السلسلة الفضية في المتتاليات PDF

## السلسلة الفضية ### المتتاليات من الألف إلى الياء ### ملخص شامل حول المتتاليات #### تعريف المتتالية العددية المتتالية العددية الحقيقية هي دالة ترفق بكل عدد طبيعي أكبر من أو يساوي عدد طبيعي *n0* معطى، العدد *u(n)*. *u:N→R* *nu(n)* #### الترميز نرمز إلى صورة 12 بالمتتالية *u* بدلا من *u...

## السلسلة الفضية ### المتتاليات من الألف إلى الياء ### ملخص شامل حول المتتاليات #### تعريف المتتالية العددية المتتالية العددية الحقيقية هي دالة ترفق بكل عدد طبيعي أكبر من أو يساوي عدد طبيعي *n0* معطى، العدد *u(n)*. *u:N→R* *nu(n)* #### الترميز نرمز إلى صورة 12 بالمتتالية *u* بدلا من *u(n)* هذا الترميز الجديد يسمى الترميز بدليل. المتتالية *un* يرمز لها *un(n)* أو *un(n)* إذا كانت المتتالية معرفة من أجل *n* أكبر من أو يساوي *n0*. المتتالية *un* يرمز لها unner) أو (u) إذا كانت المتتالية *un* معرفة على *N*. *un* هو الحد الذي دليله *n* ويسمى كذلك الحد العام للمتتالية *un0* هو الحد الأول للمتتالية *un* إذا كانت *un* معرفة من أجل *n* أكبر من أو يساوي *n0*. *u1* هو الحد الأول للمتتالية *un* إذا كانت *un* معرفة على *N*. **أمثلة** - المتتالية *(4)* حيث *2 + 52 = un* معرفة على *N*. - المتتالية *(2)* حيث *5n2 = un* معرفة على *(0)*-N ونكتب *un(n)*. - المتتالية *(w)* حيث *13 = un* معرفة من أجل *6 n* نكتب *wn(n)*. - في الحد *un*, n هو دليل الحد وليس رتبته. **مثال** - المتتالية *(w)* حيث *13 = un* معرفة من أجل *6 n* *w6* هو الحد الأول. *6* هو دليل الحد. *wa* وأما رتبته فهي الرتبة الأولى حيث *w6* **رتبة الحد** : *be N* من متتالية *u(n)* بالنسبة إلى الحد *a(n)* عدد طبيعي أصغر من *b* هو العدد الطبيعي *1 + b – a*. **مثال** - إذا كانت المتتالية *(u)* حدها الأول 10 فإن 14 يمثل الحد ذو الرتبة 15 لأن *15 = 1 + 0 – 14* - إذا كانت المتتالية *(u)* حدها الأول 1 فإن 14 يمثل الحد ذو الرتبة 14 لأن *14 = 1 + 1 - 14* #### طرق تعريف المتتالية - متتالية معرف حدها العام بدلالة دالة / مباشرة من الشكل *(un = f(n)* *F(x) = 2x2 + x - 22 = un* حيث *+ n - 1 :مثال* - متتالية معرفة بصيغة تراجعية وهي على أنواع: - متتالية تراجعية من المرتبة الأولى: *(un+1 = f)* ويعطى معها الحد الأول *f(x) = 5x + 1* مثال: *3 = u0* و *1 + 5 = u1 + 5* لاحظ أن *un+2=5un+1-un* I *u0 = 1* = *5* مثال - متتالية تراجعية من المرتبة الثانية: *(un+2 = f(un + 1, un)* - تنبيه: توجد متتاليات من مراتب أعلى. - متتالية معرفة بذكر القائمة الأولى من حدودها بحيث تسمح بإستبيان خاصيتها. *مثال (1): 1, 3, 5, 7, 11,9 ........* متتالية الأعداد الفردية *3 مثال (2): 12,9,6,3,0..........