑛 − 3‬‬ ‫و ومنو‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= 𝑣𝑛 − 3‬‬ ‫𝑛𝑢‬ ‫‪= 𝑣0 − 3 + 𝑣1 − 3 + … … + 𝑣𝑛 − 3‬‬ ‫حنو احلل‬ ‫) 𝑛𝑣 ‪(𝑣0 +‬‬ ‫=‬ ‫)‪(𝑛 + 1) − 3(𝑛 + 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪(𝑣0 + 𝑣0 + 𝑛𝑟)(𝑛 + 1) − 6(𝑛 + 1) (𝑛 + 1)(𝑛 + 8) − 6(𝑛 + 1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪(𝑛 + 1)(𝑛 + 2‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫تنسيق‪ :‬د‪.‬مصطفى الرزوق‬ ‫كتابة‪ :‬م‪.‬صالح سالم‬ ‫الجواب‪𝐶 :‬‬ ‫إعداد‪ :‬م‪.‬عبدو عبدو‬ ‫نتأمل المتتالية ‪ (𝑥𝑛 )𝑛≥0‬المعرفة وفق‪ 𝑥𝑛 = 3𝑛 − 2𝑛 :‬إن قيمة المجموع‪:‬‬ ‫‪= 𝑥0 + 𝑥1 + … + 𝑥5‬‬ ‫‪)27‬‬ ‫تساوي‪:‬‬ ‫‪−18‬‬ ‫𝑫‬ ‫‪108‬‬ ‫𝑪‬ ‫‪137/2‬‬ ‫𝑩‬ ‫‪−13/2‬‬ ‫𝑨‬ ‫نضع 𝑛‪ 𝑡𝑛 = 3‬متتالية حسابية و 𝑛‪ 𝑣𝑛 = 2‬ىي متتالية ىندسية فيكون‪:‬‬ ‫) ‪= 𝑡0 + 𝑡1 + … + 𝑡5 − (𝑣0 + 𝑣1 +. …. +𝑣5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1 − 26‬‬ ‫حنو احلل‬ ‫‪0‬‬ ‫( ‪= (𝑡0 + 𝑡5 ) − 2‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1−2‬‬ ‫‪= 3(0 + 15) + 1 − 64 = 45 − 63 = −18‬‬ ‫تنسيق‪ :‬د‪.‬مصطفى الرزوق‬ ‫كتابة‪ :‬م‪.‬صالح سالم‬ ‫الجواب‪𝐷 :‬‬ ‫إعداد‪ :‬م‪.‬محمود المحمود‬ ‫‪10‬‬  ‫إشراف‪ :‬م عبد احلميد السيد‬ ‫املتتاليات واإلثبات بالتدريج‬ ‫اختبارات مؤمتتة لرياضيات البكالوريا السورية‬ ‫𝑟 ‪ ،‬تحقق‪ 𝑢1 + 𝑢5 − 𝑢3 = 3 :‬و ‪𝑢2 × 𝑢4 = 5‬‬ ‫‪ (𝑢𝑛 )𝑛≥0‬متتانٍت حسابٍت أساسها ‪0‬‬ ‫‪)28‬‬ ‫فإوها تعطى تدزٌجٍا َ وفق‪:‬‬ ‫‪𝑢𝑛:1 = 𝑢𝑛 + 1‬‬ ‫‪𝑢𝑛:1 = 𝑢𝑛 + 2‬‬ ‫‪𝑢𝑛:1 = 𝑢𝑛 + 3‬‬ ‫‪𝑢𝑛:1 = 𝑢𝑛 + 4‬‬ ‫𝑫‬ ‫𝑪‬ ‫𝑩‬ ‫𝑨‬ ‫‪𝑢0 = −1‬‬ ‫‪𝑢0 = −3‬‬ ‫‪𝑢0 = 1‬‬ ‫‪𝑢0 = 3‬‬ ‫‪𝑢1 + 𝑢5 − 𝑢3 = 3 ⟹ 𝑢0 + 𝑟 + 𝑢0 + 5𝑟 − 𝑢0 − 3𝑟 = 3‬‬ ‫)∗( 𝑟‪𝑢0 = 3 − 3‬‬ ‫‪𝑢2 × 𝑢4 = 5 ⟹ (𝑢0 + 2𝑟)(𝑢0 + 4𝑟) = 0‬‬ ‫باالستفادة مه انعالقت )∗( وجد أن‪:‬‬ ‫‪(3 − 𝑟)(3 + 𝑟) = 5 ⟹ 9 − 𝑟 2 = 5‬‬ ‫حنو احلل‬ ‫مسفىض ‪𝑟 = −2‬‬ ‫‪𝑟2 = 4 ⟹ ,‬‬ ‫‪𝑟=2‬‬ ‫مقبىل‬ ‫‪𝑢0 = 3 − 3(2) = −3‬‬ ‫ومنه ‪𝑢𝑛:1 = 𝑢𝑛 + 2 , 𝑢0 = −3‬‬ ‫كتابة وتنسيق‪ :‬د‪.