درس المستقيمات المتوازية PDF

# المستقيمات المتوازية والمستقيمات المتعامدة ## ماذا؟ ### فيما سبق: - عند النظر إلى المربعات والمستطيلات. - والمستقيمات في اللوحة الفنية المجاورة. - درст كتابة المعادلات. - الخطية بصيغة الميل ونقطة. ### الآن: - تجد أن بعض الخطوط المستقيمة تتقاطع لتكون زوايا قائمة، وبعضها الآخر لا يتقاطع أبدا. ##...

# المستقيمات المتوازية والمستقيمات المتعامدة ## ماذا؟ ### فيما سبق: - عند النظر إلى المربعات والمستطيلات. - والمستقيمات في اللوحة الفنية المجاورة. - درст كتابة المعادلات. - الخطية بصيغة الميل ونقطة. ### الآن: - تجد أن بعض الخطوط المستقيمة تتقاطع لتكون زوايا قائمة، وبعضها الآخر لا يتقاطع أبدا. ## المستقيمان المتوازيان: - المستقيمان الواقعان في المستوى نفسه ولا يقطع أحدهما الآخر، يسميان مستقيمان متوازيان. - ويكون لهما الميل نفسه. - إذا كان للمستقيمين غير الرأسيين في المستوى الميل نفسه فهما متوازيان. ## المستقيمان المتعامدان: - المستقيمان اللذان يتقاطعان مكونين زوايا قوائم يسميان مستقیمین متعامدین. - ويكون ميل كل منهما معكوس مقلوب الآخر. - فمثلاً، إذا كان ميل أحدهما 4، فإن ميل المستقيم العمودي عليه يساوي -1/4. - إذا كان ناتج ضرب ميلي مستقيمين غير رأسيين يساوي -1 فهما متعامدان. ## المفردات: - المستقيمان المتوازيان. - المستقيمان المتعامدان ## كتابة معادلة مستقيم علمت إحدى نقاطه ومعادلة مستقيم آخر يوازيه: 1. أوجد أولا ميل المستقيم المعلوم. 2. ثم عوض عن الميل والنقطة المعطاة في المعادلة العامة للمستقيم بصيغة الميل ونقطة. ## مثال 1: ### المستقيم المار بنقطة معطاة ويوازي مستقيما معلوما: - اكتب بصيغة الميل والمقطع معادلة المستقيم المار بالنقطة (3, 5) والموازي للمستقيم y = 2x - 4. #### الخطوة 1: - بما أن ميل المستقيم y = 2x - 4 يساوي 2، فإن ميل المستقيم الموازي له يساوي 2 أيضًا. #### الخطوة 2: - أوجد المعادلة العامة للمستقيم بصيغة الميل والمقطع. - (y - y1) = m(x - x1) #### عوض عن m بـ (2)، وعن (x1, y1) بـ (3, 5) - (y - 5) = 2(x - 3) #### طبق الخاصية التوزيعية - y - 5 = 2x + 6 #### أضف 5 إلى كل طرف: - y = 2x + 11 #### معادلة المستقيم بصيغة الميل والمقطع هي: y = 2x + 11. ### التحقق من فهمك: (1) اكتب بصيغة الميل ونقطة معادلة المستقيم المار بالنقطة (4, -1) والموازي للمستقيم - (y + 10) = (x - 4). ## مثال 2: ### من واقع الحياة - ميلا المستقيمين المتعامدين - تصميم ببين الشكل الآتي مخططاً لشعار إحدى الشركات ممثلا على المستوى الإحداثي: 1. هل حاد في قائمة ؟ - إذا كان الضلعان ب ي ، أد متعامدين، فإن حد ف ي تكون قائمة. - أوجد ميل كل من ب ي ، أد . - ميل ب ي = (1 - 3) / (- 2 - 3) = - 2/5 - ميل أد = (1 - 5) / (4 - 2) = - 2 - بما أن -2/5 * (-2/1) = -1 ، فالضلعان متعامدان، إذن ل د ف ي قائمة. 2. هل كل ضلعين متقابلين في الشكل أ ج ل ي متوازيين ؟ - إذا كان الضلعان المتقابلان متوازيين فإن لهما الميل نفسه. - ميل أ ج = (غير معرف)， وميل ل ي = (غير معرف)، لذا أجـ ، ل ي رأسيان ويوازيان محور الصادات وبالتالي فهما متوازيان. - ميل ج ل = (-3 - 5) / (5 - 4) = -8، وميل أي = (-3 - 5) / (4 - 5) = -8 ، لذا فالضلعان جل ، أي ا افقیان ویوازیان محور السينات، وبالتالي فهما متوازيان. ### تحقق من فهمك: - ليستا متعامدتين؛ لأن ميل ك ر = 1/1، ميل س ت = -1/1، و حاصل ضربهما لا يساوي - 1. - إنشاءات تظهر على واجهة منزل عارضتان خشبيتان، مثلت إحداهما بالقطعة المستقيمة لك و التي طرفاها ك (6, 2) ، و (10, 8) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ، ومثلت العارضة المتصلة بها بالقطعة المستقيمة من ت التي طرفاها س (3, 6) ، ت (8, 5). فهل هاتان العارضتان متعامدتان؟ وضح إجابتك. - يمكنك أن تحدد ما إذا كان المستقيمان الممثلان بيانيا متوازيين أم متعامدين بمقارنة ميليهما. ## مثال 3: ### المستقيمات المتوازية والمستقيمات المتعامدة: - حدد ما إذا كانت التمثيلات البيانية للمستقيمات الآتية متوازية أم متعامدة، وفسر إجابتك: - يستعمل الرمز // للدلالة على التوازي، والرمز 1 للدلالة على التعامد. - ۱ص ٥، س ۳، ص ٢ س #### مثل كل معادلة على المستوى الإحداثي. - من التمثيل البياني يمكنك ملاحظة أن المستقيم ص = ٥ يوازي محور السينات، وأن المستقيم س = ٣ يوازي محور الصادات، لذا فهما متعامدان، ولا يتوازى أي مستقيمين من الثلاثة. ### تحقق من فهمك: (٣) ص - ٣ س - ٦، ٤ س - ٢ ص - -٢ (۳) حدد ما إذا كانت التمثيلات البيانية للمستقيمات الآتية متوازية أم متعامدة، و فسر إجابتك : - . متوازيان؛ لأن ميل كليهما يساوي ٣، - ولا يتعامد أي مستقيمين منها. - .٦ س- ۲ ص ۲، ص = ٣ - ٤، ص ٤ ## مثال 4: ### المستقيم المار بنقطة معطاة ويعامد مستقيما معلوما: - اكتب معادلة المستقيم المار بالنقطة (4، 6)، والمعامد للمستقيم ٢ س + ص = ١٢ بصيغة الميل والمقطع. #### الخطوة 1: - أوجد ميل المستقيم المعطى بإيجاد قيمة ص. - 2x + 3y = 12 - 3y = -2x + 12 - y = (-2/3)x + 4 - الميل = -٢/٣ #### الخطوة ٢ - ميل المستقيم المعامد للمستقيم المعطى هو معكوس مقلوب العدد -٢/٣; أي ٣/٢. - أوجد معادلة المستقيم العمودي. - (y - y1) = m(x - x1) - (y - 6) = (3/2)(x - 4) - y - 6 = (3/2)x - 6 - y = (3/2)x - معادلة المستقيم بصيغة الميل والمقطع هي: y = (3/2)x. ### تحقق من فهمك: (٤) اكتب معادلة المستقيم المار بالنقطة (4، 7) والمعامد للمستقيم y = 1/2 x - 1 بصيغة الميل والمقطع. # تأكد ## ملخص المفهوم ### المستقيمات المتوازية والمستقيمات المتعامدة | النوع | التعبير اللفظي | التعبير بالرموز | نماذج | |---|---|---|---| |المستقيمات المتوازية | يكون المستقيمان غير الرأسيين متوازيين إذا تساوى ميلاهما. | || |المستقيمات المتعامدة | يكون المستقيمان غير الرأسيين متعامدين إذا كان حاصل ضرب ميليهما يساوي -1. || ### مثال 1 - اكتب معادلة المستقيم المار بالنقطة المعطاة والموازي للمستقيم المعطاة معادلته في كل مما يأتي بصيغة الميل والمقطع: - (1, 2)， ص = x + 2 => ص = x + 1 - (4, 0), ص = - ٤ س + ٥ => ص = - ٤ س + ٤ ### مثال 2 - حديقة على شكل مضلع رباعي، رؤوسه: : ۱(۲۰، ۱) ، ب (۳)، (۳)، جے (۷ ،۵) ، د (٣، ٤) ، - فهل الممران آج ب د متعامدان؟ فسر إجابتك. - نعم; لأن ميل آج = ٦/٤ = ٣/٢، وميل بد = ٢/-٦ = -١/٣، وحاصل هذان الممرान متعامدان؟ فسر إجابتك. - حدد إذا كان الشكل الرباعي في هـ ل مربعا - أم لا، وفسر إجابتك. انظر الهامش ### مثال ۳ - حدد إذا كانت التمثيلات البيانية للمستقيمات في كل من السؤالين ٦،٥ متوازية أم متعامدة، وفسر إجابتك. - 5) ص = - ٢ س， ٢ ص = س， ٤ ص = ٢س ٤٠ - 6) ص = س， ٣ ص = س， ص = - س( ### مثال ٤ - اكتب بصيغة الميل والمقطع معادلة المستقيم المار بالنقطة المعطاة والمعامد للمستقيم المعطاة معادلته في كل مما يأتي: (٦) ليس بينهما تواز أو تعامد (٧) (۳۲)، ص = - س - ٤ ص = ٢ ص ۷ (٨) (١، ٤) ، ص = ٣ س + ٥ ص = - س + ٣