* مضاعفات العدد *1 + 2 = n* أما الثانية هي *(u)* حيث: فالأولى هي *(u)* حيث *un = 3n* *lnEN* *(n = 3n* *nEN* #### اتجاه تغير متتالية عددية - **متتالية متزايدة:** تكون متتالية **(un(n)) متزايدة** *(متزايدة تماما على الترتيب)* إذا وفقط إذا كان من أجل كل عدد *) على الترتيب *Un+1 > Un) Un+1 ≥ Un* - **متتالية متناقصة:** تكون متتالية **(un(n)) متناقصة** *(متناقصة تماما على الترتيب)* إذا وفقط إذا كان من أجل كل عدد طبيعي *n* *) على الترتيب *Un+1 < Un) Un+1 ≤ Un* - **متتالية ثابتة :** تكون متتالية **(Un(n))** ثابتة إذا وفقط إذا كان من أجل كل عدد طبيعي *n = n0*، *Un+1 = Un* - **متتالية رتيبة :** إذا كانت متتالية متناقصة (متناقصة تماما على الترتيب أو متزايدة متزايدة تماما على الترتيب نقول أن المتتالية رتيبة *(رتيبة تماما على الترتيب)*. #### كيفية دراسة اتجاه تغير متتالية *(Un)* معرفة على *N* **الطريقة 01** من أجل كل عدد طبيعي *n* - إذا كان *20 - 11* فإن *(u)* متزايدة على *N* - إذا كان *0 = n - 11* فإن *(u)* متناقصة على *N* - إذا كان *0 = n - 11* فإن *(u)* ثابتة على *N* **الطريقة 02** *(u)* مكتوبة بدلالة *n* أي *(un = f(n)* - إذا كانت *f* متزايدة على المجال *[1000]* فإن *(u)* متزايدة على *N* . - إذا كانت *f* متناقصة على المجال *[100]* فإن *(u)* متناقصة على *N* . - إذا كانت *f* ثابتة على المجال *[0:00]* فإن *(un)* ثابتة على *N* . **ملاحظة** عكس الخاصية غير صحيح. **الطريقة :03** تستعمل إذا كانت حدود المتتالية موجبة تماما - إذا كان : *1 < un+1/un* فإن *(u)* متزايدة على *N*. - إذا كانت: *1 - < un+1/un* فإن *(u)* متناقصة على *N*. - إذا كان : *1 = un+1/un* فإن *(u)* ثابتة على *N*. #### المتتالية المحدودة **تعريف ** *(u)* متتالية عددية معرفة على *N* - القول أن المتتالية *(u)* محدودة من الأعلى يعني وجود عدد حقيقي *A* حيث من أجل كل عدد طبيعي *n* : *Un ≤ A* نقول أن *A* عنصر حاد من الأعلى. - القول أن المتتالية *(u)* محدودة من الأسفل يعني وجود عدد حقيقي *B* حيث من أجل كل عدد طبيعي *n* : *Un ≥ B* نقول أن *B* عنصر حاد من الأسفل. - القول أن المتتالية *(u)* محدودة يعني أنها . محدودة من الأعلى ومن الأسفل. حيث من أجل كل عدد : *Bun≤A* طبيعي *n* : #### نهاية متتالية عددية *(u)* متتالية عددية و*l* عدد حقيقي. *lim un = l* *(حيث أن النهاية لا تحسب إلا عند (+) : نقول أن المتتالية (u) تقبل ) كنهاية إذا وفقط إذا كان كل مجال مفتوح يشمل ) يشمل أيضا كل حدود المتتالية (u) ابتداء من رتبة معينة وفي هذه الحالة نقول أن المتتالية (u) متقاربة، إذا لم تكن المتتالية (u) متقاربة نقول أنها متباعدة.* *+∞ = lim un* نقول أن نهاية المتتالية *(u)* هي *+∞* يعني أن كل مجال مفتوح *,+∞[ يشمل كل حدود المتتالية *(u)* ابتداء من رتبة معينة. *-∞ = lim un : نقول أن نهاية المتتالية *(u)* هي *-∞* يعني أن كل مجال مفتوح *-∞,l[ يشمل كل حدود المتتالية *(u)* ابتداء من رتبة معينة.