‬مصطفى الرزوق‬ ‫الجواب‪𝐶 :‬‬ ‫إعداد‪ :‬م‪.‬دمحم زين جعرور‬ ‫‪ (𝑢𝑛 )𝑛≥0‬متتانٍت معسفت بانشكم ‪ 𝑢𝑛:2 = 𝑎𝑢𝑛:1 + 𝑏𝑢𝑛 , 𝑢0 = 1 , 𝑢1 = 2‬فإذا عهمت أن‬ ‫‪)29‬‬ ‫‪ 𝑢3 = 1‬و ‪ 𝑢2 = −1‬فإن قٍمت ) 𝑏 ‪ (𝑎,‬هً‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3 1‬‬ ‫‪5 1‬‬ ‫‪5 1‬‬ ‫) ‪(2,‬‬ ‫‪D‬‬ ‫) ‪(− ,‬‬ ‫‪C‬‬ ‫) ‪( ,‬‬ ‫‪B‬‬ ‫) ‪(− , −‬‬ ‫𝑨‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5 5‬‬ ‫‪3 3‬‬ ‫‪3 3‬‬ ‫𝑏 ‪𝑢2 = 𝑎𝑢1 + 𝑏𝑢0 ⇒ −1 = 2𝑎 +‬‬ ‫‪𝑢3 = 𝑎𝑢2 + 𝑏𝑢1 ⇒ −𝑎 + 2𝑏 = 1‬‬ ‫حنو احلل‬ ‫‪2𝑎 + 𝑏 = −1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫{‬ ‫‪⇒ 𝑏 = ,𝑎 = −‬‬ ‫‪−𝑎 + 2𝑏 = 1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫تنسيق‪ :‬د‪.‬مصطفى الرزوق‬ ‫كتابة‪ :‬م‪.‬ميند حريقة‬ ‫الجواب‪𝐶 :‬‬ ‫إعداد‪ :‬م‪.‬وائل عني ازن‬ ‫‪11‬‬  ‫إشراف‪ :‬م عبد احلميد السيد‬ ‫املتتاليات واإلثبات بالتدريج‬ ‫اختبارات مؤمتتة لرياضيات البكالوريا السورية‬ ‫‪(𝑢𝑛 )𝑛≥1‬متتالية معرفة وفق )𝑛(𝑃 = 𝑛𝑢 حيث )𝑛(𝑃 كثير حدود من الدرجة الثانية‪ ،‬ونعمم أنيا تعطى‬ ‫‪)30‬‬ ‫تدريجيا بالشكل‪ 𝑢𝑛:1 = 𝑢𝑛 + 2𝑛 , 𝑢1 = −1 :‬عندىا تكون عبارة 𝑛𝑢 بداللة 𝑛 ىي‪:‬‬ ‫𝑛‪2𝑛2 − 3‬‬ ‫𝑫‬ ‫‪𝑛2 + 2𝑛 − 4‬‬ ‫𝑪‬ ‫‪𝑛2 − 2‬‬ ‫𝑩‬ ‫‪𝑛2 − 𝑛 − 1‬‬ ‫𝑨‬ ‫𝑐 ‪𝑢𝑛 = 𝑎𝑛2 + 𝑏𝑛 + 𝑐 ⟹ 𝑢𝑛:1 = 𝑎(𝑛 + 1)2 + 𝑏(𝑛 + 1) +‬‬ ‫𝑛‪𝑎𝑛2 + 2𝑎𝑛 + 𝑎 + 𝑏𝑛 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎𝑛2 + 𝑏𝑛 + 𝑐 + 2‬‬ ‫𝑐 ‪(2𝑎 + 𝑏)𝑛 + 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = (𝑏 + 2)𝑛 +‬‬ ‫بالمطابقة نجد‪:‬‬ ‫حنو احلل‬ ‫‪2𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 2 ⟹ 𝑎 = 1‬‬ ‫𝑐 ‪} ⟹ 𝑢𝑛 = 𝑛2 − 𝑛 +‬‬ ‫‪𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑐 ⟹ 𝑏 = −1‬‬ ‫وألن‪ 𝑢1 = −1 :‬نجد‪ −1 = 1 − 1 + 𝑐 :‬ومنو‪𝑐 = −1 :‬‬ ‫كتابة وتنسيق‪ :‬د‪.‬مصطفى الرزوق‬ ‫الجواب‪𝐴 :‬‬ ‫إعداد‪ :‬م‪.‬ميند حريقة‬ ‫‪12‬‬