* *(Un)* متتالية عددية معرفة كما يلي *(un = f(n)* حيث *f* دالة معرفة على مجال من الشكل *]a: +∞[ و *a* عدد حقيقي. *إذا كانت l = lim fn فإن lim un = l . *(العكس غير صحيح)* *124+00* *∞+-14* *11+00* *114+08* *إذا كانت lim fn ( = +∞ فإن lim un = +∞* *إذا كانت -∞ = ( lim fn فإن -∞ = lim un* *7+00* *8+14* #### نهاية متتالية عددية باستعمال الحصر **مبرهنة 1:** *(u) (v) (w)* ثلاث متتاليات عددية و *l* عدد حقيقي *إذا كانت lim_vn = l = lim_w وإذا كان ابتداء من عدد طبيعي no فإن lim un = l* *71+00* *71→+∞* *8+12* **مبرهنة 2:** *(u)* و *(v)* متتاليتان عدديتان، إذا كان ابتداء من عدد طبيعي *no*، *lim = +∞ فإن lim = ∞ sun ≥ Vn* *8+12* *8+12* **مبرهنة (3) و (v) متتاليتان عدديتان، إذا كان ابتداء من عدد طبيعي *no*، lim = -∞ فإن lim = -∞ و Un ≤ Vn* *8+12* *8+12* #### التقارب والتباعد *un) ne) متتالية عددية و *l* عدد حقیقی ثابت. نقول أن المتتالية *(un)* متقاربة إذا كانت : *lim un = l* ونقول أنها متقاربة نحو *l*. *7+00* - *(un)* متتالية متزايدة ومحدودة من الأعلى. - *(un)* متتالية متناقصة ومحدودة من الأسفل. نقول أن المتتالية *(un)* متباعدة إذا كانت: - *+∞ = lim un* وعندئذ نقول أنها متباعدة نحو +∞ . *8+12* *-∞ = lim un* وعندئذ نقول أنها متباعدة نحو -∞. *00+111* - نهاية *(un)* غير موجودة. #### التجاور - **تعريف** تكون *(u)* و *(v)* متتاليتان عددیتان متجاورتان إذا وفقط إذا كانت إحداهما متزايدة والأخرى متناقصة ونهاية الفرق بينهما يؤول إلى الصفر. *lim (un - vn) = 0* *004-14* - **مبرهنة:** إذا كانت *(u)* و *(v)* متتاليتان عدديتان متجاورتان فإنهما متقاربتان ولهما نفس النهاية. #### الإستدلال بالتراجع **مسلمة** *(n)* خاصية متعلقة بعدد طبيعي *no*، *n* عدد طبيعي. للبرهان على صحة الخاصية *(n)* من أجل كل عدد طبيعي أكبر من أو يساوي *no* يكفي أن: -1- نتأكد من صحة الخاصية من أجل *no* أي *(no)*. -2 نفرض أن الخاصية صحيحة من أجل كل عدد طبيعي أكبر من أو يساوي *no* أي *(n)* (فرضية التراجع) ونبرهن صحة الخاصية من أجل *1 + n* أي *(1 + n)*. -3- النتيجة : عند انتهاء المرحلتين نقر أن الخاصية صحيحة من أجل كل عدد طبيعي *n* أكبر من أو يساوي *no*. **ملاحظة:** المراحل الثلاثة في الاستدلال بالتراجع ضرورية وغياب واحدة منها "مخل" بشروط عمله. #### التمثيل البياني متتالية معرف حدها العام بدلالة دالة / مباشرة من الشكل *(n) = 4* في معلم للمستوي يتم تمثيل حدود المتتالية *(u)* على محور التراتيب حسب قيم *n* وذلك بعد التعويض المباشر مثال: التمثيل البياني للمتتالية العددية المعرفة بعلاقة تراجعية من الدرجة الأولى *(Un+1 = fun)* في معلم للمستوي يتم تمثيل حدود المتتالية *(u)* على محور الفواصل ونتبع الخطوات التالية: - ننشئ *(C)* المنحنى الممثل للدالة *f* و *(D)* المستقيم ذو المعادلة *y = x*. - تنشئ *u0* على محور الفواصل. - ننشئ النقطة *A* من المنحنى *(C)* ذات الفاصلة *u0*. - ننشئ النقطة *B* من المستقيم *(D)* ذات نفس ترتيب النقطة *A*. - تنشئ *u1* على محور الفواصل فاصلة النقطة *B*. - بنفس الأنساق السابقة نعيد نفس العمل بدءا من *u1* لإنشاء *u2* وهكذا لإنشاء *u3, u4* .... **مثال** *uo = 1* *Un+1 = 2 + Un* (D) (C) #### المتتاليات الحسابية **تعريف** نقول أن *(u)* متتالية حسابية أساسها *r* (عدد حقيقي) إذا وفقط إذا كان من أجل كل عدد طبيعي *n* *Un+1 = Un + r* **عبارة الحد العام للمتتالية الحسابية** إذا كانت *(u)* متتالية حسابية حدها الأول *u0* وأساسها *r* . فإنه من أجل كل عددين طبيعين *n* و *p* حيث *n ≥ p* و *p* يمثل رتبة الحد الأول يكون: *un = up + (n-p)r* **حالة خاصة** *un = a + nr* إذا كان حدها الأول هو *u0* **مجموع الحدود المتتابعة للمتتالية الحسابية** **بصفة عامة:** *(الحد الأخير + الحد الأول) × (عدد الحدود) = S* *2* #### المتتاليات الهندسية **تعريف** نقول أن *(u)* متتالية هندسية أساسها *q* (عدد حقيقي غير معدوم) إذا وفقط إذا كان من أجل كل عدد طبيعي *n* *Vn+1 = V X q* **عبارة الحد العام للمتتالية الهندسية** إذا كانت *(v)* متتالية هندسي حدها الأول *v0* وأساها *q* . فإنه من أجل كل عددين طبيعيين *n* و *p* حيث *n ≥ p* و *p* يمثل رتبة الحد الأول يكون: *vn = vp x qn-p* **حالة خاصة** *vo x q = vn* إذا كان حدها الأول هو *v0* **مجموع الحدود المتتابعة للمتتالية الهندسية** إذا كانت *(u)* متتالية هندسية أساسها *q* يختلف عن *1* فإن: **بصفة عامة** *عدالة الأساس - 1 × (الحد الأول) = S* *الأساس - 1* *S = (vp) x 1 - qn-p+1\ 1 - q* *S = (n − p + 1) х (uo + un\ 2* **مثال** 1) *(u)* **(n+1) - الوسط الحسابي = **مثال:** *1-q+1\ 1-q* *Suo + U₁ + ··· + Un-1 (= + Un *S = vo + v + ... + Vn-1 + Vn = vo x 1-qn+1\ 1 - q* **حالة خاصة** إذا كان *1 = q* فإن: *S = vo + v₁ + … + Vn-1 + V = (n + 1)vo* - **الوسط الهندسي** إذا كانت .. ثلاثة حدود متعاقبة يسمى *b* وسط حسابي إذا كانت *abc* ثلاثة حدود متعاقبة يسمى *b* وسط هندسي *v = -1 +1 : ومنه نجد b = ac ويكون. *2un = Un-1 + Un+1* ومنه نجد *b = a + c* ويكون #### اتجاه تغير المتتالية الحسابية *(u)* متتالية حسابية أساسها *r* : - إذا كان *0 < r* فإن *(u)* متزايدة تماما. - إذا كان *0 > r* فإن *(u)* متناقصة تماما. - إذا كان *0 = r* فإن *(u)* ثابتة. #### نهاية المتتالية الحسابية *(u)* متتالية حسابية أساسها *r* فإنه: *8+11* #### اتجاه تغير المتتالية الهندسية *(u)* متتالية هندسية أساسها *q* و: **الحالة الأولى: 1 < q** - إذا كان *0 < v0* فإن *(u)* متزايدة تماما. - إذا كان *0 > v0* فإن *(u)* متناقصة تماما. **الحالة الثانية: 1 = q** فإن *(u)* متتالية ثابتة. **الحالة الثالثة: 1 > q > 0** - إذا كان *0 < v0* فإن *(u)* متناقصة تماما. - إذا كان *0 > v0* فإن *(u)* متزايدة تماما. **الحالة الرابعة : 0 > q** فإن *(u)* ليست رتيبة لا يمكن دراستها. #### نهاية متتالية هندسية *(u)* متتالية هندسية أساسها *q* فإنه: *11+00* -1- إذا كان *0 < q* فان *+∞ = lim un* (متتالية متباعدة). -1- إذا كان *1 > q > 0* فإن *0 = lim un* . (متتالية متقاربة). -2- إذا كان *0 > q* فإن *-∞ = lim un* (متتالية متباعدة). -2- إذا كان *1 = q* فإن *lim un = v0* . (متتالية متقاربة). -3- إذا كان *1 < q* فإنه: *8+15* *21+08* - إذا كان *0 < v0* فإن *+∞ = lim un* . (متتالية متباعدة). - إذا كان *0 > v0* فإن *-∞ = lim un* . (متتالية متباعدة). -4- إذا كان *1 - ≥ q* و النهاية غير موجودة متتالية متباعدة). #### تمرين مهم جدا و شامل 01 **الجزء الأول** *(v)* متتالية عددية معرفة على *N* بـ : 1) برهن أن *(v)* متتالية هندسية يطلب تحديد أساسها وحدها الأول. 2) ادرس اتجاه تغير *(v)* واستنتج أنها متقاربة ثم أحسب نهايتها. 3) احسب بدلالة n الجداء *p* : *Pn = νο Χ ν₁ × V2 X ....X Vn* **الجزء الثاني** لتكن الدالة *f* المعرفة على المجال *]0:1( * حيث: *6 + √5x) , f(x) = √5x) منحناه البياني في معلم متعامد )0:1( ومتجانس 8+14 1- ادرس اتجاه تغير *f* ثم شكل جدول تغيراتها. 2- أوجد فاصلة ، تقاطع *(C)* مع المستقيم *(d)* ذو المعادلة : *y = x* 3 - احسب *f(2)* ثم ارسم *(C)* و *(d)*. **الجزء الثالث** لتكن *(un)* المتتالية العددية المعرفة بـ: *u0 = 1* ومن أجل كل عدد طبيعي *n* لدينا *(Un+1 = fun)* -1- على الرسم : مثل الحدود *u1, u2, u3* دون حسابها على محور الفواصل مع اظهار خطوط التمثيل. ثم ضع تخمينا حول اتجاه تغير *(un)* وتقاربها. 2 - برهن بالتراجع أنه من أجل كل عدد طبيعي *n*, *1≤un ≤6* -3- أدرس اتجاه تغير المتتالية *(un)* ثم استنتج أنها متقاربة وعين *lim un* *177+00* 4 - برهن أنه من أجل كل عدد طبيعي *n* : *0≤6-Un+1(6-un)* *5 - بين أنه من أجل كل *n ∈ N*, *0≤6-Un≤Vn* ثم استنتج مرة أخرى *lim un* *11-+00* #### تمرین مهم جدا و شامل 02 **1 - (u)* متتالية هندسية حدودها موجبة تماما:** *In u3 - In u₂ = 1* *In u3 + 2 Inu = 11* -1 - عين أساس المتتالية *(u)* وحدها الأول .. **2 - اكتب *un* بدلالة *n* ثم ادرس اتجاه تغير المتتالية *(u)* 3 - برهن أن العدد 2020 حدا من حدود المتتالية *(u)* وعين رتبته. 4- أحسب ما يلي : *S = 10 + U + Uz + ... + Un* *S₁ = √2 + √u₁ + √2+....+√ un* *Ss = 110 + Uz + U₄ + .... +Uzn* *S = U1 + U3 + U5 +....+U2n-1* *P = U0X U1 X U2 X ....X Un* *S₁ = Inuo + In u₁ + In u₂ + ... + In un* *S = uo+ +...+ *en* **(v) - II) متتالية عددية معرفة على N بـ:** *Vn = 3 ln un+1-In un* -1- أثبت أن *(v)* متتالية حسابية يطلب تعين أساسها وحدها الأول. 2- احسب بدلالة *n* المجموع *Tn* : **Tn = vo + v₁ + ... + Vn-1 (n + 1) Τη = [vo + vn] 2 vn = vo + nr = 5 + 2n n+1 (5 + 5 + 2n) T₁ = (10+2n) T₁ = (n + 1)(5 + n) **مع تحيات الأستاذ نور الدين وفريق عكاشة نحن في البداية فقط ... صحيح لسنا كبارا ماء .. سنحاول... نحاها .**